2018年1月石景山高三数学(理)答案

北京市石景山区2018届高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}2．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）用计算机在0～1之间随机选取一个数a，则事件“”发生的概率为（）A．0 B．1 C．D．4．（5分）以角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点P（2，4），则=（）A．﹣3 B．C．D．35．（5分）“m＞10”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①④B．①②C．②③D．③④7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．如图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）A．3立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈8．（5分）小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t（s），他与教练间的距离为y（m），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系为．10．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为﹣1，则输出的y的值是．11．（5分）若实数x，y满足则z=3x+y的取值范围为．12．（5分）设常数a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=．13．（5分）在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则λ+μ=．14．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组（a，b，c，d），符合条件的全部有序数组（a，b，c，d）的个数是．三、解答题：共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（Ⅰ）若，求∠BAC的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．16．（13分）摩拜单车和ofo小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利．已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过1小时（包含1小时）是免费的，超过1小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算，例如：骑行2.5小时收费为2元）．现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次．设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人用车时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的车费相同的概率；（Ⅱ）设甲乙两人所付的车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为P A中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）若a=1，确定函数f（x）的零点；（Ⅱ）若a=﹣1，证明：函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；（Ⅲ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y=0平行，求a的值．19．（14分）已知椭圆离心率等于，P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．20．（13分）如果n项有穷数列{a n}满足a1=a n，a2=a n﹣1，…，a n=a1，即a i=a n﹣i+1（i=1，2，…，n），则称有穷数列{a n}为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．（Ⅰ）设数列{b n}是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4成等比数列，且b2=3，b5=1．依次写出数列{b n}的每一项；（Ⅱ）设数列{c n}是项数为2k﹣1（k∈N*且k≥2）的“对称数列”，且满足|c n+1﹣c n|=2，记S n 为数列{c n}的前n项和；（ⅰ）若c1，c2，…c k是单调递增数列，且c k=2017．当k为何值时，S2k﹣1取得最大值？（ⅱ）若c1=2018，且S2k﹣1=2018，求k的最小值．【参考答案】一、选择题1．A【解析】B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．2．A【解析】∵=，∴复数在复平面内所对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．3．D【解析】用计算机在0～1之间随机选取一个数a，则事件“”发生的概率为P==．故选：D．4．A【解析】∵角θ终边过点P（2，4），∴tanθ==2，则==﹣3，故选：A．5．A【解析】根据题意，若m＞10，则有m﹣10＞0，m﹣8＞0，则方程表示双曲线，反之，若方程表示双曲线，则有（m﹣10）（m﹣8）＞0，解可得m＞10或m＜8，则“方程表示双曲线”不一定有“m＞10”；故“m＞10”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件；故选：A．6．C【解析】对于①函数在（0，+∞）递增，不合题意；对于②函数在（0，1）递减，符合题意；对于③x＜1时，y=1﹣x，在（0，1）递减，符合题意；对于④函数在（0，1）递增，不合题意；故选：C．7．B【解析】由三视图还原原几何体如图：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=×3×1×2=3，四棱锥的体积V2=×1×3×1=1，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴此刍甍的体积V=V1+2V2=5（立方丈），故选：B．8．D【解析】A，假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B，假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C，假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30秒时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D，经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；故选：D二、填空题9．a＜b＜c【解析】a=ln＜0，b=∈（0，1），c=＞1．∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．10．13【解析】模拟执行程序框图，可得x=﹣1满足条件x＜2，x=0满足条件x＜2，x=1满足条件x＜2，x=2不满足条件x＜2，y=13输出y的值为13．故答案为：13．11．[3，6]【解析】作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得即A（，），此时z max=3×+=6，当直线y=﹣3x+z，经过点B时，直线的截距最小，此时z最小．由，解得即B（0，3），此时z min=3×0+3=3，故3≤z≤6，故答案为：[3，6]．12．﹣2【解析】的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是a C51∵x7的系数是﹣10，∴a C51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．13．【解析】设，则=（1﹣k）+k．=，∴故答案为：14．（3，2，1，4） 6【解析】根据条件分别讨论得：（3，2，1，4），（2，3，1，4）（3，1，2，4）（3，1，4，2）（4，1，3，2）（2，1，4，3）（任选一个即可，第二空2分）故答案为：（3，2，1，4）； 6三、解答题15．解：（Ⅰ）设∠BAD=α，∠CAD=β，则，，所以，因为α+β∈（0，π），所以，即．（Ⅱ）过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，因为，所以，所以；所以．16．解：（Ⅰ）甲租车时间超过1小时的概率为1﹣﹣=，乙租车时间超过1小时的概率为1﹣﹣=；则甲乙两人所付的租车费用相同的概率为P=×+×+×=；（Ⅱ）甲乙两人所付租车费用之和为随机变量ξ，则ξ的所有取值为0，2，4，6，8；且P（ξ=0）=×=，P（ξ=2）=×+×=，P（ξ=4）=×+×+×=，P（ξ=6）=×+×=，P（ξ=8）=×=；∴ξ的分布列为：数学期望为Eξ=0×+2×+4×+6×+8×=．17．证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△P AC中，由已知E为P A中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．=（﹣1，2，0），=（0，1，﹣1）．设平面P AC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，1，1）．平面PCD的法向量为=（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα==．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），=（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），=（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）=0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=．18．解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=，令f（x）=0，即ln（x﹣1）=0，即x﹣1=1，解得：x=2，故函数的零点是1；（Ⅱ）当a=﹣1时，f（x）=，∴函数的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），∴f′（x）=，设g（x）=x﹣（x+1）ln（x+1），∴g′（x）=1﹣[ln（x+1）+1]=﹣ln（x+1），∴g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，∴g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．（Ⅲ）∵f′（x）=，∴k=f′（1）=，∵y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y=0平行，∴=1，即ln（1﹣a）=，分别画出y=ln（1﹣x）与y=的图象，由图象可知交点为（0，0），∴解得a=0．19．解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=4，b=，c=2．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当∠APQ=∠BPQ，则P A、PB的斜率之和为0，设直线P A的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线P A的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），联立，得（3+4k2）x2+8k（3﹣2k）x+4（3﹣2k）2﹣48=0．∴．同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得=．∴，，====，∴AB的斜率为定值．20．解：（I）由题意可得：b5=b3=1，又b2=3，∴公比q=．∴数列{b n}的每一项分别为：9，3，1，，1，3，9．（II）（i）∵c1，c2，…c k是单调递增数列，满足|c n+1﹣c n|=2，∴n≤k﹣1时，c n+1﹣c n=2．∴c k=c1+2（k﹣1）=2017，解得c1=2019﹣2k，∴c k﹣1=c k﹣2=2015．∴S2k﹣1=2×﹣c k=4036k﹣2k2=﹣2（k﹣1009）2+2036162．∴当k=1009值时，S2k﹣1取得最大值2036162．（ii）由题意可得：c1，c2，…c k是单调减增数列，c n+1﹣c n=﹣2，n≤k﹣1时，k取得最小值．∴c k=c1﹣2（k﹣1）=2018﹣2（k﹣1）=2020﹣2k，S2k﹣1=2×﹣c k=4040k﹣2k2﹣2020=2018，化为：k2﹣2020k+2019=0，k≥2．解得k=2019．∴k的最小值为2019．。

2018年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B ＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是单调递减的函数为（）A．y＝B．y＝﹣x3C．y＝x D．y＝x+3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．1B．2C．4D．74．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，，则△ABC的面积为（）A．B．4C．D．5．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm36．（5分）现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）如图，已知线段AB上有一动点D（D异于A、B），线段CD⊥AB，且满足CD2＝λAD•BD（λ是大于0且不等于1的常数），则点C的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的焦距是，渐近线方程是．10．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是．11．（5分）已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝1，则直线l截圆C所得的弦长是．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝k有两个不同零点，则k的取值范围是．13．（5分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为．14．（5分）设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若，且的模不小于W中除外的所有向量和的模．则称是W的极大向量．有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；③若中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．16．（13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，试分别比较v1与v2、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，EB∥P A，AB＝P A＝4，EB＝2，F为PD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥PC；（Ⅱ）求证：BD∥平面PEC；（Ⅲ）求二面角D﹣PC﹣E的大小．18．（13分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．19．（14分）已知f（x）＝e x﹣ax2，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值；（Ⅲ）当x∈R时，判断y＝f（x）与y＝bx+1交点的个数．（只需写出结论，不要求证明）20．（13分）对于项数为m（m＞1）的有穷正整数数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}（k＝1，2，…，m），即b k为a1，a2，…a k中的最大值，称数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”．比如1，3，2，5，5的“创新数列”为1，3，3，5，5．（Ⅰ）若数列{a n}的“创新数列”{b n}为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列{a n}；（Ⅱ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，满足a k+b m﹣k+1＝2018（k＝1，2，…，m），求证：a k＝b k（k＝1，2，…，m）；（Ⅲ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，数列{b n}中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{a n}．2018年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B ＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，∴集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，故选：A．2．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是单调递减的函数为（）A．y＝B．y＝﹣x3C．y＝x D．y＝x+【解答】解：对于A，y＝（x≥0）是非奇非偶的函数，不满足条件；对于B，y＝﹣x3，是定义域R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数，满足条件；对于C，y＝x，定义域是（0，+∞），是非奇非偶的函数，不满足条件；对于D，y＝x+，是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，但在区间（0，+∞）上不是单调减函数，也不满足题意．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．1B．2C．4D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，S＝1满足条件i≤3，执行循环体，S＝1，i＝2满足条件i≤3，执行循环体，S＝2，i＝3满足条件i≤3，执行循环体，S＝4，i＝4不满足条件i≤3，退出循环，输出S的值为4．故选：C．4．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，，则△ABC的面积为（）A．B．4C．D．【解答】解：∵A＝60°，b＝AC＝4，a＝，由余弦定理：cos A＝，即＝，解得：c＝2．那么△ABC的面积S＝|AB|•|AC|•sin A＝＝2．故选：C．5．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm3【解答】解：由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是1，∴正方体的体积是1×1×1＝1，三棱柱的底面是腰长是的直角三角形，高是1，∴三棱柱的体积是＝∴几何体的体积是1﹣＝故选：A．6．（5分）现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种【解答】解：根据题意，设需要涂色的四个部分依次分①、②、③、④，对于区域①，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域②，与区域①相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域③，与区域①②相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域④，与区域②③相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，则不同的涂色方法有4×3×2×2＝48种；故选：D．7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．8．（5分）如图，已知线段AB上有一动点D（D异于A、B），线段CD⊥AB，且满足CD2＝λAD•BD（λ是大于0且不等于1的常数），则点C的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设AB中点为O，设C（x，y），AB＝2a，则D（x，0），A（﹣a，0），B（a，0），∵线段CD⊥AB，且满足CD2＝λAD•BD（λ是大于0且不等于1的常数），∴y2＝λ（x+a）（x﹣a）＝λx2﹣λa2，∴λx2+y2＝λa2．∴点C的运动轨迹为椭圆的一部分．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的焦距是2，渐近线方程是y＝±x．【解答】解：双曲线＝1中，a＝，b＝1，c＝，∴焦距是2c＝2，渐近线方程是y＝±x．故答案为：2；y＝±x．10．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，﹣1），x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2＝32+（﹣1）2＝10，故答案为：10．11．（5分）已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝1，则直线l截圆C所得的弦长是．【解答】解：直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝1，化为直角坐标系下的普通方程为y+x＝1；由圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为普通方程x2+（y ﹣2）2＝1，其圆心C（0，2），半径r＝1．直线l截圆C所得的弦长＝2＝．故答案为．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝k有两个不同零点，则k的取值范围是（0，1）．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵f（x）＝k有两个不同解，∴0＜k＜1．故答案为：（0，1）．13．（5分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为．【解答】解：解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+…+2n﹣1＝1023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为＝．故答案为：．14．（5分）设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若，且的模不小于W中除外的所有向量和的模．则称是W的极大向量．有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；③若中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是②③．【解答】解：在①中，若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故①不正确；在②中，使围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故②正确；在③中，3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故③正确．故答案为：②③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）＝＝＝………………（5分）所以周期为．………………（6分）（Ⅱ）因为，所以．………………（7分）所以当时，即x＝π时f（x）max＝1．当时，即时f（x）min＝﹣2．…………（13分）16．（13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、，试分别比较v1与v2、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题意得m＝4，n＝2，这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B组；…………………（3分）（Ⅱ）v1＜v2，＜；…………………（6分）（Ⅲ）ξ的可能取值为0，30，140，170，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝30）＝，P（ξ＝140）＝，P（ξ＝170）＝．∴ξ的分布列为：ξ的数学期望为．…………………（13分）17．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，EB∥P A，AB＝P A＝4，EB＝2，F为PD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥PC；（Ⅱ）求证：BD∥平面PEC；（Ⅲ）求二面角D﹣PC﹣E的大小．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）依题意，P A⊥平面ABCD．如图，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．……（2分）依题意，可得A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4，0，0），P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2）．因为，，所以．……（5分）所以AF⊥PC．……（6分）（Ⅱ）取PC的中点M，连接EM．因为M（2，2，2），，，所以，所以BD∥EM．……（8分）又因为EM⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC．……（9分）解：（Ⅲ）因为AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC＝P，所以AF⊥平面PCD，故为平面PCD的一个法向量．……（10分）设平面PCE的法向量为，因为，，所以即令y＝﹣1，得x＝﹣1，z＝﹣2，故．……（12分）所以，……（13分）所以二面角D﹣PC﹣E的大小为．……（14分）18．（13分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．∵直线l与抛物线相切，∴△＝16﹣16kb＝0，即．∴直线l的方程为y＝kx+．令x＝﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则＝＝．当m＝1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．19．（14分）已知f（x）＝e x﹣ax2，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值；（Ⅲ）当x∈R时，判断y＝f（x）与y＝bx+1交点的个数．（只需写出结论，不要求证明）【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝e x﹣ax2的导数为f′（x）＝e x﹣2ax，由已知可得f′（1）＝e﹣2a＝b，f（1）＝e﹣a＝b+1，解得a＝1，b＝e﹣2．（Ⅱ）令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2x．则g'（x）＝e x﹣2，故当0≤x＜ln2时，g'（x）＜0，g（x）在[0，ln2）单调递减；当ln2＜x≤1时，g'（x）＞0，g（x）在（ln2，1]单调递增；所以g（x）min＝g（ln2）＝2﹣2ln2＞0，故f（x）在[0，1]单调递增，所以f（x）max＝f（1）＝e﹣1．（Ⅲ）当x∈R时，y＝f（x）与y＝bx+1有两个交点．20．（13分）对于项数为m（m＞1）的有穷正整数数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}（k＝1，2，…，m），即b k为a1，a2，…a k中的最大值，称数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”．比如1，3，2，5，5的“创新数列”为1，3，3，5，5．（Ⅰ）若数列{a n}的“创新数列”{b n}为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列{a n}；（Ⅱ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，满足a k+b m﹣k+1＝2018（k＝1，2，…，m），求证：a k＝b k（k＝1，2，…，m）；（Ⅲ）设数列{b n}为数列{a n}的“创新数列”，数列{b n}中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{a n}．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若数列{a n}的“创新数列”{b n}为1，2，3，4，4，所有可能的数列{a n}为1，2，3，4，1；1，2，3，4，2；1，2，3，4，3；1，2，3，4，4；（Ⅱ）由题意知数列{b n}中b k+1≥b k．又a k+b m﹣k+1＝2018，所以a k+1+b m﹣k＝2018，a k+1﹣a k＝（2018﹣b m﹣k）﹣（2018﹣b m﹣k+1）＝b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0所以a k+1≥a k，即a k＝b k（k＝1，2，…，m）；（Ⅲ）当m＝2时，由b1+b2＝b1b2得（b1﹣1）（b2﹣1）＝1，又，所以b1＝b2＝2，不满足题意；当m＝3时，由题意知数列{b n}中b n+1＞b n，又b1+b2+b3＝b1b2b3当b1≠1时此时b3＞3，b1+b2+b3＜3b3，而b1b2b3＞6b3，所以等式成立b1＝1；当b2≠2时此时b3＞3，b1+b2+b3＜3b3，而b1b2b3≥3b3，所以等式成立b2＝2；当b1＝1，b2＝2得b3＝3，此时数列{a n}为1，2，3．当m≥4时，b1+b2+…+b m＜mb m，而b1b2…b m≥（m﹣1）!b m＞mb m，所以不存在满足题意的数列{a n}．综上数列{a n}依次为1，2，3．。

石景山区2018-2019学年第一学期高三期末数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．80； 10．3n ； 11． 4；12．2x =-；（答案不唯一） 13.14. 95，1155．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）解：（Ⅰ）由图可得1,A =4233T ππ=-=π，所以2,1T =πω=. 当3x π=时，1)(=x f ，可得sin()13π+ϕ=，||,.26ππϕ<∴ϕ=()sin()6f x x π∴=+.（Ⅱ）()()cos sin()cos sin cos cos sin cos 666g x f x x x x x x x πππ=-=+-=+-1cos sin()26x x x π=-=-. 0,2663x x ππππ∴--≤≤≤≤. 当66x ππ-=-，即0=x 时，)(x g 有最小值为21-.16.（本小题13分） 解：（Ⅰ）能住宿.因为200名男生中有10名男生能住宿，所以40名男生样本中有2名男生能住宿。

样本数据中距离为8.4km 和8km 的男生可以住宿，距离为7.5km 以下的男生不可以住宿，由于8.3 >8，所以男生甲能住宿。

（Ⅱ）根据分层抽样的原则，抽取女生样本数为32人.所有样本数据平均值为40 5.132 4.87554032⨯+⨯=+.（Ⅲ）解法一：记住宿的双胞胎为12,A A ，其他住宿女生为123456,,,,,B B B B B B . 考虑1A 的室友，共有2123456,,,,,,A B B B B B B 七种情况， 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为17. 解法二：设“双胞胎姐妹被分到同一宿舍”为事件A ，则2226422222864241()7C C C P A C C C C ==. 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为17.17.（本小题14分）（Ⅰ）证明：在AOC △中，⊥AO OC ，∵⊥OB OC ，且AO OB =O I ，∴ ⊥OC 平面AOB ， 又⊂OC 平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB ． （Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系-xyz O ， ∵D 为AB 的中点，∴(000)O ，，，(002)A ，，，(010)B ，，，(100)C ，，，1(01)2D ，，， ∴(100)OC =u u u r ，，，1(01)2OD =uuu r ，，，(110)-BC =u u u r ，，，1(01)2-BD =uu u r ，， 设1111()=n x y z u r，，为平面OCD 的法向量，∴1100⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩n OC =n OD =u r uuu r u r uuu r，，即1110102⎧⎪⎨⎪⎩x =y +z =，， 令1=1z ，则1=2-y ，∴1(021)=-n u r，，是平面BCD 的一个法向量， 设2222()=n x y z u u r，，为平面OCD 的法向量， ∴2200⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩n BC =n BD =u u r uu u r u u r uu u r，，即22220102-=⎧⎪⎨-⎪⎩x y y +z =， 令2=1z ，则2=2x ，2=2y ，∴2(221)=n u u r，，是平面OCD 的一个法向量，∴121212cos ||||⋅<>===⋅n n n n n n u r u u ru r u u r u r u u r ， ∴二面角--B CD O（Ⅲ）解法一:∵⊥OC 平面AOB ，∴∠CDO 为CD 与平面AOB 所成的角， ∵1=OC ，∴点O 到直线AB 的距离最小时，∠CDO 的正弦值最大，即当⊥OD AB 时，∠CDO 的正弦值最大，此时=OD，∴=CD∴sin 3∠CDO =． 解法二：设([0,1])AD=AB ∈λλu u u r u u u r，所以(0,,22)D λλ-．(1,,22)CD=λλ--u u u r．平面AOB 的法向量(1,0,0)n =r ，所以||sin ||||n CD n CD θ⋅===r uu u r r uu u r 所以当45λ=时，CD 与平面AOB所成的角最大，sin 3θ=． 18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，所以222p =，2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点F 点坐标为(1,0)．（Ⅱ）因为BMF △与ABF △的面积相等，所以BM AB =，所以B 为AM 的中点． 设0000(,)(0)M x y x y ≠，则0(,0)A x -． 所以直线l 的方程为000()2y y x x x =+， 与抛物线24y x =联立得： 200840x y y x y -+=，2200002006464161604x x x x y x ∆=-=-= 所以直线l 是抛物线C 的切线．19.（本小题13分）解：（Ⅰ）当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+. (1)1,(1)0f f '==， 所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-. （Ⅱ）()f x 有极小值⇔函数()f x '有左负右正的变号零点.()1()ln ln 1af x x x a x x x'=++=++令()()g x f x '=，则221()a x ag x x x x-'=-=令()0g x '=，解得x a =.,(),()x g x g x '的变化情况如下表：① 若ln 20a +≥，即2a e -≥，则()0g x ≥，所以()f x '不存在变号零点，不合题意.② 若ln 20a +<，即2a e -<时，()ln 20g a a =+<，(1)10g a =+>.所以0(,1)x a ∃∈，使得0()0g x =；且当0(,)x a x ∈时，()0g x <，当0(,1)x x ∈时，()0g x >. 所以当(,1)x a ∈时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：所以20a e -<<.20.（本题13分）解：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）不妨设A 为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为()C A ,考虑含n +1个元素的集合2222{1,2}B n n n n n =---，，， ，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为212x x n <≤ 也必有至少两个数处于同一列，设为212y y n <≤.①若211max(,)1x y n n -+≥则有222111()max(,)1n n n C A x y n n n+<-+≤≤（因为33+1n n >）.②若211max(,)1x y n n <-+，即211x y n n ==-，则22x y ≠， 222min(,)1x y n -≤．所以22222min(,)1(1)(1)1()(1)x y n n n n C A n n n n n n n-+-+==---≤≤.即不论何种情况，总有1()nC An≤. …13分【若有不同解法，请酌情给分】。

2018年石景山区高三统一测试数学（文）试卷考生须知1．本试卷共5页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合，集合，则（）A．B ．C．D ．2.下列函数中既是奇函数，又在区间上是单调递减的函数为（）A．B．C．D．3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．B．C．D．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.5.已知平面向量满足，与的夹角为，若，则实数的值为（）A． B.C．D．6. “”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 若某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体的体积是（）A. B.C. D.8.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.复数=___________.10.双曲线的焦距是________,渐近线方程是_____________.11.若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________________________.12.在中，，，，则的面积等于________．13.在等差数列中，如果是与的等比中项，那么_____．14.已知函数.①当时，函数的零点个数为__________；②如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期;（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.16．（本小题共13分）在等差数列中，，其前项和满足.（Ⅰ）求实数的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和.17．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：组别红包金额分组频数A 0≤x＜40 2B 40≤x＜80 9C 80≤x＜120 mD 120≤x＜160 3E 160≤x＜200 n（Ⅰ）写出m，n（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率．18．（本小题共14分）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且．（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）若为中点，在棱上，且，求证：//平面．19．（本小题共13分）已知椭圆E:的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若分别是椭圆E的左、右顶点，动点满足，连接，交椭圆E于点．证明：为定值（为坐标原点）．20．（本小题共14分）设函数，．（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）讨论函数零点的个数；（Ⅲ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．2018年石景山区高三统一测试数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B B C D A A B题号9 10 11 12 13 14答案三、解答题共6小题，共80分．15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）………………5分所以周期为. ………………6分（Ⅱ）因为，所以. ………………7分所以当时，即时.当时,即时. …………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，………………2分所以，所以. ………………4分所以，所以.所以. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.所以. ………………9分所以………………13分（本小题13分）解：（Ⅰ）m=4，n=2，B；………………3分（Ⅱ）<，<；………………6分（Ⅲ）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合为(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，共6种结果记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果所以. ……………… 13分18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为是正三角形，且，又⊥平面，………………3分故S△BCD．………………4分（Ⅱ）在底面中，取的中点，连接，因，故．因，故为的中点．又为的中点，故∥，故．……5分因平面，平面，故平面平面．是正三角形，为的中点，故，故平面．………………7分平面，故．………………8分又，故平面．………………9分（Ⅲ）当时，连，设，连．因为的中点，为中点，故为△的重心，．………………10分因，，故，所以∥．………………12分又平面，平面，所以∥平面．……14分19.（本小题13分）（Ⅰ）解：因为，所以．………………1分因为，所以．………………4分所以椭圆方程为．………………5分（Ⅱ）方法一：证明：C(－2，0)，D(2，0)，设，则＝，＝．………………7分直线CM：，即．………………8分代入椭圆方程，得，所以．………………10分所以．所以＝．………………12分所以·＝．即·为定值．………………13分方法二：设，由可得，即.∵点在上∴.∴.∴为定值.方法三：因为直线不在轴上，故可设.由得，∴，即．在直线中令，则，即．∴.∴为定值.20.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以当时，取得极小值．………………3分（Ⅱ），令，得．设，则．所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以的最大值为，又，可知：①当时，函数没有零点；②当或时，函数有且仅有1个零点；③当时，函数有2个零．……………9分（Ⅲ）原命题等价于恒成立．.设，则等价于在上单调递减．即在上恒成立，所以恒成立，所以．即的取值范围是．………………14分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

2019年石景山区高三统一测试数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABCCADCB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（两空题目，第一空2分，第二空3分） 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）2()2cos 23sin cos 1f x x x x =+-cos23sin2x x =+ 132(cos 2sin 2)22x x =+π2sin(2)6x =+ ………………5分 所以周期为2ππ2T ==. ………………6分（Ⅱ）因为ππ2x ≤≤，所以7ππ13π2666x ≤+≤. ………………7分 所以当π13π266x +=时，即πx =时max ()1f x =.当π3π262x +=时,即2π3x =时min ()2f x =-. …………13分题号 91011121314 答案23，22y x =±1020,1（）132②③16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）m =4，n =2，B ； ………………… 3分（Ⅱ）1v <2v ，21s <22s ； ………………… 6分（Ⅲ）ξ的可能取值为0，30，140，170，ξ0 30 140 170P16 16 13 13ξ的数学期望为111132503014017066333E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．………………… 13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系． ……2分 依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．因为(2,0,2)AF =，(4,4,4)PC =-，所以80(8)0AF PC ⋅=++-=． ……5分所以AF PC ⊥. ……6分（Ⅱ）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．因为(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-，(4,4,0)BD =-，所以2BD EM =，所以//BD EM ． ……8分又因为EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，所以//BD 平面PEC ． ……9分z yxMFEPBA D C（Ⅲ）解：因为AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =，所以AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量．……10分 设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =， 因为(4,4,4)PC =-，(0,4,2)PE =-，所以0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =-，得1x =-，2z =-，故(1,1,2)n =---． ……12分所以2043cos ,2226AF n ---<>==-⋅， ……13分 所以二面角D PC E --的大小为5π6． ……14分18．（本小题共13分）（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y ，由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以(1,0)为焦点，1x =-为准线的抛物线， 所以动点E 的轨迹C 的方程为24y x =． ……………5分（Ⅱ）证明：由24y kx by x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切，所以16-160kb ∆==，即1b k=． ……8分 所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k=-+． 所以Q 11,k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭． ……………10分设切点坐标00(,)P x y ，则20044+0ky y k-=， 解得：212(,)P k k， ……………11分 设(,0)M m ，2121(1)()k MQ MP m m k k k ⎛⎫⋅=---+-+ ⎪⎝⎭221=2m m m k -+--所以当22=0-10m m m ⎧+-⎨=⎩，即10m MQ MP =⋅=时，所以MQ MP ⊥所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）()2x f x e ax '=-,由已知可得(1)2f e a b '=-=，(1)1f e a b =-=+解之得1,2a b e ==-． …………3分（Ⅱ）令()'()2x g x f x e x ==-．则'()2x g x e =-, …………5分 故当0ln 2x ≤<时，'()0g x <，()g x 在[0,ln 2)单调递减；当ln 21x <≤时，'()0g x >，()g x 在(ln 2,1]单调递增；所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->， …………8分故()f x 在[0,1]单调递增，所以max ()(1)1f x f e ==-． ………11分（Ⅲ）当x R ∈时，()y f x =与1y bx =+有两个交点. ………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）所有可能的数列{}n a 为1,2,3,4,1；1,2,3,4,2；1,2,3,4,3；1,2,3,4,4 …………3分（Ⅱ）由题意知数列{}n b 中1k k b b +≥.又12018k m k a b -++=，所以12018k m k a b +-+= …………4分111(2018)(2018)0k k m k m k m k m k a a b b b b +--+-+--=---=-≥所以1k k a a +≥，即k k a b =（1,2,,k m =） …………8分（Ⅲ）当2m =时，由1212b b b b +=得12(1)(1)1b b --=，又12,b b N *∈ 所以122b b ==，不满足题意；当3m =时，由题意知数列{}n b 中1n n b b +>，又123123b b b b b b ++=当11b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12336b b b b >，所以等式成立11b =； 当22b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12333b b b b ≥，所以等式成立22b =； 当11b =，22b =得33b =，此时数列{}n a 为1,2,3. 当4m ≥时，12m m b b b mb +++<，而12(1)!m m m b b b m b mb ≥->，所以不存在满足题意的数列{}n a .综上数列{}n a 依次为1,2,3. …………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

2018年石景山区高三统一测试数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBBCDAAB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()2cos 23sin cos 1f x x x x =+-cos23sin 2x x =+132(cos 2sin 2)22x x =+π2sin(2)6x =+ ………………5分 所以周期为2ππ2T ==. ………………6分（Ⅱ）因为ππ2x ≤≤，所以7ππ13π2666x ≤+≤. ………………7分 所以当π13π266x +=时，即πx =时max ()1f x =.当π3π262x +=时,即2π3x =时min ()2f x =-. …………13分题号91011121314答案11i 22-- 2322y x =±22(1)1x y +-=2393[)[)2,04,-+∞16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为221(42)(1)3a S S λλλ=-=+-+=+， ………………2分 所以34λ+=，所以1λ=. ………………4分 所以112a S ==，所以212d a a =-=.所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1λ=，所以111122n n n nb S --+=⨯=. 所以1111122()(1)1n n n b n n n n --=-=--++. ………………9分所以01111111(222)[(1)()()]2231n n T n n -=+++--+-++-+L L121(1)121n n -=---+ 2121n n n +=-+………………13分 17.（本小题13分）解：（Ⅰ）m =4，n =2，B ； ………………3分（Ⅱ）1v <2v ，21s <22s ； ………………6分（Ⅲ）A 组两个数据为22，22，E 组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合为(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)， 共6种结果记数据差的绝对值大于100为事件A ，事件A 包括4种结果所以42()63P A ==. ……………… 13分18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为BCD △是正三角形，且AB BC a ==，所以234BCD S a =△． ………………2分 又AB ⊥平面BCD ， ………………3分故13D ABC A BCD V V AB --==⋅⋅S △BCD 21334a a =⋅⋅3312a =． ………………4分 （Ⅱ）在底面ABC 中，取AC 的中点H ，连接BH ，因AB BC =，故BH AC ⊥． 因3AF FC =，故F 为CH 的中点． 又E 为BC 的中点，故EF ∥BH ， 故EF AC ⊥．……5分因AB ⊥平面BCD ，AB ⊂平面ABC ， 故平面ABC ⊥平面BCD ．BCD △是正三角形，E 为BC 的中点，故DE BC ⊥，故DE ⊥平面ABC ． ………………7分AC ⊂平面ABC ，故DE ⊥AC ． ………………8分又D E EF E ⋂=，故AC ⊥平面DEF ． ………………9分（Ⅲ）当38CN CA =时，连CM ，设CM DE O ⋂=，连OF ．因E 为BC 的中点，M 为DB 中点，故O 为△BCD 的重心，23CO CM =． ………………10分因3AF FC =，38CN CA =，故23CF CN =，所以MN ∥OF ． ………………12分 又OF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，所以MN ∥平面DEF ． ……14分ABCDN F M EHO。

北京市石景山区 2018 年 高 三 统 一 测 试数学试题（理科）考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分150分，考试时间为120分钟。

2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数21i +等于 （ ）A ．2i -B ．2iC ．1i -D ．1i + 2．已知命题:,2p x R x ∀∈≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．,2x R x ∀∈≤B ．,2x R x ∀∈≤C ．2,-≤∈∀x R xD ．2,-<∈∀x R x3．已知平面向量)2,1(=a ，m b a m b 则且,//),,2(-=的值为（ ）A ．1B ．-1C ．4D ．-44．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝2）为 （ ）A ．80B ．60C ．40D ．205．经过点P （2，-3）作圆25)1(22=++y x 的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）A ．05=--y xB ．05=+-y xC ．05=++y xD ．05=-+y x6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ） A ．求数列}1{n 的前10项和)(*N n ∈B ．求数列}21{n 的前10项和)(*N n ∈C ．求数列}1{n 的前11项和)(*N n ∈D ．求数列}21{n的前11项和)(*N n ∈7．已知函数)(x f 的导函数)(x f '的图象如图所示， 那么函数)(x f 的图象最有可能的是 （ ）8．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数c b a ,,是公差为正数的等差数列，且满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f 。

若实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：①a d <;②;b d <③;c d >④c d >中有可能成立的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年石景山区高三统一测试数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．13-； 10．1-； 11．8； 12．7； 13． (4)(6)0x x +->；（答案不唯一） 14． π34． 三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ），所以12n n n a S S n -=-=（2n ≥，*n ∈N ）．又因为12a =，所以2n a n =（*n ∈N ）．所以2(22)2n n n S n n +==+． （Ⅱ）24n a n n b ==，所以4444143n n n T --==-．16．（本小题13分）解：(Ⅰ)在ABC △中，1cos 3B =-，∴sin B ==，∵b =3c=，由正弦定理sin sin b c B C =3sin C=，∴sin C =（Ⅱ）由余弦定理222+2cos b =a c ac B -得2112+923()3=a a -⨯⨯-， ∴2230a a =+-，解得1a=或3a=-（舍） ∴1sin 2ABC S =ac B V1132=⨯⨯= 17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：在矩形ABCD 中，CD ∥AB ，∵F G ，分别为BE AE ，的中点， ∴FG ∥AB ，且FG 12=AB ， ∴CD ∥FG ，∵CD ⊄平面FGH ，FG ⊂平面FGH ，∴CD ∥平面FGH ．（Ⅱ）证明：在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又∵90BAE ∠=︒，∴AB AE ⊥，又AD AE =A I∴AB ⊥平面ADE ，又//GF AB∴GF ⊥平面ADE ，∵GF ⊂平面FGH ，∴平面FGH ⊥平面ADE ．（Ⅲ）解：作AP DE ⊥于P ，∵GF ⊥平面ADE ，且AP ⊂平面ADE ，∴GF AP ⊥，∵,G H 分别为AE,AD 的中点，∴GH AP ⊥∵GF GH =G I ，∴AP ⊥平面FGH ，∵FH ⊂平面FGH ，∴AP FH ⊥，∵矩形ABCD ⊥平面AEB ，且平面ABCD I 平面AEB=AB ，∴AE ⊥平面ABCD ，∴AE ⊥平面AD ，在直角三角形AED 中，4AE=，2AD=，可求得5AP =． 18．（本小题13分）解：（Ⅰ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：(0.010.040.080.0250.025)51a +++++⨯=．所以0.02a =．（Ⅱ）该单位[25, 35)岁职工共24人，由于[25, 35)岁男女职工人数相等，所以[25, 35)岁的男职工共12人．由（Ⅰ）知，男职工年龄在[25, 35)岁的频率为0.15，所以男职工共有12800.15=人， 所以女职工有14080=60-人，所以男女比例为4∶3．（Ⅲ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在[25, 30)岁的频率为0.05． 由（Ⅱ）知，男职工共有80人，所以男职工年龄在[25, 30)岁的有4人，分别记为1234,,,A A A A ．又全体员工年龄在[25, 30)岁的有6人，所以女职工年龄在[25, 30)岁的有2人，分别记为12,B B ．从年龄在25~30岁的职工中随机抽取两人的结果共有121314()()()A A A A A A ，，，，，， 111223242122343132()()()()()()()()()A B A B A A A A A B A B A A A B A B ，，，，，，，，，，，，，，，，，，414212()()()A B A B B B ，，，，，15种情况，其中一男一女的有111221223132()()()()()()A B A B A B A B A B A B ，，，，，，，，，，，，4142()()A B A B ，，，8种情况，所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为815． 19．（本小题13分）解：（Ⅰ）2)(a ax e x f x +-=Θ，a e x f x -='∴)(，a e f -='∴)1(，由题设知0)1(='∴f ，即0=-a e ，解得e a =． 经验证e a=满足题意。