数值分析习题第四章

第四章 习题

1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

（1）hhhfAfAhfAdxxf1010；

（2）hhhfAfAhfAdxxf221010；

（3）3/3211121xfxffdxxf；

（4）hffahhffhdxxfh'0'2/020

解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即101AAA，，，将21xxxf，，分别代入求积公式，并令其左右相等，得

3112111013202hAAhAAhhAAA解得hAhAA3431011，。

所求公式至少具有2次代数精度。又由于

4443333333hhhhdxxhhhhdxxhhhh

故hhhfAfAhfAdxxf1010具有三次代数精度。

（2）求积公式中含有三个待定系数：101AAA，，，故令公式对21xxxf，，准确成立，得31121110131604hAAhAAhhAAA，解得hhhAhAhAA34316424381011，

故0343822hfhfhfhdxxfhh

因hhdxxf220

而03833hhh

又445562243831652hhhhhdxxhh 所以求积公式只具有三次代数精度。

（3）求积公式中韩两个待定常数21xx、，当令公式对1xf准确成立时，得到

32131211dx

此等式不含有待定量21xx、，无用，故需令公式对2xxxf，准确成立，即

112221211213213132321310xxdxxxxxdx

得132132222121xxxx

解上述方程组得

68990.012660.012xx或28990.052660.012xx

故有12660.0368990.0213111fffdxxf

或52660.0328990.0213111fffdxxf

将3xxf代入上已确定的求积公式中，

323111332131xxdxx

故求积公式具有2次代数精度。

（4）求积公式中只含有一个待定系数a，当xxf，1时，有

4001121hdx

4021102ahhhxdx

故令2xxf时，求积公式精确成立，即

4022420202hahhhdxx

解得121a

故有hffhhffhdxxfh'0'120220

将3xxf代入上述已确定的求积公式中，有 430120244223403hhhhhhdxxh

再另4xxf代入求积公式时有

3244034012024hhhhhdxxh

故求积公式具有3次代数精度。

2．分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分dxex10，并估计各种方法的误差（要求小数点后至少要保留5位）。

解：运用梯形公式，8591409.1211010eedxex

其误差

1408591.08591409.102265235.012101121103dxeeefRx实际误差为，,1

运用Simpson公式，7188612.1461121010eeedxex

其误差为00094385.02880128801eefR

运用Cotes公式，718282688.1732123277011432141010eeeeedxex

其误差为000001404.049452419451266eefR

3．推到下列三种矩形求积公式;

22224''22'2'abfbafabdxxfabfbfabdxxfabfafabdxxfbababa

解：将axxf在出Taylor展开，得

xaaxfafxf，,'，两边在ba,上积分，得 baabfafabdxaxfafabdxaxfafabdxaxfdxafdxxfbababababa，，2'21'''

将bxxf在处Taylor展开，得

bxfbfxf'，两边在ba,上积分，得

babbfafabdxbxfafabdxbxfbfabdxbxfdxafdxxfbababababa，，2'21'''

将2baxf在处Taylor展开，得

babaxfbaxbafbafxf，，2''2122'2

两边在ba，上积分，得

baabfbafabdxbaxfdxbaxbafbafabdxxfbababa，，32''24122''2122'2

4．用下列方法计算积分31ydy，并比较结果。

（1）Romberg方法；

（2）三点及五点Gauss公式；

（3）将积分区间分为四等分，用复化两点Gauss公式。

解：（1）用Romberg算法 lmmlkTTTlabiafabTTbfafabTmkmkmmkmilllll，，，；，，，，，，，，211044212122212111121100001

计算，计算结果如表4.1

表4.1

k kT0 kT1 kT2 kT3

0 1.333333 1.111111 1.099258 1.098630

1 1.166667 1.099999 1.098640

2 1.116666 1.098725

3 1.10

故

31098630.11dyy

（2）用三点及五点Gauss-Legendre求积公式，需先对求积区间[1，3]作如下变换，令

22121ttabbay

则当31，y时，11，t，且dtdy，

1131211dttdyy

三点Gauss公式

098039283.100.218888889.07745967.0217745967.0215555556.02111131dttdyy

五点Gauss公式

098609289.1215688889.05384693.0215384693.0214786289.09061798.0219061978.0212369269.02111131dttdyy（3）用复化的两点Gauss求积公式计算，需将[1，3]四等分，则 098537573.1]35.05.4135.05.4135.05.4135.05.4135.05.3135.05.3135.05.2135.05.21[215.05.5215.05.4215.05.3215.05.221111112/12/12/12/12/12/12/12/11111111135.25.2225.15.1131tdttdttdttdtdtydtydtydtydyy dyyI111的真值为098612289.1I

5．用三点公式和五点公式求211xxf在x=1.0，1.1和1.2处的导数值，并估计误差。xf的值由表4.2给出。

表4.2

x 1.0

1.1 1.2 1.3

1.4

xf 0.2500 0.2268 0.2066 0.1890

0.1736

解：三点求导公式为

22210212201022100'''313421''''621''''34321'fhxfxfxfhxffhxfxfhxffhxfxfxfhxf

上表中取2.11.11210xxx，，，分别将有关数值代入上三式，即可得导数的近似值，由于

75.02!41!4max'''max'''552.10.12.10.1xxffxxi

故可得误差及导数值如表4.3

表4.3

x 1.0 1.1 1.2

三点公式 -0.24792 -0.21694 -0.18596

xf' -0.25000 -0.21596 -0.18783

理论误差值 0.00250 0.00125 0.00250