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第3章 勾股定理3.2 勾股定理的逆定理 课程标准 课标解读1. 体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理2. 探究勾股定理的逆定理的证明方法3. 理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系 111. 掌握勾股定理的逆定理及简单应用112. 掌握勾股定理的逆定理的证明方法 113. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；114. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形知识点01 勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.【微点拨】（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 【即学即练1】1．已知M ，N 是线段AB 上的两点，2AM MN ==，1NB =，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，则ABC ∆一定是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】依据作图即可得到AC =AN =4，BC =BM =3，AB =2+2+1=5，进而得到AC 2+BC 2=AB 2，即可得出△ABC 是直角三角形．【详解】解：如图所示， a b c ，，222a b c +=目标导航知识精讲AC =AN =4，BC =BM =3，AB =2+2+1=5，△AC 2+BC 2=AB 2，△△ABC 是直角三角形，且△ACB =90°，故选：B ．知识点02 如何判断一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.【微点拨】当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.【即学即练2】2．如图，根据下列条件，不能判断ABD △是直角三角形的是（ ）A ．20,70DB ∠=︒∠=︒ B ．5,12,13AB AD BD ===C ．AC BC DC ==D ．3,8B D BAD D ∠=∠∠=∠ 【答案】D【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理一一判断即可．【详解】c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ≠+222a b c +<222a b c +>c解：A 、△D=20°，△B=70°，则△BAD=180°-20°-70°=90°，则△ABD 是直角三角形；B 、AB=5，AD=12，BD=13，满足222AB AD BD +=，则△ABD 是直角三角形；C 、AC=BC=CD ，则△B=△CAB ，△D=△CAD ， △△BAD=△CAB+△CAD=12（△B+△CAB+△D+△CAD ）=90°，则△ABD 是直角三角形； D 、△B=3△D ，△BAD=8△D ，则3△D+8△D+△D=180°，解得：△D=15°，则△BAD=8△D=120°，则△ABD 不是直角三角形；故选D ．知识点03 勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.【微点拨】（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（n ≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；【即学即练3】3．下列是勾股数的一组是（ ）A．2B ．111345，， C ．8,1517， D ．2223,4,5【答案】C【分析】根据勾股数的定义，必须是正整数，必须能构成直角三角形判断即可．【详解】解：勾股数必须是正整数，故A 、B 选项不符合题意；222x y z +=x y z 、、a b c 、、t at bt ct 、、22121n n n -+，，1,n n >2222,21,221n n n n n ++++n 2222,,2m n m n mn -+,m n m n >、82+152=172，所以C选项符合题意；222222+≠，所以D选项不符合题意；(3)(4)(5)故选：C．能力拓展考法01 判断三边能否构成直角三角形【典例1】三角形边长分别为下列各数，其中能围成直角三角形的是（）A．3，4，6B．5，6，7C．6，8，9D．5，12，13【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．【详解】解：A、△32＋42≠62，△以3，4，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、△52＋62≠72，△以5，6，7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、△62＋82≠92，△以6，8，9为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、△52＋122＝132，△以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．考法02 三角形内角和定理的应用【典例2】满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（）A．三个内角度数之比是3：4：5B．三边长的平方比为5：12：13C．三边长度是1：2：3D．三个内角度数比为2：3：4【答案】C【分析】根据条件判断三角形是否是直角三角形，可以从角中选取最大角，计算是否是直角，也可以根据勾股定理逆定里进行判断即可．【详解】解：A:当三个内角度数之比是3：4：5时，最大的角的度数是：51807590345⨯=<++，故选项A 不符合题意； B:当三边长的平方比为5：12：13时，因为()()2251217+=,()21313=,1713≠,故该三角形不是直角三角形，故选项B 不符合题意；C:当三边长度是1:2:3时，()22123+=，()233=,该三角形是直角三角形，故选项C 符合题意； D:三个内角度数比为2：3：4时，最大的角的度数是：518010090234⨯=>++，故选项D 不符合题意；故选：C ． 题组A 基础过关练1．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则下列条件中不能判定△ABC 是直角三角形的是（ ） A ．a =1，b =1，c =2B ．a =2，b =3，c =4C ．a =1，b =3，c =2D ．a =3，b =4，c =7 【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详解】解：由12＋12=()22，所以a=1，b=1，c=2能构成直角三角形，故A 选项不符合题意；由22＋32≠42，所以a=2，b=3，c=4不能构成直角三角形，故B 选项符合题意；由12＋()23=22，所以a=1，b=3，c=2能构成直角三角形，故C 选项不符合题意； 由32＋()27=42，所以a=3，b=4，c=7能构成直角三角形，故D 选项不符合题意； 故选B ．分层提分2．下列条件中，使ABC 不是直角三角形的是（ ）A ．3a =，4b =，5c =B ．222+=a b cC ．::2:2:3a b c =D ．::1:2:3A B C ∠∠∠=【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理解答．【详解】A 、△222345+=，△ABC 是直角三角形；B 、△222+=a b c ，△ABC 是直角三角形；C 、设a=b=2x ，c=3x ，△22222(2)(2)8a b x x x +=+=，222(3)9c x x ==，△222a b c +≠，△ABC 不是直角三角形；D 、设△A=x ，则△B=2x ，△C=3x ，△180A B C ∠+∠+∠=︒，△23180x x x ++=︒，解得x=30，△△C=3x=90︒，△ABC 是直角三角形；故选：C ．3．下列几组数中，能．作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．3，4，5B ．5，6，7C ．6，8，12D ．9，12，13【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A 、△32+42=52，△能构成直角三角形，故本选项正确；B 、△52+62=61≠72，△不能构成直角三角形，故本选项错误；C 、△62+82=100≠122，△不能构成直角三角形，故本选项错误；D 、△92+122=225≠132，△不能构成直角三角形，故本选项错误．故选：A ．4．以下列各组数为边长的三角形，其中构成直角三角形的一组是（ ）A ．4、5、6B ．30、40、50CD ．2【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于最长边的平方，那么就能构成直角三角形来判断即可．【详解】选项A ，△222456+≠，△不是直角三角形；选项B ，△222304050+=，△是直角三角形；选项C ，△222+≠，△不是直角三角形；选项D ，△2222+≠，△不是直角三角形；故选：B ．5．下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．4，9，11B ．6，8，10C ．7，24，25D ．8，15，17 【答案】A【分析】先求出两小边的平方和,再求出最长边的平方，看看是否相等即可．【详解】 A.42+92≠112，∴ 以4、9、11为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； B.62+82=102， ∴以6、8、10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C.72+242=252，∴以7、24、25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D.82+152=172， ∴以8、15、17为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选: A .6．下列四组线段中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）A ．3，4，5B ．8，15，17C ．1.5，2，2.5D ．111,,345【答案】D由勾股定理逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、32+42＝52，能作为直角三角形三边长，故此选项不合题意；B、82+152＝172，能作为直角三角形三边长，故此选项不合题意；C、1.52+22＝2.52，能作为直角三角形三边长，故此选项不合题意；D、（13）2+（14）2≠（15）2，不能作为直角三角形三边长，故此选项符合题意；故选：D．7．以下列几组数为三角形的边，能组成直角三角形的是（）A．5、10、12B．6、8、10C．2、3、4D．4、5、6【答案】B【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A．52+102≠122，不能构成直角三角形．故选项错误；B．62+82=102，能构成直角三角形．故选项正确；C．22+32≠42，不能构成直角三角形．故选项错误；D．42+52≠62，不能构成直角三角形．故选项错误．故选B．题组B 能力提升练1．下列命题：△有一个角为60 的等腰三角形是等边三角形；△形；△等腰三角形的两条边长为2,4，则等腰三角形的周长为10或8；△到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据等边三角形的判定方法对△进行判断；根据勾股定理的逆定理对△进行判断；根据三角形三边的关系对△进行判断；根据线段垂直平分线的判定对△进行判断．解：△有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故正确；△222+≠△等腰三角形的两条边长为2，4，则三边分别为2，4，4，则等腰三角形的周长为10，故错误； △到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故正确．故选：B ．2．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ）A ．4，5，6B ．7，24，25C ．5，12，13D ．1，2【答案】A【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．【详解】解：A 、△222456+≠，△三条线段不能组成直角三角形，故A 选项符合题意；B 、△22272425+=，△三条线段能组成直角三角形，故B 选项不符合题意；C 、△22251213+=，△三条线段能组成直角三角形，故C 选项不符合题意；D 、△22212+=，△三条线段能组成直角三角形，故D 选项不符合题意； 故选：A ．3．如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）A ．3，4，5B ．13，14，15C ．5，13，12D ．35，45，1 【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、△32+42＝52，△此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；B 、△22211411()()()544003+=≠，△此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； C 、△52+122＝132，△此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；D 、△22234()()155+=，△此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； 故选：B ．4．在ABC 中，已知::5:12:13AC BC AB =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ．若ABC的面积为S ，则ACD △的面积为（ ）A ．14SB ．518SC ．625SD ．725S 【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理可得ABC 为直角三角形，再根据AAS 得出ACD AED ≅，从而得出ACD △的面积=AED 的面积和BE 的长，继而得出AED 的面积和BED 的面积比，即可得出答案【详解】解：△::5:12:13AC BC AB =，设AC=5k ，BC=12k ，AB=13k ，△AC2+BC2=AB2△ABC 为直角三角形，△C=90°，△AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，△△CAD=△BAD ，△C=△AED =90°，△AD=AD ，△ACD AED ≅，△△△S S =ACD AED ，AE=AC=5k ，△BE=13k -5k=8k ，△AED 和BED 同高，△8:5△BE △S :S =D AED ，△ABC 的面积为S ， △518△S =ACD S ． 故选：B5．边长为整数，且周长等于12的三角形的面积为______．【答案】6或【分析】根据三角形的周长公式、三角形的三边关系定理可得三边长可以为2,5,5、3,4,5、4,4,4三种情况，再分别利用等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式求解即可得． 【详解】边长为整数，且周长为12的三角形有以下三种情况： △如图，5AB AC ==，2BC =， 过点A 作AD BC ⊥于D ， △AB AC =， △112BD CD BC ===，△AD ==△11222ABC S BC AD =⋅=⨯⨯=△△如图，3BC =，4AC =，5AB =，△22224325AC BC +=+=，22525AB ==， △222AC BC AB +=， △90ACB ∠=︒，△1143622ABCSAC BC =⋅=⨯⨯=；△如图，4AB AC BC ===， 过点A 作AH BC ⊥于H ， △AB AC =， △122BH CH BC ===，△AH ==△11422ABC S BC AH =⋅=⨯⨯=△综上，边长为整数，且周长等于12的三角形的面积为6或故答案为：6或6．在△ABC 中，若222225,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____． 【答案】125【分析】解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高. 【详解】解：△222225,7a b a b +=-=， 将两个方程相加得：2232a =，△a ＞0， △a=4代入得：22425b +=， △b ＞0， △b=3，△a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理， △△ABC 是直角三角形， 如下图，△ACB=90°，CD△AB ，1122ABCSAC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ， 即：1134522CD ⋅⋅=⋅⋅， 解得：CD=125， 故答案为：125.7．观察：△3、4、5，△5、12、13，△7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______． 【答案】17，144，145 【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可． 【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17， 继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m ，则弦为m+1，所以有22217(1)m m +=+，解得144m =，1145m +=，即第8组勾股数为17，144，145.故答案为17，144，145.题组C 培优拔尖练1．若ABC 的三边长a 、b 、c 满足222681050a b c a b c ++=++-，那么ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形【答案】B 【分析】先用完全平方公式进行因式分解求出a 、b 、c 的值，再确定三角形的形状即可． 【详解】解：222681050a b c a b c ++=++-， 移项得，2226810500a b c a b c ++---+=，2226981610250a a b b c c +++++--=-，222(3)4)(0(5)a b c -+-+-=，30,40,50a b c -=-=-=，3,4,5a b c ===，2229,16,25a b c ===，222+=a b c ，ABC 是直角三角形，故选：B ．2．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2(1)0a c -=，则△ABC 的形状为（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D 【分析】由等式可分别得到关于a 、b 、c 的等式，从而分别计算得到a 、b 、c 的值，再由222+=a b c 的关系，可推导得到△ABC 为直角三角形． 【详解】△2(1)0a c-+=又△()210ac⎧-≥⎪⎪≥⎨⎪-≥⎪⎩△()21=0ac⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩△12abc⎧=⎪=⎨⎪=⎩△222+=a b c△△ABC为直角三角形故选：D．3．已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出22a b+，即可得到三角形的形状.【详解】△a+b=10，ab=18，△22a b+=（a+b）2-2ab=100-36=64，△,c=8，△2c=64，△22a b+=2c，△该三角形是直角三角形，故选：B.4．适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为△111345a b c ，，；===△6a =，△A =45°;△△A =32°, △B =58°； △72425a b c ===，，；△22 4.a b c ===，，△::3:4:5a b c =△::12:13:15A B C ∠∠∠=△5a b c === A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【答案】C 【解析】根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：222111+345≠（）（）（），故△不能构成直角三角形；当a=6，△A=45°时，△不足以判定该三角形是直角三角形；根据直角三角形的两锐角互余，可由△A+△B=90°，可知△是直角三角形； 根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故△能够成直角三角形； 由三角形的三边关系，2+2=4可知△不能构成三角形；令a=3x ，b=4x ，c=5x ，可知a2+b2=c2，故△能够成直角三角形； 根据三角形的内角和可知△不等构成直角三角形；由a2=5，b2=20，c2=25，可知a2+b2=c2，故△能够成直角三角形. 故选：C.5．如图，在23⨯的正方形网格中，AMB ∠的度数是（ ）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】C 【分析】连接AB ，求出AB 、BM 、AM 的长，根据勾股定理逆定理即可求证AMB ∆为直角三角形，而AM=BM ，即AMB ∆为等腰直角三角形，据此即可求解． 【详解】连接AB△AM =AB =，BM ==△222AM AB BM +==△AMB ∆为等腰直角三角形 △45AMB ∠=︒ 故选C ．6．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ）A ．1B ．54C ．74D ．254【答案】C 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD ，由此根据勾股定理求出CD. 【详解】△AB=10，AC=8，BC=6，△2222228610AC BC AB +=+==, △△ABC 是直角三角形，且△C=90°， △DE 垂直平分AB ， △AD=BD ，在Rt△BCD 中，222BD BC CD =+ , △222(8)6CD CD -=+, 解得CD=74， 故选：C.7．△ABC 的三边分别为,,a b c ，下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有（ ） △222a c b -=;△2()()0a b a b c -++=;△ △A ＝△B -△C; △△A△△B△△C ＝1△2△3 ;△111,,345a b c ===;△10,a = 24,b = 26c =A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】解：△222a c b -=，得222a b c =+，符合勾股定理逆定理，则△正确； △2()()0a b a b c -++=，得到222a c b +=，符合勾股定理逆定理，则△正确； △△A ＝△B -△C ，得△B=△A+△C ， △△A+△B+△C=180°， △△B=90°，故△正确；△△A△△B△△C ＝1△2△3，△A+△B+△C=180°，△318090123C ∠=︒⨯=︒++，故△正确；△222111()()()453+≠，则△不能构成直角三角形，故△错误； △222102426+=，则△能构成直角三角形，故△正确； △能构成直角三角形的有5个； 故选择：D.。
勾股定理逆定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、理解勾股定理的逆定理的推理过程并能证明勾股定理的逆定理；2、掌握利用勾股定理的逆定理，学会判断一个三角形是否是直角三角形；3、通过研究一系列富有探究性的问题，感受数学文化，激发学习热情．1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是______三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会_________的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的_____，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．1.勾股定理的逆定理．【例1】（2014•赣州第一中学期末）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】（2014•福建宁德中学中考模拟）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m3.平面展开-最短路径问题．【例3】（2014•四川绵阳中学二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用；方向角．【例4】（2014•福建晋江中学月考）已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】（2014•宁波镇海区校级自主招生）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C 是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．（2014•大同五中期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，32．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、254．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．课程顾问签字： 教学主管签字：。
