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数列求和练习题(含答案)

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5

2．(教材改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5等于( )

A．1

B.56

C.16 D.130

B [∵an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，

∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.]

3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于( )

A．9 B．18

C．36 D．72

B [∵a2·a8＝4a5，即a25＝4a5，∴a5＝4，

∴a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2，

∴S9＝9b5＝18，故选B.]

已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．

[解] (1)由已知得 2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d＝20，10a1＋10×92d＝10a1＋45d＝100，

解得 a1＝1，d＝2，3分

所以数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1.5分

(2)bn＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，8分

所以Tn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1

5 ＝121－12n＋1＝n2n＋1.12分

已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝2nnaa，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1.

∵S3＝6，S5＝15，

∴ 3a1＋12×3×3－1d＝6，5a1＋12×5×5－1d＝15，即 a1＋d＝2，a1＋2d＝3，

解得 a1＝1，d＝1.3分

∴{an}的通项公式为an ＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.5分

(2)由(1)得bn＝an2an＝n2n，6分

∴Tn＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n，①

①式两边同乘12， 得

12Tn＝122＋223＋324＋…＋n－12n＋n2n＋1，②

①－②得12Tn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1

＝121－12n1－12－n2n＋1＝1－12n－n2n＋1，10分

∴Tn＝2－12n－1－n2n.12分

5 一、选择题

1．数列112，314，518，7116，…，(2n－1)＋12n，…的前n项和Sn的值等于( )

【导学号：31222189】

A．n2＋1－12n B．2n2－n＋1－12n

C．n2＋1－12n－1 D．n2－n＋1－12n

A [该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋12n，

则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋12＋122＋…＋12n

＝n2＋1－12n.]

2．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为( )

A．100 B．110

C．120 D．130

C [{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.]

3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )

A．192里 B．96里

C．48里 D．24里

B [由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为12的等比数列，则a11－1261－12＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.]

5 6．设数列{an }的前n项和为Sn，且an＝sinnπ2，n∈N*，则S2 016＝__________.

0 [an＝sinnπ2，n∈N*，显然每连续四项的和为0.

S2 016＝S4×504＝0.]

9．已知数列{an}中，a1＝1，又数列2nan(n∈N*)是公差为1的等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

[解] (1)∵数列2nan是首项为2，公差为1的等差数列，

∴2nan＝2＋(n－1)＝n＋1，3分

解得an＝2nn＋1.5分

(2)∵an＝2nn＋1＝21n－1n＋1，

∴Sn＝21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1

＝21－1n＋1＝2nn＋1.12分

3．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解] (1)当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3得an＝2Sn－1＋3，

两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，

∴an＋1＝3an，∴an＋1an＝3.

当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则a2a1＝3.3分

∴数列{an}是以a1＝3为首项，公比为3的等比数列．

∴an＝3×3n－1＝3n.5分

(2)法一：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n，7分 5 ∴Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，①

3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)·3n＋1，②

①－②得－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)·3n＋1

＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1

＝3＋2×321－3n－11－3－(2n－1)·3n＋1

＝－6－(2n－2)·3n＋1.10分

∴Tn＝(n－1)·3n＋1＋3.12分

法二：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n.7分

∵(2n－1)·3n＝(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n，

∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n]

＝(n－1)·3n＋1＋3.12分

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数列练习题(含答案)

数列练习题(含答案)

1 数列测试题（答案在底部）

(本测试共18题,满分100分,时间80分钟)

日期 姓名 得分

一、填空题:(共十小题,每题4分,共40分)

1. 数列{na}的通项公式是41nan，ns为前几项和，若数列nst为等差数列，则实数t=__________.

2.。的等比中项为和_______27log4log89

3．223233(33)(333)(3333)_____________nnnSS已知，则。

4.在等差数列na中，当()rsaars时，na必定是常数数列，然而在等比数列na中，对某些正整数r、s (rs)时，当rsaa时，数列na不是常数列的一个例子是__________________________________________________。

5. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列{na}是等和数列且1a=2，公和为5，那么这个数列的前n项和的计算公式为nS=__________________。

6.设数列{na}的通项公式是2nanc（c是常数），且246810230,aaaaa则{na}的前n项和的最小值为_________.

7．数列2,5,11,20，x,47,…中x等于___________。

8.在100以内能被3整除但不能被7整除的所有自然数的和等于_________。

9.某流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时2个，记为02a，它们按以下规律进行分裂，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，,3小时后分裂成10个并死去1个，……记n小时后细胞的个数为na,则na=___________(用n表示)。

小学奥数 数列求和 巧妙求和 含答案

小学奥数 数列求和 巧妙求和 含答案

第16讲 巧妙求和

一、知识要点

某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

二、精讲精练

【例题1】 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？

【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：

（30＋60）×11÷2=495（页）

想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？

练习1：

1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？

2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？

3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？

【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？

【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。

练习2：

1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？

数列求和讲义及练习题

数列求和讲义及练习题

1 数列求和

数列求和这类问题在初中、高中乃至大学的课本里都占有一定的比例，我们在小学学习数列求和问题的目的旨在发散思维，断炼学生观察事物的能力，通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律。

【知识要点】

数列：若干个数排成一列称为数列。

项：数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

特殊的数列——等差数列：数列中任意相邻两项的差相当

公差：等差数列中相邻两项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差

项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

【例题讲解及思维拓展训练题】

例1：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？

分析：这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项

列表分析找规律：

项数 1 2 3 4 5 …… n

和第一项的差 0 4 8 12 16 …… （n-1）×4

每一项的计算 3 3+1×4 3+2×4 3+3×4 3+4×4 …… 3+（n-1）×4

解：第100项=3+（100－1）×4=399.

总结：通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差

思维拓展训练一：

1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？

2.求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

2 3.求等差数列2，6，10，14……的第100项。

例2：有一个数列：4，10，16，22，…，52.这个数列共有多少项？

分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.

总结例1：要求一列数有多少项，可以先求出末项比首项多的公差的个数，再加1.

解：项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

总结：项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

思维拓展训练二：

1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？

数列求和与求通项练习题

数列求和与求通项练习题

数列求和与求通项练习题

1.已知nS为等比数列{}na的前n项和，公比q=2，9977S，则3699_________aaa

2.等差数列{}na中，公差12d，且1359960aaaa，则123100________aaaa

3.等比数列1,21,22,23…中的第5项到第10项的和为____

4. 已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|=______

5.若11234(1),*nnSnnN，则173350____SSS

6.数列2211,12,122,,1222,n的前n项和1020nS，则n的最小值为______

7.已知数列{an}中，1130,*31nnnaaanNa，，则a20=____

8.求和1111,*12123123nNn

9.若数列{}na 通项(21)3,*nnannN，求此数列的前n项和nS

班级________姓名____________

10.求数列555,555555n个，，，的前n项和nS

11. 已知数列{an}中，11211,,241nnnaaaan求

12. 已知数列{an}中，11211,[1],(1)nnnaaaan求

13. 已知数列{an}中，111,23,nnnaaaa求

14.已知数列{an}中，1121,,21nnnnaaaaa求

15.设数列{}na的前n项和14122,*333nnnSanN，na求与nS

16. 已知数列{an}中，111511,(),632nnnnaaaa求

17. 已知数列{an}中，12211,1,32,*,nnnnaaaaanNa求