高三数学周练提升4
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数学练习四
1．已知函数的图象如图所示．
（I）求的值；
（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；
（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的
取值范围．
2．已知函数．
（I）求函数的单调区间；
（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不
是单调函数，求m的取值范围．
3．已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．
（I）求实数的取值范围；
（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；
（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：．4．已知常数，为自然对数的底数，函数，．
（I）写出的单调递增区间，并证明；
（II）讨论函数在区间上零点的个数．
5．已知函数．
（I）当时，求函数的最大值；
（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；
6．已知是函数的一个极值点（）．
（I）求实数的值；
（II）求函数在的最大值和最小值．
7．已知函数
（I）当a=18时，求函数的单调区间；
（II）求函数在区间上的最小值．
8．已知函数在上不具有单调性．（I）求实数的取值范围；
（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等
式恒成立．
9．已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）证明：若
10．已知函数．（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的
取值范围；
（II）若，设，求证：当时，不等式成立．
11．设曲线：（），表示导函数．
（I）求函数的极值；
（II）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜
率等于．
12．定义，
（I）令函数，写出函数的定义域；
（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率
为－8的切线，求实数的取值范围；
（III）当且时，求证．
答案
1．（本题满分12分）
已知函数的图象如图所示．
（I）求的值；
（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；
（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的
取值范围．
解：函数的导函数为 …………（2分）
（I）由图可知 函数的图象过点（0，3），且
得 …………（4分）
（II）依题意 且
解得 所以 …………（8分）
（III）．可转化为：有三个不等实根，即：与轴有三个交点；
+0-0+
增极大值减极小值增
． …………（10分）
当且仅当时，有三个交点，
故而，为所求． …………（12分）
2．（本小题满分12分）已知函数．
（I）求函数的单调区间；
（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不
是单调函数，求m的取值范围．
解：（I） （2分）
当
当
当a=1时，不是单调函数 （5分）
（II）
（6分）
（8分）（10分） （12分）
3．（本小题满分14分）
已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．
（I）求实数的取值范围；
（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；
（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：．
解：（I）
由，因为当时取得极大值，
所以，所以；
…………
（4分）
（II）由下表：
+0-0-
递增极大值递减极小值递增
依题意得：，解得：
所以函数的解析式是：
…………
（10分）
（III）对任意的实数都有
在区间[-2，2]有：
函数上的最大值与最小值的差等于81，
所以．
…………
（14分）
4．（本小题满分12分）
已知常数，为自然对数的底数，函数，．（I）写出的单调递增区间，并证明；
（II）讨论函数在区间上零点的个数．
解：（I），得的单调递增区间是， …………（2分）
∵，∴，∴，即． …………（4分）
（II），由，得，列表
-0+
单调递减极小值单调递增
当时，函数取极小值，无极大值．
…………（6分）
由（I），∵，∴，∴
， …………（8分）
（i）当，即时，函数在区间不存在零点
（ii）当，即时
若，即时，函数在区间不存在零点
若，即时，函数在区间存在一个零点；
若，即时，函数在区间存在两个零点；
综上所述，在上，我们有结论：
当时，函数无零点；
当 时，函数有一个零点；
当时，函数有两个零点．
…………（12分）
5．（本小题满分14分）
已知函数．
（I）当时，求函数的最大值；
（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；
解：（I）当时，
定义域为（1，+），令， ………………（2分）
∵当，当，
∴内是增函数，上是减函数
∴当时，取最大值 ………………（4分）
（II）①当，函数图象与函数图象有公共点，
∴函数有零点，不合要求； ………………（8分）
②当， ………………（6分）
令，∵，
∴内是增函数，上是减函数，
∴的最大值是，∵函数没有零点，∴，，
因此，若函数没有零点，则实数的取值范围．………………（10
分）
6．（本小题满分12分）
已知是函数的一个极值点（）．
（I）求实数的值；
（II）求函数在的最大值和最小值．
解：（I）由可得
……（4分）
∵是函数的一个极值点，∴
∴，解得 ……………（6分）
（II）由，得在递增，在递增，
由，得在在递减
∴是在的最小值； ……………（8分）
， ∵
∴在的最大值是． ……………（12分）
7．（本小题满分14分）
已知函数
（I）当a=18时，求函数的单调区间；
（II）求函数在区间上的最小值．
解：（Ⅰ），
2分
由得，解得或
注意到，所以函数的单调递增区间是（4，+∞）
由得，解得-2＜＜4，
注意到，所以函数的单调递减区间是.
综上所述，函数的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是 6分
（Ⅱ）在时，
所以，
设
当时，有△=16+4×2，
此时，所以，在上单调递增，
所以 8分
当时，△=，
令，即，解得或；
令，即， 解得.
①若≥，即≥时， 在区间单调递减，所以.
②若，即时间，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
③若≤，即≤2时，在区间单调递增，
所以
综上所述，当≥2时，；
当时，；
当≤时， 14分
8．（本小题满分12分）
已知函数在上不具有单调性．
（I）求实数的取值范围；
（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等
式恒成立．
解：（I）， ………………（2分）
∵在上不具有单调性，∴在上有正也有负也有0，
即二次函数在上有零点 ………………（4分）
∵是对称轴是，开口向上的抛物线，∴
的实数的取值范围 ………………（6分）
（II）由（I），
方法1：，
∵，∴，…………（8分）
设，
在是减函数，在增函数，当时，取最小值
∴从而，∴，函数是增函数，
是两个不相等正数，不妨设，则
∴，∵，∴
∴，即 ………………（12分）
方法2： 、是曲线上任意两相异点，
，，
………（8分）
设，令，，
由，得由得
在上是减函数，在上是增函数，
在处取极小值，，∴所以
即 ………………（12分）
9．（本小题满分12分）
