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数列求和、数列的综合应用练习题

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数列求和、数列的综合应用练习题

1.数列20,,2,,2101akaak共十项，且其和为240，则101aaak的值为 （ ）

A.31 B.120 C.130 D.185

2. 已知正数等差数列}{na的前20项的和为100，那么147aa的最大值是 （ ）

A.25 B.50 C.100 D.不存在

3. 设函数xxfmlog)(（0m，且1m），数列}{na的公比是m的等比数列，若8)(200931aaaf，则)()()(220102221afafaf的值等于 （ ）

A.-1974 B.-1990 C.2022 D.2042

4. 设等差数列}{na的公差0d，又921,,aaa成等比数列，则1042931aaaaaa .

5. 已知二次函数xxxf23)(2，数列}{na的前n项和为ns，点（nsn,）（*n）在函数)(xfy的图像上.

（1）球数列}{na的通项公式；

（2）设13nnnaab，nT是数列}{nb的前n项和，求使20mTn对所有*n都成立的最小正整数m.

6.（2014广东湛江模拟）已知数列}{na各项均为正，其前n项和为ns，且满足

2)1(4nnaS.

（1）求}{na的通项公式；

（2）设11nnnaab，求数列}{nb的前n项和nT及nT的最小值.

7. （2014安徽，18，12分）数列}{na满足)1()1(,111nnannaann，*n.

（1）证明：数列nan是等差数列；

（2）设nnnab3，求数列}{nb的前n项和为ns.

8. （2014湖北，19，12分）已知等差数列}{na满足：21a，且521,,aaa成等比数列.

（1）求数列}{na的通项公式；

（2）记nS为数列}{na的前n项和，是否存在正整数n，使得80060nSn？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

9. （2014湖南师大附中第二次月考，19）甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为a万元. 由于经营方式不同，甲超市前n（*n）年的总销售额为)2(22nna万元；从第二年起，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多an132万元.

（1）设甲、乙两超市第n年的销售额分别是nnba,，求nnba,的表达式；

（2）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一个超市的年销售额的50%，则该超市将于当年年底被另一家超市收购. 问：在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年年底被收购；若不能，请说明理由.

10. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.

（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为na万元，旅游业总收入为nb万元，写出na，nb的表达式；

（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

11. （2014四川，19，12分）设等差数列}{na的公差为d，点),(nnba在函数xxf2)(的图像上（*n）.

（1）证明：数列}{nb为等比数列；

（2）若11a，函数)(xf的图像在点),(22ba处的切线在x轴上的截距为2ln12，求数列}{2nnba的前n项和nS.

12. （2014江西上饶六校第二次联考，18）已知等差数列}{na的前n项和为nS，且15,252Sa，数列}{nb满足211b，nnbnnb211.

（1）求数列}{},{nnba的通项公式；

（2）记nT为数列}{nb的前n项和，2)2(2)(nTSnfnn，试问)(nf否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在请说明理由．

13.（2012四川，12,5分）设函数3()(3)1fxxx，数列{}na是公差不为0的等差数列，127()()()14fafafa，则127aaa（ ）

A.0 B.7 C.14 D.21

14.（2012山东,20,12分）已知等差数列{}na的前5项和为105，且2052aa.

（1）求数列{}na的通项公式；

（2）对任意*mN，将数列{}na中不大于27m的项的个数记为mb.求数列{}mb的前m项和mS.

15.（2013课标全国Ⅱ，17,12）已知等差数列na的公差不为零,251a,且13111,,aaa成等比数列.

（1）求na的通项公式；

（2）求14732naaaa.

16. （2014广东，19，14分）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，且nS满足222*330,nnSnnSnnnN.

（1）求1a的值；

（2）求数列na的通项公式；

（3）求证：对一切正整数n，有112211111113nnaaaaaa.

17.（2013山东,20,12分）设等差数列的前项和为,且

,

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足 ,求的前项和.

18. （2014安徽，12，5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边22BC，过点A作BC的垂线，垂足为1A；过点1A作AC的垂线，垂足为2A；过点2A作1AC的垂线，垂足为3A；…，以此类推，设1BAa，12AAa，123AAa，…，567AAa，则7a________.

19.（2014课标Ⅰ,17,12分）已知是}{na递增的等差数列，42,aa是方程0652xx的根． （1）求}{na的通项公式；

（2）求数列nna2的前n项和．

20. （2014湖南，21，13分）已知函数)0(1sincos)(xxxxxf.

（1）求)(xf的单调区间；

（2）记ix为)(xf的从小到大的第i（*i）个零点，证明：对一切*n，有3211122221nxxx.

21. （2014山东，19，12分）在等差数列na中，已知公差2d，2a是1a与4a的等比中项.

（1）求数列na的通项公式；

（2）设12nnnba，记12341nnnTbbbbb…，求nT.

22.（2013重庆，16,13分）设数列na满足:11a,13nnaa,nN.

（1）求na的通项公式及前n项和nS；

（2）已知nb是等差数列,nT为前n项和,且12ba,3123baaa,求20T.

23.（2013湖南,19,13分）设nS为数列{na}的前n项和,已知01a，nnSSaa11，

*n

（1）求1a,2a,并求数列{na}的通项公式；

（2）求数列{nna}的前n项和.

24.（2012安徽，21,13分）设函数）（xf=2x+xsin的所有正的极小值点从小到大排成的数列为}{nx.

（1）求数列}{nx的通项公式；

（2）设}{nx的前n项和为nS，求nSsin.

选择是难，更何况是心灵选择。高渐离为了荆轲，他选择了死；马本斋母亲为了革命，她选择了牺牲；祝英台为了真挚爱情，她选择了化蝶。在这友情、亲情与爱情之间选择，他们是这样做

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数列应用题

数列应用题

数列应用题

1. 已知数列{}na是等差数列，且11233,15aaaa.

求：（1）数列{}na的通项公式；

（2）数列11nnaa的前n项和.

2. 求和

（1）1111123;2482nnSn

（2）21135(21)nnSaana.

3. 已知数列{}na的前n项和，22nSnn.

求：（1）数列{}na的通项公式；

（2）数列{}na的第6项到第10项的和.

4. 有四个数，其中前三个成等差数列，后三个数成等比数列，并且，第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求着四个数.

5. 某商场11月份销售额为32万元，因临近春节商场决定采用新的促销策略，结果三个月后，月销售额增加到108万元，问该商场三个月的平均销售额增长率为多少？

6. 用分期付款的方式购买价格为11500元的电脑，如果购买时先付1500，以后每月付500元加上欠款的利息，若月利率为1%，那么等第10个月该付多少钱？全部货款付清后，买这台电脑实际花了多少钱？

7. 一张纸片，第一次将其撕成4小片，以后每次将其中的一片撕成更小的4片，如此进行下去，请问：

（1）撕5次，共可得多少张纸片？

（2）撕得22张纸片，共需要撕几次？

（3）能否将纸片撕成2012片？请说明判断理由。

8. 某家庭打算用10年时间储蓄20万，购置一套商品房，为此每年需存入额数相同的专款，若年利率为4%，按复利计算，问每年应存入银行多少钱？

9. 某企业利用银行无息贷款，投资400万元引进一条高科技生产流水线，预计每年可获产品毛利润100万元，但还需用于此流水线的保养，维修费用，第一年10万元，以后每年递增5万元，问至少几年可以收回该项投资？

10. 有一批影碟机（VCD），原售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售。甲商场用如下方法促销：买一台单价为78元，买两台单价为760元，以此类推，没多买一台则所买各台单价均减少20元，但每台最少不低于440.乙商场一律都按原价的75%销售。某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商场购买化肥较少？

数列求和讲义及练习题

数列求和讲义及练习题

1 数列求和

数列求和这类问题在初中、高中乃至大学的课本里都占有一定的比例，我们在小学学习数列求和问题的目的旨在发散思维，断炼学生观察事物的能力，通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律。

【知识要点】

数列：若干个数排成一列称为数列。

项：数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

特殊的数列——等差数列：数列中任意相邻两项的差相当

公差：等差数列中相邻两项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差

项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

【例题讲解及思维拓展训练题】

例1：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？

分析：这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项

列表分析找规律：

项数 1 2 3 4 5 …… n

和第一项的差 0 4 8 12 16 …… （n-1）×4

每一项的计算 3 3+1×4 3+2×4 3+3×4 3+4×4 …… 3+（n-1）×4

解：第100项=3+（100－1）×4=399.

总结：通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差

思维拓展训练一：

1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？

2.求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

2 3.求等差数列2，6，10，14……的第100项。

例2：有一个数列：4，10，16，22，…，52.这个数列共有多少项？

分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.

总结例1：要求一列数有多少项，可以先求出末项比首项多的公差的个数，再加1.

解：项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

总结：项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

思维拓展训练二：

1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？

数列求和及综合应用教案

数列求和及综合应用教案

1 教育学院第_____期 学员 _______班教案

课 题 《数列求和及综合应用》

授课时间 80min 执 教 人 沈荣春

教材和学情分析

教材分析 《数列》一章是高考数学中的重中之重，高考中主要注重等差、等比数列的求和公式；对非等差、非等比数列求和的考察；以递推关系为背景，考察数列的通项及前n项和；数列与不等式、函数、数学归纳法的交汇。

学生分析 数列求和及综合应用是难度比较大的一节，学生对构造新数列比较难理解，因此在授课过程中要注重几种求通项、求和方法的归纳总结。

教学目标 1、 知识与技能：掌握等差数列、等比数列的前n项和的公式及其求导过程，会运用前n项和公式解决问题。

2、 过程与方法:通过等差数列、等比数列的前n项和公式的推导，使学生掌握“非等差、非等比“数列求和的几种常见方法，体验特殊到一般的研究方法。

3、 情感态度与价值观：通过问题的提出，激发学生的探索欲和创新精神，并能从实际情形中运用数列知识解决实际问题。

教学重点 1、 掌握等差数列、等比数列的前n项和的公式，会运用前n项和公式解决问题；

教学难点 等差数列、等比数列的前n项和公式的推导方法及应用；非等差、非等比数列求和的几种常见方法的应用。

教具准备 粉笔、黑板刷、ppt

教学主要过程和内容

教学流程 教学内容 学生活动 教具使用 教学用时 目标检核

2 引人入胜 1、世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

右图为示意图

2、高斯的故事：

高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：

1＋2＋3＋„+100＝？

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

（1＋100）＋（2＋99）＋„„＋（50＋51）＝101×50＝5050.

高二数学数列求和试题答案及解析

高二数学数列求和试题答案及解析

高二数学数列求和试题答案及解析

1. 数列的通项，其前项和为，则为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，注意到数列的周期为3，并且

【考点】1．三角恒等变换；2．数列求和

2. 设等比数列都在函数的图象上。

（1）求r的值；

（2）当；

（3）若对一切的正整数n，总有的取值范围。

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）由已知可得，

当时，

是等比数列， 4分

（2）由（1）可知，

8分

（3）

递增，当时，取最小值为

所以一切的 12分 【考点】数列求通项求和

点评：数列求和采用的错位相减法，此法适用于通项公式为关于n的一次式与指数式的乘积形式的数列，第三问不等式恒成立转化为求数列前n项和的最值，期间借助了数列的单调性

3. 在数列{an}中，，试猜想这个数列的通项公式。

【答案】

【解析】因为，，所以，。

【考点】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的通项公式。

点评：简单题，考察数列要从多方面入手，如本题中，通过研究的特征，利用等差数列的知识，使问题得解。

4. 对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列

的前项和的公式是 【答案】 【解析】因为y'|x=2=-2n-1（n+2），所以，切线方程为：y+2n=-2n-1（n+2）（x-2）， 令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0=（n+1）2n， 所以，则数列{}的前n项和Sn=。 【考点】本题主要考查导数的几何意义，直线方程，等比数列的求和公式。

点评：中档题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值。最终转化成等比数列的求和问题。

5. 在数列中，=1，，其中实数.

（I） 求；

（Ⅱ）猜想的通项公式, 并证明你的猜想.

【答案】（Ⅰ）

(Ⅱ） 猜想： 应用数学归纳法证明。

【解析】（Ⅰ）由

6分

(Ⅱ） 猜想：