传热学上机C程序源答案之一维稳态导热的数值计算

一维稳态导热问题数值计算刘强引言❖目前为止，一般稍微复杂的导热问题几乎都依靠数值法求解。

❖导热问题的数值法有三种：有限差分法，有限元法和边界元法。

本教材介绍目前在铸造领域温度场计算中普遍采用的直接差分法，也叫单元热平衡法。

❖基本思想：不用导热微分方程，而是直接通过能量守恒定律，根据相邻单元间的能量交换关系导出差热方程。

❖分析i 单元的热量平衡关系，从t n 到t n+1时间内，由i-1单元流入i 单元的热量为：=1Q x i T i T k n n ∆---)1()(x ∆⋅（1）由i 单元流入i+1单元的热量为：=2Q 由内能计算公式：t x i T i T k n n ∆⋅∆-+-)()1(Tm C Q p ∆=而在该时间内，得出单元的内能增量为：[])()(1i T i T C x Q n n p -∆=+ρ蓄（2）（3）根据能量守恒定律则能得出蓄Q Q Q =-21t x i T i T k n n ∆⋅∆---)1()([])()()()1(1i T i T C x t x i T i T k n n p n n -∆=∆⋅∆-+++ρ或是其中[])1()()2()1(1++-+-i T i T M i T M n n n tx M ∆⋅∆=α/上式即为显式差分格式（4）=+)(1i T n初始条件：边界条件：给定初始温度T （i ），i=1，2,3，…，N由初始和边界条件可计算区域内部各节点随时间t 变化的温度值：代表时间步常数给定边界温度n n N T T nn ,,2,1,0),(),1(⋅⋅⋅=),3,2,1;1,,3,2(),(⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=n N i i T n步骤如下由初始条件和边界条件知图中第0排的温度，知，其中由初始条件提供)1(~)2(T 00-N T 由边界条件提供，与)()1(00N T T 第一排的温度值)1,,3,2)(1(1-⋅⋅⋅=N i T 可由（4）式得到；再利用边界条件，得到),()1(11N T T 与即能得到第一排上的全部节点的温度再由（4）式和边界条件依次算得inT n⋅⋅⋅==⋅⋅⋅i),,),2,1;(,3,2(n显示与隐式差分格式)(1i T n +)(1i T n +)1()()1(+-i T i T i T n n n 、、在4式中，n+1排上的任一节点i 的温度只依赖在n 排上i 节点及相邻节点i-1、i+1的温度值换言之，就是可由明显地来表示出来⇒显示差分格式若用)1()()1(111+-+++i T i T i T n n n 、、时刻的温度去计算1+n t tx i T i Tk Q n n ∆⋅∆---=++)1()(111t x i T i T k Q n n ∆⋅∆-+-=++)()1(112,21Q Q 、则能得到（5）（6）结合（3）式便得到另一种差分格式)()1(1)()21()1(1111i T i T Mi T M i T M n n n n =+-++--+++（7）此式只是表示的时间水平不同，实际上⇒与（4）式形势完全一致式（7）即完全隐式差分格式谢谢。

一维稳态导热数值计算引言在工程和科学领域中，热传导是一个重要的问题，它涉及到物体内部的热量传递过程。

一维稳态导热是指物体在一个方向上的热传导过程，且不随时间变化。

为了分析和解决一维稳态导热问题，我们可以使用数值计算方法，如有限差分法。

本文将介绍一维稳态导热数值计算的基本原理和步骤。

基本原理一维稳态导热问题可以描述为以下的热传导方程：$$\\frac{{d}}{{dx}}(k \\frac{{dT}}{{dx}}) = 0$$其中，k是物质的热导率，T是温度。

我们需要根据边界条件和初始条件求解该方程的解析解或数值解。

在数值求解中，我们通常将问题的区域离散化，将连续变量转化为离散变量。

我们可以将区域划分为多个小区间，每个小区间内的温度和导热系数近似为常数。

然后，我们可以使用有限差分法来近似求解。

数值计算步骤为了进行一维稳态导热问题的数值计算，我们需要按照以下步骤进行操作：步骤 1：确定区域和边界条件首先，我们需要确定问题的区域，并确定边界条件。

区域可以是一根导热杆或其他具有一维结构的物体。

边界条件可以是固定温度或热流量。

步骤 2：离散化区域将区域离散化是数值计算的基础。

我们可以将区域划分为多个小区间，每个小区间内的温度和导热系数近似为常数。

确定离散化的步长可以根据问题的要求进行选择。

步骤 3：建立差分方程根据离散化后的区域，我们可以建立差分方程，将热传导方程转化为一个线性方程组。

在一维稳态导热问题中，通常采用中心差分法或其他差分格式进行近似。

步骤 4：求解线性方程组求解差分方程就是求解线性方程组。

我们可以使用常见的数值计算工具或算法，如高斯消元法或迭代法，来求解线性方程组。

根据边界条件的不同，方程组的形式也会有所不同，需要根据具体情况进行选择。

步骤 5：计算结果最后，根据线性方程组的解，我们可以计算出每个小区间内的温度分布。

可以根据具体需求进行进一步计算和分析。

总结本文介绍了一维稳态导热数值计算的基本原理和步骤。

1笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式·)()()(Φ+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ztz y t y x t x t c λλλτρ边界条件——导热物体边界上温度或换热情况第一类边界条件()0w t f ττ>=时第二类边界条件20()()w tf nτλτ∂>−=∂时第三类边界条件()()w w f th t t nλ∂−=−∂定解条件初始条件——初始时间温度分布非稳态项扩散项源项物理问题→数学描写→微分方程①导热系数为常数c zt y t x t a tρτ·222222)(Φ+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂②导热系数为常数 、无内热源 222222()t t t ta x y zτ∂∂∂∂=++∂∂∂∂③导热系数为常数 、稳态·2222220t t t x y z λ∂∂∂Φ+++=∂∂∂简化④导热系数为常数 、稳态 、无内热源 2222220t t tx y z ∂∂∂++=∂∂∂·)()()(Φ+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ztz y t y x t x t c λλλτρ⑴ 物理问题：大平壁，λ=const.⑵ 数学描写：微分方程边界条件·)()()(Φ+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂z tz y t y x t xt c λλλτρ导热微分方程稳态、一维、无内热源、常物性t 1t 2q oδxtdx1. 单层平壁⑶ 解微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧=−=⇒12121t c t t c δ112t x t t t +−=δ线性分布带入Fourier 定律δ12d d t t x t −=⇒)(12λδλδδλA ttt t q Δ=ΦΔ=−−=⇒—— 温度分布—— 通过平壁导热的计算公式共同规律可表示为 :2.热阻的含义过程中的转换量 = 过程中的动力 / 过程中的阻力)(λδA tΔ=Φ如：欧姆定律A R R A δδλλ==热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况RU I /=平板导热:转移过程的动力转移过程的阻力导热过程的转移量面积热阻热阻tq δλΔ=}多层平壁：由几层不同材料组成}例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成}假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等边界条件：⎪⎩⎪⎨⎧====+=∑1110n n i i t t x t t x δ热 阻：nn n r r λδλδ==,,111L 3.多层平壁的导热t 1t 2t 3t 4t 1t 2t 3t 4三层平壁的稳态导热热阻的特点：串联热阻叠加原则：在一个串联的热量传递过程中，若通过各串联环节的热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻之和。

一维传热问题数值计算
一维传热问题是热传导理论中的经典问题，涉及热量在一个维
度上的传递和分布。

数值计算一维传热问题通常涉及使用数值方法
来模拟热量在材料中的传递和分布。

这个问题在工程、物理学和材
料科学等领域都有重要的应用。

首先，我们可以考虑使用有限差分法来数值计算一维传热问题。

有限差分法将材料空间离散化为若干个网格点，然后利用热传导方
程进行离散化，最终转化为一个差分方程。

通过迭代求解这个差分
方程，我们可以得到材料中温度随时间和空间的分布。

这种方法通
常需要考虑边界条件和初始条件，以及选择合适的时间步长和空间
步长。

另外，有限元法也是计算一维传热问题的常用数值方法。

有限
元法将材料分割为有限个小单元，然后利用单元间的热传导关系建
立整个系统的方程。

通过求解这些方程，可以得到材料中温度的分布。

有限元法通常适用于复杂几何形状的材料，并且可以很好地处
理不均匀材料性质的情况。

除了这些基本的数值方法，还可以考虑使用计算流体动力学
（CFD）方法来模拟一维传热问题。

CFD方法可以更全面地考虑流体在传热过程中的影响，适用于液体或气体在管道或其他结构中的传热问题。

在进行数值计算一维传热问题时，需要注意选择合适的数值方法和参数，以确保计算结果的准确性和稳定性。

同时，还需要考虑材料的热物性参数、边界条件、初始条件等因素，以保证数值模拟的真实性和可靠性。

总之，数值计算一维传热问题涉及多种数值方法和复杂的物理过程，需要综合考虑材料性质、边界条件和数值方法的选择，以获得准确而可靠的计算结果。

热传导和导热系数的计算热传导是指热量在物体内部由高温区向低温区传递的过程，它是固体、液体和气体等物质的一种基本热传递方式。

热传导的计算通常涉及到导热系数这个物理量，它是一个材料特性，用来描述材料内部热量传递的能力。

一、热传导的基本公式1.一维稳态热传导：对于一维稳态热传导，热量在物体内部的传递可以用傅里叶定律来描述：[ q = -kA ]其中，( q ) 是单位面积的热流量（W/m^2），( k ) 是导热系数（W/m·K），( A ) 是物体的横截面积（m^2），( ) 是温度梯度（K/m）。

2.二维和三维稳态热传导：对于二维和三维稳态热传导，热量在物体内部的传递可以用傅里叶定律的微分形式来描述：[ = ]其中，( q ) 是单位体积的热流量（W/m^3），( t ) 是时间（s），( ) 是热扩散系数（m^2/s），( T ) 是温度（K或°C），( ) 是温度梯度的二阶导数。

二、导热系数的定义和影响因素导热系数（k）是描述材料内部热量传递能力的物理量，单位为W/m·K。

导热系数反映了材料在单位厚度、单位温差条件下，单位时间内通过单位面积的热量。

2.影响因素：a)材料的种类：不同材料的导热系数不同，金属的导热系数一般较大，而绝缘材料的导热系数较小。

b)温度：材料的导热系数随温度的变化而变化，一般情况下，随着温度的升高，导热系数增大。

c)湿度：对于多孔材料，湿度对导热系数有较大影响，湿度越大，导热系数越大。

d)孔隙率：对于多孔材料，孔隙率越大，导热系数越小。

三、常见材料的导热系数以下是一些常见材料的导热系数（单位：W/m·K）：1.金属：40-460（如铜：380，铝：237）2.木材：0.1-0.2（如松木：0.14，柚木：0.2）3.塑料：0.1-1.5（如聚乙烯：0.4，聚丙烯：1.0）4.玻璃：1-2（如普通玻璃：1.1，高强度玻璃：1.6）5.空气：0.026（在常温常压下）四、热传导和导热系数的应用1.建筑领域：热传导和导热系数的计算在建筑领域具有重要意义，可以用于设计保温层、隔热材料等，以提高建筑的能源效率。

一维稳态导热数值解法matlab 导热是物体内部热量传递的一种方式，对于一维稳态导热问题，我们可以使用数值解法来求解。

MATLAB是一种强大的数值计算软件，可以方便地实现一维稳态导热数值解法。

首先，我们需要了解一维稳态导热问题的基本原理。

一维稳态导热问题可以用一维热传导方程来描述，即：d²T/dx² = Q/k其中，T是温度，x是空间坐标，Q是热源的热量，k是热导率。

我们需要求解的是温度T在空间上的分布。

为了使用数值解法求解这个方程，我们需要将空间离散化。

假设我们将空间分成N个小区间，每个小区间的长度为Δx。

我们可以将温度T在每个小区间的位置上进行离散化，即T(i)表示第i个小区间的温度。

接下来，我们可以使用有限差分法来近似求解热传导方程。

有限差分法的基本思想是用差分代替微分，将微分方程转化为差分方程。

对于一维热传导方程，我们可以使用中心差分公式来近似求解：(T(i+1) - 2T(i) + T(i-1))/Δx² = Q(i)/k其中，Q(i)是第i个小区间的热源热量。

将上述差分方程整理后，可以得到：T(i+1) - 2T(i) + T(i-1) = (Q(i)/k) * Δx²这是一个线性方程组，我们可以使用MATLAB的矩阵运算功能来求解。

首先，我们需要构建系数矩阵A和常数向量b。

系数矩阵A是一个(N-1)×(N-1)的矩阵，其中A(i,i) = -2，A(i,i+1) = A(i,i-1) = 1。

常数向量b是一个(N-1)维的向量，其中b(i) = (Q(i)/k) * Δx²。

然后，我们可以使用MATLAB的线性方程组求解函数来求解这个方程组。

假设我们将求解得到的温度向量为T_solve，那么T_solve就是我们所求的稳态温度分布。

最后，我们可以使用MATLAB的绘图功能来可视化温度分布。

通过绘制温度随空间坐标的变化曲线，我们可以直观地观察到温度的分布情况。

4 稳定态导热问题的数值解在稳定态时，固体或者静止流体内部导热方程可以写成以下形式：v T T T q x x y y z z λλλ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4-1)4.1 一维稳定态导热的差分方程对于一维稳态导热问题，式(4-1)可以写成：0v T q x x λ∂∂⎛⎫+= ⎪∂∂⎝⎭(4-2) 式(4-2)可以直接进行积分，采用分析解法得到其解析解。

本节利用数值解法，采用差分方法，建立一维导热问题的差分方程。

基本思路是先针对简单的一维问题，介绍将微分方程变为差分方程的基本方法。

一维情况的控制体如图4-1所示。

空间网格划分采用方法A ，主节点为P 节点。

图4-1 一维导热问题的控制体 对于式4-2，在控制体上采用中心差分，可得：()10v e w i T T q x x x λλ⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎢⎥∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦(4-3) 两边同时乘以控制体的体积()i x ∆()0v i e wT T q x x x λλ∂∂⎛⎫⎛⎫-+∆= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()0e w v i e wT T q x x x λλ∂∂⎛⎫⎛⎫-+∆=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (4-4)在界面上继续采用中心差分，可得：()()()0P W E Pew v i e wT T T T q x x x λλδδ---+∆= (4-5)令：()()e w E W e wa a x x λλδδ==，v u P P q S S T =+（源项线性化处理）。

整理可得：()()()()0E E P W P W u P P i a T T a T T S S T x -+-++∆=()()E E W W u E W P P i i a T a T S x a a S x T ⎡⎤++∆=+-∆⎣⎦令：()E W P P i a a S x a +-∆=，()u i S x b ∆=则：P P E E W W nb nba T a T a Tb aT b =++=+∑ (4-6)上式即为一维稳定态导热问题内部节点的差分方程。

一维稳态热传导方程
一维稳态热传导方程
一维稳态热传导方程是热传导问题的基本方程，其中，热传导系数K是用温度未变量的函数。

热传导方程的求解是热储存问题的基本算法，常用Finite element法和Finite Difference法求解。

一维稳态热传导方程
一维稳态热传导方程用来描述传统的单调方程热导率, 它表示
时间和空间的变化：
/d2T/dx2 + q_e = 0
其中：/d2T/dx2 为温度对x的二阶导数，q_e 为热源或热损失。

一般应用条件
1. 物质性质不变：
流体恒定的密度和热容，固体恒定的力学强度，导热系数和热容。

2. 境界条件：边界条件需要定义，自由表面是定义化学反应率的温度，或热损失。

热传导方程的求解
常用Finite element法和Finite Difference法求解。

Finite element法：采用有限元素方法，把区域分成小的等边形或三角形元素，然后求解每一个元素对应的温度场。

Finite Difference法：将方程化为一组一次方程组，然后由矩阵的求解得到方程组的解。

结论
一维稳态热传导方程是热传导问题的基本方程，其中，热传导系数K是用温度未变量的函数，然后常用Finite element法和Finite Difference法求解。

一维稳态热传导方程
* 《二维共轭热传导方程》.doc
### 二、计算方法
1、一维稳态热传导方程求解
稳态热传导方程可以把热温度当成一种流体，速度可以理解为温度的变化率。

求解一维稳态热传导方程，可以根据牛顿热传导方程： $frac{partial T(x,t)}{partial t} = frac{kappa}{
ho C_p} frac{partial ^2 T(x,t)}{partial x^2}$ 其中$T$是温度，$kappa$是传热系数，$
ho$是物质密度，$C_p$是比容热容量。

根据牛顿热传导方程，可以用有限差分法(finite difference method)来求解一维稳态热传导方程。

这种方法基本思路是用一系列
离散点近似地描述出温度分布，用差分公式及多项式估算温度的变化，进而求解出待求温度分布。

2、二维共轭热传导方程求解
二维共轭热传导方程可以表示为：
$frac{partial^2 T(x,y)}{partial x^2} + frac{partial^2
T(x,y)}{partial y^2} = 0$
一般来讲，我们可以将二维共轭热传导方程拆分成一维的，用有限差分法就可以求解出温度分布。

也可以用拉普拉斯变换法求解，也可以用三角形网格法，或者用椭圆分形网格法。

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传热学一维稳态导热传热学是物理学和工程学中一个重要的分支，研究热量在物质中的传递过程。

在传热学中，导热是其中一个重要的热传递方式。

导热是指热量通过传导传递，不涉及物质的移动。

在一维稳态导热的条件下，我们将详细介绍导热的基本原理和计算方法。

一维稳态导热的基本理论一维稳态导热是指热量沿一个方向传导，而且在传导过程中温度分布保持不变。

在一维稳态导热中，我们可以使用傅立叶热传导定律来描述热量的传导过程。

傅立叶热传导定律表明，单位时间通过导热展面的热流量与温度变化率成正比。

数学上可以表示为：$$ q = -k\\frac{{dT}}{{dx}} $$其中，q表示单位时间通过导热展面的热流量，k表示导热系数，dT表示温度的变化量，dx表示距离的微小变化量。

导热系数k是物质的属性，用于衡量物质传热的能力。

单位为W/(m·K)。

根据傅立叶热传导定律，可以得到温度随距离变化的微分方程。

在一维稳态导热中，由于温度分布保持不变，微分方程可以简化为：$$ q = -k\\frac{{dT}}{{dx}} = const $$这意味着在一维稳态导热中，热流量在传导过程中保持不变。

这是因为传热过程中能量守恒的原理。

一维稳态导热的计算方法在一维稳态导热的条件下，我们可以通过解微分方程来计算温度分布和热流量。

以下是一维稳态导热计算的基本步骤：1.确定热传导的边界条件：在一维稳态导热中，通常需要给定两个边界条件，例如温度或热流量。

这些边界条件用于确定问题的求解范围和约束条件。

2.确定物质的导热性质：导热系数k是物质传热能力的关键参数，需要根据材料的物性参数进行选择。

通常可以通过查表或实验来获取。

3.设定坐标系和建立微分方程：在一维稳态导热中，需要选择一个坐标系，并根据傅立叶热传导定律建立微分方程。

根据边界条件确定微分方程的边界条件。

4.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到温度随距离变化的数学表达式。

这将给出热流量和温度分布的解析解。

二维稳态导热的数值计算2.1物理问题一矩形区域，其边长L=W=1，假设区域内无内热源，导热系数为常数，三个边温度为T1=0，一个边温度为T2=1，求该矩形区域内的温度分布。

2.2 数学描述 对上述问题的微分方程及其边界条件为：2222T T 0x y∂∂+=∂∂ x=0，T=T 1=0x=1，T=T 1=0y=0，T=T 1=0y=1，T=T 2=1 该问题的解析解：112121(1)sin n n n sh y T T n L x n T T n L sh W L ππππ∞=⎛⎫⋅ ⎪---⎛⎫⎝⎭=⋅ ⎪-⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪⎝⎭∑ 2.3数值离散2.3.1区域离散区域离散x 方向总节点数为N ，y 方向总节点数为M ，区域内任一节点用I,j 表示。

2.3.2方程的离散 对于图中所有的内部节点方程可写为：2222,,0i j i jt t x y ⎛⎫⎛⎫∂∂+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 用I,j 节点的二阶中心差分代替上式中的二阶导数，得：+1,,-1,,+1,,-1222+2+0i j i j i ji j i j i j T T T T T T x y --+=上式整理成迭代形式：()()22,1,-1,,1,-12222+2()2()i j i j i j i j i j y x T T T T T x y x y ++=++++ (i=2,3……,N -1)，(j=2,3……,M -1)补充四个边界上的第一类边界条件得：1,1j T T = (j=1,2,3……,M),1N j T T = (j=1,2,3……,M),1i j T T = (i=1,2,3……,N),2i M T T = (i=1,2,3……,N)#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 10#define K 11main(){int i,j,l;float cha;float a,x,y,Fo,Bi;float t[N][K],b[N][K];/*打印出题目*/printf("\t\t\t一维非稳态导热问题\t\t");printf("\n\t\t\t\t\t\t----何鹏举\n");printf("\n题目：补充材料练习题三\n");y=1;/*y代表Δτ*/x=0.05/(N-1);a=34.89/(7800*712);Fo=(a*y)/(x*x);Bi=233*x/34.89;printf("\n显示格式条件:");printf("\n1、Fo=%3.1f<0.5\t",Fo);printf("\t2、1-2Fo*Bi-2Fo=%4.2f>0\n\n",1-2*Fo*Bi-2*Fo);/*时刻为零时，赋予初场温度*/for(i=0;i<N;i++)t[i][0]=1000;/*循环开始，每次计算一个时刻*/for(j=0;j<K-1;j++){for(i=0;i<N;i++)b[i][j]=t[i][j];/*下面对每一个时刻进行迭代求解对应的温度分布，公式按传热学课本P178页公式*/ cha=1;while(cha>0.001){for(i=0;i<N-1;i++){if(i==0)t[i][j+1]=Fo*(t[i+1][j]+t[i+1][j])+(1-2*Fo)*t[i][j];/*当计算t[0]时，要用到t[-1],其中t[-1]=t[2]的(对称分布)*/elset[i][j+1]=Fo*(t[i+1][j]+t[i-1][j])+(1-2*Fo)*t[i][j];t[N-1][j+1]=t[N-2][j]*(1-2*Fo*Bi-2*Fo)+2*Fo*t[N-1][j]+2*Fo*Bi*20;/*边界点温度用热平衡法推导出公式*/}cha=0;for(i=0;i<N;i++)cha=cha+abs(t[i][j]-b[i][j]);cha=cha/N;}}/*输出温度分布，其中l控制输出值的排列;这个结果是横轴为x，纵轴为τ的直角坐标下从左上角开始依次的*/printf("\n经数值离散计算的温度分布为：\n");l=0;for(j=K-1;j>=0;j--)for(i=0;i<N;i++){if(t[i][j]>999.99)printf("%6.1f ",t[i][j]);elseprintf("%6.2f ",t[i][j]);l=l+1;if(l==N){printf("\n");l=0;}}getchar();/*为了是生成的exe文件结果算的后不会立即退出，方便观看*/}。