第11课时 矩形、菱形、正方形(4)

矩形菱形正方形（第4课时）教学目的：1．理解并掌握菱形的概念及三个判定方式；会用这些判定方式进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方式的探索与综合应用中，培育学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．教学重点：菱形的三个判定方式．教学难点：判定方式的证明方式及运用．难点的冲破方式：引入时，能够通过教材P87的试探，及利用折纸、剪切的方式，让学生动起来，师生一路探讨并归纳出菱形的几种判定方式．在判定一个图形是菱形时，用它的“概念”判定是最大体、最重要的方式，另外二个判定方式都是以概念为基础推导出来的．应用判定方式2时，要注意其性质包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线彼此垂直．为了加深印象，也能够举一些反例提问学生，如对角线彼此垂直的四边形是菱形吗？为何？同时可用图来证明．菱形常常利用的判定方式让学生讨论归纳后，由教师小结并板书。

教学进程一、温习（1）菱形的概念：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线彼此垂直，而且每条对角线平分一组对角；（3）运用菱形的概念进行菱形的判定，应具有几个条件？（判定：2个条件）二、新课2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除按照概念判定外，还有其它的判定方式吗？3．【探讨】用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，周围围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，那个四边形何时变成菱形？动动手：请你用圆规在下图顶用两种不同的画法别离作菱形ABCD。

A通过演示，容易患到：菱形判定方式1 四边都相等的四边形是菱形．菱形判定方式2 对角线彼此垂直的平行四边形是菱形．注意此方式包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线彼此垂直． 三、例题一、按照菱形的判定（1），（2），写出“已知”“求证”并证明。

二、讲义P88例53、选讲 已知：△ABC 中， ∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，CD ⊥AB 与D ，EH ⊥AB 于H ，CD 交BE 于F ．求证：四边形CEHF 为菱形．略证：易证CF ∥EH ，CE=EH ，在Rt △BCE 中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt △BDF 中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF ，∠CFE=∠DFB ，所以∠CEB=∠CFE ，所以CE=CF ．所以，CF=CE=EH ，CF ∥EH ，所以四边形CEHF 为菱形． 4、练习 (1)．填空：（1）对角线彼此平分的四边形是 ； （2）对角线彼此垂直平分的四边形是_____ ___； （3）对角线相等且彼此平分的四边形是____ ____； （4）两组对边别离平行，且对角线 的四边形是菱形． (2)．已知:如图,四边形ABCD 是平行四边形,AC 为对角线,且∠DAC =∠BAC, 求证：平行四边形ABCD 是菱形.(3)．如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，DE 和CE 相交于E ，求证：四边形OCED 是菱形。

第11讲 菱形、正方形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、基本性质：（1）边：菱形的四条边都相等；（2）角：菱形的对角相等，邻角互补；（3）对角线：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角： （4）对称性：菱形是轴对称图形，中心对称图形，对称轴有两条；（5）面积：S=21ab(其中a 、b 分别是菱形的两条对角线的长). 或 S=底×高。

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形;（2）四边都相等的四边形是菱形;（3）对角线互相垂直平分的四边形是菱形;（4）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.1、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、基本性质：（1）边：正方形四条边都相等；（2）角：正方形的四个角都相等；（3）对角线：对角线相等且互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； （4）对称性：是中心对称图形，又是轴对称图形，对称轴有四条；（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形。

考点1、菱形的性质例1、菱形的一个内角是120°，一条较短的对角线的长为10，则菱形的周长是________ 例2、如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是________．例3、已知菱形的一条对角线长为12cm ，面积为30cm 2，则这个菱形的另一条对角线长为_______cm 。

例4、如图，菱形ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数。

例5、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．（1）证明：四边形ACDE 是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．例6、如图，在菱形ABCD 中，F 为对角线BD 上一点，点E 为AB 延长线上一点，DF=BE ，CE=CF.求证：（1）△CFD ≌△CEB ；（2）∠CFE=60°.例7、已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2． （1）、若CE=1，求BC 的长；（2）、求证：AM=DF+ME ．1、菱形ABCD 中，∠A ＝60o ，对角线BD 长为7cm ，则此菱形周长 cm 。

八年级数学(上)第三章中心对称图形(一)第11课时矩形、菱形、正方形(四)（附答案）1．下列说法：①一组邻边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形；④一组邻边相等且有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；⑤四条边都相等的四边形是菱形．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果□ABCD满足条件______________(填写一个合适的条件)，那么它的对角线AC、BD 就互相垂直．3．如图，在□ABCD中，AD=2AB，∠ABC的平分线交AD于点E，EF∥AB交BC于点F．请判断图中的四边形ABFE和四边形EFCD的形状，并请说明理由．4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于点P．请你判断四边形AODP的形状，并说明理由．5．在下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直平分6．□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列各条件中不能判定□A BCD是菱形的是( ) A．AB=BC B．A C⊥BD C．∠A=∠D D．CA平分∠BCD 7．如图，AD是△AEC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．8．如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F．试说明四边形AFCE是菱形．9．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为2 cm和4 cm．10．在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，并问同学们：“重叠部分是一个什么样的四边形?”甲同学说：“这是一个平行四边形．”乙同学说：“这是一个菱形．”请问，你同意谁的看法?要解决此题，需构建数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，边CD与边BC上的高相等．试判断四边形ABCD的形状．11．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．(1)试说明△ABM≌△DCM．(2)四边形MENF是什么图形?请说明你的结论．(3)若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系?并请说明理由．参考答案1．B2．答案不唯一，如一组邻边相等3．四边形ABFE和四边形EFCD都是菱形∵AE∥BF，∴∠AEB=∠EBF．∵BE平分∠ABF．∴∠ABE=∠EBF．∴∠ABE=∠AEB．∴AB=AE．∵AE∥BF，AB∥EF，∴四边形ABFE为平行四边形．∴四边形ABFE为菱形．同理，四边形EFCD为菱形4．四边形AODP是菱形∵矩形ABCD，∴AO=12AC=12BD=OD．∵AP∥BD，DP∥AC，∴四边形AODP为平行四边形．∴四边形AODP是菱形5．D6．C7．四边形AEDF是菱形∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠BAD=∠ADE．∴AE=DE．∴四边形AEDF是菱形8．点拨：可证△AO E≌△COF，∴OE=OF，AO=CO．∴四边形AFCE为平行四边形．∵EF垂直平分AC．∴四边形AFCE是菱形．9．略10．都同意11．(1) ∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AB=CD，∠A=∠D ∵M是AD的中点，∴AM=DM．∴△AB M≌△DC M (2)四边形MENF是菱形(3)梯形的高等于底边BC的一半连接MN．∵四边形MENF是正方形，∴∠BMC=90°．∵MB=MC，N是BC的中点，∴MN⊥BC，且MN=12BC。

第11课时矩形、菱形、正方形(4)（附答案）【基础巩固】1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是( )A．对角线垂直 B．两对角线相等C．两对线互相平分 D．两对角线互相垂直平分2．下列说法正确的是 ( )A．菱形的对角线相等B．两组邻边分别相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．菱形的对角线互相垂直平分3．一张矩形纸片纸对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是 ( )A．三角形B．矩形C．菱形 D．梯形4．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且△AOB、△COB、△COD、△AOD是4个全等的直角三角形，那么四边形ABCD是菱形吗？为什么？5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，四边形AFCE是菱形吗？为什么？6．如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，BD与AE、AF分别相交于点G、H．若AG＝AH，求证：四边形ABCD是菱形．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF∥BE交AD于F，连接BF、CE．求证：四边形BECF是菱形．8．如图，在△ABC中，AB＝2BC，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点E 旋转180°得到△CFE．试判断四边形BCFD的形状，并说明理由．【拓展提优】9．如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H是对角线BD上的任意一点，则HE＋ HF的最小值是( )A．14 B．28 C．6 D．1010．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，ED⊥BC，DF∥AB．求证：AD与EF互相垂直平分．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，CD为斜边AB上的高，AE为∠CAB的平分线，AE交CD于点F，EG⊥AB于点F，连接FG．(1)求证：四边形CFGE是菱形．(2)若过点F作FH∥AB交BC于H，求证：BH＝CE．12．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为边AB、AD的中点，连接EF、OE、OF．四边形AEOF是菱形吗？请说明理由．13．两块完全相同的三角板I(△ABC)和Ⅱ(△A1B1C1)按如图①所示放置在同一平面上(∠C＝∠C1＝90°，∠ABC＝∠A1B1C1＝60°)，斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板I在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图②是滑动过程中的一个位置．(1)在图②中，连接BC1、B1C，求证：△A1BC1≌△AB1C．(2)三角板I滑到什么位置（点B1落在AB边的什么位置）时，四边形BCB1C1是菱形？说明理由．14．如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB、BC分别交于点M、H．(1)求证：CF＝CH；(2)如图②，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，四边形ACDM是什么四边形？并说明理由．15．如图，在菱形ABCD中，顶点A到边BC、CD的距离AE、AF都为5，EF＝6，那么，菱形ABCD的边长为_______．参考答案【基础巩固】1．D 2．D 3．C 4．是5．是6．略7．略8．菱形【拓展提优】9．D 10．略11．略12．是13．(1)略(2)落在AB的中点14．(1)略(2)菱形15．125 24。