高中数学必修二平面解析几何知识点梳理

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平面解析几何

1．直线的倾斜角与斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.

倾斜角)180,0[,90斜率不存在.

（2）直线的斜率：tan),(211212kxxxxyyk．（111(,)Pxy、222(,)Pxy）.

2．直线方程的五种形式：

（1）点斜式：)(11xxkyy (直线l过点),(111yxP，且斜率为k)．

注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0xx．

（2）斜截式：bkxy (b为直线l在y轴上的截距).

（3）两点式：121121xxxxyyyy (12yy，12xx).

注：① 不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

② 方程形式为：0))(())((112112xxyyyyxx时，方程可以表示任意直线．

（4）截距式：1byax （ba,分别为x轴y轴上的截距，且0,0ba）．

注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．

（5）一般式：0CByAx (其中A、B不同时为0)．

一般式化为斜截式：BCxBAy，即，直线的斜率：BAk．

注：（1）已知直线纵截距b，常设其方程为ykxb或0x．

已知直线横截距0x，常设其方程为0xmyx(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或0y．

已知直线过点00(,)xy，常设其方程为00()ykxxy或0xx．

（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．

3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.

（1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．直线的斜率为1或直线过原点．

（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．直线的斜率为1或直线过原点．

（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．直线的斜率为1或直线过原点．

4．两条直线的平行和垂直：

（1）若111:lykxb，222:lykxb

① 212121,//bbkkll； ② 12121llkk.

（2）若0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl，有

① 1221122121//CACABABAll且．② 0212121BBAAll．

5．平面两点距离公式：

(111(,)Pxy、222(,)Pxy)，22122121)()(yyxxPP．x轴上两点间距离：ABxxAB．线段21PP的中点是),(00yxM，则22210210yyyxxx ．

6．点到直线的距离公式：

点),(00yxP到直线0CByAxl：的距离：2200BACByAxd．

7．两平行直线间的距离：

两条平行直线002211CByAxlCByAxl：，：距离：2221BACCd．

8．直线系方程：

（1）平行直线系方程：

① 直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．．

② 与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC．

③ 过点00(,)Pxy与直线:0lAxByC平行的直线可表示为：00()()0AxxByy．

（2）垂直直线系方程：

① 与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC．

② 过点00(,)Pxy与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为：00()()0BxxAyy．

（3）定点直线系方程：

① 经过定点000(,)Pxy的直线系方程为00()yykxx(除直线0xx),其中k是待定的系数．

② 经过定点000(,)Pxy的直线系方程为00()()0AxxByy,其中,AB是待定的系数．

（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111CyBxAlCyBxAl：，：交点的直线系方程为0)(222111CyBxACyBxA (除2l)，其中λ是待定的系数．

9．曲线1:(,)0Cfxy与2:(,)0Cgxy的交点坐标方程组(,)0(,)0fxygxy的解．

10．圆的方程：

（1）圆的标准方程：222)()(rbyax（0r）．

（2）圆的一般方程：)04(02222FEDFEyDxyx．

（3）圆的直径式方程：

若),(),(2211yxByxA，，以线段AB为直径的圆的方程是：0))(())((2121yyyyxxxx．

注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(ED，FEDr42122．

（2）一般方程的特点：

① 2x和2y的系数相同且不为零；② 没有xy项； ③ 0422FED

（3）二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的等价条件是：

① 0CA； ② 0B； ③ 0422AFED．

11．圆的弦长的求法：

（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，

则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(rdl；

（2）代数法：设l的斜率为k，l与圆交点分别为),(),(2211yxByxA，，则||11||1||22BABAyykxxkAB

（其中|||,|2121yyxx的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解） 12．点与圆的位置关系：点),(00yxP与圆222)()(rbyax的位置关系有三种

①P在在圆外22020)()(rbyaxrd．

②P在在圆内22020)()(rbyaxrd．

③P在在圆上22020)()(rbyaxrd．【P到圆心距离2200()()daxby】

13．直线与圆的位置关系：

直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种(22BACBbAad):

圆心到直线距离为d，由直线和圆联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为．

0相离rd；0相切rd；0相交rd．

14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,OO，半径分别为21,rr，dOO21

条公切线外离421rrd；无公切线内含21rrd；

条公切线外切321rrd；条公切线内切121rrd；

条公切线相交22121rrdrr．

15．圆系方程：)04(02222FEDFEyDxyx

（1）过直线0CByAxl：与圆C:022FEyDxyx的交点的圆系方程：0)(22CByAxFEyDxyx,λ是待定的系数．

（2）过圆1C:011122FyExDyx与圆2C:022222FyExDyx的交点的圆系方程：0)(2222211122FyExDyxFyExDyx,λ是待定的系数．

特别地，当1时，2222111222()0xyDxEyFxyDxEyF就是

121212()()()0DDxEEyFF表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．

16．圆的切线方程：

（1）过圆222ryx上的点),(00yxP的切线方程为:200ryyxx．

（2）过圆222)()(rbyax上的点),(00yxP的切线方程为:200))(())((rbybyaxax ．

（3）当点),(00yxP在圆外时，可设切方程为)(00xxkyy，利用圆心到直线距离等于半径，

即rd，求出k；或利用0，求出k．若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0xx．

17．把两圆011122FyExDyx与022222FyExDyx方程相减

即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121FFyEExDD ．

18．对称问题：

（1）中心对称：

① 点关于点对称：点),(11yxA关于),(00yxM的对称点)2,2(1010yyxxA．

② 直线关于点对称：

法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．

法2：求出一个对称点，在利用21//ll由点斜式得出直线方程．

（2）轴对称：

① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．点 AA、关于直线l对称上中点在⊥lAAlAA

方程中点坐标满足·lAAkklAA 1 ．

② 直线关于直线对称：（设ba,关于l对称）

法1：若ba,相交，求出交点坐标，并在直线a上任取一点，求该点关于直线l的对称点．

若la//，则lb//，且ba,与l的距离相等．

法2：求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程．

（3）点(a, b)关于x轴对称：(a,- b)、关于y轴对称：(-a, b)、关于原点对称：(-a,- b)、

点(a, b)关于直线y=x对称：(b, a)、关于y=- x对称：(-b,- a)、

关于y = x +m对称：(b -m、a +m)、关于y=-x+m对称：(-b+m、- a+m) ．

19．若),(),(),(332211yxCyxByxA，，，则△ABC的重心G的坐标是33321321yyyxxx，．

20．各种角的范围：

直线的倾斜角 1800 两条相交直线的夹角 900

两条异面线所成的角 900

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平面解析几何

1．直线的倾斜角与斜率：

倾斜角)180,0[,90斜率不存在.

（2）直线的斜率：tan),(211212kxxxxyyk．（111(,)Pxy、222(,)Pxy）.

2．直线方程的五种形式：

（1）点斜式：)(11xxkyy (直线l过点),(111yxP，且斜率为k)．

注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0xx．

（2）斜截式：bkxy (b为直线l在y轴上的截距).

（3）两点式：121121xxxxyyyy (12yy，12xx).

注：① 不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

② 方程形式为：0))(())((112112xxyyyyxx时，方程可以表示任意直线．

（4）截距式：1byax （ba,分别为x轴y轴上的截距，且0,0ba）．

注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．

（5）一般式：0CByAx (其中A、B不同时为0)．

一般式化为斜截式：BCxBAy，即，直线的斜率：BAk．

注：（1）已知直线纵截距b，常设其方程为ykxb或0x．

已知直线横截距0x，常设其方程为0xmyx(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或0y．

已知直线过点00(,)xy，常设其方程为00()ykxxy或0xx．

（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何

一、直线与圆

1.斜率公式

2121yykxx（111(,)Pxy、222(,)Pxy）.

2.直线的五种方程

（1）点斜式 11()yykxx (直线l过点111(,)Pxy，且斜率为k)．

（2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

（3）两点式 112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)Pxy、222(,)Pxy (12xx)).

（4）截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、).

（5）一般式 0AxByC(其中A、B不同时为0).

3.两条直线的平行和垂直

(1)若111:lykxb，222:lykxb

①121212||,llkkbb;

②12121llkk.

(2)若1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,且A1、A2、B1、B2都不为零,

①11112222||ABCllABC；

②1212120llAABB；

4.点到直线的距离

0022||AxByCdAB(点00(,)Pxy,直线l：0AxByC).

5.圆的四种方程

（1）圆的标准方程 222()()xaybr.

（2）圆的一般方程 220xyDxEyF(224DEF＞0).圆心2,2ED，半径r=2422FED.

6.点与圆的位置关系

点00(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:

若2200()()daxby，则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

7.直线与圆的位置关系

直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:

0相离rd;

0相切rd;

0相交rd.

其中22BACBbAad.

高中数学解析几何知识点总结大全

解析几何是高中数学的重要分支之一，通过运用代数和几何的方法来研究几何图形的性质和变换。下面是高中数学解析几何的知识点总结，供参考：

一、直线与平面的位置关系

1.直线与平面的交点个数：直线和平面可以有0个、1个或无数个交点。

2.平面与平面的位置关系：两个平面可以相交、平行或重合。

二、向量及其代数运算

1.向量的概念：向量是具有大小和方向的量。

2.向量的表示方法：向量可以用有向线段或坐标表示。

3.向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则。

4.向量的数乘：向量的数乘是一个向量与一个实数的乘积。

5.向量的数量积：向量的数量积是两个向量之间的乘积，结果是一个实数。

6.向量的乘法运算法则：分配律、结合律和交换律。

三、直线及其方程

1.平面直角坐标系：平面直角坐标系包括坐标轴、坐标原点和相应的正方向。

2.直线的方程：直线可以用一般式、点斜式、两点式或截距式表示。 3.直线的性质：平行、垂直、斜率、倾斜角等。

4.直线的位置关系：两条直线可以相交、平行或重合。

四、曲线及其方程

1.圆的方程：圆可以用标准方程、一般方程或截距方程表示。

2.椭圆、双曲线和抛物线的方程：椭圆、双曲线和抛物线可以用一般式表示。

3.曲线的性质：焦点、准线、离心率等概念的理解。

4.曲线的位置关系：两条曲线可以相交、相切或没有交点。

五、空间直线及其方程

1.空间直线的方程：空间直线可以用对称式、参数方程或直角坐标式表示。

2.空间直线的位置关系：两条空间直线可以相交、平行或重合。

3.空间直线与平面的位置关系：空间直线可以与平面相交、平行或测度为零。

六、空间曲线及其方程

1.空间曲线的方程：空间曲线可以用参数方程或直角坐标式表示。

2.空间曲线与平面的位置关系：空间曲线可以与平面相交、触及或完全包含。

七、立体图形 1.点、线、面、体的概念：点是没有长度、宽度和高度的，线是一系列相连的点，面是一系列相连的线，体是一系列相连的面。

高中数学中的平面解析几何知识点总结

高中数学中的平面解析几何是一个重要的知识板块，它将代数与几何巧妙地结合在一起，为我们解决几何问题提供了全新的思路和方法。下面就让我们一起来详细梳理一下平面解析几何的相关知识点。

一、直线

1、直线的方程

点斜式：若直线过点\（（x_0,y_0)＼），斜率为\（k\），则直线方程为\（y y_0 ＝ k(x x_0)＼）。

斜截式：若直线斜率为\（k\），在\（y\）轴上的截距为\（b\），则直线方程为\（y ＝ kx ＋ b\）。

两点式：若直线过点\（（x_1,y_1)＼）和\（（x_2,y_2)＼），则直线方程为\（＼frac{y y_1}｛y_2 y_1} ＝＼frac{x x_1}｛x_2 x_1}＼）。

截距式：若直线在\（x\）轴、＼（y\）轴上的截距分别为\（a\）、＼（b\）（＼（a\neq 0\），＼（b\neq 0\）），则直线方程为\（＼frac{x}｛a} ＋＼frac{y}｛b} ＝ 1\）。

一般式：＼（Ax ＋ By ＋ C ＝ 0\）（＼（A\）、＼（B\）不同时为\（0\））。

2、直线的位置关系平行：两条直线\（y_1 ＝ k_1x ＋ b_1\）和\（y_2 ＝ k_2x ＋ b_2\）平行，当且仅当\（k_1 ＝ k_2\）且\（b_1 ＼neq b_2\）；对于一般式直线\（A_1x ＋ B_1y ＋ C_1 ＝ 0\）和\（A_2x ＋ B_2y ＋ C_2 ＝ 0\）平行，当且仅当\（A_1B_2 A_2B_1 ＝ 0\）且\（A_1C_2 A_2C_1 ＼neq

0\）。

垂直：两条直线\（y_1 ＝ k_1x ＋ b_1\）和\（y_2 ＝ k_2x ＋ b_2\）垂直，当且仅当\（k_1k_2 ＝－1\）；对于一般式直线\（A_1x ＋ B_1y

＋ C_1 ＝ 0\）和\（A_2x ＋ B_2y ＋ C_2 ＝ 0\）垂直，当且仅当\（A_1A_2 ＋ B_1B_2 ＝ 0\）。

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