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精品 第三章随机过程作业
1. 设A、B是独立同分布的随机变量，求随机过程的均值函数、自相关函数和协方差函数。
2. 设是独立增量过程，且，方差函数为。记随机过程，、为常数，。
（1） 证明是独立增量随机过程；
（2） 求的方差函数和协方差函数。
3. 设随机过程，其中是相互独立的随机变量且均值为0、方差为1，求的协方差函数。
4. 设U是随机变量，随机过程.
(1) 是严平稳过程吗？为什么？
(2) 如果，证明：的自相关函数是常数。
5. 设随机过程,其中U与V独立同分布。
(1) 是平稳过程吗？为什么？
(2) 是严平稳过程吗？为什么？
6. 设随机变量的分布密度为, 令, 试求的一维概率分布密度及。
7. 若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令.
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试求：的一维分布函数
8. 设随机过程, 其中是相互独立的随机变量 , 且,
试求的均值与协方差函数 .
9. 设其中为常数 , 随机变量 ,
令 , 试求 :和。
10. 设有随机过程，并设x是一实数，定义另一个随机过程
试证的均值和自相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。
11. 设有随机过程,，其中为均匀分布于间的随机变量，即试证：
（1）自相关函数
（2）协相关函数
12. 质点在直线上作随机游动，即在时质点可以在轴上往右或往左作一个单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为，往左移动一个单位距离的概率为，即，且各次游动是相互统计独立的。经过n 次游动，质点所处的位置为。
（1）的均值；
（2）求的相关函数和自协方差函数和。.
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13. 设，其中服从上的均匀分布。试证
:
是宽平稳序列。
14. 设其中服从上的均匀分布. 试证 :既不是宽平稳也不是严平稳过程 .
15. 设随机过程和都不是平稳的，且其中和是均值为零的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证是平稳过程。
16. 设是均值为零的平稳随机过程。试证 :
第三章随机过程作业
1. 设A、B是独立同分布的随机变量，求随机过程的均值函数、自相关函数和协方差函数。
2. 设是独立增量过程，且，方差函数为。记随机过程，、为常数，。
（1） 证明是独立增量随机过程；
（2） 求的方差函数和协方差函数。
3. 设随机过程，其中是相互独立的随机变量且均值为0、方差为1，求的协方差函数。
4. 设U是随机变量，随机过程.
(1) 是严平稳过程吗为什么
(2) 如果，证明：的自相关函数是常数。
5. 设随机过程,其中U与V独立同分布。
(1) 是平稳过程吗为什么
(2) 是严平稳过程吗为什么
6. 设随机变量的分布密度为, 令,
试求的一维概率分布密度及。
7. 若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令
试求：的一维分布函数
8. 设随机过程, 其中是相互独立的随机变量 , 且,
试求的均值与协方差函数 .
9. 设其中为常数 ,
随机变量 , 令 , 试求 :和。
10. 设有随机过程，并设x是一实数，定义另一个随机过程
试证的均值和自相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。
11. 设有随机过程,，其中为均匀分布于间的随机变量，即试证：
（1）自相关函数
（2）协相关函数
12. 质点在直线上作随机游动，即在时质点可以在轴上往右或往左作一个单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为，往左移动一个单位距离的概率为，即，且各次游动是相互统计独立的。经过n 次游动，质点所处的位置为。
（1）的均值；
（2）求的相关函数和自协方差函数和。
13. 设，其中服从上的均匀分布。试证 :
是宽平稳序列。
14. 设其中服从上的均匀分布. 试证 :既不是宽平稳也不是严平稳过程 .
15. 设随机过程和都不是平稳的，且其中和是均值为零的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证是平稳过程。
16. 设是均值为零的平稳随机过程。试证 :
（2009年）随机过程理论试题
学号 姓名 成绩
一. 填空(40分)
1. 设(,,)PF是随机试验E的概率空间，()是定义在它上面的一个随机变量，(,,)RPB是()的导出概率空间，则其中P是定义在 上的概率测度；P是定义在 上的概率测度。
2. 若已知,( )HXHtX且0··()ttlimXtX，则在内积空间中等价地有 ；在距离空间中等价地有 .
3. 设(), 1,2,,()iiNt是一独立同分布的随机变量序列，2()~(,)iN，()Nt是服从参数为的Poisson过程，且()Nt与()i相互独立，记随机和()1()()NtiiXt，则()Xt的矩母函数,()Xgt ；{()}EXt ；{()}DXt .
4. 记(), 0wtt是Wiener过程，则22()twt的Ito微分22(())dtwt .
5. 设, 0,1,2,nXn是不可约、有限状态空间的Markov链，且其一步状态转移矩阵的对角元素均大于零，则该Markov链的状态特性是 .
6. 设某汽车站乘客以平均每分钟4人到达的速率来到车站候车，车站以12分钟发放一辆班车运送顾客，为了提高服务质量，将乘客的人均等车时间缩短2分钟，此时车站应该至少 分钟发送一班车.
二.(15分) 一袋中有相同5只小球，其中3只红球，2只白球，红球上记数1，白球上记数2，随机试验E：随机地从袋中不放回地连续摸出2只小球，观察所摸到的小球情况。
1. 给出随机试验E的概率空间(,,)PF.
2. 记()为所摸出的小球上所记数字之和，试给出()的概率分布律和分布函数。
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精品 第三章 随机过程
A简答题：
3-1 写出一维随机变量函数的均值、二维随机变量函数的联合概率密度（雅克比行列式）的定义式。
3-2 写出广义平稳（即宽平稳）随机过程的判断条件，写出各态历经随机过程的判断条件。
3-3 平稳随机过程的自相关函数有哪些性质？功率谱密度有哪些性质？自相关函数与功率谱密度之间有什么关系？
3-4 高斯过程主要有哪些性质?
3-5 随机过程通过线性系统时，输出与输入功率谱密度之间的关系如何？
3-6 写出窄带随机过程的两种表达式。
3-7 窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何？
3-8 窄带高斯过程的包络、正弦波加窄带高斯噪声的合成包络分别服从什么分布？
3-9 写出高斯白噪声的功率谱密度和自相关函数的表达式，并分别解释“高斯”及“白”的含义。
3-10 写出带限高斯白噪声功率的计算式。
B计算题：
一、补充习题
3-1 设()()cos(2)cytxtft，其中()xt与统计独立，()xt为0均值的平稳随机过程，自相关函数与功率谱密度分别为：(),()xxRP。
①若在（0，2π）均匀分布，求y()t的均值，自相关函数和功率谱密度。
②若为常数，求y()t的均值，自相关函数和功率谱密度。
3-2 已知()nt是均值为0的白噪声，其双边功率谱密度为：0()2NP双，通过下图()a所示的相干解调器。图中窄带滤波器（中心频率为c）和低通滤波器的传递函数1()H及2()H示于图()b，图()c。
图()a cosct ()pnt ()int
()nt 信道
1()H 2()H0()nt .
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试求：①图中()int（窄带噪声）、()pnt及0()nt的噪声功率谱。
②给出0()nt的噪声自相关函数及其噪声功率值。
3-3 设()int为窄带高斯平稳随机过程，其均值为0，方差为2n，信号[cos()]ciAtnt经过下图所示电路后输出为()yt，()()()ytutvt，其中()ut是与coscAt对应的函数，()vt是与()int对应的输出。假设()cnt及()snt的带宽等于低通滤波器的通频带。
