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自主招生—能量和动量【功与功率】1. 边长为lOcm 的正方形木块(密度为0.5g/cm 3)浮在有水的杯中，杯的横截面积为200cm 2，水的密度是lg/cm 3，平衡时杯内水深10cm ，g 取10m/s 2，用力使木块慢慢沉到杯底，外力所做的功的焦耳数是多少？2. 心脏是血液循环的动力装置．心脏中的右新房接受来自全身的静脉血，经过心脏瓣膜进入右心室，在通过右心室的压缩进入肺动脉，肺动脉把静脉血输入肺脏，进行氧和二氧化碳的交换后，富含氧气的动脉血通过肺静脉流回心脏的左心房，再进入左心室通过左心室的压缩，动脉血通过主动脉和通往身体各部位的大动脉被输送到全身的毛细血管．正常成年人在安静时心跳频率平均为每分钟 75 次，主动脉收缩压平均为 120mmHg ，肺动脉收缩压为主动脉的61．在左、右心室收缩前，心室中的血液压强接近于零(相对于大气压强)．心脏中的左、右心室在每个搏动周期的血液搏出量均为 70mL ．试估算正常成年人心脏的平均功率．(1大气压=Pa 510×05.1，血液的密度为3/06.1~05.1cm g ，主动脉、肺动脉内径约为 20mm ，在一个心脏搏动周期中左、右心室收缩时间约为 0.2S)【动能定理、能量守恒定律】3. 质量为m 的行星在质量为0m 的恒星引力作用下，沿半径为r 的圆周轨道运行。
要使该行星运行的轨道半径增大1%，外界要做多少功？（行星在引力场中的势能为E P =-GMm/r ，其中G 为引力常数）4. 绳长为L ，两接点间距为d ，士兵装备及滑轮质量为m ，不计摩擦力及绳子质量，士兵从一端滑到另一端过程中。
求：⑴士兵速度最大时绳上的张力 ？⑵速度最大值vmax ？ ⑶士兵运动的轨迹方程 ？【动量、冲量和动量定理】5. 一质量为m 、长为l 的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台秤秤盘接触（如图）．某时刻放开柔软绳上端，求台秤的最大读数．【动量守恒、碰撞】6. 一质量为m 0以速率v 0运动的粒子，碰到一质量为2 m 0的静止粒子。
第四章 能量和动量1、功 W=FScos θ=2、功率 P=dW/dt=FVcos θ3、动能4、重力势能5、引力势能6、弹性势能7、机械能8、动能定理 K E W ∆=9、势能定理10、机械能定理 它11、机械能守恒 0=∆E （只有重力做功）12、总能量守恒 0=∆总E13、冲量 I=Ft=14、动量 P=mV15、动量定理16、动量守恒 △P=0第一讲 功和动能定理一、功力的瞬时作用效果用加速度a 表示。
力对空间的积累效果用功W 表示。
力对时间的积累效果用冲量I 表示。
W= cos Fs θ变力做功的几种计算方法1、微元法。
将整个过程分为无穷小段，每一小段可以认为是恒力做功，然后再累积起来。
∑⎰=∆=ds F s F W θθcos cos利用F —s 图解释上面的积分公式。
例：F 和v 总是垂直的力，做的功为0。
如：向心力不做功，洛仑兹力不做功。
例：大小不变，且F 和v 总是同线的力，做的功绝对值等于力和路程之积。
如：摩擦力做的功。
2、图像法。
F S -图中，图线和s 轴围成的面积在数值上等于功。
3、效果法。
利用功能原理，从做功产生的效果上考虑。
例题：将立方体在地面上推翻需要做的功例题：半径为r 的半球形水池装满密度为ρ的水，问要将池内的水抽干至少要做多少功。
答案:441gr πρ 解：先求匀质半球的质心位置，在距圆心x 处，取微元dx ，设密度为ρ，球半径为r ，质心坐标为L例题：一帆船在静水中顺风飘行，风速为υ0，船速多大时，风供给船的功率最大。
（设帆面是完全弹性面，且与风向垂直） 答案:0/3υυ=解：设每个空气分子的质量为m ，单位体积内的分子数为n ，帆船的面积为S ， 对船参考系，风以（0()υυ-的速度撞击帆，并原速反弹00[()]2()Ft nm St υυυυ=--202()P F nSm υυυυ==-由上可知，υ取不同值，有不同的功率。
当0/3υυ=时，风供给船的功率最大。
第六讲 动量与能量一、动量定理例1 太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。
设单位体积的太空均匀分布垃圾n 颗，每颗的平均质量为m ，垃圾的运行速度可以忽略。
飞船维持恒定的速率v 飞行，垂直速度方向的横截面积为S ，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住。
试求飞船引擎所应提供的平均推力F 。
附：（2012清华保送生测试）如图所示，一个沙漏（古代的一种计时器）置于一个盘秤上，初始时瓶中的所有沙子都放在上面容器中，瓶的质量为M ，瓶中沙子质量为m 。
在t=0时，沙子开始释放流入下面的容器，沙子以质量变化率为mt ∆∆=λ离开上面的容器，试画出（并定性标明）一个图，给出在t>0的全部时间内秤的读数。
例2、（动量定理的分方向应用）三个质点A 、B 和C ，质量分别为m 1 、m 2和m 3 ，用拉直且不可伸长的绳子AB 和BC 相连，静止在水平面上，如图2所示，AB 和BC 之间的夹角为（π－α）。
现对质点C 施加以冲量I ，方向沿BC ，试求质点A开始运动的速度。
例3、质量为2m 的粒子a 以速度v 沿水平向右方向运动，另一质量为m 的粒子b 以速度v 沿与水平向右方向成45o斜向下的方向运动，在某段时间内两个粒子分别受到大小和方向都相同的力的作用，在停止力的作用时，粒子a 沿竖直向下方向以速度v 运动，则粒子b 的运动速率为( )A ．2vB ．3vC ．vD ．0.5v二、动量守恒定律（一）、碰撞例4、、质量相等的A、B两球在光滑水平面上均向右沿同一直线运动，A球的动量为p A＝9 kg·m/s，B球的动量为p B＝3 kg·m/s，当A球追上B球时发生碰撞，则碰后A、B两球的动量可能值是()A．p A′＝6 kg·m/s，p B′＝6 kg·m/sB．p A′＝8 kg·m/s，p B′＝4 kg·m/sC．p A′＝－2 kg·m/s，p B′＝14 kg·m/sD．p A′＝－4 kg·m/s，p B′＝17 kg·m/s（二）、动量守恒中的相对运动问题例5、在光滑的水平地面上，有一辆车，车内有一个人和N个铅球，系统原来处于静止状态。
株洲市二中自主招生培训（1） 动量和能量基础篇1、（2011年高考·海南理综卷）一质量为2m 的物体P 静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。
图中ab 为粗糙的水平面，长度为L ；bc 为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab 和bc 均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。
现有一质量为m 的木块以大小为v 0的水平初速度从a 点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h ，返回后在到达a 点前与物体P 相对静止。
重力加速度为g 。
求（i ）木块在ab 段受到的摩擦力f ；[来源:学*科*网][来源:学&科&网] （ii ）木块最后距a 点的距离s 。
[来源:学。
科。
网Z 。
X 。
X 。
K]8.202063v gh s L v gh-=- 解析：（i ）设木块和物体P 共同速度为v,两物体从开始到第一次到达共同速度过程由动量和能量守恒得：0(2)mv m m v =+ ① ；22011(2)22mv m m v mgh fL =+++ ② 由①②得：20(3)3m v gh f L-= ③。
（ii ）木块返回与物体P 第二次达到共同速度与第一次相同（动量守恒）全过程能量守恒得：22011(2)(2)22mv m m v f L s =++- ④ 由②③④得：202063v ghs L v gh-=-。
2.（2011年高考·全国卷新课标版）如图，A 、B 、C 三个木块的质量均为m 。
置于光滑的水平面上，B 、C 之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连。
将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B 和C 紧连，使弹簧不能伸展，以至于B 、C 可视为一个整体。
现A 以初速v 0沿B 、C 的连线方向朝B 运动，与B 相碰并粘合在一起。
以后细线突然断开，弹簧a伸展，从而使C 与A 、B 分离。
已知C 离开弹簧后的速度恰为v 0。
求弹簧释放的势能。
9.2013mv 解析：设碰后A 、B 和C 的共同速度的大小为v ，由动量守恒得03mv mv =①设C 离开弹簧时，A 、B 的速度大小为1v ，由动量守恒得1032mv mv mv =+ ② 设弹簧的弹性势能为p E ，从细线断开到C 与弹簧分开的过程中机械能守恒，有22210111(3)(2)222p m v E m v mv +=+ ③ 由①②③式得弹簧所释放的势能为2013p E mv =。
自主招生考试物理学科讲义第一部分 力与运动一、力、物体的平衡1、密度为0ρ的液体在容器的下部，密度为/30ρ的液体在容器的上部，两种流体互不融合。
高H、密度为/20ρ的长方固体静止在液体中，如图所示，试求图中两个高度b1与b2 。
2、用底面积相同，高度分别为1H 和2H ，密度分别为1ρ、2ρ的两块小长方体连接而成的大长方体，竖直地放在密度为0ρ的液体中，平衡时液面恰好在1ρ、2ρ的交界面位置，如图1所示。
今让大长方体如图2所示倒立在0ρ液体中，将大长方体从静止释放后一瞬间，试问大长方体将朝什么方向运动？只考虑重力和浮力，试求此时大长方体运动的加速度大小a （答案只能用1H 、2H 和重力加速度g 表示）。
图一 图二3、一个质量为m、边长为b的正方形箱子放置在地面上，如图所示。
若要求在箱子的左上顶点施力，向前、向后使箱子在图示平面内翻转，而箱子并不滑动。
试问向前、向后的最小作用力分别是多少？相应的最小摩擦因数又是多少？二、运动与运动定律v射出很多个小球，4、在空间某一点O，向三维空间的各个方向以相同的速度球ts之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少（假设ts之内所有小球都未与其它物体碰撞）？5、已知地球半径R=6400km，结合你熟知的某些物理量，估算一个人以奥运会百米短跑纪录的速度，每天跑8个小时，需经多少个月方能从地球表面“跑”到月球表面？6、将一天的时间记为T，地面上的重力加速度记为g，地球半径记为Re。
(1). 试求地球同步卫星P的轨道半径Rp；(2). 赤道城市A的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P；(2.1) 假设P的运动方向突然偏北转过45度，试分析判定而后当地居民一天能有多少次机会可看到P掠过城市上空？(2.2) 取消“2.1”问中的偏转，改设P从原来的运动方向突然偏向西北转过105度，判断当地居民一天能有多少次机会可看到P掠过城市上空？(3). 另一个赤道城市B的居民，平均每三天有四次机会可看到某卫星Q自东向西掠过该城市上空，试求Q的轨道半径RQ。
第五讲 碰 撞分类1、从能量的角度分：①弹性碰撞②非弹性碰撞。
其中，在非弹性碰撞中，若碰后二球以相同的速度运动（粘在一起），系统损失的动能最大，称为完全非弹性碰撞。
2、从速度方向分：①正碰 ②斜碰 一、弹性正碰碰前1m 和2m 的初速度各为10v 和20v 。
碰后二球的速度分别为1v 和2v 。
（注：各速度符号含方向）1102201122m v m v m v m v +=+2222110220112211112222m v m v m v m v +=+ 由以上二式可得 102021v v v v -=-（碰后相对速度互换）以上三个方程中，任意二个是独立的。
求解得：1221102012122m m m v v v m m m m -=+++1122102012122m m m v v v m m m m -=-++几种特殊情况：1、12m m =时，120v v =，210v v =二球速度互换。
2、12m m =且200v =，则10v =，210v v =3、12m m >>时，110v v = 大碰小，大不变。
4、 12m m <<时，220v v = 小碰大，大不变。
二、一动一静，弹性正碰101122m v m v m v =+ 22210112111222m v m v mv =+ 021()v v v =- 得 121012m m v v m m -=+，120122m v v m m =+ 此情形属于一的一种特殊情形。
三、守恒定律中惯性参考系的使用在研究第一个问题时，取以20v 匀速运动的物体为参考系。
则第一个问题在该参考系中就成为第二个问题。
得 121102012()m m V v v m m -'=-+，121020122()m V v v m m '=-+1v '和2v '均为20v 匀速参考系中的速度，再由1120v v v '=+ 2220v v v ''=+即可得到对地速度，即第一问之结果。
v 0C
向左为正，对B 、C 碰撞由动量守恒得
1
)v M M m v m v +=00
01B 、C 全过程水平方向由动量守恒得
2
)v M +M
m m v m v ++=
00
02上升过程由机械能守恒得
m m v M m m ()(2
102
20++++v mm 22
20全过程由机械能守恒吗?
力对“子弹”做的功等于“子弹”动能的变化量：
⑷能量规律：
力对“木块”做的功等于“木块”动能变化量：
一对力的功等于系统动能变化量：
因为滑动摩擦力对系统做的总功小于零．使系统
的机械能（动能）减少，内能增加，增加的内能Q=f Δs ，Δs 为两物体相对滑行的路程．
2022
121m mt m f mv mv s F -=-2022
121M Mt M f Mv Mv s F -=
)2
121(2121)(202022M m Mt mt m M f Mv mv Mv mv s s F +-+=
-⑸图象描述
4
，静止，设弹簧压缩量为x 1，有
5
M m
M
m M
F
F
m
M
F
F m
M
F
F v 1
导体棒切割问题
例：如图所示，电动机D 牵引一根原来静止的质量
m =0.1kg 、电阻R 1=1Ω的导体金属棒ab ，导体棒保持水平且始终紧贴竖直放置的U 形导轨，导轨两条互相平行的竖直边间距为L =1m ，磁感应强度B=1T 的匀强磁场垂直导轨向里，不计导轨电阻和一切摩擦阻力．当导体棒上升h =3.8m 时获得稳定速度，此时导体棒上产生的热量Q =2J ，电动机牵引导体棒时，电压表和电流表的读数分别为7V 和1A ，电动机内阻r =1Ω．求：①导体棒达到的稳定速度是多少？②导体棒从开始运动，达到稳定速度所需时间？
解析：①电动机输出功率P 出=UI －I 2r =6W ．导体棒的速度达到稳定时：
且始终紧贴竖直放置的U 形导轨，导轨两条互相平行的竖直边间距为L =1m ，磁感应强度B=1T 的匀强磁场垂直导轨向里，不计导轨电阻和一切摩擦阻力．当导体棒上升h =3.8m 时获得稳定速度，此时导体棒上产生的热量Q =2J ，电动机牵引导体棒时，电压表和电流表的读数分别为7V 和1A ，电动机内阻r =1Ω．求：①导体棒达到的稳定速度是多少？②导体棒从开始运动，达到稳定速度所需时间？
（11）
自主招生试题
• 1. (2013年卓越大学联盟)某同学用图ａ所示的实验装置验
证碰撞中动量守恒，他用两个质量相等、大小相同的钢球
A、B进行实验。
首先该同学使球A自斜槽某一高度由静止
释放，从槽的末端水平飞出，测出球A落在水平地面上的
点P与球飞出点在地面上垂直投影Ｏ的距离L OP。
然后该
同学使球A自同一高度由静止释放，在槽的末端与静止的
球B发生非对心弹性碰撞(如图b所示)，碰撞后两球向不
同方向运动，测出两球落地点M、N与Ｏ点间的距离L OM、
L ON。
该同学多次重复上述实验过程，并将测量值取平均。
•①下列关系正确的是___________________（填字母代
号）
•A．L OP=L OM+L ON
•B．L OP<L OM+L ON
•C．L OP>L OM+L ON
•②根据实验原理，试推导出OM与ON间夹角的大小。
2.(20 分) （2013北约自主招生）质量为M、半径为R 的匀质水
平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。
圆盘中心处有
一只质量为m 的小青蛙(可处理成质点)，小青蛙将从静止跳出
圆盘。
为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分
速度记为v
x
，竖直向上的分速度记为v
y
，合成的初始速度大
小记为v，将圆盘后退的速度记为u。
(1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。
(1.1)对给定的vx，可取不同的vy，试导出跳起过程中青蛙所
做功W 的取值范围，答案中可包含的参量为M、R、m、g(重
力加速度)和vx。
(1.2)将(1.1)问所得W 取值范围的下限记为W
，不同的vx对应
不同的W
值，试导出其中最小者Wmin，答案中可包含的参
量为M、R、m 和g。
(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘，青蛙
从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹
角为45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。
跳起过程
中青蛙所作功记为W’，试求W’与(1.2)问所得Wmin间的比值
γ=W’/ Wmin，答案中可包含的参量为M 和m
•
3.(18
分) (2013年卓越大学联盟)如图所示，可视为质点的三个物块A 、B 、C 质量分别为m 1、m 2、m 3，三物块间有两根轻质弹簧a 、b ，其原长均为L0，劲度系数分别为k a 、k b 。
a 的两端与物块连接，b 的两端与物块只接触不连接。
a 、b 被压缩一段距离后，分别由质量忽略不计的硬质连杆锁定，此时b 的长度为L ，整个装置竖直置于水平地面上，重力加速度为g 。
(1)现解开对a 的锁定，若当B 到达最高点时，A 对地面压力恰为零，求此时C 距地面的高度H ；
(2)在B 到达最高点瞬间，解除a 与B 的连接。
并撤走A 与a ，同时解除对b 的锁定。
设b 恢复形变时间极短，此过程中弹力冲量远大于重力冲量，求C 的最大速度的大小v 3(弹簧的弹性势能可以表示为，其中为弹簧的形量)；(3)求C 自b 解锁瞬间至恢复原长时上升的高度h 。
•4．（12分）（2012卓越自主招生）一质
量为m=40kg 的孩童，站在质量为M=20kg 的长木板的一端，孩童与木板在水平光滑冰面上以v0=2m/s 的速度向右运动。
若孩童以a=2m/s2相对木板的匀加速度跑向另一端，并从端点水平跑离木板时，木板恰好静止。
（1）判断孩童跑动的方向；
（2）求出木板的长度L 。
•5.（2011复旦大学）在一根长的水平杆上穿着5个质量相同的珠子，珠子可以在水平杆上无摩擦地运动。
初始时若各个珠子可以有任意的速度大小和方向，·则它们之间最多可以碰撞次。
•A ．4 B ．5 C ．8 D ．10
•6．（14分）（2011北约）平直铁轨上停着一节质量为M=2m 的小车厢。
可以忽略车厢与水平铁轨之间的摩擦。
有N 名组员沿铁轨方向列队前行，另有一名组长在最后，每名组员的质量同为m 。
•（1）当组员和组长发现前面车厢时，都以相同速度v 0跑步，每名组员在接近车厢时又以2v 0速度跑着上车坐下。
组长却因跑步速度没有改变而恰好未追上车，试求N 。
•（2）组员们上车后，组长前进速度减小为v 0/2，车上的组员朝着车厢前行方向一个接一个水平跳下，组员离开车厢瞬间相对车厢速度大小同为u ，结果又可使组长也能追上车。
试问：跳车过程中组员们总共消耗掉人体中多少内能？
•7．（12分）（2010北京大学）如图所示，光滑平面上，两个相隔一定距离的小球分别以v 0和0.8v 0反向匀速运动，它们中间另有两个小球（小球1和小球2）将一弹簧压紧，小球1和小球2的质量分别为m 和2m ，弹簧的弹性势能为Ep 。
现将弹簧由静止释放，求：
•（1）小球1和小球2各自的速度。
•（2）若小球1能追上左边的以v 0运动的球，而小球2不能追上右边以0.8v 0运动的球，求m 的取值范围。
