数形结合知识点

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1 / 2 复数中的数形结合

因为复数ibaz与复平面上的点baZ,是一一对应的，体现了数与形上的对应，所以在复数中利用数形结合解某些问题不仅巧妙，而且也体现出一种数学之美．

知识点：设动点Z、定点1Z、2Z分别表示复数z、1z、2z所对应的点，则

⑴1zz的几何含义：点Z到点1Z的距离；

⑵rzz1表示以r为半径，点1Z为圆心的圆；

⑶21zzzz表示线段的垂直平分线，其中点1Z、2Z是线段的两个端点；

⑷azzzz221，当212ZZa时，表示线段1Z2Z；

当212ZZa时，表示以点1Z、2Z为焦点，a2为长轴长的椭圆；

上述几种曲线都可以结合⑴当中的1zz的几何含义来理解，比如，⑶中1zz表示点Z到点1Z的距离，2zz表示点Z到点2Z的距离，即点Z到点1Z的距离与到点2Z的距离相等，所以，点Z的轨迹是线段1Z2Z的垂直平分线．

下面举例说明数形结合的用法：

例1．若24i3z，则z的最大值为．

解析：由24i3z知，复数z对应点的轨迹为以2为半径，点431,Z为圆心的圆及其内部．所以，z的最大值为7251rOZ．

例2．如果复数z满足2iizz，那么1iz的最小值为

A．1 B．2 C．2 D．5

解析：由2iizz知，复数z对应的点的轨迹是线段AB，其中01，A，01,B．又1iz表示点1,1到线段AB的距离，故当iz时，11iinmz．

例3．复数z满足条件4i2zz，则z的最小值为．

解析：由4i2zz知，复数z对应点的轨迹为线段AB的垂直平分线，其中02，A，40,B，z即原点到垂直平分线上点的距离．故553zmin． word

2 / 2 例4．复数z满足2i2z，则2iz的取值X围是

A．25,21 B．27,23 C．221,1 D．221,2

六年级数学上册 8 数学广角--数与形 必备知识点

六年级数学上册中，“数学广角——数与形”是一个重要的单元，它主要探讨数与形之间的内在联系和相互转化。以下是该单元的必备知识点：

一、数与形结合的规律

1. 图形的对称性：

在探索数与形结合的规律时，要考虑图形的对称性，包括上下对称和左右对称。

2. 数的排列规律：

通过观察和分析，可以发现数与形之间存在一定的排列规律，这些规律可以通过数形结合、对应等方法来解决实际问题。

二、“式”的规律

1. 算式排列：

把一些算式排列在一起，可以从中发现它们之间的规律。

2. 探索“式”的要素：

在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索，如加数、被减数、乘数、除数等。

三、数列中的规律

1. 数列的定义： 按一定的次序排列的一列数，叫做数列。

2. 数列中的规律：

规律可能蕴涵在相邻两数的差或倍数中。

可以前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律。

有时需要将数列本身分解，通过对比来发现规律。

四、数与形的具体应用

1. 通过图形解决数的计算问题：

有些复杂的计算问题可以通过画图来简化，把数字、算式转化成图形，使复杂的问题简单化、抽象的问题直观化。

2. 从数到形的转化：

可以根据数的规律来画出对应的图形，从而更直观地理解数的性质。

3. 数与形的结合应用：

在实际应用中，经常需要将数与形结合起来，通过数形结合的思想方法来解决问题。

五、经典题型与解题技巧

1. 观察图形找规律：

通过观察和分析图形中的数的排列规律，可以找出解决问题的关键。

2. 利用规律进行计算：

在找到规律后，可以利用这些规律来进行计算，从而得出答案。

3. 数形结合解决问题：

在解决一些实际问题时，可以将数与形结合起来，通过数形结合的思想方法来找到问题的解决方案。

综上所述，“数学广角——数与形”单元涵盖了数与形结合的规律、“式”的规律、数列中的规律以及数与形的具体应用等知识点。在学习时，应注重理论与实践的结合，通过大量的练习来巩固所学内容，并学会运用数形结合的思想方法来解决实际问题。

专项突破　

数形结合　做题前，请参考本期文章　《戏说三角函数草图》　

１．函数　—ｃｏｓ　Ｓｔ：在区间［一兀，　］上为增函数，则ａ的取值范围是　２．在（Ｏ，２７【）内，使ｓｉｎ　ｘ＞ｃｏｓ　ｚ成立的ｚ的取值范围为——　３．关于ｚ的方程　ｓｉｎ（　＋　）一２　在ｚ∈［０，兀］内有相异二实　

根，则实数ｍ的取值范围是　．　４．已知　（ｚ）是定义在（－－３，３）上的奇函数，当Ｏ＜ｚ＜３时，厂（ｚ）　的图象如图所示，那么不等式ｆ（ｘ）ｃｏｓ　ｚ＜０的解集是　．　５．函数　—Ａｓｉｎ（ｃ　＋　）（叫＞ｏ，１　１＜号，ｚ∈Ｒ）的部分图　

象如图所示，则函数表达式为　．　６．ｓｉｎ孥，ｃｏｓ　，ｔ　ｎ　从小到大的顺序是　０　０　０　（第４题）　Ｊ，　４　……厂＼　

６　ｉ　

７．求不等式ｓｉｎｌｚｌ＞｝ＣＯＳ　ｚ｝在［一兀，７ｃ］上的解集．　（第５题）　

・　１７　・　（命题人：张居强）　皇　亘　

｛　茬　

盎　苣　

勘　ｌ　

啦　６．　—ｓｉｎ（２　一詈）一ｃｏｓ［（ｚｚ一号）一号］一ｃｏｓ（ｚ　一孥）．　

方法一：　ｙ￣ｃｏｓ，２７的图象右移警个单位，得　—ｃ。ｓ（ｚ￣一　２ｎ）的图象；横坐标再缩短到原来的专倍，　

得　＝ｃ。ｓ　２ｚ一孥）一ｓｉｎ（２　一号）的图象．　

方法二：将　＝ｃ。ｓ　的图象横坐标缩短到原来的专倍，得　—ｃ。ｓ　２ｘ的图象，再右移号个单位长度，　

得　＝ｃ。ｓ　２ｚ一警）一ｓｉｎ　２ｚ一号）的图象．　

７．将　：÷ｓｉｎ　２　图象向右平移１个单位长度得　：　１　ｓｉｎ　２（ｘ－１）＝丢ｓｉｎ（２ｘ一２）的图象，再将　

一吉ｓｉｎ（２ｚ一２）图象上各点的横坐标缩短到原来的专倍，樽　一　１　ｓｉｎ（４ｚ一２）的图象，故，（ｚ）一　

号ｓｉｎ（４ｚ一２）．　．　

专项突破理解周期性　１．因为函数，（　）是（一。。，＋ｃｘ３）上的偶函数，所以，（一２　０１５）　，（２　０１５），再由周期函数的定义知：　函数，（　）的周期为２，则ｆ（－－２　０１５）＋ｆ（２　０１６）　，（１）＋，（０）　１．　２．当ｘＥ　Ｅｏ，２］时，一　∈Ｅ一２，ｏ］，则布，（一　）一２ｘ＋１．又因为，（　）是偶函数，所以，（一ｚ）一，　），　，（ｚ）＝２ｘ＋１．　当ｘＥ［４，６］时，－－４＋ｘ￣［Ｏ，２］，所以可得，（－－４＋ｘ）一２（－－４＋ｘ）＋１＝２ｘ－－７，则，（ｚ）＝ｆ（４－－Ｘ）＝　，（－－４＋　）＝２ｘ－－７．　。　专项突破数形结合　

⾼中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）

数学好教师 2020-07-17

⼀

数形结合的三个原则

⼀

等价性原则

在数形结合时，代数性质和⼏何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．⾸先，由代数式、⽅程、不等式构造函数时⼀要注意变量(包括⾃变量和因变量)的取值范围。

⼆

双向性原则

既要进⾏⼏何直观分析，⼜要进⾏相应的代数抽象探求，直观的⼏何说明不能代替严谨的代数推理.另⼀⽅⾯，仅⽤直观分析，有时反倒使问题变得复杂，⽐如在⼆次曲线中的最值问题，有时使⽤三⾓换元，反倒简单轻松.

三

简单性原则

不要为了“数形结合”⽽数形结合．具体运⽤时，⼀要考虑是否可⾏和是否有利；⼆要选择好突破⼝，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运⽤函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定⼆次曲线．

⼆

数形结合的应⽤

⼀

利⽤数轴、韦恩图求集合

利⽤数形结合的思想解决集合问题，常⽤的⽅法有数轴法、韦恩图法等。当所给问题的数量关系⽐较复杂，不好找线索时，⽤韦恩图法能达到事半功倍的效果。

⼆

数形结合在解析⼏何中的应⽤

解析⼏何问题往往综合许多知识点，在知识⽹络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的⾓度把抽象的数学语⾔与直观的⼏何图形结合起来，达到研究、解决问题的⽬的.

构建解析⼏何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；

如果等式、代数式的结构蕴含着明显的⼏何特征，就要考虑⽤数形结合的⽅法来解题，即所谓的⼏何法求解，⽐较常见的对应有：

（⼀） 与斜率有关的问题

（⼆） 与距离有关的问题

三

数形结合在函数中的应⽤

（⼀） 利⽤数形结合解决与⽅程的根有关的问题

【点拨】【点拨】数形结合可⽤于解决⽅程的根的问题，准确合理地作出满⾜题意的图象是解决这类问题的前提.

（⼆） 利⽤数形结合解决函数的单调性问题

（三） 利⽤数形结合解决⽐较数值⼤⼩的问题

（四） 函数的最值问题

（五） 利⽤数形结合解决抽象函数问题

四

运⽤数形结合思想解不等式