2019届四川省内江市高三上学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析

2019年内江市高考数学一模试卷(带答案)一、选择题1．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③2．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．173．已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．22B ．23 C ．28 D ．24 4．在二项式42n x x ⎛+ ⎪⎭的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ．16 B ．14C ．512D ．135．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{1,3,5}6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 7．已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b =（ ）A ．31,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．133,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．()1,08．函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．9．水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示,已知4B C ''=,3AC ''=,//'''B C y 轴,则ABC 中AB 边上的中线的长度为( )A ．732B ．73C ．5D ．5210．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．011．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->12．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A ．13B ．12C ．23D ．34二、填空题13．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.15．函数()23s 4f x in x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 16．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.17．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．18．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.19．设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 20．在ABC ∆中，若AB =3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．三、解答题21．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.22．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --的余弦值为6，求PF 的长度. 23．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,3AC BC B C ACB π==∠=（I ）求证：1//QB 平面11A ACC（Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.24．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ；（2）平面//EFG 平面11BDD B .25．已知数列｛n a ｝的前n 项和Sn ＝n 2－5n (n∈N +）．（1）求数列｛n a ｝的通项公式；（2）求数列｛12n n a +｝的前n 项和Tn . 26．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，5π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.【详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.2．B解析：B【解析】【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=，样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.3．D解析：D【解析】【分析】 根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324ba b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=cos ,422a ba b a b ⋅∴<>=== 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.4．C解析：C【解析】【分析】先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果【详解】 因为n 前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -⋅⋅∴=+⋅∴-= 163418118,0,1,2,82r rr r n n T C x r -+>∴=∴=⋅=，当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为636799512A A A =,选C. 【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.5．B解析：B【解析】【分析】先求出A B ⋃，阴影区域表示的集合为()U A B ⋃，由此能求出结果．【详解】全集{1,U =3，5，7}，集合{}1,3A =，{}3,5B =， {1,A B ∴⋃=3，5}，∴如图所示阴影区域表示的集合为：(){}7U A B ⋃=．故选B ．【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．6．D解析：D【解析】试题分析：根据题意可知34xi y i -=+，所以有3{4y x =-=，故所给的复数的模该为5，故选D.考点：复数相等，复数的模. 7．B解析：B【解析】【分析】设()(),0b x y y =≠，根据题意列出关于x 、y 的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量b 的坐标.【详解】设(),b x y =，其中0y ≠，则3a x y b ⋅=+=由题意得2210x y y y ⎧+=+=≠⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩13,2b ⎛= ⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.8．D解析：D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．9．A解析：A【解析】【分析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可.【详解】由斜二测画法规则知AC BC ⊥,即ABC 直角三角形,其中3AC =,8BC =,所以73AB =,所以AB 边上的中线的长度为732. 故选：A .【点睛】 本题主要考查了斜二测画法前后的图形关系,属于基础题型.10．C解析：C【解析】分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，由2,2BM MA CN NA == 可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()33BC MN ON OM ==-，由题意可知： 2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得： ()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-.本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11．A解析：A【解析】【分析】对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=，取112a =，得到当b 14=时，a 10＜10；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，得到当b ＝﹣2时，a 10＜10；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得λ=1a =，得到当b ＝﹣4时，a 10＜10；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥，4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12na +＞11322+=，由此推导出104a a ＞（32）6，从而a 1072964＞＞10． 【详解】 对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=， 取112a =，∴2111022n a a ==，，＜， ∴当b 14=时，a 10＜10，故B 错误； 对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10，∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得12λ±=取112a +=，∴212a +=，…，12n a +=10， ∴当b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥， 4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞， a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12na +＞11322+=，∴5445109323232a a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⎨⎪⋅⎪⋅⎪⎪⎪⎪⎩＞＞＞，∴104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10．故A 正确． 故选A ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.12．B解析：B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B. 【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. 二、填空题13．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．14．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程221 95x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,22P⎛-⎝⎭，所以1521512PFk==【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.15．1【解析】【详解】化简三角函数的解析式可得由可得当时函数取得最大值1解析：1【解析】【详解】化简三角函数的解析式，可得()22311cos cos 44f x x x x x =--=-++=2(cos 1x -+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 16．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+3i =-+==.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++17．6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线在上下移动的过程中结合的几何意义可以发现直线过B 点时取得最大值联立方程组求得点B 的坐标代入目标函数解析：6 【解析】 【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式3122y x z =-+，之后在图中画出直线32y x =-，在上下移动的过程中，结合12z 的几何意义，可以发现直线3122y x z =-+过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值. 【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+，可得3122y x z =-+， 画出直线32y x =-，将其上下移动， 结合2z的几何意义，可知当直线3122y x z =-+在y 轴截距最大时，z 取得最大值， 由220x y y --=⎧⎨=⎩，解得(2,0)B ，此时max 3206z =⨯+=，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.18．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径3393【解析】 【分析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况. 【详解】正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到21642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得到323sin 60= 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()223413h h -+=⇒=或 三棱锥的体积为：13ABCh S ⨯⨯代入数据得到1313313332⨯⨯⨯=或者1319333 3.324⨯⨯⨯= 3393【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.19．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同解析：－34【解析】 因为3sin sin αα＝()2sin sin ααα+＝22sin cos cos sin sin ααααα+＝()22221sin cos cos sin sin ααααα+-＝24sin cos sin sin αααα-＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝135，所以cos 2α＝45. 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34. 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计解析：1 【解析】 【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 22．（1）见解析；（2）3【解析】 【分析】（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得cos ,1m AB m AB m AB⋅===⋅，解方程即得解.【详解】（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥， 又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD =-，()1,2,0AC =，()1,0,0AB = 由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-，设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则00m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， ∴26cos ,321411m AB m AB m ABλλ⋅===⎛⎫⋅++ ⎪-⎝⎭，得13λ=或1λ=-（舍去），∴5PF =.【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）详见解析；（2431. 【解析】 【分析】（1）连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ，则四边形11A ACC 是正方形，点M 是1AC 的中点，推导出四边形11B C MQ 是平行四边形，从而11B Q C M ，由此能证明1B Q 平面11A ACC ．（2）以C 为原点，CB ，1CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A BB C --的平面角的余弦值． 【详解】证明：（1）如图所示，连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ． 因为四边形11A ACC 是正方形，所以点M 是1AC 的中点， 又已知点Q 是1A B 的中点，所以MQ BC ，且12MQ BC =， 又因为11B C BC ∥，且112BC B C =，所以11MQ B C ，且11MQ B C =， 所以四边形11B C MQ 是平行四边形，故11B Q C M ， 因1B Q ⊄平面11A ACC ，1C M ⊂平面11A ACC ，故1B Q 平面11A ACC ．（2）如图所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设1122AC BC B C ===， 则()3,1,0A-，()13,1,2A -，()0,2,0B ，()10,1,2B ，所以()113,2,0B A =-，()10,1,2B B =-．设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z =，则111·0·0m B A m B B ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即32020x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取4x =，则()4,23,3m =平面1CBB 的一个法向量()1,0,0n =，所以4431cos ,3131m n m n m n===． 故二面角11A BB C --的平面角的余弦值为43131．【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.24．（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】 证明： （1）如图，连接SB ，,E G 分别是,BC SC 的中点，//EG SB ∴.又SB ⊂平面11,BDD B EG ⊄平面11BDD B ，所以直线//EG 平面11BDD B . （2）连接,,SD F G 分别是,DC SC 的中点，//FG SD ∴.又∵SD ⊂平面11,BDD B FG ⊄平面11,BDD B//FG ∴平面11BDD B .又EG ⊂平面,EFG FG ⊂平面,EFG EG FG G ⋂=， ∴平面//EFG 平面11BDD B . 【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.25．（1）26()n a n n N +=-∈；（2）112n nn T -=-- 【解析】 【分析】（1）运用数列的递推式：11,1,1n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，计算可得数列｛n a ｝的通项公式；（2）结合（1）求得1322n n na n +-=，运用错位相减法,结合等比数列的求和公式，即可得到数列｛12nn a +｝的前n 项和n T . 【详解】（1）因为11,1,1n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，()25n S n n n N +=-∈所以114a S ==-, 1n >时,()()22515126n a n n n n n =---+-=- 1n =也适合，所以()+26N n a n n =-∈（2）因为1322n n na n +-=， 所以12121432222n n n n n T -----=++⋅⋅⋅++ 2311214322222n n n n n T +----=++⋅⋅⋅++ 两式作差得：1211211322222n n n n T +--=++⋅⋅⋅+- 化简得1111222n n n T +-=--， 所以112n nn T -=--. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.26．（1）340x y -+=；（2 【解析】 【分析】（1）求得()04A ，，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解． 【详解】（1）分别将()π42A ，，()5π4B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=． （2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．又直线A B 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r .又圆心到直线A B=r 的值为5．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题．。

内江市威远县2018-2019学年高三上学期9月月考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ｜（x ＋2)(x －2)≤0},N ＝{x |x －1＜0}，则M ∩N ＝( )A ．｛x ｜－2≤x ＜1｝B ．{x ｜－2≤x ≤1}C ．｛x |－2＜x ≤1｝D ．｛x |x ＜－2｝2．设i 是虚数单位，则复数（1－i)（1＋2i ）＝( )A ．3＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－1＋i3．已知函数f （x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x ）＝2x 2－1，则f （1)的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－24．用数字1,2，3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）A ．24B ．48C ．60D ．725．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ,若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于（ )A ．31B ．32C ．33D ．346、函数)42sin()(π-=x x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为( ）A ．－1B ．－错误!C 。

错误!D ．07．已知向量a ＝（cos α，－2)，b ＝（sin α，1),且a∥b ，则=-)4tan(πα( )A ．3B ．－3 C.错误! D ．－错误!8．下面命题中假命题是( )A ．∀x ∈R,3x ＞0B ．∃α，β∈R ,使sin （α＋β）＝sin α＋sin βC ．命题“∃x ∈R ,x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ,x 2＋1＞3x ”D ．∃m ∈R ，使22)(+=m mx x f 是幂函数，且在(0，＋∞）上单调递增9．若a ,b ∈｛－1,0，1，2｝，则函数f (x ）＝ax 2＋2x ＋b 有零点的概率为（ )A.错误!B.错误! C 。

2019届四川省高三上学期第一次月考数学（理）试题考试时间：120分钟；满分150分第I 卷（选择题）一、选择题1．已知i 是虚数单位，若172ia bi i+=+-（a ， b R ∈），则ab =（ ） A. 15- B. 3 C. 15 D. 3-2．已知集合(){}10A x x x =-<， {}e 1xB x =>，则=B AC R )(（ ）A. [)1,+∞B. ()0,+∞C. ()0,1D. []0,1 3．已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则（ ）A. :,sin 1p x R x ⌝∃∈≥B. :,sin 1p x R x ⌝∀∈≥C. :,sin 1p x R x ⌝∀∈>D. :,sin 1p x R x ⌝∃∈> 4．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将函数()f x 的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A. ()sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()sin 43g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. ()sin2g x x = 5．设函数()2log f x x =，则“a b >”是“()()f a f b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6．已知函数()1,1{3,1x x f x x x +<=-+≥ ，则52f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦等于（ ）A.12 B. 32 C. 52 D. 927．已知{}n a 是公差为1的等差数列， n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，是10a =（ ） A.172B. 192C. 10D. 128．定义在R 上的函数()x f 是奇函数，且(1)2f =，(2)()(2)f x f x f +=+，则(7)f = （ ）A ．8B ．10C ．12D ．149．在()62x -展开式中，二项式系数的最大值为m ，含5x 项的系数为n ，则nm=（ ） A.53 B. 53- C. 35 D. 35- 10．已知函数1log m y x =+（0m >且1m ≠）的图象恒过点M ，若直线1x ya b+=（0,0a b >>）经过点M ，则a b +的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 511．设21，F F 是双曲线)0,0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点错误！未找到引用源。

2019年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．（5分）（2019•内江一模）已知是i虚数单位，复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．分析：将原式的分子分母都乘以分母的共轭复数即可得出．解答：解：∵复数===﹣i．故选B．点评：熟练掌握复数的除法法则是解题的关键．2．（5分）（2019•内江一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=（）A．54 B．68 C．72 D．90考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式，将a4=18﹣a5化成2a1+7d=18．再由等差数列的求和公式，可得S8=4（2a1+7d）=72，从而得到本题答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=18﹣a5，∴a1+3d=18﹣（a1+4d），可得2a1+7d=18．∴S8=8=4（2a1+7d）=4×18=72 故选：C点评：本题给出等差数列第4、5两项和和，求它的前8项之和，着重考查了等差数列的通项公式与求和公式等知识，属于中档题．3．（5分）（2019•内江一模）已知a是f（x）=的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）＜0 B．f（x0）=0 C．f（x0）＞0 D．f（x0）的符号不确定考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得f（a）=0，再由函数f（x）的解析式可得函数在区间（0，+∞）上是增函数，结合0＜x0＜a，可得f（x0）＜0，从而得到答案．解答：解：∵已知a是f（x）=的零点，∴f（a）=0．再由函数f（x）的解析式可得函数在区间（0，+∞）上是增函数，且0＜x0＜a，可得f（x0）＜0，故选A．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的单调性的应用，属于基础题．4．（5分）（2019•内江一模）已知函数y=f（x），x∈R，数列{a n}的通项公式是a n=f（n），n∈N，那么函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：数列的函数特性．专题：规律型；探究型．分析：本题可通过函数的单调性与相应数列的单调性的联系与区别来说明，可以看到，函数增时，数列一定增，而数列增时，函数不一定增，由变化关系说明即可解答：解：由题意数y=f（x），x∈R，数列{a n}的通项公式是a n=f（n），n∈N，若函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”，则“数列{a n}是递增数列”一定成立若“数列{a n}是递增数列”，现举例说明，这种情况也符合数列是增数列的特征，如函数在[1，2]先减后增，且1处的函数值小，综上，函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”是“数列{a n}是递增数列”的充分不必要条件故选A．点评：本题考查数列的函数特性，解题的关键是认识到数列与函数的不同，数列是离散的，而函数提连续的，由这些特征对两个命题的关系进行研究即可5．（5分）（2019•内江一模）设向量=（1，sinθ），=（3sinθ，1），且∥，则cos2θ等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．专题：计算题．分析：根据向量平行时满足的条件，列出关系式，化简后得到sin2θ的值，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin2θ的值代入即可求出值．解答：解：∵∥，∴=，即sin2θ=，则cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式化简求值，掌握两向量平行所满足的条件，是一道基础题．6．（5分）（2019•内江一模）某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．16 B．18 C．24 D．32考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；分类讨论．分析：本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，当左边两辆，最右边一辆时，当左边一辆，最右边两辆时，当最右边三辆时，每一种情况都有车之间的一个排列A33，得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列A33，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列A33，当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列A33，当最右边三辆时，有车之间的一个排列A33，总上可知共有不同的排列法4×A33=24种结果，故选C．点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，在分类计数时，注意分类要做到不重不漏，在每一类中的方法数要分析清楚，本题还考查列举法，是一个基础题．7．（5分）（2019•内江一模）已知O是坐标原点，点A（1，2），若点M（x，y ）为平面区域上的一个动点，则的最大值是（）A．﹣1 B．C．0D．1考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：数形结合．分析：首先画出可行域，z=代入坐标变为z=x+2y，即y=﹣x+z ，z 表示斜率为﹣的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即平移直线y=﹣x与可行域有公共点时直线在y轴上的截距的最大值即可．解答：解：如图所示：z=•=x+2y，即y=﹣x+z，首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过A（0，）点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（0，），故z的最大值为z=0+2×=1．故选D．点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．8．（5分）（2019•内江一模）在的展开式中X的幂指数为整数的项共有（）A．3项B．4项C．5项D．6项考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：由题意的展开式的通项为T r+1==，要求展第3页/共13页开式中x 的幂指数为整数，则使得17﹣为整数，从而有r 为6的倍数且0≤r≤34可求解答： 解：由题意的展开式的通项为T r+1==若使得17﹣为整数则r 为6的倍数且0≤r≤34 ∴r=0，6，12，18，24，30 x 的幂指数为整数的项共6项 故选D点评： 本题主要考查了二项展开式的通项在求解指定项中的应用，属于基础试题9．（5分）（2019•内江一模）函数f （x ）的图象如图，f′（x ）是的导函数，则下列数值排列正确的是（ ） A ． 0＜f′（1）＜f′（2）＜f （2）﹣f （1） B ． 0＜f′（2）＜f （2）﹣f （1）＜f′（1） C ． 0＜f′（2）＜f′（1）＜f （2）﹣f （1） D ． 0＜f （2）﹣f （1）＜f′（1）＜f′（2） 考点：导数的运算；函数的图象． 专题：函数的性质及应用． 分析：利用导数的几何意义及切线的斜率与割线的斜率的关系即可得出． 解答：解：由函数的图象可知：函数f （x ）单调递增，并且先快后慢，∴f ′（x ）＞0，f′（x ）是减函数， ∴，故选B ．点评： 熟练掌握导数的几何意义及切线的斜率与割线的斜率的关系是解题的关键．10．（5分）（2019•内江一模）定义区间（a ，b ），[a ，b ），（a ，b][a ，b]的长度均为d=b ﹣a ，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如（1，2）∪（3，5）的长度为d=（2﹣1）+（5﹣3）=3，用[x]表示不超过x 的最大整数，记＜x ＞=x ﹣[x]，其中x ∈R ．设f （x ）=[x]•＜x ＞，g （x ）=2x ﹣[x]﹣2，若d 1，d 2，d 3分别表示不等式f （x ）＞g （x ）、方程f （x ）=g （x ）、不等式f （x ）＜g （x ）解集的长度，则当0≤x≤2019时，有（ ）A ． d 1=2，d 2=0，d 3=2019B ． d 1=1，d 2=1，d 3=2019C ． d 1=2，d 2=1，d 3=2009D ． d 1=2，d 2=2，d 3=2019 考点： 函数单调性的性质． 专题： 新定义．分析： 先化简f （x ）=[x]•＜x ＞=[x]•（x ﹣[x]）=[x]x ﹣[x]2，再化简f （x ）＞g （x ），再分类讨论：①当x ∈[0，1）时，②当x ∈[1，2）时③当x ∈[2，2019]时，从而得出f （x ）＞g （x ）在0≤x≤2019时的解集的长度；对于f （x ）=g （x ）和f （x ）＜g （x ）进行类似的讨论即可．解答： 解：∵f （x ）=[x]•＜x ＞=[x]•（x ﹣[x]）=[x]x ﹣[x]2，g （x ）=2x ﹣[x]﹣2，f （x ）＞g （x ），等价于[x]x ﹣[x]2＞2x ﹣[x]﹣2，即（[x]﹣2）x ＞[x]2﹣[x]﹣2，即 （[x]﹣2）x ＞（[x]﹣2）（[x]+1）．当x ∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x ＜1，∴x ∈[0，1）； 当x ∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为x ＜2，∴x ∈[1，2）； 当x ∈[2，3）时，[x]=2，上式可化为 0＞0，∴x ∈∅；当x ∈[3，2019]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x ＞[x]+1，∴x ∈∅；∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2019时的解集为[0，2），故d1=2．f（x）=g（x）等价于[x]x﹣[x]2 =2x﹣[x]﹣2，即（[x]﹣2）x=[x]2﹣[x]﹣2，当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x=1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为x=2，∴x∈∅；当x∈[2，3）时，[x]=2，上式可化为0=0，∴x∈[2，3）；当x∈[3，2019]时，[x]﹣2＞0，上式可化为x=[x]+1，∴x∈∅；∴f（x）=g（x）在0≤x≤2019时的解集为[2，3），故d2=1．f（x）＜g（x）等价于[x]x﹣[x]2 ＜2x﹣[x]﹣2，即（[x]﹣2）x＜[x]2﹣[x]﹣2，当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为x＞2，∴x∈∅；当x∈[2，3）时，[x]=2，上式可化为0＜0，∴x∈∅；当x∈[3，2019]时，[x]﹣2＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[3，2019]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2019时的解集为[3，2019]，故d3=2009．故选C．点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题．二、填空题11．（5分）（2019•内江一模）已知，且，则tanα=﹣．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：首先根据sin2α+cos2α=1以及角的范围求出sinα和cosα的值，然后根据tanα=求出结果．解答：解：∵sin2α+cos2α=1 ，①∴（sinα+cosα）2=1+2s inαcosα=∴sinαcosα=﹣∵，∴sinα＞0 cosα＜0sinα﹣cosα＞0∴（sinα﹣cosα）2=1+=sinα﹣cosα=②联立①②得sinα=，cosα=﹣∴tanα=﹣故答案为：﹣．点评：此题考查了同角三角函数的基本关系，巧用sin2α+cos2α=1是解题的关键，要注意角的范围．12．（5分）（2019•内江一模）如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．第5页/共13页分析：由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．解答：解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=故答案为：．点评：本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，要求会读图，并且掌握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大．属简单题．13．（5分）（2019•内江一模）已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是．考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算a的值，并输出．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 a i循环前 2 1第一圈是 2第二圈是﹣1 3第三圈是 2 4…第2019圈是 2 2019第2019圈是2019第2019圈否故最后输出的a值为．故答案为：．点评：本题主要考查了循环结构，写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．14．（5分）（2019•内江一模）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2）且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（，2）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）在区间（﹣2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=3，则有log a4＜3，且log a8＞3，解得：＜a＜2，故答案为（，2）．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．15．（5分）（2019•内江一模）设函数f（x）=|x|x+bx+c，则下列命题中正确命题的序号有（2）（3）（4）（1）函数f（x）在R上有最小值；（2）当b＞0时，函数在R上是单调增函数；（3）函数f（x）的图象关于点（0，c）对称；（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根的充要重要条件是b2＞4|c|；（5）方程f（x）=0可能有四个不同实数根．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当b＜0时，可以根据函数的值域加以判断函数f（x）在R上是否有最小值；（2）当b＞0时，把函数f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0两种情况讨论，转化为二次函数求单调性；（3）函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，可以根据函数图象的平移解决；（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根，考虑函数f（x）与x轴有三个交点，如图，其充要重要条件是函数y=f（x）的极大值大于0且极小值小于0，即可得到结论；（5）根据f（x）=|x|x+bx+c=的每一段分段函数的图象都是一个二次函数的部分图象，且它们有一个公共点（0，c），结合二次函数的图象可得结果．解答：解：（1）当b＜0时，f（x）=|x|x+bx+c=值域是R，故函数f（x）在R上没有最小值；（2）当b＞0时，f（x）=|x|x+bx+c=，知函数f（x）在R上是单调增函数；（3）若f（x）=|x|x+bx那么函数f（x）是奇函数（f（﹣x）=﹣f（x）），也就是说函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象沿Y轴移动，故图象一定是关于（0，c）对称的．（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根，考虑函数f（x）与x轴有三个交点，如图，其充要重要条件是函数y=f（x）的极大值大于0且极小值小于0，即b2﹣4c＞0，b2＞4|c|；故（4）正确；第7页/共13页（5）f（x）=|x|x+bx+c=的每一段分段函数的图象都是一个二次函数的部分图象，且它们有一个公共点（0，c），由图角可得解得方程f（x）=0最多有三个不同的实根，不可能有四个不同实数根．所以（5）不正确．故答案为：（2）（3）（4）．点评：本题考查了分段函数的单调性、对称性和最值等问题，对于含有绝对值的一类问题，通常采取去绝对值的方法解决，体现了分类讨论的数学思想；函数的对称性问题一般转化为函数的奇偶性加以分析，再根据函数图象的平移解决，体现了转化、运动的数学思想；对于存在性的命题研究，一般通过特殊值法来解决．三、解答题16．（12分）（2019•内江一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若f（x）=cos2x+csin2（x+B），求函数f（x）的最小正周期和单增区间．考点：正弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据cosA的值小于0，得到A为钝角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，然后由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）由a，b及cosB的值，利用余弦定理即可求出c的值，把求出的c和求出的B的值代入到f （x）中，利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦、余弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期的公式即可求出函数的最小正周期，由正弦函数的单调递增区间即可求出f（x）的单调增区间．解答：解：（Ⅰ）由cosA=﹣＜0，A∈（，π），得到sinA=，又a=2，b=2，（2分）由正弦定理得：=，则sinB=，因为A为钝角，所以；（5分）（Ⅱ）由a=2，b=2，cosB=，根据余弦定理得：22=c2+12﹣4c•，即（c﹣2）（c﹣4）=0，解得c=2或c=4，由A为三角形的最大角，得到a=2为最大边，所以c=4舍去，故c=2，（6分）把c=2代入得：===，（10分）则所求函数的最小正周期为π，由，得，则所求函数的单增区间为．（13分）点评：此题考查学生灵活运用正弦．余弦定理化简求值，灵活运用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的单调性，是一道中档题．学生求B度数的时候注意A为钝角这个隐含条件．17．（12分）（2019•内江一模）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系y=﹣x+120．（1）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．考点：函数模型的选择与应用．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：（1）确定销售利润，利用配方法求最值；（2）利用该商场获得利润不低于500元，建立不等式，即可确定销售单价x的范围．解答：解：（1）由题意，销售利润为W=（﹣x+120）（x﹣60）=﹣x2+180x﹣7200=﹣（x﹣90）2+900，∵试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，有﹣（x﹣90）2+900≤1.45×60x，∴60＜x≤87∴当x=87时，利润最大，最大利润是891；（2）∵该商场获得利润不低于500元，∴（x﹣60）（﹣x+120）≥500∴70≤x≤110∴70≤x≤110时，该商场获得利润不低于500元．答：（1）当x=87时，利润最大，最大利润是891；（2）该商场获得利润不低于500元，销售单价x 的范围为[70，110]．点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2019•内江一模）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，若T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：（1）由已知得，解方程可求d，进而可求通项（2）由=，利用裂项可求T n，由T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立第9页/共13页可知T n最大值≤λ（n+2），可求解答：解：（1）设公差为d．由已知得解得d=1或d=0（舍去）所以a1=2，故a n=n+1（2）因为=所以+…+==因为T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立∴≤λ（n+2）对∀n∈N*恒成立即对∀n∈N*恒成立又所以点评：新课标下对数列的考查要求降低，只对等差、等比数列通项和求和要求掌握．数列求和的方法具有很强的模型（错位相减型、裂项相消型、倒序相加型），建议熟练掌握，将恒成立问题转化为最值是常用的方法，需要注意．19．（12分）（2019•内江一模）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示：（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；（3）在（2）的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）由频率和频数的关系可得每组的人数，由分层抽样的特点可得要抽取的人数；（2）求出总的可能，再求出4组至少有一位志愿者倍抽中的可能，由古典概型的概率公式可得；（3）可得ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得其分布列，由期望的定义可得答案．解答：解：（1）由题意可知，第3组的人数为0.06×5×1000=300，第4组的人数为0.04×5×1000=200，第5组的人数为0.02×5×1000=100，第3、4、5组共600名志愿者，故由分层抽样的特点可知每组抽取的人数为：第3组=6，第4组=4，第5组=2，所以第3、4、5组分别抽取6人，4人，2人；（2）从12名志愿者中抽取3名共有=220种可能，第4组至少有一位志愿者倍抽中有﹣=164种可能，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为P==；（3）ξ的可能取值为：0，1，2，3，且P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P∴ξ的期望Eξ==1.5点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及频率分布直方图和期望的求解，属中档题．20．（13分）（2019•内江一模）已知函数f（x）=ax2﹣3x+lnx（a＞0）（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x ）在区间上的最值；（2）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，可求a的值，令f′（x）＜0，可得函数f（x）的单调减区间；令f′（x）＞0，可得单调增区间；然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最小值．（2）要保证原函数在定义内单调，需保证其导函数在定义域上不变号，分类讨论，从而求得参数的范围．解答：解：（1）∵f（x）=ax2﹣3x+lnx（a＞0），∴f′（x）=2ax﹣3+，x＞0∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴k=2a﹣2=0，∴a=1，∴f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=2x﹣3+，x＞0，令f′（x）=2x﹣3+＜0，可得＜x＜1；令f′（x）＞0，可得0＜x ＜或x＞1；∴函数f（x）的单调减区间为[，1），单调增区间为（1，+∞），当在区间时．∴f（x）在区间[，1]上为增函数，f（x）在区间[1，2]上为增函数．（4分）∴f max（x）=f（2）=﹣2+ln2，f min（x）=f（1）=﹣2．（6分）（2）原函数定义域为（0，+∞）∴f′（x）=2ax﹣3+=，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立由于a＞0，设g（x）=2ax2﹣3x+1（x∈（0，+∞））由题意知△=9﹣8a≤0∴a≥所以a的取值范围为：a≥．（12分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，导数中常见的恒成立问题，属中档题．21．（14分）（2019•内江一模）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为第11页/共13页f（x）的不动点．如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0、2．（1）求b、c满足的关系式；（2）若c=时，相邻两项和不为零的数列{a n}满足=1（S n是数列{a n}的前n项和），求证：；（3）在（2）的条件下，设，Tn是数列{b n}的前n项和，求证：T2019﹣1＜ln2019＜T2019．考点：综合法与分析法(选修）；函数的值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；新定义；转化思想．分析：（1）设=x的不动点为0和2，由此知推出b、c满足的关系式．（2）由c=2，知b=2，f（x）=（x≠1），2S n=a n﹣a n2，且a n≠1．所以a n﹣a n﹣1=﹣1，a n=﹣n，要证待证不等式，只要证，利用分析法证明＜ln （1+）＜．考虑证不等式＜ln（x+1）＜x（x＞0），由此入手利用函数的导数判断函数的单调性，然后导出．（3）由，利用（2）的结论，通过累加法证明所要证明的不等式T2019﹣1＜ln2019＜T2019即可．解答：解：（1）设=x的不动点为0和2∴即即b、c满足的关系式：b=1+且c≠0（2）∵c=2∴b=2∴f（x）=（x≠1），由已知可得2S n=a n﹣a n2①，且a n≠1．当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣12②，①﹣②得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n=﹣a n﹣1=﹣1，当n=1时，2a1=a1﹣a12⇒a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1，则a2=1与a n≠1矛盾．∴a n﹣a n﹣1=﹣1，∴a n=﹣n∴要证待证不等式，只要证，即证，只要证nln（1+）＜1＜（n+1）ln（1+），即证＜ln（1+）＜．考虑证不等式＜ln（x+1）＜x（x＞0）**．令g（x）=x﹣ln（1+x），h（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）．∴g'（x）=，h'（x）=，∵x＞0，∴g'（x）＞0，h'（x）＞0，∴g（x）、h（x）在（0，+∞）上都是增函数，∴g（x）＞g（0）=0，h（x）＞h（0）=0，∴x＞0时，＜ln（x+1）＜x．令x=则**式成立，∴，（3）由（2）知b n =，则T n =在＜ln（1+）＜中，令n=1，2，3，…，2019，并将各式相加，得＜ln +ln +…+ln＜1+．即T2019﹣1＜ln2019＜T2019．点评：本题考查不等式的性质和应用，函数的导数判断函数的单调性构造法的应用，分析法证明不等式的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．第13页/共13页。

内江市高中2019届第一次模拟考试题数学(理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合A，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A＝{x|x≤1，x∈N}＝{0，1}，又，∴A∩B＝{0，1}．故选A.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件．2.设，则（）A. B. 2 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则及其性质即可得出．【详解】z2i2i＝﹣1﹣i2i=﹣1+i，则|z|．故选：C．【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最髙B. 深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【答案】D【解析】【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．【详解】由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．故选：D．【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．4.记为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】A【解析】【分析】利用等差数列{a n}的前n项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的公差．【详解】∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a3＝3，S6＝21，∴，解得a1＝1，d＝1．∴数列{a n}的公差为1．故选：A．【点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.若，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，对两边平方即可求出，从而可求出，这样即可求出与的夹角．【详解】∵；∴；∴；∴；又；∴的夹角为．故选：D．【点睛】考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及已知三角函数值求角，属于基础题.6.在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知画出图形，连接BC1，由AB∥A1B1，可得∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，求解三角形得答案．【详解】如图，连接BC1，由AB∥A1B1，∴∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，由已知可得，则．∴cos∠C1AB．即异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为．故选：B．【点睛】本题考查异面直线所成角，考查数学转化思想方法，是基础题．7.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解．【详解】当x→+∞时，f（x）→﹣∞，故排除D；易知f（x）在R上连续，故排除B；且f（0）＝ln2﹣e﹣1＞0，故排除A，故选：C．【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法应用．8.设表示不小于实数的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 7B. 11C. 8D. 14【答案】B【解析】【分析】执行循环，直至，跳出循环，输出结果.【详解】执行循环，结束循环，输出结果.选B. 【点睛】本题考查循环流程图，考查基本分析计算判断能力.9.若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再求导数得切线斜率，最后求倾斜角.【详解】因为，所以因此，倾斜角为，选B.【点睛】本题考查导数几何意义以及倾斜角，考查基本分析求解能力.10.已知函数，给出下列四个结论：① 函数的最小正周期是；② 函数在区间上是减函数；③ 函数的图像关于点对称；④ 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】先化简三角函数，再根据三角函数性质判断各结论正确是否.【详解】,,，所以函数在区间上不是减函数，所以函数的图像不关于点对称；函数的图像向右平移个单位得，再向下平移1个单位得到,不是.综上选A.【点睛】本题考查三角函数化简以及三角函数图象与性质，考查基本分析化简能力.11.在中，已知，，点D为BC的三等分点(靠近C)，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．【详解】如图，＝8﹣1＝7﹣2cos∠BAC∵∠BAC∈（0，π），∴cos∠BAC∈（﹣1，1），∴7﹣2cos∠BAC∈（5，9），故选：C．【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．12.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，由可得在上是增函数，在上单调递减，原不等式等价于，从而可得结果.【详解】设，则时，，为偶函数，在上是增函数，时单调递减.所以可得，，即，实数的取值范围为，故选A.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.的展开式中的系数为______.【答案】【解析】【分析】根据二项式定理确定的系数.【详解】因此展开式中的系数为【点睛】本题考查二项式定理，考查基本分析求解能力.14.设，满足约束条件，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A（1，2）时直线在y轴上的截距最小，z最小z＝2×1+2＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】【分析】根据椭圆定义可用表示，,再根据余弦定理建立关系，解得离心率.【详解】设,则,因此从而，且,,【点睛】本题考查椭圆定义以及离心率，考查基本分析求解能力.16.设数列满足，，，，则______.【答案】【解析】【分析】数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N*，n≥4），即a n+a n﹣3＝a n﹣1+a n﹣2（n∈N*，n≥4），a4＝a3+a2﹣a1＝12，同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25，a8＝28，a9＝33，……．可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8,即可得出．【详解】∵数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N*，n≥4），即a n+a n﹣3＝a n﹣1+a n﹣2（n∈N*，n≥4），a4＝a3+a2﹣a1＝12，同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25，a8＝28，a9＝33，……．∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8．则a2018＝a2+（1009﹣1）×8＝4+8064＝8068．故答案为：8068．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.等比数列的各项均为正数，且求数列的通项公式.设求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝．由条件可知q＞0,故q＝．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝．故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n＝－（1＋2＋…＋n）＝－．故．所以数列的前n项和为考点：等比数列的通项公式；数列的求和视频18.国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：）【答案】（1）喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.【解析】试题分析：（1）由图可知，当函数取得最大值时，，根据函数模型，即可求出最大值；（2））由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时，然后解不等式，即可求出.试题解析：（1）由图可知，当函数取得最大值时，，此时，当，即时，函数取得最大值为.故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升.（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时. 由，得：，两边取自然对数得：即，∴，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.19.如图，是直角斜边上一点，.（1）若，求角的大小；（2）若，且，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可求出，（2）设，则，，，根据余弦定理即可求出．【详解】解：（1）在中，由正弦定理得.∵，，∴.又，∴.∴，即.（2）设，则，，.∴，，.在中，由余弦定理得，即，∴.故.【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，以及解三角形的问题，属于中档题．20.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表：某机构为了某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，，记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．【答案】（1）（2）①②5000【解析】试题分析：（1）根据题意，首先确定X的所有可能取值，然后利用统计表格，借助古典概型的公式计算对应的概率，进而利用期望公式求解；（2）利用独立重复实验的概率计算公式求解满足条件的概率，明确为该销售商购进并销售一辆二手车的利润的可能性，得到分布列和利润期望值. （Ⅰ）由题意可知X的可能取值为，由统计数据可知:，.所以的分布列为：所以.（Ⅱ）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为.为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为.所以的分布列为：所以.所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为万元.21.已知函数.（1）若时，恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)通过二次求导判断则在上单调递增，则，再通过分类讨论求求恒成立.（2）由（1）中结论利用函数的单调性证明.【详解】（1）若时, 则，在上单调递增，则则在上单调递增，①当，即时，，则在上单调递增，此时，满足题意②若,由在上单调递增，由于，.故,使得. 则当时,,∴函数在上单调递减. ∴,不恒成立.舍去．综上所述,实数的取值范围是（2）证明:由(1)知,当时,在上单调递增.则,即..,即【点睛】本题主要考查导数在研究函数单调性及最值中的应用，综合性较强.第一问通过二次求导判断的符号以及分类讨论思想运用是本题解题的难点.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，，求的值.【答案】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为；（2）.【解析】【分析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．（2）曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，由此能求出结果．【详解】解：（1）由消去参数，得的普通方程为.∵，又，∴的直角坐标方程为.（2）由（1）知曲线的普通方程为，∴其极坐标方程为，∴.∴又，∴.【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当a＝﹣3时，f（x）＝x2+|2x﹣4|﹣3，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥﹣x2﹣|2x﹣4|，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得﹣x2﹣|2x﹣4|的最大值为﹣3，从而可得实数a的取值范围．【详解】解：（1）当时，.∴.或或或或或.∴当时，不等式的解集为.（2）∵的解集为实数集对恒成立.又，∴.∴.故的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题．。

高中2019届毕业班第一次诊断性考试数学（理工类）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则即可得出．【详解】∵故选：A．【点睛】熟练掌握复数的运算法则是解题的关键，属于基础题.2.已知命题：“，”，则命题为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【详解】全称命题的否定是特称命题，则￢p：，，故选：C．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．3.若双曲线的一条渐近线为，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程，可得它的渐近线方程为y=±x，比较系数得m=4.【详解】∵双曲线的方程为，∴双曲线的渐近线方程为y=±x又∵一条渐近线方程为y=x∴m=4故选：B【点睛】本题给出双曲线的方程和一条渐近线方程，求参数m的值，属于基础题．4.在中，，，，点为边上一点，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用 ,表示出，再利用数量积定义计算可得．【详解】由题意可知D为BC的靠近C的三等分点，∴===，∴= ==3+×2×cos120°=1．故选：C．【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则、数量积的计算，属于基础题5.如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为分米，其内有一边长为分米的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖(飞镖的大小忽略不计)，则该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出半径为6分米的圆形图案的面积与圆内接边长为分米的正六边形的面积，利用几何概型求出对应的概率．【详解】半径为6的圆形图案的面积为36π，其圆内接正六边形的面积为：6××1×sin60°=，故所求的概率为：P= =．故选：B．【点睛】本题考查了几何概型的应用问题，也考查了圆内接正六边形的面积的计算问题，属于基础题．6.已知函数，图象相邻两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】【分析】由函数y=f（x）的图象与性质求出T、ω和φ，写出函数y=f（x）的解析式，再求f（x）的对称轴和对称中心．【详解】由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为4π，所以ω==，所以f（x）=sin（x+φ）；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[（x+）+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，k∈Z；又|φ|＜，所以φ=，所以f（x）=sin（x+），令x+=kπ，k∈Z，解得x=2k﹣，k∈Z；令k=0时，得f（x）的图象关于点（-，0）对称．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，是基础题．7.下列命题错误的是（）A. 不在同一直线上的三点确定一个平面B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C. 如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面【答案】C【解析】【分析】利用公理和线与面的平行和垂直定理及其推论求解．【详解】由公理知直线及直线外一点，确定一个平面，故A正确；由公理知两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故B正确；由面面垂直的性质定理知错误，故C不正确；由面面平行的性质定理知正确，故D正确；．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对概念的理解和定理，性质的应用，属于基础题.8.的展开式中不含项的系数的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为5求出展开式中x5的系数，令x=1求出所有系数和，从而用所有的项的和减去指出的项的系数即可．【详解】通项公式为T r+1=令r=5，∴T6=．令x=1，则所有系数和为25=32∴不含x5项的所有项的系数和为32+1=33故选：A【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，关键是写出二项展开式的通项公式和赋值法的应用，属于基础题．9.某地环保部门召集家企业的负责人座谈，其中甲企业有人到会，其余家企业各有人到会，会上有人发言，则发言的人来自家不同企业的可能情况的种数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有C21C52种；不含有甲的选法有C53种，根据分类计数原理得到结果．【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类：含有甲的选法有C21C52种，不含有甲的选法有C53种，共有C21C52+C53=30（种），故选：B．【点睛】本题考查分类计数问题，在排列的过程中出现有特殊情况的元素，需要分类来解，不然不能保证发言的3人来自3家不同企业，属于基础题.10.已知直线与抛物线及其准线分别交于，两点，为抛物线的焦点，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知直线l过抛物线的焦点，得m=-k，过M做MM′⊥准线x=﹣1，垂足为M′由∠M′MN与直线l倾斜角相等，根据抛物线的定义即可求得tan∠M′MN，即可求得k的值，进而得m．【详解】抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），因为所以直线l：y=kx+m过抛物线的焦点，所以m=-k, 过M做MM′⊥准线x=﹣1，垂足为M′，由抛物线的定义，丨MM′丨=丨MF丨，由∠M′MN与直线l倾斜角相等，由，则cos∠M′MN=，则tan∠M′MN=±，因为∴直线l的斜率k=，即m=-故选：B．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义和同角三角函数的关系，属于中档题．11.已知正项等比数列的前项和，满足则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，设该等比数列的首项为a1，第二项为a2，公比为q，由S4﹣2S2=3得S4﹣2S2=（q2﹣1）（a1+a2）=3，进而可得q＞1，且a1+a2=，又由S6﹣S4=q4×（a1+a2）=q4×=3[（q2﹣1）++2]，由基本不等式的性质分析可得答案．【详解】根据题意，设该等比数列的首项为a1，第二项为a2，公比为q，若S4﹣2S2=3，则有S4﹣2S2=a1+a2+a3+a4-2(a1+a2）=(a3+a4)﹣(a1+a2)=(q2﹣1)(a1+a2)=3，又由数列{a n}为正项的等比数列，则q＞1，则有a1+a2=，则S6﹣S4=（a5+a6）=q4×（a1+a2）=q4×=3[（q2﹣1）++2]≥6+3×2 =12；当且仅当q2=2，即q=时等号成立，则S6﹣S4的最小值为12；故选：D．【点睛】本题考查等比数列的性质以及基本不等式的性质以及应用，关键是分析q与（a1+a2）的关系，属于中档题.12.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】f（，所以利用+f（1-x）=1,计算出的结果.【详解】+f（1-x）=+=+ =1所以f（=1 =1009故选：B【点睛】本题考查的是利用，发现函数的自变量和等于1时，其函数和也等于1的规律，这是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数则________.【答案】0【解析】【分析】利用分段函数的定义域,把x=2和x=1代入即可.【详解】已知函数,所以f(2)=2, f(1)=2,所以f(2)-f(1)=0故答案为:0【点睛】本题考查的是分段函数求值问题，把x值代入f（x）即可，属于基础题.14.已知数列中，，，则数列的通项公式________.【答案】【解析】【分析】由化简为2n-1，用累加法求出即可.【详解】由化简为+1=2n-1由累加法得以上n-1个式子相加得因为所以故答案为【点睛】本题考查的是由数列的递推关系，用累加法求数列的通项公式，属于基础题.15.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为，则该“阳马”的体积为________.正视图侧视图【答案】【解析】【分析】该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．利用P﹣ABCD的顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为，求出PD，再利用三棱锥的体积公式求出即可.【详解】如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB=2，AD=4，PD=h．因为P﹣ABCD的顶点都在同一个球面上，则P﹣ABCD外接球的直径为PB=．因为P﹣ABCD外接球的表面积为∴S= ==．所以h=2，故答案为：．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图、四棱锥的外接球的直径、球的表面积计算公式和四棱锥的体积，属于中档题．16.某车间租赁甲、乙两种设备生产，两类产品，甲种设备每大能生产类产品件和类产品件，乙种设备每天能生产类产品件和类产品件，已知设备甲每天的租赁费元，设备乙每天的租赁费元，现车间至少要生产类产品件，类产品件，所需租赁费最少为________元.【答案】【解析】【分析】设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，可得，作出目标函数为z=300x+400y，通过平移得当x=10，y=2时，Z有最小值3800.【详解】设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，则目标函数为z=300x+400y．有可行域，易知当x=10，y=2时，z=300x+400y有最小值3800元．故答案为：3800．【点睛】本题考查了线性规划有关知识、直线方程与不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.在中，角，，的对边分别为，，.已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）因为正弦定理，所以化为，因为三角形内角有，所以即，所以；（2）由余弦定理，得，而，，得，即，因为三角形的边，所以，则．试题解析：（1）因为由正弦定理，得，又，从而，由于所以（2）解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以，故面积为．解法二：由正弦定理，得从而又由知，所以故，所以面积为．考点：1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式．18.某大型商场在2018年国庆举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有个红球，个黑球和个白球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱，活动另附说明如下：①凡购物满（含）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；②凡购物满（含元）者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；③若取得的个小球只有种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个元的红包；④若取得的个小球有种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个元的红包；⑤若取得的个小球只有种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个元的红包.抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.（1）求这位顾客中获得抽奖机会．．．．．．的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；（2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为，求的分布列及数学期望，并计算这位顾客在抽奖．．中．获得红包的总奖金数的平均值（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）.【答案】（1）中位数为，平均数为；（2）.【解析】【分析】（1）计算这组数据的中位数和平均数即可；（2）根据题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值，再求抽奖的平均值．【详解】（1）获得抽奖机会的数据的中位数为，平均数为（2）的可能取值为，，，，，则的分布列为故.这位顾客中，有位顾客获得一次抽奖的机会，有位顾客获得两次抽奖的机会，故共有次抽奖机会.所以这位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为元。

2019年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x≤1}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}2．（5分）设z＝+2i，则|z|＝（）A．B．2C．D．13．（5分）如图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D．平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3＝3，S6＝21，则数列{a n}的公差为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣25．（5分）若||＝1，||＝2，||＝，则与的夹角为（）A．B．C．D．6．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝ln（x2+2）﹣e x﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）设{x}表示不小于实数x的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．20B．25C．24D．219．（5分）若函数f（x）＝+lnx﹣x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝﹣2sin2x，给出下列四个结论：①函数f（x）的最小正周期是π；②函数f（x）在区间[]上是减函数；③函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；④函数f（x）的图象可由函数y＝sin2x的图象向右平移个单位再向下平移1个单位得到其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．411．（5分）在△ABC中，已知AB＝，AC＝2，点D为BC的三等分点（靠近点C），则•的取值范围为（）A．（3，5）B．（5，5）C．（5，9）D．（5，7）12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）﹣f（x）＝0，且x∈[0，+∞）时f′（x）＞2x，若f（a﹣2）﹣f（a）≥4﹣4a，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（﹣3）7的展开式中x3的系数为．14．（5分）设x，y满足约束条件，则x＝2x+y的最小值为．15．（5分）已知F1、F2分别是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与E交于P、Q两点，若|PF2|＝2|QF2|，且|QF1|＝3|QF2|，则椭圆E的离心率为．16．（5分）设数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N*，n≥4），则a2018＝．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）必考题：共60分．17．（12分）正项等比数列{a n}，若2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a1+log3a2+log3a3+…log3a n，求数列{}的前n项和S n．18．（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：f（x）＝根据上述条件，回答以下问题：（Ⅰ）试计算喝一瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（Ⅱ）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40，ln90≈4.50）19．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝．（1）若∠CAD＝30°，求角B的大小；（2）若BD＝2DC，且AD＝2，求CD的长．20．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：道路交通死亡事故某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型A1A2A3A4A5A6数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a＝950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：e．（二）选考题：共10分，请考生在第2223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计分[选惨4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知f（x）＝x2+|2x﹣4|+a．（1）当a＝﹣3时，求不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）若不等式f（x）≥0的解集为实数集R，求实数a的取值范围．2019年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x≤1}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．[﹣1，1]D．{1}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x∈N|x≤1}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：A．【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．（5分）设z＝+2i，则|z|＝（）A．B．2C．D．1【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【专题】49：综合法；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则及其性质即可得出．【解答】解：z＝+2i＝+2i＝﹣1﹣i，则|z|＝＝．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）如图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D．平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；48：分析法；5M：推理和证明．【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．【解答】解：由图可知D错误．故选：D．【点评】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3＝3，S6＝21，则数列{a n}的公差为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列{a n}的前n项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a3＝3，S6＝21，∴，解得a1＝1，d＝1．∴数列{a n}的公差为1．故选：A．【点评】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）若||＝1，||＝2，||＝，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】根据，对两边平方即可求出，从而可求出，这样即可求出与的夹角．【解答】解：∵；∴＝；∴；∴；又；∴的夹角为．故选：D．【点评】考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及已知三角函数值求角．6．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角．【分析】由已知画出图形，连接BC1，由AB∥A1B1，可得∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，求解三角形得答案．【解答】解：如图，连接BC1，由AB∥A1B1，∴∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，由已知可得，则．∴cos∠C1AB＝．即异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角，考查数学转化思想方法，是基础题．7．（5分）函数f（x）＝ln（x2+2）﹣e x﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解．【解答】解：当x→+∞时，f（x）→﹣∞，故排除D；易知f（x）在R上连续，故排除B；且f（0）＝ln2﹣e﹣1＞0，故排除C，故选：A．【点评】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法应用．8．（5分）设{x}表示不小于实数x的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．20B．25C．24D．21【考点】EF：程序框图．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】直接利用程序框图的循环结构及取整数的应用求出结果．【解答】解：设{x}表示不小于实数x的最小整数，执行如图所示的程序框图，故：执行第一次循环：S＝0+0＝0，执行第二次循环：S＝0+1＝1，执行第三次循环：S＝1+{log23}＝2，…，当执行第11次循环时，S＝16+{}＝20，故选：A．【点评】本题考查的知识要点：程序框图的应用，循环结构的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．（5分）若函数f（x）＝+lnx﹣x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；52：导数的概念及应用．【分析】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，求出函数f（x）的导数，利用导数的几何意义可得k＝f′（1）＝，即tanθ＝，结合θ的范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，f（x）＝+lnx﹣x，则f′（x）＝x2+﹣1，则有k＝f′（1）＝，则tanθ＝，又由0≤θ＜π，则θ＝，故选：B．【点评】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝﹣2sin2x，给出下列四个结论：①函数f（x）的最小正周期是π；②函数f（x）在区间[]上是减函数；③函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；④函数f（x）的图象可由函数y＝sin2x的图象向右平移个单位再向下平移1个单位得到其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】35：转化思想；49：综合法；5L：简易逻辑．【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期判断①的正误；利用函数的单调性判断②的正误；利用函数y＝sin x的中心判断③的正误；函数的图象的变换判断④的正误；【解答】解：f（x）＝sin2x﹣2sin2x+1﹣1＝sin 2x+cos 2x＝sin（2x+）﹣1．①因为ω＝2，则f（x）的最小正周期T＝π，结论正确．②当x∈[]时，2x+∈[，]，则sin x在[]上是减函数，结论正确．③因为f（﹣）＝﹣1，则函数f（x）图象的一个对称中心为（﹣，﹣1）结论不正确．④函数f（x）的图象可由函数y＝sin2x的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到．结论不正确．故正确结论有①②，故选：B．【点评】本题考查了命题的真假的判断，三角函数的化简以及图象和性质的应用问题，是综合性题目．11．（5分）在△ABC中，已知AB＝，AC＝2，点D为BC的三等分点（靠近点C），则•的取值范围为（）A．（3，5）B．（5，5）C．（5，9）D．（5，7）【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．【解答】解：如图，＝＝＝＝＝8﹣1﹣＝7﹣2cos∠BAC∵∠BAC∈（0，π），∴cos∠BAC∈（﹣1，1），∴7﹣2cos∠BAC∈（5，9），故选：C．【点评】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）﹣f（x）＝0，且x∈[0，+∞）时f′（x）＞2x，若f（a﹣2）﹣f（a）≥4﹣4a，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】先判断函数为偶函数，再构造函数g（x）＝f（x）﹣x2，根据导数和函数单调性的关系判断g（x）的单调性，由f（a﹣2）﹣（a﹣2）2≥f（a）+a2，可得g（a﹣2）≥g （a），即可求出a的范围．【解答】解：对任意的x∈R，有f（﹣x）﹣f（x）＝0，∴f（x）为偶函数，设g（x）＝f（x）﹣x2，∴g′（x）＝f′（x）﹣2x，∵x∈[0，+∞）时f′（x）＞2x，∴g′（x）＝f′（x）﹣2x＞0，∴g（x）在∈[0，+∞）为增函数，∵f（a﹣2）﹣f（a）≥4﹣4a，∴f（a﹣2）﹣（a﹣2）2≥f（a）﹣a2，∴g（a﹣2）≥g（a），∴|a﹣2|≥|a|，解得a≤1，故选：A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（﹣3）7的展开式中x3的系数为﹣21．【考点】DA：二项式定理．【专题】34：方程思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为3求得r值，则答案可求．【解答】解：（﹣3）7的展开式的通项．由，得r＝1．∴（﹣3）7的展开式中x3的系数为．故答案为：﹣21．【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则x＝2x+y的最小值为4．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5T：不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得A（1，2），此时z＝2×1+2＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15．（5分）已知F1、F2分别是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与E交于P、Q两点，若|PF2|＝2|QF2|，且|QF1|＝3|QF2|，则椭圆E的离心率为．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，由已知结合椭圆定义可得：|PF2|＝a﹣ex1，|QF2|＝a﹣ex2，再由焦半径公式求得P，Q的坐标，再由点P，Q，F2共线列式求解．【解答】解：如图，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由|QF1|＝3|QF2|，且|QF1|+|QF2|＝2a，得4|QF2|＝2a，则|QF2|＝，又|PF2|＝2|QF2|，∴|PF2|＝a，由焦半径公式得：|PF2|＝a﹣ex1，|QF2|＝a﹣ex2，则a﹣ex1＝a，a﹣ex2＝，∴，可得Q（，），由，可得，即e＝．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式及椭圆定义的应用，是中档题．16．（5分）设数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N*，n≥4），则a2018＝8068．【考点】8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N*，n≥4），即a n+a n﹣3＝a n﹣1+a n﹣2（n∈N*，n≥4），a4＝a3+a2﹣a1＝12，同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25，a8＝28，a9＝33，……．可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8．即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N*，n≥4），即a n+a n﹣3＝a n﹣1+a n﹣2（n∈N*，n≥4），a4＝a3+a2﹣a1＝12，同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25，a8＝28，a9＝33，……．∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8．则a2018＝a2+（1009﹣1）×8＝4+8064＝8068．故答案为：8068．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）必考题：共60分．17．（12分）正项等比数列{a n}，若2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a1+log3a2+log3a3+…log3a n，求数列{}的前n项和S n．【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）通过a32＝9a2a6＝9a3a5计算可知＝q2＝，进而可知公比q＝，通过2a1+3a2＝1可知a1＝，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知log3a n＝﹣n，从而b n＝﹣，裂项可知＝﹣2（﹣），并项相加即得结论．【解答】解：（1）依题意，a32＝9a2a6＝9a3a5，∴＝q2＝，解得：q＝或q＝﹣（舍），又∵2a1+3a2＝1，即2a1+3a1＝1，∴a1＝，∴数列{a n}是首项、公比均为的等比数列，∴其通项公式a n＝；（2）由（1）可知log3a n＝log3＝﹣n，∴b n＝log3a1+log3a2+log3a3+…log3a n＝﹣1﹣2﹣…﹣n＝﹣，∴＝﹣＝﹣2（﹣），∴数列{}的前n项和S n＝﹣2（1﹣+…+﹣）＝﹣2（1﹣）＝﹣．【点评】本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：f（x）＝根据上述条件，回答以下问题：（Ⅰ）试计算喝一瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（Ⅱ）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40，ln90≈4.50）【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用分段函数的解析式，转化求解血液中的酒精含量达到最大值即可．（Ⅱ）通过分段函数，以及函数的单调性，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，当函数f（x）取得最大值时，0＜x＜2，………………………………（1分）此时，…………………………………………………………………………（2分）当，即时，函数f（x）取得最大值为y max＝40+13＝53．故喝一瓶啤酒 1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升．……………………………（5分）（Ⅱ）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x ＞2．由90•e﹣0.5x+14＜20，得，……………………………………………………………（7分）两边取自然对数，得…………………………………………………………………（9分）即﹣0.5x＜﹣ln15，所以，……………………………………………………………………（11分）故喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车．…………………………………………………………（12分）注：如果根据图象猜6个小时，可给结果分（2分）．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的最值以及单调性的应用，考查计算能力．19．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝．（1）若∠CAD＝30°，求角B的大小；（2）若BD＝2DC，且AD＝2，求CD的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）根据正弦定理即可求出，（2）根据余弦地理和同角的三角函数的关系即可求出．【解答】解：（1）在△ABC 中，根据正弦定理，有．∵，∴．又，∴，∴，∴；（2）设DC＝x ，则，∴．在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，即，得．故．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，以及解三角形的问题，属于中档题．20．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上下故某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型A1A2A3A4A5A6数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a＝950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．由统计数据可知其概率及其分布列．（II）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P＝+．②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．…（2分）由统计数据可知：P（X＝0.9a）＝，P（X＝0.8a）＝，P（X＝0.7a）＝，P（X＝a）＝，P（X ＝1.1a）＝，P（X＝1.3a）＝．所以X的分布列为：X0.9a0.8a0.7a a 1.1a 1.3aP…（4分）所以EX＝0.9a×+0.8a×+0.7a×+a×+1.1a×+1.3a×＝＝≈942．（5分）（Ⅱ）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P＝+＝．…（8分）②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．所以Y的分布列为：Y﹣500010000P所以EY＝﹣5000×+10000×＝5000．…（10分）所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY ＝50万元．…（12分）【点评】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、相互独立与互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：e．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，进而得到f（x）在x＝0处的切线方程；（2）f′（x）＝e x+a+，，在[0，+∞）上单调递增，可得f′（x）≥f′（0）＝a+2，讨论（i）当2+a≥0时，（ii）当2+a＜0时；（3）由（1）知，当a＝﹣2时，f′（x）＝e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增．则f（）＞f（0），即e﹣1+ln（）﹣1＞0，由ln，即可得到证明．【解答】解：（1）f′（x）＝e x+a+，f′（0）＝2+a，又f（0）＝0，∴f（x）在x＝0处的切线方程为：y＝（a+2）x；（2）若x≥0时，则f′（x）＝e x+a+，，在[0，+∞）上单调递增，f″（x）≥f″（0）＝0．则f′（x）在[0，+∞）上单调递增，f′（x）≥f′（0）＝a+2，①当a+2≥0，即a≥﹣2时，f′（x）≥0，则f（x）在[0，+∞）上单调递增此时f′（x）≥f（0）＝0，满足题意②若a＜﹣2，由f′（x）在[0，+∞）上单调递增由于f′（0）＝2+a＜0，x→+∞时，f′（x）＞0．故∃x0∈（0，+∞），使得f′（x0）＝0．则当0＜x＜x0时，f′（x）＜f′（x0）＝0．∴函数f（x）在（0，x0）上单调递减．∴f（x0）＜f（0）＝0，不恒成立．舍去综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．（3）证明：由（1）知，当a＝﹣2时，f′（x）＝e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增．则f（）＞f（0），即e﹣1+ln（）﹣1＞0．∴ln．∴，即e【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，以及不等式的证明，注意运用分类讨论和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．（二）选考题：共10分，请考生在第2223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计分[选惨4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4y，整理，得x2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，∴sin（）＝±1，∵0＜α＜π，∴，∴，解得．【点评】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知f（x）＝x2+|2x﹣4|+a．（1）当a＝﹣3时，求不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）若不等式f（x）≥0的解集为实数集R，求实数a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a＝﹣3时，f（x）＝x2+|2x﹣4|﹣3，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥﹣x2﹣|2x﹣4|，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得﹣x2﹣|2x﹣4|的最大值为﹣3，从而可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）＝x2+|2x﹣4|﹣3，当x≤0时，由f（x）＞x2+|x|得﹣x+1＞0，得x＜1，∴x≤0．当0＜x≤2时，由f（x）＞x2+|x|得﹣3x+1＞0，解得x＜．∴0＜x＜．当x＞2时，由f（x）＞x2+|x|得x﹣7＞0，解得x＞7．∴x＞7．当a＝﹣3时，f（x）＞x2+|x|的解集为{x|x＜或x＞7}．（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥﹣x2﹣|2x﹣4|，当x≥2时，﹣x2﹣|2x﹣4|＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+5≤﹣4，当x＜2时，﹣x2﹣|2x﹣4|＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3≤﹣3，∴﹣x2﹣|2x﹣4|的最大值为﹣3．∴实数a的取值范围为[﹣3，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题．。

四川省内江市高中2019-2020学年高三上学期理数第一次模拟试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合 A ={1,2,m} ， B ={3,4} ，若 A ∪B ={1,2,3,4} ，则实数 m 为（ ）A ．1 或 2B ．2 或 3C ．1 或 3D ．3 或 42．（2分）已知复数 z =i2i+1（ i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．（2分）割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为 3.1416 ，在半径为 1 的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（ ） A ．1πB ．3πC ．√3πD ．3√32π4．（2分）在二项式(x 2−1x )5 的展开式中，含 x 4 的项的系数是（ ）． A ．−10 B ．−5 C ．10 D ．55．（2分）函数 y =f(x) 在 P(1,f(1)) 处的切线如图所示，则 f(1)+f ′(1)= （ ）A ．0B ．12C ．32D ．−126．（2分）已知等比数列 {a n } 是递增数列， a 2=2 ， S 3=7 ，则数列 {1a n} 的前 5 项和为（ ） A ．31B ．31 或 314C ．3116D ．3116 或 3147．（2分）函数 f(x)=x 2−2x −2|x|+1 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2分）已知向量 a ⃗ =(√2cosθ,√2sinθ) ， θ∈(π2,π) ， b⃗ =(0,1) ，则向量 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为（ ） A ．3π2−θB ．π2+θC ．θ−π2D ．θ9．（2分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的 n = （ ）A ．5B ．4C ．3D ．910．（2分）定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足：任意 x 1 ， x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2) ，有 f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0 ，则（ ） A ．f(2log23)<f(log 319)<f(−log 122)B ．f(−log 122)<f(log 319)<f(2log23) C ．f(2log 319)<f(−log 122)<f(2log 23)D ．f(2log 23)<f(−log 122)<f(log 319)11．（2分）函数 f(x)=x(x −S 1)(x −S 2)⋯(x −S 8) ，其中 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，若 a n =1n(n+1) ，则 f ′(0)= （ ）A ．112B ．14C ．18D ．1912．（2分）已知函数 f(x)={−x 2−2x,x ≤0|log 2x|,x〉0，若 x 1<x 2<x 3<x 4 ，且 f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4) ，则下列结论：①x 1+x 2=−1 ，②x 3x 4=1 ，③0<x 1+x 2+x 3+x 4<12，④0<x 1x 2x 3x 4<1 ，其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）已知随机变量 ζ 服从正态分布 N(2,δ2) ，则 P(ζ<2)= . 14．（1分）设函数 f(x)=lg(1−x) ，则函数 f(f(x)) 的定义域为 .15．（1分）已知函数 y =f(x) 是定义域为 (−∞,+∞) 的奇函数满足 f(−3−x)+f(x −1)=0 .若f(1)=1 ，则 f(1)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f(2020)= .16．（1分）对于函数 f(x)=√3sin(ωx −π3)+1 （其中 ω>0 ）：①若函数 y =f(x) 的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为 π4 ，则 ω=2 ；②若函数 y =f(x) 在 (−π3,π4) 上单调递增，则 ω 的范围为 [12,103] ；③若 ω=2 ，则 y =f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程为 √3x −2y −1=0 ；④若 ω=2 ， x ∈[0,π2] ，则 y =f(x) 的最小值为 −12 ；⑤若 ω=2 ，则函数y =√3sin2x +1 的图象向右平移 π3 个单位可以得到函数 y =f(x) 的图象.其中正确命题的序号有 .（把你认为正确的序号都填上）三、解答题 (共7题；共65分)17．（10分）ΔABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，设 (sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC . （1）（5分）求 A ；（2）（5分）当 a =6 时，求其面积的最大值，并判断此时 ΔABC 的形状.18．（10分）某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.附： K 2=n(da−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)（其中 n =a +b +c +d ）（1）（5分）由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？（2）（5分）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为 X ，求 X 的分布列与数学期望.19．（10分）已知函数 f(x)=lnx x. （1）（5分）求函数 f(x) 的单调区间；（2）（5分）证明对一切 x ∈(0,+∞) ，都有 lnx <2x e −x 2ex 成立.20．（10分）已知数列 {log 2(a n −1)}(n ∈N ∗) 为等差数列，且 a 1=3 ， a 3=9 .（1）（5分）求数列 {a n } 的通项公式；（2）（5分）设 b n =2a n −1 ， S n 为数列 {b n } 的前 n 项和，若对任意 n ∈N ∗ ，总有 S n <m−43，求 m 的取值范围. 21．（10分）已知函数 f(x) 满足： f(x)=f ′(x)e x−1−f(0)x +12x 2 .（1）（5分）求 f(x) 的解析式；（2）（5分）若 g(x)=f(x)−12x 2 ，且当 x >0 时， (x −k)g ′(x)+x +1>0 ，求整数k 的最大值.22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程{x=1+3cost,y=−2+3sint（t为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴）中，直线l的方程为√2ρsin(θ−π4)=m(m∈R).（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆心C到直线l的距离等于2，求m的值. 23．（10分）函数f(x)=|x+a|+|x−2|.（1）（5分）当a=1时，求不等式f(x)≤5的解集；（2）（5分）若f(x)≥4，求a的取值范围.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】 ∵ 集合 A ={1,2,m} ， B ={3,4} ，且 A ∪B ={1,2,3,4} ， ∴m =3 或 4 .故选：D.【分析】根据并集的运算结果可得出实数 m 的值.2．【答案】A【解析】【解答】 ∵z =i 2i+1=i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i 5=25+15i ，因此，复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A.【分析】利用复数的除法运算将复数 z 表示为一般形式，即可得出复数 z 在复平面内对应的点所在的象限.3．【答案】B【解析】【解答】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为2π12=π6，所以，半径为 1 的圆的内接正十二边形的面积为 12×12×12×sin π6=3 ，因此，在半径为 1 的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为 3π .故选：B.【分析】计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.4．【答案】C【解析】【解答】解：对于 T r+1=C 5r (x 2)5−r (−1x)r=(−1)r C 5r x 10−3r ， 对于10﹣3r ＝4， ∴r ＝2，则x 4的项的系数是C 52（﹣1）2＝10 故选 C ．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为4求得．5．【答案】A【解析】【解答】解:因为切线过 (2,0) 和 (0,−1) ,所以 f ′(1)=0+12−0=12,所以切线方程为 y =12x −1 ,取 x =1 ,则 y =−12 ,所以 f(1)=−12,所以f(1)+f′(1)=−12+12=0.故选:A.【分析】由切线经过坐标轴上的两点求出切线的斜率f′(1)和切线方程,然后求出f(1),即可得到f(1)+f′(1)的值.6．【答案】C【解析】【解答】设等比数列{a n}的公比为q，由题意得{a2=a1q=2S3=a1(1+q+q2)=7，解得{a1=1q=2或{a1=4q=12，由于等比数列{a n}是递增数列，则a1=1，q=2，∴1a n+11a n=a na n+1=1q=12，且1a1=1，所以，数列{1a n}是以1为首项，以12为公比的等比数列，因此，数列{1a n}的前5项和为1×(1−125)1−12=3116.故选：C.【分析】设等比数列{a n}的公比为q，根据题意求出a1和q的值，并确定出等比数列{1a n}的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列{1a n}的前5项和的值.7．【答案】B【解析】【解答】解:因为f(x)=x2−2x−2|x|+1,所以f(0)=0,排除ACD.故选:B.【分析】根据f(x),求出f(0),即可排除错误选项.8．【答案】C【解析】【解答】解:因为a⃗=(√2cosθ,√2sinθ), b⃗=(0,1),所以cos<a ,b⃗>=a⃗⃗ ⋅b⃗⃗|a⃗⃗ ||b⃗⃗ |=√2sinθ√2=sinθ,因为θ∈(π2,π),所以<a ,b⃗>=θ−π2,所以向量a⃗与b⃗的夹角为θ−π2 .故选:C.【分析】直接用向量的夹角公式求出两向量的夹角即可. 9．【答案】B【解析】【解答】当 n =1 时， a =152， b =4 ，满足进行循环的条件； 当 n =2 时， a =454 ， b =8 ，满足进行循环的条件；当 n =3 时， a =1358 ， b =16 ，满足进行循环的条件； 当 n =4 时， a =40516， b =32 ，不满足进行循环的条件； 故答案为：B【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出 n ，分析循环中各变量的变化情况，可得答案.10．【答案】A【解析】【解答】解:由任意 x 1 , x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2) ,有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0 ,知 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递减,又 f(x) 为 R 上的偶函数, 所以 f(2log 23)=f(3) < f(log 319)=f(−2)=f(2) < f(−log 122)=f(1) ,即 f(2log 23)<f(log 319)<f(−log 122) .故选:A .【分析】根据条件可知 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递减,然后结合 f(x) 的奇偶性比较函数值的大小即可.11．【答案】D【解析】【解答】解:因为 a n =1n(n+1) ,所以 a n =1n −1n+1 , 所以 S n =[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)] = 1−1n+1=n n+1. 由 f(x)=x(x −S 1)(x −S 2)⋯(x −S 8) ,得 f ′(x)=(x −S 1)(x −S 2)⋯(x −S 8)+x[(x −S 1)(x −S 2)⋯(x −S 8)]′,所以 f ′(0)=S 1S 2⋯S 8=12×23×⋯×89=19.故选:D .【分析】先利用裂项相消法求出 S n ,再求出 f ′(x) ,进一步求出 f ′(0) 的值.12．【答案】C【解析】【解答】画出函数 f(x) 的大致图象如下图，得出 x 1+x 2=−2 ， x 3x 4=1 ，①错、②正确； 且 −2<x 1<−1<x 2<0 ， 12<x 3<1<x 4<2 ，x 3+x 4=1x 4+x 4∈(2,52) ，则 x 1+x 2+x 3+x 4=−2+1x 4+x 4∈(0,12) ，③正确；因为 x 1x 2=x 1(−2−x 1)=−x 12−2x 1=−(x 1+1)2+1∈(0,1) ，所以 x 1x 2x 3x 4=x 1x 2∈(0,1)④正确.故选C.【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质可得 x 1+x 2=−2 ， x 3x 4=1 ，数形结合求出 −2<x 1<−1<x 2<0 ,12<x 3<1<x 4<2，进而可得结果. 13．【答案】12【解析】【解答】解:因为随机变量 ζ 服从正态分布 N(2,δ2) , 所以正态曲线关于 ζ=2 对称,所以 P(ζ<2)=12 .故答案为: 12.【分析】根据正态曲线的对称性,直接求解即可.14．【答案】（-9，1）【解析】【解答】解:因为 f(x)=lg(1−x) ,所以 f(f(x))=lg(1−f(x))=lg[1−lg(1−x)] .由 {1−lg(1−x)>01−x >0 ,得 {1−x <10x <1 ,所以 −9<x <1 , 所以函数 f(f(x)) 的定义域为 (−9,1) . 故答案为: (−9,1) .【分析】先求出 f(f(x)) ,然后根据对数函数的真数大于0,求出其值域.15．【答案】0【解析】【解答】解:因为 y =f(x) 是定义域为 (−∞,+∞) 的奇函数满足 f(−3−x)+f(x −1)=0 ,所以 f(0)=0 , f(x −1)=−f(−3−x)=f(x +3) , 则 f(x)=f(x +4) ,所以 f(x) 的周期 T =4 ,又 f(1)=1 ,所以 f(3)=f(−1)=−f(1)=−1 , f(4)=f(0)=0 ,令 x =−1 ,则 f(−3+1)+f(−2)=2f(−2)=0 ,所以 f(−2)=0 ,所以 f(2)=−f(−2)=0 , 所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0 ,所以 f(1)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f(2020)= 504×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0 . 故答案为:0.【分析】根据 y =f(x) 是定义域为 (−∞,+∞) 的奇函数满足 f(−3−x)+f(x −1)=0 ,得到 f(0)=0 和 f(x) 的周期,再结合 f(1)=1 ,求出 f(1) , f(1) , f(3) 和 f(4) 的值,进一步得到答案.16．【答案】①④【解析】【解答】解:①若函数 y =f(x) 的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为 π4 ,则 T 4=π4 ,所以 T =π ,所以 ω=2πT =2 ,故①正确; ②当 x ∈(−π3,π4) ,则 ωx −π3∈(−ωπ3−π3,ωπ4−π3) ,因为 ω>0 ,所以若函数 y =f(x) 在 (−π3,π4) 上单调递增,则 {−ωπ3−π3≥−π2ωπ4−π3≤π2 , 所以 ω≤12 ,又 ω>0 ,所以 0<ω≤12 ,故②错误;③当 ω=2 时, f(x)=√3sin(2x −π3)+1 ,则 f(0)=−12 ,f ′(x)=2√3cos(2x −π3) ,所以切线的斜率 k =f ′(0)=√3 ,所以 y =f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程为 2√3x −2y −1=0 ,故③错误;④当 ω=2 时, f(x)=√3sin(2x −π3)+1 ,当 x ∈[0,π2] 时, 2x −π3∈[−π3,2π3] ,所以当 sin(2x −π3)∈[−√32,1] ,所以 f(x)min =√3×(−√32)+1=−12,故④正确;⑤当 ω=2 时, f(x)=√3sin(2x −π3)+1 ,若 y =√3sin2x +1 的图象向右平移 π3 个单位, 则 y =√3sin[2(x −π3)]+1=√3sin(2x −2π3)+1≠f(x) ,故⑤错误.故答案为:①④.【分析】①根据条件,可得 T 4=π4,然后利用周期公式求出 ω ;②根据 f(x) 在 (−π3,π4) 上单调递增,可得 {−ωπ3−π3≥−π2ωπ4−π3≤π2 ,然后求出 ω 的范围;③当 ω=2 时,求出f (0)和f (x )的导函数,然后求出(0,f(0)) 处的切线方程的斜率 k =f ′(x) ,再求出切线方程即可;④根据 x ∈[0,π2] ,直接利用整体法求出f (x )的值域,从而得到f (x )的最小值;⑤直接求出函数 y =√3sin2x +1 的图象向右平移 π3 个单位的解析式即可.17．【答案】（1）解： ∵(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ， ∴(b −c)2=a 2−bc ， ∴b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理得 cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12， ∵0∘<A <180∘ ， ∴A =60∘（2）解：由余弦定理和基本不等式得 a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc ≥2bc −bc =bc ， ∴bc ≤a 2=36 ，当且仅当 b =c =a =6 时，等号成立，∴ΔABC 的面积 S ΔABC =12bcsinA ≤12×36×√32=9√3 .此时，由于 b =c =6 ， A =60∘ ，则 ΔABC 是等边三角形【解析】【分析】（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出 cosA =12，再结合角 A 的取值范围可得出角 A 的值；（2）对 a 利用余弦定理，利用基本不等式求出 bc 的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出 b =c ，可判断出此时 ΔABC 的形状.18．【答案】（1）解：根据茎叶图中的数据作出 2×2 列联表如表所示,根据 2×2 列联表中的数据,得 K 2=40×(10×4−16×10)226×14×20×20≈3.956>3.841 ,所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. （2）解：甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生人数为6. 由题意可知X 的取值分别为 X =0 , X =1 , X =2 ,则P(X =0)=C 22C 62=115 ； P(X =1)=C 21⋅C 41C 62=815 ； P(X =2)=C 42C 62=615 . ∴X 的分布列为其数学期望EX=0×115+1×815+2×615=43【解析】【分析】(1)根据茎叶图中的数据填写列联表,然后计算K2,再对照表得出结论;(2)先确定甲班人数X的所有可能取值,然后分别求其概率,再得到X的分布列和数学期望.19．【答案】（1）解：函数f(x)=lnxx 的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=1−lnxx2.令f′(x)>0，即lnx<1，解得0<x<e；令f′(x)<0，即lnx>1，解得x>e.因此，函数y=f(x)的递增区间是(0,e)，递减区间是(e,+∞)（2）解：要证lnx<2xe −x2e x，即证lnxx<2e−xe x，构造函数g(x)=2e−xe x，其中x>0.由（1）知，函数f(x)=lnxx 在x=e处取得极大值，亦即最大值，即f(x)max=f(e)=1e.∵g(x)=2e−xe x，∴g′(x)=x−1e x.令g′(x)<0，得0<x<1；令g′(x)>0，得x>1 .所以，函数y=g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞).则函数y=g(x)在x=1处取得极小值，亦即最小值，即g(x)min =g(1)=1e.∴f(x)max≤g(x)min，所以，lnxx<2e−xe x，因此，lnx<2xe−x2e x【解析】【分析】（1）求出函数y=f(x)的定义域和导数，然后分别解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，可得出函数y=f(x)的递增区间和递减区间；（2）要证lnx<2xe −x2e x，即证lnxx<2 e−xe x，构造函数g(x)=2e−xe x，证明出f(x)max≤g(x)min，并说明两个函数的最值不在同一处取得即可.20．【答案】（1）解：设等差数列{log2(a n−1)}的公差为d，则2d=log2(a3−1)−log2(a1−1)=log28−log22=2，解得d=1，∵log2(a1−1)=log22=1，∴log2(a n−1)=1+(n−1)×1=n，∴a n−1=2n，∴a n=2n+1（2）解：∵b n=2a n−1=22n=12n−1，∴b n+1b n=12n12n−1=2n−12n=12，且b1=1，所以，数列{b n}是以1为首项，以12为公比的等比数列，则Sn=1×(1−12n)1−12=2(1−12n)，由于数列{S n}单调递增，S1=1，∴1≤S n<2，对任意n∈N∗，总有S n<m−43，∴m−43≥2，解得m≥10.因此，实数m的取值范围是[10,+∞).【解析】【分析】（1）设等差数列{log2(a n−1)}的公差为d，利用a1、a3求出d的值，可求出数列{log2(a n−1)}的通项公式，再利用对数式化指数式可求出a n；（2）求出数列{b n}的通项公式，利用定义判断数列{b n}为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式求出S n，可求出S n的取值范围，即可得出关于m的不等式，解出即可.21．【答案】（1）解：∵f(x)=f′(x)e x−1−f(0)x+12x2,∴f′(x)=f′(x)e x−1−f(0)+x,令x=1得, f(0)=1,即f(x)=f′(1)e x−1−x+12x2,令x=0得, f′(1)=e,∴函数f(x)的解析式为f(x)=e x−x+12x2（2）解：由(1)有g(x)=e x−x,则g′(x)=e x−1,∴(x−k)g′(x)+x+1=(x−k)(e x−1)+x+1,故当x>0时, (x−k)g′(x)+x+1>0等价于k<x+1e x−1+x(x>0)①,令ℎ(x)=x+1e x−1+x(x>0),则ℎ′(x)=−xe x−1(e x−1)2+1=e x(e x−x−2)(e x−1)2,令函数H(x)=e x−x−2,易H(x)在(0,+∞)上单调递增,而H(1)<0, H(2)>0,所以H(x)在(0,+∞)内存在唯一的零点,故ℎ′(x)在(0,+∞)内存在唯一的零点,设此零点为x0,则x0∈(1,2).当x∈(0,x0)时, ℎ′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时, ℎ′(x)>0.∴ℎ(x)在(0,+∞)内的最小值为ℎ(x0).又由ℎ′(x0)=0可得e x0=x0+2∴ℎ(x0)=x0+1e x0−1+x0=1+x0∈(2,3),∴k≤2,∴k<x+1e x−1+x(x>0)恒成立,则整数k的最大值为2.【解析】【分析】(1)直接对f(x)求导,然后令x=1,求出f′(0),再令x=0,求出f′(1),从而得到f(x)的解析式;(2)先求出g(x)的解析式,然后利用分离参数法求出k的范围,进一步得到整数k的最大值. 22．【答案】解：（Ⅰ）消去参数t，得到圆C的普通方程为(x−1)2+(y+2)2=9.由√2ρsin(θ−π4)=m，得ρsinθ−ρcosθ−m=0.所以直线l的直角坐标方程为x−y+m=0.（Ⅱ）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1−(−2)+m|2=2，解得m=−3±2√2【解析】【分析】(Ⅰ)消去参数可得圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程分别为(x−1)2+(y+2)2=9, x−y+m=0；(Ⅱ)由题意结合点到直线距离公式得到关于实数m的方程，解方程可得m=−3±2√223．【答案】（1）解：当a=1时，f(x)=|x+1|+|x−2|.当x≤−1时，f(x)=−(x+1)+(2−x)=−2x+1≤5，解得x≥−2，此时−2≤x≤−1；当−1<x<2时，f(x)=x−1+2−x=1≤5成立，此时−1<x<2；当x≥2时，f(x)=x+1+x−2=2x−1≤5，解得x≤3，此时2≤x≤3.综上所述，不等式f(x)≤5的解集为[−2,3]（2）解：由于不等式f(x)≥4在R上恒成立，则f(x)min≥4.由绝对值三角不等式可得f(x)=|x+a|+|x−2|≥|(x+a)−(x−2)|=|a+2|，∴|a+2|≥4，即a+2≤−4或a+2≥4，解得a≤−6或a≥2.因此，实数a的取值范围是(−∞,−6]∪[2,+∞)【解析】【分析】（1）将a=1代入函数y=f(x)的解析式，然后分x≤−1、−1<x<2、x≥2三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式f(x)≤5，即可得出该不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出函数f(x)=|x+a|+|x−2|的最小值为|a+2|，由题意可得出|a+2|≥4，解出该不等式即可得出实数a的取值范围.。

2019届四川省内江市高三上学期第一次考试数学理试题第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知全集U=R ，N={x|x （x+3）＜0}，M={x|x ＜﹣1}则图中阴影部分表示的集合是（ ） A ．{x|﹣3＜x ＜﹣1} B ．{x|﹣3＜x ＜0}C ．{x|﹣1≤x ＜0}D ．{x ＜﹣3}2.已知满足的实数x 、y 所表示的平面区域为M 、若函数y=k （x+1）+1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[3，5]B ．[﹣1，1]C ．[﹣1，3]D ．3.42()(1x x +的展开式中x 的系数是 ()A.1B.2C.3D.124.已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（tm +n ），则实数t 的值为（A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–945. 若，且，则向量与的夹角为 ( )A 30°B 60°C 120°D 150°6. “平面内一动点P 到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P 的轨迹为椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.要得到函数y=sin(x+6π)的图像，只需要将函数y=cosx 的图像（ ）A 、向左平移3π个单位B 、向左平移6π个单位C 、向右平移3π个单位D 、向右平移6π个单位8. 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1, a n+1 =3S n (n ≥1),则a 6=( ) （A ）3 ×44 （B ）3 × 44+1 (C) 44 （D ）44+1 9.已知函数f(x)=2mx 3−3nx 2+10(m>0)有且仅有两个不同的零点，则lg 2m+lg 2n 的最小值为 （ ）A 、B 、19C 、D 、10.已知函数11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩>,则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 1,41C.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0D.1,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11.已知函数f(x)在实数集R 上具有下列性质：①f(x+2)=−f(x)；②f(x+1)是偶函数；③当x 1≠x 2∈时，(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)<0，则f(2011),f(2012),f(2013)的大小关系为（ ） A 、f(2011)> f(2012)> f(2013) B 、f(2012)> f(2011)> f(2013) C 、f(2013)>f(2011)>f(2012) D 、f(2013)> f(2012)>f(2011) 12. 已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,1)(2x x x x x f ，若方程a x f =)(有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且4321x x x x <<<，则4232131)(x x x x x ++的取值范围是（ ） A. ),1(+∞- B. (]1,1- C. )1,(-∞ D. [)1,1-第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.若12z a i =+，234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值等于 ． 14.已知(0,)απ∈，4cos 5α=，则sin()πα-= ． 15.已知点(1,A ,(0,0)B ,(1,0)C ，设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，如果BC CE λ=，那么λ等于 ． 16. 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周 期数列，周期为．已知数列满足，有以下结论：① 若，则；② 若，则可以取3个不同的值；③若，则是周期为3的数列； ④存在且，数列是周期数列．其中正确结论的序号是 __________。