5.6几何证明举例(2)

5.6.5几何证明举例---HL定理及已知一直角边和斜边作直角三角形的尺规作图学习目标1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理及解决实际问题。

教学重点应用直角三角形全等的“HL”判定定理解决问题。

教学难点证明“HL”定理的思路的探究和分析。

教学过程（一）初步探究：HL的证明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？写出你的证明过程？（二）HL应用：用三角尺可以作角平线如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线，你能说出它的理由吗？（三）再次探究：三角形全等条件的探索如图，已知∠ACB=BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来。

（四）尺规作图：已知线段l，m（l＜ｍ），求作：Ｒｔ△ＡＢＣ，使直角边ＡＣ等于ｌ，斜边ＡＢ等于ｍ。

（五）课堂练习1、判断下列命题的真假，并说明理由。

（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。

（2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。

（3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。

2.如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.（六）当堂检测1、已知：如图（1），AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）.（1）（2）（3）2、已知：如图（2），BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.3、已知：如图（3），AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=（_______）反思。

§5.6 几何证明举例（2）教学目标：1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。

3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。

4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。

教学重、难点：重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。

教学准备：电子白板、直尺、圆规、直角三角板教学过程一、情境导入、复习回顾1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步)（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。

证明：等腰三角形的两个底角相等。

已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C法1证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)∠BAD = ∠CAD (已证)AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)法2证明：作BC边上的中线 AD∴ BD = CD (中线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)BD = CD （已证）AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD( SSS )∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)（2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作AD⊥BC,垂足为D则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)，在△ABD和△ACD中，∵∠B=∠C (已知)，∠ADB=∠ADC=90°(已证)AD=AD (公共边)∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)(3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：(鼓励学生当老师讲给其他同学听)①等边三角形的每个内角都是60°②三个角都相等的三角形是等边三角形。

5.6 几何证明举例1. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB的延长线于点E，连接CE. 求证：∠BCE=∠A +∠ACB .（第1题图）2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D. 求证：∠CAB=∠AED.（第2题图）3. 如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB 边，BC边于点E，F．求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P．（第3题图）4. 如图，在△ABD中，∠BAC= 90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H. 求证：AE =FH.（第4题图）5. 如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，AB=AC.（1）如果DE∥BC，求证：AD=AE.（2）如果AD=AE，求证：DE∥BC.（第5题图）6. 如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.（第6题图）7. 如图，E，F是线段BC上两点，AB∥CD，AB=DC，CE=BF. 求证：AE=DF.（第7题图）8. 如图，DE∥BC，A是DE上一点，AD=AE，AB=AC. 求证：BE=CD.（第8题图）9. 如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC=BC，点E在AC上，且CE=CD. 连接BE 并延长交AD于点F. 求证：BF⊥AD.（第9题图）10. 如图，AC与BD相交于点O，且AC=BD，AD=BC. 求证：OA=OB.（第10题图）答案1. 证明：∵BC 的垂直平分线交BC 于点D ， ∴BE =CE ， ∴∠BCE =∠CBE .∵∠CBE =∠A +∠ACB ，∴∠BCE =∠A +∠ACB .2. 证明：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA =EB ， ∴∠EAB =∠B .∵∠C =90°，∴∠CAB +∠B =90°.又∵∠AED +∠EAB =90°，∴∠CAB =∠AED .3.证明：∵P 是AB 边的垂直平分线上的一点， ∴P A = PB ．同理可得，PB = PC ．∴P A =PC ．∴P 是AC 边的垂直平分线上的一点． ∴AB ，BC ，AC 的垂直平分线相交于点P ．4. 证明：∵BF 平分∠ABC ，F A ⊥AB ，FH ⊥BC ， ∴F A =FH ，∠ABF =∠EBD .又∵∠AFB +∠ABF = 90°，∠DEB +∠EBD = 90°， ∴∠AFB =∠DEB ，∴∠AFB =∠AEF .∴AF =AE .∴AE =FH .5. 证明：（1）∵AB =AC ，∴∠B =∠C .∵DE ∥BC ，∴∠B=∠ADE ，∠C=∠AED .∴∠ADE=∠AED ，∴AD =AE .（2）∵AD =AE ，∴∠ADE=∠AED=21（180°-∠A ）. ∵AB =AC ，∴∠B =∠C=21（180°-∠A ）. ∴∠B=∠ADE ，∴DE ∥BC .6. 证明：连接AD .在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，AD AD DC DB AC AB∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠B =∠C .7. 证明：∵CE =BF ，∴CE+EF =BF+EF ，即CF =BE .∵AB ∥CD ，∴∠B =∠C .在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，CF BE C B DC AB∴△ABE ≌△DCF （SSS ），∴AE =DF .8. 证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .∵BC ∥DE ，∴∠DAB =∠ABC ，∠EAC =∠ACB ， ∴∠DAB =∠EAC ，∴∠DAC =∠EAB .在△DAC 和△EAB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AC AB EAC DAC AE AD∴△DAC ≌△EAB （SAS ），∴BE =CD .9. 证明：∵AC ⊥DB ，∴∠BCE =∠ACD = 90°.在△BCE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AC BC BCE ACD CD CE∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴∠CBE=∠CAD . ∵在△ACD 中，∠CAD +∠ACD +∠D= 180°， 在△BDF 中，∠CBE +∠BFD +∠D= 180°，∴∠CAD +∠ACD +∠D=∠CBE +∠BFD +∠D= 180°， ∴∠ACD=∠BFD=90°，即BF ⊥AD .10. 证明：连接AB .在△ABD 和△BAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，BA AB BC AD AC BD∴△ABD ≌△BAC （SSS ），∴∠BDA=∠ACB .在△AOD 和△BOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，BC AD OCB ODA BOC AOD∴△AOD ≌△BOC （AAS ），∴OA=OB .。

初中数学青岛版八年级上册高效课堂资料第五章几何证明初步一、地位和作用：本章是在学习了角、平行线、平面图形的认识，轴对称和轴对称图形以及全等形与相似形的基础上安排学习的，在这之前，学生已经积累了一定的观察、实验、归纳、猜测、交流与反思等数学活动经验，探索出了一些基本的平面图形的性质和判定方法，具有了一定的作图、表达的技能和合情推理的能力。

因此学习平面图形的性质证明，体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握演绎推理的基本格式，已势在必然！本章只是几何证明初步，目的在于使学生掌握基本的证明格式，体会通过合情推理探索的某些结果，运用演绎推理加以证明，从而获取数学结论的过程，这是继续学习平行四边形、圆以及高中数学知识的重要基础。

二、重点、难点和关键本章的重点：知道利用反例可以判断一个命题是错误的；学会用综合法证明的格式，会利用全等三角形证明角平分线和线段垂直平分线的定理，以及等腰三角形和直角三角形的性质定理和判定定理。

难点：区分命题的条件和结论，推理论证能力的培养，以及反证法是本章教学的难点。

解决难点的关键是，按照教科书的安排，一步一步地，循序渐进地、由简到繁地引入推理证明，培养推理论证能力。

三、教学目标:(1)通过实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。

（2）会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立（3）知道证明的意义和证明的必要性，学会综合法证明的格式。

（4）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。

（5）掌握《标准》列出的8条基本事实（6）能证明平行线的性质定理和判定定理，对顶角相等，余（补）角的性质定理；三角形的内角和定理，AAS定理角平分线的性质定理及逆定理，线段垂直平分线性质定理和逆定理；HL定理（7）会利用基本作图已知一直角边和斜边作直角三角形（8）体会通过和清推论探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，感受数学的基本思想和思维方式，培养学生的推理能力。

新旧版青岛版初中数学教材（总目录）对照旧版青岛版初中数学教材七年级上册第1章基本的几何图形1.1我们身边的图形世界1.2几何图形1.3线段、射线和直线1.4线段的比较与作法第2章有理数2.1有理数2.2数轴2.3相反数与绝对值第3章有理数的运算3.1有理数的加法与减法3.2有理数的乘法与除法3.3有理数的乘方3.4有理数的混合运算3.5利用计算器进行有理数的运算第4章数据的收集、整理与描述4.1普查和抽样调查4.2简单随机抽样4.3数据的整理4.4扇形统计图第5章代数式与函数的初步认识5.1用字母表示数5.2代数式5.3代数式的值5.4生活中的常量与变量5.5函数的初步认识第6章整式的加减6.1单项式与多项式6.2同类项6.3去括号6.4整式的加减第7章数值的估算7.1生活中的数值估算7.2近似数和有效数字7.3估算的应用与调整第8章一元一次方程7.1等式的基本性质7.2一元一次方程7.3一元一次方程的解法7.4一元一次方程的应用2022新版青岛版初中数学教材七（上）（60课时）第1章基本的几何图形（8课时）1.1我们身边的图形世界1课时1.2几何图形2课时1.3线段、射线和直线2课时1.4线段的比较和作法2课时回顾与总结1课时第2章有理数（5课时）2.1有理数1课时2.2数轴2课时2.3相反数与绝对值1课时回顾与总结1课时第3章有理数的运算（13课时）3.1有理数的加法与减法4课时3.2有理数的乘法与除法3课时3.3有理数的乘方2课时3.4有理数的混合运算1课时3.5用计算器进行有理数运算1课时回顾与总结2课时第4章数据的收集、整理与描述（6课时）4.1普查与抽样调查1课时4.2简单随机抽样1课时4.3数据的整理1课时4.4扇形统计图2课时回顾与总结1课时第5章代数式与函数的初步认识（8课时）5.1用字母表示数1课时5.2代数式2课时5.3代数式的值1课时5.4生活中的常量与变量2课时5.5函数的初步认识1课时回顾与总结1课时综合与实践你知道的数学公式2课时第6章整式的加减（6课时）6.1单项式与多项式1课时6.2同类项2课时6.3去括号1课时6.4整式的加减1课时回顾与总结1课时第7章一元一次方程（12课时）7.1等式的基本性质1课时7.2一元一次方程1课时7.3一元一次方程的解法2课时7.4一元一次方程的应用6课时回顾与总结2课时七年级下册第9章角9.1角的表示9.2角的比较9.3角的度量9.4对顶角9.5垂直第10章平行线10.1同位角10.2平行线和它的画法10.3平行线的性质10.4平行线的判定第11章图形与坐标11.1怎样确定平面内点的位置11.2平面直角坐标系11.3直角坐标系中的图形11.4函数与图象11.5一次函数和它的图象第12章二元一次方程组12.1认识二元一次方程组12.2向一元一次方程转化12.3图象的妙用12.4列方程组解应用题第13章走进概率13.1天有不测风云13.2确定事件与不确定事件13.3可能性的大小13.4概率的简单计算课题学习掷币中的思考第14章整式的乘法14.1同底数幂的乘法与除法14.2指数可以是零和负整数吗14.3科学记数法14.4积的乘方与幂的乘方14.5单项式的乘法14.6多项式乘多项式第15章平面图形的认识15.1三角形15.2多边形15.3多边形的密铺15.4圆的初步认识15.5用直尺和圆规作图七（下）（61课时）第8章角（7课时）8.1角的表示1课时8.2角的比较1课时8.3角的度量2课时8.4对顶角1课时8.5垂直1课时回顾与总结1课时第9章平行线（6课时）9.1同位角、内错角、同旁内角1课时9.2平行线和它的画法1课时9.3平行线的性质1课时9.4平行线的判定2课时回顾与总结1课时第10章一次方程组（9课时）10.1认识二元一次方程组1课时10.2二元一次方程组的解法2课时某10.3三元一次方程组2课时10.4列方程组解应用题3课时回顾与总结1课时第11章整式的乘除（14课时）11.1同底数幂的乘法1课时11.2积的乘方与幂的乘方2课时11.3单项式的乘法2课时11.4多项式的乘法2课时11.5同底数幂的除法1课时11.6零指数幂和负整数指数幂4课时回顾与总结2课时第12章乘法公式和因式分解（7课时）12.1平方差公式1课时12.2完全平方公式2课时12.3用提公因式法进行因式分解1课时12.4用公式法进行因式分解2课时回顾与总结1课时第13章平面图形的认识（10课时）13.1三角形4课时13.2多边形2课时13.3圆2课时回顾与总结2课时综合与实践多边形的密铺2课时第14章位置与坐标（6课时）14.1用有序数对表示位置1课时14.2平面直角坐标系1课时14.3直角坐标系中的简单图形2课时14.4用方向和距离描述两个物体的相对位置1课时回顾与总结1课时八年级上册第1章轴对称与轴对称图形1.1我们身边的轴对称图形1.2线段的垂直平分线1.3角的平分线1.4等腰三角形1.5成轴对称的图形的性质1.6镜面对称1.7简单的图案设计第2章乘法公式与因式分解2.1平方差公式2.2完全平方公式2.3用提公因式法进行因式分解2.4用公式法进行因式分解第3章分式3.1分式的基本性质3.2分式的约分3.3分式的乘法与除法3.4分式的通分3.5分式的加法与减法3.6比和比例3.7分式方程第4章样本与估计4.1普查与抽样调查4.2样本的选取4.3加权平均数4.4中位数4.5众数4.6用计算器求平均数课题学习学生课外生活情况的调查第5章实数5.1算术平方根5.2勾股定理5.32是有理数吗5.4由边长判定直角三角形5.5平方根5.6立方根5.7方根的估算5.8用计算器求平方根和立方根5.9实数第6章一元一次不等式6.1不等关系和不等式6.2一元一次不等式6.3一元一次不等式组八（上）(59课时)第1章全等三角形（9课时）1.1全等三角形1课时1.2怎样判定三角形全等4课时1.3尺规作图3课时回顾与总结1课时第2章图形的轴对称（12课时）2.1图形的轴对称1课时2.2轴对称的基本性质2课时2.3轴对称图形1课时2.4线段的垂直平分线2课时2.5角的平分线1课时2.6等腰三角形3课时回顾与总结2课时第3章分式（15课时）3.1分式和它的基本性质2课时3.2分式的约分1课时3.3分式的乘法和除法1课时3.4分式的通分1课时3.5分式的加法与减法2课时3.6比和比例3课时3.7分式方程3课时回顾与总结2课时第4章数据分析（9课时）4.1加权平均数2课时4.2中位数1课时4.3众数1课时4.4数据的离散程度1课时4.5方差2课时4.6用计算器求平均数及方差1课时回顾与总结1课时综合与实践统计开放日模拟现场会（暂定）2课时第5章几何证明初步（12课时）5.1定义与命题1课时5.2为什么要证明1课时5.3什么是几何证明1课时5.4平行线的性质定理和判定定理1课时5.5三角形内角和定理2课时5.6几何证明举例4课时回顾与总结2课时八年级下册第7章二次根式7.1二次根式及其性质7.2二次根式的加减法7.3二次根式的乘除法第8章平面图形的全等与相似8.1全等形与相似形8.2全等三角形8.3怎样判定三角形全等8.4相似三角形8.5怎样判定三角形相似8.6相似多边形课题学习有趣的分形图第9章解直角三角形9.1锐角三角比9.230，45，60角的三角比9.3用计算器求锐角三角比9.4解直角三角形9.5解直角三角形的应用第10章数据离散程度的度量10.1数据的离散程度10.2极差10.3方差与标准差10.4用科学计算器计算方差和标准差第11章几何证明初步11.1定义与命题11.2为什么要证明11.3什么是几何证明11.4三角形内角和定理11.5几何证明举例11.6反证法八（下）(61课时)第6章平行四边形（11课时）10.1平行四边形及其性质2课时10.2平行四边形的判定2课时10.3特殊的平行四边形4课时10.4三角形中位线定理1课时回顾与总结2课时第7章实数（15课时）6.1算术平方根1课时6.2勾股定理1课时6.32是有理数吗2课时6.4由边长判定直角三角形2课时6.5平方根1课时6.6立方根1课时6.7用计算器求平方根与立方根2课时6.8实数3课时回顾与总结2课时第8章一元一次不等式（8课时）7.1不等式的基本性质2课时7.2一元一次不等式2课时7.3列一元一次不等式解应用题1课时7.4一元一次不等式组2课时回顾与总结1课时第9章二次根式（7课时）8.1二次根式和它的性质3课时8.2二次根式的加减法1课时8.3二次根式的乘法和除法2课时回顾与总结1课时第10章一次函数（9课时）9.1函数的图象2课时9.2一次函数和它的图象2课时9.3一次函数的性质1课时9.4一次函数与二元一次方程1课时9.5一次函数与一元一次不等式2课时回顾与总结1课时综合与实践从函数图象中获取信息2课时第11章图形的平移和旋转（9课时）11.1图形的平移3课时11.2图形的旋转3课时11.3图形的中心对称2课时回顾与总结1课时综合与实践哪条路径最短九年级上册第1章特殊四边形1.1平行四边形及其性质1.2平行四边形的判定1.3特殊的平行四边形1.4图形的中心对称1.5梯形1.6中位线定理第2章图形变换2.1图形的平移2.2图形的旋转2.3图形的位似第3章一元二次方程3.1一元二次方程3.2用配方法解一元二次方程3.3用公式法解一元二次方程3.4用因式分解法解一元二次方程3.5一元二次方程的应用第4章对圆的进一步认识4.1圆的对称性4.2确定圆的条件4.3圆周角4.4直线与圆的位置关系4.5三角形的内切圆4.6圆与圆的位置关系4.7弧长及扇形面积的计算九（上）（62课时）第1章相似多边形（12课时）1.1相似多边形1课时1.2相似三角形的判定5课时1.3相似三角形的性质1课时1.4图形的位似2课时回顾与总结2课时第2章解直角三角形（11课时）2.1锐角三角比1课时2.230°，45°，60°角的三角比1课时2.3用计算器求锐角三角比2课时2.4解直角三角形2课时2.5解直角三角形的应用3课时回顾与总结2课时第3章对圆的进一步认识（18课时）3.1圆的对称性3课时3.2确定圆的条件2课时3.3圆周角3课时3.4直线与圆的位置关系4课时3.5三角形的内切圆1课时3.6弧长与扇形面积计算1课时3.7正多边形与圆2课时回顾与总结2课时综合与实践图形变化与图案设计2课时第4章一元二次方程（13课时）4.1一元二次方程2课时4.2用因式分解法解一元二次方程1课时4.3用配方法解一元二次方程2课时4.4用公式法解一元二次方程3课时某4.5一元二次方程根与系数的关系1课时4.6一元二次方程的应用2课时回顾与总结2课时第5章走进概率（7课时）5.1随机事件1课时5.2概率的意义1课时5.3概率的简单计算2课时5.4用列举法计算概率2课时回顾与总结1课时九年级下册第5章对函数的再探索5.1函数与它的表示法5.2一次函数与一元一次不等式5.3反比例函数5.4二次函数5.5二次函数ya某2的图象和性质5.6二次函数ya某2b某c的图象和性质5.7确定二次函数的解析式5.8二次函数的应用5.9用图象法解一元二次方程第6章频率与概率6.1频数与频率6.2频数分布直方图6.3用频率估计概率6.4用树状图计算概率课题学习质数的分布第7章空间图形的初步认识7.1几种常见的几何体7.2棱柱的侧面展开图7.3圆柱、圆锥的侧面展开图第8章投影与识图8.1从不同的方向看物体8.2盲区8.3影子和投影8.4正投影8.5物体的三视图九（下）（41课时）第6章对函数的再探索（17课时）6.1函数与它的表示法3课时6.2反比例函数3课时6.3二次函数1课时6.4二次函数y=a某2的图象和性质1课时6.5二次函数y=a某2+b某+c的图象和性质3课时某6.6确定二次函数的解析式1课时6.7二次函数与一元二次方程1课时6.8二次函数的应用2课时回顾与总结2课时第7章频率与概率（7课时）7.1频数与频率1课时7.2频数直方图2课时7.3用频率估计概率2课时7.4随机现象的发展趋势1课时回顾与总结1课时综合与实践质数的分布2课时第8章几种简单的几何体（8课时）8.1几种常见的几何体1课时8.2直棱柱的侧面展开图2课时8.3圆柱的侧面展开图2课时8.4圆锥的侧面展开图2课时回顾与总结1课时第9章投影与视图（7课时）9.1中心投影1课时9.2平行投影3课时9.3物体的三视图2课时回顾与总结1课时青岛版数学教材在课程内容上的调整本次修订时需要增加或加强的内容共23条，分别落实在各册的有关章节：“数与代数”部分：（1）“知道|a|的含义”，在原实验教科书七（上）第2.3节已经体现,修订稿仍在七（上）第2.3节中出现。

5.6几何证明举例（4）角平分线的性质定理和逆定理教学设计教学目标1 学会证明角平分线的性质定理及其逆定理，理解定理的作用，并会运用定理证明有关的命题。

2 掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证题的思路。

3 进一步体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程。

复习回顾：角平分线的性质是什么在∠AOB的角平分线OC上任意取一点P,过点P作PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别是点D,E,用圆规比较PDPE的大小，你有什么发现？角平分线上的点到这个角的两边的距离相等用推理的方法证明角平分线的性质如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE证明:∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2∴△PDO≌△PEO (AAS)∴PD=PE就得到角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．几何语言1：∵OP平分∠AOB，PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴PD=PE.几何语言2：∵∠1= ∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴PD=PE.若已知OP为角平分线，超市P到道路OA 的距离为600米，求P到道路OB的距离。

如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA于点D. 点E是射线OB上的一个动点，若PD=2. 则PE的最小值为[ ]A.1B.2C.3D.4反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，点M、N为垂足，PM＝PN．求证：点P在∠ABC的平分线上．证明：连接MN 连接BP并延长∵PM=PN∴△PMN是等腰三角形∴∠PMN=∠PNM∵PM⊥AB PN⊥BC∴∠PMB=∠PNB∴∠BMN=∠BNM∴△BMN是等腰三角形∴BM=BN又∵BP=BP∴△PBM≌△PBN（SSS）∴∠ABD=∠CBD∴点P在∠ABC的平分线上于是就有角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上用符号语言表示为:∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上填空：(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE∴__________(_ ______________________________________________)定理的具体运用命题:三角形三个角的平分线相交于一点.基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.已知：△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,.求证：点P在∠BAC的平分线上证明：过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D∵BM平分∠ABC,点P在BM上,PD⊥AB,PE⊥BC∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF. ∴PD=PF.∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.当堂达标课本练习1 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，点E，F为垂足，D是BE与CF的交点，AD平分∠BAC求证：BD＝CD练习2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC ，AD是∠A的平分线求证：AB=AC+CD小结这节课我们学到了什么？①掌握了角平分线的性质定理及其逆定理.②利用角平分线性质定理证明两条线段相等.学情分析学生缺乏具体的自主探究几何的机会，只是培养了学生的几何证明思路。

七（上）（60课时）第1章基本的几何图形（8课时）1.1 我们身边的图形世界1课时1.2 几何图形2课时1.3 线段、射线和直线2课时1.4 线段的比较和作法2课时回顾与总结1课时第2章有理数（5课时）2.1 有理数1课时2.2 数轴2课时2.3 相反数与绝对值1课时回顾与总结1课时第3章有理数的运算（13课时）3.1 有理数的加法与减法4课时3.2 有理数的乘法与除法3课时3.3 有理数的乘方2课时3.4 有理数的混合运算1课时3.5 用计算器进行有理数运算1课时回顾与总结2课时第4章数据的收集、整理与描述（6课时）4.1 普查与抽样调查1课时4.2 简单随机抽样1课时4.3 数据的整理1课时4.4 扇形统计图2课时回顾与总结1课时第5章代数式与函数的初步认识（8课时）5.1 用字母表示数1课时5.2 代数式2课时5.3 代数式的值1课时5.4 生活中的常量与变量2课时5.5 函数的初步认识1课时回顾与总结1课时综合与实践你知道的数学公式2课时第6章整式的加减（6课时）6.1 单项式与多项式1课时6.2 同类项2课时6.3 去括号1课时6.4 整式的加减1课时回顾与总结1课时第7章一元一次方程（12课时）7.1 等式的基本性质1课时7.2 一元一次方程1课时7.3 一元一次方程的解法2课时7.4 一元一次方程的应用6课时回顾与总结2课时七（下）（61课时）第8章角（7课时）8.1 角的表示1课时8.2 角的比较1课时8.3 角的度量2课时8.4 对顶角1课时8.5 垂直1课时回顾与总结1课时第9章平行线（6课时）9.1 同位角、内错角、同旁内角1课时9.2 平行线和它的画法1课时9.3 平行线的性质1课时9.4 平行线的判定2课时回顾与总结1课时第10章一次方程组（9课时）10.1 认识二元一次方程组1课时10.2 二元一次方程组的解法2课时*10.3 三元一次方程组2课时10.4 列方程组解应用题3课时回顾与总结1课时第11章整式的乘除（14课时）11.1 同底数幂的乘法1课时11.2 积的乘方与幂的乘方2课时11.3 单项式的乘法2课时11.4 多项式的乘法2课时11.5 同底数幂的除法1课时11.6 零指数幂和负整数指数幂4课时回顾与总结2课时第12章乘法公式和因式分解（7课时）12.1 平方差公式1课时12.2 完全平方公式2课时12.3 用提公因式法进行因式分解1课时12.4 用公式法进行因式分解2课时回顾与总结1课时综合与实践多边形的密铺2课时第13章平面图形的认识（10课时）13.1 三角形4课时13.2 多边形2课时13.3 圆2课时综合与实践多边形的密铺2课时第14章位置与坐标（6课时）14.1 用有序数对表示位置1课时14.2 平面直角坐标系1课时14.3 直角坐标系中的简单图形2课时14.4 用方向和距离描述两个物体的相对位置1课时八（上）(59课时)第1章全等三角形（9课时）1.1 全等三角形1课时1.2 怎样判定三角形全等4课时1.3 尺规作图3课时回顾与总结1课时第2章图形的轴对称（12课时）2.1 图形的轴对称1课时2.2 轴对称的基本性质2课时2.3 轴对称图形1课时2.4 线段的垂直平分线2课时2.5 角的平分线1课时2.6 等腰三角形3课时第3章分式（15课时）3.1 分式和它的基本性质2课时3.2 分式的约分1课时3.3 分式的乘法和除法1课时3.4 分式的通分1课时3.5 分式的加法与减法2课时3.6 比和比例3课时3.7 分式方程3课时回顾与总结2课时第4章数据分析（9课时）4.1 加权平均数2课时4.2 中位数1课时4.3 众数1课时4.4 数据的离散程度1课时4.5 方差2课时4.6 用计算器求平均数及方差1课时回顾与总结1课时第5章几何证明初步（12课时）5.1 定义与命题1课时5.2 为什么要证明1课时5.3 什么是几何证明1课时5.4 平行线的性质定理和判定定理1课时5.5 三角形内角和定理2课时5.6 几何证明举例4课时回顾与总结2课时八（下）(61课时)第6章实数（15课时）6.1 算术平方根1课时6.2 勾股定理1课时6.3 2是有理数吗2课时6.4 由边长判定直角三角形2课时6.5 平方根1课时6.6 立方根1课时6.7 用计算器求平方根与立方根2课时6.8 实数3课时回顾与总结2课时第7章一元一次不等式（8课时）7.1 不等式的基本性质2课时7.2 一元一次不等式2课时7.3 列一元一次不等式解应用题1课时7.4 一元一次不等式组2课时回顾与总结1课时第8章二次根式（7课时）8.1 二次根式和它的性质3课时8.2 二次根式的加减法1课时8.3 二次根式的乘法和除法2课时回顾与总结1课时第9章一次函数（9课时）9.1 函数的图象2课时9.2 一次函数和它的图象2课时9.3 一次函数的性质1课时9.4 一次函数与二元一次方程1课时9.5 一次函数与一元一次不等式2课时回顾与总结1课时综合与实践从函数图象中获取信息2课时第10章平行四边形（11课时）10.1 平行四边形及其性质2课时10.2 平行四边形的判定2课时10.3 特殊的平行四边形4课时10.4 三角形中位线定理1课时回顾与总结2课时第11章图形的平移和旋转（9课时）11.1 图形的平移3课时11.2 图形的旋转3课时11.3 图形的中心对称2课时回顾与总结1课时九（上）（62课时）第1章相似多边形（12课时）1.1 相似多边形1课时1.2 相似三角形的判定5课时1.3 相似三角形的性质1课时1.4 图形的位似2课时回顾与总结2课时第2章解直角三角形（11课时）2.1 锐角三角比1课时2.2 30°，45°，60°角的三角比1课时2.3 用计算器求锐角三角比2课时2.4 解直角三角形2课时2.5 解直角三角形的应用3课时回顾与总结2课时第3章对圆的进一步认识（18课时）3.1 圆的对称性3课时3.2 确定圆的条件2课时3.3 圆周角3课时3.4 直线与圆的位置关系4课时3.5 三角形的内切圆1课时3.6 弧长与扇形面积计算1课时3.7 正多边形与圆2课时回顾与总结2课时综合与实践图形变化与图案设计2课时第4章一元二次方程（13课时）4.1 一元二次方程2课时4.2 用因式分解法解一元二次方程1课时4.3 用配方法解一元二次方程2课时4.4 用公式法解一元二次方程3课时*4.5 一元二次方程根与系数的关系1课时4.6一元二次方程的应用2课时回顾与总结2课时第5章走进概率（7课时）5.1 随机事件1课时5.2 概率的意义1课时5.3 概率的简单计算2课时5.4 用列举法计算概率2课时回顾与总结1课时九（下）（41课时）第6章对函数的再探索（17课时）6.1 函数与它的表示法3课时6.2 反比例函数3课时6.3 二次函数1课时6.4 二次函数y=ax2的图象和性质1课时6.5 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质3课时*6.6 确定二次函数的解析式1课时6.7 二次函数与一元二次方程1课时6.8 二次函数的应用2课时回顾与总结2课时第7章频率与概率（7课时）7.1 频数与频率1课时7.2 频数直方图2课时7.3 用频率估计概率2课时7.4 随机现象的发展趋势1课时回顾与总结1课时综合与实践质数的分布2课时第9章投影与视图（7课时）9.1 中心投影1课时9.2 平行投影3课时9.3 物体的三视图2课时回顾与总结1课时。

年级八年级学科数学第五单元第10 课时总计课时 2013年 11月 6日
§5.6 几何证明举例（4）
课程标准：了解角平分线及其性质。

学习目标：
1、证明角平分线的性质定理及其逆定理，并会运用它证明有关的命题。

2、掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证明的思路。

学习重点难点：
角的平分线的性质定理及其逆定理。

我的目标以及突破重难点的设想：
学前准备：
学情分析：
学案使用说明以及学法指导：
预习案
一、教材助读
1、角平分线的性质定理及其逆定理是什么？如何证明？
探究案
探究一：角的平分线的性质定理
在前面，我们利用实验的方法得出线角的平分线的性质：“角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等”，怎样用推理的方法证明它的真实性？
归纳总结：。

1
课型： 新授 执笔： 滕广福 审核： 韩增美 马海丽 2 探究二：角的平分线的性质定理的逆定理（合作交流）
（1）说出这个命题的逆命题？
（2）这个逆命题是真命题吗？怎样证明它的正确性？
（3）求证：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

已知：
求证：
三、应用新知
例：我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点，如何证明这个结论？
已知：如图，AM ，BN ，CP 是△ABC 的三条角平分线。

求证：AM ，BN ，CP 交于一点。

课堂小结：
练习案
课本184页 练习1,2题
我的反思：。