2018版高三数学理一轮复习能力大提升 选修4-4 坐标系

选修4-4 坐标系与参数方程

考点 坐标系与参数方程

1.(2014·安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是 x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )

A.14 B.214 C.2 D.22

1.D [由x＝t＋1，y＝t－3消去t得x－y－4＝0，

C：ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ,∴C：x2＋y2＝4x,即(x－2)2＋y2＝4,∴C(2，0),r＝2.

∴点C到直线l的距离d＝|2－0－4|2＝2，∴所求弦长＝2r2－d2＝22.故选D.]

2.(2014·北京，3)曲线 x＝－1＋cos θ，y＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )

A.在直线y＝2x上 B.在直线y＝－2x上 C.在直线y＝x－1上 D.在直线y＝x＋1上

2.B [曲线x＝－1＋cos θ，y＝2＋sin θ(θ为参数)的普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1,该曲线为圆,圆心(－1，2)为曲线的对称中心,其在直线y＝－2x上,故选B.]

3.(2014·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )

A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4

C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4

3.A [∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴y＝1－x化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.

∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.]

4.(2016·北京，11)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A，B两点，则|AB|＝________.

4.2 [直线的直角坐标方程为x－3y－1＝0,圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2x,即(x－1)2＋y2＝1.圆心坐标为(1，0)，半径r＝1.点(1，0)在直线x－3y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2.]

5.(2016·全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝acos t，y＝1＋asin t(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.

(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

5.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2,C1是以(0，1)为圆心,a为半径的圆.

将x＝ρcos θ,y＝ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，ρ＝4cos θ.

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2＝0,由已知tan θ＝2,可得16cos2θ-8sin θcos θ＝0，从而1-a2＝0，解得a＝-1(舍去)，a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.

所以a＝1.

6.(2016·全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(2)直线l的参数方程是x＝tcos α，y＝tsin α(t为参数),l与C交于A、B两点,|AB|＝10,求l的斜率.

6.解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).

设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.

由|AB|＝10得cos2α＝38，tan α＝±153.所以l的斜率为153或－153.

7.(2016·全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cos α，y＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

7.解 (1)C1的普通方程为x23＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos α，sin α).

因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，

d(α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sinα＋π3－2.

当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为32，12.

8.(2015·广东，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，则点A到直线l的距离为________.

8.522 [依题已知直线l：2ρsinθ－π4＝2和点A22，7π4可化为l：x-y+1＝0和A(2,-2)，所以点A到直线l的距离为d＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522.]

9.(2015·北京，11)在极坐标系中，点2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________.

9.1 [在平面直角坐标系下,点2，π3化为(1,3),直线方程为：x＋3y＝6,∴点(1,3)到直线的距离为d＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1.]

10.(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值是________.

10.6 [由ρ＝8sin θ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝π3得y＝3x，即3x－y＝0，∴圆心(0,4)到直线y＝3x的距离为2,圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6.]

11.(2015·重庆，15)已知直线l的参数方程为 x＝－1＋t，y＝1＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________.

11.(2,π) [直线l的直角坐标方程为y＝x＋2,由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4,直角坐标方程为x2－y2＝4,把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2,因此交点为(-2，0),其极坐标为(2,π).]

12.(2015·江苏，21)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρsinθ－π4－4＝0，求圆C的半径.

12.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ22sin θ－22cos θ－4＝0，

化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为6.

13.(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy中,直线C1：x＝－2,圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.

13.解 (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，

C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,得ρ2－32ρ＋4＝0,解得ρ1＝22,ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2,即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，

所以△C2MN的面积为12.

14.(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 x＝1＋3cos t，y＝－2＋3sin t(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2ρsinθ－π4＝m(m∈R).

①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.

14.解 ①消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.

由2ρsinθ－π4＝m，得ρsin θ－ρcos θ－m＝0.

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.

②依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－（－2）＋m|2＝2，解得m＝－3±22.

15.(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l： x＝5＋32t，y＝3＋12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值.

15.解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①

将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②

(2)将x＝5＋32t，y＝3＋12t代入②式，得t2＋53t＋18＝0.

设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.

16.(2014·湖北，16)已知曲线C1的参数方程是 x＝t，y＝3t3(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.则C1与C2交点的直角坐标为________.

16.(3，1) [曲线C1为射线y＝33x(x≥0).曲线C2为圆x2＋y2＝4.设P为C1与C2的交点,如图,作PQ垂直x轴于点Q.

因为tan∠POQ＝33，所以∠POQ＝30°，又∵OP＝2，所以C1与C2的交点P的直角坐标为(3，1).]

17.(2014·重庆，15)已知直线l的参数方程为 x＝2＋t，y＝3＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.

17.5 [直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1，2).故该点的极径ρ＝x2＋y2＝5.]