江西省高考数学二轮复习 小题精做系列之集合与常用逻辑用语1

专题01 集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关简易逻辑的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0}(4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______． 【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)， 所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1， 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( ) (A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B ) (D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．U11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 (D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件． 6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________． 7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0； (4).041,2≥+-∈∀x x x R10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b ∈P ”，则运算“&”可以是( ) (A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0 (C)cb 2＜ab 2 (D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素； (2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01 集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③． 提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-x x x 所以012>-xx ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ， 所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }． 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，21，2三个元素． (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题01集合与常用逻辑用语考点1 集合的含义与表示1．（2021·江苏高三模拟）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．12D ．13【答案】D【解析】由题意可知，集合A 中的元素有：()2,0-、()1,1--、()1,0-、()1,1-、()0,2-、()0,1-、()0,0、()0,1、()0,2、()1,1-、()1,0、()1,1、()2,0，共13个.故选：D.2．（2021·江西高三模拟）已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{0} C ．{0,1,1}- D ．{0,1}【答案】D【解析】①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a ∆=-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ． 考点2 集合间的基本关系3．（2021·西安市经开第一中学高三模拟）集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】B A ⊆，∴①当B =∅时，即10ax +无解，此时0a =，满足题意．②当B ≠∅时，即10ax +有解，当0a >时，可得1xa-， 要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<．当0a <时，可得1xa-， 要使B A ⊆，则需要013a a <⎧⎪⎨-⎪⎩，解得103a -<，综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：A ．4．（2021·四川石室中学高三一模）已知集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =；当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =，所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8，故选D. 考点3 集合的基本运算 角度1：交集运算5．（2021·四川高三三模（文））设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |24x x --＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}【答案】A【解析】∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．故选：A ．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟）已知集合{}31A x Z x =∈-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为{}{}2,1,031A x Z x =-∈--=<<所以{}{}4,2,02,=B y y x x A =--=∈， 所以{}=2,0A B -，所以A B 的元素个数为2个.故选B. 角度2：并集运算7．（2021·陕西高三模拟）已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（ ）A ．{}62,x x k k Z =+∈B ．{}42,x x k k Z =+∈C ．{}21,x x k k Z =+∈D ．∅【答案】C【解析】因为集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，集合{}(){}43,2211,N y y k k y y k k ==+∈==++∈Z Z ，因为x ∈N 时，x M ∈成立，所以{}21,M N x x k k ⋃==+∈Z .故选：C.8．（2021·天津高三二模）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--=，则M N ⋂=___________.【答案】{}2-【解析】因为集合{|42}M x x =-<<，{}2{|60}2,3N x x x =--==-，所以M N ⋂= {}2-角度3：补集运算9．（2021·四川高三零模（文））设全集{}*|9U x x =∈<N ，集合{}3,4,5,6A =，则U A （ ）A ．{}1,2,3,8B ．{}1,2,7,8C ．{}0,1,2,7D ．{}0,1,2,7,8【答案】B【解析】因为{}{}*91,2,3,4|,5,6,7,8U x x =∈<=N ，{}3,4,5,6A =，所以{}1,2,7,8U A =．故选：B ．10．（2021·江苏省江浦高级中学高三月考）已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则UA________．【答案】{}12x x <≤【解析】{}1U x x =>，{}2A x x =>，∴12U A x x ，角度4：交、并、补混合运算11．（2021·辽宁高三二模）已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则UM N =（ ）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤【答案】A【解析】因为{1U N x x =<-或1}x >，所以{1U M C N x x ⋂=<-或12}x <≤.故选：A.12．（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知集合{}13A x x =<<，{}2B x x =<，则RAB =（ ）A ．{}12x x <<B ．{}23x x <<C ．{}23x x ≤<D ．{}3x x >【答案】C 【解析】{}13A x x =<<，{}2B x x =<，{}R 2B x x ∴=≥，{}R 23A B x x ∴⋂=≤<.故选：C.13．【多选】（2021·重庆高三三模）已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()U A B B =，则下列关系一定正确的是（ ） A ．A B =∅ B ．A B B = C ．A B U ⋃= D ．()U B A A =【答案】CD【解析】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()U A B B =，但A B ⋂≠∅，A B B ≠，故A ，B 均不正确； 由()U A B B =，知UA B ⊆，∴()()UU AA AB =⊆，∴A B U ⋃=，由UA B ⊆，知UB A ⊆，∴()U B A A =，故C ，D 均正确.故选CD.14．（2021·江苏高三模拟）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩，即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 角度5：利用集合的运算求参数15．（2021·江西高三模拟）已知集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】{|113}m m -<<【解析】由题意，集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B ⋂=∅时，则有92m +≤-或3m ≥，解得11m ≤-或3m ≥，所以当A B ⋂≠∅时，实数m 的取值范围为{|113}m m -<<.16．（2021·山东高三模拟）集合{}{}240,1,,2,.A a B a =-=-若{}2,1,0,4,16A B ⋃=--，则a =（ ） A ．±1 B ．2± C ．3± D ．4±【答案】B【解析】由{}2,1,0,4,16A B ⋃=--知，24416a a ⎧=⎨=⎩，解得2a =±故选：B考点4 集合中的新定义17.（2021·黑龙江哈师大附中高三三模（理））设全集{}1,2,3,4,5,6U =，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{}2,4表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A ，B ，我们定义集合运算{A B x x A -=∈且}x B ∉，()()A B A B B A *=-⋃-．若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则A B *表示的6位字符串是（ ） A ．101010 B ．011001C ．010101D ．000111【答案】C【解析】由题意可得若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则{}2,4,6A B *=， 所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1， 其余字符均为0，即A B *表示的6位字符串是010101.故选C18．【多选】（2021·开原市第二高级中学高三三模）满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,Ma a a a a =的集合M 可能是（ ）A ．{}12,a aB ．{}123,,a a aC ．{}124,,a a aD ．{}1234,,,a a a a【答案】AC 【解析】∵{}{}12312,,,Ma a a a a =，∴集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，∴12{,}M a a =或124{,,}M a a a =．故选AC ．19．（2021·江苏省宜兴中学高三模拟）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个． 【答案】7【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S 不含“孤立元”， 则集合S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9，共7个．考点5 全称量词与特称量词20．“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是（ ） A ．[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥ B ．(,2)x ∀∈-∞，2log 1x > C ．0(,2)x ∃∈-∞，20log 1x ≥ D ．[2,)x ∃∈+∞，2log 1x ≤【答案】A【解析】“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”是特称命题，特称命题的否定是全称命题， 所以“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是“[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥”.故选：A21．（2021·黑龙江大庆中学高三期末）命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是（ ）A ．0x ∀>，总有()11xx e +≤ B ．0x ∀≤，总有()11xx e +≤C ．00x ∃≤，使得()0011xx e +≤D ．00x ∃>，使得()0011xx e +≤【答案】D【解析】由全称命题的否定可知，命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是“00x ∃>，使得()0011xx e +≤”.故选D.考点6 充分条件、必要条件的判断22．（2021·南京师范大学附属扬子中学高三模拟）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分又不必要【答案】A【解析】甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒甲， 乙是丙的充要条件，即乙⇔丙，丁是丙的必要非充分条件，即丙⇒丁，丁⇒丙，所以甲⇒丁，丁⇒甲，即甲是丁的充分不必要条件，故选：A .23．（2021·宁波中学高三模拟）△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“AB AC BC +<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在△ABC 中，若∠A 为锐角，如图画出平行四边形ABCD ∴AB AC AD +=易知AD BC >∴“△ABC 是钝角三角形”不一定能推出“AB AC BC +<”； 在△ABC 中，A B C ，，三点不共线， ∵AB AC BC +<∴AB AC AC AB +<-∴22AB AC AC AB +<-∴0AB AC ⋅<∴∠A 为钝角∴△ABC 为钝角三角形 ∴“AB AC BC +<”能推出“△ABC 是钝角三角形”故“△ABC 是钝角三角”是“AB AC BC +<”的必要不充分条件,故选：B. 考点7 充分条件、必要条件的应用24．（2021·内蒙古高三二模（理））设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】选项A ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件； 选项B ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件； 选项C ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；选项D ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件.故选：C.25．（2021·山东高三其他模拟）已知p ：x a ≥，q ：23x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()1-∞-，C ．[)1+∞，D ．()1+∞，【答案】A【解析】因为q ：23x a +<，所以:2323q a x a --<<-+， 记{}|2323A x a x a =--<<-+；:p x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ，所以23a a ≤--，解得1a ≤-．故选:A ．26．（2021·河北衡水中学高三模拟）若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[]1,2【解析】由()21x a -<得11a x a -<<+，因为12x <<是不等式()21x a -<成立的充分不必要条件， ∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤． 考点8 根据命题的真假求参数的取值范围11 / 11 27．（2021·涡阳县育萃高级中学高三月考（文））若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题，则m 的取值范围是（ ）A ．12m -≤≤B ．12m -<<C ．1m ≤-或2m ≥D ．1m <-或2m >【答案】A【解析】若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题， 则命题“x R ∀∈，2220x mx m +++≥”为真命题，即判别式()2=4420m m ∆-+≤，即()()210m m -+≤，解得12m -≤≤.故选：A.28．（2021·广东石门中学高三其他模拟）若“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】356a ≥ 【解析】因为“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，所以[]24,6,10x x ax ∀∈--≤恒成立， 即1x a x -≤在[]4,6恒成立，所以max 1a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭且[]4,6x ∈， 又因为()1f x x x=-在[]4,6上是增函数，所以()()max 1356666f x f ==-=，所以356a ≥.。

专题升级训练1 集合与常用逻辑用语(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝2|01x x x -⎧⎫≤⎨⎬+⎩⎭，则A ∩B ＝( )． A ．(－1,2] B ．(－1,4)C ．(0,2]D ．(2,4)2．设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)＜1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )．A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ≤1}3．“a ＞1”是“1a＜1”成立的( )． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．直线x －y －k ＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝4有两个交点的一个充分不必要条件是( )．A ．－22≤k ≤2 2B ．－22＜k ＜2 2C ．0＜k ＜2 2D ．－22≤k ＜05．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，则集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素个数是( )．A ．3B ．4C ．8D ．96．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( )．A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．若M ＝{x ∈Z |13log 1x ≥－}，则集合M 的真子集的个数为__________．8．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则a 的取值范围是__________．9．下列三种说法：①命题“∃x 0∈R ，x 02－x 0＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”；②“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件；③“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真命题．其中正确的为__________．(填序号)三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，全集为实数集R .(1)求A ∪B ；(2)(∁R A )∩B ；(3)如果A ∩C ≠，求a 的取值范围．11．(本小题满分15分)已知p：x＋210－x≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＜0)，且p是q的必要条件，求实数m的取值范围．12．(本小题满分16分)(1)是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；(2)是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：由题意知A ＝{x |0＜x ≤4}，B ＝{x |－1＜x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤2}，故选C.2．B 解析：A ＝{x |2x (x －2)＜1}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |x ＜1}．由题图知阴影部分是由A 中元素且排除B 中元素组成，得1≤x ＜2.故选B.3．A 解析：由1a ＜1得a ＞1或a ＜0，故选A. 4．C 解析：由题意知，该直线与圆C 有两个交点，所以圆心C (1,1)到直线x －y －k ＝0的距离小于圆的半径，即|1－1－k |2＜2，所以－22＜k ＜22，四个选项中只有(0,22)是(－22，22)的真子集．5．B 解析：由给出的定义得A ×B ＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log 22＝1，log 24＝2，log 28＝3，log 44＝1，因此一共有4个元素，故选B.6．C 解析：P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}，故选C.二、填空题7．7 解析：M ＝{x ∈Z |13log x ≥－1}＝{x ∈Z |0＜x ≤3}＝{1,2,3}，集合M 中有3个元素，它有7个真子集．8．－8≤a ≤0 解析：由题意得：x 为任意的实数，都有ax 2－ax －2≤0恒成立．当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0，∴－8≤a ≤0.9．①②三、解答题10．解：(1)因为A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，所以A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}．(2)因为A ＝{x |3≤x ＜7}，所以∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7}．所以(∁R A )∩B ＝{x |x ＜3或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |2＜x ＜3或7≤x ＜10}．(3)如图，当a ＞3时，A ∩C ≠.11．解：由x ＋210－x≥0，得－2≤x ＜10，即p ：－2≤x ＜10； 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＜0)，得[x －(1＋m )]·[x －(1－m )]≤0，所以1＋m ≤x ≤1－m ，即q ：1＋m ≤x ≤1－m .又因为p 是q 的必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，1－m <10，解得m ≥－3， 又m ＜0，所以实数m 的取值范围是－3≤m ＜0.12．解：(1)当x ＞2或x ＜－1时，x 2－x －2＞0.由4x ＋p ＜0，得x ＜－p 4，故－p 4≤－1时，x ＜－p 4⇒x ＜－1⇒x 2－x －2＞0. ∴p ≥4时，“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件．(2)不存在实数p 满足题设要求．。

专题限时集训(一)B[第1讲 集合与常用逻辑用语](时间：30分钟)1．已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝1x ＋1，B ＝{x |y ＝log a (x ＋2)}，则集合(∁U A )∩B ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－1，＋∞) 2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪⎪12x ∈Z 中含有的元素个数为( ) A ．4 B ．6C ．8D ．123．设全集U 是实数集R ，M ＝{x ||x －1|>x －1}，N ＝{x |y ＝22x －x 2}，则图1－1中阴影部分表示的集合是( )图1－1A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |0≤x ≤2}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |x ＜0}4．“a >3”是函数f (x )＝ax ＋3在[－1，2]上存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －30<0}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫cos πx 3＝12，则A ∩B 等于( ) A ．{－1，1，5} B ．{－1，1，5，7}C ．{－5，－1，1，5，7}D ．{－5，－1，1，5}6．设A＝{x||2x－1|≤3}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]7．命题“对任意x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤58．已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．在下列结论中，正确的结论为( )(1)“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；(2)“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；(3)“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；(4)“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(4) D．(3)(4)10．如图1－2，有四个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，O3(0，2)，O4(2，2)．记集合M＝{⊙O i|i＝1，2，3，4}，若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称(A，B)为一个“有序集合对”(当A≠B时，(A，B)和(B，A)为不同的有序集合对)，那么M中“有序集合对”(A，B)的个数是( )图1－2A．2 B．4 C．6 D．811．如果不等式4x－x2>(a－1)x的解集为A，且A⊆{x|0<x<2}，那么实数a的取值范围是________．12．集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，M＝{(x，y)||x|＋|y|<a}，P＝{(x，y)|y＝f(x)}，现给出下列函数：①y＝a x；②y＝log a x；③y＝sin(x＋a)；④y＝cos ax.若0<a<1时，恒有P∩(∁U M)＝P，则所有满足条件的函数f(x)的编号是________．专题限时集训(一)B【基础演练】1．B [解析] 集合A 为函数y ＝1x ＋1的定义域，即A ＝(－1，＋∞)，故∁U A ＝(－∞，－1]，集合B 为函数y ＝log a (x ＋2)的定义域，即B ＝(－2，＋∞)．故(∁U A )∩B ＝(－2，－1]．2．B [解析] x ＝1，2，3，4，6，12符合要求．3．C [解析] M ＝{x |x <1}，N ＝{x |0≤x ≤2}，而图中阴影部分表示集合N ∩(∁U M )，所以N ∩(∁U M )＝{x |0≤x ≤2}∩{x |x ≥1}＝{x |1≤x ≤2}．4．A [解析] 函数f (x )＝ax ＋3在开区间(－1，2)上存在零点的充要条件是f (－1)f (2)＝(－a ＋3)(2a ＋3)<0，即a >3或a <－32；在区间端点处如果f (－1)＝0，则a ＝3，如果f (2)＝0，则a ＝－32.因此函数f (x )＝ax ＋3在闭区间[－1，2]上存在零点的充要条件是a ≥3或a ≤－32.根据集合判断充要条件的方法可知，“a >3”是函数f (x )＝ax ＋3在[－1，2]上存在零点”的充分不必要条件．(注：函数的零点存在性定理是指的在开区间上的零点存在的一个充分条件，但如果在闭区间上讨论函数的零点，一定要注意区间端点的情况)【提升训练】5．A [解析] 依题意得A ＝{x |－5<x <6}．由cos πx 3＝12得πx 3＝2k π±π3，即x ＝6k ±1，k ∈Z .令－5<6k ＋1<6得－1<k <56，又k ∈Z ，则k ＝0，故x ＝1；令－5<6k －1<6得－23<k <76，又k ∈Z ，则k ＝0或k ＝1，故x ＝－1或x ＝5.于是，A ∩B ＝{－1，1，5}．6．A [解析] 集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}＝{x |－1≤x ≤2}，而B ＝{x |x >a }，因为A ⊆B ，所以a <－1，选A.7．C [解析] 满足命题“任意x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的实数a 即为不等式x2－a ≤0在[1，2]上恒成立的a 的取值范围，即a ≥x 2在[1，2]上恒成立，即a ≥4，要求的是充分不必要条件，因此选项中满足a >4的即为所求，选项C 符合要求．(注：这类题把“条件”放在选项中，即选项中的条件推出题干的结论，但题干中的结论推不出选项中的条件)8．C [解析] 依题意得f (x )＝a 2x 2＋2(a·b )x ＋b 2，由函数f (x )是偶函数，得a·b ＝0，又a ，b 为非零向量，所以a⊥b ；反过来，由a⊥b 得a·b ＝0，f (x )＝a 2x 2＋b 2，函数f (x )是偶函数．综上所述，“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a⊥b ”的充要条件．9．B [解析] p 且q 为真时p ，q 均为真，此时p 或q 一定为真，p 或q 为真时只要p ，q 至少有一个为真即可，故“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件，结论(1)正确；p 且q 为假，可能p ，q 均假，此时p 或q 为假，结论(2)不正确；p 或q 为真时，可能p 假，此时綈p 为真，但綈p 为假时，p 一定为真，此时p 或q 为真，结论(3)正确；綈p 为真时，p 假，此时p 且q 一定为假，条件是充分的，但在p 且q 为假时，可能p 真，此时綈p 为假，故“綈p ”为真是“p 且q ”为假的充分不必要条件．(该题把逻辑联结词表达的命题和充要条件结合起来，只要把这些问题判断清楚了，对逻辑联结词的掌握就到位了)10．B [解析] 注意到⊙O 1与⊙O 4无公共点，⊙O 2与⊙O 3无公共点，则满足题意的“有序集合对”(A ，B )的个数是4.11．[2，＋∞) [解析] 令y ＝4x －x 2，则(x －2)2＋y 2＝22，y ≥0，这个式子表示平面上的半圆；令y ＝(a －1)x ，其表示平面上斜率为(a －1)且过坐标原点的直线系，4x －x 2>(a －1)x 的解集为A 的意义是半圆位于直线上方时对应的x 值，又A ⊆{x |0<x <2}，∴数形结合可得只要直线位于y ＝x 及其上方均可，所以a －1≥1，即a ≥2.(注：本题重在考查数形结合的思想意识)12．①②④ [解析] 集合U 为坐标平面上的所有点组成的集合，集合M 为坐标平面上的一个正方形区域，集合P 是函数图像上的点组成的集合．P ∩(∁U M )＝P 等价于P ∩M ＝∅，如图，由于y ＝a x(0<a <1)单调递减且过点(0，1)，故其图像与区域M 无公共点；同理y ＝log a x (0<a <1)也与区域M 无公共点；函数y ＝sin(x ＋a )与y 轴的交点坐标是(0，sin a )，当0<a <1时，sin a <a ，所以函数y ＝sin(x ＋a )的图像与区域M 存在公共点；函数y ＝cos ax 与x 轴的离区域M 最接近的两个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2a ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2a ，0，由于π2a －a ＝π－2a 22a >0，故两个点不在区域M 内，函数y ＝cos ax 的图像与y 轴的交点坐标为(0，1)，这个点也不在区域M 内，结合余弦函数图像的特征可知函数y ＝cos ax 的图像与区域M 无公共点．。

专题一集合与常用逻辑用语(见学生用书P1)(见学生用书P1)1．常用数集的专用符号自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R．2．集合的关系(1)集合与元素的关系如果a是集合A的元素，那么可表示为a∈A；如果a不是集合A的元素，那么可表示为a∉A．(2)集合与集合的关系若A是B的子集，则可表示为A⊆B；若A是B的真子集，则可表示为A B．(3)集合相等定义：如果两个集合中的元素完全相同，则两集合相等；表示方法：集合A与集合B相等可表示为A＝B；如果集合A与集合B满足A⊆B且B⊆A，则A与B相等．3．集合A和B的交集是指由属于A并且属于B的所有元素组成的集合，用符号表示为A∩B，用描述法表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，用Venn图表示为.4．集合A和B的并集是指由属于A或属于B的所有元素组成的集合，用符号表示为A∪B，用描述法表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示为．5．设集合I为全集，集合A是它的一个子集，A的补集是指由属于集合I，但不属于集合A的所有元素组成的集合，用符号表示为∁I A，用描述表示为∁I A＝{x|x∈I，但x∉A}，用Venn图表示为．6．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A，∁I(A∩B)＝(∁I A)∪(∁I B)，∁I(A∪B)＝(∁I A)∩(∁I B)．7．四种命题及其关系8．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．9．逻辑联结词命题中的或、且、非叫逻辑联结词．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真10.全称量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作：“对任意x∈M，都有p(x)成立”．11．存在量词(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)，读作：“存在一个x0∈M，使p(x0)成立”．12．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)(见学生用书P2)考点一集合及其运算考点精析1．集合的元素具有确定性、互异性、无序性，在求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用．即在分析问题时，要看能否利用“三性”找到解题的切入点；题目解答出来后，再检验其元素是否满足“三性”．2．含参数的集合问题是本部分的一个重要考向，解题时应根据集合元素的互异性多挖掘题目中的隐含条件，并注意分类讨论思想、数形结合思想在解题中的运用．3．集合问题多与函数、方程、不等式等知识联系在一起，因此要注意不同知识之间的融会贯通，要善于从函数、方程、不等式的角度去理解用描述法表示的集合，从而借助函数、方程、不等式的知识与方法去解决问题．4．在解题中要特别注意空集的特殊性，它往往导致我们在解题中出现错误，所以要善于总结空集在解题中的特殊性，避免因忽视空集而出现错误．例1－1(2015·北京卷)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B＝()A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}考点：集合的交集运算．分析：集合A、B已知，直接在数轴上将集合A、B表示出来，数形结合求出A∩B.解析：在数轴上将集合A、B表示出来，如图所示．由交集的定义可得，A∩B为图中阴影部分，即{x|－3<x<2}．答案：A点评：本题主要考查了集合的交集运算，利用数轴进行集合的交、并、补运算是常用方法．例1－2(2015·陕西卷)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]考点：并集及其运算．分析：分别求出集合M、N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解析：M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0<x≤1}，所以M∪N＝[0，1]，故选A.答案：A点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合M、N 是解决本题的关键．例1－3已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N＝()A．M B．NC．I D．∅考点：集合间的关系．分析：本题可利用韦恩图解决，由题可知N是M的真子集．解析：由N∩∁I M＝∅，作韦恩图可知N⊆M，则M∪N＝M，故选A.答案：A点评：本题主要考查集合间的关系，用韦恩图可直观解决．例 1－4(2014·长沙二模)若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c满足1a ＋1b ＝2c ，则称a 、b 、c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a 、b 、c 是等差的．若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”．若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M .则：(1)“好集”P 中的元素最大值为________；(2)“好集”P 的个数为________．考点：元素与集合关系的判断．分析：(1)根据“好集”的定义，可解关于a ，b ，c 的方程组，用b 把另外两个元素表示出来，再根据“集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ”构造出关于b 的不等式，求出P 中最大的元素．(2)结合第一问的结果，因为b 是整数，可以求出b 的最大值，从而确定P 的个数．解析：(1)∵1a ＋1b ＝2c ，且a ＋c ＝2b ，∴(a －b )(a ＋2b )＝0，∴a ＝b (舍)，或a ＝－2b ，∴c ＝4b .令－2 014≤4b ≤2 014，得－503≤b ≤503，∴P 中最大元素为4b ＝4×503＝2 012.(2)由(1)知P ＝{－2b ，b ，4b }，且－503≤b ≤503，∴“好集”P 的个数为2×503＝1 006.答案：(1)2 012 (2)1 006点评：这是一道新定义题，关键是理解好题意，将问题转化为方程(组)或不等式问题，则问题迎刃而解．规律总结由上述例题可知，对于集合问题的考查，其命题规律如下：1．直接送分型：直接给出具体集合(即给出集合元素的集合)，求其交、并、补集运算，或判断其集合间关系，或求其子集的个数．由于这类问题比较简单，解答这类问题只需准确把握基本知识和基本方法，即可拿满分，如例1－1.2．具体综合型：求具体集合的交、并、补运算，或判断其集合间关系，或求其子集的个数问题，但在给出具体集合时，不是直接给出，而是用描述法给出，在描述集合元素所具有属性时，往往涉及到不等式，函数与方程等知识，如例1－2.3．抽象集合型：没有给出集合的具体元素，只给出一些性质，如例1－3.4．新定义集合型：给出新定义，结合集合的相应知识进行求解．如例1－4.对策：对于直接送分型问题，准确把握基本知识和方法，注意查漏补缺即可．作为二轮复习，我们需要重点关注和重点突破的是后面三种类型．变式训练【1－1】(2014·福建卷)已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b＋c等于__________．解析：由{a，b，c}＝{0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：当a＝0时，b＝1、c＝2或b＝2、c＝1，此时不满足条件；当a＝1时，b＝0、c＝2或b＝2、c＝0，此时不满足条件；当a＝2时，b＝1、c＝0，此时不满足条件；当a＝2时，b＝0、c＝1，此时满足条件；综上得，a＝2、b＝0、c＝1，代入100a＋10b＋c＝201.答案：201【1－2】(2015·广东卷)若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p<s≤4，0≤q<s≤4，0≤r<s≤4且p，q，r，s∈N}，F＝{(t，u，v，w)|0≤t<u≤4，0≤v<w≤4且t，u，v，w∈N}，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)＋card(F)＝()A．50 B．100C．150 D．200解析：当s＝4时，p，q，r都是取0，1，2，3中的一个，有4×4×4＝64种；当s＝3时，p，q，r都是取0，1，2中的一个，有3×3×3＝27种；当s＝2时，p，q，r都是取0，1中的一个，有2×2×2＝8种；当s＝1时，p，q，r都取0，有1种，所以card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t＝0时，u取1，2，3，4中的一个，有4种；当t＝1时，u取2，3，4中的一个，有3种；当t＝2时，u取3，4中的一个，有2种；当t＝3时，u取4，有1种，所以t 、u 的取值有1＋2＋3＋4＝10种，同理，v 、w 的取值也有10种．所以card(F )＝10×10＝100，所以card(E )＋card(F )＝100＋100＝200，故选D.答案：D【1－3】 (2014·余姚模拟)对于函数f (x )，若存在区间A ＝[m ，n ]，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A }＝A ，则称函数f (x )为“和谐函数”，区间A 为函数f (x )的一个“和谐区间”．给出下列4个函数：①f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ；②f (x )＝2x 2－1； ③f (x )＝|2x －1|；④f (x )＝ln(x ＋1)．其中存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为( )A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．②③解析：①中，若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的周期是4，由正弦函数的性质我们易得，A ＝[0，1]为函数的一个“和谐区间”；同时当A ＝[－1，0]时也是函数的一个“和谐区间”，∴不满足唯一性．②中，若f (x )＝2x 2－1，当A ＝[－1，1]时，f (x )∈[－1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A ＝[－1，1]一个．∴f (x )＝2x 2－1满足题意．③中，由幂函数的性质我们易得，M ＝[0，1]为函数f (x )＝|2x －1|的“和谐区间”，由幂函数的图象可知，满足条件的集合只有A ＝[0，1]一个．∴f (x )＝|2x －1|满足题意．④中，∵f (x )＝ln(x ＋1)单调递增，且函数的定义域为(－1，＋∞)，若存在“和谐区间”，则满足⎩⎪⎨⎪⎧ln （m ＋1）＝m ，ln （n ＋1）＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧e m －1＝m ，e n －1＝n ， ∴m ，n 是方程e x －x －1＝0的两个根，设f (x )＝e x －x －1，f ′(x )＝e x －1.当x >0时，f ′(x )>0，此时函数f (x )单调递增；当－1<x <0时，f ′(x )<0，此时函数f (x )单调递减，且f (0)＝e 0－0－1＝0，故f (x )＝e x －x －1＝0有且只有一个解，故f (x )＝ln(x ＋1)不存在“和谐区间”．故存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为：②③.答案：D考点二 常用逻辑用语考点精析1．在判断命题真假时，一方面可以直接写出命题对其进行判断，也可以通过命题之间的等价性进行判断，例如：原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题等价．2．要熟练掌握全称命题和特称命题的否定的写法．对于全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定是綈p：∃x0∈M，綈p(x0)；而对于特称命题q：∃x0∈M，p(x0)，其否定是綈q：∀x∈M，綈p(x)．3．充分必要条件的判断是本考点的一个重要考向，在解题中应注意：(1)问题的设问方式，我们知道：①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B.这两种说法在充分必要条件的推理判断中经常出现且容易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方法，看清它们的区别，以免判断错误．(2)要善于举出反例，在充分必要条件的推理判断中经常需要我们对一个命题的正确或错误(尤其是错误)作出判断或证明，而直接从正面论证往往不易进行，这时我们可以通过举出恰当的反例来说明一个命题是错误的，这是一个简单有效的办法．(3)当所要判断的命题与方程的根、不等式的解以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时，我们可以借助集合间的包含关系进行充分必要条件的判定．(4)恰当地进行转化，若p是q的充分不必要条件，即p⇒q，q p，则由原命题与其逆否命题的等价性可知，綈q⇒綈p，綈p綈q，所以綈p是綈q的必要不充分条件．例2－1(2015·浙江卷)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*，且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0考点：全称命题的否定形式的写法．分析：直接根据全称命题的否定是特称命题求解．解析：根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.答案：D点评：写全称命题的否定时，要把量词“∀”改为“∃”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．例2－2(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点：绝对值不等式、一元二次不等式的解法以及充分条件、必要条件．分析：先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的判断方法进行判断．解析：|x －2|<1⇔－1<x －2<1⇔1<x <3，x 2＋x －2>0⇔x <－2或x >1，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的充分不必要条件，故选A. 答案：A点评：本题考查了绝对值不等式、一元二次不等式以及充要条件，属于基础题．例 2－3(2014·长郡)(1)已知实数集A ＝{x |a 1x ＝b 1，a 1b 1≠0}，B＝{x |a 2x ＝b 2，a 2b 2≠0}，证明：A ＝B 的充要条件是a 1a 2＝b 1b 2； (2)已知实数集A ＝{x |a 1x 2＋b 1x ＋c 1＝0，a 1b 1c 1≠0}，B ＝{x |a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0，a 2b 2c 2≠0}，问a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2是A ＝B 的什么条件？请给出说明过程．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的相等．分析：(1)根据实数集A ＝{x |a 1x ＝b 1，a 1b 1≠0}，B ＝{x |a 2x ＝b 2，a 2b 2≠0}，根据等式的性质，易将A ＝B 等价变形，易得A ＝B ⇔b 1a 1＝b 2a 2⇔a 1a 2＝b 1b 2，即A ＝B 的充要条件是a 1a 2＝b 1b 2. (2)可以先假定a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，然后判断A ＝B 是否成立，然后再假设A ＝B 成立，然后分A 与B 是否为空集两种情况进行分类讨论，即可得到结论．解析：(1)∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝b 1a 1，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝b 2a 2， ∴A ＝B ⇔b 1a 1＝b 2a 2⇔a 1a 2＝b 1b 2. ∴A ＝B 的充要条件是a 1a 2＝b 1b 2. (2)“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“A ＝B ”的充分不必要条件． 证明：(充分性)若x0∈A，即x0是方程a1x2＋b1x＋c1＝0的解，则a1x20＋b1x0＋c1＝0，而非零实数a1，b1，c1和a2，b2，c2满足a1a2＝b1b2＝c1c2.设a1a2＝b1b2＝c1c2＝k≠0，则可得k(a2x20＋b2x0＋c2)＝0，所以a2x20＋b2x0＋c2＝0，即x0是方程a2x2＋b2x＋c2＝0的解，即x0∈B，于是A⊆B.同理可证B⊆A，所以A＝B.必要性不成立，反例：如A＝B＝∅.点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，集合的相等等．根据等式的性质，结合集合相等的定义，对集合相等进行等价转化，是解答本题的关键．规律总结充要关系的判定问题是本考点的热点问题．一般主要以选择题和填空题的形式进行考查，试题难度不大，但涉及的知识点较多，主要涉及函数、不等式、立体几何、解析几何等内容．预计2016年的高考可能会从以下四个方向进行命题：(1)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的判断，由于充要条件涉及的知识面比较广，每年的考题背景都会有所变化，多以函数的性质、不等式的性质及其应用、解析几何中的直线与圆、圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面关系等为主．(2)以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的探求，尤其要注意逻辑联结词“非”与充要条件相结合的问题．(3)考查利用条件与结论之间的充要关系求解参数的取值范围．(4)与新定义问题结合在一起，考查充要条件的判断．变式训练【2－1】(2015·山东潍坊调研)已知p：“对任意的x∈[2，4]，有log2x－a≥0”，q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”．若p，q均为命题，而且“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由p：“对任意的x∈[2，4]，有log2x－a≥0”，即a≤log2x 得a≤(log2x)min＝1，可知p：a≤1；由q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.因为“p且q”是真命题，故a≤－2或a＝1.答案：(－∞，－2]∪{1}【2－2】 (2012·无为县模拟)已知命题p ：2－x 2x －1>1，命题q ：x 2＋2x ＋1－m ≤0(m >0)，若非p 是非q 的必要不充分条件，那么实数m 的取值范围是____________．解析：由题意，p ：12<x <1，∴綈p ：x ≤12或x ≥1；q ：x 2＋2x ＋1－m ≤0(m >0)，∴綈q ：x 2＋2x ＋1－m >0，∴(x ＋1)2>m ，解得綈q ：x <－1－m 或x >－1＋m .∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎨⎧－1－m ≤12，－1＋m ≥1，即⎩⎨⎧－m ≤32，m ≥2，∴m ≥4. 故实数m 的取值范围是[4，＋∞)．答案：[4，＋∞)例 2－4(2014·唐山二模)已知命题p ：函数y ＝e |x －1|的图象关于直线x ＝1对称，q ：函数y ＝cos2x ＋π6的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则下列命题中的真命题为( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∨綈q考点：复合命题的真假．分析：先根据指数函数图象的性质，推断命题p 的真假，然后根据余弦函数的性质推断命题q 的真假．解析：∵函数y ＝e |x |为偶函数，∴函数y ＝e |x |关于y 轴对称，∵函数y ＝e |x －1|的图象由函数y ＝e |x |的图象向右平移一个单位获得，∴函数y ＝e |x －1|的图象关于直线x ＝1对称，∴命题p 为真命题． 令cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝0， 即2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，求得x ＝k π2＋π6.当k ＝0时，x ＝π6，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象的对称点， ∴命题q 为真命题．∴p ∧q 为真命题，p ∧綈q 为假命题，綈p ∧q 为假命题，綈p ∨綈q 为假命题．答案：A点评：本题主要考查考生对复合命题的理解，关键是正确判断原命题的真假．例 2－5(2013·湖南卷)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为______________．(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是____________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1，2)，使f (x )＝0.考点：命题的真假判断与应用；函数的零点；进行简单的合情推理．分析：(1)由集合M 中的元素满足的条件，得到c ≥a ＋b ＝2a ，求得c a 的范围，解出函数f (x )＝a x ＋b x －c x 的零点，利用不等式可得零点x 的取值集合．(2)对于①，把函数式f (x )＝a x ＋b x －c x 变形为f (x )＝a x ＋b x －c x ＝c x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1，利用指数函数的单调性即可证得结论成立； 对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC 为钝角三角形说明f (2)<0，又f (1)>0，由零点的存在性定理可得命题③正确．解析：(1)因为c >a ，且c ≥a ＋b ＝2a ，所以c a ≥2，则ln c a ≥ln 2>0.令f (x )＝a x ＋b x －c x ＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫c a x ＝2，所以x ＝ln 2ln c a≤ln 2ln 2＝1.所以0<x ≤1.(2)①因为f (x )＝a x ＋b x －c x ＝c x⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1， 又a c <1，b c <1，所以对∀x ∈(－∞，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1>⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 1－1＝a ＋b －c c >0. 所以命题①正确．令x ＝－1，a ＝2，b ＝4，c ＝5，则a x ＝12，b x ＝14，c x ＝15.由于12，14，15不能构成一个三角形的三条边长，所以命题②正确．若三角形为钝角三角形，则a 2＋b 2－c 2<0.因为f (1)＝a ＋b －c >0，f (2)＝a 2＋b 2－c 2<0.所以∃x ∈(1，2)，使f (x )＝0.所以命题③正确．答案：(1){x |0<x ≤1} (2)①②③点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了取特值的思想方法．解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．, 规律总结)逻辑联结词和四种命题偶尔出现在高考试题之中，这类问题一般比较简单，只要熟练掌握其基本知识即可顺利过关．但需要注意的地方是在二轮复习之中，由于强化重点和热点问题，忽视了对这些基本知识的复习，从而形成知识的盲点、造成不必要丢分．含有一个量词的命题的否定和以量词作语言叙述的工具进行考查是近几年新课标高考的热点之一．变式训练【2－3】 (2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n ，故选C.答案：C【2－4】 (2014·辽宁卷)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：(方法1)取a ＝c ＝(1，0)，b ＝(0，1)，显然a·b ＝0，b·c ＝0，但 a·c ＝1≠0，∴p 是假命题．a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ，∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，q 是真命题．综上知，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，又∵綈p 为真命题，綈q 是假命题，∴(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题．(方法2)由于a ，b ，c 都是非零向量，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b .∵b·c ＝0，∴b ⊥c .如图，则可能a ∥c ，∴a·c ≠0，∴命题p 是假命题，∴綈p 是真命题．命题q 中，a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反；b ∥c ，则b 与c 方向相同或相反，故a 与c 方向相同或相反，∴a ∥c ，即q 是真命题，则綈q 是假命题，故p ∨q 是真命题，p ∧q ，(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题．答案：A(见学生用书P 6)例设命题p ：关于x 的不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0与a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集相同；命题q ：a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考场错解：因为a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，所以不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0与a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0是等价的不等式，解集相同，所以q 能推出p ；而不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0与a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集相同不能得出a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，所以选B.专家把脉：因为a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，若a 1与a 2的符号不同，这时a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0与a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集不相同，如－x 2＋3x －2>0与x 2－3x ＋2>0，尽管a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＝－1，但它们的解集不相同，所以q 不能推出p .对症下药：因为a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，若a 1与a 2的符号不同，这时a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0与a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集不相同，所以q 不能推出p ；不等式x 2＋x ＋3>0与x 2＋1>0的解集相同，但a 1a 2≠b 1b 2≠c 1c 2，所以p 不能推出q ，所以选D.专家会诊：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假．(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须且只需”，“……，反之也真”等．(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质．(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 、B 互为充要条件．(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).(见学生用书P 149)一、选择题1．(2015·广东卷)设集合M ＝{}x |（x ＋4）（x ＋1）＝0，N ＝{}x |（x －4）（x －1）＝0，则M ∩N ＝( )A ．∅B ．{－1，－4}C ．{0}D ．{1，4}解析：因为M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}＝{－4，－1}，N ＝{x |(x －4)(x－1)＝0}＝{1，4}，所以M ∩N ＝∅，故选A.答案：A2．(2015·广东实验中学第一次阶段考试)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵ 集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）x 24＋y 216＝1， ∴A 中的元素为椭圆x 24＋y 216＝1上的点，A ∩B 中的元素为椭圆和指数函数y ＝3x 图象交点，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1，A 2，则A ∩B 的子集有∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}，共4个，故选A.答案：A3．(2013·上海卷)设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，若A ∪B ＝R ，则a －1≤1，∴1<a ≤2；当a ＝1时，易得A ＝R ，此时A ∪B ＝R ；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，若A ∪B ＝R ，则a －1≤a ，显然成立．综上，a 的取值范围是(－∞，2]．答案：B4．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ＝0，则a 2＋b 2＝(a ＋b )，两边平方解得ab ＝0，故a ，b 至少有一为0，不妨令a ＝0则可得|b |－b ＝0，故b ≥0，即a 与b 互补；而当a 与b 互补时，易得ab ＝0.此时a 2＋b 2－a －b ＝0，即φ(a ，b )＝0.故φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．答案：C5．若命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2≥a ；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．(－2，1)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．[1，＋∞)解析：若命题p 为真，则(x 2)min ≥a ，而当x ＝1时，(x 2)min ＝1，故a ≤1；若命题q 为真，则Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≤－2，或a ≥1；若命题“p ∧q ”是真命题，则p 、q 均为真命题，故{a |a ≤1}∩{a |a ≤－2，或a ≥1}＝(－∞，－2]∪{1}．答案：C6．(2015·黑龙江牡丹江六县市联考)下列命题正确的个数是( )①命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”；②“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件；③“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1，2]上恒成立”⇔“(x 2＋2x )min ≥(ax )max在x ∈[1，2]上恒成立”④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a ·b <0”．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：特称命题的否定为全称命题，①正确；②中f (x )＝cos 2ax ，其最小正周期为π时，2π2|a |＝π，即a ＝±1，②正确；③不正确；④不正确，当a·b<0，a ，b 的夹角可能为π.答案：B二、填空题7．若集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则A ∩Z 中有______个元素．解析：由(x －1)2<3x ＋7得x 2－5x －6<0，∴A ＝(－1，6)，因此A ∩Z ＝{0，1，2，3，4，5}，共有6个元素．故答案是6.答案：68．设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________．解析：∵全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A ＝{1，2，3，5，8}，∴(∁U A )＝{4，6，7，9}．∵B ＝{1，3，5，7，9}，∴(∁U A )∩B ＝{7，9}．答案：{7，9}9．(2014·福建卷)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是______．解析：由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数：(1)若①正确，即a ＝1，则②，③，④都错误，即b ＝1，c ≠2，d＝4.其中a ＝1与b ＝1矛盾，显然此种情况不存在．(2)若②正确，即b ≠1，则①，③，④都错误，即a ≠1，c ≠2，d＝4，则当b ＝2时，有a ＝3，c ＝1；当b ＝3时，有a ＝2，c ＝1，此时有2种有序数组．(3)若③正确，即c ＝2，则①，②，④都错误，即a ≠1，b ＝1，d＝4，则a ＝3，即此种情况有1种有序数组．(4)若④正确，则①，②，③都错误，即a ≠1，b ＝1，c ≠2，则当d ＝2时，有a ＝3，c ＝4或a ＝4，c ＝3，有2种有序数组；当d ＝3时，有c ＝4，a ＝2，仅1种有序数组．综上可得共有2＋1＋2＋1＝6(种)有序数组．答案：610．(2015·四川绵阳中学第五次月考)已知命题p ：f (x )＝1－2m x 在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q ：不等式(x －1)2>m 的解集为R .若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是____________．解析：因为p ：f (x )＝1－2m x 在区间(0，＋∞)上是减函数，所以1－2m >0⇒m <12.因为不等式(x －1)2>m 的解集为R ，所以m <0.要保证命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则需要两个命题中只有一个为真，而另一个为假，解得0≤m <12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 11．(2014·长郡二模)已知集合M ＝{1，2，3，…，100}，A 是集合M 的非空子集，把集合A 中的各元素之和记作S (A )．(1)满足S (A )＝8的集合A 的个数为______；(2)S (A )的所有不同取值的个数为________．解析：(1)一个元素：8；两个元素：1、7，2、6，3、5，三个元素：1、3、4，1、2、5，∴满足S (A )＝8的集合A 的个数为6.(2)对于S (A )来说，由于它是集合A 中的各元素之和，同时A 又是集合M 的非空子集，且1＋2＋3＋…＋100＝5 050，则可知S (A )将取尽1到5 050的所有数，∴S (A )的取值个数为5 050.答案：(1)6 (2)5 050三、解答题12．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，|x ＋1|>3. (1)若a ＝1，p 且q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，∴由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，∴p 为真命题时，实数x 的取值范围：1<x <3.又∵命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，|x ＋1|>3， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，|x ＋1|>3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2， ∴所以q 为真时，实数x 的取值范围：2<x ≤3.∵若p 且q 为真，∴p 真q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3，∴2<x <3，∴实数x 的取值范围是(2，3)．(2)不妨设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}．∵非p 是非q 的充分不必要条件，∴A B .∴0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2.∴实数a 的取值范围是(1，2]．13．定义域为D 的函数f (x )，如果对于区间I 内(I ⊆D )的任意两个数x 1、x 2都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≥12[f (x 1)＋f (x 2)]成立，则称此函数在区间I 上是“凸函数”．(1)判断函数f (x )＝lg x 在R ＋上是否是“凸函数”，并证明你的结论；(2)如果函数f (x )＝x 2＋a x 在[1，2]上是“凸函数”，求实数a 的取值范围．解析：(1)设x 1，x 2是R ＋上的任意两个数，则f (x 1)＋f (x 2)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 ＝lg x 1＋lg x 2－2lg x 1＋x 22＝lg 4x 1x 2（x 1＋x 2）2≤lg 1＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2. ∴函数f (x )＝lg x 在R ＋上是“凸函数”．(2)对于[1，2]上的任意两个数x 1，x 2，均有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≥12[f (x 1)＋f (x 2)]成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋a x 1＋x 22≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21＋a x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋a x 2， 整理得(x 1－x 2)2a ≤－12(x 1－x 2)2x 1x 2(x 1＋x 2)．若x 1＝x 2，a 可以取任意值．若x 1≠x 2，得a ≤－12x 1x 2(x 1＋x 2)，∵－8<－12x 1x 2(x 1＋x 2)<－1，∴a≤－8.综上所述得a≤－8.。

江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列之集合与常用逻辑用语1一．基础题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知全集{}2,1,0=U ，{}0=-=m x x A ，如果U C A ={}1,0，则=m ．2. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若集合}02|{2>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A I .3. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】己知全集U R =，集合{}R x x x A ∈>+=,21|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-=R x x x x B ,02|， 则()=B A C U I .4. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U __．5. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】集合()*{,,S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是( )（A ）(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ （B ）(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈（C ）(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ （D ）(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉6. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】函数()f x x x a b =++是奇函数的充要条件是--------------------------------------------（ ）(A) 0ab = (B) 0a b += (C) 220a b += (D) a b =考点：奇函数的性质与充要条件.7. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .8. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】集合{}12-<<=x x A ，{}0<-=a x x B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．9. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】“21<-x 成立”是“01<-x x 成立”的 ………（ ）. )(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件．)(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．二．能力题组1. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】设集合}1)4(),{(22=+-=y x y x A ，}1)2()(),{(22=+-+-=at y t x y x B ，若存在实数t ，使得∅≠B A I ，则实数a 的取值范围是___________．2. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知命题1|211:|≤+-x p ，命题)0(012:22><-+-m m x x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的范围是 .3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】设向量)1,1(-=x a ρ，)1,3(+=x b ρ，则“a ρ∥b ρ”是“2=x ”的………………（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】4. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，则“)(x f 与)(x g 同是奇函数或偶函数”是“)()(x g x f ⋅是偶函数”的………………………………………………………………（ ）)(A 充分非必要条件. )(B 必要非充分条件.)(C 充要条件. )(D 既非充分又非必要条件5. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】命题:p 1a =;命题:q 关于x 的方程2220x x a -+=有实数解,则p 是q 的 ( ).(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件6. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知a b 、为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 （D ）非充分非必要三．拔高题组1. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】用||S 表示集合S 中的元素的个数，设A B C 、、为集合，称(,,)A B C 为有序三元组．如果集合A B C 、、满足1A B B C C A ===I I I ，且A B C =∅I I ，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交．由集合{}1,2,3,4的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ．2. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知集合21|1,1x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,B x x a x R =-≤∈.（1）求集合A ；（2）若R B A B I ð，求实数a 的取值范围.。