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量子力学1

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量子力学的三大定律

量子力学的三大定律

量子力学的三大定律
量子力学的三大定律：
1、量子力学第一定律，超光速。

2、量子力学第二定律，宇宙无引力。

3、量子力学第三定律，宇宙神学。

量子力学是描写原子和亚原子尺度的物理学理论。

该理论形成于20世纪初期，彻底改变了人们对物质组成成分的认识。

微观世界里，粒子不是台球，而是嗡嗡跳跃的概率云，它们不只存在一个位置，也不会从点A通过一条单一路径到达点B。

根据量子理论，粒子的行为常常像波，用于描述粒子行为的“波函数”预测一个粒子可能的特性，诸如它的位置和速度，而非确定的特性。

物理学中有些怪异的概念，诸如纠缠和不确定性原理，就源于量子力学。

量子力学讲义1

量子力学讲义1

量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。

量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。

综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。

它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。

⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。

量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。

因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。

三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。

1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。

2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。

但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。

四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。

2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。

五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。

⼒学量可以不连续地取值，且不确定。

2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。

它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。

六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。

2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。

3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。

量子力学 第1章-1-2(第3讲)

量子力学 第1章-1-2(第3讲)

越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重要的物理 概念，只限于统计解释还不能完全穷尽对波函数的认识。
量子波函数的概率解释有不足
玻恩的概率解释：“波函数的振幅的平方是粒 子被发现的概率” 。不是完整诠释，只关注 所谓的可观察量（振幅），忽略了相位（因为 不属于可观察量）。
杨振宁说，规范场论就是相位场。相位是其根 本。振幅与相位合起来用复数表示。
x=0
dx
由于
d 2(x,t)
dx2
0
x0
故 x 0 处，粒子出现概率最大。
注意
（1）归一化后的波函数
(r , t
)
仍有一个模为一的因
子 ei 不定性（ δ为实函数）。
若 r,t 是归一化波函数，那末， r,tei 也是
归一化波函数，与前者描述同一概率波。
（2）只有当概率密度 (r,t) 对空间绝对可积时，才
2
(r,t) dx
A2
ea2x2 dx
A2
1
a2
归一化常数
1/ 2
A a/
归一化的波函数1/ 2Fra bibliotek1a2x2 i t
(r,t) a / e 2 2
（2）概率分布： (x, t) (x, t) 2 a ea2x2
（3）由概率密度的极值条件
d(x, t) a 2a2 xea2x2 0
相位是复杂性之源，相位导致纠缠，纠缠导致 记忆与电子相干。自由度的纠缠和相干，往往 会造就许多意想不到的结果。
作业题
1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? 并指出每
个状态由哪几个波函数描写。
1 ei2x / , 4 ei3x / ,
2 ei2x/ , 5 ei2x / ,

量子力学第一章习题答案

量子力学第一章习题答案

量⼦⼒学第⼀章习题答案第⼀章1.1 由⿊体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极⼤值所对应的波长λm 与温度T 成反⽐，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。

解：⿊体辐射的普朗克公式为：)1(833-=kT h e c h νννπρ∵ v=c/λ∴ dv/dλ= -c/λ2⼜∵ρv dv= -ρλdλ∴ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(ehc/λkT-1)] 令x=hc/λkT ,则ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1)求ρλ极⼤值，即令dρλ(x)/dx=0，得：5(e x -1)=xe x可得： x≈4.965∴ b=λm T=hc/kx≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23)≈2.9*10-3（m K ）1.2√. 在0 K 附近，钠的价电⼦能量约为3电⼦伏，求其德布罗意波长。

解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J故其德布罗意波长为：07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ?1.3 √.氦原⼦的动能是E=32KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原⼦的德布罗意波长。

解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原⼦的质量约为=-26-2711.993104=6.641012kg , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K故其德布罗意波长为：λ= 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2≈01.2706A或λ= ⽽KT E 23=601.270610A λ-==?1.4利⽤玻尔-索末菲量⼦化条件，求：a ）⼀维谐振⼦的能量：b ）在均匀磁场作圆周运动的电⼦轨道的可能半径。

量子力学1-2

量子力学1-2
§2 电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1、电流强度和电流密度（矢量） 电流强度和电流密度（矢量） I： 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培） 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培）
v J:
大小：单位时间垂直通过单位面积的电量 大小： 方向：沿导体内该点上的电流方向 方向：
r r 两者关系： 两者关系： I = dI = J ⋅ dS ∫ ∫
二、毕奥萨伐尔定律
1、毕奥萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） 毕奥萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） r v v v v r 上的电流密度， 设 J (x′)为源点 x′上的电流密度，r 为由 x′点到场点 x 的距离， 的距离，则
r 线电流元为： 线电流元为： Idl
r 体电流元为： 体电流元为： JdV
µ0 I r µ0 I = − + e =0 2 2 z 2π r 2π r
(r > a)
(r < a)
r r µ0 I r ∇× B = 2 ez = µ0 J πa
意义： 意义：某点邻域上的磁感应强度的旋度只和该点上的电流密度有 虽然对任何包围着导线的回路都有磁场环量， 关，虽然对任何包围着导线的回路都有磁场环量，但是磁场的旋 度只存在于有电流分布的导线内部， 度只存在于有电流分布的导线内部，而在周围空间中的磁场是无 旋的。 旋的。
又 ∵
Q = ∫ ρdV
V
dQ d ∂ρ ∴ = ∫ ρdV = ∫ dV V ∂t dt dt V
所以有： 所以有：
∫
S
r r J ⋅ dS = −
∫
∂ρ dV V ∂t
d dQ = 0 Q=C ρdV = 0 全空间总电荷守恒 ∫V dt dt

量子力学_第一章_周世勋

量子力学_第一章_周世勋

1864年 光和电磁现象之间的联系 光的波动性
（二）经典物理学的困难

20世纪初 经典理论遇到了一些严重的困难 （1）黑体辐射问题 （2）光电效应 （3）氢原子光谱
黑体辐射
黑体：能完全吸收一切频率入射电磁 波 （广义光波） 的物体
能 量 密 度
黑体辐射：由这样的空腔小孔发 出的辐射就称为黑体辐射。
h 6.62606896 1034 J s
基于上述假定，普朗克得到了与实验符合很好的黑体辐射公式：
能 量 密 度
8hv3 v dv c3 Planck 线
1 e
hv 1 K BT
dv
吸收或发射电磁能量的不连续概念，经典力学是无法理解的 当时并未引起较多人的注意 用量子假设解决经典困难的是A. Einstein
3. v v0
光愈强，单位时间产生的光电子愈多
光的本性认识：1. Maxwell, Hertz等人工作，肯定了光是电磁波 2. 光电效应，黑体辐射，体现了光的粒子性
光是粒子性和波动性的统一体
• 虽然爱因斯坦对光电效应的解释是对Planck量 子概念的极大支持，但是Planck不同意爱因斯坦的 光子假设，这一点流露在Planck推荐爱因斯坦为普 鲁士科学院院士的推荐信中。 “ 总而言之，我们可以说，在近代物理学结出 硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是爱因 斯坦没有做过重要贡献的，在他的各种推测中，他 有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子 假设就是如此，但是这确实并不能成为过分责怪他 的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能不 偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念 ”
20 sin
2

2
其中 称为电子的Compton波长。

第1章 量子力学基础知识

第1章 量子力学基础知识

d 8 m E 2 2 dx h
2 2
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c2 sin( ) x 2 2 h h
2 1 2 2 1 2
边界条件： x 0 , 0
2
x l , 2 0
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c sin( ) x 2 h2 h2
1927年，美国, C. J. Davisson L. H. Germer 单晶 体电子衍射实验 G.P.Thomson 多晶金属箔电子衍射实验 质子、中子、氦原子、氢原子等粒子流也同样观 察到衍射现象，充分证实了实物微粒具有波动性， 而不限于电子。
22
氧化锆晶体的X射线衍射图
金晶体的电子衍射图
23
n h E 2 8m l
2
n 1,2,3,
nx ( x) c2 sin( ) l
nx ( x) c2 sin( ) l
nx c sin ( )dx 1 l 0
l 2 2 2
* d 1
nx 2 c sin ( ) 1 l 0
l 2 2 2
2 c2 l
25
波粒两相性是微观粒子运动 的本质特性，为微观世界的 普遍现象。
26
-1.1.4- 不确定关系(测不准原理)
x D A e O P
y
Q
A
O C
P psin
电子单缝衍射实验示意图
单 缝 衍 射
1.2 量子力学基本假设
量子力学是描述微观粒子运动规律 的科学。 电子和微观粒子不仅表现出粒性， 而且表现出波性，它不服从经典力 学的规律。
31
-1- 波函数和微观粒子的运动状态

量子力学课件(完整版)

量子力学课件(完整版)

Light beam
metal
electric current
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
18
当 kT hc（高频区）
E(, T)

2hc2 5
e hc
kT
Wein公式
当 kT hc（低频区）
E(, T)

2c 4
kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
2 , k 2 / ,
得到 d 2 0,所以，t x(t)
dk 2 m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
2
这面临着两个问题：
1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性；

[理学]量子力学第1讲

[理学]量子力学第1讲
Quantum Mechanics
主要参考书
量子力学，科学出版社 曾谨言
量子力学原理，北京大学出版社 王正行
量子力学原理，科学出版社 P.A.M. 狄拉克
高等量子力学， Quantum Theory
P. Roman Quantum Mechanics – Symmetries
矢量空间的元素称为矢量。
如果a是实数，则空间称为实数域上的矢量空间。
如果a是复数，则空间称为复数域上的矢量空间。
二、内积空间
内积：在矢量空间L 中按顺序任意取两个矢量和
，总有一个数c与之对应，记为：
(, ) c
称c为这两个矢量的内积或数积。 内积运算要满足：
(1) (,) (,)*
(2) (, ) (,) (, )
左矢空间和右矢空间合在一起，与原来由矢量
构成的希尔伯特空间L 等价。
基矢的正交归一关系： ei | e j i j
| | ei ei |
i
| | ei ei |
| ei ei | 1
i
i
| | ei ei |
i
七、函数空间
对区间[a,b]上的所有连续的、平方可积的
证：
[
Aˆ (
n1)
,
Bˆ ]
Aˆ ,
[
Aˆ (
n)
,
Bˆ
]
设 Fˆ () e Aˆ Bˆe Aˆ
dFˆ () d
e
Aˆ
(
Aˆ Bˆ
Bˆ Aˆ )e
Aˆ
e Aˆ [Aˆ, Bˆ]e Aˆ
d2Fˆ () d2
d
d
e
Aˆ [
Aˆ,
Bˆ ]e

量子力学第一、二章习题课

量子力学第一、二章习题课
前两章的综合与复习
第一部分 状态与波函数
1、量子力学中用波函数描写微观体系的状态 、 2、 态叠加原理：设 ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 ,⋯ψ n ⋯是体系的可能状态，那么， 、 态叠加原理： 是体系的可能状态，那么， 这些态的线性叠加 状态。 状态。
ψ = ∑ cnψ n
n
也是体系的一个可能
3、波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出： 、波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：
j= iℏ (ψ∇ψ ∗ −ψ ∗∇ψ ) 2µ
ρ = ψ ∗ψ 与几率密度
∂ρ +∇⋅ j = 0 满足连续性方程 ∂t
第二部分 一维运动
1、一维无限深势阱 、 本征值 本征函数
0 V ( x) = ∞ 0<x<a x ≤ 0或者x ≥ a
n 2π 2 ℏ 2 En = , n = 1,2,3, ⋯ 2 2 µa
dm p = dp mc 2
dm p υg = c = =υ dp m
2
的物体， 三、如果我们需要观测一个大小为 2.5 Α 的物体，可用的光子的 最小能量是多少？若把光子改为电子呢？（ ？（要 最小能量是多少？若把光子改为电子呢？（要） 解：为了发生散射，光波的波长必须与所观测物体的大小同 为了发生散射， 数量级或者更小。 数量级或者更小。故在本问题中能够采用的光的最大波长 ，这样相应的光子的最小能量为： 这样相应的光子的最小能量为：
ℏ2 2 ∂Ψ ih =− ∇ Ψ + V (r , t )Ψ ∂t 2µ
当势场
V (r ) 不显含时间
t
时，其解是定态解
Ψ (r , t ) = ψ (r )e −iEt / ℏ
ψ (r ) 满足定态薛定谔方程

量子力学第1章

量子力学第1章

第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰ )(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω===。

a - 0 a x由此得 2/2ωm E a =， （2）a x ±=即为粒子运动的转折点。

有量子化条件h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p aaaa==⋅=-=-=⋅⎰⎰⎰+-+-222222222)21(22πωπωωω得ωωπm n m nh a 22==（3）代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4）积分公式：c au aua u du u a ++-=-⎰arcsin22222221.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,xx xn hn dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n bn an m p p p mE z y x zyxn n n z y x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。

量子力学第一章

量子力学第一章

能 量 密 度
Planck 线
1900年１２月１４日 Planck 提出 能量子假说:一个腔壁原子的性能和一 个频率为 的带电谐振子一样,但是谐 振子的能量只能取一些分立值 0 , 20 ,30 , 0 5 10 其中 0 h称为能量子。 (104 cm) h =6.62610-34Js 为Planck常数。 利用此假说，按照Rayleigh原子吸收和发射光时只能以0 进行。 Jeans公式的推导过程， Planck论证
新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使人们去寻 找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学就在这场物理学的危 机中诞生。
（三） “量子”概念的产生
1.黑体辐射的Planck 公式与能量子假说
d
8h C3
3
1 exp(h / kT ) 1 d
2. Rayleigh-Jeans公式:根 据电动力学和统计物理,把 空腔看成是由大量包含各种 频率的带电谐振子组成,得 到一个分布公式:
能 量 密 度
Rayleigh-Jeans 线
Wien 线
8 d 3 kT 2 d C
0
5
(104 cm)
10
Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。 Rayleigh-Jeans公式在长波部分与实验结果较符合,在短波部分完全 不符合.
― 总而言之，我们可以说，在近代物理学结出 硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是爱因 斯坦没有做过重要贡献的，在他的各种推测中，他 有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子 假设就是如此，但是这确实并不能成为过分责怪他 的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能不 偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念 ”

课件-第二十二章 量子力学1

课件-第二十二章 量子力学1
在空间各点发现自由粒子的概率相同
Ψ = Ae
i v v ( p⋅ r − E t ) h ～
波函数统计诠释涉及对世界 本质的认识 争论至今未息
哥本哈根学派 爱因斯坦
Ψ
Ψ
x x
Ψ
Ψ
x x
上述四种曲线哪种可能是表示波函数？
例：将波函数归一化
f ( x ) = exp(−α 2 x 2 2 )
设归一化因子为C，则归一化的波函数为
第二十二章 量子力学基础
描述微观实物粒子 运动规律的理论
§22-1
德布罗意假设
一. 德布罗意物质波假设 h p = 光的粒子性与波动性的关系式： ε = h ν λ 光具有波粒二象性，实物粒子是否具有波粒二象性？ 德布罗意假设： 实物粒子和光子一样，也具有波粒二 象性。如果用能量ε 和动量 p来表征实物粒子的粒子 性，则可用频率 ν 和波长 λ 来表示实物粒子的波动性 （1）实物粒子具有波动性，称为物质波或德布罗意波 德布罗意关系式： E = hν = hω ,
λ
v v Ψ = A cos[ (k ⋅ r − 2π ν t )]
复数式：
v v v v r = xi + yj + zk
vv i ( k ⋅r −2π ν t )
v 2π v n 令 k=
λ
Ψ = Ae v v 2π v v h v ～ E v hv ν= Q p = n , k = n ∴ p = k = hk 2π λ λ h i r r r 2 ( p⋅ r − ε t ) r Ψ ( r , t ) = Ae h ， Ψ ( r , t ) = 常数
电子不是经典的波包
二、关于粒子和波的分析 1、波包说：认为粒子实为波包。 波包说夸大了波动性一面， 抹杀了粒子性一面。 2、疏密波说：认为波动是大量粒子分布在空间的一种 疏密分布。疏密波说夸大了粒子性一面，抹杀了波动 性一面。 三、波函数的统计解释(物理意义) 1926年 玻恩 将物质波与光波作类比： 在单缝衍射实验中，从单个粒子的偶然行为和大量粒子 的规律性，可见一个粒子在空间某处出现的几率具有一 定的规律性，物质波的强度正反映了粒子出现的几率。 物质波的强度：

第一章量子力学基础

第一章量子力学基础

（3）粒子的动量平方px2值
假设三：本征方程
2 2 2 nx h d 2 ˆ x n 2 2 p sin 4 dx l l h 2 d n 2 nx 2 cos 4 dx l l l
h n 2 nx 2 sin 4 l l l
l
2 l nx ih d nx sin sin dx l 0 l 2 dx l
ih l
nx nx d sin 0 sin l l
l
2 xl
ih sin (nx / l) 0 l 2 x 0
2 ˆ ˆ H － 2 ＋V 8 m h2
：拉普拉斯算符
2 2 2 2 ＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 x y z
19
假设三：本征方程
Schrö dinger方程算法解析
一个质量为m的 粒子，在一维 势井中的运动。
0 ， 0 ﹤x ﹤ l V= ∞ ， x ≤0 和 x≥ l
一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度
假设三：本征方程
总结: 势箱中粒子的量子效应：
1.存在多种运动状态，可由Ψ1 ，Ψ2 ，…，Ψn 等描述；
2.能量量子化；
3.存在零点能；
4.没有经典运动轨道，只有几率分布；
5.存在节点，节点多，能量高。
假设三：本征方程 箱中粒子的各种物理量
（1）粒子在箱中的平均位置
力学量 算符 力学量 算符
位置
x
ˆx x
ˆ p
ih ＝ － x 2 π x
x y y x
势能 V

量子力学 1-振动-波动

量子力学 1-振动-波动

U = 1 βx2 2
回复力（保守力）： F = − dU = −βx
dx
运动方程：
− βx = m&x&
通解：
&x&+ ω 2x = 0 ω = β / m
x = A ⋅ sin(ωt + φ0 )(实数形式） x = Aei(ωt+ϕ0 ) = A~eiωt (复数形式)
•简谐振动的动力学特征：势能为位移的平方函数或者力与位移成负正比 关系。运动学中位移表现为时间的正弦或余弦函数。
•通常把这种一维简谐振动的质点系统称为谐振子。
5
简谐振动的运动学特征
x = Asin ωt ωT = 2π
(φ0 = 0) T = 2π ω
x=0
x
A
x=A
0
-A
x=-A
Tt
(1) （时域）周期运动 x(t)=x(t+T )
(2)等幅振动
6
简谐振动的特征参量
x = A⋅sin(ω t + φ0 )
特解： u(r, t) = Ae i(ωt−k⋅r ) （简谐波或正弦行波或平面波）
其中，波矢k是矢量，其方向等于波传播的方向，其大小满足：
⏐k⏐ = ω / v=2π /λ
波动方程的解可以表示成许多正弦行波的叠加，即
∞
a
+
1 2
∂2u ∂x 2
a2
x = xn
故有：
∂2u ∂t 2
= ω2a2
∂2u ∂x 2
∂2u ∂t 2
− v2
∂2u ∂x 2
=
0
令v = ωa为波速
------一维经典波动方程 14
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量子力学1
《量子力学1》课程教学大纲
课程名称：量子力学1
课程代码：03213004
一、课程基本情况
1．学分：3 学时：48 (理论学时：48 实验学时：0)
2．课程性质：专业方向必选课
3．适用专业：物理学师范方向
4．适用对象：本科
5．先修课程：数学物理方法、原子物理、统计物理
6．教材与参考书目：
[1]周世勋编，量子力学教程，高等教育出版社，2002.3
[2] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999
[3] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000
[4] 曾谨言，《量子力学教程》，科学出版社，2003
[5] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993
[6] 张永德，《量子力学》，科学出版社，2002
[7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999
[8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990
7．考核方式：闭卷
二、课程教学目的
量子力学是近代物理两大支柱之一，是物理学专业最重要的一门专业基础必修课，是学习理论物理、材料科学、激光物理与技术、生物物理、理论化学等研究生课程的重要基础。

为科学技术的形成和发展起着巨大的理论指导作用。

通过本课程的学习应使学生：
1.全面系统地了解微观世界的基本规律；理解掌握量子力学的基
本概念，并能应用这些基本概念和规律解释微观现象，为下一步的学习打下必要的基础。

2.了解量子史上的重要物理思想，培养辩证唯物主义的世界观和科学的方法论。

3.了解量子力学知识也是从事中学物理教学的教师必备的条件。

4．为高年级大学生考研奠定坚实的理论基础。

三、课程内容、学时分配及教学基本要求（含课内实验）
1．课程内容、学时分配及教学基本要求（含课内实验）
本课程重点阐述非相对论量子力学的完整自洽的知识体系。

考虑到专业特点和学时要求，量子力学内容包括：量子力学发展简况，波函数，薛定谔方程，力学量和算符，态和力学量的表象，微扰论，自旋和全同粒子。

全部基本教学内容为六章，48学时，3学分。

第一章绪论 4学时课程内容：
1．1经典物理学的困难
1．2光的波粒二象性
1．3原子结构的玻尔理论
1．4微粒的波粒二象性
教学基本要求：
1．了解经典物理学的困难。

2．理解光和粒子的波粒二象性。

3．掌握德布罗意假设及其实验验证。

重点:量子物理与经典物理框架的矛盾、量子力学诞生的实验基础、早期量子论、量子化条件.
难点:辐射量子概念、量子化条件。

第二章波函数和薛定谔方程 12学时课程内容：
2．1波函数的统计解释
2．2态迭加原理
2．3薛定谔方程
2．4粒子流密度和粒子数守恒定律
2．5定态薛定谔方程
2．6一维无限深势阱
2．7线性谐振子
2．8*势垒贯穿
教学基本要求：
1．理解波函数的统计解释。

2．掌握态迭加原理，明确它和经典波叠加原理的区别。

3．理解Schrodinger方程的建立的原则，掌握自由粒子的Schrodinger方程；熟练掌握含时Schrodinger方程。

4．掌握几率流密度和粒子数守恒定律，并能熟练运用。

5．掌握定态的概念和性质，熟练运用定态Schrodinger方程求解能量本征值问题。

6．掌握一维束缚态：无限深势阱，线性谐振子的求解过程和结论。

重点:波函数统计解释、态叠加原理、掌握和运用波函数的几率幅解释、束缚态产生分立谱、一维定态的一般性质、一维系统定态问题的能量本征求解。

难点: 微观粒子的波动-粒子二象性、态叠加原理、边值问题的确定和求解。

第三章量子力学中的力学量 10学时课程内容：
3．1表示力学量的算符
3．2动量算符和角动量算符
3．3电子在库仑场中的运动
3．4氢原子
3．5厄米算符本征函数的正交性
3．6算符与力学量的关系
3．7算符的对易关系、两力学量同时有确定值的条件、不确定关系
教学基本要求：
1．掌握量子力学关于力学量算符假定，明确厄密算符的概念及其性质。

2．掌握动量算符和角动量算符的对易关系及其本征值问题的求解，理解自由粒子波函数箱归一化问题。

3．了解电子在库仑场中的运动的能量本征方程的过程，并掌握其结论。

4．理解氢原子求解过程，掌握结论。

5．掌握算符的对易关系、两个力学量算符有共同本征函数的条件及力学量完全集的概念。

6．熟练推导测不准关系，并能运用其解决有关问题。

重点: 量子力学的基本假定及其数学表述、量子力学的数学结构与量子力学的基本假设之间的关系、线性、厄米算符的运算、中心力场的一般性质、氢原子光谱。

难点:分立能级的导出.
第四章态和力学量的表象 6学时课程内容：
4．1态的表象
4．2算符的矩阵表示
4．3量子力学公式的矩阵表述
4．4幺正变换
4．5Dirac符号
教学基本要求：
1．理解态的表象；
2．掌握算符的矩阵表示；
3．掌握量子力学公式的矩阵表示；
4．理解表象变换；
重点:量子力学的矩阵形式及表象理论、Dirac符号运算规则。

难点:量子力学的矩阵形式及表象。

第五章微扰论 6学时课程内容：
5．1非简并定态微扰理论
5．2简并情况下的微扰理论
5．3氢原子的一级斯塔克效应
5．6与时间有关的微扰理论
5．7跃迁几率
教学基本要求：
1．掌握非简并定态微扰论和简并微扰论，并能熟练运用其解决有关问题。

2．掌握与时间有关的微扰论，明确跃迁几率的概念。

重点:非简并和简并微扰论、用微扰论作能级的近似修正计算、量子态随时间的演化、含时微扰理论的一级近似计算.
难点:简并微扰论、含时微扰理论、跃迁几率.
第七章自旋和全同粒子 10学时课程内容：
7．1电子自旋
7．2电子的自旋算符和自旋函数
7．3两个角动量的耦合
7．4全同粒子的特性
7．5全同粒子体系的波函数、泡利原理
7．6两个电子的自旋波函数
教学基本要求：
1．掌握电子自旋、自旋算符与自旋波函数以及考虑空间运动后体系的总波函数。

2．掌握全同粒子的特性、泡利原理，能正确写出玻色子体系、费密子体系的波函数。

3．理解双电子自旋函数。

重点:自旋本质及数学表述、自旋态的数学表述、自旋与外磁场耦合、自旋--自旋耦合。

难点:角动量理论、自旋概念及数学描述。

2．备注
考虑到本课程理论性强，数学计算较难，没有相关实验可做等特点，教学环节包括：讲授，讨论，作业，考试。

教学中应注意：1．强调对物理概念的理解，强调对量子力学知识体系的整体理解与把握，在涉及关键的物理概念处，注意启发学生的创造性思维。

可采取讨论课的方法，预留思考题，组织学生进行充分的研讨；在势阱，谐振子，
氢原子等重要结论处，引导学生对比经典模型，讨论适用条件，力争使学生把物理理论融会贯通。

2．数学手段上，应多示例，恰当适用多媒体课件（如氢原子的电子云等）,尽量避免学生陷入过多的繁难的数学计算中。

3．作业：通过完成习题和思考题，使学生加深对理论内容的理解，通过把实际物理过程用数学模型求解，培养学生独立解决实际问题的能力。

4．考试：采用试卷和平时成绩及期中考试相结合。

主要考察学生对知识的掌握情况和分析问题解决问题的能力；平时成绩由作业和出勤及课堂笔记为主进行量分。