2020年高考一轮复习数学(理)教学课件第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及其线性运算

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第五章

Error!平面向量 第一节 平面向量的概念及其线性运算

1．向量的有关概念

名称 定义 备注

向量 既有大小又有方向的量；向量的大小

叫做向量的长度(或称模)

平面向量是自由向量

零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的 记作 0

单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的 单位向量为± a

|a|

平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做

共线向量)

0 与任一向量平行或共线

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0

2.向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

(1)交换律：

加法

求两个向量和的

运算 三角形法则

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：

( ＋ )＋ ＝

a b c a

平行四边形法则

＋(b＋c)

求 a 与 b 的相反

减法

向量－b 的和的

a－b＝a＋(－b)

运算叫做 a 与 b 三角形法则

的差

求实数 λ

与向量

(1)|λ

a|＝|λ

||a|； λ

(μ

a)＝

(λμ

)a；

数乘

a 的积的运算

(2)当 λ

＞0 时，λ

a 的方向 (λ

＋μ

)a＝λ

a＋μ

a； 第 2 页 共 50 页

与 a 的方向相同；当 λ

＜0 λ

(a＋b)＝λ

a＋

λ

b

时，λ

a 的方向与 a 的方向 相反；当 λ

＝0 时，λ

a＝0

3.共线向量定理

向量 a(a≠

0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ

，使得 b＝λ

a.

[小题体验]

1．下列四个命题中，正确的命题是( )

A．若 a∥b，则 a＝b B．若|a|＝|b|，则 a＝b

C．若|a|＝|b|，则 a∥b D．若 a＝b，则|a|＝|b|

答案：D

2．若 m∥n，n∥k，则向量 m 与向量 k( )

A．共线 B．不共线

C．共线且同向 D．不一定共线

答案：D

3．若 D

1

学习目标

1.理解平面向量的有关概念

2.向量的方向，

3.向量的模，

4.单位向量，

5.零向量

知识梳理

重点1

向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。

表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用小写字母a，b…或用AB，BC，…表示.

注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段.

重点2

模：向量的长度叫向量的模，记作a或AB.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.

注意：0和0是不同，0是一个数字，0代表一个向量，不要弄混.

单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.aaa0

注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。

重点3

共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.

注意：由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量ba,，若存在非零常数使ba是ba∥的充要条件.

相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

例题分析

例1.已知两个非零向量 𝑎，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑏⃗ 不平行，

（1）如果 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎 +𝑏⃗ ，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑎 +8𝑏⃗ ，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 3(𝑎 −𝑏⃗ ) ，求证A，B，D三点共线； 2

（2）试确定实数k，使k 𝑎 +𝑏⃗ 和𝑎 +𝑘𝑏⃗ 平行．

【答案】 （1）解：∵ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎 +𝑏⃗ ，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑎 +8𝑏⃗ ，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 3(𝑎 −𝑏⃗ ) ，

1 2020版高考数学大一轮复习

第五章平面向量与复数

§5.1 平面向量的概念及线性运算

最新考纲

1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.

2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.

4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝b＋a；

结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的|λa|＝|λ||a|，当λ>0λ(μa)＝(λμ)a；(λ 2 积的运算 时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

概念方法微思考

1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？

提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.

2．如何理解数乘向量？

提示 λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．

3．如何理解共线向量定理？

提示 如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.

实用文档 2021年高中数学 第二章《平面向量》复习课教案 新人教A版必修4

一、教学目标

1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理.

3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.

5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：

6. 向量的坐标概念和坐标表示法

7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

二、知识与方法

向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直

三、典型例题 实用文档 例1.对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜

证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜

(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，

且||=2，||=1，| |=3，用与表示

解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3