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高中数学平面解析几何知识点梳理

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平面解析几何

一．直线部分

1．直线的倾斜角与斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.

倾斜角)180,0[,90斜率不存在.

（2）直线的斜率：tan),(211212kxxxxyyk．（111(,)Pxy、222(,)Pxy）.

2．直线方程的五种形式：

（1）点斜式：)(11xxkyy (直线l过点),(111yxP，且斜率为k)．

注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0xx．

（2）斜截式：bkxy (b为直线l在y轴上的截距).

（3）两点式：121121xxxxyyyy (12yy，12xx).

注：① 不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

② 方程形式为：0))(())((112112xxyyyyxx时，方程可以表示任意直线．

（4）截距式：1byax （ba,分别为x轴y轴上的截距，且0,0ba）．

注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．

（5）一般式：0CByAx (其中A、B不同时为0)．

一般式化为斜截式：BCxBAy，即，直线的斜率：BAk．

注：（1）已知直线纵截距b，常设其方程为ykxb或0x．

已知直线横截距0x，常设其方程为0xmyx(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或0y．

已知直线过点00(,)xy，常设其方程为00()ykxxy或0xx．

（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．

3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.

（1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．直线的斜率为1或直线过原点．

（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．直线的斜率为1或直线过原点．

（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．直线的斜率为1或直线过原点．

4．两条直线的平行和垂直：

（1）若111:lykxb，222:lykxb

① 212121,//bbkkll； ② 12121llkk.

（2）若0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl，有

① 1221122121//CACABABAll且．② 0212121BBAAll．

5．平面两点距离公式：

(111(,)Pxy、222(,)Pxy)，22122121)()(yyxxPP．x轴上两点间距离：ABxxAB．

线段21PP的中点是),(00yxM，则22210210yyyxxx ． 6．点到直线的距离公式：

点),(00yxP到直线0CByAxl：的距离：2200BACByAxd．

7．两平行直线间的距离：

两条平行直线002211CByAxlCByAxl：，：距离：2221BACCd．

8．直线系方程：

（1）平行直线系方程：

① 直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．．

② 与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC．

③ 过点00(,)Pxy与直线:0lAxByC平行的直线可表示为：00()()0AxxByy．

（2）垂直直线系方程：

① 与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC．

② 过点00(,)Pxy与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为：00()()0BxxAyy．

（3）定点直线系方程：

① 经过定点000(,)Pxy的直线系方程为00()yykxx(除直线0xx),其中k是待定的系数．

② 经过定点000(,)Pxy的直线系方程为00()()0AxxByy,其中,AB是待定的系数．

（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111CyBxAlCyBxAl：，：交点的直线系方程为0)(222111CyBxACyBxA (除2l)，其中λ是待定的系数．

9．曲线1:(,)0Cfxy与2:(,)0Cgxy的交点坐标方程组(,)0(,)0fxygxy的解．

二．圆部分

10．圆的方程：

（1）圆的标准方程：222)()(rbyax（0r）．

（2）圆的一般方程：)04(02222FEDFEyDxyx．

（3）圆的直径式方程：

若),(),(2211yxByxA，，以线段AB为直径的圆的方程是：0))(())((2121yyyyxxxx．

注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(ED，FEDr42122．

（2）一般方程的特点：

① 2x和2y的系数相同且不为零；② 没有xy项； ③ 0422FED

（3）二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的等价条件是：

① 0CA； ② 0B； ③ 0422AFED．

11．圆的弦长的求法：

（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，

则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(rdl；

（2）代数法：设l的斜率为k，l与圆交点分别为),(),(2211yxByxA，，则||11||1||22BABAyykxxkAB

（其中|||,|2121yyxx的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解）

12．点与圆的位置关系：点),(00yxP与圆222)()(rbyax的位置关系有三种

①P在在圆外22020)()(rbyaxrd．

②P在在圆内22020)()(rbyaxrd．

③P在在圆上22020)()(rbyaxrd． 【P到圆心距离2200()()daxby】

13．直线与圆的位置关系： 直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种(22BACBbAad):

圆心到直线距离为d，由直线和圆联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为．

0相离rd；0相切rd；0相交rd．

14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,OO，半径分别为21,rr，dOO21

条公切线外离421rrd； 无公切线内含21rrd；

条公切线外切321rrd；条公切线内切121rrd；

条公切线相交22121rrdrr．

15．圆系方程：)04(02222FEDFEyDxyx

（1）过直线0CByAxl：与圆C:022FEyDxyx的交点的圆系方程：0)(22CByAxFEyDxyx,λ是待定的系数．

（2）过圆1C:011122FyExDyx与圆2C:022222FyExDyx的交点的圆系方程：0)(2222211122FyExDyxFyExDyx,λ是待定的系数．

特别地，当1时，2222111222()0xyDxEyFxyDxEyF就是

121212()()()0DDxEEyFF表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．

16．圆的切线方程：

（1）过圆222ryx上的点),(00yxP的切线方程为:200ryyxx．

（2）过圆222)()(rbyax上的点),(00yxP的切线方程为:200))(())((rbybyaxax ．

（3）当点),(00yxP在圆外时，可设切方程为)(00xxkyy，利用圆心到直线距离等于半径，

即rd，求出k；或利用0，求出k．若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0xx．

17．把两圆011122FyExDyx与022222FyExDyx方程相减

即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121FFyEExDD ．

18．对称问题：

（1）中心对称：

① 点关于点对称：点),(11yxA关于),(00yxM的对称点)2,2(1010yyxxA．

② 直线关于点对称：

法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．

法2：求出一个对称点，在利用21//ll由点斜式得出直线方程．

（2）轴对称：

① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．

点 AA、关于直线l对称上中点在⊥lAAlAA

方程中点坐标满足·lAAkklAA 1 ．

② 直线关于直线对称：（设ba,关于l对称）

法1：若ba,相交，求出交点坐标，并在直线a上任取一点，求该点关于直线l的对称点．

若la//，则lb//，且ba,与l的距离相等．

法2：求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程．

（3）点(a, b)关于x轴对称：(a,- b)、关于y轴对称：(-a, b)、关于原点对称：(-a,- b)、

点(a, b)关于直线y=x对称：(b, a)、关于y=- x对称：(-b,- a)、

关于y = x +m对称：(b -m、a +m)、关于y=-x+m对称：(-b+m、- a+m) ．

19．若),(),(),(332211yxCyxByxA，，，则△ABC的重心G的坐标是33321321yyyxxx，．

20．各种角的范围：

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高中数学平面解析几何知识点总结

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何

一、直线与圆

1.斜率公式

2121yykxx（111(,)Pxy、222(,)Pxy）.

2.直线的五种方程

（1）点斜式 11()yykxx (直线l过点111(,)Pxy，且斜率为k)．

（2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

（3）两点式 112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)Pxy、222(,)Pxy (12xx)).

<

（4）截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、).

（5）一般式 0AxByC(其中A、B不同时为0).

3.两条直线的平行和垂直

(1)若111:lykxb，222:lykxb

①121212||,llkkbb;

②12121llkk.

(2)若1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,且A1、A2、B1、B2都不为零,

①11112222||ABCllABC；

<

②1212120llAABB；

4.点到直线的距离

0022||AxByCdAB(点00(,)Pxy,直线l：0AxByC).

5.圆的四种方程

（1）圆的标准方程 222()()xaybr.

（2）圆的一般方程 220xyDxEyF(224DEF＞0).圆心2,2ED，半径r=2422FED.

6.点与圆的位置关系

点00(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:

.

若2200()()daxby，则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

7.直线与圆的位置关系

直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:

0相离rd;

0相切rd;

0相交rd.

其中22BACBbAad.

高中数学解析几何知识点总结大全

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解析几何是高中数学的重要分支之一，通过运用代数和几何的方法来研究几何图形的性质和变换。下面是高中数学解析几何的知识点总结，供参考：

一、直线与平面的位置关系

1.直线与平面的交点个数：直线和平面可以有0个、1个或无数个交点。

2.平面与平面的位置关系：两个平面可以相交、平行或重合。

二、向量及其代数运算

1.向量的概念：向量是具有大小和方向的量。

2.向量的表示方法：向量可以用有向线段或坐标表示。

3.向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则。

4.向量的数乘：向量的数乘是一个向量与一个实数的乘积。

5.向量的数量积：向量的数量积是两个向量之间的乘积，结果是一个实数。

6.向量的乘法运算法则：分配律、结合律和交换律。

三、直线及其方程

1.平面直角坐标系：平面直角坐标系包括坐标轴、坐标原点和相应的正方向。

2.直线的方程：直线可以用一般式、点斜式、两点式或截距式表示。 3.直线的性质：平行、垂直、斜率、倾斜角等。

4.直线的位置关系：两条直线可以相交、平行或重合。

四、曲线及其方程

1.圆的方程：圆可以用标准方程、一般方程或截距方程表示。

2.椭圆、双曲线和抛物线的方程：椭圆、双曲线和抛物线可以用一般式表示。

3.曲线的性质：焦点、准线、离心率等概念的理解。

4.曲线的位置关系：两条曲线可以相交、相切或没有交点。

五、空间直线及其方程

1.空间直线的方程：空间直线可以用对称式、参数方程或直角坐标式表示。

2.空间直线的位置关系：两条空间直线可以相交、平行或重合。

3.空间直线与平面的位置关系：空间直线可以与平面相交、平行或测度为零。

六、空间曲线及其方程

1.空间曲线的方程：空间曲线可以用参数方程或直角坐标式表示。

2.空间曲线与平面的位置关系：空间曲线可以与平面相交、触及或完全包含。

七、立体图形 1.点、线、面、体的概念：点是没有长度、宽度和高度的，线是一系列相连的点，面是一系列相连的线，体是一系列相连的面。

高中数学平面解析几何知识点总结 2

高中数学平面解析几何知识点总结 2

高中数学平面解析几何知识点总结归纳

目录

第一部分 直线与方程知识点总结

第二部分 圆与方程知识点总结

第三部分 圆锥曲线知识点总结

1.椭圆知识点总结 2.双曲线知识点总结 3.抛物线知识点总结

第一部分 直线与方程知识点总结

一、直线的方程

1、倾斜角定义：直线与x轴正方向所成的角α,α∈[0,π）。

2、倾斜角的斜率：k=tanx(x≠90°)，tan是sin比cos。

（1）过点P1（X1，Y1），和点P2（X2，Y2）的直线斜率公式：k＝（y2-y1）÷（X2-X1）。

（2）已知直线的一般方程式Ax+By+C=0,则斜率k＝-A÷B（B≠0）。

3、直线方程的几种形式

斜截式：y=kx+b

一般方程式：Ax+By+C=0

点斜式：y-y₀=k(x-x0), 不能表示平行于y轴的直线

截距式：x/a+y/b=1（a≠0且b≠0)，不能表示过原点的直线

两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)

二、直线的特殊位置关系（以斜截式：y=kx+b举例）

直线L1与L2垂直，k1×k2＝-1

直线L1与L2平行，k1＝k2，b1≠b2

（垂直和平行这两种情况重点记）

直线L1与L2重合，k1＝k2，b1＝b2

直线L1与L2相交，k1≠k2

三、点与直线的公式

1.中点公式：中点坐标的横坐标=（x1+x2）/ 2，纵坐标＝（y1+y2）/ 2。

2.两点之间的距离公式：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

3.点到直线Ax+By+C＝0的距离d公式：

4.两条平行直线间的距离公式：若两直线分别为Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0，则距离为|C1-C2|/√ (A²+B²)。

第二部分 圆与方程知识点总结

一、圆的三种方程

（1）圆的标准方程公式：（x-a）²+（y-b）²=r²，圆心：（a，b)，半径：r。

（2）圆的一般方程公式：：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。圆心坐标是（-D/2，-E/2），半径：根号下(D平方+E平方-4F)的整体÷2。

高中平面几何知识总结

高中平面几何知识总结

平面几何

1.三角形

①平行线定理：

三条平行线截两条直线，截得对应线段成比例。

②三角形全等：

三边对应相等的三角形。(SSS边边边)

两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。(SAS边角边)

两角及其夹边对应相等的三角形全等。(ASA角边角)

两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。(AAS角角边)

在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。(HL斜边直角边)

③三角形相似：

两角对应相等，两个三角形相似。(AA)

两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。(SAS)

三边对应成比例，两个三角形相似。(SSS)

三边对应平行，两个三角形相似。

斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。(HL)

全等三角形相似。

④三角形定理：

三角形内角平分线定理：三角形内角平分线对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。

直角三角形的摄影定理：直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项。

2.圆

①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

②切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1 经过圆心且垂直于切线的直线经过切点。

推论2 经过圆心且垂直于切线的直线经过圆心。

切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等。

③弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它锁夹弧的度数的一半。

④切割线定理：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个焦点的线段长的比例中项。

推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积。

⑤相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

⑥圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。