矩阵论讲稿讲稿编者：张凯院使用教材：《矩阵论》（第2版）西北工业大学出版社程云鹏等编辅助教材：《矩阵论导教导学导考》《矩阵论典型题解析及自测试题》西北工业大学出版社张凯院等编课时分配：第一章 17学时第四章8学时第二章5学时第五章8学时第三章8学时第六章8学时第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间 一、集合与映射1．集合：能够作为整体看待的一堆东西． 列举法：},,,{321L a a a S =性质法：}{所具有的性质a a S = 相等(：指下面二式同时成立)21S S =2121,S S S a S a ⊆∈⇒∈∀即 1212,S S S b S b ⊆∈⇒∈∀即交：}{2121S a S a a S S ∈∈=且I 并：}{2121S a S a a S S ∈∈=或U 和：},{22112121S a S a a a a S S ∈∈+==+例1 R}0{2221111∈==j i a a a a A S R}0{2212112∈==j i a a a aA S ，21S S ≠ R},00{2211221121∈==a a a a A S S I R},0{21122221121121∈===j i a a a a a a a A S S U R}{2221121121∈==+j i a a a a a A S S 2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．例如：实数域R ，复数域C ，有理数域，等等．Q 3．映射：设集合与，若对任意的1S 2S 1S a ∈，按照法则σ，对应唯一的.)(,2b a S b =∈σ记作 称σ为由到的映射；称为的象， 1S 2S b a a 2为b 的象源．变换：当1S S =时，称映射σ为上的变换． 1S 例2 )2(R})({≥∈==×n a a A S j i nn j i ．映射1σ：A A det )(1=σ (R)→S 变换2σ：n I A A )det ()(2=σ ()S S → 二、线性空间及其性质1．线性空间：集合V 非空，给定数域K ，若在V 中(Ⅰ) 定义的加法运算封闭, 即V y x V y x ∈+∈∀)(,,元素对应唯一, 且满足(1) 结合律：)()()(V z z y x z y x ∈∀++=++(2) 交换律：x y y x +=+ (3) 有零元：)(,V x xx V ∈∀=+∈∃θθ使得(4) 有负元：θ=−+∈−∃∈∀)(,)(,x x V x V x 使得.(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即V kx K k V x ∈∈∀∈∀)(,,元素对应唯一, 且满足(5) 数对元素分配律：)()(V y ky kx y x k ∈∀+=+ (6) 元素对数分配律：)()(K l lx kx x l k ∈∀+=+(7) 数因子结合律：)()()(K l xkl lx k ∈∀=(8) 有单位数：单位数x x K =∈1,使得1. 则称V 为K 上的线性空间．例3 R =K 时，n R —向量空间； n m ×R —矩阵空间][t P n —多项式空间；—函数空间],[b a CC =K 时，—复向量空间； C —复矩阵空间n C n m ×例4 集合}{是正实数m m =+R ，数域}{R 是实数k k =．加法： mn n m n m =⊕∈+,R ,数乘： k m m k k m =⊗∈∈+R,,R 验证+R 是R 上的线性空间．证 加法封闭，且(1)～(2)成立． (3) 1=⇒=⇒=⊕θθθm m m m(4) m m m m m 1)(1)()(m =−⇒=−⇒=−⊕θ 数乘封闭，(5)～(8)成立．故+R 是R 上的线性空间．例5 集合R}),({212∈==i ξξξαR ，数域R ．设R ),,(21∈=k ηηβ．运算方式1 加法： ),(2211ηξηξβα++=+数乘： ),(21ξξαk k k =运算方式2 加法： ),(112211ηξηξηξβα+++=⊕数乘： ))1(21,(2121ξξξα−+=k k k k k o 可以验证与都是)(R 2⋅+)(R 2o ⊕R 上的线性空间．[注] 在R 中, )(2o ⊕)0,0(=θ, ． ),(2121ξξξα+−−=−Th1 线性空间V 中的零元素唯一，负元素也唯一．证 设与2θ都是V 的零元素, 则212211θθθθθθ=+=+=1θ设与都是的负元素, 则由1x 2x x θ=+1x x 及θ=+2x x 可得212111)()(x x x x x x x x ++=++=+=θ 22221)(x x x x x x =+=+=++=θθ例6 在线性空间V 中，下列结论成立．θ=x 0：θ=⇒=+=+x x x x x 01)01(01θθ=k ：θθθθ=⇒=+=+k kx x k k )(kx)()1(x x −=−：()()(]1)1[()]([)1()1x x x x x x x x −=−++−=−++−=−2．减法运算：线性空间V 中，)(y x y x −+=−．3．线性组合：K c V x x i i ∈∈若存在,,, 使m m x c x c x ++=L 11, 则称x 是的线性组合，或者可由线性表示．m x x ,,1L x m x x ,,1L 4．线性相关：若有不全为零，使得m c c ,,1L θ=++m m x c x c L 11，则称m x x ,,1L 线性相关．5．线性无关：仅当全为零时，才有m c c ,,1L θ=++m m x c x c L 11，则称m x x ,,1L 线性无关．[注] 在R 中, )(2o ⊕)1,1(1=α, )2,2(2=α线性无关；)1,1(1=α, )3,2(2=α线性相关．（自证）三、基与坐标1．基与维数：线性空间V 中，若元素组满足 n x x ,,1L (1) 线性无关；n x x ,,1L (2) V x ∈∀都可由线性表示．n x x ,,1L 称为n x x ,,1L V 的一个基, 为n V 的维数, 记作n V =dim ，或者V . n 例7 矩阵空间n m ×R 中, 易见(1) ),,2,1;,,2,1(n j m i E j i L L ==线性无关；(2) ．∑∑==×==mi nj j i j i n m j i E a a A 11)(故),,2,1;,,2,1(n j m i E j i L L ==是n m ×R 的一个基, .mn n m =×dimR2．坐标：给定线性空间V 的基，当时，有n n x x ,,1L n V x ∈n n x x x ξξ++=L 11．称n ξξ,,1L 为在给定基下的x n x ,,1L x 2坐标，记作列向量．Τ1),,(n ξξαL =例8 矩阵空间2R ×中，设22)(×=j i a A ．(1) 取基 ，22211211,,,E E E E 2222212112121111E a E a E a E a A +++=坐标为Τ22211211),,,(a a a a =α(2) 取基 , , , =11111B =11102B =11003B=10004B 422432132122111)()()(B a B B a B B a B B a A +−+−+−= 421223122121112111)()()(B a a B a a B a a B a −+−+−+=坐标为Τ21221221111211),,,(a a a a a a a −−−=β[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同． 例如：在上述两个基下的坐标都是；22n n E A =Τ)1,0,0,0(11E A =在上述两个基下的坐标不同．Th2 线性空间V 中，元素在给定基下的坐标唯一． 证 设V 的基为，对于，若 n x x ,,1L n V x ∈ n n x x x ξξ++=L 11n n x x ηη++=L 11则有 θηξηξ=−++−n n n x x )()(111L因为线性无关, 所以n x x ,,1L 0=−i i ηξ, 即),,2,1(n i i i L ==ηξ.故的坐标唯一．x n 例9 设线性空间V 的基为, 元素在该基下的坐标为n x x ,,1L j y ),,2,1(m j j L =α, 则元素组线性相关（线性无关）m y y ,,1L ⇔向量组m αα,,1L 线性相关（线性无关）．证 对于数组, 因为m k k ,,1L θαα=++=++))(,,(11111m m n m m k k x x y k y k L L L 等价于θαα=++m m k L 11k , 所以结论成立. 四、基变换与坐标变换1．基变换：设线性空间V 的基(Ⅰ)为, 基(Ⅱ)为, 则n n x x ,,1L n y ,,1L y+++=+++=+++=n nn n n nn n nn x c x c x c y xc x c x c y x c x c x c y L L L L L L 22112222112212211111 C=nn n n n n c c c c c c c c c L M M M L L 212222111211写成矩阵乘法形式为 (C x x y y n n ),,(),,11L L =称上式为基变换公式，C 为由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵.[注] 过渡矩阵C 一定可逆. 否则C 的个列向量线性相关, 从而n n y ,,1L y 1−线性相关（例9）．矛盾！由此可得111),,(),,(−=C y y x x n n L L称C 为由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的过渡矩阵．2．坐标变换：设在两个基下的坐标分别为n V x ∈α和β,则有 =++=n n x x x ξξL 11α),,(1n x x Ln n y y x ηη++=L 11β),,(1n y y L =βC x x n ),,(1L =由定理2可得βαC =，或者，称为坐标变换公式. αβ1−=C 例10 矩阵空间22R ×中，取基(Ⅰ) , , ,=10011A −=10012A =01103A−=01104A (Ⅱ) , , , =11111B =01112B =00113B=00014B(1) 求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵； (2) 求由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的坐标变换公式． 解 采用中介法求过渡矩阵.基(0)：, , ,=000111E =001012E =010021E=100022E (0)→(Ⅰ)：1222112114321),,,(),,,(C E E E E A A A A = (0)→(Ⅱ)：2222112114321),,,(),,,(C E E E E B B B B =，−−=00111100110000111C=00010011011111112C (Ⅰ)(Ⅱ)：→=),,,4321B B B B (2114321),,,(C C A A A A −=−−==−0100012211101112210110011010011001212211C C C C+++++++==332143243214321432122221ηηηηηηηηηηηηηηηξξξξC五、线性子空间1．定义：线性空间V 中，若子集V 非空，且对1V 中的线性运算封闭，即 (1) 11,V y x V y x ∈+⇒∈∀ (2) 11,V kx K k V x ∈⇒∈∀∈∀称V 为1V 的线性子空间，简称为子空间．1[注] (1) 子空间V 也是线性空间, 而且V V dim dim 1≤.(2) }{θ是V 的线性子空间, 规定dim{0}=θ. (3) 子空间V 的零元素就是1V 的零元素. 例11 线性空间V 中，子集V 是1V 的子空间⇔对11,,,,V ly kx K l k V y x ∈+∈∀∈∀．有证 充分性. ：1==l k 11,V y x V y x ∈+⇒∈∀0=l ：110 ,V y kx kx K k V x ∈+=⇒∈∀∈∀故V 是1V 的子空间.必要性. 11 ,V kx K k V x ∈⇒∈∀∈∀ （数乘封闭）11 ,V ly K l V y ∈⇒∈∀∈∀ （数乘封闭）故 （加法封闭）1V y l x k ∈+例12 在线性空间V 中，设),,2,1(m i V x i L =∈，则 }{111K k x k x k x i mm ∈++==L V是V 的子空间，称V 为由生成的子空间．1m x x ,,1L 证 m m x k x k x V x ++=⇒∈L 111∀m m x l x l y V y ++=⇒∈∀L 111:1111)()(V x l l kk x l l kk y l kx m m m ,K l k ∈∀ ∈++++=+L根据例11知，V 是1V 的子空间．[注] (1) 将V 记作span 或者．1},,{1m x x L ),,(1m x x L L (2) 元素组的最大无关组是的基； m x x ,,1L ),,(1m x x L L (3) 若线性空间V 的基为，则V ． n n x x ,,1L ),,(1n n x x L L = 2．矩阵的值域（列空间）：划分（），n m n n m j i a A ××∈==C ),,()(1ββL m j C ∈β称),,()(1n L A R ββL =为矩阵的值域（列空间）． A 易见A A R rank )(=dim ． 例13 矩阵A 的值域}C {)(n x AxA R ∈==β.证 ∈∀β左, 有 右∈= =++=Ax k k k k n n n n M L L 1111),,(βββββ∈∀β右, 有左∈++===n n n n k k k k Ax βββββL M L 1111),,( 3．矩阵的零空间：设，称n m A ×∈C }C ,0{)(n x Ax xA N ∈==为矩阵A 的零空间．易见A n A N rank )(−=dim ．Th3 线性空间V 中, 设子空间V 的基为n 1)(,,1n m x x m <L , 则存在n n m V x x ∈+,,1L , 使得为V 的基．n m m x x x x ,,,,,11L L +n 证线性表示不能由m n m x x V x n m ,,11L ∈∃⇒<+ ,,,11线性无关+⇒m m x x x L若，则是V 的基;n n m =+111,,,+m m x x x L n 否则，mn <+1线性表示不能由112,,,++∈∃⇒m m n m x x x V x L ,,,,211线性无关++⇒m m m x x x x L若，则是V 的基;m =+2211,,,,++m m m x x x x L n 否则，m ． L L ⇒<+n 2依此类推, 即得所证．六、子空间的交与和1．子空间的交：}{2121V x V x x V ∈∈=且I VTh4 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 是21V I V 的子空间． 证 212121,V V V V V V I I ⇒∈⇒∈∈θθθ非空∈+⇒∈∈+⇒∈⇒∈∀221121,,,V y x V y x V y x V y x V V y x I 21V V y x I ∈+⇒∈⇒∈∈⇒∈⇒∈∀∈∀221121,V kx V x V kx V x V V x K k I 21V V kx I ∈⇒ 所以V 是21V I V 的子空间．2．子空间的和： },{22112121V x V x x x x V V ∈∈+==+ Th5 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 21V +是V 的子空间． 证 212121,V V V V V V +⇒+∈+=⇒∈∈θθθθθ非空∈∈+=∈∈+=⇒+∈∀22112122112121,,,,,V y V y y y y V x V x x x x V V y x )()(2211y x y x y x +++=+⇒，222111,V y x V y x ∈+∈+ 21V V y x +∈+⇒22112121,,,V x V x x x x V V x K k ∈∈+=⇒+∈∀∈∀221121,,V kx V kx kx kx kx ∈∈+=⇒ 21V V kx +∈⇒所以V 是21V +V 的子空间． [注] 不一定是21V V U V 的子空间．例如：在2R 中，V )()(2211e L V e L ==与的并集为}R ,0),({212121∈=⋅==i V V ξξξξξαU易见21212121)1,1(,,V V e e V V e e U U ∉=+∈但, 故加法运算不封闭.2Th6 设V 是线性空间1,V V 的有限维子空间，则)(dim dim dim )(dim 212121V V V V V V I −+=+ 证 记 ，dim 11dim n V =22n V =，m V V =21I dim 欲证 m n n V V −+=+2121)(dim (1) ：(1n m =121121)V V V V V V =⇒⊂I I22121221)(V V V V V V V V =+⇒⊂⇒⊂Im n n n V V V −+===+212221dim )(dim (2) ：(2n m =221221)V V V V V V =⇒⊂I I12112121)(V V V V V V V V =+⇒⊂⇒⊂Im n n n V V V −+===+211121dim )(dim(3) ：设V 的基为，那么212L 1,n m n m <<21V I m x x ,,1L 扩充为V 的基： (Ⅰ) m n m y y x x −1,,,,,11L L 扩充为V 的基： (Ⅱ) m n m z z x x −2,,,,,11L L 考虑元素组： (Ⅲ)m n m n m z z y y x x −−21,,,,,,,,111L L L 因为 (Ⅰ)，V (Ⅱ) ，所以 V V =1L =2L V =+21(Ⅲ) （自证）． 下面证明元素组(Ⅲ)线性无关：设数组k 使得m n m n m q q p p k −−21,,,,,,,,111L L L m n m n m m y p y p x k x k −−+++++111111L L θ=+++−−m n m n z q z q 2211L由 (*)∈++−∈+++++=−−−−21111111)(2211V z q z q V y p y p x k x k x m n m n m n m n m m L L L 得 m m x l x l x V V x ++=⇒∈L I 1121 结合(*)中第二式得θ=+++++−−m n m n m m z q z q x l x l 221111L L(Ⅱ)线性无关0,0211======−m n m q q l l L L ⇒结合(*)中第一式得θ=+++++−−m n m n m m y p y p x k x k 111111L L(Ⅰ)线性无关0,0111======−m n m p p k k L L ⇒故元素组(Ⅲ)线性无关，从而是V 21V +的一个基． 因此 m n n V V −+=+2121)(dim ． 3．子空间的直和：},{22112121V x V x x x x V V ∈∈+==+唯一唯一记作：V2121V V V ⊕=+Th7 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 21V +是直和⇔}{21θ=V I V ． 证 充分性．已知}{21θ=V I V ：对于21V V z +∈∀，若∈∈+=∈∈+=221121221121,,,,V y V y y y z V x V x x x z 则有 2221112211,,)()(V y x V y x y x y x ∈−∈−=−+−θ22112211212211,,)(y x y x y x y x V V y x y x ==⇒=−=−⇒∈−−=−⇒θθI 故的分解式唯一, 从而V 21V V z +∈2121V V V ⊕=+．必要性．若}{21θ≠V I V ，则有21V V x I ∈≠θ．对于21V V +∈θ，有2121)(,),(,,V x V x x x V V ∈−∈−+=∈∈+=θθθθθθ即21V V +∈θ有两种不同的分解式．这与V 21V +是直和矛盾． 故}{21θ=V I V ．2推论1 V 是直和1V +2121dim dim )(dim V V V V +=+⇔推论2 设V 是直和，V 的基为，V 的基为，221V +1k x x ,,1L 2l y y ,,1L 则V 的基为．1V +l k y y x x ,,,,,11L L 证 因为 ，且 2),,,,,(11l k y y x x L L L =1V V + l k V V V V +=+=+2121dim dim )(dim所以线性无关, 故是V 的基． l k y y x x ,,,,,11L L l k y y x x ,,,,,11L L 21V +§1.2 线性变换及其矩阵 一、线性变换1．定义 线性空间V ，数域K ，T 是V 中的变换．若对V y x ∈∀,，∀，K l k ∈,都有 )()()(Ty l Tx k ly kx T +=+， 称T 是V 中的线性变换． 性质 (1) θθ=+=+=)(0)(0)00(Ty Tx y x T T(2) T )()(0))(1()0)1(()(Tx Ty Tx y x T x −=+−=+−=− (3) 线性相关⇒线性相关V x x m ∈,,1L m Tx Tx ,,1L (4) 线性无关时，不能推出Tx 线性无关．V x x m ∈,,1L m Tx ,,1L (5) 是线性变换T y T Tx y x T +=+⇔)(,)()(Tx k kx T =(V y x ∈∀,,K k ∈∀)例1 矩阵空间nn ×R ，给定矩阵，则变换TX = BX +XB (n n B ×n n X ×∈∀R )是n n ×R 的线性变换．2．线性变换的值域：},{)(V x Tx y y T R ∈==3．线性变换的核： },{)(V x Tx x T N ∈==θTh8 设T 是线性空间V 的线性变换，则R (T )和N (T )都是V 的子空间． 证 (1)V 非空⇒非空． )(T R 1111st ,)(Tx y V x T R y =∈∃⇒∈∀ 2222st ,)(Tx y V x T R y =∈∃⇒∈∀)()(212121T R x x T Tx Tx y y ∈+=+=+ )21V x x ∈+Q ( )()()(111T R x k T Tx k y k ∈== (),1V kx K k ∈∈∀Q 故R (T )是V 的子空间．(2) )(,T N T V ∈⇒=∈θθθθ，即非空．)(T Nθ=+=+⇒∈∀Ty Tx y x T T N y x )()(,，即)(T N y x ∈+． θ==⇒∈∀∈∀)()(),(Tx k kx T K k T N x ，即kx )(T N ∈．故N (T )是V 的子空间．[注] 定义：T 的秩 =dim R (T )，T 的亏 = dim N (T ) 例2 设线性空间V 的基为， T 是V 的线性变换，则 n n x x ,,1L n ，),,()(1n Tx Tx L T R L =n T N T R =+)(dim )(dim证 (1) 先证：∀),,()(1n Tx Tx L T R L ⊂Tx y V x T R y n =∈∃⇒∈st ,)(∈++=⇒++=)()(1111n n n n Tx c Tx c y x c x c x L L L ),,(1n Tx Tx L 再证R ：),,()(1n Tx Tx L T L ⊃ )()(st ,,,),,( 1111n n n n Tx c Tx c y c c Tx Tx L y ++=∃⇒∈∀L L L n )()()()(11T R Tx c Tx c y T R Tx n n i i V x ∈∈++=⇒∈⇒L(2) 设dim , 且的基为, 扩充为V 的基：m T N =)()(T N m y y ,,1L n n m m y y y y ,,,,,11L L +则 ),,(),,,,,()(111n m n m m Ty Ty L Ty Ty Ty Ty L T R L L L ++==设数组k 使得n m k ,,1L +θ=++++)()(11n n m m Ty k Ty k L , 则 θ=++++)(11n n m m y k y k T L因为T 是线性变换, 所以)(11T N y k y k n n m m ∈++++L , 故m m n n m m y l y l y k y k ++=++++L L 1111即 θ=+++−++−++n n m m m m y k y k y l y l L L 1111)()( 因为线性无关, 所以n m m y y y y ,,,,,11L L +0,,01==+n m k k L ．因此 线性无关, 从而n m Ty Ty ,,1L +m n T R −=)(dim , 即dim ． n m T R =+)( 例3 向量空间4R 中，),,,(4321ξξξξ=x ，线性变换T 为)0,0,433,3(43214321ξξξξξξξξ+−−−−+=Tx 求和的基与维数． )4(T R )(T N 解 (1) 取R 的简单基， 计算4321,,,e e e e Te ，)0,0,3,1(1=)0011(2，，，−=Te ，)0,0,3,3(3−−=Te ，Te )0,0,4,1(4−= 该基象组的一个最大线性无关组为． 21,Te Te 故dim R (T ) = 2，且R (T )的一个基为Te ．21,Te (2) 记， 则 −−−−=43131311A }0{}{)(41====ξξθM A x Tx x T N 的基础解系为，．041=ξξM A 0233−4073 故dim N (T ) = 2，且N (T )的一个基为(3, 3, 2, 0)，(－3, 7, 0, 4)． 4．单位变换：线性空间V 中，定义变换T 为Tx )(V x x ∈∀=， 则T 是线性变换，记作T ． e 5．零变换：线性空间V 中，定义变换T 为 )(V x Tx ∈∀=θ，则T 是线性变换，记作T ．0 6．线性变换的运算：线性空间V ，数域K ，线性变换T 与T ． 12 (1) 相等：若T )(21V x x T x ∈∀=，称T =T ． 12 (2) 加法：定义变换T 为 )(21V x x T x T Tx ∈∀+=，则T 是线性变换，记作T 21T T +=．负变换：定义变换T 为 )()(1V x x T Tx ∈∀−=， 则T 是线性变换， 记作T 1T −=．(3) 数乘：给定，定义变换T 为 K k ∈)()(1V x x T k Tx ∈∀=，则T 是线性变换， 记作T 1kT =．[注] 集合Hom(V ，V )}{def的线性变换上的线性空间是数域V K T T =按照线性运算(2)和(3)构成数域K 上的线性空间，称为V 的同态．(4) 乘法：定义变换T 为 )()(21V x x T T Tx ∈∀=，则T 是线性变换， 记作T 21T T =．7．逆变换：设T 是线性空间V 的线性变换，若V 的线性变换满足 S T n)()()(V x x x TS x ST ∈∀== 则称T 为可逆变换，且S 为T 的逆变换，记作 ． S =−1 8．幂变换：设T 是线性空间V 的线性变换， 则也是V 的线性变换．),3,2(1defL ==−m T T Tm m9．多项式变换：设T 是线性空间V 的线性变换，多项式)()(10K a t a t a a t f i mm ∈+++=L 则也是V 的线性变换． m m e T a T a T a T f +++=L 10)(二、线性变换的矩阵表示1．线性变换在给定基下的矩阵设线性空间V 的基为，T 是V 的线性变换，则Tx ，且有n x x ,,1L n n i V ∈+++=+++=+++=n nn n n nnn nn x a x a x a Tx xa x a x a Tx x a x a x a Tx L L L L L 22112222112212211111=nn n n n n a a a a a a a a a A L M M M L L 212222111211 写成矩阵乘法形式 TA x x Tx Tx x x n n n ),,(),,(),,(11def1L L L ==称A 为线性变换T 在基下的矩阵．n x x ,,1Ln n [注] (1) 给定V 的基和线性变换T 时，矩阵A 唯一． n x x ,,1L (2) 给定V 的基和矩阵A 时，基象组Tx 确定．n x x ,,1L n Tx ,,1L n V x ∈∀n n x c x c x ++=⇒L 11，定义变换()()n n Tx c Tx c Tx ++=L 11则T 是线性变换．因此线性变换T 与方阵A 是一一对应关系．例4 线性空间的线性变换为 ][t P n ()()()()][t P t f t f t f T n ∈∀′= ．基(I)：!,,!2,,12210n t f t f t f f nn ====L基(II)：n n t g t g t g g ====,,,,12210L 记T 在基(I)下的矩阵为，T 在基(II)下的矩阵为．因为 1A 2A 112010,,,,0−====n n f Tf f Tf f Tf Tf L 112010,,2,,0−====n n ng Tg g Tg g Tg Tg L 所以 ，=010********M O O L L A=0002000102n A M O O L L 易见．21A A ≠)2(≥n 例5 线性空间V 中，设线性变换T 在基下的矩阵为A ，则n n x x ,,1L dim R (T ) = rank A ，dim N (T ) = n - rank A ．证 rank A = m ⇔A 的列向量组n ββ,,1L 中最大无关组含m 个向量元素组Tx 中最大无关组含m 个向量 ⇔n Tx ,,1L dim R (T ) = dim ⇔m Tx Tx L n =),,(1L由例2知另一结论成立．2．线性运算的矩阵表示（将线性变换运算转化为矩阵运算）T Th9 设线性空间V 的基为，线性变换T 与的矩阵n n x x ,,1L 12A 与，则 B (1) T 1+T 2在该基下的矩阵为B A +． (2) kT 1在该基下的矩阵为． kA (3) T 1T 2在该基下的矩阵为AB ． (4) T 在该基下的矩阵为11−1−A ．证 ()()()()B x x x x T A x x x x n n n n ,,,,,,,,,112111L L L L T == (1) 略．(2) 略．(3) 先证：()()[]()[]C x x T C x x T c C n n m n ij ,,,,,11L L ==×∀左=[]()()[]∑∑∑∑=iimii i im i i Tx c Tx c x c x c,,,,11L L T=()=C Tx Tx n ,,1L 右由此可得 ()()()[]()[]B x x T x x T T x x T T n n n ,,,,,,11121121L L L ==()[]()AB x x B x x T n n ,,,,111L L ==(4) 记T，则 211T =−()131221−=⇒==⇒==A B I BA AB T T T T T e ．3．象与原象坐标间的关系Th10 线性空间V 的基为线性变换T 在该基下的矩阵为A ，n ,,,1n x x L 的坐标为 ，T x 的坐标为，则 ．nV x ∈n ξξM 1n ηηM 1 =n n A ξξηηM M 11 证 n n x x x ξξ++=L 11()()()() ==++=n n n n n n A x x Tx Tx Tx Tx Tx ξξξξξξM L M L L 111111,,,,由定理2知 ．= n n A ξξηηM M 11 4．线性变换在不同基下矩阵之间的关系n Th11 线性空间V 的基(I)：，基(II)：n x x ,,1L n y y ,,1L 线性变换T ：()()A x x x x n n ,,,,11L L T =()()B y y y y T n n ,,,,11L L = 由基(I)到基(II)的过渡矩阵为C ，则．AC C B 1−= 证 因为 ()()()()AC C y y AC x x C x x T y y T n n n n 11111,,,,,,−===L L L L ()()B y y y y T n n ,,,,11L L = 所以 ． AC C B 1−=三、线性变换的特征值与特征向量1．定义 线性空间V ，线性变换T ，若K ∈0λ及V x ∈≠θ满足Tx x 0λ=， 称0λ为T 的特征值，x 为T 的对应于0λ的特征向量（元素）． 2．算法 设线性空间V 的基为，线性变换T 的矩阵为． n n x x ,,1L n n ×A T 的特征值为0λ，对应的特征向量为x ．x 的坐标为，T x 的坐标为=n ξξαM 1αA ，x 0λ的坐标为α．λ0 因为 αλαλ00=⇔=A x Tx ，所以T 的特征值与A 的特征值相同； 的对应于T 0λ的特征向量的坐标就是A 的对应于0λ的特征向量．例6 设，线性空间=1011B (){}R ,0221122∈=+==×ij ij x x x x X V ， 线性变换为()V X B X X B ∈−=T T TX ，求T 的特征值与特征向量．解+ + −= −=⇒∈000000002112111111211211x x x x x x x xX V X+ + −=010000101001211211x x x 可得V 的简单基为= = −=0100,0010,1001321X X X 由公式求得 TX−= −= −=0110,0110,0110321TX TX 故T 在简单基下的矩阵为−−−=111111000A A 的特征值与线性无关的特征向量为；====110,011,02121ααλλ −==110,233αλ T 的特征值与线性无关的特征向量为()−====1011,,,01321121αλλX X X Y Y ()==0110,,23212αX X X ()−===0110,,,2332133αλX X X Y 例7 线性空间V ，线性变换T ，{}V x x Tx x ∈==,00λλV 是V 的子空间． 证 ∈⇒=∈θθλθθ0,T V 0λV , 即V 非空．0λ 0(),λV y x ∈∀()y x y x Ty Tx y x T +=+=+=+⇒000λλλ0λV y x ∈+⇒()()()()kx x k Tx k kx T V x K k 000,λλλ===⇒∈∀∈∀⇒0λV kx ∈0λ0 故V 是V 的子空间．[注] 若λ是线性变换的特征值，则称V 为T 的特征子空间．0λ 3．矩阵的迹：．()∑=×==ni ii nn ija A a A 1tr ,∆Th12 ()()BA AB B A m n n m tr tr ,=⇒××．证 ()()m n ij n m ij b B a A ××==,，()m m ij u AB ×=∆，()n n ij v BA ×=∆：，v()∑===nk ki ik ni i in i ii b a b b a a u 111,,M L ()∑== =m i ik ki mk k km k kk a b a a b b 111,,M L()()BA v a b b a u AB nk kk n k m i ik ki mi n k ki ik mi ii tr tr 111111=== ==∑∑∑∑∑∑====== Th13 若A 相似于B ，则tr B A tr = ．证 由AP P B 1−=可得 ()()A P AP AP PB tr )(tr tr tr 11===−− [注] 因为相似矩阵有相同的特征值（Th14 -- 线性代数课程结论）所以线性变换的特征值与线性空间中基的选取无关4．三角相似Th17 相似于上三角矩阵．n n A × 证 归纳法．n =1时，()11a A =是上三角矩阵⇒A 相似于上三角矩阵． 假设n = k －1时定理成立，下证n = k 时定理也成立．的特征值为k k A ×k λλλ,,,21L ，对应1λ的特征向量为1x 111x Ax λ=⇒． 扩充为C 的基：（列向量）1x k k x x x ,,,21L ()k x x x P ,,,211L =可逆，()k Ax Ax Ax AP ,,,211L = ()k j x b x b x b Ax Ax kkj j j j k j ,,2C 2211L L =+++=⇒∈()=kk k k k k b b b b b b x x x AP L M MM L L L 222211212110,,,λ=−011121111A b b AP P k M L λ 的特征值为1A k λλ,,2L ，由假设知，存在1−k 阶可逆矩阵Q 使得,=−k Q A Q λλM O L *211=000012Q P M L ∆==⇒=−k AP P P P P λλλ∆***21121O M O LL 由归纳法原理，对任意n ，定理成立． 5．Hamilton-Cayley 定理Th18 设，则()()n n n n n n a a a A I A ++++=−=−−×λλλλλϕ∆111det ,L ()n n n n n n O I a A a A a A A ×−−=++++=111L ∆ϕ证 A 的特征值为()()()()n n λλλλλλλϕλλλ−−−=⇒L L 2121,,,．由Th17知，存在可逆矩阵，使得． n n P ×=−n AP P λλM O L *11 ()()()()I AP P I AP P I AP P AP P n λλλϕ−−−=−−−−121111LL O M OLO M OL−−−−=221112*0*****0λλλλλλλλn n−−−0***11n n n λλλλM O O LL OM O L LO M M M O L L−−−=33231*0******00**00**00**00λλλλλλn O n n n =−−−0***11λλλλM O O L 即 ()()O A O P A P =⇒=−ϕϕ1． [注] (1) ()I a A a A a A a A a A n n n n nn 1221111,00−−−−−++++−=≠⇒≠L (2) {}I A A A n n ,,,span 1L −∈例8 ，计算−−=210111111A 501002A A +． 解 ()()()21det )(,2)(250100−−=−=+=λλλλϕλλλA I fϕ除f ： ()2210)()()(λλλλϕλb b b g f +++=()λλλϕλ212])()([)(b b g f ++′=′ 由 可得5110022)2(,200)1(,3)1(+==′=f f f−+=+−−=−+=⇒ +=++=+=++2032260622400222242 2002 35110025210115110005110021021210b b b b b b b b b b b()()2210A b A b I b A f O A ++=⇒=ϕ 6．最小多项式：以为根，且次数最低的首1多项式，记作n n A ×()λm ． ()()()11≥∂⇒≠=⇒=λλm O I A f f()()()()n m O A A I ≤∂⇒=⇒−=λϕλλϕ18Th ,det例9 ()()()42,0312512332−−=−−−−=λλλϕA ()()()()1:R 11>∂⇒≠+=∈∀+=λλλm O kI A A f k k f()()()()()()()()λλλλλ22242:42f m O I A I A A f f =⇒=−−=−−= Th19 (1) 多项式()λf 满足()()()λλf m O A f ⇒=;(2) ()λm 唯一．证 (1) 反证法．()()()()()()λλλλλλr g m f f m +=⇒/| ()0≡/λr 且()()λλm r ∂<∂ ()()()()A r A g A m A f +=⇒ ()()()λλm r O A r O A m O A f ∂<∂=⇒==,)(,)(()λm ⇒不是A 的最小多项式，矛盾！(2) 设()λm 与()λm~都是A 的最小多项式，则 ()()()()()()()()λλλλλλm m m m O A m m m O A m ~|~~|~1=⇒⇒=⇒=首 Th20 ()λm 与()λϕ的零点相同（不计重数）．) 证 Th19(λm ⇒的零点是()λϕ的零点．再设0λ是()λϕ的零点，则有()()()x m x A m x x Ax 000λλ=⇒≠=()()()0000=⇒=⇒=λλm x m O A m , 故也是0λ()λm 的零点．[注] ()()的全部单因式一定含λϕλm ⇒20Th ． 但()λm 不一定是()λϕ的全部单因式的乘积． 例如：． ()()()()1,1,10112−≠−= =λλλλϕm A 7．最小多项式求法Th21 对，设n n A ×A I −λ的第i 行第j 列元素的余子式为()λij M ，则 ())(det )(λλλd A I −=m （[])(max )(,λλij j i M d =）例10 设，求−−−−=031251233A )(λm ． 解 ,−−−−=−λλλλ31251233A I ()()()42det )(2−−=−=λλλλϕA I , 65211+−=λλM ()2321−=λM , ()2231−=λM212−=λM , , 23222+−=λλM ()2232−=λM()213−−=λM , ()2323−−=λM , 128233+−=λλM ()()8642)()()(,2)(2+−=−−==−=λλλλλλϕλλλd m d 例11 相似于n n A ×()()λλB A n n m m B =⇒×．证11−−=⇒=PBP A AP P B 取)()(λλA m f =, 则()O A m A f A ==)(, 从而有 ()()O P A f P AP P f B f ===−−11)(①()()() |),(|19Th λλλλA B B m m f m 即⇒ 取)()(λλB m g =, 则O B m B g B ==)()(, 从而有 ()()O P B g P PBP g A g ===−−11)(② ()()() |),(|19Th λλλλB A A m m g m 即⇒ ①+②得：()()λλB A m =m ．四、对角矩阵Th24 在线性空间V 中，线性变换T 在某基下的矩阵为对角矩阵 n T 有n 个线性无关的特征向量（元素）．⇔证 必要性．设V 的基为，且n n x x ,,1L ()()Λn n x x x x ,,,,11L L T =，),,diag(1n λλΛL =，则有()()(n n n n n x x x x Tx Tx λλλλ,,,,,,11111L O L L ==) ),,2,1(n j x Tx j j j L ==⇒λ是T 的n 个线性无关的特征向量 n x x ,,1L ⇒ 充分性．设T 有n 个线性无关的特征向量，即 n y y ,,1L T n j y y j j j ,,2,1,L ==λ取y 为V 的基，则有n y ,,1L n ()()()n n n n y y Ty Ty y y T λλ,,,,,,1111L L L === ()n n y y λλO L 11,, Th25 相似于对角矩阵n n A ×⇔A 有n 个线性无关的特征向量（列向量）． 证 A 相似于),,diag(1n λλΛL =()n x x P ,,1L =⇔存在可逆矩阵，使得Λ=−AP P 1 ()()Λn n x x x x A ,,,,11L L =⇔n j x Ax j j j ,,2,1,L ==⇔λ A 有n 个线性无关的特征向量 ⇔n x x ,,1L Th26 有n 个互异的特征值A 相似于对角矩阵．n n A ×⇒ 算法：线性空间V 的基，线性变换T 在该基下的矩阵A 相似于n n x x ,,1L),,diag(1n λλΛL =，确定V 的新基，使得T 在新基下的 n n y y ,,1L 矩阵为Λ．求P 使Λ=−AP P 1，令()()P x x y y n n ,,,,11L L =，则有 ()()()AP x x P x x T y y T n n n ,,,,,,111L L L ==()()Λn n y y AP P y y ,,,,111L L ==−例12 在22R ×中, 给定, 线性变换为=0410B XB TX = , )2R 22×∈∀X (求2R ×的一个基, 使线性变换T 在该基下的矩阵为对角矩阵．解 取22R ×的简单基, 求得T 在该基下的矩阵为22211211,,,E E E E=0100400000010040A 求P 使得Λ=−AP P 1：,−−=2222Λ−−=1010202001010202P 由可得P E E E E B B B B ),,,(),,,(222112114321= −= −= = =1200,0012,1200,00124321B B B B 故在基下的矩阵为T 4321,,,B B B B Λ． 五、不变子空间线性空间V ，子空间V ，线性变换T ．1 若对∀，有Tx ，称V 是T 的不变子空间． 11V x ∈1V ∈1[注] V 是T 的不变子空间时，可将T 看作V 中的线性变换．1例 ① 子空间{V x x Tx x ∈==,00λλ}V 是T 的不变子空间．000λλλV x Tx V x ∈=⇒∈∀Q ② 子空间R (T )是T 的不变子空间． ()()T R Tx V T R x ∈⇒⊂∈∀Q ③ 子空间N (T )是T 的不变子空间． ()()T N Tx T N x ∈=⇒∈∀θQ④ 与V 1V 2是T 的不变子空间2121,V V V V +⇒I 亦是T 的不变子空间．1°21221121,,V V Tx V Tx V x V Tx V x V V x I I ∈⇒∈∈∈∈⇒∈∀ 2°22112121,,V x V x x x x V V x ∈∈+=⇒+∈∀ 221121,,V Tx V Tx Tx Tx Tx ∈∈+=⇒ 21V V Tx +∈⇒Th27 线性空间V ，线性变换T ，V 与V 是T 的不变子空间，且n 1221V V V n ⊕=．T 在V 1的基下的矩阵为A 1,,1n x x L 1，T 在V 2的 基下的矩阵为A 2,,1n y y L 2．则T 在V 的基n 21,,,,,11n n y y x x L L 下的矩阵为 ．=21A OO AA 证 因为 ()()11111,,,,A x x Tx Tx n n L L =，()()21122,,,,A y y Ty Ty n n L L =所以 ()21,,,,,11n n y y x x T L L ()()[]21,,,,,11n n Ty Ty Tx Tx L L = ()()[]211121,,,,,A y y A x x n n L L =()()[]=211121,,,,,A O O A y y x x n n L L ()A y y x x n n 21,,,,,11L L =[注] 若T 在V 的基下的矩阵，则 n 21,,,,,11n n y y x x L L=21A OO AA ()1,,11n x x L V L ∆=与()2,,12n y y L L ∆=V 都是T 的不变子空间，且V ． 2−1V V n ⊕=六、Jordan 标准形1．λ矩阵：()()()()λλλij n n ij a a A ,×=是λ的多项式． (A 的秩：()λA 中不恒等于零的子式的最高阶数．)λ−λ矩阵的初等变换： 行变换 列变换(1) 对调： r j i r ↔ c j i c ↔ (2) 数乘()0≠k ： kc i kr i (3) 倍加（多项式是 )(λp ）： ()j i r p r λ+ ()j i c p c λ+ 2．行列式因子：()=λk D 最大公因式(){}阶子式的所有k A λ 不变因子： ()()()()()n k D D D d k k k ,,2,1,101L ===−λλλλ初等因子： ()λk d 的不可约因式[注] 考虑−λ矩阵A I −λ可得A 的最小多项式()()()λλλλ1)(−==n n n D D d m例13 ，求−−=201034011A A I −λ的全体初等因子． 解()1,2010340111=−−−−+=−λλλλλD A I 因为(24210430134−=−−−=−−λλλλ与) 互质，所以 ()()()()()23212det ,1−−=−==λλλλλA I D D ．不变因子为 ()()()()()21,1,12321−−===λλλλλd d d ．全体初等因子为 ．()2,12−−λλ 3．初等变换法求初等因子()()多项式是首1)()()(1λλλλk n f f f A→O)(λk f 的不可约因式为()λA 的初等因子例如：在例13中−−−+−→−−−−+=−↔21004301120103401121λλλλλλλc c A I−−−→−−−+−→−+−−+2100)1(00012100)1(00112)1()1(2)3(11212λλλλλλλc c c r r ()()()()−−−−→−−−→−+↔21002100101021000121222332λλλλλλr r r r−−→−−−)2()1(000100012)1()2(223λλλc c c 于是 ()()()()()21,1,12321−−===λλλλλf f f ．故A I −λ的全体初等因子为()2,12−−λλ．[注] 设()n n ij a A ×=，称A I −λ的行列式因子（不变因子，初等因子） 为A 的行列式因子（不变因子，初等因子）．4．Jordan 标准形设()n n ij a A ×=的全体初等因子为()()()s i ms mi mλλλλλλ−−−,,,,11L L则有 ()()L ===−=−)()()(det 1λλλλλϕn n n d D D A I()()()s i ms mi mn d d D λλλλλλλλλ−−−==L L L 1110)()()(而且 m n m m s i =++++L L 1对于第i 个初等因子构造阶Jordan 块矩阵，以及准对角(i mi λλ−)J J J i m i 矩阵如下：ii m m i ii i J ×=λλλ11O O ，=s J J J J O21称为矩阵A 的Jordan 标准形．Th29 设矩阵A 的Jordan 标准形为J ，则存在可逆矩阵P ，使得 ．J AP P =−1例如：在例13中，A 的Jordan 标准形为=2111J ． [注] 若A 的全体互异特征值为l λλ,,1L ，表示A 的Jordan 标准形中i m 含i λ的Jordan 块的最高阶数，则()()l ml mm λλλλλ−−=L 11)(．5．特征向量分析法求初等因子设()()A I −=λλϕdet 的一个不可约因式为()r0λλ−，则是A 的k 个初等因子的乘积(r0λλ−) ()00=−⇔x A I λ的基础解系含k 个解向量（证明略去） ⇔ 对应特征值0λ有k 个线性无关的特征向量 ⇔ ()A I n k −−=0rank λ例14 求的Jordan 标准形．=1132231121A) 解2()1()det()(3−−=−=λλλλϕA I 由rank 知，(是A 的2)1(=−A I 3)1−λ224=−个初等因子的乘积，即2)1(−λ和()1−λ的乘积, 故A 的全体初等因子为． 2,1,)12−−−λλλ(A 的Jordan 标准形为．=21111J [注] 在例14中，将,233=a 143=a 改作133=a ,043=a 时，此法失效．6．相似变换矩阵的求法仅适用于初等因子组中()j i j i ≠≠λλ的情形．()()()()i m i i s iX X P P P P ,,,,,11L L == s i J P AP PJ AP i i i ,,2,1,L ==⇔=()()()()()()()()()()i m i i m i i i i i i m i i ii i X X X X X AX AX AX λλλ++=−121121,,,,,,L L ()()()()()()()()()()()()()()()()−=−−=−−=−−=−=−=−−−0 011121211的一个解是的一个解是的非零解是i m i i m i m i m i i i i i i i i i i i i i i i X X A I X X X A I X X A I X X X A I X A I X X A I λλλλλλL L L L L L可以证明：()()()i m i i iX X X ,,,21L 线性无关． 在例13中，2,111==m λ，求()()1211,X X ：()−=−−−−=−121,101024012111X A I λ()[]()−=−−−−−−=−−110,110120241012,12111X X A I λ 1,222==m λ, 求()21X ：()=−−−=−100,001014013212X A I λ．故．−−=111012001P 例15 解线性微分方程组 ()()()+=′+−=′+−=′3132122112 34ξξξξξξξξξt t t ． 解 ()()()()()()()()()()t Ax t x A t t t t x t t t t x =′ −−=′′′=′=:201034011,,321321ξξξξξξ已求得，使得−−=111012001P J AP P =−1 2111=，则有 ()()()[]()[]t x P J t x P t x APP P t x P 11111−−−−−=′⇒=′()()()()()==−t t t t x P t y 3211ηηη∆()()t y J t y =′⇒()()()=′=′+=′33222112 ηηηηηηηt t t ()()()() =+=⇒+=′=⇒t t t t t ec t e t c e c t e c t e c t 23321121122ηηηηη ()()+−−+==3212112ηηηηηηt y P t x ()()()()() ++−−=++=+=⇒tt tt t t e c t c e c t e t c e c t e t c e c t 232132122111122ξξξ (c 为任意常数) 321,,c c ［注］})({)(0211∫−+=ttd e c e t ττηητ求线性变换在给定基下的矩阵——方法总结：n 给定线性空间V 的基，设线性变换在该基下的矩阵为n x x ,,1L T A ． 一、直接法(1) 计算基象组T ，并求出T 在基下的坐标 )(,),(1n x T x L )(j x n x x ,,1L （列向量）),,2,1(n j j L =β；(2) 写出T 在给定基下的矩阵n x x ,,1L ),,(1n A ββL =． 二、中介法(1) 选取V 的简单基，记作n n εε,,1L ；（要求V 中元素在该基下的坐标能够直接写出）n (2) 写出由简单基改变为给定基的过渡矩阵C （采用直接法）； (3) 计算基象组T )(,),(1n T εεL ，并写出T )(j ε在简单基n εε,,1L 下的坐标 （列向量）),,2,1(n j j L =β，以及T 在简单基下的矩阵),,(1n B ββL =；(4) 计算T 在给定基下的矩阵． n x x ,,1L BC C A 1−=三、混合法(1) 选取V 的简单基，记作n n εε,,1L ；(2) 写出由简单基改变为给定基的过渡矩阵C （采用直接法），则有 =),,(1n x x L C n ),,(1εεL(3) 计算基象组T ，并写出T 在在简单基)(,),(1n x T x L )(j x n εε,,1L 下的坐标（列向量）),,2,1(n j j L =β，以及矩阵),,(1n B ββL =，则有))(,),((),,(11n n x T x T x x T L L =B n ),,(1εεL =BC x x n 11),,(−L =(4) 计算T 在给定基下的矩阵．n x x ,,1L B C A 1−=§1.3 欧氏空间与酉空间 一、欧氏空间1．内积：线性空间V ，数域R ，对V y x ∈∀,，定义实数()y x ,，且满足⑴ 交换律 ()()x y y x ,,=⑵ 分配律 ()()()V z z x y x z y x ∈∀+=+,,,, ⑶ 齐次性 ()()R ,,,∈∀=k y x k y kx ⑷ 非负性 ()()θ=⇔=≥x x x x x 0,,0, 称实数(为x 与y 的内积.)y x , 例 ① 线性空间n R 中：()()n n y x ηηξξ,,,,,11L L ==内积1：()n n y x ηξηξ∆++=L 11, 内积2：() ()0,,11>++=h h y x n n h ηξηξ∆L ② 线性空间n m ×R 中：()()n m ij n m ij b B a A ××==, 内积：()()∑∑====mi nj ij ij AB b a B A 1T 1tr ,∆ ③ 线性空间C 中：[b a ,]()()t g t f ,是区间[]b a ,上的连续函数 内积：(()())()()∫=badt t g t f t g t f ∆,2．欧氏空间：定义了内积运算的实线性空间． 设欧氏空间V 的基为有n n n V y x x x ∈∀,,,,1对L()()∑==⇒++=++=n j i j i j i n n n n x x y x x x y x x x 1,1111,,ηξηηξξL L 令 ()j i ij x x ,=a （i ）n j ,,2,1,L =则称为基的度量矩阵（Gram Matrix ），此时有n n ij a A ×=)(n x x ,,1L。
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