第3章 随机过程及答案

随机过程习题和答案

一、设二维随机变量 ( , ) 的结合概率密度函数为：

试求:在 时,求 。

解：

当

时，

＝

＝

设失散型随机变量 X 听从几何散布：

试求 的特点函数，并以此求其希望 与方差 。

解： 随机过程习题和答案

因此：

袋中有一个白球，两个 红球，每隔单位时间从 袋中 任取一球后放回， 对每

一个确立的 t对应随机变量

t 假如对 t时获得红球 X (t )3

et 假如对 t时获得白球

试求这个随机过程的一 维散布函数族 .

设随机过程 ，此中 是常数， 与 是相

互独立的随机变量， 听从区间 上的均匀散布， 听从瑞利散布，其概率

密度为

试证明 为宽安稳过程。

解：（ 1）

与 没关 随机过程习题和答案

（ 2）

，

因此

（ 3）

只与时间间隔有关，因此 为宽安稳过程。

设随机过程 X (t ) U cos2t，此中 U 是随机变量，且 E(U ) 5， D (U ) 5.求：

（1）均值函数；（ 2）协方差函数；（ 3）方差函数 .

设有两个随机过程 X (t ) Ut 2， Y(t ) Ut 3 ,此中 U 是 随机变量，且 D (U ) 5.

试求它们的互协方差函 数。

设 A, B是两个随机变量 , 试求随机过程 X (t) At 3B，t T ( , )的均值

函数和自有关函数 .若 A, B互相独 立, 且 A ~ N (1,4), B ~ U (0,2), 则 mX (t)及 RX (t1, t2 )

为多少？ 随机过程习题和答案

一队学生按序等候体检。 设每人体检所需的时间听从均值为 2 分钟的

指数散布而且与其余人所需时间互相独立， 则 1 小时内均匀有多

少学生接受过体检在这 1 小时内最多有 40 名学生接受过体检的

概率是多少（设学生特别多，医生不会安闲）

解：令 N (t) 表示 (0, t) 时间内的体检人数，则 N (t ) 为参数为 30 的

西 南 交 通 大 学

本科生考试试卷B

课程名称 随 机 过 程

二零零三年二零零四年第一学期 考试日期

班级 学号 姓名 成绩

一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时间也是随机的若令为t时刻的队长)(tX即正在被服务的顾客和等待服务的顾客的总数目Y(t)为t时刻来到的顾客所需等待时间

}),({},),({TttYTttX∈∈是随机过程吗为什么

二试写出随机过程

),( ) sin()(+∞−∞∈Θ+=ttAtXω的任意两个样本函数并画出其图形 1若A是在(上均匀分布的随机变量)1 ,1−−ω在(0, 2π)上服从均匀分布

而Θ为常数 2若A服从上均匀分布)1 ,1(−Θ服从(0, 2π)上均匀分布而ω为常数

三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程每

位顾客订阅1年2年3年的概率分别为0.20.30.5彼此如何订阅是相互独立的每订阅一年店主即获利5元设Y(t)是[0, t)时段内店主从订阅中所获得总收入试求 1)]([tYE即[0, t)时段内总收入的平均收入 2)]([tYD

四在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出CC−,且对于任意的t

电路中电流X(t)具有概率分布

21

21)(

ipCCtX−

因电流的发送有一个任意的持续时间电流变换符号的时间是随机的设X(t)

在[0, t)内变量的次数N(t)为强度λ的泊松过程试讨论{的平稳

性}0),(≥ttX

五若每隔一分钟观察噪声电压以X(n)表示第n分钟观察噪声电压所得结果

则X(n)为一随机变量}1),({≥nnX为一随机过程此过程是马氏过程吗为什么

六一质点在圆周上作随机游动圆周上共有N格质点以概率p顺时针游动一格以概率逆时针移动一格pq−=1试用马氏链描述游动过程并确定状态空间及转移概率矩阵

七设一齐次马氏链的概率转移图如下图}0),({≥nnX且已知其初始分布为

第3章随机过程

1、随机过程的数字特征主要有哪些？它们分别表征随机过程的哪些特征？

答：均值：表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。

方差：表示随机过程在时刻t相对于均值a(t)的偏离程度。

相关函数：表示随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。

2、何谓严平稳？何谓广义平稳？它们之间的关系如何？

答：严平稳：随机过程δ(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关。

广义平稳：1）均值与t无关，为常数a。2）自相关函数只与时间间隔τ=t1-t2有关。

严平稳随机过程一定是广义平稳的，反之则不一定成立。

4、平稳过程的自相关函数有哪些性质？它与功率谱的关系如何？

答：自相关函数性质：

(1) R(0)=E[ξ2(t)]——ξ(t)的平均功率。

(2) R(τ)=R(-τ)——τ的偶函数。

(3) R(τ) ≤R(0) ——R(τ)的上界。

(4) R(∞)=E2[ξ(t)]=a2——ξ(t)的直流功率。

(5) R(0)- R(∞)=σ2——σ2为方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。

平稳过程的功率谱密度与其自相关函数是一对傅里叶变换关系：

Pξ(ω)= ?∞R(τ)e?jωτdτ

5、什么是高斯过程？其主要性质有哪些？

答：如果随机过程ξ(t)的任意n维分布服从正态分布，则成为高斯过程。

性质：(1)高斯过程的n维分布只依赖于均值，方差和归一化协方差。

(2)广义平稳的高斯过程是严平稳的。

(3)如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是同级独立的。

(4)高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高低过程。

8、窄带高斯过程的包络和相位分别服从什么概率分布？

答：包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。 9、窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何？

答：若该高斯过程平稳，则其同相分量和正交分量亦为平稳的高斯过程，方差相同，同一时刻的同相分量和正交分量互不相关或统计独立。

（2009年）随机过程理论试题

学号 姓名 成绩

一. 填空(40分)

1. 设(,,)PF是随机试验E的概率空间，()是定义在它上面的一个随机变量，(,,)RPB是()的导出概率空间，则其中P是定义在 上的概率测度；P是定义在 上的概率测度。

2. 若已知,( )HXHtX且0··()ttlimXtX，则在内积空间中等价地有 ；在距离空间中等价地有 .

3. 设(), 1,2,,()iiNt是一独立同分布的随机变量序列，2()~(,)iN，()Nt是服从参数为的Poisson过程，且()Nt与()i相互独立，记随机和()1()()NtiiXt，则()Xt的矩母函数,()Xgt ；{()}EXt ；{()}DXt .

4. 记(), 0wtt是Wiener过程，则22()twt的Ito微分22(())dtwt .

5. 设, 0,1,2,nXn是不可约、有限状态空间的Markov链，且其一步状态转移矩阵的对角元素均大于零，则该Markov链的状态特性是 .

6. 设某汽车站乘客以平均每分钟4人到达的速率来到车站候车，车站以12分钟发放一辆班车运送顾客，为了提高服务质量，将乘客的人均等车时间缩短2分钟，此时车站应该至少 分钟发送一班车.

二.(15分) 一袋中有相同5只小球，其中3只红球，2只白球，红球上记数1，白球上记数2，随机试验E：随机地从袋中不放回地连续摸出2只小球，观察所摸到的小球情况。

1. 给出随机试验E的概率空间(,,)PF.

2. 记()为所摸出的小球上所记数字之和，试给出()的概率分布律和分布函数。