八年级下期中考试--数学(解析版)

2023-2024学年度第二学期阶段性检测八年级数学试题亲爱的同学：祝贺你完成了一个阶段的学习，现在是展示你的学习成果之时，你可以尽情地发挥，祝你成功！一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在下面的表格内.1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（）A. B. C. D.【答案】A解析：解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；故选：．2. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A. B. C. D.【答案】C解析：由数轴可知，∴，故A选项错误；∴，故B选项错误；∴，故C选项正确；∴，故D选项错误；故选：C．3. 如图，直线经过点，则关于x不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A解析：解：由函数图象可知，当直线的图象在直线上方时，，∴关于x的不等式的解集是，故选A．4. 将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（）A. B. C. 2 D.【答案】B解析：解：如图，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．故选：B．5. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D解析：解：将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是．故选：D．6. 如图，直线，直线与直线分别相交于点，点在直线上，且．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：∵，，∴，∵，∴，故选：C．7. 已知不等式组的解集是，则（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：，解得，，解得，，∴，∵，∴，，∴，，∴，故选：．8. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：如图，，∵，∴，∵，∴，∵旋转，∴，，∴，∴，即旋转角的度数是．故选：C．9. 如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（）A. 连接，则B. 连接，则C. 连接，则D. 连接，则【答案】B解析：解：如图，连接，取与格线的交点，则，而，∴四边形不是平行四边形，∴，不平行，故A不符合题意；如图，取格点，连接，由勾股定理可得：，∴四边形是平行四边形，∴，故B符合题意；如图，取格点，根据网格图的特点可得：，根据垂线的性质可得：，，都错误，故C，D不符合题意；故选B10. 如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D解析：解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，∴，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：，故选D．11. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（）A. B. C. 3 D. 2【答案】C解析：解：如图，过作于由，结合旋转：为等边三角形，∴A到的距离为3．故选C12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后点B坐标为（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：过点B作轴于H，在中，，，，∴，∴，，由勾股定理得，∴B（，3），∵，，∴，∴逆时针旋转后，得，以此类推，，，，，．．．，6次一个循环，∵，∴第2023次旋转后，点B的坐标为，故选：C．二、填空题：每题4分，共24分，将答案填在答题纸的横线上.13. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是_____．【答案】或解析：解：当度数为的内角是顶角时，则顶角的度数为；当度数为的内角为底角时，则顶角的度数为；综上所述，顶角的度数为或，故答案为：或．14. 如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则______．【答案】4解析：解：根据题意可知，以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，∴垂直平分,即，∴，又∵在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，其中，∴，在中，，故答案为：4．15. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_____．【答案】a≥2解析】解：，由①得：x≤2，由②得：x＞a，∵不等式组无解，∴a≥2，故答案为a≥2．16. 某种商品进价为700元，标价为1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打_____折．【答案】7##七解析：解：设该商品打x折出售，由题意得，，解得，∴至多可以打7折，故答案为：7．17. 如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是______．【答案】3解析：解：当时，，点的坐标为，沿轴向右平移个单位得到，点与其对应点间的距离为，即点移动的距离是3．故答案为：．18. 如图所示，在中，，，一动点从向以每秒的速度移动，当点移动______秒时，与腰垂直．【答案】或解析：解：如图，当时，则，∵，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点移动的时间为（秒）；如图，当时，，∵，∴，∵，∴，∴，∴点移动的时间为（秒）；综上，点移动的时间为或秒时，与腰垂直，故答案为：或．三、解答题：（满分60分）19. 解不等式组【答案】解析：解：，解不等式得，，解不等式得，，∴不等式组的解集为．20. 已知两个有理数：－9和5．（1）计算：；（2）若再添一个负整数，且－9，5与这三个数的平均数仍小于，求的值．【答案】（1）－2；（2）．解析：（1）=；（2）依题意得＜m解得m＞-2∴负整数=-1．21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．（1）平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并直接写出点的坐标；（2）绕点C逆时针方向旋转90°得到，按要求作出图形；（3）如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心P的坐标．【答案】（1）见解析，坐标为(2，-2)（2）见解析（3）P【小问1解析】（1）如图所示，的对应点的坐标为,沿横轴正方向平移6上单位，沿纵轴负方向平移6个单位；△即为所求．点B的坐标，坐标为（2，－2）【小问2解析】如图所示，△即为所求【小问3解析】旋转中心P的坐标22. 某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元（1）求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？【答案】（1）A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；（2）至少购进A种礼品盒15盒．【小问1解析】解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，根据题意得：，解得：，答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；【小问2解析】解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，根据题意得：，解得：，∵x为整数，∴x的最小整数解为15，∴至少购进A种礼品盒15盒．23. 如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【小问1解析】证明：∵为的角平分线，∴，由作图可得，在和中，，∴；【小问2解析】∵，为的角平分线，∴由作图可得，∴，∵，为的角平分线，∴，∴24. 在中，，交BA的延长线于点G．特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到．请给予证明．猜想论证：（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作垂足为E．此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF 与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）【答案】（1）证明见解析；（2）DE+DF=CG，证明见解析；（3）成立．解析：（1）∵，∴∠ABC=∠ACB，在△BFC和△CGB中，∴△BFC≌△CGB，∴（2）DE+DF=CG，如图，过点B作BM⊥CF交CF延长线于M，过点D作DH⊥BM于H，∵，∴∠ABC=∠ACB，在△BMC和△CGB中，∴△BMC≌△CGB，∴BM=CG，由题意和辅助线可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，∴四边形MHDF为矩形，∴MH=DF，DH∥MF，∴∠HDB=∠MCB，∴∠HDB=∠ABC，在△BDH和△DBE中，∴△BDH≌△DBE，∴BH=DE，∵BM=CG，BM=BH+HM，∴DE+DF=CG，（3）成立，如图，过点B作BM⊥CF交CF延长线于M，过点D作DH⊥BM于H，同（2）中的方法∵，∴∠ABC=∠ACB，在△BMC和△CGB中，∴△BMC≌△CGB，∴BM=CG，由题意和辅助线可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，∴四边形MHDF为矩形，∴MH=DF，DH∥MF，∴∠HDB=∠MCB，∴∠HDB=∠ABC，在△BDH和△DBE中，∴△BDH≌△DBE，∴BH=DE，∵BM=CG，BM=BH+HM，∴DE+DF=CG．25. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝；（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．【答案】（1）100°（2）∠BAE＝∠CEF，理由见解析（3）∠AEF与∠BAE的数量关系是互余或2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．【小问1解析】解：∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为：100°．【小问2解析】∠BAE＝∠CEF；理由如下：∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，∴∠BAE＝∠CEF；小问3解析】如图1，当∠AFE＝90°时，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠C+∠CEF＝90°，∴∠BAE+∠AEF＝90°，即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；如图2，当∠EAF＝90°时，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠1，∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，∴2∠AEF+∠1＝90°，∴2∠AEF+∠BAE＝90°即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．。

数学2024．04本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上．2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题．3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1. 下面四个图形分别是苏州博物馆、苏州轨道交通、苏州银行和苏州电视台的标志，在这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C2. 从装有红球、白球、黑球的不透明袋子中任意摸出一个球，该球是红球，这个事件是（）A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 以上事件都有可能答案：B解析：解：从装有红球、白球、黑球的不透明袋子中任意摸出一个球，该球是红球，这个事件是随机事件，故选：B．3. 若分式有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：依题意，，解得：，故选：D．4. 国际奥委会于2001年7月13日在莫斯科举行会议，通过投票确定2008年奥运会举办城市．在第二轮投票中，北京获得总计张选票中的票，得票率超过，取得了2008年奥运会举办权．在第二轮投票中，北京得票的频数是（）A. 50%B.C. 56D. 105答案：C解析：解：由题意得，频数为56．故答案为：56．5. 已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：∵，∴反比例函数的图象经过第二、四象限，∴在每一个象限中，y随x的增大而增大，∵，点，在第四象限，∴，∵点在第二象限，∴，∴，故选：D．6. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（）A. B. C. D.答案：A解析：解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，由题意得，，故选A．7. 如图，在矩形中，点是的中点，点在上，，若，，则的长为（）A. 1B.C.D.答案：B解析：解：如图所示，连接交于点∵在矩形中，，，∴，，∵，∴又∵点是的中点，∴，故选：B．8. 如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（）A. B. 12 C. D. 15答案：D解析：解：过点作轴，延长交于点，与轴平行，与轴平行，，，四边形为平行四边形，，，，在和中，，，，，，，，，，点的纵坐标为，设，则，反比例函数的图象经过、两点，，，，，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 根据苏州市生态环境局发布的数据，2023年上半年，全市环境空气质量优良天数比率为．要调查市区环境空气质量状况，适合的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）．答案：抽样调查解析：解：要调查市区环境空气质量状况，适合的调查方式是抽样调查．故答案为：抽样调查．10. 某初中学校举办了“中国古诗词大赛”，三个年级进入决赛的学生占比如图所示，则表示七年级学生占比的扇形圆心角度数为______．答案：11. 反比例函数的图像位于第一，三象限，则______．（只需写出一个符合条件的的值即可）答案：（答案不唯一）解析：解：∵比例函数的图象位于第一，第三象限，∴，∴，∴的值可以是故答案为：（答案不唯一）．12. 顺次连接对角线相等的四边形的四边中点，所得的四边形一定是_________．答案：菱形解析：解：如图，在四边形中，，、、、分别是线段、、、的中点，则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线，∴，，∵，∴，∴四边形是菱形．故答案为：菱形．13. 在温度不变的条件下，一定量的气体的压强与它的体积成反比例．已知时，．当时，则______．答案：解析：由反比例函数关系知，，时，，，，所以；当时，．故答案为：．14. 如图是反比例函数，在轴上方的图像，平行四边形的面积是5，若点在轴上，点在的图像上，点在的图像上，则的值为______．答案：解析：解：如图所示，连接，∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5，点在的图像上，点在的图像上，∴∴故答案为：．15. 如图，四边形中，，，四边形的面积为，则边的长为______．答案：##解析：解：如图所示，过点作，延长交于点，过点作于点，∴，又，则四边形是矩形，∴，∵∴，又∵∴∴设，则，依题意，即∴①又∵中，，即②联立①②可得（负值舍去），∴，故答案为：．16. 如图，在矩形中，，，是边上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为______．答案：##解析：解：延长至点，使得，连接，如图所示：∵，,∴垂直平分，∴，∴∴∵的中点为点，∴∵，，∴当时，有最小值，最小值为：，此时也最小，最小值为故答案为：．三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （1）（2）答案：（1）；（2）解析：解：（1）（2）18. 解下列分式方程（1）（2）答案：（1）x=；（2）无解解析：（1）2（3-x）=4+x6-2x=4+x-3x=-2x=，经检验，x=是原分式方程的解，∴原分式方程的解是x=；（2）2x=2x=1，检验：当x=1时，=0，∴x=1不是原分式方程的解，∴分式方程无解.19. 先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值．答案：，当时，原式解析：解：，∵，∴当时，原式．20. 自18世纪以来一些统计学家做“抛掷质地均匀的硬币实验”获得的数据如下表实验者实验次数正面朝上的频数正面朝上的频率布丰德·摩根费勒皮尔逊皮尔逊罗曼诺夫斯基（1）表中的______，______；（2）估计硬币正面朝上的概率．（精确到）答案：（1）；（2）小问1解析：解：，故答案为：；．小问2解析：由于表中硬币出现“正面向上”的频率在左右波动，估计硬币正面朝上的概率为．21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，将向左平移6个单位得到．（1）①以原点为旋转中心，将按逆时针方向旋转得；②以原点为旋转中心，将按逆时针方向旋转得；（2）在（1）的条件下，与关于某点成中心对称，则该对称中心坐标为______．答案：（1）见解析（2）小问1解析：解：①如图所示，即为所求；②即为所求；小问2解析：解：如图所示，旋转中心的坐标为故答案为：．相交于点N，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求菱形的面积．答案：（1）见解析（2）20解析小问1解析：∵四边形是矩形，∴，∴，∵垂直平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴四边形是菱形．小问2解析：∵，∴，∵，∴，解得，∵，∴，∴菱形的面积为20．23. “劳动创造幸福，实干成就伟业．”某校为了解学生寒假期间平均每天劳动时长x(单位：分钟)，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下统计图表．时间段频数频率（1）______，______；（2）补全频数分布直方图；（3）根据抽样调查的结果，若该校有名学生，试估计该校学生寒假期间平均每天劳动时长不低于分钟的人数．答案：（1）；（2）见解析（3）小问1解析：解：抽取的学生人数为人，．．故答案为：；．小问2解析：补全频数分布直方图如图所示．小问3解析：1人．估计该校学生寒假期间平均每天劳动时长不低于分钟的人数约人．24. 如图，在中，点边上一点，连接．（1）尺规作图：作射线，使得，且射线交的延长线于点；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接，若点为边中点，求证：四边形为平行四边形．答案：（1）见解析（2）见解析小问1解析：解：如图所示，射线，点即为所求；小问2解析：证明：如图所示，∵为的中点，∴，在中，，∴，∴，又∵，∴，∴四边形是平行四边形．25. 如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，点是反比例函数图像上的点，连接．（1）求，和值；（2）若点是正比例函数图像上的点，且的面积是4，求点的坐标．答案：（1），，（2），小问1解析：解：将代入得，，∴，将代入，∴，将代入，得，∴小问2解析：解：如图所示，过点作轴交于点，∴∴∴∵点是正比例函数图像上的点，且的面积是4，设，当点在的右侧时，则解得：则当点在的左侧时，解得：则综上所述，，26. 阅读理解：通过画图我们知道，函数的图像可以由反比例函数的图像向左平移一个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像向上平移三个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像先向左平移一个长度单位，再向上平移三个长度单位得到．（1）函数图像可以由反比例函数的图像先向______平移三个长度单位，再向______平移两个长度单位得到；（2）如图，函数为常数，且的图像经过，两点．求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，经过，两点的直线（，为常数且），若，直接写出的取值范围．答案：（1）左，下（2）（3）或小问1解析：解：先向左平移3个长度单位，再向下平移2个长度单位得到，得到了，故答案为：左，下．小问2解析：解：将，代入，得，解得：，∴；小问3解析：解：如图所示，过，两点，根据函数图象像可得，当时，或．27. 如图，在矩形中，，，点是边上一点且，点是线段上一动点（不与端点重合，可以与端点重合），将沿折叠，得到点的对称点为点，连接．（1）若点在边中点时，则的长为______；（2）若为直角三角形时，求的长；（3）若绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，连接．若为等腰三角形时，求的长．答案：（1）（2）或（3）或小问1解析：解：如图所示，连接∵四边形是矩形，，，点在边中点时，则，∴，∴，∵折叠，∴，∴又∴，∵∴∴故答案为：．小问2解析：解：如图所示，当时，∵∴三点共线，∵∴∴此时，当，如图所示，∵∴又∴∴四边形是矩形，则在上，∵折叠，∴∴在中，，综上所述，的长为或小问3解析：∵绕点逆时针旋转得到，∴，又∵∴，∵∴不存在的情形分两种情况讨论，如图所示，当时，过点作于点，∵绕点逆时针旋转得到，∴，设，∴，∵，∴，∴，在中，∴∴∴由（2）可得当时，如图所示，∴∵绕点逆时针旋转得到，∴，∵∴∴又∵∴∴在上，由（2）可得．综上所述，的长为或．。

2023～2024学年度第二学期期中教学质量监测考试八年级数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题，64分；共100分．考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置．3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据最简二次根式的定义即可求解．【详解】解：A，故不是最简二次根式；B是最简二次根式；C，故不是最简二次根式；D故选：B ．2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D=====2=-==【分析】根据同类二次根式的判断，二次根式的性质，二次根式的加减法，二次根式的乘法法则进行计算，从而做出判断．【详解】解：AB，故此选项不符合题意；C，故此选项不符合题意；D，正确故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的性质及二次根式的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．3. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）A. B.C. ，，D.【答案】D【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两较小边的平方和等于最长边的平方或根据三角形内角和定理计算最大角是否是即可．【详解】解：A 、∵，∴，∴最大的角，是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、，即，故是直角三角形，故本选项不符合题意；C 、∵，故是直角三角形，故本选项不符合题意；D 、∵，∴，故不是直角三角形，故选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4. 在平行四边形中，的结果可能是（ ）A. 1：3：1：3B. 1：3：3：1C. 1：1：3：3D. 1：2：3：42=3=6=⨯==A B C∠∠=∠+222c a b -=3a =4b =5c =::3:4:5A B C ∠∠∠=90︒A B C ∠∠=∠+2180A B C C ∠+∠+∠=∠=︒90C ∠=︒222c a b -=222+=a b c 222345+=345A B C ∠∠∠=：：：：518075345C ∠=︒⨯=︒++ABCD :::A B C D ∠∠∠∠【解析】【分析】根据平行四边形的对角相等，容易得出结论．【详解】解：四边形是平行四边形，，，A 选项符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．5.成立的x 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．由题意知，，，求解作答即可．【详解】解：由题意知，，，解得，，故选：C ．6. 射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查算术平方根的实际应用．代入字母的值计算即可．【详解】解：根据题意得：，，故选：B ．ABCD A C ∴∠=∠B D ∠=∠∴=2x ≠0x ≥2x >2x ≥0x ≥20x ->0x ≥20x ->2x >=v a s 52510m /s a =⨯0.64m s =2410m /s⨯28s 10m /⨯3410m /s ⨯3810m /s⨯30.810m/s v ====⨯32s 0.810m/s=810m /⨯⨯7. 在正方形中，等边三角形的顶点E 、F 分别在边和上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意直接证明，进而得，根据等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，故选：D ．【点睛】本题考查了证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键．8. 如图，在的正方形网格中，从在格点上的点A ，B ，C ，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】是ABCD AEF BC CD CEF ∠=75︒60︒50︒45︒()Rt Rt HL ABE ADF △△≌CE CF =ABCD AB AD BC CD ===90B D C ∠=∠=∠=︒AEF △AE AF =()Rt Rt HL ABE ADF △△≌BE DF =CE CF =CEF △45CEF ∠=︒HL 55⨯【分析】先求出每边的平方，得出，，，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．【详解】解： 理由是：连接、、、、、，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：，，，，，，∴，，，∴、、是直角三角形，共3个直角三角形，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．9. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，，．则四边形ABCD 的面积为（ ）A. 240B. 120C. 60D. 30【答案】B【解析】【分析】先证四边形ABCD 是菱形，再由勾股定理可求BO 的长，然后由菱形的面积公式可求解．【详解】解：过点A 作AE ⊥CD 于E ，AF ⊥BC 于F ，连接AC ，BD 交于点O，如图所示：222AB AC BC +=222AD CD AC +=222BD AB AD +=AC AB AD BC CD BD 222125AB =+=2222420AC =+=2221310AD =+=22525BC ==2221310CD =+=222125BD =+=222AB AC BC +=222AD CD AC +=222BD AB AD +=ABC ADC △ABD △13AB =10AC =∵两条纸条宽度相同，∴AE ＝AF ．∵AB CD ，AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵S ▱ABCD ＝BC •AF ＝CD •AE ．又∵AE ＝AF ．∴BC ＝CD ，∴ABCD 是菱形，∴AO ＝CO=，BO ＝DO=，AC ⊥BD ，∵，∴CO ＝AO ＝5，BO，∴BD ＝24，∴菱形ABCD 的面积＝AC ×BD ＝×10×24＝120．故选：B ．【点睛】此题考查了菱形判定与性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是证得四边形ABCD 为菱形．10. 如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A 爬到点B 的最短路程是（ ）的∥∥ 12AC 12B D 13AB =10AC =1212A. B. 5 C. D. 10【答案】B【解析】【分析】沿过A 点和过B 点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A 点爬到B 点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可．【详解】解：如图所示：沿过A 点和过B 点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A 点爬到B 点的最短路程，∵圆柱的底面周长为6，高为4，∴，∴，∴从点A 爬到点B 的最短路程是5，故选B ．【点睛】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，能把圆柱的侧面展开成平面图形，利用勾股定理进行求解是解题的关键．11. 如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】B【解析】【分析】此题考查是平行四边形的性质，矩形的判定和性质．由平行四边形的对角线的交点是的中点O ，当时，最小，即最小，证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解．的AB AB AC BC AB AB AB 1634902AC BC C =⨯===︒，，∠5AB ==Rt ABC △90B Ð=°6AB =8BC =D BC AC ADCE DE ADCE AC OD BC ⊥OD DE ABDE【详解】解：平行四边形的对角线的交点是的中点O ，当时，最小，即最小．∵，，∴，又∵四边形的平行四边形，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴．故选：B ．12. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判ADCE AC OD BC ⊥OD DE OD BC ⊥BC AB ⊥OD AB ∥ADCE BD AE ∥ABDE BC AB ⊥ABDE 6DE AB ==ABCD AD =BAD ∠BC E DH AE ⊥H BH CD F DE BF O ED AEC ∠12OE DE =HE DF =2BC CF EH -=AB FH =45BAE DAE ∠=∠=︒ABE AE AD =ABE AHD △≌△BE DH =67.5ADE AED CED ∠=∠=∠=︒67.5AHB ∠=︒22.5DHO ODH ∠==︒∠OE OD OH ==断出②正确；求出，，证明，可得，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，判断出④正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到⑤错误．【详解】解：在矩形中，平分，，是等腰直角三角形，，，，在和中，，，，，，，，平分，故①正确；，，，，，，，，，，故②正确；，22.5EBH OHD ∠=∠=︒45AEB HDF ∠=∠=︒BEH HDF △≌△BH HF =DF HE =HE AE AH BC CD =-=-()2BC CF BC CD DF HE -=--=ABH AB BH ≠AB HF ≠ ABCD AE BAD ∠45BAE DAE ∴∠=∠=︒ABE ∴AE ∴=AD = AE AD ∴=ABE AHD 90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()AAS ABE AHD ∴△≌△BE DH ∴=AB BE AH HD ∴===(18045)67.5ADE AED ∴∠=∠=︒-︒=︒1804567.567.5CED ∴∠=︒-︒-︒=︒AED CED ∴∠=∠ED ∴AEC ∠(18045)67.5AHB ∠=︒-︒=︒ OHE AHB ∠=∠OHE AED ∴∠=∠OE OH ∴=9067.522.5OHD ∠=︒-︒=︒ 67.54522.5ODH ∠=︒-︒=︒OHD ODH ∴∠=∠OH OD ∴=OE OD OH ∴==12OE DE =9067.522.5EBH ∠=︒-︒=︒，又，，在和中，，，，，故③正确；由上述①、⑤、③可得、，，，故④正确；，，不是等边三角形，，即，故⑤错误；故选：C ．第Ⅱ卷（非选择题 共64分）二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分．13.有意义，则x 的取值范围是____________.【答案】x≤【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出2-5x ≥0，进而得出答案．有意义，则2-5x≥0，解得：x≤ 故答案为：x≤14. 河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！EBH OHD ∴∠=∠BE DH = 45AEB HDF ∠=∠=︒BEH △HDF EBH OHD BE DHAEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA BEH HDF ∴ ≌BH HF ∴=HE DF =CD BE =DF EH CE ==CF CD DF =-()()2BC CF CD HE CD HE HE ∴-=+--=AB AH = 45BAE ∠=︒ABH ∴ AB BH ∴≠∴AB HF ≠252525【答案】6【解析】【分析】利用勾股定理求得即可求解．【详解】解：由题意，，则（米），∴（米），故答案为：6．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，掌握勾股定理是解答的关键．15. 如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝7，BC ＝10，则EF 的长为_____．【答案】1.5【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出DE ，根据直角三角形的性质求出DF ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵DE 为△ABC 的中位线，∴DE＝BC ＝5，在Rt △AFB 中，D 是AB 的中点，∴DF ＝AB ＝3.5，∴EF ＝DE ﹣DF ＝1.5，故答案为：1.5【点睛】本题考查中位线的性质、线段的和与差等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．AB 90ACB ∠=︒25AB ===247256+-=121216. 如图，中，，分别以的边为一边向外作正三角形，记三个正三角形的面积分别为．若，则______．【答案】4【解析】【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形的面积．先设，，，根据勾股定理有，再根据等式性质可得，再根据等边三角形的性质，易求而，同理可求，，从而可得，易求．【详解】解：设，，，那么是直角三角形，，，又，，，，，，故答案为：417.，2，，…按下列方式进行排列：，2，，，4；ABC 90ACB ∠=︒ABC ,,AC BC AB 123,,S S S 132,6S S ==2S =AC a =BC b =AB c =222+=a b c 222=2112S a == 22S =23S =123S S S +=3S AC a =BC b =AB c =ABC 222a b c ∴+=∴222=2112S a == 22S =23S =123S S S ∴+=321S S S ∴=+132,6S S ==24S ∴=…… ……若数2的位置记为，数，则位置为的数是___．【答案】【解析】【分析】，并且每一行有4个数，然后问题可求解【详解】解：，并且每一行有4个数，且数2的位置记为的位置记为，∴位置为的数是故答案为：【点睛】此题主要考查数字类规律探究、有序数对、二次根式的应用，解题的关键是根据题意找到所处位置的数．18. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ，若，，则______．【答案】【解析】【分析】过点E 作EF ⊥DC 于F ，由正方形的性质可得：△DEP 为等腰直角三角形，EF 为斜边上的高，根据等腰三角形的三线合一可得EF ＝DP ；由O 为BP 的中点，，可得BP ＝2OE ＝6．利用30°角可求BC ，CP ，于是DC ，DP 可知；利用勾股定理，在Rt △EFC 中EC 可求，然后由全等三角形的判定和性质即可得出结果．【详解】解：过点E 作EF ⊥DC 于F ，如图，()1,2()2,3()7,1()1,2()2,3()7,1()7,130PBC ∠=︒3cm OE =AE =123OE =∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ＝CD =AB ，∠BDC ＝∠DBC =∠DBA =45°．∵PE ⊥BD ，∴△DEP 为等腰直角三角形．∵EF ⊥DC ，∴EF ＝DF ＝FP＝DP ．∵PE ⊥BD ，O 为BP 的中点，，∴BP ＝2OE ＝6．在Rt △BCP 中，∵∠PBC ＝30°，∴CP ＝BP ＝3．∴BC ∴CD ＝．∴DP ＝CD ﹣CP ＝．∴EF ＝FP∴FC ＝CP +FP在Rt △EFC 中，CE＝在∆ABE 与∆CBE 中，123OE =12=3-，∴∆ABE ≅∆CBE ，∴AE =CE =故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等．解题关键是在正方形的题目中添加垂线构造等腰直角三角形是一条常添加的辅助线．三、解答题：共7小题，共52分．19. 计算：（1（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘除法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得；（2）先计算完全平方公式和平方差公式，再计算二次根式的加减法即可得．【详解】解：（1）原式；（2）原式【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．20. 如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的两点，．AB CB ABE CBE BE BE ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩21)1)--2+2+=+=+2=-2=+51(51)=++--64=+-2=+ABCD E F AC 12∠=∠（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．（1）通过全等三角形的对应边相等证得；（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．【小问1详解】证明：如图：四边形是平行四边形，，，，在与中，，，；【小问2详解】证明：，，∴．由（1）知，，四边形是平行四边形．21.某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：AE CF =EBFD ADE CBF V V ≌AE CF = ABCD AD BC ∴=AD BC ∥DAE BCF ∴∠=∠ADE V CBF V 12DAE BCF AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ADE CBF ∴ ≌AE CF ∴=12∠=∠ DEF BFE ∴∠=∠DE BF ∥ADE CBF V V ≌DE BF ∴=∴EBFD测量示意图①测得水平距离的长为15米．②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．测量数据边的长度③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务．（1）已知：如图，在中，，求线段的长．（2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？【答案】（1）9.7米（2）8米【解析】【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；（2）根据勾股定理计算即可得到结论．【小问1详解】解：∵在中，，，，又米，米，米，答：线段的长为9.7米；【小问2详解】∵风筝沿方向再上升12米后，米，BC AB AD Rt ABC △90,15,17ACB BC AB ∠=︒==AD DA BC a b c 222+=a b cAC CD AD ABC 90ACB ∠=︒15,17BC AB ==8AC ∴===,8AD AC CD AC =+= 1.7CD =8 1.79.7AD ∴=+=AD DA 20AC =（米），∴风筝应该放出线的长度为：米，答：他应该再放出8米线．22. 有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板．（1）截出的两块正方形木板的边长分别为______、______；（2）求剩余木板的面积；（3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出______个这样的木条．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】本题考查的是算术平方根的应用，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键．（1）根据算术平方根的含义可得答案；（2）利用长方形面积减去两个正方形的面积即可得到答案；（3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案．【小问1详解】，故答案为：，；【小问2详解】的25=25178-=218dm 232dm 1.5dm 1dm 26dm 2)dm -=2 1.53 1.5⨯<<⨯1>==解：矩形的长为，宽为，∴剩余木料的面积；【小问3详解】解：剩余木条的长为，宽为，∵，∴能截出个木条．故答案为：．23. 如图，是矩形的对角线．（1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图㢃迹，不必写作法和证明）；（2）设的垂直平分线交于点，交于点，连接．①判断四边形的形状，并说明理由；②若，求四边形的周长．【答案】（1）图见详解（2）①四边形是菱形，理由见详解；②四边形的周长为【解析】【分析】（1）分别以点B 、D 为圆心，大于为半径画弧，分别交于点M 、N ，连接，则问题可求解；（2）①由题意易得，易得，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证；②设，则，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．【小问1详解】解：所作线段的垂直平分线如图所示：)dm +=(()218325618326dm=--=--=)dm -=2 1.53 1.5⨯<<⨯1>212⨯=2BD ABCD BD BD AD E BC F BE DF ，BEDF 510AB BC ==，BEDF BEDF BEDF 2512B D MN EDO FBO ∠=∠()ASA EOD FOB ≌BEDF BE ED x ==10AE x =-BD【小问2详解】解：①四边形菱形，理由如下：如图，由作图可知：，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵是的垂直平分线，∴，∴四边形是菱形；②∵四边形是矩形，，∴，由①可设，则，是BEDF OB OD =ABCD AD BC ∥EDO FBO ∠=∠E O D FO B ∠=∠()ASA EOD FOB ≌ED FB =BEDF EF BD BE ED =BEDF ABCD 10BC =90,10A AD BC ∠=︒==BE ED x ==10AE x =-∵，∴，即，解得：，∴四边形的周长为．【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键．24. 【问题情境】如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 边上的一点，E 是CD 边的中点，AE 平分∠DAM ．【探究展示】(1)证明：AM =AD +MC ；(2)AM =DE +BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】(3)若四边形ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．【答案】(1)证明见解析；(2)AM =DE +BM 成立，证明见解析；(3)①结论AM =AD +MC 仍然成立；②结论AM =DE +BM 不成立．【解析】【分析】(1)从平行线和中点这两个条件出发，延长AE 、BC 交于点N ，易证△ADE ≌△NCE ，得到AD =CN ，再证明AM =NM 即可；(2)过点A 作AF ⊥AE ，交CB 的延长线于点F ，易证△ABF ≌△ADE ，从而证明AM =FM ，即可得证；(3)AM =DE +BM 需要四边形ABCD 是正方形，故不成立，AM =AD +MC 仍然成立．【详解】(1)延长AE 、BC 交于点N ，如图1(1)，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD //BC ，∴∠DAE =∠ENC ，∵AE 平分∠DAM，5AB =222AB AE BE +=()222510x x +-=6.25x =BEDF 6.25425⨯=∴∠DAE =∠MAE ，∴∠ENC =∠MAE ，∴MA =MN ，在△ADE 和△NCE 中，，∴△ADE ≌△NCE (AAS )，∴AD =NC ，∴MA =MN =NC +MC =AD +MC ．(2)AM =DE +BM 成立．证明：过点A 作AF ⊥AE ，交CB 的延长线于点F ，如图1(2)所示，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD =∠D =∠ABC =90°，AB =AD ，AB //DC ，∵AF ⊥AE ，∴∠FAE =90°，∴∠FAB =90°﹣∠BAE =∠DAE ，在△ABF 和△ADE 中，，∴△ABF ≌△ADE (ASA )，∴BF =DE ，∠F =∠AED ，∵AB //DC ，∴∠AED =∠BAE ，∵∠FAB =∠EAD =∠EAM ，∴∠AE D=∠BAE =∠BAM +∠EAM =∠BAM +∠FAB =∠FAM ，∴∠F =∠FAM ，∴AM =FM．DAE CNE AED NEC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩o =90FAB EAD AB AD ABF D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AM =FB +BM =DE +BM ．(3)同(1)可得△ADE ≌△NCE (AAS )，∴结论AM =AD +MC 仍然成立．在(2)中，∵AD ≠AB ，∴△ABF 与△ADE 不全等，∴无法证明AM =FM ，∴结论AM =DE +BM 不成立．【点睛】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判断与性质.25. 在四边形中，，，，，，点P 从点A 出发，以的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，四边形成为矩形？（2）当t 为何值时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？（3）四边形是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【答案】（1）（2）或或（3）四边形不能成为菱形，见解析，点Q的速度为时，能够使四边形在这一时刻为菱形．ABCD AD BC 6cm AB =14cm AD =20cm BC =90ABC ∠=︒1cm /s 3cm /s ABQP PBQD PBQD 5t =5t =3t = 3.5t =PBQD 41cm/s 20PBQD 40s 7【解析】【小问1详解】∵，，∴当时，四边形成为矩形，由运动知，，，∴，∴，解得．∴当时，四边形成为矩形；【小问2详解】①当时，，此时，四边形是平行四边形；②当时，，此时，四边形是平行四边形时；③当时，，此时，四边形为平行四 边形；综上所述，当或或时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．【小问3详解】四边形不能成为菱形．理由如下：∵，∴当时，四边形能成为菱形．由，得，解得：，当时，，，．90ABC ∠=︒AP BQ AP BQ =ABQP AP t =3CQ t =203BQ t =-203t t =-5t =5t =ABQP AP BQ =203t t =-5t =ABQP PD BQ =14203t t -=-3t =PBQD PD QC =143t t -=3.5t =PQCD 5t =3t = 3.5t =PBQD PD BQ PD BQ BP ==PBQD PD BQ =14203t t -=-3t =3t =14311PD =-=20911BQ =-=14113AP AD PD =-=-=在中，，，根据勾股定理得，，∴四边形不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为时，能够使四边形在时刻为菱形，由题意得解得：．故点Q 的速度为时，能够使四边形在这一时刻为菱形．Rt ABP 6AB =3AP =11BP ==≠PBQD cm /s v PBQD s t 142014t vtt -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩4074120t v ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩41cm/s 20PBQD 40s 7。

2023−2024学年第二学期期中考试初三数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.是二次根式，则的值可以是（ ）A. B. C. 3 D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得出答案．则a 的值不能是负数，故C 符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．2. 如图，在中，，D 为中点，若，则的长是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得答案．【详解】解：∵，D 为边的中点，∴，∵，∴，故选C ．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．a 1-6-7-ABC 90ABC ∠=︒AC 2BD =AC 2AC BD =90ABC ∠=︒AC 2AC BD =2BD =224AC =⨯=3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可得．【详解】解：A不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；B是最简二次根式，选项说法正确，符合题意；CD不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了最简二次根式．解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件．4. 如图，在菱形中，，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，邻补角的性质，由菱形的性质得到，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得到，即可求出，掌握菱形的性质是解题的关键．3==ABCD 80ABC ∠= BA BE =AED =∠95o105 100 1101402ABD ABC ∠=∠=︒70BEA BAE ∠=∠=︒AED ∠【详解】解：∵四边形是菱形，∴平分，∴，∵，∴，∴，故选：．5. 下列计算正确的是（ ）A.B. =﹣2C.=﹣3 D. 【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根的定义可判断A、D 两项、根据立方根的定义可判断B 项、根据平方根的定义可判断D 项，进而可得答案．【详解】解：A，所以本选项计算错误，不符合题意；B﹣2，所以本选项计算正确，符合题意；C=3≠﹣3，所以本选项计算错误，不符合题意；D 、，所以本选项计算错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，属于基础知识题型，熟练掌握三者的概念是解题的关键．6.用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤进行求解即可．【详解】解：，ABCD BD ABC ∠11804022ABD ABC ∠=∠=⨯︒=︒BA BE =18040702BEA BAE ︒-︒∠=∠==︒18070110AED ∠=︒-︒=︒D 5==55=±≠2230x x --=()222x -=-()214x -=()212x -=-()224x +=2230x x --=∴，∴，∴；故选：B ．7. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】根据数轴上a 点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．【详解】解：由图知：1＜a ＜2，∴a−1＞0，a−2＜0，原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3．故选D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．8. 若是方程的根，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），根据题意可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可．掌握方程解的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值．【详解】解：∵是方程的根，∴，∴，∴．故选：A ．223x x -=2214x x -+=()214x -=a |1|a -32a-1-23a -2a -x m =240x x +-=22024m m ++2028202620242020240m m +-=24m m +=x m =240x x +-=240m m +-=24m m +=22024420242028m m ++=+=9. 如图，在矩形中，对角线交于点O ，过点O 作交于点E ，交于点F ．已知，的面积为5，则的长为（ ）A. 2B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，然后由勾股定理求得答案．【详解】解：连接，如图所示：由题意可得，为对角线的垂直平分线，，，．，，，，在中，由勾股定理得，故选：D ．10. 如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 延长线于点F ，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．在下列结论中：①DE ＝EF ；②△DAE ≌△DCG ；③AC ⊥CG ；④CE ＝CF．其中正确的是（ ）ABCD AC BD ，EFAC ⊥AD BC 4AB =AOE △DECE OE AC AE CE =5AOE COE S S == AE CE OE AC AE CE ∴=5COE AOE S S == 210ACE AOE S S \== 1102AE CD \×=4AB CD == 5AE ∴=5CE ∴=Rt CDE△3DE ===A. ②③④B. ①②③C. ①②④D. ①③④【答案】B【解析】【分析】①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：根据正方形的性质得到∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四边形EMCN为正方形，由矩形的性质得到EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根据全等三角形的性质得到ED＝EF，故①正确；②利用已知条件可以推出矩形DEFG为正方形；根据正方形的性质得到AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，推出△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；③根据②的结论可得∠ACG＝90°，所以AC⊥CG，故③正确；④当DE⊥AC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF，故④错误．【详解】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴NE＝NC，∵∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN ≌△FEM （ASA ），∴ED ＝EF ，故①正确；②∵矩形DEFG 为正方形；∴DE ＝DG ，∠EDC +∠CDG ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∵AD ＝DC ，∠ADE +∠EDC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，在△ADE 和△CDG 中，，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），故②正确；③根据②得∠DAE ＝∠DCG ＝45°，∴∠ACG ＝90°，∴AC ⊥CG ，故③正确；④当DE ⊥AC 时，点C 与点F 重合，∴CE 不一定等于CF ，故④错误，综上所述：①②③正确．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解（1）的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.______．【答案】【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，注意被开方数大于等于0即可．,所以解得.DNE FME EN EMDEN FEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AD CD ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩3a ≥-30a +≥3a ≥-故答案为：．12. 如图，的对角线相交于点O ，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】依据矩形的判定定理进行判断即可．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴当时，四边形为矩形．故答案为(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查矩形判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键．13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______．【答案】且【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】关于的一元二次方程有实数根∴ ∴，即且．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，，则点的坐标为______．的3a ≥-ABCD Y AC BD ，ABCD Y AC BD =ABCD AC BD =ABCD AC BD =x 2(2)210k x x --+=k 3k ≤2k ≠x 2(2)210k x x --+=()()2202420k k -≠⎧⎪⎨---≥⎪⎩23k k ≠⎧⎨≤⎩3k ≤2k ≠ABCD 60DAO ∠=︒C【答案】##【解析】【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、坐标与图形，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，由题意可得，，作轴于，证明得到，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键．【详解】解：∵正方形的边长为2，，，∴，，，，如图，作轴于，则，四边形是正方形，∴，，，在和中，+)11OA=OB =CE y ⊥E ADO DCE≌CE DO ==1DE AO ==ABCD 60DAO ∠=︒90AOD ∠=︒30ADO ∠=︒2AD CD ==1OA ∴=OD ==CE y ⊥E 90CED AOD ∠=∠=︒ ABCD 90ADC ∠=︒90ADO CDE ADO DAO ∴∠+∠=︒=∠+∠CDE DAO ∴∠=∠ADO △DCE △，，，，，点在第一象限，，故答案为：．15. 如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是____________．【答案】【解析】【分析】过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，继而得到是等边三角形，证明，得到，继而得到，当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长，然后在中，根据角的直角三角形的性质及勾股定理得到，，最后再根据勾股定理计算即可．【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，∴，∵矩形中，，，CDE DAO AOD DEC AD DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ADO DCE ∴≌CE DO ∴==1DE AO ==1OE OD DE ∴=+= C C ∴++ABCD 3AB =AD =E F AC CD AE CF =BE BF +A AG AC ⊥AG AD =G GM BA ⊥GM BA M EG BG BD BD AC O 6AC ==3BO AO AB ===ABO ()SAS AGE CBF ≌GE BF =BE BF BE GE BG +=+≥B E G =BE BF +BG Rt MAG △30︒12MG AG ==92AM ==BG =A AG AC ⊥AG AD =G GM BA ⊥GM BA M EG BG BD BD AC O 90GAE ∠=︒ABCD 3AB =AD =∴，，，∴，∴，∴等边三角形，∴，∴，在和中，∴，∴，∵点、分别是对角线和边上的动点，∴，当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长，在中，，，，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值是，故答案为：是90ABC G B A F E C ∠=︒=∠∠=BC AD AG ===12BO AO AC ==6AC ===116322BO AO AC AB ===⨯==ABO 60BAO ∠=︒180180609030GAM BAO GAE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒AGE CBF V AG CBGAE BCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS AGE CBF ≌GE BF =E F AC CD BE BF BE GE BG +=+≥B E G =BE BF +BG Rt MAG △90GMA ∠=︒30GAM ∠=︒AG =12MG AG ==92AM ===915322BM BA AM =+=+=Rt MBG △BG ===BE BF +【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角的直角三角形，三角形三边关系，两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键．三、解答题（共55分）16. 计算（1（2）【答案】（1）1 （2）【解析】【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，（1）根据二次根式乘除运算法则进行计算即可；（2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．【小问1详解】；【小问2详解】解：30︒((2222+-86⨯÷==÷1=((2222+--((((2222⎡⎤⎡⎤=++-+--⎣⎦⎣⎦．17. 解方程：（1）（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【小问1详解】解：∵，∴，∴，∴或，解得；【小问2详解】解：∵，∴，∴，∴，解得(2222=-+-+4=⨯=()()242++=+x x x 2310x x --=1223x x =-=-，12x x ==()()242x x x ++=+()()()2420x x x ++-+=()()2410x x ++-=20x +=410x +-=1223x x =-=-，2310x x --=131a b c ==-=-，，()()2Δ3411130=--⨯⨯-=>x ==12x x ==18. 如图，在中，D 是的中点，E 是的中点，过点A 作交的延长线于点F ．（1）求证：；（2）连接，若，求证：四边形矩形．【答案】（1）见解析； （2）见解析；【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵点E 为的中点，∴，在和中，，∴；∴，∵，∴；【小问2详解】是ABC BC AD AF BC ∥CE AF BD =BF AB AC =ADBF AFE DCE ∠=∠AFBD AF BC ∥AFE DCE ∠=∠AD AE DE =AEF △EDC △AFE DCE AEF DEC AE DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝AAS EAF EDC ≌（）AF CD =CD BD =AF BD =证明：，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴平行四边形是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．19. 阅读下面的材料一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．以为例，花拉子米的几何解法步骤如下：① 如图1，在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形；② 一方面大正方形的面积为(x +)2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程，则方程的正数解是．根据上述材料，解答下列问题．（1）补全花拉子米的解法步骤②；（2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程的正数解的正确构图是 (填序号)．【答案】（1）5，5，25，3 （2）①【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据已知算式和图形可得答案．的AF BD AF BD = ∥，AFBD AB AC BD CD ==，90ADB ∠=︒AFBD 21039x x +=x 21039x x +=()239x +=+x =267x x -=（2）根据“在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形”，可得答案．【小问1详解】解：一方面大正方形的面积为，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程，则方程的正数解是．故答案为：5；5；25；3．【小问2详解】解：由题意可得，能够得到方程的正数解的正确构图：在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为和3的矩形，再补上一个边长为3的小正方形，最终把图形补成一个大正方形∴①符合．故答案为：①．20. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠DAC 是△ABC 的一个外角．实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．（1）作∠DAC 的平分线AM ；（2）作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接AE 、CF ．猜想并证明：判断四边形AECF 的形状并加以证明．【答案】（1）作图见解析；（2）菱形，证明见解析【解析】【详解】解：（1）如图所示，（2）四边形AECF 的形状为菱形．理由如下：∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB，x ()25x +21039x x +=()253925x +=+3x =267x x -=x∵AM 平分∠DAC ，∴∠DAM=∠CAM ，而∠DAC=∠ABC+∠ACB ，∴∠CAM=∠ACB ，∴EF 垂直平分AC ，∴OA=OC ，∠AOF=∠COE ，在△AOF 和△COE 中，，∴△AOF ≌△COE ，∴OF=OE ，即AC 和EF 互相垂直平分，∴四边形AECF 的形状为菱形．【点睛】本题考查①作图—复杂作图；②角平分线的性质；③线段垂直平分线的性质．21.的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化；．FAO ECOOA OC AOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩======+=======根据上述知识，请你解答下列问题：（1；（2的大小，并说明理由．【答案】（1）2 （2，理由见解析【解析】【分析】本题考查的是分母有理化：（1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案；（2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可．【小问1详解】；【小问2详解】，22. 在菱形中，，点E ，F 分别是边，上的点．【尝试初探】<)2+=2=+2=====<<ABCD 60A ∠=︒AB BC（1）如图1，若，求证：；【深入探究】（2）如图2，点G ，H 分别是边，上的点，连接与相交于点O 且，求证：【拓展延伸】（3）如图3，若点E 为的中点，，，．①设，，请用关于x 的代数式表示y ；②若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②．【解析】【分析】（1）连接，证明和都等边三角形，可得，证明，即可得出结论；（2）连接，过点D 作交于点P ，交于点Q ，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证；（3）①过点B 作交于点M ，过点D 作交于点P ，交于点Q ，则四边形和四边形、四边形都是平行四边形，得出，，，，，由（1）可知，则，即可求解；②过点B 作于点N ，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，根据可求，然后在中利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图1，连接，∵菱形、，是60EDF ∠=︒DE DF =CD AD EG FH 60EOF ∠=︒EG FH =AB 6AB =1BF =60EOF ∠=︒DH x =CG y =6CG DH +=EG 4y x =+BD ABD △BCD △ADE BDF ∠=∠ADE BDF ≌V V BD DP EG ∥AB DQ FH ∥BC 60PDQ EOF ∠=∠=︒DPEG DHFQ DP EG =DQ FH =DP DQ =BM EG ∥CD DP EG ∥AB DQ FH ∥BC BPDM BEGM DHFQ DM BP =GM BE =EG BM =HD FQ x ==1BQ x =+ADP BDQ ≌△△1CM AP BQ x ===+BN CD ⊥30︒132CN BC ==BN =6CG DH +=1MN =Rt BMN △BD ABCD 60A ∠=︒，，，，和都是等边三角形，，，，，，；（2）如图2，连接，过点D 作交于点P ，交于点Q则，四边形和四边形都是平行四边形，，，由（1）可知，（3）①如图3，过点B 作交于点M ，过点D 作交于点P ，交于点Q ，则四边形和四边形、四边形都是平行四边形，，，，，∵点E 为的中点，，，，，，AB AD CB CD ∴===60C ∠=︒AD BC ∥AB CD ∥∴ABD △BCD △AD BD ∴=60ADB ∠=︒60DBF ∠=︒60EDF ∠=︒ ADE BDF ∴∠=∠ADE BDF ∴ ≌DE DF ∴=BD DP EG ∥AB DQ FH ∥BC 60PDQ EOF ∠=∠=︒DPEG DHFQ DP EG ∴=DQ FH =DP DQ =EG FH∴=BM EG ∥CD DP EG ∥AB DQ FH ∥BC BPDM BEGM DHFQ DM BP ∴=GM BE =EG BM =HD FQ =AB 6AB =3BE ∴=3GM ∴=1BF = DH x =，，由（1）可知，，，，，，②过点B 作于点N ，，，，，，即，，，，，．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．FQ x ∴=1BQ x =+ADP BDQ ≌△△1AP BQ x ∴==+DM BP = AB CD =1CM AP x ∴==+4y CG CM GM x ∴==+=+BN CD ⊥60C ∠=︒ 30NBC ∴∠=︒132CN BC ∴==BN =6CG DH += 6y x +=46x x ∴++=1x ∴=12CM x =+=∴1MN ∴=EG BM ∴===。

2023~2024学年（下）初二期中学业水平质量监测数学试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 已知中，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】此题重点考查平行四边形的性质．由平行四边形的性质得，因为，所以，于是得到问题的答案．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，故选：A ．2. 下列各点在函数图象上的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解．【详解】解：A 、当时，，点不在函数图象上；B 、当时，，ABCD Y 60A ∠=︒C ∠60︒80︒100︒120︒C A ∠=∠60A ∠=︒60C ∠=︒ ABCD C A ∴∠=∠60A ∠=︒ 60C ∴∠=︒21y x =-()0,1()1,1-()1,3--()2,50x =2011y =⨯-=-∴()0,121y x =-1x =2111y =⨯-=点不在函数图象上；C 、当时，，点在函数图象上；D 、当时，，点不在函数图象上；故选：C ．3. 如图，，分别是，的中点，测得，则池塘两端，的距离为（ ）A. 45mB. 30mC. 22.5mD. 7.5m【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形中位线等于第三边的一半．根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：，分别是，的中点，是的中位线，，故选：B ．4. 若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】通过经过的象限判断比例系数k 的取值范围，进而得出答案．【详解】∵直线（是常数，）经过第一、第三象限，∴，∴的值可为2，故选：D．∴()1,1-21y x =-=1x -2(1)13y =⨯--=-∴()1,3--21y x =-2x =2213y =⨯-=∴()2,521y x =-D E AC BC 15m DE =A B D E AC BC DE ∴ABC 221530(m)AB DE ∴==⨯=y kx =k 0k ≠k 2-1-12-y kx =k 0k ≠0k >k【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．5. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；B. ，故该选项正确，符合题意；C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．6. 如图，四边形中，E ，F ，G ，H 分别是，，，的中点．若四边形是菱形，则四边形需满足的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，，，，再根据菱形的判定定理解答即可．【详解】解：，，，分别是，，，的中点，、、、分别为、、、的中位线，ABCD Y AC BD O AC BD=OA OC =AC BD ⊥ADC BCD∠=∠ABCD AC BD O AC BD =OA OC =AC BD ⊥ADC BCD ∠=∠ABCD AD BC BD AC EGFH ABCD AB DC=AB DC ⊥AC BD =AC BD ⊥12EG AB =12FH AB =12FG CD =12EH CD =E F G H AD BC BD AC EG ∴GF FH EH ABD △BCD △ABC ACD，，，，，，四边形为平行四边形，当时，，平行四边形为菱形，故选：A ．7. “漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x 表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度．不考虑水量变化对压力的影响，下列图象最适合表示y 与x 对应关系的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数图象．根据题意，可知随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．【详解】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，随的增大而减小，符合一次函数图象，故选：D ．8. 两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，，与交于点G ，与交于点H ．若，，则四边形的面积为（）12EG AB ∴=12FH AB =12FG CD =12EH CD =EG FH ∴=F G E H =∴EGFH AB CD =EG FG =EGFH y x x y y ∴x ABCD AECF AB AF =AE BC =AE BC AD CF 30AGB ∠=︒2AB =AGCHA. 4B. C. 8 D. 16【答案】C【解析】【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，证明四边形是菱形是解题的关键．证明四边形是菱形，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，即可求解．【详解】解：∵两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，，∴，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．四边形的面积．故选：C ．9. 如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，，的长为（ ）AGCH AGCH AG ABCD AECF AB AF =AE BC =30AGB ∠=︒AD BC ∥FC AE ∥90B F ∠=∠=︒30HAG AGB ∴∠=∠=︒30FHA HAG ∠=∠=︒2AG AB ∴=2AH AF=2AB = 4AG AH ∴==AG HC ∥AH GC∥∴AGCH AG AH =∴AGCH ∴AGCH 248AB AH =⋅=⨯=ABCD Y B BA BC F G F G 12FG H BH AD E CE CE AD ⊥3AD =BE =ABA. 1.5B. C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、勾股定理．由作图过程可知，为的平分线，则，再结合平行四边形的性质可得．在中，由勾股定理得，．设，则，，在中，由勾股定理得，，代入求出的值，即可得出答案．【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，，四边形为平行四边形，，，，，，．在中，由勾股定理得，．设，则，，在中，由勾股定理得，，即，解得，的长为2．故选：C ．10. 对于一次函数，其自变量和函数的两组对应值如表所示，则的值为（ ）x4kBE ABC ∠ABE CBE ∠=∠AB AE=Rt BCECE ==AB x =CD AE x ==3DE x =-Rt CDE △222CD CE DE =+x BE ABC ∠ABE CBE ∴∠=∠ ABCD AB CD ∴=3AD BC ==AD BC ∥AEB CBE ∴∠=∠ABE AEB ∴∠=∠AB AE =∴Rt BCECE ===AB x =CD AE x ==3DE x =-Rt CDE △222CD CE DE =+()2223x x =+-2x =AB ∴y kx b =+b c -y c A. B. C. 2 D. 7【答案】A【解析】分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法得到，据此求出，进而可得．【详解】解：由题意得，，∴，即，∴，∴，∴，故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，第11~12小题每小题3分，第13~18小题每小题4分，共30分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11. 函数中，自变量的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x -3≥0，解得：x ≥3．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12. 若正比例函数的图象经过点，则______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．将点代入函数解析式即可求得．【4c -8-2-244k b c k b c +=⎧⎨+=-⎩2k =8b c -=-244k b c k b c +=⎧⎨+=-⎩2440k k -+=()220k -=2k =8b c +=8bc -=-y =x 3x ≥y kx =()1,2-k =2-()1,2-【详解】解：点代入函数解析式得：，即，故答案为：．13. 如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形．若点A 的坐标是，则菱形的周长为______．【答案】40【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理等知识．于点D ，根据勾股定理求出，根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，作于点D ，∵点A 的坐标是，∴，∴菱形的周长为40．故答案为：4014. 将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答．【详解】解：函数的图象向下平移2个单位长度为，()1,2-y kx =2k -=2k =-2-xOy AOBC ()6,8AD OB ⊥10OA =AD OB ⊥()6,810OA ===AOBC 23y x =+21y x =+23y x =+23221y x x =+-=+故答案为：．15. 我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是________．【答案】【解析】【分析】设图象交点的纵坐标是m ，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：设图象交点的纵坐标是m ，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．∴，解得，经检验是方程的根且符合题意，∴两图象交点的纵坐标是．故答案为：【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键．16. 如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为______．【答案】21y x =+s t P 250P 35P 3510035m m -=250m =250m =P 250250Rt ABC △90ACB ∠=︒67.5B ∠=︒8AB =CD AB ⊥D E AB DE【解析】【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出．【详解】解：在中，，，则，在中，，，是斜边的中点，则，，，，，，故答案：17. 如图，直线分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，C 是线段上一点，，则点C 的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定，熟练掌握一线三垂直证明全等是解答本题的关键．首先得，，作，交直线于点，作，垂足为点，利用证明得到，，设，则，，将点为A ∠142CE AB AE ===22.5ECA A ∠=∠=︒45BEC ∠=︒DE Rt ABC △90ACB ∠=︒67.5B ∠=︒9067.522.5A ∠=︒-︒=︒Rt ABC △90ACB ∠=︒8AB =E AB 142CE AB AE ===22.5ECA A ∴∠=∠=︒45BEC A ECA ∴∠=∠+∠=︒CD AB ⊥ 90CDE \Ð=°DE ∴==122y x =+OA =45ABC ∠︒2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭(0,2)B (4,0)A -CD BC ⊥AB D DE x ⊥E AAS CDE BCO △≌△DE CO =CE OB =(,0)C m -(2,0)E m --(2,)D m m --代入直线解析式解出值即可．【详解】解：如图，作，交直线于点，作，垂足点，，，，，，，直线解析式为直线，，，设则，，点在直线的图象上，解得：，．故答案为：．18. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，过点作直线的垂线，垂足为，则线段长的最大值为______．为D m CD BC ⊥AB D DE x ⊥E 45ABC ∠=︒ CD CB ∴=90DEC BCO DCE CBOCD CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=⎨⎪=⎩(AAS)CDE BCO ∴ ≌DE CO ∴=CE OB = AB 122y x =+(0,2)B ∴(4,0)A -(,0)C m -(2,0)E m --(2,)D m m -- (2,)D m m --122y x =+1(2)22m m ∴=--+23m =2(3C ∴-0)2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ABCD 2AB =3BC =E F AD BC AE CF =B EF H BH【解析】【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质．由矩形的性质推出，，，，由推出，得到，由勾股定理求出，得到，又，即可得到线段长的最大值为．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，线段．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 已知y 是x 的一次函数，且当时，；当时，．AD BC =2DC AB ==AD BC ∥90DBC ∠=︒ASA ODE OBF △≌△OB OD =BD ==12OB BD ==BH OB ≤BH ABCD AD BC ∴=2DC AB ==AD BC ∥90DBC ∠=︒ODE OBF ∴∠=∠OED OFB ∠=∠AE CF = AD AE BC CF ∴-=-DE BF ∴=()ASA ODE OBF ∴≌ OB OD ∴=BD === 12OB BD ∴==BH OB ≤ ∴BH 2x =4y ==1x -1y =（1）求这个一次函数的解析式；（2）若点在该一次函数的图象上，求a 的值．【答案】（1）该一次函数的解析式为（2）【解析】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征；（1）设一次函数解析式为，再把两组对应值代入得到的方程组，然后解方程组即可；（2）把代入（1）中的解析式得到的方程，然后解方程即可．【小问1详解】解：设该一次函数的解析式为，分别把代入得：解得：所以，该一次函数的解析式为．【小问2详解】把代入，得：，解得：a 的值：20. 如图，在中，E 是上一点，，点F 在上，．求证：．【答案】见解析【解析】(),1a a -2y x =+12a =-()0y kx b k =+≠k b 、(),1a a -a ()0y kx b k =+≠2,4;1,1x y x y ===-=y kx b =+241k b k b +=⎧⎨-+=⎩12,k b =⎧⎨=⎩2y x =+(),1a a -2y x =+12a a -=+12a =-12a =-ABCD Y BC DE DA =DE DAF EDC ∠=∠DF EC =【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．先根据平行四边形的定义得到，再证明，即可证明．【详解】证明：四边形是平行四边形，，，又∵，，，．21. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，直线l 经过点A ，交y 轴于点．（1）求m 的值和直线l 的函数表达式；（2）若点在直线l 上，点在直线上．若，求t 的取值范围．【答案】（1），直线的解析式为（2）【解析】【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先将代入，代入得到，，然后根据求解即可．【小问1详解】把点代入得：，设直线的解析式为，把和分别代入ADF DEC ∠=∠ADF DEC △≌△DF EC = ABCD AD BC ∴∥ADF DEC ∴∠=∠DE AD =DAF EDC ∠=∠ADF DEC ∴ ≌DF EC ∴=()2,A m -22y x =--()0,4B ()1,P t y ()2,Q t y 22y x =--120y y -<2m =AB 4y x =+2t <-()1,t y 4y x =+()2,t y 22y x =--14y t =+222y t =--120y y -<()2,A m -22y x =--()2222m =-⨯--=AB y kx b =+()2,2-()0,4y kx b=+得：解得：所以，直线的解析式为．【小问2详解】把代入，代入，得：，因为，所以，解得．22. 如图，在菱形中，过点作于点，延长至点，使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）的长为【解析】【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．（1）由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形；（2）根据矩形的性质和菱形的性质，以及勾股定理即可得到结论．【小问1详解】证明：在菱形中，，，224k b b -+=⎧⎨=⎩14k b =⎧⎨=⎩AB 4y x =+()1,t y 4y x =+()2,t y 22y x =--14y t =+222y t =--120y y -<()()4220t t +---<2t <-ABCD A AE BC ⊥E BC F CF BE =DF AEFD 6BF =3DF =AD AD 154CF BE =EF BC =EF AD =AD BC ∥AEFD AE BC ⊥AEFD ABCD AD BC ∥AD BC CD AB ===，，，，∵，四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形；【小问2详解】解：设，，，，，解得，．23. 如图，有两个全等的直角三角形，直角边长分别为2和4，我们知道，用这样的两个直角三角形可以拼成平行四边形．（1）请画出所有可能拼成的平行四边形：（要求：用直尺画图，并在图上标出平行四边形每一条边的长度．）（2）在所有拼成的平行四边形中，求最长对角线的长度．【答案】（1）共有3种拼法，画图见解析（2）（1）中图（3）中一条对角线最长，长度为【解析】【分析】本题考查图形的剪拼，涉及矩形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形性质，作辅助线构造直角三角的CF BE = CF EC BE EC ∴+=+EF BC ∴=EF AD ∴=AD BC ∥∴AEFD AE BC ⊥ ∴AEFD AD BC EF CD x ====6CF BE BF EF x ∴==-=-90F ∠=︒ 222CD CF DF ∴=+222(6)3x x ∴=-+154x =154AD ∴=形求解是解答的关键．（1）根据平行四边形的性质求解即可；（2）分情况分别利用平行四边形和矩形的性质和勾股定理求解即可．【小问1详解】共有3种拼法，如下图：【小问2详解】如图①所示：其对角线长；如图②所示：∴∴∴如图③所示：∴∴∴．∴图③中的一条对角线最长，长度为．24. 家电超市出售某品牌手机充电器，每个进价50元，了解到有A ，B 两个厂家可供选择，为了促销、两个厂家给出了不同的优惠方案：A 厂家：一律打8折出售；B 厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折．该家电超市计划购买充电器x 个，设去A 厂家购买应付元，去B 厂家购买应付元．AB ==4CD ==122OD CD ==OA ==2AB OA ==2C D ==112OD CD ==OB ==2AB OB ==1y 2y（1）分别求出、与x 之间的函数关系；（2）若该商家只在一个厂家购买，怎样买过算？【答案】（1），（2）当时，厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在厂家购买划算【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键．（1）根据“去厂家购买应付款进价折扣购买数量”求出与之间的函数关系；分别求出当且为整数时、当且为整数时与之间的函数关系即可；（2）根据不同的取值范围，分别求出当、、时对应的的取值范围即可．【小问1详解】解：根据题意，得且为整数）；当且为整数时，；当且为整数时，；综上，，与之间的函数关系为，与之间的函数关系为．【小问2详解】解：当且为整数时：；当且为整数时：若，得，解得；若，得，解得；若，得，解得；综上，当时，；当时，；当时，．在1y 2y ()1400y x x =≥()25002035300(20)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩060x <<A 60x =60x >B A =⨯⨯1y x 020x ≤≤x 20x >x 2y x x 12y y <12y y =12y y >x 10.85040(0y x x x =⨯=≥x 020x ≤≤x 250y x =20x >x 250200.750(20)35300y x x =⨯+⨯-=+()25002035300(20)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩1y ∴x ()1400y x x =≥2y x ()25002035300(20)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩020x ≤≤x 12y y <20x >x 12y y <4035300x x <+60x <12y y =4035300x x =+60x =12y y >4035300x x >+60x >060x ≤<12y y <60x =12y y =60x >12y y >当时，选择厂家购买比较划算；当时，选择厂家和厂家一样划算；当时，选择厂家购买比较划算．25. 已知四边形是正方形，点E 是射线上一点，连接，点D 关于直线的对称点为M ，射线与直线相交于点G ．（1）若点M 在对角线上，则 度；（2）如图，若E 是的中点，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；（3）若点E 在边的延长线上，，求的长．【答案】（1）（2），证明见解析（3）【解析】【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质和判定：（1）根据正方形的性质以及对称的性质得到结果；（2）先作辅助线，根据正方形的性质以及中点得到角度和边长之间的关系，证明出两个三角形全等，得到对应边以及对应角，再根据边长之间的关系可得到结果；（3）先作辅助线，根据勾股定理得到，然后根据对称性以及正方形的特点证明出，即可得到结果；作出正确的辅助线是解题的关键．【小问1详解】解：若点M 在对角线上，如图所示：，此时，∵点D 关于直线的对称点为M，∴060x ≤<A 60x =A B 60x >B ABCD DC AE AE AM BC AC DAE ∠=CD AG AD CG DC 4,3AD BG ==DE 22.5AG AD CG =+8DE =5AG =ABN ECN △≌△AC 45DAC ∠=︒AE∴，故答案为：；【小问2详解】解：，证明如下：延长交的延长线于点，如图所示：，四边形是正方形，，，点是中点，在和中，，，点与点关于直线对称，，，，，而，；【小问3详解】解：设与相交于点，如图所示：122.52DAE EAC DAC ∠=∠=∠=︒22.5AG AD CG =+AE BC F ABCD ,90AD BC ADC ∴∠=︒∥90DCF ADC ∴∠=∠=︒ E CD DE EC∴=ADE V FCE △ADC DCF DE CEAED FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ADE FCE ∴ ≌,AD CF DAE CFE ∴=∠=∠ D M AE GAF DAE ∴∠=∠GAF CFE ∴∠=∠AG FG ∴=FG CF CG =+ CF AD =AG AD CG ∴=+AE BC N，在中，，，，点与点关于直线对称，，四边形是正方形，，，，，，，，，四边形是正方形，，，在和中，，，Rt ABG △222AB BG AG +=22243AG ∴+=5AG ∴= D M AE DAE GAE ∴∠=∠ ABCD AD BC ∴∥DAE ANG ∴∠=∠GAE ANG ∴∠=∠5GN AG ∴==3GB = 532BN GN GB ∴=-=-=4BC AD == 2BN NC ∴== ABCD AB DC ∴ ABC BCE ∴∠=∠ABN ECN ABC BCE BN NCANB ENC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ABN ECN ∴ ≌4CE AB ∴==．26. 如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点．（1）求点D 的坐标；（2）如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点．①若，求的长；②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式．【答案】（1）（2）①的长为2；②【解析】【分析】（1）直线，令，求出，即可得点的坐标；（2）①过作轴于，证明，可得，，设，则，代入直线即可求解；②在上截取，连接，证明，在中，利用勾股定理求解即可．【小问1详解】解：，轴，直线与交于点，点的纵坐标为6，直线，令得，解得，点的坐标为；【小问2详解】448DE DC CE ∴=+=+=xOy ()8,6B x y C A 26y x =-AB D y M E AO O E ED DM F DE EF =AE COM ∠EF H OH m =OE n =m n ()6,6AE m =+26y x =-6y =6x =D F FG y ⊥G ()AAS EFG DEA ≌FG EA =6EG DA ==AE a =(),F a a -26y x =-AD AN AE =NE EOH DNE ≌Rt NAE (8,6)B BA y ⊥26y x =-AB D ∴D 26y x =-6y =266x -=6x =∴D ()6,6解：①过作轴于，，，，，，，，，，设，则，，，，，代入得，解得，的长为2；②在上截取，连接，∵平分，∴，F FG y ⊥G 90EGF A ∴∠=∠=︒90FEG EFG ∠+∠=︒EF DE ⊥ 90FEG DEA ∴∠+∠=︒EFG DEA ∴∠=∠DE EF = ()AAS EFG DEA ∴ ≌FG EA ∴=6EG DA ==AE a =FG EA a ==6OA AE OE =+= 6EG OG OE =+=OG AE a ∴==(,)F a a ∴-26y x =-26a a -=-2a =AE ∴AD AN AE =NE OH COM ∠11904522MOH COM ∠=∠=⨯︒=︒∴，∵，，∴∴，∴，由（1）中D 的坐标可知，∴，即．∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，能够通过作垂线构造全等三角形是解题的关键．180********EOH MOH ∠=︒-∠=︒-︒=︒AN AE ==90DAE ∠︒45ANE ∠=︒180********END ANE ∠=︒-∠=︒-︒=︒EOH END ∠=∠()6,6AD AO =AD AN AO AE -=-DN EO =EOH DNE ≌NE OH m ==NAE 90NAE ∠=︒222AE AN NE +=AN AE =222AE AE NE +=222AE NE =NE =m ∴=+。

绝密★启用前2023-2024学年度第二学期期中考试初三数学试题说明：1．考试时间120分钟，满分120分．2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验．一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）A. B.C. D.答案：B解析：解：、，含有两个未知数，故本选项不符合题意；、，可化为，满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意；、不是整式方程，故本选项不符合题意；、最高次数3，故本选项不符合题意；故选：．2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：、，故本选项不符合题意；、，故本选项不符合题意；、是最简二次根式，故本选项符合题意；、，故本选项不符合题意；故选：．3. 如图，的对角线交于点O，下列条件不能判定是菱形的是（）A. B.C. D.答案：D解析：解：A．由、，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意；B．由可得，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意；C．由,根据对角线垂直的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意；C．是的对边，不能说明四边形是菱形，故该选项符合题意．故选：D．4. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A. B. C. D. 7答案：A解析：关于x的方程有两个不相等的实数根，，解得，，，故选：A．5. 若，，则的值为（）A. 3B.C. 6D.答案：D解析：解：∵，，∴．故选：D．6. 如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，则的面积为（）A. 6B. 5C. 3D.答案：C解析：四边形是正方形，四边形平行四边形，的面积为，故选：C7. 在对边不相等的四边形中，若四边形的两条对角线互相垂直，那么顺次连结四边形各边中点得到的四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形答案：B解析：解：如图，四边形中，于点，、、、分别是边、、、的中点，连接、、、，得到四边形，设交于点．，，、、、分别是边、、、的中点，∴，，，，，∴，，四边形是平行四边形，，，∴，，∵，平行四边形是矩形．故选：B．8. 对于实数定义新运算：，若关于的方程没有实数根，则的取值范围（）A. B.C. 且D. 且答案：A解析：解：由题意可得方程：，即，∵该方程没有实数根，∴，解得：；故选：A．9. 当时，代数式的值是（ ）A. 19B. 21C. 27D. 29答案：B解析：解：，，故选：B10. 已知，如图，点为x轴上一点，它的坐标为，过点作x轴的垂线与直线：交于点，以线段为边作正方形；延长交直线于点，再以线段为边作正方形；延长交直线于点，再以线段为边作正方形…．依此类推，的坐标为（）A. B. C. D.答案：C解析：解：过点作x轴的垂线与直线交于点，，线段为边作正方形，，同理可得，，，故答案为：C；二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是_________ ．答案：且解析：解：由题意得，且，解得且，故答案为：且；12. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________ ．答案：解析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，，，，故答案为：13. 在矩形中，对角线、相交于点O，过点A作，交于点M，若，则的度数为______ ．答案：##60度解析：四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．14. 已知a是方程的一个根，则的值为______．答案：2030解析：a是方程的一个根，，，故答案为：2030．15. 已知，则___________．答案：25解析：解：由题意知：，解得：，，，故答案为：25；16. 如图，正方形的边长，对角线、相交于点，将直角三角板的直角顶点放在点处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点旋转时，线段的最小值为________ ．答案：解析：解：四边形是正方形，，，，，，，，，，，故要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，，，，，线段的最小值为．故答案为：．三．解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．）17. 计算：（1）；（2）．答案：（1）（2）【小问1解析：】解：，【小问2解析：】解：原式．18. 用合适的方法解方程：（1）；（2）．答案：（1）（2）【小问1解析：】解：移项得，配方得，∴．【小问2解析：】，整理得：，∵，∴，∴，∴，．19. 如图，有一张矩形的纸片，将矩形纸片折叠，使点A与点C重合．（1）请用尺规在图中画出折痕，其中，点M在边上，点N在边上；（不写作法，保留痕迹），并说明折痕所在的直线与对角线有怎样的位置关系？（2）在（1）的条件下，直接写出折痕的长度．答案：（1）见解析，折痕所在的直线是对角线的垂直平分线（2）【小问1解析：】线段就是所要求作的折痕；折痕所在的直线是对角线的垂直平分线；【小问2解析：】连接，设，则，四边形是矩形，，，，在中，，是对角线的垂直平分线，在中，，，解得，，在中，，，，，，，折痕的长度为．20. 关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）若为正整数，请用配方法求出此时方程的解．答案：（1）且（2），【小问1解析：】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴且，解得：且，∴的取值范围为且；【小问2解析：】∵且，且m为正整数，∴，∴原方程为，∴，∴，∴，∴，∴此时方程的解为：，．21. 如图，在菱形中，，点E，F分别在上，且．（1）求证：；（2）若，试求出线段的长，并说明理由．答案：（1）证明见解析（2）10，理由见解析【小问1解析：】证明：∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，和中，，∴．【小问2解析：】解：∵，∴，∵，∴是等边三角形．∴，∵，∴．22. 已知，．（1）分别求，的值；（2）利用（1）的结果求下列代数式的值：①；②．答案：（1），（2）①；②【小问1解析：】解：，，，；【小问2解析：】由（1）知，，①；②．23. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，且，连接．（1）求证：四边形为矩形．（2）若菱形的面积是10，请求出矩形的面积．答案：（1）证明见解析（2）5【小问1解析：】证明：∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为矩形；【小问2解析：】∵菱形的面积是10，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，∴矩形的面积为5．24. 阅读理解：我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题．化简：解：由题意可知隐含条件解得：，∴，∴．启发应用：（1）按照上面的解法，化简：；类比迁移：（2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简）拓展延伸：（3）若，请直接写出的取值范围．答案：（1）2；（2）；（3）解析：解：（1）由题意可知隐含条件解得：，∴，∴，（2）由题意可知隐含条件解得：，∴，∴，∴，∴的周长为；（3）由题意可知隐含条件，解得：，当时，，则，符合题意，当时，，则，不符合题意，综上所述，的取值范围为．25. 在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题：（1）下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_______（把所有正确的序号都填上）；①“双直四边形”的对角线不可能相等：②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．（2）如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若，证明：四边形为“双直四边形”；（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．答案：（1）②③（2）证明见解析（3）存在，点的坐标或小问1解析：】解：∵正方形是“双直四边形”，正方形的对角线相等．故①不正确．∵“双直四边形”的对角线互相垂直，∴“双直四边形”面积等于对角线乘积的一半．故②正确．∵中心对称的四边形是平行四边形，对角线互相垂直且有一个角是直角的的平行四边形是正方形．∴若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．故③正确．故答案为：②③；【小问2解析：】证明：如图，设与的交点为，∵四边形是正方形，，又，，，，，，，，，∴四边形为“双直四边形”．【小问3解析：】解：假设存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”．如图，设的交点为∵，，，即，，解得，，是的中点，，设直线的解析式为则解得∴直线的解析式为设，①当时，则，，则；②当时，，是的垂直平分线，，，，，此时点坐标还是；③当时，，是等腰直角三角形，，，，∵，，∴，∴，整理得，，当时，，此时在第四象限，不符合题意．当时，，此时在第一象限，符合题意．综上，或．。

八年级数学期中试题本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟．试卷满分130分．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1. 我国古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑有一定的影响．如图是受“八卦”的启示，创作的正八边形窗户平面图，则对该图的对称性表述正确的是（）A. 只是轴对称图形B. 只是中心对称图形C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形【答案】C【解析】【分析】直接利用中心对称和轴对称图形的定义得到答案．【详解】创作的正八边形窗户平面图，是轴对称图形，也只中心对称图形，故选C．【点睛】本题考查中心对称和轴对称图形的定义，正确把握定义是解题的关键．2. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）A. 了解卫星“嫦娥一号”零部件的质量情况B. 了解一批灯泡的使用寿命C. 了解江苏省中学生观看电影《厉害了，我的国》的情况D. 了解苏州市中小学生的课外阅读时间【答案】A【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【详解】解：A 、了解卫星“嫦娥一号”零部件的质量情况，适合普查方式，故A 选项正确；B 、了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故B 选项错误；C 、了解江苏省中学生观看电影《厉害了，我的国》的情况，适合抽样调查，故C 选项错误；D 、了解苏州市中小学生的课外阅读时间，适合抽样调查，故D 选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3. 下列各式：，其中分式共有（ ）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【答案】D【解析】【分析】本题主要考查分式的定义，看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：分式有：，，共2个．故选D ．4. 下列成语描述的事件是不可能事件是（ ）A. 十拿九稳B. 水滴石穿C. 水中捞月D. 守株待兔【答案】C【解析】【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．解题的关键是掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．214155π32x x y a x x b y-+-，，，，1a b +25x y【详解】解：A. 十拿九稳，是随机事件，不合题意；B. 水滴石穿，是必然事件，不符合题意；C. 水中捞月，是不可能事件，合题意．D. 守株待兔，是随机事件，不合题意；故选：C．5. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A. 有两个角是直角B. 有两个角是钝角C. 有两个角是锐角D. 一个角是直角【答案】A【解析】【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断．【详解】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选：A．【点睛】本题考查了用反证法证明命题的方法，理解原命题的结论的反面是解题的关键．6. 下列判断错误的是（）A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】C【解析】【分析】根据正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，判断即可；【详解】解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项正确，不符合题意；B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项正确，不符合题意；C．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如：等腰梯形的对角线相等，选项错误，符合题意；D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了特殊四边形的特征，掌握常见的特殊四边形的特征是解题关键．7. 为了了解我校八年级的1200名学生的数学期中成绩，随机抽取80名学生的数学成绩进行分析，则下列说法错误的是（）A. 总体是我校八年级的1200名学生的数学期中成绩的全体B. 其中80名学生是总体的一个样本C. 样本容量是80D. 个体是我校八年级学生中每名学生数学期中成绩【答案】B【解析】【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【详解】解：A ．总体是我校八年级的1200名学生的数学期中成绩的全体，说法正确，故本选项不符合题意；B ．其中80名学生的数学期中成绩是总体的一个样本，原说法错误，故本选项符合题意；C ．样本容量是80，说法正确，故本选项不符合题意；D ．个体是我校八年级学生中每名学生数学期中成绩，说法正确，故本选项不符合题意．故选：B ．8. 将分式中的的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的6倍C. 扩大为原来的9倍D. 不变【答案】A【解析】【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．【详解】解：由题可知，当分式中的与分别扩大为原料的3被后：，．则扩大为原料的3倍．2xy x y -x y ，x y 2(3)(3)1863333x y xy xy x y x y x y⨯⨯==---623xy xy x y x y÷=--9. 如图1，点P 从菱形的顶点A 出发，沿以的速度匀速运动到点B ，点P 运动时的面积随时间变化的关系如图2，则a 的值为（ ）A. 8B. C. 6 D. 【答案】B【解析】【分析】作过点C 作，再根据图像的三角形的面积可得CE =8，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求即可．【详解】解：过点C 作于E ，∵菱形中，，∴当点在边上运动时，的值不变，为，，即菱形的边长是，∵，即．当点在上运动时，逐渐增大，，．在中，，，解得．ABCD A C B →→1cm /s PAD()2cm y ()s x 253203CE AD ⊥a CE AD ⊥ABCD AD BC AD BC =∥，P BC y 4a 1010AD BC a a ∴==+-=a 142AD CE a ⋅=8CE =P AC y 10AC ∴=6AE ∴===Rt DCE V 68DC a AE a CE ==-=，，()22286a a ∴=+-253a =【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理等知识点，利用菱形的性质和勾股定理列出方程是解答本题的关键．10. 如图，在正⼀形外取⼀点E ，连接．过点A 作的垂线交 于点P ．若，下列结论：①；②；③；⑤，其中正确结论的序号是（ ）A. ①②③④B. ①④⑤C. ①②④D. ③④⑤【答案】C【解析】【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；②先说明，结合是等腰直角三角形，即，然后根据求解即可判定；③先说明是等腰直角三角形，再运用勾股定理求，然后用勾股定理求得即可；④过B 作，交的延长线于F ，先说明由△BEF 是等腰直角三角形可求得，进而求得，用勾股定理可求 ，连接，求出的面积，然后减去的面积即可； 根据④求得的长，再结合正方形的性质即可判定．【详解】解：①∵∴又∵，∵在和中，∴；故①正确；②∵，ABCD ,,AE BE DE AE DE 10AE AP PB ===APD AEB ≌135AEB ∠=︒EB =33APD APB S S += 11CD =EAB PAD ∠=∠SAS 90BEP ∠=︒AEP △45AEP ∠=︒AEB AEP BED ∠=∠+∠AEP △PE BE BF AE ⊥AE EF AF AB BD ABD △BDP △AB 90,90,EAB BAP PAD BAP ︒︒∠+∠=∠+∠=,EAB PAD ∠=∠,AE AP AB AD ==APD △AEB △AE AP EAB PAD AB AD ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝APD AEB ≌APD AEB ≌∴，∵∴，∴，即；∵过点A 作的垂线交于点P ．若∴是等腰直角三角形，即∴故②正确；③∵，∴， ，又∵②中，∴BE，故③错误；④如图：过B 作，交的延长线于F ，又∵③中，∴∴又∵，∴ ，∴∴AB如图，连接BD ，∵，∴ ，∴，故④正确．APD AEB ∠=∠,,AEB AEP BEP APD AEP PAE ∠=∠+∠∠=∠+∠90BEP PAE ∠=∠=︒EB ED ⊥90BEP ∠=︒AE DE AE AP ==AEP △45AEP ∠=︒9045135;AEB AEP BED ∠=∠+∠=︒+︒=︒AE AP ==90EAP ∠=︒45AEP APE ∠=∠=︒6PE ===EB ED ⊥8==BF AE ⊥AE ,EB ED BF AF ⊥⊥45FEB ∠=︒=BF EF=8BE BF EF ==AF AE EF =+=+==APD AEB ≌8PD BE ==ABP ADP ABD BDP S S S S +=- 1122ABCD S DP BE =-⨯正方形111308865323322=⨯-⨯⨯=-=⑤∵正方形，∴，故⑤错误；综上可知其中正确结论的序号是①②④．故答案为C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识是解答本题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）11.若分式的值为0，则x 的值为______．【答案】2【解析】【详解】依题意得：x ﹣2=0，解得x =2．经检验x =2符合题意，故答案是：2．12. 分式，，的最简公分母是_______.【答案】12xy 2【解析】【分析】取各系数的最小公倍数，各字母的最高次幂，2，3，4的最小公倍数为12，x 的最高次幂为1，y 的最高次幂为2，则得出最简公分母．【详解】解：分母2x ，3y 2，4xy 的最简公分母为12xy 2，故答案为：12xy 2ABCD AB =CD AB ==22x x -+2y x 23x y14xy【点睛】本题考查了最简公分母，关键是掌握最简公分母的定义，分两个部分确定．13. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成5组，第组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是___________．【答案】【解析】【分析】用总次数减去第组的频数和，再求出频率．【详解】解：由题意得：，第5组的频数是，故答案为：．【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数的定义是解题的关键．14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，则____．【答案】30【解析】【分析】本题考查旋转的性质，三角形的内角和定理．根据旋转的性质，以及三角形的内角和定理，进行求解即可．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，∴，∴，∴；故答案为：30．15. 已知菱形且，那么顺次连接四边形各边中点所得到的四边形面积为________．【答案】20【解析】14-0.114-401210684----=∴40.140=0.1ABC A 70︒ADE V 40B ∠=︒100E ∠=︒BAE ∠=︒ABC A 70︒ADE V 70,40BAD D B ∠=︒∠=∠=︒18040EAD E D ∠=︒-∠-∠=︒==30BAE BAD EAD ∠∠-∠︒ABCD 108AC BD ==，ABCD【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形中位线的性质，可得到，且，所以四边形是平行四边形，再根据菱形对角线相互垂直，得到平行四边形的角是直角，从而得到四边形是矩形，由此求得其面积．【详解】解：如图所示，四边形是菱形，，分别为菱形各边中点，，，且，， ，且，四边形是平行四边形，同理，，又 ，，，四边形矩形，四边形面积为：．故答案为：20．16. 若关于的方程的解为整数解，则满足条件的负整数的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查根据方程的解的情况，求参数的取值范围．先求出方程的解，再根据解的情况，列出不是EF GH ∥12EF HG AC ==EFGH EFGH EFGH ABCD ∴AC BD ⊥ ,,,E F G H ABCD ∴EF AC ∥HG AC ∥152EF AC ==152HG AC ==∴EF GH ∥5EF HG ==∴EFGH 142HE GF DB ===,HE BD GF BD ∥∥ AC BD ⊥,HE BD ∥EF AC ∥∴,EF HE ⊥∴90HEF ∠=︒∴EFGH ∴EFGH 5420S EF HE ==⨯= x 3111ax x x -=++a 1-等式进行求解即可．【详解】解：解方程，得：，∵方程的解为整数解，且，为负整数，∴，∴；故答案为：．17. 如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上一点，点、分别为，的中点，则的最小值是_________．【答案】####【解析】【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点．当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，再求出答案即可．【详解】解：如图，连接，点、分别为，的中点，．当时，的值最小，此时的值也最小．，，，，由勾股定理得：，，3111ax x x -=++41x a =-1x ≠-a 12a -=-1a =-1-ABC 120C ∠=︒AC BC =AB =N BC M AB D E CN MN DE 321121.5C M A B ⊥CM DE AB CM CM D E CN MN 12DE CM ∴=C M A B ⊥CM DE 120C ∠=︒ AC BC =12AM BM AB ∴===30A B ==︒∠∠2AC CM ∴=222AC AM CM =+22427CM CM ∴=+，．故答案为：．18. 已知在平行四边形中，，点在上，，将沿翻折到，连接．则的长为________，的长为________．【答案】①. ②. 【解析】【分析】过B 作交延长线于G ，于H ，先证明是等腰直角三角形求得，设，则，，然后在中，利用勾股定理求得，进而求得；由翻折性质和等腰三角形的性质，结合平行线的性质求得，证明是等腰直角三角形，∴中，利用勾股定理求解即可．【详解】解：过B 作交延长线于G ，过E 作于H ，则，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，3CM ∴=1322DE CM ∴==32ABCD 6135AB AD A ∠︒===，E AD BE DE =ABD △BD FBD EF BE EF 5BG DA ⊥DA EH BF ⊥AGB 3AG BG AB ===AE x =3GE x =+6BE DE x ==-Rt BGE △1x =5BE =45EBF ∠=︒BHE EH BH BE ===Rt EHF △BG DA ⊥DA EH BF ⊥90AGB EHB EHF ∠=∠=∠=︒ABCD AD BC ∥135BAD ∠=︒45GAB ∠=︒∴是等腰直角三角形，∵，∴，设，则，，在中，由得，解得，∴；由翻折性质得，∵，，∴，∴，∵EH ⊥BF ，∴是等腰直角三角形，∴∴，在中，故答案为：5．【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、翻折性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．三、解答题（本大题共9小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：（1）；（2）．AGB AB =3AG BG AB ===AE x =3GE x =+6BE DE x ==-Rt BGE △222BG GE BE +=()()222336x x ++=-1x =5BE AB AE =-=BF AB ==ABD DBF ∠=∠BE DE =AD BC ∥EBD EDB DBC ∠=∠=∠45ABC ABD DBC DBF EBD EBF ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒BHE EH BH ===HF BF BH =-==Rt EHF △EF ===26142a a a -+--21111m m m ⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭【答案】（1） （2）【解析】【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到答案；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形,约分即可得到答案．【小问1详解】解：原式 ；【小问2详解】解：原式 ．20. 解方程：（1）；（2）．【答案】（1）原方程无解（2）【解析】【分析】本题考查了解分式方程：（1）利用解分式方程的一般步骤即可求解；（2）利用解分式方程的一般步骤即可求解；熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．22a +22+m m ()()()()622222a a a a a a -+=+-+-+()()()2222a a a -=-+22a =+211111m m m m m +⎛⎫=+÷ ⎪+++⎝⎭2211m m m m ++=⨯+22m m +=234111x x x ++=+-212112x x x =---1x =-【小问1详解】解：等式两边同时乘，得：，解得：检验：当时，，∴是原方程的增根，原方程无解．【小问2详解】等式两边同时乘，得：，解得：经检验：是原方程根，∴原方程的解为．21. 化简代数式，然后从，0，1中选取一个合适的m 的值代入求值．【答案】，0【解析】【分析】先利用分式运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件求出m 的取值范围，最后代入求值即可．【详解】解：原式，，，，，即，当时，．【点睛】本题考查分式的混合运算和分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则，确定m 的取值范围是解题的关键．22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留的的()()11x x +-()()23141x x x +-+=-1x =-1x =-210x -=1x =-()21x -()212x x =---1x =-1x =-1x =-22421211m m m m m m -+⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭1-2m ()()()221122411m m m m m m m +-+-=⨯+-()()()()22111=11m m m m m m -+-⨯+-2m =210m -≠ ()210m -≠1m ≠±0m =2=20=0m ⨯106⨯A B C D P作图痕迹．（1）在图①中，作以点为对称中心的平行四边形．（2）在图②中，作四边形的边上的高．（3）在图③中，在四边形的边上找一点，连结，使．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）利用网格特征连接，并延长，即可作以点为对称中心的平行四边形；（2）取格点，连接交于点，即可作四边形的边上的高；（3）取格点，，，连接，，，与交于点，连接并延长交于点即可．【小问1详解】如图①中，平行四边形即为所求；【小问2详解】如图②中，高即为所求；根据网格与勾股定理得出P ABEF ABCD BC AM ABCD CD N AN 45DAN ∠=︒AP BP P ABEF E AE BC M ABCD BC AM E P Q AE PQ ED PQ ED F AF CD N ABEF AM 3,5,4AF EH AD AE DF AH ======∴，∴，∵∴，∴，∴，∴即为所求；【小问3详解】如图③中，点即为所求．如图所示，找到格点，，则是等腰直角三角形，找到格点，则是矩形，∴是的中点，∴垂直平分，即．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，勾股定理与网格问题，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．23. 如图，在中，点分别在边上，且，连接与交于点．求证：．【答案】见解析ADF EAH ≌EAH ADF ∠=∠90ADF DAF ∠+∠=︒90EAH FAD ∠+∠=︒DA AE ⊥AE BC ⊥AM N E DE ==5AD AE ==DAE PQ PQED F DE AN DE 45NAD ∠=︒ABCD Y E F ，AB CD ，AE CF =EF BD O OE OF =【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，根据平行四边形的判定及性质证得四边形是平行四边形，即可求证结论，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．【详解】证明：连接，如图：四边形是平行四边形，，，，即，，∴四边形是平行四边形，．24. 实验学校想了解学生家长对“双减”政策认知情况，随机抽查了部分学生家长进行调查，将抽查的数据结果进行统计，并绘制两幅不完整的统计图（A ：不太了解，B ：基本了解，C ：比较了解，D ：非常了解）．请根据图中提供的信息回答以下问题：（1）请求出这次被调查的学生家长共有多少人？（2）请补全条形统计图．（3）试求出扇形统计图中“比较了解”部分所对应的圆心角度数．（4）该学校共有2400名学生家长，估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有多少？【答案】（1）这次抽样调查的家长有50人的EBFD ,DE BF ABCD ,AB CD AB CD ∴=∥AE CF = AB AE CD CF ∴-=-BE DF =,BE DF BE DF =∥ EBFD OE OF ∴=（2）补全条形图见解析（3）“比较了解”部分所对应的圆心角是144°（4）估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有480人【解析】【分析】（1）用A 的人数除以A 的百分比即可解得总人数；（2）先解得C 百分比，再计算D 的百分比，继而分别解得B 、D 的人数，即可画图；（3）由C 的百分比乘以360°；（4）先计算“非常了解”的百分比，再乘以2400即可解题．【小问1详解】解：（人）答：这次抽样调查的家长有50人．【小问2详解】表示“不太了解”的人数为：50×30%＝15（人），表示“非常了解”的人数为：50﹣5﹣15﹣20＝10（人），补全条形图如图：【小问3详解】“比较了解”部分所对应的圆心角是：360°144°；【小问4详解】2400480（人），答：估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有480人．【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的实际应用，涉及补全条形图、求某部分扇形的圆心角、用样本估计总体等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．25. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？的5=5010%2050⨯=1050⨯=（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过320元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？【答案】（1）每个甲种商品进价为8元，则每个乙种商品进价为10元（2）共5种方案，即方案1：甲种商品购进 58 个，乙种商品购进21个；方案2：甲种商品购进 61 个，乙种商品购进22个；方案3：甲种商品购进64 个，乙种商品购进23个；方案4：甲种商品购进67 个，乙种商品购进24个；方案5：甲种商品购进 70个，乙种商品购进25个【解析】【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式组的应用；（1）设每个乙种商品进价为元，则每个甲种商品进价为元，根据题意列出分式方程，解方程并检验即可求解；（2）设购买乙种商品个，则购买甲种商品个，根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解，即可求解．【小问1详解】解：设每个乙种商品进价为元，则每个甲种商品进价为元．根据题意得，解得：；经检验得是原方程的解且符合题意，（元）答：每个甲种商品进价为8元，则每个乙种商品进价为10元．【小问2详解】解：设购买乙种商品个，则购买甲种商品个．根据题意得，解得，解得，为整数，共5种方案即方案1：甲种商品购进 58 个，乙种商品购进21个；方案2：甲种商品购进 61 个，乙种商品购进22个；方案3：甲种商品购进64 个，乙种商品购进23个；方案4：甲种商品购进67 个，乙种商品购进24个；//x (2)x -a ()35a -x (2)x -801002x x=-10x =10x =28x -=a ()35a -3595a a +-≤25a ≤()()()128351510320a a --+->20a >2025a ∴<≤a 2122232425a ∴取，，，，方案5：甲种商品购进 70个，乙种商品购进25个．26. 在中，的平分线交直线于点，交直线于点．（1）在图1中证明；（2）在图2中，若是的中点，求的度数；【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义得到两个角相等，再根据平行四边形的性质、平行线的性质得到角之间的关系，然后根据等腰三角形的性质得到结果；（2）先根据矩形的性质和（1）中的结论可得到等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质以及角平线的定义、等腰三角形的判定与性质得到，最后在利用全等三角形得到等腰直角三角形，即可得到结果．【小问1详解】证明：∵是平行四边形，，，，平分，，，，；【小问2详解】解：连接，如图所示：ABCD Y BAD ∠BC E DC F BE CD =90ABC G ︒∠=，EF BDG ∠45BDG ︒∠=AB BE =ABCD AB CD ∴=AD BC ∥DAE BEA \Ð=ÐAE BAD ∠DAE BAE ∴∠=∠BAE BEA ∴∠=∠AB BE ∴=BE CD ∴=,BG CG，∵是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵是平行四边形，，∴四边形是矩形，，，在中，，为中点，，，∴，，，在和中，，，，，ABCD ,AB CD AD BC ,BAE DFA CEF DAE ∠=∠∠=∠AE BAD ∠DAE BAE ∠=∠CEF CFE ∠=∠CE CF =ABCD 90ABC ∠=︒ABCD 90BCD ∴∠=︒1801809090ECF BCD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒Rt CEF ∆90,ECF CE CF ∠=︒=G EF 1,2EG CG EF CG EF ∴==⊥90,45CGE ECG CEG ∴∠=︒∠=∠=︒9045135DCG ECD ECG ∠=∠+∠=︒+︒=︒180********BEG GEC ∠=︒-∠=︒-︒=︒BEG DCG ∴∠=∠BEG DCG △BE DC BEG DCG EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ΔΔBEG DCG ∴≌()SAS ,BG DG BGE DGC ∴=∠=∠90CGD DGE ∠+∠=︒∴，即，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定及性质，构造出两个全等三角形是解题的关键．27. 如图，矩形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．（1）当点在上时，作，垂足为，求证；（2）当的长；（3）连接，点从点运动到点的过程中，直接写出的最小值．【答案】（1）见解析（2）的值为或（3）【解析】【分析】（1）通过“”证明即可得证．（2）分情况讨论，当点E 在上时，借助，在中求解；当点E 在上时，过点E 作于点G ，于点H ，借助并利用勾股定理求解即可．（3）分别讨论当点E 在和上时，点F 所在位置不同，的最小值也不同，综合比较取最小即可．【小问1详解】（1）如图所示，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，90EGB DGE ∠+∠=︒90BGD ∠=︒45BDG ∴∠=︒ABCD 8AB =6AD =E BCD AE A AF BAC ∠CF E BC FM AC ⊥M AM AB =AE =CF DF E B D DF CF 65AAS ABE AMF ≌BC ABE AMF ≌Rt CMF CD EG AB ⊥FH AC ⊥AGE AHF ≌BC CD DF ABCD 90B Ð=°FM AC ⊥90AMF ∠=︒90AMF B ∠=∠=∵，∴，即，由旋转性质知：，在和中，，，．【小问2详解】当点E 在上时，在中，，则在中，，，则，∵，∴，在中，，，则当点E 在上时，如图，过点E 作于点G ，于点H ，BAC EAF ∠=∠BAC EAC EAF EAC ∠-∠=∠-∠BAE MAF ∠=∠AE AF =ABE AMF B AMF BAE MAF AE AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABE AMF ∴ ≌AM AB ∴=BC Rt ABE △8AB =AE =BE ==Rt ABC △8AB =6AD =10AC ==ABE AMF ≌MF BE ==8AM AB ==Rt CMF MF =1082CM AC AM =-=-=CF ==CD EG AB ⊥FH AC ⊥∴四边形是矩形，∴，在中，，同（1）可得，∴，，∴，在中，；综上所述，的长为【小问3详解】如图1所示，当点E 在边上时，过点D 作于点H ，由（1）知，，故点F 在射线上运动，且点F 与点H 重合时，的值最小．∵，，，∴，即，，，，∵，，，，CBGE 6GE BC ==Rt AEG △6AG ==()AAS AGE AHF ≌6FH EG ==6AH AG ==1064HC AC AH =-=-=Rt CFH △CF ===CF BC DH FM ⊥90AMF ∠=︒MF DF 90CMJ ADC ∠=∠=︒MCJ ACD ∠=∠Rt Rt CMJ CDA ∴ ∽CM MJ CJ CD AD AC==28610MJ CJ ==32MJ ∴=52CJ =511822DJ CD CJ =-=-=90CMJ DHJ ∠=∠=︒CJM DJH ∠=∠Rt Rt CMJ DHJ ∴ ∽CM CJ DH DJ∴=即，，故的最小值；如图2所示，当点E 在线段上时，将线段绕点A 顺时针旋转的度数，得到线段，连接，过点D 作，，则，∴，即，在与中，，，，故点F 在上运动，当点F 与点K 重合时，的值最小；由于，，，故四边形是矩形；∴，∵，，∴，∴，即512112DH =115DH =DF 115CD AD BAC ∠AR FR DQ AR ⊥DK FR ⊥DAR EAF BAC ∠=∠=∠DAR DAF EAF DAF ∠+∠=∠+∠DAE RAF ∠=∠ARF ADE V AD AR DAE RAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ADE ARF ∴ ≌90ARF ADE ∴∠=∠=︒6AR AD ==RF DF DQ AR ⊥DK FR ⊥90ARF ∠= DQRK DK QR =DAQ BAC ∠=∠90AQD B ∠=∠=︒ADQ ACB ∽△△AQ AD AB AC =6810AQ =∴，∴，故此时的最小值为；由于，故的最小值为．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用．245AQ =246655DK QR AR AQ ==-=-=DF 6561155<DF 65。

人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习说明：1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，24道小题，满分100分，考试时间90分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．第一部分 选择题一、选择题（共24分，每题3分）1. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ）A. 6，7，8B. 2，3，4C. 3，4，6D. 6，8，10【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可．【详解】解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，能构成直角三角形，故本选项正确．故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．2. 如图，中，于点，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由在□ABCD 中，∠EAD ＝35°，得出∠D 的度数，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠B 的度数，继而求得答案．【详解】解：∵∠EAD ＝35°，AE ⊥CD ，∴∠D ＝55°，A 222678+≠ ∴B 222234+≠ ∴C 222346+≠ ∴D 2226810+= ∴D a b c 222+=a b c ABCD Y AE CD ⊥E 35EAD ∠=︒B ∠35︒55︒65︒125︒∴∠B ＝55°，故选：B ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3. 下列各式中，运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算．熟练掌握算术平方根，二次根式的加减运算是解题的关键．根据算术平方根，二次根式的加减运算求解作答即可．【详解】解：AB ．，错误，故不符合要求；C ．D，错误，故不符合要求；故选：A ．4. 在菱形中，点分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得，再根据菱形的周长公式列式计算即可得到答案．【详解】解：点分别是的中点，是的中位线，，菱形的周长，=3=2=2=-=3=≠2+≠22=≠-ABCD E F ，AC DC ，3EF =ABCD 26AD EF == E F ，AC DC ，EF ∴ACD 2236AD EF ∴==⨯=∴ABCD 44624AD ==⨯=【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形性质，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半及菱形的四条边都相等，是解题的关键．5. 如图，正方形的边长为2，是的中点，，与交于点，则的长为（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】由正方形的性质得出∠DAF ＝∠B ＝90°，AB ＝AD ＝2，由E 是BC 的中点，得出BE ＝1，由勾股定理得出AEADF ≌△BAE（ASA ），即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAF ＝∠B ＝90°，BC ＝AB ＝AD ＝2，∴∠BAE ＋∠2＝90°，∵AB ＝2，E 是BC 的中点，∴BE ＝1，∴AE ，∵AD ∥BC ，∴∠1＝∠2，∵DF ⊥AE ，∴∠1＋∠ADF ＝90°，∴∠ADF ＝∠BAE ，在△ADF 和△BAE 中，，的ABCD E BC DF AE ⊥AB F DF =DAF B AD ABADF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△BAE （ASA ），∴DF ＝AE故选：A ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6. 一个正方形的面积是22.73，估计它的边长大小在（ ）A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间【答案】C 【解析】【分析】设正方形的边长为，根据其面积公式求出的值，估算出的取值范围即可．【详解】解：设正方形的边长为，正方形的面积是22.73，，，，它的边长大小在4与5之间，故选：C ．【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．7. 要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是 （ ）A. 测量两组对边是否分别相等B. 测量两条对角线是否互相垂直平分C. 测量其中三个内角是作都为直角D. 测量两条对角线是否相等【答案】C【解析】【分析】根据矩形的判定和平行四边形的判定以及菱形的判定分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形，、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；a a a a a ∴=1622.7325<< <<45<<∴A、根据对角线互相垂直平分得出四边形是菱形，故本选项错误；、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；故选：．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形和菱形的判定，主要考查学生的推理能力和辨析能力．8. 如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，，，，连接DE ，设，，，给出下面三个结论：①；②；．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，熟记勾股定理是解题的关键．①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将用和表示出来，再进行比较．【详解】解：①过点作，交于点；过点作，交于点．∵，，，又，，B C D C AB BC <90A C ∠=∠=︒EAB BCD ≌△△AB a =BC b =DE c =a b c +<a b +>)a b c +>c a b D DF AC ∥AE F B BG FD ⊥FD G DF AC ∥AC AE ⊥DF AE ∴⊥BG FD ⊥ BG AE ∴四边形为矩形，同理可得，四边形也为矩形，，在中，则，故①正确，符合题意；②∵，，在中，，，故②正确，符合题意；③∵，，，又，，．，，，，，．故③正确，符合题意；故选：D第二部分 非选择题二、填空题（共24分，每题3分）∴ABGF BCDG FD FG GD a b ∴=+=+∴Rt EFD DF ED<a b c +<EAB BCD ≌△△AE BC b ∴==Rt EAB△BE ==AB AE BE +>a b ∴+>EAB BCD ≌△△AEB CBD ∠∠∴=BE BD =90AEB ABE ∠+∠=︒ 90CBD ABE ∴∠+=∠︒90EBD ∴∠︒=BE BD = 45BED BDE ∴∠=∠=︒sin 45BE c ∴==⋅︒=c ∴= 22222222()2(2)2()42()a b a ab b a b ab a b +=++=++>+∴)a b +>∴)a b c +>9.有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数．有意义，∴，解得：，故答案为：．10. 如图，在中，若，点D 是的中点，，则的长度是_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长度．【详解】解：∵在中，，点D 是的中点，，∴．故答案为：2．11. 如图，在数轴上点 A 表示的实数是_____．【解析】【分析】根据勾股定理求得的长度，即可得到的长度，根据点的位置即可得到点表示的数．【详解】解：如图，1x ≥10x -≥1x ≥1x ≥ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =CD CD ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =114222CD AB ==⨯=BD AB B A根据勾股定理得：，，点【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．12. 如图，在四边形中，对角线相交于点O ．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是______________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定作答即可．【详解】解：由题意知，可添加的条件为，∵，，∴四边形平行四边形，故答案为：．13. 如图，矩形的对角线相交于点O ，，，则矩形对角线的长为___________，边的长为___________．【答案】①. 8 ②. 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，先由矩形对角线相等且互相是BD ==∴AB BD ==∴A ABCD AC BD ，AB CD ∥ABCD AD BC ∥AD BC ∥AD BC ∥AB CD ∥ABCD AD BC ∥ABCD AC BD ，60AOB ∠=︒4AB =BD BC平分得到，再证明是等边三角形，得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得故答案为：8；14. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为________．【答案】【解析】【分析】如图1，2中，连接AC ．在图2中，利用勾股定理求出BC ，在图1中，只要证明△ABC 是等边三角形即可解决问题．【详解】解：如图1，2中，连接AC ．如图1中，∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝30，在图2中，∵四边形ABCD 是正方形，2290AC BD OA BD ABC ====︒，∠AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===BC ABCD 2290OA OB AC BD OA BD ABC =====︒，，∠60AOB ∠=︒AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===Rt ABC △BC ===60B ∠︒AC 30cm AC cm∴AB ＝BC ，∠B ＝90°，∵AB ＝BC ＝30cm ，∴AC ＝cm ，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15. 如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若∠D ＝80°，则∠ECF 的度数是________．【答案】40°【解析】【分析】根据题意由折叠的性质可得∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，由菱形的性质可得BC ∥AD ，BC =CD ，可求∠BCF =∠CFD =80°，即可求解．【详解】解：∵将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，∴∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ∥AD ，BC =CD ，∴CF =CD ，∴∠CFD =∠D =80°，∵BC ∥AD ，∴∠BCF =∠CFD =80°，∴∠ECF =40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查翻折变换以及菱形的性质，熟练掌握并运用折叠的性质是解答本题的关键．16. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为___________．【答案】9【解析】【分析】设直角三角形另一直角边为，然后分别用表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点．【详解】解：设直角三角的另一直角边为，则，，，．故答案为：9三、解答题（共52分，第17题8分，第18-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题7分，第24题10分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：（1）；（2）．【答案】（1（2）【解析】【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算是解题的关键．（1）先利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可；1S 2S 12S S -a a a 2211(3)4392S a a a =+-⨯⨯=+22S a a a =⋅=221299S S a a ∴-=+-=(1-（2）先分别计算二次根式的乘除，然后进行加减运算即可．【小问1详解】解：【小问2详解】解：．18. 如图，四边形为平行四边形，，是直线上两点，且，连接，．求证：．【答案】见详解【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，根据可得，再根据平行四边形的性质可得，且，即，即可证明，即可得到结论．【详解】证明：∵，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，且，∴，在和中，2=⨯=(32=+1=-ABCD E F BD BE DF =AF CE AF CE =BE DF =ED FB =AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠()SAS DEC BFA ≌BE DF =BE BD DF BD +=+ED FB =ABCD AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠DEC BFA V，∴，∴．19. 已知，求的值．【答案】11【解析】【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，平方差公式，先整理，再代入计算，即可作答．【详解】解：依题意，20. 如图，在中，点D 是线段的中点．求作：线段，使得点E 在线段上，且．作法：①连接，②以点A 为圆心，长为半径作弧，再以C 为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点M ；③连接，交于点E ；所以线段即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接∵，，∴四边形是平行四边形．（①）（填推理的依据）∵交于点E ，∴，即点E 是的中点．（② ）（填推理的依据）DE BF EDC FBA DC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DEC BFA ≌AF CE=1x =-227x x ++()22727x x x x ++=++()))2272711751711x x x x ++=++=⨯++=-+=ABC AB DE AC 12DE BC =CD CD AD DM AC DE AM CM ，，AM CD =AD CM =ADCM AC DM ，AE CE =AC∵点D 是AB 的中点，∴．（③ ）（填推理的依据）【答案】见详解【解析】【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；（2）先证明四边形是平行四边形，得出点E 是的中点，再结合然后点D 是的中点，即三角形中位线性质得到．【详解】解：（1）如图，；（2）证明：连接AM ，CM ，∵，，∴四边形是平行四边形．（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）∵AC ，DM 交于点E ，∴，即点E 是中点．（②平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）∵点D 是的中点，∴（③中位线的性质）．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分；中位线的性质．21. 如图，四边形中，，，．的12DE BC =-ADCM AC AB 12DE BC =AM CD =AD CM =ADCM AE CE =AC AB 12DE BC =ABCD 90BAD ∠=︒AB AD ==4BC =CD =（1）求的度数；（2）求四边形的面积．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由题意得，，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，且，根据，计算求解即可；（2）根据，计算求解即可．【小问1详解】解：∵，∴，由勾股定理得，，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴的度数为；【小问2详解】解：由题意知，，∴四边形的面积为5．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．熟练掌握三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理是解题的关键．ABC ∠ABCD 135︒1802BADABD ADB ︒-∠∠=∠=2BD =222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒ABC ABD CBD ∠=∠+∠1122ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯ 四边形90BAD ∠=︒AB AD ==180452BAD ABD ADB ︒-∠∠=∠==︒2BD ==(2222420+==222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒135ABC ABD CBD ∠=∠+∠=︒ABC ∠135︒11522ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯= 四边形ABCD22. 在中，，点D 是边上的一个动点，连接．作，，连接．（1）如图1，当时，求证：；（2）当四边形是菱形时，①在图2中画出四边形，并回答：点D 的位置为 ．②若，，则四边形的面积为 ．【答案】（1）见解析，（2）①见解析，为的中点；②【解析】【分析】（1）由，，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形，进而结论得证；（2）①由题意作图如图2，由四边形是菱形，可得，则，由，可得，则，，即为的中点；②如图2，记的交点为，则，，，由勾股定理求，则，根据，计算求解即可．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形，∴；【小问2详解】①解：如图2，Rt ABC △90ACB ∠=︒AB CD AE DC ∥CE AB ∥DE CD AB ⊥AC DE =ADCE ADCE 10AB =8DE =ADCE D AB 24AE DC ∥CE AB ∥AECD 90CDA ∠=︒AECD ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O 5AD =142DO DE ==AC DE ⊥3AO =26AC AO ==12ADCE S AC DE =⨯四边形AE DC ∥CE AB ∥AECD CD AB ⊥90CDA ∠=︒AECD AC DE =∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴为的中点；②解：如图2，记的交点为，∵四边形是菱形，为的中点，，，∴，，，由勾股定理得，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理是解题的关键．23. 如图，四边形中，，，对角线平分，过点A 作的垂线，分别交，于点E ，O ，连接．（1）求证：四边形菱形；（2）连接，若，，求的长．是ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O ADCE D AB 10AB =8DE =5AD =142DO DE ==AC DE⊥3==AO 26AC AO ==1242ADCE S AC DE =⨯=四边形24ABCD AD BC ∥90BCD ∠=︒BD ABC ∠BD AE BC BD DE ABED CO 3AB =2CE =CO【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，再由等腰三角形的性质得，然后证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）由勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，在和中，，，，四边形是平行四边形，又，平行四边形为菱形；【小问2详解】解：∵四边形为菱形，∴，，CO =AB AD =OB OD =()ASA OBE ODA ≌OE OA =ABED CD =BD =CO =AD BC ∥ADB DBE ∠=∠BD ABC ∠ABD DBE ∠=∠ABD ADB ∠=∠AB AD =AE BD ⊥BO DO =AD BC ∥OBE △ODA V DBE ADB OB ODBOE DOA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA OBE ODA ∴ ≌OE OA ∴=∴ABED AB AD = ∴ABED ABED 3BE DE AB ===BO DO =∵，，，∴在中，根据勾股定理得：，∵，为直角三角形，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．24. 在中，，，点D 为射线上一动点（不与点B 、C 重合），点B 关于直线的对称点为E ，作射线，过点C 作的平行线，与射线交于点F ．连接（1）如图1，当点E 恰好在线段上时，用等式表示与的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D 在线段的延长线上时，①依题意补全图形；②用等式表示和的数量关系，并证明．【答案】（1），证明见详解（2）①见详解②，证明见详解【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定，矩形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先由轴对称性质，得出再证明，因为，得出得证即可作答．90BCD ∠=︒CD =∴=325BC BE CE =+=+=Rt BCDBD ===BO DO =BCD△12CO BD ==ABC 90ABC ∠=︒AB BC =BC AD DE AB DE AE AF ，．AC DF BD BC ADB ∠AFE ∠2DF BD =45ADB AFE ∠+︒=∠AB AE BD ED ==，，()SSS ADE ADB ≌CF AB ∥45ECD ECF ∠=∠=︒，()ASA CED CEF ≌，（2）①根据题意的描述作图即可；②易得，过点作于点，四边形是正方形，证明，则，再通过角的运算，即可作答．【小问1详解】解：，证明如下：如图：当点E 恰好在线段上时，∵在中，∴，∵点B 关于直线的对称点为E ，∴在和中，∴，∴，∴，，∵，∴在和中，∴ADE ADB ≌A AG CF ⊥G ABCG ()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2DF BD =AC ABC 90ABC AB BC∠=︒=，45BAC ACB ∠=∠=︒AD AB AE BD ED ==，，ADE V ADB AE AB ED BD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ADE ADB ≌90AED ABD ∠=∠=︒AC DF ⊥90CED CEF ∠=∠=︒CF AB ∥45ECF BAC ∠=∠=︒，45ECD ECF ∴∠=∠=︒，CED △CEF △CED CEF CE CEECD ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA CED CEF ≌，∴ ∴，即有；【小问2详解】解：当点在线段的延长线上时①依题意补全图形如下②用等式表示和的数量关系是，证明如下∵点关于直线的对称点为E ，∴，∴，过点作于点，如上图，则，∵，∴∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，在和中，∴，∴，即有，12DE EF DF ==，12BD DE DF ==2DF BD =D BC ADB ∠AFE ∠45ADB AFE ∠+︒=∠B AD ADE ADB ≌90AE AB AEF ABC =∠=∠=︒，12EAD BAD BAE ∠=∠=∠，A AG CF ⊥G 90AGF AGC ∠=∠=︒CF AB ∥90BAG AGF ABC AGC∠=∠=︒=∠=∠ABCG AB BC =ABCG AG AB AE ==Rt AFG △Rt AFE AG AE AF AF=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2EAG FAE ∠=∠∵∴，∴，∴∴在中，，∴∴．人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习附加题说明：1．附加题共4页，共两道大题，9道小题，满分40分，考试时间30分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．一、填空题（共15分，第1题4分，第2-4题，每题3分，第5题2分）25. 矩形中，，，点E 是边上一点，连接，将沿折叠，使点B 落在点处，连接．（1）如图1，当时，的长为___________．（2）如图2，当点恰好在矩形的对角线上，则的长为___________．【答案】①. 4 ②. 【解析】【分析】（1）由矩形性质得，由折叠得：，，由平行线的性质得：，，进而得出：，，即；90AFE FAE ∠+∠=︒90FAE AFE ∠=︒-∠21802EAG FAE AFE ∠=∠=︒-∠2702BAE BAG EAG AFE∠=∠+∠=︒-∠135.BAD BAE AFE ∠=∠=︒-∠Rt △ABD 90ADB BAD ∠+∠=︒13590ADB AFE ∠+︒-∠=︒45ADB AFE ∠+︒=∠ABCD 6AB =8BC =BC AE ABE AE B 'CB 'CB AE '∥BE B 'ABCD ACAE 90ABE ∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠AEB ECB '∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∠=∠B E EC '=142BE EC BC ===（2）利用勾股定理可得，由折叠得：，，，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可；本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，折叠变换的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识，学会添加辅助线是解题关键．【详解】解：（1）四边形是矩形，，由折叠得：，，，，，，，，，，故答案为：4；（2）如图，点恰好在矩形的对角线上，四边形是矩形，，，，，由折叠得：，，，，，设，则，，在中，，10AC ===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒BE x =B E x '=8CE x =- ABCD 90ABE ∴∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠CB AE ' AEB ECB '∴∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∴∠=∠B E EC '∴=12BE EC BC ∴==8BC = 4BE ∴=B 'ABCD AC ABCD 90ABC ∴∠=︒=6AB 8BC=10AC ∴===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒1064B C AC AB ''∴=-=-=18090CB E AB E ''∠=︒-∠=︒BE x =B E x '=8CE x =-Rt CB E '△222B E B C CE ''+=，解得：，，在中，；故答案为：4，26. 如图，四边形中， ，的平分线交于点E ，连接．在以下条件：①平分；②E 为中点；③中选取两个作为题设，另外一个作为结论，组成一个命题．（1）请写出一个真命题：题设为___________，结论为___________．（填序号）（2）可以组成真命题的个数为___________．【答案】①. ②， ②. ③， ③. 6【解析】【分析】（1）根据挑选题设为②，结论为③，结合，的平分线交这个两个条件，先证明，再进行边的等量代换，即可作答．（2）注意分类讨论以及逐个分析，不管取哪个作为条件都可以证明，从而利用全等三角形的性质进行边的等量代换或者角的等量代换，即可作答．【详解】解：（1）题设为②，结论为③；理由如下：延长交的延长线于点，∵∴，()22248x x ∴+=-3x =3BE ∴=Rt ABEAE ===ABCD AD BC ∥BAD ∠CD BE BE ABC ∠CD AD BC AB +=AD BC ∥BAD ∠CD ()AAS AED FEC ≌AED FEC △≌△AE BC F AD BC∥DAE F ∠=∠∵E 为中点，∴，在和中，∴，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴（2）由（1）知，题设为②，结论为③是真命题，同理：题设为③，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵∴∴∵CD DE CE =AED △FEC DAE F DEA CEFDE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AED FEC ≌CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=AD BC AB+=AD BC AB BF+==AD CF=AD BC∥∴∵∴∴即E 为中点；当题设为①，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵平分∴∵∴∴即E 为中点；同理：当题设为②，结论①为是真命题，同理，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴DAE F∠=∠DEA CEF∠=∠ ≌DEA CEFDE CE=CD AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=BE ABC∠EB AF AE EF⊥=，DEA CEF DAE F∠=∠∠=∠， ≌DEA CEFDE CE=CD CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=则当题设为①，结论为③是真命题，同理：当题设为③，结论为②是真命题，综上共有6个命题：分别是题设为②，结论为③；题设为③，结论为②；题设为①，结论为②；题设为②，结论①；题设为①，结论为③，题设为③，结论为②．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、真命题，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．27. 如图，在正方形中，，点E 为对角线上的动点（不与A ，C 重合），以为边向外作正方形，点P 是的中点，连接，则的取值范围为___________．【解析】【分析】先取的中点O，结合正方形的性质，得证，当时，有最小值，在中，，计算即可作答．【详解】解：如图，取的中点O ，连接，∵四边形、是正方形，∴，，∴，则在和中ABCD 4AB =AC DE DEFG CD PG PG PG ≤<AD ()SAS ODE PDG ≌OEAC ⊥OE Rt AOE △2224OE AE AO +==AD OE DEFG ABCD 90ODE EDC ︒∠+∠=90PDG EDC ∠+∠=︒ODE PDG ∠=∠ODE PDG △OD OP ODE PDGDE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴，当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，，∵，∴，在中，，即，解得，∴．当点运动到点的时候，如图：此时即为点H 的位置，此时正方形的边长最大且为则的值最大，此时∴则．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．28.如图，正方形ABCD 边长为2，点E 是射线AC 上一动点(不与A ，C 重合)，点F 在正方形ABCD 的外角平分线CM 上，且CF=AE ，连接BE ， EF ， BF 下列说法：①的值不随点E 的运动而改变的()SAS ODE PDG ∴ ≌OE PG =OE AC ⊥OE AOE △OE AE =4AD AB ==122AO AB ==Rt AOE △2224OE AE AO +==224OE =OE =OE E C G DEFG 4CD AD ==PH PH ===PG PG ≤<PG ≤<②当B ，E ， F 三点共线时，∠CBE=22.5°；③当△BEF 是直角三角形时，∠CBE=67.5°；④点E 在线段AC 上运动时，点C 到直线EF 的距离的最大值为1；其中正确的是__________（填序号）．【答案】①②④【解析】【分析】连接、，由正方形的对称性可知，，，证明，得出，，证出，证出是等腰直角三角形得出，因此，得出①正确；当，，三点共线时，证出，，，四点共圆，由圆周角定理得出，证出，得出，求出，②正确；当是直角三角形时，证出，得出，，③不正确；当点在线段上运动时，过点作于，则，最大时，与重合，即，证出是的中位线，得出，④正确；即可得出结论．【详解】解：连接、，如图1所示：由正方形的对称性可知，，四边形是正方形，，，点是正方形外角平分线上一点，，，在和中，，，，，ED DF BE DE =CBE CDE ∠=∠()ABE CDF SAS ∆≅∆BE DF =ABE CDF ∠=∠DE DF =EDF∆EF=EF B E F E C F D BFC CDE ∠=∠CDE CBE =∠∠CBF CFB ∠=∠22.5CBF ∠=︒BEF ∆9045135BED ∠=︒+︒=︒1(36013590)67.52CBE ∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ CQ CH CD EF ⊥QE ACD ∆112CQ DQ CD ===ED DF BE DE =CBE CDE∠=∠ ABCD AB CD ∴=45BAC ∠=︒ F ABCD CM 45DCF ∴∠=︒BAC DCF ∴∠=∠ABE ∆CDF ∆AB CD BAC DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF SAS ∴∆≅∆BE DF ∴=ABE CDF ∠=∠，，，即，是等腰直角三角形，，的值不随点的运动而改变，①正确；当，，三点共线时，如图2所示：，，，，四点共圆，，，，，，，，②正确；当是直角三角形时，如图3所示：是等腰直角三角形，，DE DF ∴=90ABE CBE ∠+∠=︒ 90CDF CDE ∴∠+∠=︒90EDF ∠=︒EDF∴∆EF ∴=EF ∴=∴EF BEE B EF 90ECF EDF ∠=∠=︒ E ∴C F D BFC CDE ∴∠=∠ABE ADE ∠=∠ 90ABC ADC ∠=∠=︒CDE CBE ∴∠=∠CBF CFB ∴∠=∠45FCG CBF CFB ∠=∠+∠=︒ 22.5CBF ∴∠=︒BEF ∆EDF ∆ 9045135BED ∴∠=︒+︒=︒，，③不正确；当点在线段上运动时，如图4所示：过点作于，则，最大时，与重合，即，当时，，，是的中位线，，④正确；综上所述，①②④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度．29. 如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E ，使，连接，点M ，N 分别是线段上的动点，连接，则的最小值为___________．1(36013590)67.52CBE ∴∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∴∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ ∴CQ CH CD EF ⊥CD EF ⊥//EF AD CF CE AE ==QE ∴ACD ∆112CQ DQ CD ∴=== ABCD 3AB =4BC =60ABC ∠=︒AD 1DE =BE AE BE ，MN 12MN BN +【解析】【分析】如图，作于，于，于，则四边形是矩形，，由题意可求，，，则，，由，可知当三点共线且时，最小，为，求的长，进而可求最小值，【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形，∴，∵平行四边形中，，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴当三点共线且时，最小，为，∵，∴，由勾股定理得，，∴，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，等边对等角，勾股定理NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG AH 12MN BN +NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =ABCD 3AB =4BC =1DE =60ABC ∠=︒3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG =30BAH ∠︒1322BH AB ==AH ==12MN BN +30︒等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键．二、解答题（共25分，第6题5分，第7题4分，第8-9题，每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．30. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为，其顶点称为格点，四边形的四个顶点都在格点上，请运用课本所学知识，仅用无刻度的直尺，在给定网格中按要求作图．（1）①线段的长为 个单位长度；②在图1中求作边的中点E ；（2）在图中求作边上一点，使平分．注：保留作图痕迹，同时标出必要的点；当你感觉方法比较复杂时，可用文字简要说明作法．【答案】（1）①；②作图见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）①利用勾股定理即可求解；②取格点、，连接交于点，则点为所求；（2）取格点、，连接、相交于点，作射线交于点，则点为所求．【小问1详解】解：①，故答案为：；②如图，点为所求作图形，【小问2详解】解：如图，点为所求，87⨯1ABCD CD CD 2AB F CF BCD ∠5M N MN AC E E G H AQ DH Q CF AB FF 5CD ==5E F。

20232024学年全国初中八年级下数学人教版期中考试试卷(含答案解析)（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=62. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=63. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=64. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8D. 4x2y=65. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=66. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=67. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=68. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=69. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10C. 5x+3y=15D. 4x2y=610. 下列哪个选项是正确的？A. 3x+5y=10B. 2x4y=8C. 5x+3y=15D. 4x2y=6二、填空题（每题2分，共20分）1. 2x+3y=6，求x的值。

2. 3x+5y=10，求y的值。

3. 4x2y=6，求x的值。

4. 5x+3y=15，求y的值。

5. 2x4y=8，求x的值。

6. 3x+5y=10，求y的值。

7. 4x2y=6，求x的值。

8. 5x+3y=15，求y的值。

9. 2x4y=8，求x的值。

10. 3x+5y=10，求y的值。

三、解答题（每题5分，共25分）1. 解方程组：2x+3y=63x+5y=102. 解方程组：5x+3y=153. 解方程组：2x4y=83x+5y=104. 解方程组：3x+5y=104x2y=65. 解方程组：5x+3y=152x4y=8四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算：2x+3y=63x+5y=102. 计算：4x2y=65x+3y=153. 计算：2x4y=83x+5y=10五、应用题（每题10分，共20分）1. 应用题：2x+3y=62. 应用题： 4x2y=6 5x+3y=15答案解析：一、选择题1. A2. B3. C4. D5. A6. B7. C8. D9. A10. B二、填空题1. x=12. y=23. x=24. y=35. x=26. y=27. x=28. y=39. x=210. y=2三、解答题1. x=1, y=22. x=2, y=33. x=2, y=24. x=2, y=35. x=2, y=2四、计算题1. x=1, y=22. x=2, y=33. x=2, y=2五、应用题1. x=1, y=22. x=2, y=38. 简答题（每题5分，共25分）1. 简述一元二次方程的一般形式。

珠海市文园中学（集团）2023-2024学年第二学期期中考试八年级数学试卷说明：本试卷共4页，答题卷共4页，满分120分，考试时间为120分钟．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列属于最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含分母或分母中不含二次根号；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此进行判断．【详解】解：A，故此选项不符合题意；B，故此选项不符合题意；C是最简二次根式，故此选项符合题意；D，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查了最简二次根式的判定，熟练掌握最简二次根式的两个条件是解题的关键．2. 下面说法正确的是（ ）A. B. C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的运算分别判断即可解答．【详解】A 选项：，故A 选项错误；B，故B 选项错误；C，故C 选项正确；D，故D 选项错误．===3+==3=2=±3+≠=3==2=故选：C【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．3. 下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ）A. 2，3，4B. 3，4，6C. 5，12，13D. 4，6，7【答案】C【解析】【详解】解：选项A ，22+32=13≠42，不符合题意；选项B ，32+42=25≠62，不符合题意；选项C ，52+122=169=132，符合题意；选项D42+62=52≠72，不符合题意．由勾股定理的逆定理可得，只有选项C 能够成直角三角形，故选C ．4. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．【详解】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该选项可以判定四边形是平行四边形，不符合题意；、∵，∴，，∵，∴，∵两组对角相等的四边形是平行四边形，该选项可以判定四边形是平行四边形，不符合题意；、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，该选项不能判定是平行四边形，符合题意；、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项可以判定四边形是平行四边形，不符合题意；故选：．ABCD AB CD =AD BC=AB CD ∥B D ∠=∠AB CD ∥AD BC=AB CD ∥AB CD =A ABCD B AB CD ∥180B C ∠+∠=︒180A D ∠+∠=︒B D ∠=∠A D ∠=∠ABCD C D ABCD C5. 如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点O 是斜边AC 的中点，AC ＝10，则OB ＝（ ）A. 5B. 6C. 8D. 10【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．【详解】解：Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点O 是斜边AC 的中点，AC =10，则OB=AC =5，故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．6. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，即可求出答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴∵∴，故选：B ．12ABCD 120A C ∠+∠=︒C ∠50︒60︒70︒120︒A C ∠=∠ABCD A C∠=∠120A C ∠+∠=︒60A C ∠=∠=︒【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．7. 如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，每个小正方形的边长均为，则中边上的高为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，由勾股定理可得，，进而由勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，再根据三角形的面积即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．【详解】由勾股定理可得，，，，∵，∴为直角三角形，，设边上的高为，∵∴，∴，故选：．8. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】44⨯A B C 1ABC AB 124BC =AC =5AB =ABC BC ==AC ==5AB ==22225BC AC AB +==ABC 90ACB ∠=︒AB h 1122BC AC AB h = 11522h =⨯⨯2h =B 10=x ()22610x x -=-()222610x x -=-()22610x x +=-()222610x x +=-【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．【详解】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x 尺，则，，在中，，即．故选D ．9. 将四个全等的直角三角形(直角边分别为、)按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是( )A.B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角形的面积与正方形的面积，勾股定理即可求解．【详解】解：依题意，图1的面积为，图2 的面积为，则，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的面积正方形的面积，勾股定理，数形结合是解题的关键．10. 如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（）10AB x =-6BC =Rt ABC 222AC BC AB +=()222610x x +=-a b 22()()a b a b a b -=+-222()2a b a b ab +=-+224()()ab a b a b =+--2222()()ab a b a b =+-+1422a b ab ⨯⨯⨯=()()222a b a b +-+2222()()ab a b a b =+-+()0,8A ()0,2B -()05E ,()5,0F -C EF ACBD CDA. B. 4 C. 5 D. 【答案】A【解析】【分析】连接，设交于点，根据平行四边形的性质得出点，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，可知当时，取得最小值，勾股定理即可求解．【详解】解：连接，设交于点，如图所示，∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴当取得最小值时，取得最小值，∴当时，取得最小值，∵，，∴，,CD ,CD AB G ()0,3G CG EF ⊥CG CD ,CD AB G ABCD CG GD =AG GB =()0,8A ()0,2B -()0,3G CG CD CG EF ⊥CG ()05E ,()5,0F -OE OF =2EG =∴是等腰直角三角形，∴此时是直角三角形，且是斜边，∵,∴，∴的对角线的最小值是故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 有意义，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．【详解】解：根据二次根式的意义，得2x －4≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．【点睛】本题考查二次根式有意义条件．12. 命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是_____________________________________．【答案】同位角相等，两直线平行【解析】【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题．【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，两直线平行13. 如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为______．的OEF CGE EG 2EG =CG =ACBD CD x 2x ≥ABCD 60B ∠=︒AC 6AC =ABCD【答案】【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的周长，由菱形可得，进而得到为等边三角形，得到，即可求出菱形的周长，掌握菱形的性质是解题的关键．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∴菱形的周长为，故答案为：．14. 若x ＝－1，则＋x ＝_______．【答案】【解析】【分析】代入代数式，展开化简计算．【详解】∵x－1，∴＋x==，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式的计算，正确进行完全平方公式的展开是解题的关键．15. 点分别是周长为20的的三边中点，的周长为_____________．【答案】10【解析】【分析】此题考查的是三角形中位线的性质．根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半．24AB BC CD AD ===ABC 6AB BC AC ===ABCD AB BC CD AD ===60B ∠=︒ABC 6AB BC AC ===ABCD 2446=⨯242x 2x 21)1)-+-31--D E F 、、ABC DEF【详解】解：∵点、、分别是、、的中点，∴是的中位线，∴，，分别是原三角形三边的一半，∴与的周长之比为．∵的周长为20，∴的周长为10，故答案为：10．16. 如图，在正方形中，，点是边上一点，点是延长线上一点，，． 连接、、，与对角线相交于点，则线段的长是_________________．【解析】【分析】如图，作交于，则，，，，，，证明，则，是斜边的中线，，由勾股定理求，进而可求的长．【详解】解：如图，作交于，则，∵正方形，，，，∴，，，D E F AB BC AC ,,DE EF DF ABC DE EF DF DEF ABC 1:2ABC DEF ABCD 3AB =F AB E BC AF CE =2BF AF =DF DE EF EF AC G BG FH AB ⊥AC H FH BC ∥45BAC ∠=︒3BC =21BF AF CE ===，45AHF BAC ∠=︒=∠4BE =()AAS FGH EGC ≌FG EG =BG Rt BEF △12BG EF =EF BG FH AB ⊥AC H FH BC ∥ABCD 3AB =2BF AF =BF AF AB +=45BAC ACB ∠=∠=︒3BC =21BF AF CE ===，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴是斜边的中线，∴，由勾股定理得，，∴【点睛】本题考查了等角对等边，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握了等角对等边，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）17. 计算：（1）（2【答案】（1（2）4【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；（2）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．【小问1详解】解：45AHFACB BAC ∠=∠=︒=∠4BE =FH AF CE ==FH BC ∥FHG ECG ∠=∠FGH EGC ∠=∠()AAS FGH EGC ≌FG EG =BG Rt BEF △12BG EF =EF ==BG =--【小问2详解】．【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的乘除混合计算，二次根式的性质化简，熟知相关计算法则是解题的关键．18.如图，平行四边形的对角线、相交于点，点、、、分别是、、、的中点，求证：四边形是平行四边形．【答案】见解析【解析】【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．由平行四边形的对角线、相交于点，可得，，点、、、分别是、、、的中点，即可得，，即可证得四边形是平行四边形．【详解】证明：四边形是平行四边形，，，点、、、分别是、、、的中点，，，四边形是平行四边形．19. 如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，，，，，又已知．求这块土地的面积．=--=-==⨯=4ABCD AC BD O E F G H AO BO CO DO EFGH ABCD AC BD O OA OC =OB OD =E F G H AO BO CO DO OE OG =OF OH =EFGH ABCD OA OC ∴=OB OD = E F G H AO BO CO DO OE OG ∴=OF OH =∴EFGH 3m AB =4m AD =12m CD =13m BC =90A ∠=︒【答案】这块土地的面积为36平方米．【解析】【分析】连接，由勾股定理求得，然后勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，进而根据，即可求解．【详解】解：连接，∵，∴，则，因此是直角三角形，，（平方米），答：这块土地的面积为36平方米．【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解答此题的关键．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）20. 人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么这个三角形的面积为 ，如图，在中，，，．BD 2BD BCD △90CDB∠=︒ADB CBD ABCD S S S =+四边形 BD 90A ∠=︒22225BD AD AB ==+222213BD CD BC +==BCD △90CDB ∠=︒ADB CBDABCD S S S =+四边形 113451222=⨯⨯+⨯⨯36=a b c 2a b c p ++=S =ABC 3a =6b =7c =（1）求面积；（2）设边上的高为，边上的高为，求的值．【答案】（1）（2【解析】【分析】本题考查了“海伦—秦九韶公式”；（1）将，，代入公式计算，即可求解；（2）由三角形面积公式即可求解；理解公式是解题的关键．【小问1详解】解：，，，∴=，∴；∴面积为【小问2详解】解：由(1)知，的面积为的的ABC AB 1h BC 2h 12h h +3a =6b =7c =3a = 6b =7c =2a b cp ++=3672++8=S ===ABC ABC 1172S h ∴=⨯，，，，∴21. 如图，在中，，．（1）求作：以斜边为对角线且其中一个顶点在边上的菱形；（尺规作图，保留作图痕迹）（2）求（）中所求作菱形的边长．【答案】（1）作图见解析（2）【解析】【分析】（）作线段的垂直平分线，交于，交于点，截取，由，可得四边形为平行四边形，又由线段垂直平分线的性质可得，故四边形为菱形，即为所求；（）利用直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，设，在中，由勾股定理可得，解方程即可求=1132Sh =⨯=1h ∴=2h =12h h +==Rt ABC △30B ∠= 3AC =AB BC 11AB MN AB O BC D OD OE =AO BO =OD OE =ADBE AD BD =ADBE 226AB AC ==BC =AD BD =AD BD x ==Rt ACD △()2223x x +-=解；本题考查了线段垂直平分线的作法，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确画出图形是解题的关键．【小问1详解】解：如图，四边形即为所求；【小问2详解】解：∵，，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，设，则，在中，，∴，解得∴即菱形的边长为．22. 将两张完全相同的矩形纸片，矩形纸片按如图方式放置，为重合的对角线，重叠部分为四边形．ADBE 90C ∠=︒30ABC ∠=︒26AB AC ==BC ===ADBE AD BD =AD BD x ==CD x =Rt ACD △222AC CD AD +=()2223xx +-=x =AD BD ==ADBE ABCD FBED BD DHBG（1）求证：四边形为菱形；（2）若四边形的面积为60，，求的长．【答案】（1）见解析（2）18【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质可得，，，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据三角形全等的判定可证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据菱形的判定即可得证；（2）先根据菱形的面积公式可得，再利用勾股定理可得，然后根据即可得．【小问1详解】证明：∵四边形、是完全相同的矩形，∴，，，∴四边形是平行四边形，在和中，，∴，∴，∴平行四边形菱形．【小问2详解】解：菱形的面积为60，，，，，．是DHBG DHBG 6AD =AB ,AB CD DF BE ∥∥90A F ∠=∠=︒AD FB =DHBG AHD FHB ≅ DH BH =10DH BH ==8AH =AB AH BH =+ABCD FBED ,AB CD DF BE ∥∥90A F ∠=∠=︒AD FB =DHBG AHD FHB △90A F AHD FHB AD FB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AHD FHB ≅ DH BH =DHBG DHBG 6AD =90A ∠=︒6060106DH BH AD ∴====8AH ∴==81018AB AH BH ∴=+=+=【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）23. 如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒．（1）运动时间为 秒时，点与点相遇；（2）求为何值时，是等腰三角形？（3）用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围；（4）连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）．【答案】（1）（2）或或2 （3）当时，；当时，；当时， （4）的值为或或【解析】【分析】（1）设秒后、相遇．列出方程即可解决问题；（2）根据，，分类讨论即可解决问题；（3）分三种情形①如图2中，当，点在上时．②如图3中，当，点在上时，．③如图4中，当，点在上时．分别求解即可；ABCD 4AB BC CD DA ====90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒P B BC Q A AD DC CB --P Q P t P Q t ABQ t AQP △S t PA Q PAB t P Q 1251t =3201t <≤8S t =12t <≤2228S t t =-++1225t <<1024S t =-+t 454385t P Q AB AQ =AB BQ =BQ AQ =01t <≤Q AD 12t <≤Q CD ADQ ABP PQC ABCD S S S S S =--- 正方形1225t <≤Q BC（4）分四种情形求解①当时，．②当时，．③当时，．④当时，，此时与重合．【小问1详解】设秒后、相遇．由题意，秒，秒后、相遇．故答案；【小问2详解】∵正方形∴，当时，此时与重合，；当时，此时与重合，；当时，在的垂直平分线上，即为中点，此时；综上所述，当或或2时，是等腰三角形；【小问3详解】①如图2中，当，点在上时，．②如图3中，当，点在上时，．为1DQ BP =1CDQ ABP ≌2DQ BP =2ADQ ABP ≌3CQ BP =3BCQ ABP ≌4BQ BP =4ABQ ABP ≌P Q t P Q (41)12t +=125t ∴=∴125P Q 125ABCD4AB AD DC BC ====AB AQ =D Q 14ADt ==AB BQ =C Q 24AD DCt +==BQ AQ =Q AB Q CD 13242AD DCt +==1t =32ABQ 01t <≤Q AD 14482S t t =⨯⨯=12t <≤Q CD ()()()2111164444484228222ADQ ABP PQC ABCD S S S S S t t t t t t =---=-⨯⨯--⨯⨯-⨯--=-++ 正方形③如图4中，当，点在上时，．综上所述，．【小问4详解】如图5中，①当时，，此时，；②当时，，此时，；③当时，，此时，；④当时，，此时与重合，；综上所述，为或或或时，当以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等．【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等1225t <<Q BC 1[4(48)]410242S t t t =⨯---⋅=-+()()28012281212102425t t S t t t t t ⎧⎪<≤⎪⎪=-++<≤⎨⎪⎛⎫⎪-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩1DQ BP =1CDQ ABP ≌44t t -=45t =2DQ BP =2ADQ ABP ≌44t t -=43t =3CQ BP =3BCQ ABP ≌84t t -=85t =4BQ BP =4ABQ ABP ≌P Q 125t =t 454385125Q PAB知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题．24. 如图，矩形中，对边平行且相等，四个内角均为直角．，，点E 是边上一点，连接，将沿折叠，使点B 落在点处，连接．（1）当时，的长为______．（2）当点恰好在矩形的对角线上，求的长．（3）当点E 为的中点时，的长为______．（4）当落在矩形的对称轴上时，的长为______．【答案】（1）（2）（3（4）或【解析】【分析】（1）由折叠的性质得:，得，再由平行线的性质，得即可；（2）设，则，在中，由勾股定理即可；（3）连接交于点，先证明，再证明为的中位线，即，再根据，求出的长，然后在中，根据勾股定理即可；（4）过点作交于点，交于点，设，分两种情况讨论：当点在的垂直平分线上时，，在中与在中，根据勾股定理列方程，当点在的垂直平分线上时，，得，再根据勾股定理即可．ABCD 6AB =8BC =BC AE ABE AE B 'CB 'CB AE '∥BE B 'ABCD AC AE BC B C 'B 'BE 49-ABE AB E ' ≌,AEB AEB BE B E ''∠=∠=BE B E EC '==BE B E x '==8CE BC BE x =-=-Rt CB E ' BB 'AE F 90BB C '∠=︒EF BB C '△2B C EF '=1122ABE S AB BE AE BF =⋅=⋅ BF Rt BFE △B 'FG AB ∥AD G BC F BE B E x '==B 'AD 142AG BF BC ===Rt AGB '△Rt EFB '△B 'AB 132B G B F GF ''===30EB F '∠=︒【小问1详解】解：由折叠的性质得:，，，，，，，故答案为：；【小问2详解】解：点恰好在矩形的对角线上，如图：在中，由勾股定理得：，由折叠的性质得：，，，，，设，则，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，的长为3．在中，；【小问3详解】解：连接交于点，ABE AB E ' ≌,AEB AEB BE B E ''∴∠=∠=CB AE '∥ ,AEB EB C AEB ECB '''∴∠=∠∠=∠EB C ECB ''∴∠=∠BE B E EC '∴==142BE BC ∴==4B 'ABCD AC Rt ABC△10AC ===BE B E '=6AB AB '==90B AB E '∠=∠=︒1064B C AC AB ''∴=-=-=90CB E '∠=︒BE B E x '==8CE BC BE x =-=-Rt CB E ' 222CE B E B C ''=+222(8)4x x -=+3x =BE ∴Rt ABE△AE ===BB 'AE F由折叠的性质得：，，点E 为的中点，，，，，，为的中位线，即，在中，，，，，在中，，，【小问4详解】解：过点作交于点，交于点，设，BB AE '⊥BE BE '= BC 142BE BE EC BC '∴====,BB E B BE EB C B CE ''''∴∠=∠∠=∠180BB C B BE B CE '''∴∠+∠+∠=︒90BB C BB E EB C '''∴∠=∠+∠=︒EF B C '∴∥EF ∴BB C '△2B C EF '=Rt ABE △AE ===1122ABE S AB BE AE BF =⋅=⋅ 116422BF ⨯⨯=⨯BF ∴=Rt BFE △EF ===2B C EF '∴==B 'FG AB ∥AD G BC F BE B E x '==在矩形中，，四边形为矩形，，由折叠的性质得：，当点在的垂直平分线上时，，在中，，即，，，在中，，即，解得：；当点在的垂直平分线上时，，，，，在中，，，即，解得：，综上所述：的长为或ABCD 90,BAD B AD BC ∠=∠=︒∥90,AGF BFG ∴∠=∠=︒∴ABFG ,6AG BF AB GF ∴===6AB AB '==B 'AD 142AG BF BC ===R t AGB '222AG B G AB ''+=22246B G '+=B G '∴=6B F GF B G ''=-=-4EF BF BE x =-=-Rt EFB '△222EF FB B E ''+=222(4)(6x x -+-=9x =-9BE =-B 'AB 132B G B F GF ''===12B G AB ''∴=30,9060B AG AB G B AG '''∴∠=︒∠=︒-∠=︒18030EB F AB G AB E '''∴∠=︒-∠-∠=︒Rt EFB '△1122EF B E x '==222EF FB B E ''+=2221()32x x +=x =BE =BE 9-故答案为：【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．9。