二阶常系数非齐次微分方程的特解
1. 引言
微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域中。其中，二阶常系数非齐次微分方程是一类常见且重要的微分方程。本文将详细介绍二阶常系数非齐次微分方程的特解求解方法，并给出一些具体例子进行说明。
2. 二阶常系数非齐次微分方程的一般形式
二阶常系数非齐次微分方程的一般形式如下：
𝑎𝑦″+𝑏𝑦′+𝑐𝑦=𝑔(𝑥)
其中，𝑎,𝑏,𝑐为常数，𝑔(𝑥)为已知函数。我们需要寻找满足该方程的特解。
3. 特解求解方法
3.1 齐次线性微分方程的通解
首先，我们需要求解对应的齐次线性微分方程：
𝑎𝑦″+𝑏𝑦′+𝑐𝑦=0
这个方程称为齐次线性微分方程。其通解可以表示为：
𝑦ℎ(𝑥)=𝐶1𝑒𝑟1𝑥+𝐶2𝑒𝑟2𝑥
其中，𝐶1,𝐶2为任意常数，𝑟1,𝑟2为方程的特征根。
3.2 特解的形式
我们假设二阶常系数非齐次微分方程的特解形式为：
𝑦𝑝(𝑥)=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)
其中，𝑢(𝑥)和𝑣(𝑥)是待定函数。
3.3 确定待定函数的形式
根据已知函数𝑔(𝑥)的形式，我们可以确定待定函数𝑢(𝑥)和𝑣(𝑥)的形式。
• 若𝑔(𝑥)是多项式，则取𝑢(𝑥)和𝑣(𝑥)都为多项式。
• 若𝑔(𝑥)是指数函数，则取𝑢(𝑥)为指数函数，𝑣(𝑥)为多项式。
• 若𝑔(𝑥)是三角函数，则取𝑢(𝑥)和𝑣(𝑥)都为三角函数。
• 若𝑔(𝑥)是指数函数与三角函数的乘积，则取𝑢(𝑥)和𝑣(𝑥)都为指数函数与三角函数的乘积。 3.4 代入原方程求解
将特解形式代入原方程，得到一个关于待定系数的代数方程。通过求解这个代数方程，可以确定待定系数的值。
3.5 特解与通解
特解加上齐次线性微分方程的通解即为二阶常系数非齐次微分方程的通解：
𝑦=𝑦ℎ+𝑦𝑝
4. 实例分析
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，其特解y设法分为：
1、如果f(x)=P(x） ，Pn (x）为n阶多项式。
2、如果f(x)=P(x) e'a x，Pn (x）为n阶多项式。
二阶常系数非齐次线性微分方程常用的几个：
1、Ay''+By'+Cy=e^mx
特解 y=C(x)e^mx
2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx
3、Ay''+By'+Cy= mx+n
特解 y=ax
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数，自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的，特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
二阶线性非齐次微分方程的特解
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，其特解y*设法分为：1.如果f(x)=p（x），pn（x）为n阶多项式；2.如果f(x)=p（x）e^αx，pn（x）为n阶多项式。
二阶常系数齐次线性微分方程
标准形式
y″+py′+qy=0
特征方程
r^2+pr+q=0
通解
1.两个不相等的实根：y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)
2.两根相等的实根：y=(c1+c2x)e^(r1x)
3.一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(c1cosβx+c2sinβx)
特解y*设法
1、如果f(x)=p（x），pn（x）为n阶多项式。
若0不是特征值，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因为qm(x)与pn（x）为同次的多项式，所以qm(x)设法要根据pn（x）的情况而定。 比如如果pn（x）=a（a为常数），则设qm(x)=a（a为另一个未知常数）；如果pn（x）=x，则设qm(x)=ax+b；如果pn（x）=x^2，则设qm(x)=ax^2+bx+c。
若0是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*qm(x)。
若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*qm(x)。
2、如果f(x)=p（x）e^αx，pn（x）为n阶多项式。
若α不是特征值，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^αx中，k=0，即y*=qm(x)*e^αx，qm(x)设法要根据pn（x）的情况而定。
若α是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^αx中，k=1，即y*=x*qm(x)*e^αx。
若α是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=2，即y*=x^2*qm(x)*e^αx。
黑龙江工业学院学报
JOURNAL OF HEILONGJIANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol. 20 No. 12
Dec. 2020第20卷第12期
2020年12月
文章编号
：2096 - 3874(2020)12 - 0141 -04
二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法
蔺琳
(大连财经学院，辽宁大连
116622)
摘要：为剖析二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法，拓宽非齐次线性微分方程的
应用领域。分析对比了迭代法、升阶法、降阶法、算子法、积分求法、
Laplace变换法、变量变换法
和化为方程组法等方法的优缺点和适用条件。
关键词:常微分方程;非齐次;特殊解法;分析;利弊
中图分类号:
0175 文献标识码:
A
常微分方程是数学分析与微分方程运算中不
可或缺的一个组成部分⑴。例如,在反映客观现
实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存
在满足常微分方程关系式的数学模型，需要通过
求解微分方程来了解未知函数的性质⑵。因此,
常微分方程是解决实际问题的重要工具。其中，
形如y" +py' +qy =/(%)(其中
p,g为常数)的方程
称为二阶常系数非齐次线性微分方程⑶。众所周
知，待定系数法和常数变易法是二阶常系数非齐
次线性微分方程的普遍解法，但这两种方法都有
不足之处，例如求解过程较为繁琐，计算量较
大“T
o本文综述了积分法、算子法、降阶法、升阶
法、拉普拉斯变换法、化为方程组法和迭代法求解
方程的原理与应用。同时,分析了各个二阶常系
数非齐次线性微分方程特殊解法的利弊,为微分
方程在不同的条件下快捷使用相应的求解方法研
究奠定基础。
1二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法
1」积分法求解方程
设卩(％)是齐次方程
y" +py +qy =0的一个
解，且卩(
0) =0,卩'(
0)工
0,则
y" +py' +qy =f(x)
的特解为
y* (%) = cp (:x - t) dt。而
