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《固体物理学》房晓勇-思考题03第三章 晶体振动和晶体的热学性质

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固体物理：晶格振动与晶体的热学性质

固体物理：晶格振动与晶体的热学性质

5. k空间中点的分布密度
k 点在 k 空间中均匀分布，其分布密度为
k
b1 N1
1
b2 N2
b3 N3
N
(2 )3
V
/ (2 )3
简约布里渊区内 k 点的总数等于原胞的数目，即
N
(2 )3
(2 )3
N
相应的简正模式的数目等于体系的自由度数，为
N[(3n 3) 3] 3nN
五、离子晶体中的长光学波
解： 原子的平均平方位移为（计及相位因子的任意性）
un2
j
1 2
a
2 j
每个格波的平均能量为
Ej
N
1 2
a2j
1 2
Nm
a2 2
jj
由于 Ej kT ，所以
a
2 j
2kT
Nm
2 j
从而
un2
j
kT
Nm
2 j
四、三维晶格的振动 1. 原子位移的表示方法
第 l 个原胞的位置 R(l) l1a1 l2a2 l3a3
l s
k
动力学方程
ms2 As
s ',
D ,
k
s,
s
'
As
'
该方程共有 3n 个解，其中 3 个为声学模式，其余 3n-3 个为光学模式。
4. K的取值与倒格矢及布里渊区
玻恩-卡门边界条件要求
u(Rl N1a1) u(Rl ) u(Rl N2a2 ) u(Rl ) u(Rl N3a3 ) u(Rl )
I m / 1 2 (M M ') / M
M ' M
当 M’> M 时，就会出现一种所谓的共振模式，这是一种准局域模 式，其频率位于原来的频带之中。这种模式虽然不是局域的，但在 杂质附近表现的特别强。

《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质

《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质

一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。

《固体物理学》房晓勇习题参考解答

《固体物理学》房晓勇习题参考解答

考虑平衡条件 (
dU mA nB ) r0 = 0 ，得 m = n ，那么（5）式可化为 dV r0 r0
(
d 2U 1 N ) = 2⋅ 2 V0 dV 9V0 2
⎡ m2 A n2 B ⎤ 1 N ⎢− m + n ⎥ = 2 ⋅ r0 ⎦ 9V0 2 ⎣ r0
⎡ mA nB ⎤ ⎢−m m + n n ⎥ r0 r0 ⎦ ⎣
)
=
( 4 / 3)
2
3
(
+
8
(1/ 2 ) ( 4 / 3)
2
+ (1/ 2 ) + (1/ 2 )
2
2
)
6
+
( 4 / 3)
3
3
(
6 1 +0 +0
2 2 2
)
6
+
( 4 / 3)
2
3
(
12 12 + 12 + 02
)
6
+ = =
( 4 / 3)
(
24
(3 / 2)
2
+ (1/ 2 ) + (1/ 2 )
=
70.1ε
σ3
u (r ) = − A B + ， rm rn
2.2 设原子之间总的相互作用能可表示为
式中，第一项为引力能，第二项为排斥能，A、B 均为正常数。证明：要使这两原子系统处于平衡态，必 须 n>m。 证明：参考陈金富 9.1
2
第二章 晶体的结合和弹性 平衡条件
⎛ mA nB ⎞ dU |r = r0 = ⎜ m +1 − n +1 ⎟ = 0 ⎜ r0 dr r0 ⎟ ⎝ ⎠

固体物理-第3章-晶体振动与晶体热学性质-3.1

固体物理-第3章-晶体振动与晶体热学性质-3.1

第三章 晶格振动与晶体热学性质 §3.1 一维晶格的振动
格波的意义
格波方程
un Aei(tnaq)
i(t 2 x )
对比连续介质波 Ae
A ei (t qx )
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动,不同 原子间有振动位相差，这种振动以波的形式在整个晶体 中传播，称为格波。
m
d 2un dt 2
(un1 un1 2un )
设方程解
un Aei(t naq)
naq — 第n个原子振动位相因子
un1 Aeitn1aq
un1 Aeitn1aq
得到 m2 (eiaq eiaq 2)
2 4 sin2 ( aq )
m
2
~ q —— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
—— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
Aei[t(2na)q] 2n
and
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
两种原子振动的振 幅A和B一般不同
第三章 晶格振动与晶体热学性质 §3.1 一维晶格的振动
第2n+1个M原子 M &&2n1 (22n1 2n2 2n ) 第2n个m原子 m&&2n (22n 2n1 2n1)
要求 eiNaq 1 Naq 2h
q 2 h —— h为整数
Na
波矢的取值范围 q
a
a
N h N
2
2
h — N个整数值 q 取N个不同分立值
第三章 晶格振动与晶体热学性质 §3.1 一维晶格的振动
N h N

固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质

固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质

3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式

a
)

[理学]《固体物理学》房晓勇思考题参考解答

[理学]《固体物理学》房晓勇思考题参考解答

⎧ a1 cos a1 , n = h1d ⎪ ⎪ ⎨ a2 cos a 2 , n = h2 d ⎪ ⎪ a3 cos a 3 , n = h3 d ⎩
( ( (
) ) )
(1 − 10a )
1.3 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 解答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层 的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.
1.11 面心立方和体心立方晶格中原子线密度最大的是哪个方向？ 解答：参考王矜奉 1.2.11 面间距最大的晶面上的格点 最密， 格点最密的线一定分布在 格点最密的面上。 根据《固体物理学》习题 1.12，面心立方晶格中格点面密 度最大的面是面指数为（111） 的晶面， 所以面心立方晶格中原 子线密度最大的方向是晶面 （111）内如图所示，最小的晶 列周期为 2a / 2 . 体心立方晶格中，面密度最大的面是面指数为（110）的晶面，所以面心立方晶格中原子线密度最大的 方向是晶面（110）内如图所示，最小的晶列周期为 3a / 2 . 1.12 二维布喇菲点阵只有五种，试列举并画图表示之。 解答：参考基泰尔 P6 有斜方晶格、正方晶格、长方晶格、六角晶格和有心长方晶格五种。
4
第一章 晶体的结构习题
解答：王矜奉 1.1.8 正格子与倒格子互为倒格子，正格子晶面 ( h 1 , h2 , h3 ) 与倒格式 K h = h1 b1 + h2 b 2 + h3 b3 垂直，则倒格晶面
( l1l2l3 ) 与正格矢 Rl = l1 a1 + l2 a2 + l3 a3 正交，即晶列 [l1l2l3 ] 与倒格面 ( l1l2l3 ) 垂直。

固体物理(第三章 晶格振动与晶体的热学性质)


µi 之间，通过如下形式的正交变
mi µ i = ∑ aij Q j
j =1
3N
= ai1Q1 + ai 2Q2 + L + ai 3 N Q3 N
m1 µ1 = a11Q1 + a12Q2 + L + a13 N Q3 N
§3-1 简谐近似和简正坐标 8 / 17
& i2 µ
mi µ i = ∑ aij Q j = ai1Q1 + ai 2Q2 + L + ai 3 N Q3 N
15 / 17 11/11
§3-1 简谐近似和简正坐标
由上所述，只要能找到体系的简正坐标，或者说振动模， 问题就解决了。
§3-1 简谐近似和简正坐标
16 / 17
§3-1 简谐近似和简正坐标
17 / 17
Qi = A sin(ωi t + δ )
§3-1 简谐近似和简正坐标 10 / 17
任意简正坐标的解为：
Qi = A sin(ωi t + δ )
ωi
是振动的圆频率，ωi
= 2πν i
表明：一个简正振动是表示整个晶体所有原子都参与的振 动。而且它们的振动频率相同。一个简正振动并不是表示某一 个原子的振动。 由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的共同振动 常常称为一个振动模。
能量本征值
ε i = (ni + )hωi
ϕ n (Qi ) =
i
1 2
本征态函数
ωi
ξ=
Qi h H ni (ξ ) 表示厄密多项式
14 / 17
ω
ξ2 exp H ni (ξ ) − 2 h

固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质

固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。

只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。

由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。

对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。

和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。

这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。

若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。

当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。

晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。

ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。

这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。

若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。

23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。

固体物理学：第三章 晶格振动和晶体的热学性质2


可以写为
第1式取复共轭得
因为位移为实数，所以
Q * (q) Q(q)
1 N
当
e
n 0
N 1
ina ( q q )
qq
当q=q’时，每一项等于1，共有N项，显然成立。
q q
1 N
isna e n 0 iNa N 1
q q s, q h 2 Na
j 1
3N
引入简正坐标的目的是使系统的势能函数和动能函数都 具有简单的形式，即化为平方项之和，而无交叉项。
2 1 T Qi 2 j 1 2 2 1 V i Qi 2 j 1 3N 3N
拉格朗日函数为 定义正则动量为
L T V L Pi Q i Qi
3.2 简正振动
声子
上面讨论的方法对于进一步的理论分析并不适用，如固 体比热问题，晶格散射问题。本节采用分析力学的方法处 理晶格振动问题。
基本方法：写出晶格的动能和势能，利用正则方程建立 一组新的方程。
特点：可以直接过渡到量子理论。
如果晶体包含N个原子，平衡位置分别为Rn，偏离 平衡位置的位移为μ，把位移矢量用分量表示，N个 原子的位移矢量共有3N个分量，
1 ( 2 2 2Q 2 ) (Q ) (Q ) i i i i i 2 2 Qi i 1,2,,3N
Байду номын сангаас 本征值
i ( n 1 ) i
2
本征态为
ni (Qi ) exp(

2
2
) H ni ( )
其中
Qi
1 E i (ni )i 2 i 1 i 1
写出哈密顿量

0301第三章晶格振动与晶体的热学性质


原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密
顿量之和 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的 —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的
振 动模式 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综
—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来
3N
假设存在线性变换 mi i aijQj
j1
系统的哈密顿量
H123iN1Q i2123iN1
Q 2 2
ii
拉格朗日函数
LTV1 23 i N 1Q i21 23 i N 1
Q 2 2
ii
正则动量
pi
—— 谐振子方程
本征态函数 ni(Qi) i exp(22)Hni()
Qi i /
Hni () — 厄密多项式
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质 10 / 11
N个原子组成的晶体 系统薛定谔方程
[3 i N 11 2 ( 2 Q 2 i2 3 i N 1i2 Q i2 )] (Q 1 , Q 3 N ) E(Q 1 , Q 3 N )
取 V0 0
平衡位置
( V
i
)0

0
—— 不计高阶项
系统的势能函数
V
1 3N ( 2V
2i, j1 ij
)0ij
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质 05 / 11
系统的势能函数
V1
3N
(
2V
2i, j1 ij
)0ij
[3 i N 11 2 ( 2 Q 2 i2 3 i N 1i2 Q i2 )] (Q 1 , Q 3 N ) E(Q 1 , Q 3 N )
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第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q a π=，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。

解答：3.5 什么叫简正模式？简正振动数目、格波数目或格波模式数目是否是同一概念？ 解答：（王矜奉3.1.3，中南大学3.1.3）为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加.简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N .3.6 有人说，既然晶格独立振动频率的数目等于晶体的自由度数，而hv 代表一个声子。

因此，对于一给定的晶体，它所拥有声子的数目一定守恒。

这种说法是否正确？解答：（王矜奉3.1.5，中南大学3.1.5）频率为的格波的(平均) 声子数为,即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为.作变量代换，.其中是德拜温度. 高温时,,即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.低温时, ,,即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比.3.7 长光学支格波与长声学支格波的本质上有何区别？解答：（王矜奉3.1.4，中南大学3.1.4）长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.3.8 同一温度下，一个光学波的声子数目与一个声学波的声子数目相同吗？解答：（王矜奉3.1.6，中南大学3.1.6）频率为的格波的(平均) 声子数为.因为光学波的频率比声学波的频率高, ()大于(), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.3.9 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多？解答：（王矜奉3.1.7，中南大学3.1.7）设温度T H>T L, 由于()小于(), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.3.10 由两种不同质量的原子组成的晶格，即使相邻原子间相互作用的恢复力常数相等，也将存在光学波。

试问：由质量相同的原子组成的晶格，若一个原子与两个近邻原子间有不同的恢复力常数，是否有光学波存在？解答：3.11 高频线性谐振子和低频线性谐振子中，在高温区和低温区哪个队热容的贡献大？解答：3.12 在低温下，不考虑光学波对比热容的贡献合理吗？解答：王矜奉3.1.17，中南大学3.1.17）参考《固体物理学》（3-84）式, 可得到光学波对热容贡献的表达式.在甚低温下, 对于光学波, , 上式简化为.以上两式中是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下,, 即光学波对热容的贡献可以忽略. 也就是说, 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献是合理的.从声子能量来说, 光学波声子的能量很大(大于短声学波声子的能量), 它对应振幅很大的格波的振动, 这种振动只有温度很高时才能得到激发. 因此, 在甚低温下, 晶体中不存在光学波.3.13 若考虑非线性相互作用，当晶格发生伸长或压缩的形变时，晶格振动的频率是否变化？如何变化？解答：3.14 试简述固体中的非线性振动对固体的热膨胀、弹性模量、热容、热导、热阻等物理性质的影响。

解答：3.15 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？解答：（王矜奉3.1.10，中南大学3.1.10）晶格振动谱的测定中, 光波的波长与格波的波长越接近, 光波与声波的相互作用才越显著. 喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说, 该波长属于长波长范围. 因此, 喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用. 长光学波声子的波矢很小, 相应的动量不大. 而能产生倒逆散射的条件是光的入射波矢与散射波矢要大, 散射角也要大. 与大要求波长小, 散射角大要求大(参见下图), . 但对喇曼散射来说, 这两点都不满足. 即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射.3.16长声学波能否导致离子晶体的宏观极化？解答：（王矜奉3.1.11，中南大学3.1.11）长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.3.17 何谓极化声子？何谓电磁声子？解答：（王矜奉3.1.13，中南大学3.1.13）长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 称长光学纵波声子为极化声子.由《固体物理学》式(3.80a)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们称长光学横波声子为电磁声子.3.18 温度降到很低时。

爱因斯坦模型与实验结果的偏差增大，但此时，德拜模型却与实验结果符合的较好。

试解释其原因。

解答：（王矜奉3.1.16，18，中南大学3.1.16,18）按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.3.19 绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？解答：（王矜奉3.1.19，中南大学3.1.19）频率为的格波的振动能为,其中是由个声子携带的热振动能, ()是零点振动能, 声子数.绝对零度时, =0. 频率为的格波的振动能只剩下零点振动能.格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量.3.20 石英晶体的热膨胀系数很小，问它的格林爱森常数有何特点？解答：（王矜奉3.1.21，中南大学3.1.21）由本教科书(3.158)式可知, 热膨胀系数与格林爱森常数成正比. 石英晶体的热膨胀系数很小, 它的格林爱森常数也很小. 格林爱森常数大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度. 石英晶体的格林爱森常数很小, 说明它的非简谐效应很小.补充1温度很低时, 声子的自由程很大, 当时, , 问时, 对于无限长的晶体, 是否成为热超导材料?解答：（王矜奉3.1.20，中南大学3.1.20）对于电绝缘体, 热传导的载流子是声子. 当时, 声子数n. 因此, 时, 不论晶体是长还是短, 都自动成为热绝缘材料.补充2 对于光学横波, 对应什么物理图象?解答：（王矜奉3.1.15，中南大学3.1.15）格波的频率与成正比. 说明该光学横波对应的恢复力系数. 时, 恢复力消失, 发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置, 而到达另一平衡位置, 即离子晶体结构发生了改变(称为相变). 在这一新的结构中, 正负离子存在固定的位移偶极矩, 即产生了自发极化, 产生了一个稳定的极化电场.补充3你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？解答：（王矜奉3.1.14，中南大学3.1.14）实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波.补充4金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对KCl晶体, 结论又是什么?解答：（王矜奉3.1.12，中南大学3.1.12）长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 电场的方向是阻滞离子的位移, 使得有效恢复力系数变大, 对应的格波的频率变高. 长光学格横波不引起离子的位移, 不产生极化电场, 格波的频率不变. 金刚石不是离子晶体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等. 而KCl晶体是离子晶体, 它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等, 长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率.补充5 从图3.6所示实验曲线, 你能否判断哪一支格波的模式密度大? 是光学纵波呢, 还是声学纵波?解答：（王矜奉3.1.9，中南大学3.1.9）从图3.6所示实验曲线可以看出, 在波矢空间内, 光学纵波振动谱线平缓, 声学纵波振动谱线较陡.单位频率区间内光学纵波对应的波矢空间大, 声学纵波对应的波矢空间小. 格波数目与波矢空间成正比,所以单位频率区间内光学纵波的格波数目大. 而模式密度是单位频率区间内的格波数目, 因此光学纵波的模式密度大于声学纵波的模式密度.补充6高温时, 频率为的格波的声子数目与温度有何关系?解答：（王矜奉3.1.8，中南大学3.1.8）温度很高时, , 频率为的格波的(平均) 声子数为.可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.补充7 什么是简谐近似？解答：（参考中南大学3.2.1）当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。