2015-2016年北京市通州区潞河中学高二(上)期中数学试卷和答案(理科)

2016通州潞河中学高二（上）期中数学（理）一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．（5分）直线2x+y+7=0的倾斜角为（）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在2．（5分）已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（）A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β3．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（）A．一定相离 B．一定相切C．相交且一定不过圆心D．相交且可能过圆心4．（5分）已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y=0 B．x+y=2 C．x﹣y=2 D．x﹣y=﹣25．（5分）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）A．B．8 C．D．6．（5分）与圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0都相切的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．（5分）如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．③D．③④8．（5分）已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（）A．B．或36+C．36﹣D．或36﹣二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．（5分）直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，则实数a的值为．10．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是．11．（5分）已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m= ．12．（5分）若实数x，y满足x2+y2﹣2x+4y=0，则x﹣2y的最大值为．13．（5分）如图：直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA′和CC′上，AP=C′Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为．14．（5分）设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE．16．（13分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．17．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面A1DC；（Ⅱ）若CD=2，求BD与平面A1BC所成角的正弦值；（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．18．（14分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．19．（13分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若，求实数k的值；（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．20．（13分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．数学试题答案一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．【解答】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，则θ为钝角．故选：C．2．【解答】A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；综上D选项中的命题是错误的故选D3．【解答】圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，∴圆心C（1，0），半径r=，∵≥＞1，∴圆心到直线l的距离d=＜=r，且圆心（1，0）不在直线l上，∴直线l与圆相交且一定不过圆心．故选C4．【解答】由题意可得圆C1圆心为（0，0），圆C2的圆心为（﹣2，2），∵圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l对称，设直线l方程为y=kx+b，∴•k=﹣1且=k•+b，解得k=1，b=2，故直线方程为x﹣y=﹣2，故选：D．5．【解答】由题意可知，几何体的底面是边长为4的正三角形，棱锥的高为4，并且高为侧棱垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥，两个垂直底面的侧面面积相等为：8，底面面积为：=4，另一个侧面的面积为：=4，四个面中面积的最大值为4；故选C．6．【解答】∵圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0的方程可化为，；；∴圆C1，C2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r1=1，r2=6．∴两圆的圆心距=r2﹣r1；∴两个圆外切，∴它们只有1条内公切线，2条外公切线．故选C．7．【解答】∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=，AB=当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确故选D8．【解答】因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：或．故选D二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．【解答】直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，∴，解得 a=1．故答案为 1．10．【解答】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），=﹣1+0+1=0，∴A1E⊥GF，∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0．故答案为：0．11．【解答】整理圆的方程为（x﹣1）2++y2=1故圆的圆心为（1，0），半径为1直线与圆相切∴圆心到直线的距离为半径即=1，求得m=8或﹣18故答案为：8或﹣1812．【解答】方程x2+y2﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距，经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大，最大值为：10．故答案为：10．13．【解答】由于四棱锥B﹣APQC的底面面积是侧面ACC′A′的一半，不妨把P移到A′，Q移到C，所求四棱锥B﹣APQC的体积，转化为三棱锥A′﹣ABC体积，就是：故答案为：14．【解答】因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d==1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M 中的直线上，故C正确；D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确．故答案为：BC．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．【解答】（Ⅰ）连接FO，∵底面ABCD是正方形，且O为对角线AC和BD交点∴O为BD的中点，又∵F为BE中点，∴OF为△BDE的中位线，即DE∥OF，又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，∴DE∥平面ACF．（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．16．【解答】（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为，即x+2y﹣6=0．17．【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，△ABC中，DE∥BC，AC⊥BC，则AC⊥DE，∴在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，又∵A1D∩DC=D，∴DE⊥平面A1DC，∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1DC，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1DC．（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系：A1（0，0，4）B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（2，0，0）．则，，设平面A1BC的法向量为则，解得，即则BE与平面所成角的正弦值为（Ⅲ）解：设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，在（2）的坐标系下有：A1（0，0，6﹣x），B（3，x，0），∴==（0＜x＜6），即当x=3时，A1B长度达到最小值，最小值为．18．【解答】（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）19．【解答】（I）设圆心C（a，a），半径为r．因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，所以解得a=0，r=2，…（2分）所以圆C的方程是x2+y2=4．…（4分）（II）方法一：因为，…（6分）所以，∠POQ=120°，…（7分）所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，…（8分）又，所以k=0．…（9分）方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0．…（6分）由题意得：…（7分）因为=x1•x2+y1•y2=﹣2，又，所以x1•x2+y1•y2=，…（8分）化简得：﹣5k2﹣3+3（k2+1）=0，所以k2=0，即k=0．…（9分）（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有，…（10分）又根据垂径定理和勾股定理得到，，…（11分）而，即…（13分）当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）方法二：设四边形PMQN的面积为S．当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时．…（10分）当直线l的斜率k≠0时，设则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0所以同理得到．…（11分）=…（12分）因为，所以，…（13分）当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）20．【解答】（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1（2分）d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=（8分）整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以或（10分）解得或这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）（12分）。

2015-2016学年北京市通州区潞河中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={2，3，5}，N={4，5}，则∁U（M∪N）的元素个数有（）A．0个 B．1个 C．2 D．3个2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x3 B．y=ln|x|C．y=﹣x2D．y=2x3．（5分）若，b=2﹣0.1，，则a，b，c大小关系从小到大为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c4．（5分）已知f（x）=ax3+bx+2且f（5）=16，则f（﹣5）的值为（）A．﹣12 B．﹣18 C．12 D．185．（5分）已知函数f（x）=a x，g（x）=log a x（a＞0，a≠1），若，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．6．（5分）某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数是R上的增函数，那么实数a的范围（）A．B． C．（1，+∞）D．（1，2）8．（5分）如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（m2）与时间t（月）的关系：f（t）=a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②浮萍每个月增长的面积都相等；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④对浮萍蔓延到的任意两个时间点t1，t2，都有成立；⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1+t2=t3．其中正确的是（A．①③④B．①③④⑤C．①④⑤D．②③⑤二、填空题（本题6个小题，每小题5分，共30分）9．（5分）计算的结果是．10．（5分）若a＞0且a≠1，则函数y=a x﹣2﹣1的图象必过定点．11．（5分）有以下判断：①与是同一个函数；②y=2x﹣1与y=2t﹣1是同一个函数；③y=f（x）与直线x=2的交点最多有一个；④y=1不是函数．其中正确的序号为．12．（5分）函数f（x）=x2+（2﹣k）x+1在[﹣2，2]上是单调函数，则k的取值范围为．13．（5分）函数定义域为；值域为．14．（5分）已知f是有序数对集合M={（x，y）|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数数对（x，y）在映射f下的象为实数z，记作f（x，y）=z．对于任意的正整数m，n（m＞n），映射f由表给出：则f（3，5）=，使不等式f（2x，x）≤4成立的x的集合是．三、解答题（本题6个小题，共80分）15．（13分）已知集合，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|5﹣a＜x＜a}，（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求实数a的取值范围．16．（13分）已知函数．（1）求的值；（2）画出函数的图象，并根据图象写出函数的值域和单调区间；（3）若方程f（x）=m有四个根，求实数m的取值范围，并求出这四个根的和．17．（13分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，（1）求函数f（x）的值域A；（2）解不等式f（lgx）＞f（﹣1）；（3）设函数的定义域为集合B，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．18．（13分）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨（0≤t≤24）（1）设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，写出y关于t的函数表达式；（2）求从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（3）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？19．（14分）已知f（x）=log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若f（）＞0且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立，求实数b的取值范围．20．（14分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当a，b∈[﹣2，2]，且a+b≠0时，有．（1）比较f（1）与f（0）的大小；（2）若m＞n，试比较f（m）与f（n）的大小；（3）若f（2）=1，f（x）≤t2﹣2bt+1，对所有x∈[﹣2，2]，b∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．2015-2016学年北京市通州区潞河中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={2，3，5}，N={4，5}，则∁U（M∪N）的元素个数有（）A．0个 B．1个 C．2 D．3个【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={2，3，5}，N={4，5}，∴M∪N={2，3，4，5}，∴∁U（M∪N）={1，6}，∴∁U（M∪N）的元素个数是2个．故选：C．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x3 B．y=ln|x|C．y=﹣x2D．y=2x【解答】解：A．y=x3是奇函数，不是偶函数，∴该选项错误；B．y=ln|x|的定义域为{x|x≠0}，且ln|﹣x|=ln|x|；∴该函数为偶函数；x＞0时，y=ln|x|=lnx为增函数；∴该选项正确；C．y=﹣x2在（0，+∞）上单调递减，∴该选项错误；D．指数函数y=2x的图象不关于y轴对称，不是偶函数，∴该选项错误．故选：B．3．（5分）若，b=2﹣0.1，，则a，b，c大小关系从小到大为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解答】解：∵0＜＜b=2﹣0.1=＜=1，＜=0，∴b＞a＞c．故选：D．4．（5分）已知f（x）=ax3+bx+2且f（5）=16，则f（﹣5）的值为（）A．﹣12 B．﹣18 C．12 D．18【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+2，且f（5）=16，∴f（5）=125a+5b+2=16，∴125a+5b=14，∴f（﹣5）=﹣125a﹣5b+2=﹣（125a+5b）+2=﹣14+2=﹣12．故选：A．5．（5分）已知函数f（x）=a x，g（x）=log a x（a＞0，a≠1），若，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=a x，g（x）=log a x（a＞0，a≠1），∴f（x）＞0，∵，∴g（）＜0，∴a＞1，根据指数，对数函数的单调性得出：f（x），g（x）都为增函数．故选：B．6．（5分）某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：离学校的距离应该越来越小，所以排除C与D．由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．随着时间的增加，距离学校的距离随时间的推移应该减少的相对较快．而等跑累了再走余下的路程，则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间减少应该相对较慢．所以适合的图象为：B故选：B．7．（5分）已知函数是R上的增函数，那么实数a的范围（）A．B． C．（1，+∞）D．（1，2）【解答】解：由题意可得，解得1＜a＜2，故选：D．8．（5分）如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（m2）与时间t（月）的关系：f（t）=a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②浮萍每个月增长的面积都相等；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④对浮萍蔓延到的任意两个时间点t1，t2，都有成立；⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1+t2=t3．其中正确的是（A．①③④B．①③④⑤C．①④⑤D．②③⑤【解答】解：对于①，根据函数的图象知，点（1，2）在函数图象上，∴2=a1，∴a=2，函数为f（x）=2x，底数是2，①正确；对于②，根据函数f（t）=2t的图象知，1﹣2月增加2m2，2﹣3月增加4m2，每个月增长的面积不相等，②错误；对于③，4对应的t=2，经过1.5月后面积是23.5==＜12，故③错误；对于④，函数y=f（t）=2t在R上是增函数，∴y′=f′（x）＞0，∴对任意t1，t2，都有成立，故④正确；对于⑤，令2=，3=，6=，解得x1=1，x2=log23，x3=log26，又∵1+log23=log22+log23=log22×3=log26，∴x1+x2=x3成立，⑤正确．故选：C．二、填空题（本题6个小题，每小题5分，共30分）9．（5分）计算的结果是 1.6．【解答】解：=1﹣0.4+lg2+lg5=0.6+1=1.6，故答案为：1.6．10．（5分）若a＞0且a≠1，则函数y=a x﹣2﹣1的图象必过定点（2，0）．【解答】解：∵a0=1，∴令x﹣2=0，则x=2，故y=1﹣1=0，故函数y=a x﹣2﹣1的图象必过定点（2，0）．故答案为：（2，0）．11．（5分）有以下判断：①与是同一个函数；②y=2x﹣1与y=2t﹣1是同一个函数；③y=f（x）与直线x=2的交点最多有一个；④y=1不是函数．其中正确的序号为②③．【解答】解：①的定义域为{x|x≠0}，的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，∴该判断错误；②y=2x﹣1与y=2t﹣1的定义域和对应法则都相同，是同一函数，∴该判断正确；③对于y=f（x）中任意一个x都有唯一的y和它对应，∴y=f（x）与直线x=2的交点最多一个，∴该判断正确；④y=1为常数函数，∴该判断错误；∴正确的序号为②③．故答案为：②③．12．（5分）函数f（x）=x2+（2﹣k）x+1在[﹣2，2]上是单调函数，则k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．【解答】解：函数f（x）=x2+（2﹣k）x+1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，若函数f（x）=x2+（2﹣k）x+1在[﹣2，2]上是单调函数，则≤﹣2，或≥2，解得：k∈（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）13．（5分）函数定义域为（﹣∞，2）；值域为（﹣2，+∞）．【解答】解：由9﹣3x＞0，解得x＜2，可得函数定义域为（﹣∞，2）．由9＞9﹣3x＞0，可得＞=﹣2．因此函数f（x）的值域为（﹣2，+∞）．故答案分别为：（﹣∞，2），（﹣2，+∞）．14．（5分）已知f是有序数对集合M={（x，y）|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数数对（x，y）在映射f下的象为实数z，记作f（x，y）=z．对于任意的正整数m，n（m＞n），映射f由表给出：则f（3，5）=8，使不等式f（2x，x）≤4成立的x的集合是{1，2} ．【解答】解：∵3＜5，故f（3，5）=3+5=8；∵2x＞x恒成立，故f（2x，x）=2x﹣x，当x=1时，f（2x，x）=2﹣1=1≤4成立，当x=2时，f（2x，x）=22﹣2=2≤4成立，当x≥3时，f（2x，x）＞23﹣3=5，故使不等式f（2x，x）≤4成立的x的集合是：{1，2}故答案为：8，{1，2}．三、解答题（本题6个小题，共80分）15．（13分）已知集合，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|5﹣a＜x＜a}，（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求实数a的取值范围．【解答】解（1）={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，∵C R A={x|x＜3或x≥7}，∴（C R A）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}；（2）由（1）知A∪B={x|2＜x＜10}，①当C=φ时，满足C⊆（A∪B），此时5﹣a≥a，得；②当C≠φ时，要C⊆（A∪B），则，解得．由①②得可知a的取值范围：a≤3．16．（13分）已知函数．（1）求的值；（2）画出函数的图象，并根据图象写出函数的值域和单调区间；（3）若方程f（x）=m有四个根，求实数m的取值范围，并求出这四个根的和．【解答】解：（1）．（2）由图象可知，函数的值域是（﹣∞，1]，单调增区间（﹣∞，﹣1]和[0，1]，减区间[﹣1，0]和[1，+∞）．（3）∵方程f（x）=m有四个根，∴根据图象可得实数m的取值范围是0＜m＜1，由图象判断f（x）是偶函数，所以这四个根的和是0．17．（13分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，（1）求函数f（x）的值域A；（2）解不等式f（lgx）＞f（﹣1）；（3）设函数的定义域为集合B，若A∩B≠∅，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数f（x）的值域A即为x≥0时，f（x）的取值范围．当x≥0时，，故函数f（x）的值域A=（0，1]．（2）当x≥0时，则函数为减函数，∵f（lgx）＞f（﹣1），∴不等式等价为f（|lgx|）＞f（1），即|lgx|＜1，∴﹣1＜lgx＜1解得，即不等式的解集为（，10），（3）∵∴函数g（x）的定义域B={x|﹣x2+（a﹣1）x+a≥0}={x|（x﹣a）（x+1）≤0}若a≤﹣1，则B={x|a≤x≤﹣1}，此时A∩B=∅，不符合题意，故a＞﹣1，即B={x|﹣1＜x＜a}，∵A∩B≠∅，所以a＞0，综上所述，a的取值范围为a＞0．18．（13分）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨（0≤t≤24）（1）设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，写出y关于t的函数表达式；（2）求从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（3）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？【解答】解：（1）设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则（0≤t≤24）（2）令，则x2=6t（0≤x≤12）即y=400+10x2﹣120x=10（x﹣6）2+40（0≤x≤12）∴当x=6时，即t=6时，y min=40即从供水开始到第6个小时时，蓄水池水量最少，最少水量为40吨．（3）依题意，400+10x2﹣120x＜80，得x2﹣12x+32＜0解得4＜x＜8，即，解得由，所以每天约有8小时供水紧张．19．（14分）已知f（x）=log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若f（）＞0且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，且f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即+==log a1=0，故m2=1，又∵m≠﹣1，故m=1，（2）由（1）得f（x）==，令t=，则t在区间（﹣1，1）上单调递减，当0＜a＜1时，y=log a t为减函数，此时函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增；当a＞1时，y=log a t为增函数，此时函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递减；（3）若f（）=＞0，则0＜a＜1，由（1）得，函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增，若f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，则f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2），则f（b﹣2）＞f（2﹣2b），则﹣1＜2﹣2b＜b﹣2＜1，解得：b∈（，）20．（14分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当a，b∈[﹣2，2]，且a+b≠0时，有．（1）比较f（1）与f（0）的大小；（2）若m＞n，试比较f（m）与f（n）的大小；（3）若f（2）=1，f（x）≤t2﹣2bt+1，对所有x∈[﹣2，2]，b∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数∴f（0）=0∵，令a=1，b=0∴，即f（1）＞0∴f（1）＞f（0）（2）设x1，x2∈[﹣2，2]，且x1＜x2，在中，令a=x1，b=﹣x2则∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0又∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（﹣x2）=﹣f（x2）则∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）故f（x）在[﹣2，2]上为增函数∵m＞n∴f（m）＞f（n）（3）∵f（2）=1，且f（x）在[﹣2，2]上为增函数，对所有x∈[﹣2，2]，b∈[﹣1，1]总有f（x）≤t2﹣2bt+1恒成立∴应有1≤t2﹣2bt+1恒成，即t2﹣2bt≥0对于任意b∈[﹣1，1]恒成立记g（b）=﹣2tb+t2，若对所有b∈[﹣1，1]，总有g（b）≥0成立，则只需g（b）在[﹣1，1]上的最小值不小于零即可．①当t=0时，g（b）=0，满足题意；②当t＞0时，g（b）=﹣2tb+t2是减函数，故在[﹣1，1]上，g（b）在b=1处取得最小值，则需满足g（1）=﹣2t+t2≥0，解得t≥2或t≤0（舍）；③当t＜0时，g（b）=﹣2tb+t2是增函数，故在[﹣1，1]上，g（b）在b=﹣1处取得最小值，则需满足g（﹣1）=2t+t2≥0，解得t≤﹣2或t≥0（舍）；综上所述，t的取值范围为t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）。

2015-2016学年北京市通州区潞河中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上）1．命题“p或q”为真命题（）A．命题p为真B．命题q为真C．命题p和命题q一真一假D．命题p和命题q至少一个为真2．已知m∈R，则“m≠5”是“曲线为椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上，AF2⊥x轴，若，则椭圆的离心率等于（）A．2 B．C．D．4．设抛物线y2=px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．85．已知点A（4，8）是抛物线C：y2=2px与直线l：y=k（x+4）的一个交点，则抛物线的焦点到直线l的距离是（）A．B． C． D．6．已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到直线l1：4x﹣3y+11=0的距离和到l2：x=﹣1的距离之和的最小值为（）A．B．3 C．2 D．7．已知双曲线与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积等于1，则m=（）A．B．1 C．D．8．若直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长不小于，则l与下列曲线一定有公共点的是（）A．B．（x﹣1）2+y2=1 C．y=x2 D．x2﹣y2=1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分共30分．把答案填写在答题纸上．）9．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为．10．已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．11．在抛物线x2=2py（p＞0）上，纵坐标为2的点到抛物线焦点的距离为5，则p=．12．抛物线顶点在原点，其准线方程过双曲线的右焦点，则此抛物线方程为．13．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上一个动点．若点P到直线x﹣y+2=0的距离大于t恒成立，则实数t的最大值为．14．已知直线l：y=﹣2，定点F（0，2），P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为．二、解答题本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知一定点A（4，﹣3），B为圆（x+1）2+y2=4上的动点，求线段AB中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．16．已知双曲线的实轴长为2，点在此双曲线上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB中点N 在圆x2+y2=5上，求实数m的值．17．在直角坐标系xOy中，点M到点F1、F2的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：与轨迹C交于不同的两点P和Q．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）是否存在常数k，使？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．18．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的方程；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．19．已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．20．已知椭圆的离心率，点（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，点D（0，﹣1），当|DM|=|DN|时，求实数m的取值范围．2015-2016学年北京市通州区潞河中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上）1．命题“p或q”为真命题（）A．命题p为真B．命题q为真C．命题p和命题q一真一假D．命题p和命题q至少一个为真【考点】复合命题的真假．【分析】利用“或命题”的定义及其性质即可判断出结论．【解答】解：命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q至少一个为真．故选：D．2．已知m∈R，则“m≠5”是“曲线为椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】曲线为椭圆⇔m＞0，且m≠5．即可判断出结论．【解答】解：曲线为椭圆⇔m＞0，且m≠5．∴“m≠5”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件．故选：B．3．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上，AF2⊥x轴，若，则椭圆的离心率等于（）A．2 B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用勾股定理与椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出．【解答】解：设|AF1|=5m，∵，∴|AF2|=3m，∴5m+3m=2a，2c==4m，∴e===．故选：C．4．设抛物线y2=px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】先根据标准方程确定椭圆的右焦点坐标，抛物线的焦点坐标，利用抛物线y2=px的焦点与椭圆的右焦点重合，即可得出结论．【解答】解：由题意，椭圆的右焦点为（2，0）∵抛物线y2=px的焦点为，抛物线y2=px的焦点与椭圆的右焦点重合∴∴p=8故选D．5．已知点A（4，8）是抛物线C：y2=2px与直线l：y=k（x+4）的一个交点，则抛物线的焦点到直线l的距离是（）A．B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将点A的坐标代入抛物线方程及直线的方程，求出p，k的值，进一步求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离个数求出抛物线C的焦点到直线l的距离．【解答】解：因为点A（4，8）是抛物线C：y2=2px与直线l：y=k（x+4）的一个交点，所以64=8p，8=8k所以p=8，k=1，所以抛物线方程为y2=16x，l的方程为x﹣y+4=0所以抛物线的焦点为（4，0），所以抛物线C的焦点到直线l的距离是=4故选D．6．已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到直线l1：4x﹣3y+11=0的距离和到l2：x=﹣1的距离之和的最小值为（）A．B．3 C．2 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】如图所示，过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：如图所示，过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F（1，0），由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∴|PM|+|PN|=|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．其最小值为点F到直线l1的距离，∴|FM|==3．故选B．7．已知双曲线与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积等于1，则m=（）A．B．1 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出抛物线的渐近线，联立方程求出A，B的坐标，根据三角形的面积建立方程进行求解即可．【解答】解：抛物线的准线为x=﹣1，当x=﹣1时，﹣y2=1，即y2=﹣1=，0＜m＜1，则y=±，设A（﹣1，），B（﹣1，﹣），则AB=2•，则S=2×1=1，即1﹣m2=m2，则m2=，则m=，故选：C8．若直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长不小于，则l与下列曲线一定有公共点的是（）A．B．（x﹣1）2+y2=1 C．y=x2 D．x2﹣y2=1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长不小于，可得圆心到直线l 的距离为1，从而直线l与圆x2+y2=1有公共点，根据圆x2+y2=1与x2﹣y2=1有公共点，即可得到结论．【解答】解：∵直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长不小于，∴圆心到直线l的距离d≤1∴直线l是圆x2+y2=1，∵圆x2+y2=1与x2﹣y2=1有公共点∴直线l与x2﹣y2=1一定有公共点故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分共30分．把答案填写在答题纸上．）9．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为∃x∈R，x2+2x+2≤0．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为：命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”．故答案为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．10．已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【考点】双曲线的标准方程．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．11．在抛物线x2=2py（p＞0）上，纵坐标为2的点到抛物线焦点的距离为5，则p=6．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：∵抛物线x2=2py（p＞0）上，纵坐标为2的点到抛物线焦点的距离为5，∴2+=5，∴p=6．故答案为6．12．抛物线顶点在原点，其准线方程过双曲线的右焦点，则此抛物线方程为y2=﹣8x．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的右焦点，结合抛物线的准线方程进行求解即可．【解答】解：由双曲线的方程得a2=3，b2=1，c2=3+1=4，即c=2，即双曲线的右焦点为（2，0），则抛物线的方程设为y2=﹣2px，则抛物线的准线方程为x==2，则p=4，即抛物线的方程为y2=﹣8x，故答案为：y2=﹣8x13．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上一个动点．若点P到直线x﹣y+2=0的距离大于t恒成立，则实数t的最大值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线，利用渐近线和直线x﹣y+2=0平行，求出两平行线之间的距离，利用不等式恒成立进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x或y=﹣x，y=x到平行直线x﹣y+2=0的距离d==，则若点P到直线x﹣y+2=0的距离d＞，∵d＞t恒成立，则t≤，即t的最大为，故答案为：14．已知直线l：y=﹣2，定点F（0，2），P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为4π．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意知，圆心圆心在以点F为焦点、以直线l为准线的抛物线上，此抛物线方程为x2=8y，抛物线上只有点（0，0）到直线l的距离最小为2，故圆心为（0，0）时，圆的半径最小．【解答】解：由题意知，圆心到点F的距离等于半径，圆心到直线l：y=﹣2的距离也等于半径，圆心在以点F为焦点、以直线l为准线的抛物线上，此抛物线方程为x2=8y．要使圆的面积最小，只有半径（圆心到直线l的距离）最小，因为抛物线上只有点（0，0）到直线l的距离最小为2，故圆的面积的最小值是π×22=4π，故答案为：4π二、解答题本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知一定点A（4，﹣3），B为圆（x+1）2+y2=4上的动点，求线段AB中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．【考点】轨迹方程．【分析】分别设出M，B的坐标，利用中点坐标公式把B的坐标用M的坐标表示，然后代入已知圆的方程得答案．【解答】解：设M（x，y），B（m，n），∵M是AB的中点，∴，又∵B在（x+1）2+y2=4上，即（2x﹣4+1）2+（2y+3）2=4，化简为，∴M点的轨迹方程为，该方程表示的是圆心为，半径为1的圆．16．已知双曲线的实轴长为2，点在此双曲线上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB中点N 在圆x2+y2=5上，求实数m的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据双曲线的性质，求出a，b即可求双曲线C的方程；（Ⅱ）根据直线与双曲线的位置关系，求出中点坐标，结合中点坐标在圆上的关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意知：2a=2，∴a=1，又点在双曲线上，∴，∴双曲线方程为：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0）由消y有x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，∴△=（﹣2m）2+4（m2+2）＞0，∴，∵N为AB中点，∴，∵N在圆x2+y2=5上即m2+（2m）2=5，∴m=±1，经检验，符合题意．所以，实数m的值为±1．17．在直角坐标系xOy中，点M到点F1、F2的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：与轨迹C交于不同的两点P和Q．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）是否存在常数k，使？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的应用．【分析】（Ⅰ）M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，由此可求出轨迹C的方程．（Ⅱ）将，代入曲线C的方程，整理得．然后利用根与系数的关系求出k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵点M到，的距离之和是4，∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方程为．（Ⅱ）将，代入曲线C的方程，整理得．①设P（x1，y1），Q（x2，y2），由方程①，得，．②又．③若，则x1x2+y1y2=0，将②、③代入上式，解得．又因k的取值应满足△＞0，即4k2﹣1＞0（*），将代入（*）式知符合题意．18．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的方程；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可知：设直线AB的方程为AB方程为y=k（x﹣1）．，代入抛物线方程，由韦达定理、，即可求得直线AB的斜率；（Ⅱ）四边形OACB面积S OACB=2S AOB=丨OF丨•丨y1﹣y2丨，可得当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴直线AB的斜率一定存在，设为k，AB方程为y=k（x﹣1）．由消y知：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1•x2=1∵，∴x1=5﹣4x2，∴x1•x2=（5﹣4x2）•x2=1，∴x2=或x2=1（舎）∴x1=4，∴x1+x2==，∴k=±．∴直线AB的方程为y=（x﹣1）；（Ⅱ）∵点C与点O关于点M对称，∴M为OC中点∴点C与点O到直线AB的距离相等∴四边形OACB面积S OACB=2S AOB=丨OF丨•丨y1﹣y2丨设直线AB方程为：x=my+1由直线与抛物线联立，消x整理得：y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴即当m=0时，四边形OACB的面积最小为4．19．已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求；（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，求出直线AN，BN的斜率，作和后代入根与系数的关系，整理得答案．【解答】解：（Ⅰ）依题意知：，∴椭圆方程为；（Ⅱ）∵直线AB过点M（1，0），∴设直线AB的方程为x=my+1，再设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x得：（m2+3）y2+2my﹣2=0，∴，∵N（3，2），∴，∴==为定值．20．已知椭圆的离心率，点（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，点D（0，﹣1），当|DM|=|DN|时，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求出MN中点的坐标，再由斜率关系得到m与k的关系，代入判别式大于0求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意知：，解得：a2=3，b2=1，∴椭圆方程为；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消y得：（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴△=（6mk）2﹣12（3k2+1）（m2﹣1）=12（3k2﹣m2+1）＞0，，设MN中点E（x0，y0），则，∵D（0，﹣1），且|DM|=|DN|，∴DE⊥MN，则k DE•k=﹣1，∵，∴3k2+1=2m，代入△=12（3k2﹣m2+1）＞0，知m2﹣2m＜0，解得0＜m＜2．综上：符合条件的实数m的取值范围是（0，2）．2017年1月15日。

2017-2018学年北京市通州潞河中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版第I 卷（选择题共40分）一、选择题（每小题5分，8道题，共40分）1．已知直线m 、n 与平面α、β，下列说法正确的是（ ）． A ．m α∥，n β∥且αβ∥，则m n ∥B ．m α⊥，n β∥且αβ⊥，则m n⊥C ．m αβ= ，n m ⊥且αβ⊥，则m α⊥D ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥【答案】D【解析】A ．m α∥，n β∥且αβ∥，m 与n 可以平行，相交或异面，故A 错误；B ．m α⊥，n β∥且αβ⊥，m 与n 可以平行，相交或异面，故B 错误；C ．m αβ= ，∴m α⊂，n m ⊥不能推出n α⊥，只有当n 垂直于α内两条相交直线才能推出n α⊥． 故选D ．2．如果两条直线1:260l ax y ++=与2:(1)30l x a y +-==平行，则a =（ ）．A ．1-B ．2C ．1-或2D ．23【答案】A【解析】1e 与2e 平行的充要条件：(1)20236(1)0a a a --=⎧⎨⨯--≠⎩，∴1a =-． 故选A ．3．若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +-++=外切，则m =（ ）．A ．21B ．19C ．9D ．11-【答案】C【解析】圆1C 的圆心(0,0)，11r =，圆2C 的圆心(3,4)-， 将2C 化作标准方程22(3)(4)25x y m -++=-， ∵两圆外切，∴221212||3(4)5r r C C +==+-=， ∴2254r m =-=，∴9m =． 故选C ．4．已知点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ ）．A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B【解析】∵(,)a b 在圆221x y +=外， ∴221a b +>，圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离221d a b=+，∵221a b +>，∴1d <，故直线与圆相交，． 故选B ．5．若正四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）．俯视图主视图322A ．4B ．4410+C ．8D ．4411+【答案】B【解析】由三视图还原该四棱锥的直观图如下： 正方形ABCD 对角线长为22， ∴底面边长为2，∴正方形ABCD 的面积为4， 四棱锥侧面积是4PAB S △，∵四棱锥高为3， ∴斜高为9110+=，∴表面积14421044102=+⨯⨯⨯=+．故选B ．CBDAP6．已知点A 在圆22(5)(3)9x y -+-=上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）．A ．9B ．8C ．5D ．2【答案】D【解析】由已知圆半径3r =，从圆心向直线3420x y +-=作垂线， 则垂线段与圆的交点A 即为所求距离最小时的点A ， 圆心(5,3)到3420x y +-=的距离22|35432|534d ⨯+⨯-==+，∴A 到3420x y +-=的最小距离为2d r -=． 故选D ．7．已知A 、B 为圆22(1)4x y +-=上关于点(1,2)P 对称的两点，则直线AB 的方程为（ ）．A ．30x y +-=B ．30x y -+=C ．370x y +-=D ．310x y --=【答案】A【解析】记圆心为(0,1)C ，由题意CP AB ⊥， 21110CP k -==-， ∴1AB k =-， 又∵AB 过(1,2)P ，∴AB 方程为2(1)y x -=--即30x y +-=．8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P ，Q ，R 分别是1AA 、11A B 、11A D 的中点，以PQR △为底面作正三棱柱，若次三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱锥的高为（ ）．A ．22B ．33C ．32D ．233【答案】C 【解析】PEGQRDBB 1AC C 1A 1D 1F连结AC ，1A C ，1B C ，1D C 分别取AC ，1B C ，1D C 中点E ，F ，G ， 连结EF ，EG ，FG ， 在1AAC △中，112PE AC ∥， 同理112RG AC ∥，112FG AC ∥， 又∵1AC ⊥平面PQR ，∴多面体PQR EFG -是符合题意的正三棱柱，PE 为其高， 13AC =， ∴32PE =． 故选C ．第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，6道题，共30分）9．直线2y kx k =++（期中k ∈R ）过定点__________． 【答案】(1,2)-【解析】将直线方程整理为点斜式2(1)y k x -=+可看出直线过(1,2)-．10．已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为__________．211123俯视图侧视图正视图3【答案】32【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，其底面积为133122⨯⨯=，高为3，∴体积为1333322⨯⨯=．11．已知点(3,5)A ，(1,)B x -，(4,7)C 三点共线，则x =__________． 【答案】3-【解析】由已知，AC 直线存在斜率75243AC k -==-， ∴552134AB x xk --===--， ∴3x =-．12．已知直线:210l x y --=和圆22:210C x y y +--=相交于A 、B 两点，则弦长AB =__________．【答案】2305【解析】由圆C 方可知其圆心坐标为(0,1)，半径2r =， 弦心距22|2011|25521d ⨯--==+， ∴224230||22255AB r d =-=-=．13．过点(2,4)P 引圆22(1)(1)1x y -+-=的切线，则切线方程为__________．【答案】2x =或4340x y -+= 【解析】圆心坐标(1,1)，半径1r =， ∵直线与圆相切，∴圆心到直线距离1d r ==，若直线无斜率，其方程为2x =符合题意， 若直线存在斜率，设其方程为4(2)y k x -=-， 即420kx y k -+-=，22|142||3|111k k k d k k -+--===++，解得43k =． ∴切线方程为2x =或4340x y -+=．14．已知实数x ，y 满足22650x y x +++=，则1yx -的最大值为__________． 【答案】33【解析】1yx -可看作圆上的点与(1,0)连线的斜率， 当直线与圆相切时斜率取最值， ∴设直线方程(1)y k x =-， 圆心(3,0)-，半径2r =， 圆心到直线距离2|4|21k d k-==+，∴33k =±， ∴最大值为33．三、解答题（6道题，共80分）15．（1分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为棱1CC 的中点．ED 1A 1C 1CAB 1BD（1）证明：1AC ∥平面BDE ． （2）证明1AC BD ⊥． 【答案】见解析． 【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于F ，连结EF ， 正方形ABCD 中，AC 与BD 互相平分， ∴F 为AC 中点， 在1ACC △中，∵E ，F 分别为1CC 与AC 中点， ∴112EF AC ∥，∵EF ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ， ∴EF ∥平面BDE ．FDBB 1ACC 1A 1D 1E（2）证明：在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中， 1CC ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ， ∴1CC BD ⊥， ∵1AC CC C = ，∴BD ⊥平面1ACC ， ∵1AC ⊂平面1ACC ， ∴1AC BD ⊥．16．（12分）已知点(2,1)A -．（1）求过点A 且与原点的距离为2的直线l 的方程． （2）求点A 关于直线1:2430l x y --=的对称点A '的坐标． 【答案】（1）2x =或34100x y --=． （2）(1,1)．【解析】（1）若直线l 无斜率，则其方程为2x =，与原点距离为2，符合题意． 若l 有斜率，设其方程为1(2)y k x +=-，原点到其距离2|21|21k d k +==+，解得34k =，此时方程为34100x y --=． （2）设A '坐标为00(,)x y ，则线段AA l '⊥， 1l 斜率为12， ∴AA '的斜率为2-，即00122y x +=--①， 又∵A 与A '关于1l 对称，∴线段AA '的中点在1l 上1AA 中点坐标为0021,22x y +-⎛⎫⎪⎝⎭， 将其代入1l 方程0021243022x y +-⋅-⋅-=②， 由①，②得01x =，01y =， ∴A '坐标为(1,1)．17．（14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ．112AA AC AC ===，1BC =，且AC BC ⊥，点D 、E 、F 分别为AC 、AB 、11AC 的中点．EFABCA 11B 1D（1）求证：1A D ⊥平面ABC ． （2）求证EF ∥平面11BB C C ． （3）求四棱锥111A BB C C -的体积． 【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵11AA AC =，D 为AC 中点， ∴1A D AC ⊥，∵平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =， 1A D ⊂平面11AAC C ，∴1A D ⊥平面ABC ．（2）取11B C 中点G ，连结FG ，BG ， ∵F 是11AC 中点， ∴1112FG A B ∥，∵1112EB A B ∥，∴FG BE ∥，∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴EF BG ∥， ∵BG ⊂平面11BB C C ，EF ⊄平面11BB C C ，∴EF ∥平面11BB C C ．G D B 11A 1CBAFE（3）设四棱锥111A BB C C -的体积为V ，棱柱111ABC A B C -的体积为1V ， 三棱锥1A ABC -的体积为2V ， 则12V V V =-， ∵AC BC ⊥， ∴1121122ABC S AC BC =⋅=⨯⨯=△， 由（1）可知，1A D ⊥平面ABC ，∴棱柱111ABC A B C -与棱锥1A ABC -的高均为1A D ， ∵112AC AC AA ===，1AD =， ∴13A D =，∴11133ABC V S A D =⨯=⨯=△， 211333ABC V S A D =⨯⨯=△，∴12233V V V =-=．18．（15分）根据下列条件求圆的方程．（1）(1,1)A -，(2,2)B ，(1,3)C ，三角形ABC 的外接圆． （2）圆心在直线2y x =-上，且与直线1y x =-相切于点(2,1)-．（3）与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为27． 【答案】（1）2230x y x y +--=． （2）22(1)(2)2x y -++=．（3）22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=． 【解析】（1）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=， 将(1,1)A -，(2,2)B ，(1,3)C ，代入圆方程2228310D E F D E F D E F -++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩，解得130D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴圆方程为2230x y x y +--=．（2）由已知：过点(2,1)-且与直线1:1l y x =-垂直的直线2l 与直线3:2l y x =-的交点即为圆心．∵12l l ⊥，∴2l 斜率为1，其方程为12y x +=-，即3x y -=，联立2l 与3l ：32x y y x -=⎧⎨=-⎩， 解得圆心坐标为(1,2)-， ∴圆半径22(12)(21)2r =-+-+=，∴圆方程为22(1)(2)2x y -++=．（3）∵圆心在3y x =上，∴设圆心坐标为(,3)m m ，又∵圆与x 轴相切，∴半径|3|r m =， 弦心距|3|2||2m m d m -==， 又∵227r d =+即22927m m =+，∴1m =±，∴圆方程为22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．19．（14分）在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ⊥，AC BC ⊥，D 为AB 的中点，M 为PD 的中点，N 在棱BC 上．N MDCBAP（1）当N 为BC 的中点时，证明：DN ∥平面PAC ． （2）求证：PA ⊥平面PBC ．（3）是否存在点N 使得MN ∥平面PAC ？若存在，求出CN CB 的值，若不存在，说明理由． 【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵D ，N 分别为AB ，BC 中点， ∴DN AC ∥，∵AC ⊂平面PAC ，DN ⊄平面PAC ， ∴DN ∥平面PAC ．（2）证明：∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， 又∵BC AC ⊥，∴BC ⊥平面PAC ，∵PA ⊂平面PAC ，∴BC PA ⊥，又∵PA PC ⊥，PC BC C = ，∴PA ⊥平面PBC ．（3）当14CN CB =时，MN ∥平面PAC ． 证明：取AD 中点G ，连结GM ，作GN AC ∥交BC 于N ，连结MN ， ∵M ，G 分别为PD ，AD 中点，∴GM PA ∥，∴GM ∥平面PAC ，∵GN AC ∥，∴GN ∥平面PAC ．GN GM G = ，∴平面GMN ∥平面PAC ，∵MN ⊂平面GMN ，∴MN ∥平面PAC ，∴14CN AG CB AB ==． G PAB CD MN20．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ．90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =，M ，N 分别为BC 和1CC 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点． N P MB 1C 1A 1CB A（1）求证：平面APM ⊥平面11BB C C ． （2）若P 为线段1BB 的中点，求证：1A N ∥平面APM ． （3）试判断直线1BC 与平面APM 是否能够垂直．若能垂直，求PB 的值，若不能垂直，请说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）证明：由已知，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴1CC ⊥平面ABC ，∵AM ⊂平面ABC ，∴1CC AM ⊥，∵AC AB =，M 为BC 中点， ∴AM BC ⊥，∵1BC CC C = ，∴AM ⊥平面11BB C C ， ∵AM ⊂平面APM ，∴平面APM ⊥平面11BB C C ． （2）证明：取11B C 中点Q ，连结1A Q ，NQ ，1B C ， ∵N ，Q 分别为1CC ，1BC 中点， ∴112NQ B C ∥，同理112PM B C ∥， ∴NQ PM ∥，∴NQ ∥平面APM ，连结QM ，∵Q ，M 分别为11B C 与BC 中点， ∴11QM CC AA ∥∥，∴四边形1AAQM 为平行四边形，∴1AQ AM ∥，∴1AQ ∥平面APM ，∵1AQ NQ Q = ，∴平面1A NQ ∥平面APM ， ∵1A N ⊂平面1A NQ ， ∴1A N ∥平面APM ．A 1C 1B 1MN QP C BA（3）若1BC ⊥平面APM ，则1BC PM ⊥， ∵190MPB C BP ∠+∠=︒， 1190C BP C BC ∠+∠=︒， ∴1C BC MPB ∠=∠，∴1C BC MPB △∽△， ∵2AC AB ==，90BAC ∠=︒， ∴22BC =，2BM =，∵1C BC MPB △∽△， ∴1C C BM BC BP =即3222BP =， ∴4333BP =>，与P 为棱1BB 上一点矛盾， ∴直线1BC 与平面APM 不能垂直．。

潞河中学2016-2017-1期中高二年级数学理科试题一、选择题（共8道题，每个题5分，每题有且只有一个正确选项） 1．若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】20a a a >⇔<或1a >，所以“2a a >”是“1a >”的必要而不充分条件，故选B ．2．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）． A ．(0,2) B ．(2,0) C ．(0,1) D ．(1,0)【答案】D【解析】∵抛物线方程22(0)y px p =>的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴抛物线24y x =的焦点坐标是(1,0)．故选D ．3．命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是（ ）．A ．若1a b +≤，则a b >B ．若1a b +<，则a b >C ．若1a b +≤，则a b ≤D ．若1a b +<，则a b <【答案】C【解析】命题若“p ”则“q ”的逆命题是“q ⌝”则“p ⌝”，所以“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是：“若1a b +≤，则a b ≤”，故选C ．4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为（ ）． A ．15B ．14C ．7D ．6【答案】A【解析】根据框图的循环结构，依次：212a =⨯=，123S =+=； 224a =⨯=，347S =+=；248a =⨯=，8715S =+=；跳出循环，∴输出结果15S =，故选A ．5．命题:p x ∀∈R ，220x ax a ++≥；命题:q x +∃∈R ，使得12x x+<，则下列命题中为真命题的是（ ）． A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ⌝∨【答案】C【解析】:p x ∀∈R ，220x ax a ++≥， 令22y x ax a =++，222430a a a ∆=--<=， ∴p 是真命题，:q x +∃∈R ，12x x+<，∵0x >，∴12x x +=≥，∴q 是假命题，∴p q ∨是真命题．故选C ．6．“8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的是（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程221108x y m m -=--表示双曲线等价于(10)(8)0m m -->， 即8m <或10m >，所以“8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线” 的充分而不必要条件．故选A ．7．下列极坐标方程表示圆的是（ ）． A ．π2θ=B ．sin 1ρθ=C ．(sin cos )1ρθθ+=D ．1ρ=【答案】D【解析】A 选项，π2θ=化为直角坐标方程为0(0)x y =≥，表示射线，故A 不正确； B 选项，sin ρθ化为直角坐标方程是1y =，表示直线，故B 不正确；C 选项，(sin cos )1ρθθ+=化为直角坐标方程为1x y +=，表示直线，故C 不正确；D 选项，1ρ=化为直角坐标方程为221x y +=，表示圆，故D 正确．综上，故选D ．8．已知正方形的四个顶点分别为(0,0)O ，(1,0)A ，(1,1)B ，(0,1)C ，D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且OD BE =，设AD 与OE ，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是（ ）．A ．(1)(01)y x x x =-≤≤B ．(1)(01)x y y y =-≤≤C ．2(01)y x x =≤≤D ．21(01)y x y =-≤≤【解析】设(0,)(01)D m m ≤≤，则(1,1)E m -，所以直线AD 的方程为1yx m+=， 直线DE 的方程为：(1)y m x =-，设(,)G x y ，则由 1(1)y x m y m x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得(1)x m y m m =⎧⎨=-⎩， 消去m 可得(1)(01)y x x x =-≤≤．故选A ．二、填空题（共6道题，每个题5分，请把答案直接填在答题纸上）9．命题“若0m =，则圆22:20C x y x m +++=过原点”的否命题．．．是___________． 【答案】若0m ≠，则圆22:20C x y x m +++=不过原点 【解析】∵若p 则q 的否命题是若p ⌝则q ⌝，所以“若0m =，则圆22:20C x y x m +++=过原点的否命题”是“若0m ≠，则圆22:20C x y x m +++=不过原点”．10．椭圆2244x y +=的离心率是___________．【解析】将2244x y +=化为标准方程2214x y +=，∴2a =，1b =，c ，∴离心率c e a ==11．已知点F ，B 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点和虚轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线方程为___________． 【答案】2y x =±【解析】设(,0)F c ，(0,)B b ，则线段FB 的中点是,22c b ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程得：2222221c b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，解得：225c a =，∴2225a b a +=，∴2b a =， 故双曲线C 的渐近线方程为2y x =±．12．已知M 为抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为抛物线焦点，过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ．若EO MF =，点M 的横坐标为3，则p =___________．【解析】根据题意，可知(3,M，(,2pE -，∵||||OE MF =，32p =+，∴2269344p p p p +=++，解得：3p =．13．已知直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________．【解析】将直线的参数方程化为普通方程是：10x y -+=， 将圆的参数方程化为普通方程是：22(2)1x y -+=， ∴圆心(2,0)到直线10x y -+=的距离d ==．14．定义：如果对于实数m ，使得命题“P ∃∈曲线C ，点P 到直线l 的距离≤d m ”为真命题，就把满足条件的m 的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a =___________．【答案】94【解析】圆22(4)2x y ++=的圆心为(0,4)-圆心到直线y x ==，∴曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离为 则曲线21:C y a α=+到直线:l y x =令121y x ==解得12x =，故切点为11,24a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 切点到直线y x ==94a =或74a =-．∵当74a =-时，直线y x =与曲线21:C y x a =+相交，故不符合题意．综上所述，94a =．三、解答题（共6道题，每道题都要写出必要、规范的解答过程） 15．（本题满分13分）已知椭圆2244x y +=上每一点的横坐标构成集合A ，双曲线2222(0)x y m m -=≠实轴上任一点的横坐标构成集合B ．命题:p x A ∈，命题:q x B ∈．（Ⅰ）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）当4m =时，若命题p q ∧为假命题，命题p q ∨为真命题，求实数x 的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）{|22}A x x -≤≤，{|||B x x m =-≤或||}x m ≥， 若p 是q 的充分不必要条件，则A B Ü， 则：||2m -≤或||2m -≥，m 无解， 故m ∈∅．（Ⅱ）当4m =时，{|22}A x x -≤≤，{|4B x x =-≤或4}x ≥， 若命题p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则p 真q 假或p 假q 真， 当p 真q 假时，(){|22}{|44}x A B x x x x ∈=--<<R ≤≤ð {|22}x x =-≤≤，当p 假q 真时，(){|2x A B x x ∈=<-R ð或2}{|4x x x >-≤或4}x ≥{|4x x =-≤或4}x ≥．综上所述，实数x 的取值范围是(][][),42,22,-∞--+∞．16．（本题满分13分）已知直线:4l x y +=与x 、y 轴交于A 、B 两点．（Ⅰ）若点A 、B 分别是双曲线E 的虚轴、实轴的一个端点，试在平面上找两点C 、D ，使得双曲线E 上任意一点到C 、D 这两点距离差的绝对值是定值．（Ⅱ）若以原点O 为圆心的圆O 截直线l 所得弦长是2，求圆O 的方程以及这条弦的中点． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵直线l 与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴(4,0)A ，(0,4)B ，又A 、B 分别是双曲线E 的虚轴，实轴的一个端点，∴双曲线中4a =，4b =，c = 由题可知C ，D 是双曲线的焦点，∴(C -，D 或(0,C -，D ．（Ⅱ）圆心(0,0)到直线:4l x y +=的距离d ==，∴3r =，∴圆O 的方程为229x y +=， 设AB 的中点为(,)m n 则：14mn m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解22m n =⎧⎨=⎩， 即弦AB 的中点为(2,2)． 17．（本题满分13分）如图是一段圆锥曲线，曲线与两个坐标轴的交点分别是(2,0)A -，(2,0)B ，0,3)C ． （Ⅰ）若该曲线表示一个椭圆，设直线l 过点A 且斜率是1，求直线l 与这个椭圆的公共点的坐标．（Ⅱ）若该曲线表示一段抛物线，求该抛物线的方程．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）若该曲线表示一个椭圆，则椭圆方程为22194y x +=， ∵直线l 过(2,0)A -且斜率为l ， ∴直线l 的方程为：2y x =+，将2y x =+，代入22194y x +=，得22(2)194x x ++=， 化简得：21316200x x +-=，解得2x =-或1013x =，将1013x =代入2y x =+，得3613y =．故直线l 与椭圆的公共点的坐标为(2,0)-，1036,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）若该曲线是一段抛物线，则可设抛物线方程为：(2)(2)y a x x =+-，将(0,3)代入得43a -=，解得：34a =-，∴抛物线的方程为3(2)(2)4y x x =-+-，即2334y x =-+．18．（本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的右焦点为l 的斜率是1，且l 与椭圆G 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若直线l 在y 轴上的截距是m ，求实数m 的取值范围． （Ⅲ）以AB 为底作等腰三角形，顶点为(3,2)P -，求△PAB 的面积． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）由已知得c =c a =解得：a =2224b a c =-=，∴椭圆的标准方程为221124x y +=． （Ⅱ）若直线l 在y 轴上的截距是m ， 则可设直线l 的方程为y x m =+， 将y x m =+代入221124x y +=得： 22463120x mx m ++-=，223616(312)0m m ∆=-->，解得：44m -<<， 故实数m 的取值范围是：(4,4)-．（Ⅲ）设A 、B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，AB 的中点为00(,)E x y ，则1232m x x +=-，122my y +=， 034mx =-，04m y =，因为AB 是等腰PAB △的底边， 所以PE AB ⊥，∴1PE k =-，∴241334mm -=--+，解得：2m =，∴||AB =||PE ，∴119||||222PAB S AB PE ==⨯=△．19．（本题满分14分）已知曲线222:E x ny n +=，直线:l y kx m =+（其中k ）与曲线E 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）若n ∈R ，试判断曲线E 的形状．（Ⅱ）若2n =，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在曲线E 上，O 为坐标原点，求OP 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）当0n =时，20x =，0x =，曲线E 的形状为直线0x =；当0n <时，2221x y n n-=-，表示以焦点在x 轴上，以2n 为实轴，以 当0n >时，2221x y n n+=， 当2n n >，即1n >时，表示焦点在x 轴上，以2n为长轴，以当2n n <，即01n <<时，表示焦点在y 轴上，以2n为长轴，以 当2n n =，即1n =时，表示圆心在原点，以1为半径的圆．（Ⅱ）当2n =时，曲线方程为：22142x y +=， 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，计算得出m =，∴||OP = 当0k ≠时，则22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简整理得：222(12)4240k x kmx m +++-=，222222164(12)(24)8(42)0k m k m k m ∆=-+-=-->①， 设A ，B ，P 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，00(,)x y ， 则0122412km x x x k =+=-+，0121222()212my y y k x x m k =+=++=+， 因为点P 在椭圆C 上，所以2200142x y +=， 从而2222222421(12)(12)k m m k k +=++，化简得：22212m k =+， 经检验满足①式，又||OP∵0||k <<，∴21122k <+≤， ∴221212k <+≤，||OP综上，||OP的取值范围是．20．（本题满分14分）已知椭圆222:1x C y m+=（m 是大于1的常数）的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线PA 、PB 与直线2:l x m =分别交于M 、N 两点（设直线PA 的斜率为正数）．（Ⅰ）设直线PA 、PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证12k k ⋅为定值． （Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值．（Ⅲ）判断“2m =”是“存在点P ，使得△PMN 是等边三角形”的什么条件？（直接写出结果）【答案】见解析【解析】（Ⅰ）设00(,)P x y ，则220021x y m+=，即222200x m y m +=， ∴直线PA 的斜率010y k x m =+，直线PB 的斜率020y k x m=-， ∴220000122222200001y y y y k k x m x m x m m y m =⋅===-+---， 故12k k 为定值21m -． （Ⅱ）直线PA 方程为1()y k x m =+，∴M 点坐标221(,())m k m m +， 直线PB 方程为2()y k x m =-，∴N 点坐标222(,())m k m m -， ∴2212()()MN k m m k m m =+--，∴221211()()MN k m m m m k m=++-21111()1k m m k m ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭≥ 故线段MN长度的最小值为（Ⅲ）“2m =”是“存在点P ，使得PMN △是等边三角形”的既不充分也不必要条件．。

潞河中学2015-2016第一学期期中高二数学试题（理科）一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 1、直线270x y ++=的倾斜角为（ ） A 、锐角B 、直角C 、钝角D 、不存在2、已知平面l αβ= ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A 、若m β ，则m l B 、若m l ，则m β C 、若m β⊥，则m l ⊥D 、若m l ⊥，则m β⊥3、已知圆C ：2221x y x +-=，直线()11y k x =-+，则直线l 与C 的位置关系是（ ） A 、一定相离 B 、一定相切C 、相交且一定不过圆心D 、相交且可能过圆心4、已知圆1C ：224x y +=和圆2C ：224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A 、0x y +=B 、2x y +=C 、2x y -=D 、2x y -=-5、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）A 、B 、8C 、D 、6、圆1C ：2264120x y x y +-++=与圆2C ：22142140x y x y +--+=的公切线有（ ） A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条7、如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，2OA OB ==，3OC =，D 为四面体OABC 外一点，给出下列命题：①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中正确的序号是（ ） A 、①② B 、②③ C 、③ D 、③④ 8、已知三棱锥A BCO -，OA 、OB 、OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO ∆内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）A 、16B 、16或2156C 、6πD 、6π或366π-二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）9、若直线220ax y -+=与直线()310x a y +-+=平行，则实数a 的值为 。

潞河中学2015-2016-1期中高三数学试题(理科)一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分．)1. 已知全集U R =, 集合{}|10A x x =+<, {}2|30B x x x =+<, 则 (U A ð)B 等于（ ）A ．{}|30x x -<<B ．{}|10x x -≤<C ．{}|1x x <- D ． {}|10x x -<<2. 已知函数2()sin f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为偶函数”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知命题p :,32xxx R ∀∈>；命题q :,tan 2x R x ∃∈=,则下列命题为真命题的是 （ ）A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D4. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254a a +=，721S =，则7a 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ． 95. 函数34,0(),0x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的图象与函数()ln(2)g x x =+的图象的交点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，E 为BC 的中点，点F 在DC 边上，则AE AF ⋅的最大值为 （ ） A ．3 B ． 4 C. 5 D ．与F 点的位置有关 7. 函数()sin()f x x =+ωϕ（其中2π<ϕ）的图象如图所示，为了得到()sin g x x =ω的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度 8. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=．当01x ≤≤时，2()f x x =．若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 （ ）A ．n ()n ∈Z B ．2n ()n ∈Z 或14n -()n ∈Z C ． n 或14n -()n ∈Z D ． 2n 或124n - ()n ∈Z 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9. 已知角α的终边经过点(3,4)(0)a a a <，则sin α= .10. 已知向量(3,1)a =，()0,1b =-，(3,)c k =，若2a b -与c 垂直，则k =_________． 11. 由曲线2y x =与y x =围成的图形的面积是 . 12. 已知22log log 1x y +=，则x y +的最小值为________． 13. 已知函数1()sin 2f x x x =-　，x π∈　［0，］．那么下列命题中真命题的序号是 ．○1()f x 的最大值是()3f π○2()f x 的最小值是()3f π○3()f x 在3π［0，］上是增函数 ○4()f x 在3ππ［，］上是减函数14. 我们可以利用数列{}n a 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数时为偶数时（n ∈*N ）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则2425a a +=_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_ __项．高三数学期中考试答题纸(理科)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9． ____ __ 10． ____ ______ 11． ____ _____12． ______ ____ 13______ ____ 14． __________三、解答题． (本大题共6小题，满分80分)15．(13分) 已知函数2()cos()cos 2f x x x x π=-+（1） 求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2） 求[,]62x ππ∈时函数()f x 的最大值和最小值．16． (13分) 在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=2，b=3，C=60°，（1）求边长c；（2）求sin2A的值．17． (13分) 设函数R b a b ax x a x x f ∈+++-=、其中,4)1(3)(23（1）若函数)(x f 在3=x 处取得极小值是21，求,a b 的值； （2）求函数)(x f 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在)1,1(-上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.18． (13分) 已知函数()ln f x x =， 3()+(0)2a g x a x =-> (1) 当1a =时,若曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线与曲线()y g x =在点00(,())P x g x 处的切线平行,求实数0x 的值；(2) 若(0,]x e ∀∈,都有()()f x g x ≥,求实数a 的取值范围．19． (14分) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知11a =，121n n a S +=+，*n N ∈．（1）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足10b =，13log (2)n n n b b a n --=≥，求数列{}n b 的通项公式； （3）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ．20． (14分) 设函数3211()(,,,0)32f x ax bx cx a b c a =++∈≠R 的图象在点(),()x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立． （1）求函数()k x 的表达式； （2）求证：1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+()n *∈N ．高三数学期中考试（理科）答案一、 B C C D B A A D二、；-1；；2；13；28, 640三、解答题：15 解：（1）T=π，（2）当时，f(x)取得最小值当时，f(x)取得最大值16、解：（1）由余弦定理，因为a<b, 所以A为锐角，则sin2A=17、解：（I）.......3分得....4分解得：………5分（II）令…..7分当，即的单调递增区间为….8分当，即的单调递增区间为….9分当，即的单调递增区间为…..10分（Ⅲ）由题意可得：的取值范围18、解:(I)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，此时在点M(1,0)处的切线为y=x-1；g (x)在点P（1，-1）处的切线为y=x-2 所以.(II)若,都有记,只要F(x)在上的最小值大于等于0 ,则随的变化情况如下表:当时,函数在上单调递减,为最小值所以,得所以当时,函数在上单调递减,在上单调递增 ,为最小值,所以,得所以综上,法二：19、解：（1）因为所以所以是以1为首项,3为公比的等比数列则.(2)显然符合上式，所以(3)20、（Ⅰ）解：由已知得：. …………1分由为偶函数，得为偶函数，显然有. ………2分又，所以，即. …3分又因为对一切实数恒成立，即对一切实数，不等式恒成立. ……4分显然，当时，不符合题意. ……5分当时，应满足注意到，解得. …7分所以. ……………8分（Ⅱ）证明：因为，所以.………9分要证不等式成立,即证. …………10分因为, ………12分所以.所以成立.。

2015-2016学年北京市通州区潞河中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x2+3x＜0}，则（∁U A）∩B等于（）A．{x|﹣3＜x＜0}B．{x|﹣1≤x＜0}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜0} 2．（5分）已知函数f（x）=x2+bsinx，其中b为常数．那么“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知命题p：∀x∈R，3x＞2x；命题q：∃x∈R，tanx=2，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）4．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6 B．7 C．8 D．95．（5分）函数的图象与函数g（x）=ln（x+2）的图象的交点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为BC的中点，点F在DC边上，则的最大值为（）A．3 B．4C．5 D．与F点的位置有关7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度8．（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）A．n（n∈Z）B．2n（n∈Z）C．2n或（n∈Z） D．n或（n∈Z）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则sinα=，tan（π﹣2α）=．10．（5分）已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（，k），若﹣2与垂直，则k=．11．（5分）曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为．12．（5分）已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为．13．（5分）已知函数，x∈[0，π]．那么下列命题中所有真命题的序号是．①f（x）的最大值是②f（x）的最小值是③f（x）在上是减函数④f（x）在上是减函数．14．（5分）我们可以利用数列{a n}的递推公式a n=（n∈N+）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则a24+a25=；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第项．三、解答题．（本大题共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求时函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=2，b=3，C=60°，（Ⅰ）求边长c和△ABC的面积；（Ⅱ）求sin2A的值．17．（13分）设函数（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极小值是，求a、b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）若函数f（x）在（﹣1，1）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）=lnx，（1）当a=1时，若曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0））处的切线与曲线y=g（x）在点P（x0，g（x0））处的切线平行，求实数x0的值；（2）若∀x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，a n+1=2S n+1，n∈N*．（1）写出a2，a3的值，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=0，b n﹣b n﹣1=log3a n（n≥2），求数列{b n}的通项公式；（3）记T n为数列{na n}的前n项和，求T n．20．（14分）设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．2015-2016学年北京市通州区潞河中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x2+3x＜0}，则（∁U A）∩B等于（）A．{x|﹣3＜x＜0}B．{x|﹣1≤x＜0}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜0}【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x+1＜0}={x|x＜﹣1}，∴∁U A={x|x≥﹣1}，又B={x|x2+3x＜0}={x|﹣3＜x＜0}，（∁U A）∩B={x|﹣1≤x＜0}．故选：B．2．（5分）已知函数f（x）=x2+bsinx，其中b为常数．那么“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若f（x）=x2+bsinx为偶函数，则f（﹣x）=（﹣x）2+bsin（﹣x）=x2﹣bsinx=f（x）=x2+bsinx，∴b=0故选：C．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，3x＞2x；命题q：∃x∈R，tanx=2，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：命题p：∀x∈R，3x＞2x是假命题，如x=0时：不成立；命题q：∃x∈R，tanx=2，是真命题，故￢p∧q是真命题，故选：C．4．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解法一：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9解法二：S6=（）×6=12a7=S7﹣S6=9故选D5．（5分）函数的图象与函数g（x）=ln（x+2）的图象的交点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作函数与g（x）=ln（x+2）的图象如下，，故函数的图象有两个交点．故选：B．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为BC的中点，点F在DC边上，则的最大值为（）A．3 B．4C．5 D．与F点的位置有关【解答】解：如图所示建立直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），E（1，1），F（x，2）．（0≤x≤2）．∴=（1，1），（x，2），∴=x+2≤3．∴的最大值为3．故选：A．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象：A=1又解得：T=π则：ω=2当x=，f（）=sin（+φ）=0解得：所以：f（x）=sin（2x+）要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可．故选：A．8．（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）A．n（n∈Z）B．2n（n∈Z）C．2n或（n∈Z） D．n或（n∈Z）【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x∈[﹣1，0]，则﹣x ∈[0，1]，于是f（x）=（﹣x）2=x2．设x∈[1，2]，则（x﹣2）∈[﹣1，0]．于是，f（x）=f（x﹣2）=（x﹣2）2．①当a=0时，联立，解之得，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点．②当﹣2＜a＜0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x2在区间[0，1）上相切，且与函数f（x）=（x﹣2）2在x∈[1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f′（x）=2x=1，解得x=，∴y==，故其切点为，∴；由（1≤x＜2）解之得．综上①②可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或．又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为2n或2n﹣，（n∈Z）．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则sinα=，tan（π﹣2α）=．【解答】解：由题意，x=3a，y=4a，∴r=|5a|=﹣5a∴sinα==﹣，tanα==∴tan（π﹣2α）=﹣tan2α=﹣=﹣=故答案为：，．10．（5分）已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（，k），若﹣2与垂直，则k=﹣1．【解答】解：∵，，∴=（），又，且与垂直，∴，解得：k=﹣1．故答案为：﹣1．11．（5分）曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是故答案为：．12．（5分）已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为2．【解答】解：∵log2x+log2y=1，∴log2（xy）=1，∴xy=2，其中x＞0，y＞0；∴x+y≥2=2，当且仅当x=y=时，“=”成立；∴x+y的最小值为．故答案为：2．13．（5分）已知函数，x∈[0，π]．那么下列命题中所有真命题的序号是①④．①f（x）的最大值是②f（x）的最小值是③f（x）在上是减函数④f（x）在上是减函数．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣x，x∈[0，π]，∴f′（x）=cosx﹣，令f′（x）=0，解得x=，当f′（x）＞0时，解得0≤x≤，函数单调递增，当f′（x）＜0时，解得≤x≤π，函数单调递减，∴当x=时，函数取的最大值，即f（x）的最大值是∵f（0）=sin0﹣0=0，f（π）=sinπ﹣π=﹣π，∴函数的最小值为f（π）=﹣π，故所有真命题的序号是①④，故答案为；①④．14．（5分）我们可以利用数列{a n}的递推公式a n=（n∈N+）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则a24+a25=28；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第640项．【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a24+a25=3+25=28．又因为a5=5，a10=5，a20=5，a40=5…即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．所以第8个5是该数列的第5×28﹣1=640项．故答案为：28，640．三、解答题．（本大题共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求时函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+•=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+．∴f（x）的最小正周期是T=π．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，∴f（x）的单调减区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）∵，∴2x﹣∈[0，]，∴当2x﹣=0 时，f（x）取得最小值，当2x﹣=时，f（x）取得最大值+1．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=2，b=3，C=60°，（Ⅰ）求边长c和△ABC的面积；（Ⅱ）求sin2A的值．【解答】解：（1）由余弦定理，c2=a2+b2﹣2abcos60°=22+32﹣2×2×3×=7，解得c=，∴．（2）由正弦定理，，则sinA===，∵a＜b，∴A为锐角，则cosA==，sin2A=2sinAcosA=×=．17．（13分）设函数（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极小值是，求a、b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）若函数f（x）在（﹣1，1）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）∵f′（x）=x2﹣2（a+1）x+4a（3分）∴f′（3）=9﹣6（a+1）+4a=0得（4分）∵解得：b=﹣4（5分）（II）∵f′（x）=x2﹣2（a+1）x+4a=（x﹣2a）（x﹣2）令f′（x）=0，即x=2a或x=2．（7分）当a＞1时，2a＞2，∴f′（x）＞0时，x＞2a或x＜2，即f（x）的单调递增区间为（﹣∞，2）和（2a，+∞）．（8分）当a=1时，f′（x）=（x﹣2）2≥0，即f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．（9分）当a＜1时，2a＜2，∴f′（x）＞0时，x＜2a或x＞2，即f（x）的单调递增区间为（﹣∞，2a）和（2，+∞）．（10分）（Ⅲ）由题意可得：（12分）∴（2a﹣1）（2a+1）＜0∴∴a的取值范围（14分）18．（13分）已知函数f（x）=lnx，（1）当a=1时，若曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0））处的切线与曲线y=g（x）在点P（x0，g（x0））处的切线平行，求实数x0的值；（2）若∀x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）把a=1代入得，g（x）=﹣+，则f′（x）=，g′（x）=，∵f（x）在点M （x0，f（x0））处的切线与g（x）在点P （x0，g（x0））处的切线平行，∴=，解得x0=1，∴x0=1，（2）由题意设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+﹣，∵∀x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），∴只要F（x）在（0，e]上的最小值大于等于0即可，则F′（x）=﹣=，由F′（x）=0得，x=a，F（x）、F′（x）随x的变化情况如下表：当a≥e时，函数F′（x）在（0，e）上单调递减，F（e）为最小值，∴F（e）=1+﹣≥0，得a，∴a≥e当a＜e时，函数F（x）在（0，a）上单调递减，在（a，e）上单调递增，则F（a）为最小值，所以F（a）=lna+﹣，得a≥∴≤a＜e，综上所述，a≥．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，a n+1=2S n+1，n∈N*．（1）写出a2，a3的值，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=0，b n﹣b n﹣1=log3a n（n≥2），求数列{b n}的通项公式；（3）记T n为数列{na n}的前n项和，求T n．=2S n+1，可得a2=2a1+1=3，【解答】解：（1）a n+1a3=2（a1+a2）+1=2×（1+3）+1=9，当n＞1时，a n=2S n﹣1+1，﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，相减可得a n+1=3a n，因为=3，则a n+1=3a n，即a n+1所以{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，则a n=3n﹣1；（2）数列{b n}满足b1=0，b n﹣b n﹣1=log3a n（n≥2），=log33n﹣1=n﹣1（n≥2），即有b n﹣b n﹣1b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…（b n﹣b n﹣1）=0+1+2+…+（n﹣1）=；显然b1=0符合上式，所以b n=；（3）na n=n•3n﹣1，前n项和T n=1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1，3T n=1•31+2•32+3•33+…+n•3n，两式相减可得，﹣2T n=1+31+32+…+3n﹣1﹣n•3n=﹣n•3n，化简可得，T n=+．20．（14分）设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax2+bx+c．…（1分）由为偶函数，得为偶函数，显然有．…（2分）又k（﹣1）=0，所以a﹣b+c=0，即．…（3分）又因为对一切实数x恒成立，即对一切实数x，不等式恒成立．…（4分）显然，当时，不符合题意．…（5分）当时，应满足，注意到，解得．…（7分）所以．…（8分）（Ⅱ）证明：因为，所以．…（9分）要证不等式成立，即证．…（10分）因为，…（12分）所以=．所以成立．…（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y fu =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

潞河中学2015-2016-1期中高二数学试题（文科）一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1.直线的倾斜角为（ D ）A. B. C. D.2.与圆的圆心相同，半径为4的圆的方程为（C ）A. B.C. D.3.直线与圆的距离为（ A ）A. B.2 C.1 D.44.已知平面，是内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（ D ）A.若m//β，则m//lB.若m//l，则m//βC．若m⊥β，则m⊥l D.若m⊥l，则m⊥β5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ D ）A． B.36正（主视图）侧（左）视图6.圆与圆的位置关系是：（A）A.内切B.相交C.外切D.外离7.在棱长为2的正方体ABCD-中，E为中点，过，E，B三点的平面α与此正方体的面相交，则交线围成多边形的面积为（ A ）A. B. C. D.68.如图，四面题OABC的三条棱OA,OB,OC,两两垂直，OA=OB=2,OC=3,D为四面体OABC外一点，给出下列命题：①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上期中真命题的序号是（D）A.①②B.②③C.③D.③④二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）9.若直线2x-y+1=0与直线x+(a-3)y+1=0平行，则实数a的值为。

10.平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内的直线的关系是相交或异面。

11.已知直线5x+12y+m=0与圆相切，则m= 8或-18 。

12.一直实数x,y满足,则x+y的最大值为。

13.如图：直三棱柱ABC-的体积为V，点P、Q分别在侧棱A和C上，AP=，则侧四棱锥B-APQC Array的体积为。

14.已知0＜x＜1，0＜y＜1，点P（x,y）满足：+≥，则等式成历时P点坐标为 () 。

北京市通州区潞河中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题（理）1. 若，则“”是“”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，或；反之，时，一定可以得到，故“”是“”的必要而不充分条件，选B.考点：充要条件2. 抛物线的焦点坐标为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线是标准方程，开口向右，焦点在x轴正半轴上，2p=4,p=2,所以焦点坐标是(1,0).故选D3. 命题“若，则”的逆否命题是（）．A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】命题若“”则“”的逆命题是“”则“”，所以“若，则”的逆否命题是：“若，则”，故选．4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】根据框图的循环结构，依次：，；，；，；跳出循环，∴输出结果，本题选择A选项....... ...............5. 命题，；命题，使得，则下列命题中为真命题的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】，，令，，∴是真命题，，，∵，∴，∴是假命题，∴是真命题．本题选择C选项.6. “”是“方程表示双曲线”的是（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：方程表示双曲线，则，解得或，故“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件，故选A.考点：1.双曲线的方程；2.充分必要条件7. 下列极坐标方程表示圆的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】选项，化为直角坐标方程为，表示射线，故不正确；选项，化为直角坐标方程是，表示直线，故不正确；选项，化为直角坐标方程为，表示直线，故不正确；选项，化为直角坐标方程为，表示圆，故正确．综上，故选．8. 已知正方形的四个顶点分别为，，，，，分别在线段，上运动，且，设与，设与交于点，则点的轨迹方程是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】设，则，所以直线的方程为，直线的方程为：，设，则由，可得，消去可得．本题选择A选项.点睛：求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程9. 命题“若，则圆过原点”的否命题．．．是___________．【答案】若，则圆不过原点【解析】∵若则的否命题若则，所以“若，则圆过原点的否命题”是“若，则圆不过原点”．点睛：否命题与命题的否定是两个不同的概念．否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变).10. 椭圆的离心率是___________．【答案】【解析】将化为标准方程，∴，，，∴离心率．11. 已知点，分别为双曲线的焦点和虚轴端点，若线段的中点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为___________．【答案】【解析】由题意可得点B(0,b)、点F(c,0)，故线段FB的中点为.再根据线段FB的中点M在双曲线C上，可得，解得，∴，双曲线的渐近线方程为.点睛：双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程．如果已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法．12. 已知为抛物线上一点，为抛物线焦点，过点作准线的垂线，垂足为．若，点的横坐标为，则___________．【答案】【解析】根据题意，可知，，∵，∴，∴，解得：．13. 已知直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数），则圆心到直线的距离为___________．【答案】【解析】将直线的参数方程化为普通方程是：，将圆的参数方程化为普通方程是：，∴圆心到直线的距离．14. 定义：如果对于实数，使得命题“曲线，点到直线的距离”为真命题，就把满足条件的的最小值称为曲线到直线的距离．已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数___________．【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，∴曲线到直线的距离为，则曲线到直线的距离等于．令解得，故切点为，切点到直线的距离为，即，解得或．∵当时，直线与曲线相交，故不符合题意．综上所述，．15. 已知椭圆上每一点的横坐标构成集合，双曲线实轴上任一点的横坐标构成集合．命题，命题．（Ⅰ）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．（Ⅱ）当时，若命题为假命题，命题为真命题，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可知，据此得到关于实数m的不等式，求解不等式可得；(Ⅱ)由题意可知，真假或假真，当真假时，，当假真时，或．则实数的取值范围是．试题解析：（Ⅰ），或，若是的充分不必要条件，则，则：或，无解，故．（Ⅱ）当时，，或，若命题为假命题，为真命题，则真假或假真，当真假时，，，或．综上所述，实数的取值范围是．16. 已知直线与、轴交于、两点．（Ⅰ）若点、分别是双曲线的虚轴、实轴的一个端点，试在平面上找两点、，使得双曲线上任意一点到、这两点距离差的绝对值是定值．（Ⅱ）若以原点为圆心的圆截直线所得弦长是，求圆的方程以及这条弦的中点．【答案】（Ⅰ），或，；（Ⅱ），．【解析】试题分析：(Ⅰ)由几何关系可知，是双曲线的焦点，则，或，；(Ⅱ)利用弦长公式可求得半径为3，求得圆的方程为，则弦的中点为．试题解析：（Ⅰ）∵直线与轴，轴交于，两点，∴，，又、分别是双曲线的虚轴，实轴的一个端点，∴双曲线中，，，由题可知，是双曲线的焦点，∴，或，．（Ⅱ）圆心到直线的距离，∴，∴圆的方程为，设的中点为则：，解，即弦的中点为．17. 如图是一段圆锥曲线，曲线与两个坐标轴的交点分别是，，．（Ⅰ）若该曲线表示一个椭圆，设直线过点且斜率是，求直线与这个椭圆的公共点的坐标．（Ⅱ）若该曲线表示一段抛物线，求该抛物线的方程．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意求得椭圆方程为，联立直线方程与椭圆方程可得直线与椭圆的公共点的坐标为，．(Ⅱ)输出抛物线方程的两点式，然后结合题意可得抛物线方程为.试题解析：（Ⅰ）若该曲线表示一个椭圆，则椭圆方程为，∵直线过且斜率为，∴直线的方程为：，将，代入，得，化简得：，解得或，将代入，得，故直线与椭圆的公共点的坐标为，．（Ⅱ）若该曲线是一段抛物线，则可设抛物线方程为：，将代入得，解得：，∴抛物线的方程为，即．18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为．设直线的斜率是，且与椭圆交于，两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若直线在轴上的截距是，求实数的取值范围．（Ⅲ）以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意求得，，则椭圆的标准方程为．(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程，结合，可得实数的取值范围是：．(Ⅲ)利用弦长公式可得，利用两点之间距离公式有，则三角形的面积．试题解析：（Ⅰ）由已知得，，解得：，又，∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）若直线在轴上的截距是，则可设直线的方程为，将代入得：，，解得：，故实数的取值范围是：．（Ⅲ）设、的坐标分别为，的中点为，则，，，，因为是等腰的底边，所以，∴，∴，解得：，∴，，∴．点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．19. 已知曲线，直线（其中）与曲线相交于、两点．（Ⅰ）若，试判断曲线的形状．（Ⅱ）若，以线段、为邻边作平行四边形，其中顶点在曲线上，为坐标原点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(Ⅰ)结合所给的方程讨论可得：当时，曲线的形状为直线，当时，曲线表示以焦点在轴上，以为实轴，以为焦距的双曲线，当时，表示焦点在轴上，以为长轴，以为焦距的椭圆，当时，表示焦点在轴上，以为长轴，以为焦距的椭圆，当时，表示圆心在原点，以为半径的圆．(Ⅱ)当时，曲线方程为：，分类讨论：当时，，当时，联立直线与椭圆的方程，消去整理变形，结合题意可得，结合，可得的取值范围是．试题解析：（Ⅰ）当时，，，曲线的形状为直线，当时，，表示以焦点在轴上，以为实轴，以为焦距的双曲线，当时，，当，即时，表示焦点在轴上，以为长轴，以为焦距的椭圆，当，即时，表示焦点在轴上，以为长轴，以为焦距的椭圆，当，即时，表示圆心在原点，以为半径的圆．（Ⅱ）当时，曲线方程为：，当时，在椭圆上，计算得出，∴，当时，则，消去化简整理得：，①，设，，的坐标分别为，，，则，，因为点在椭圆上，所以，从而，化简得：，经检验满足①式，又，∵，∴，∴，∴，综上，的取值范围是．20. 已知椭圆（是大于的常数）的左、右顶点分别为、，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点（设直线的斜率为正数）．（Ⅰ）设直线、的斜率分别为，，求证为定值．（Ⅱ）求线段的长度的最小值．（Ⅲ）判断“”是“存在点，使得是等边三角形”的什么条件？（直接写出结果）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）“”是“存在点，使得是等边三角形”的既不充分也不必要条件．【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可得直线的斜率，直线的斜率，据此计算则有为定值．(Ⅱ)结合点的坐标求得MN的长度表达式，结合均值不等式的结论可得线段长度的最小值为．(Ⅲ)结合圆锥曲线的性质可知“”是“存在点，使得是等边三角形”的既不充分也不必要条件．试题解析：（Ⅰ）设，则，即，∴直线的斜率，直线的斜率，∴，故为定值．（Ⅱ）直线方程为，∴点坐标，直线方程为，∴点坐标，∴，∴．故线段长度的最小值为．（Ⅲ）“”是“存在点，使得是等边三角形”的既不充分也不必要条件．点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．。