高中数学知识点梳理平面向量与立体几何

第三章 空间向量与立体几何

一、坐标运算

111222,,,,,axyzbxyz

121212121212111121212,,,,,,,,abxxyyzzabxxyyzzaxyzabxxyyzz则

二、共线向量定理

,0,=.abbabab充要对于使

三、共面向量定理

,,.abpabxypxayb充要若与不共线，则与共面使

,,,1.OOPxOAyOBPABxy充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线

,1.PABCOOPxOAyOBzOCPABCxyz充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点

11,1.PABCAPxAByACOPOAxOBOAyOCOAOPxOByOCxyOAxyzxyz证明：①必要性、、、四点共面，，，，令

1,1,xyzOPyzOAyOBzOCOPOAyOBOAzOCOAAPyABzACABCP②充分性，，、、、四点共面.

六、空间向量基本定理

,,abcpxyzpxaybzcabcabc若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,,都叫做基向量.

七、立体几何中的向量方法

121212,,.nnllvv设平面和的法向量为和直线和的方向向量为

11121111121212121212nvlllnvlllvvllvvnnnn①或②若③④⑤⑥

八、角、距离

1异面直线的夹角，

coscos,ABCDABCDABCD则

2,线与面的夹角

sincosanan则

.

Word 文档 一、平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L

深化：1：若两相交平面有三个公共点，那么三点共线

2：若两平面相交，则一个平面直线与另一个平面的交点

必定在两个平面的交线上。

纳入平面：不共线三点均分别在两个平面，则两平面相等。

两直线均分别在两个平面，则两平面相等。

二、空间中直线与直线之间的位置关系

相交直线：同一平面，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面，没有公共点；

异面直线： 不同在任一个平面，没有公共点，既不相交，也不平行。

2 公理4（平行的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4异面直线判定定理：过平面外一点与平面一点的直线和平面不经过这点的直线是异面直线。 这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。

5 注意点：

（1）直线所成的角θ∈(0， ]。

（2）两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

（3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

三．线面平行

1判定定理：平面外一条直线与此平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2直线与平面的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 （由线面平行推线线平行）

第三章 空间向量与立体几何

一、坐标运算

111222,,,,,axyzbxyz

121212121212111121212,,,,,,,,abxxyyzzabxxyyzzaxyzabxxyyzz则

二、共线向量定理

,0,=.abbabab充要对于使

三、共面向量定理

,,.abpabxypxayb充要若与不共线，则与共面使

,,,1.OOPxOAyOBPABxy充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线

,1.PABCOOPxOAyOBzOCPABCxyz充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点

11,1.PABCAPxAByACOPOAxOBOAyOCOAOPxOByOCxyOAxyzxyz证明：①必要性、、、四点共面，，，，令

1,1,xyzOPyzOAyOBzOCOPOAyOBOAzOCOAAPyABzACABCP②充分性，，、、、四点共面.

六、空间向量基本定理

,,abcpxyzpxaybzcabcabc若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,,都叫做基向量.

七、立体几何中的向量方法

121212,,.nnllvv设平面和的法向量为和直线和的方向向量为

11121111121212121212nvlllnvlllvvllvvnnnn①或②若③④⑤⑥

八、角、距离

1异面直线的夹角，

coscos,ABCDABCDABCD则

2,线与面的夹角

sincosanan则

1 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

1．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)

2．会用待定系数法求平面的法向量．(难点)

3．平面法向量的设法．(易错点)

[基础²初探]

教材整理1 直线的方向向量

阅读教材P99上半部分，完成下列问题．

我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．

已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝________.

【解析】 AB→＝(－1,0,1)，由题意知，a∥AB→，则存在实数λ，使a＝λAB→，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即 2＝－λ，x＝λ，∴λ＝－2，x＝－2.

【答案】 －2

教材整理2 平面的法向量

阅读教材P99中间部分，完成下列问题．

如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．

1．平面α内一条直线l的方向向量为a＝(2,3，－1)，平面α的法向量为n＝(－1,1，m)，则m＝________.

【解析】 易知a²n＝0，即－2＋3－m＝0，解得m＝1. 2 【答案】 1

2．已知A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的法向量为________.

【导学号：09390079】

【解析】 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，

则 n²AB→＝z＝0，n²AC→＝－x＋y＋z＝0，

令x＝1，则y＝1，z＝0，

即n＝(1,1,0)，

则平面ABC的一个法向量为(1,1,0)．

【答案】 (1,1,0)(答案不惟一)

[质疑²手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

直线的方向向量及其应用

(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.