(完整word版)宁波市2018年高考模拟考试数学试卷

浙江省宁波市2018届高三5月模拟考试数学试题(全W O R D版)宁波市2018年高考模拟考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1．已知集合{}05A x x =<<，{}2280B x x x =--<，则A B =IA ．()2,4-B ．()4,5C ．()2,5-D ．()0,42．已知复数z 满足(1)2z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为A ．32i -B ．32iC ．32-D ． 323．已知直线l 、m 与平面α、β，α⊂l ，β⊂m ，则下列命题中正确的是A ．若m l //，则必有βα//B ．若m l ⊥，则必有βα⊥C ．若β⊥l ，则必有βα⊥D ．若βα⊥，则必有α⊥m4．使得3nx ⎛ ⎝（n N *∈）的展开式中含有常数项的最小的n 为A ．4B ．5C ．6D ．75．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．已知实数x ，y 满足不等式组2403480280x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则x y -的最大值为A. 0B. 2C. 4D. 87．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有A ．48种B ．72种C ．96种D ．216种8．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点(5,0)P 的直 线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若5BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆= A ．56 B ． 2033 C ． 1531 D ． 2029（第7题图）（第14题图）9．已知a 为正常数，2221,()321,x ax x a f x x ax a x a ⎧-+≥=⎨-++<⎩,若存在(,)42ππθ∈，满足(sin )(cos )f f θθ=，则实数a 的取值范围是 A. 1(,1)2 B. )1,22(C. )2,1(D. )22,21( 10．已知,x y 均为非负实数，且1x y +≤，则22244(1)x y x y ++--的取值范围为A. 2[,4]3B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[2,9]二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．双曲线2213y x -=的离心率是 ，渐近线方程为 ． 12．已知直线:1l mx y -=．若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ；动直线l 被圆222240x x y ++-=截得弦长的最小值为 ．13若2EX =，则a = ；DX = ．14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120o 的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为 ，该三棱锥的外接球体积为 ．15．已知数列{}n a 与2{}na n 均为等差数列（n N *∈），且12a =，则23321()))23n n a a a a n++++=L （（ ． 16．已知实数,,a b c 满足：2a b c ++=-，4abc =-.则c b a ++的最小值为 ．17．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为侧面11BB C C 中心，F 在棱AD 上运动，正方体表面上有一点P 满足111D P xD F yD E =+u u u u ru u u u r u u u u r(0,0)x y ≥≥，则所有满足条件的P 点构成图形的面积为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1A（第17题18．（本题满分14分）已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若满足()0f B =，2a =，且D 是BC 的中点，P 是直线AB 上的动点，求PD CP +的最小值．19．（本题满分15分）如图，四边形ABCD 为梯形，，∥︒=∠60,C CD AB 点E 在线段CD 上，满足BE CD ⊥,且124CE AB CD ===，现将ADE ∆沿AE 翻折到AME 位置，使得210MC =（Ⅰ）证明：AE MB ⊥;（Ⅱ）求直线CM 与面AME 所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数1()ln f x a x x x=+-，其中a 为实常数．（Ｉ）若12x =是()f x 的极大值点，求(f x ）的极小值； （Ⅱ）若不等式1ln a x b x x -≤-对任意502a -≤≤，122x ≤≤恒成立，求b 的最小值．21．（本题满分15分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3(2,1)M -是椭圆内一点，过点M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l ，设1l 与椭圆C 相交于点,A B ，2l 与椭圆C 相交于点,D E ．当M 恰好为线段AB 的中点时，10AB = （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求AD EB ⋅u u u r u u u r的最小值．22. （本题满分15分）三个数列{}{},{}n n n a b c ，，满足11110a =-，11b =，1n a +=，121n n b b +=+，,*n n b c a N n =∈．（Ⅰ）证明：当2n ≥时，1n a >；（Ⅱ）是否存在集合[,]a b ，使得[,]n c a b ∈对任意*n N ∈成立，若存在，求出b a -的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：232311226(*,2)22nn n nc n N n c c c +++≤+-∈+≥+L ．宁波市2018年高考模拟考试数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．D 10．A9．()f x 关于直线x a =对称，且在[,)a +∞上为增函数．所以sin cos )224a πθθθ+==+ ．因为(,)42θππ∈ ，3(,)424ππθπ∈+．所以2sin(12()2)242a πθ∈=+，． 10．简解：1()2x y z -+=，则试题等价于21x y z ++=，满足,,0x y z ≥，求2224()x y z ++的取值范围． 设点1(0,0,)2A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，点(,,)P x y z 可视为长方体的一个三角截面ABC 上的一个点，则2222||OP x y z =++，于是问题可以转化为||OP 的取值范围．显然||1OP ≤，||OP 的最小值为O 到平面ABC 的距离， 可以利用等积法计算．因为O ABC A OBC V V --=，于是可以得到||6OP ≥．所以21||[,1]6OP ∈，即2224[]x y z ++2[,4]3∈．另解：因为,0x y ≥，所以2222()()2x y x y x y +≤+≤+令t x y =+，则01t ≤≤ ．22222244(1)4(1)5214x y x y t t t t ++--≤+-=-+≤．当0xy =且1t =，即0,1x y ==或1,0x y ==时取等号； 另一方面，222222244(1)2(1)3213x y x y t t t t ++--≥+-=-+≥ 当16x y ==时取等号．所以222244(1)[,4]3x y x y ++--∈．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分． 11．2，3y x =± 12．1-，223 13．0；5214．4315++，205π 15．221-+n16．6 17．11816．简解：不妨设a 是,,a b c 中的最小者，即,a b a c ≤≤，由题设知0a <，且2b c a +=--，4bc a-=. 于是,b c 是一元二次方程24(2)0x a x a++-=的两实根， 24(2)40a a∆=++⨯≥， 3244160a a a +++≤，2(4)(4)0a a ++≤, 所以4a ≤-.又当4a =-,1b c ==时，满足题意. 故,,a b c 中最小者的最大值为4-.因为,,0a b c <，所以,,a b c 为全小于0或一负二正.1）若,,a b c 为全小于0，则由（1）知，,,a b c 中的最小者不大于4-，这与2a b c ++=-矛盾. 2）若,,a b c 为一负二正，设0,0,0a b c <>>，则22826a b c a b c a ++=-++==--≥-= 当4a =-,1b c ==时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故c b a ++的最小值为6. 17．答：118． 构成的图形，如图所示．记BC 中点为N ，所求图形为直角梯形ABND 、BNE ∆、1D AD ∆．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）解答：（Ⅰ）1()4cos cos )12f x x x x =--2cos222sin(2)26x x x π=--=--……………………4分由于222,262k x k k Z πππππ-+<-<+∈，ND11B 1D 1A所以()f x 增区间为,,63k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．……………………6分（Ⅱ）由()2sin(2)206f B B π=--=得 262B ππ-=，所以3π=B . …………8分 B C P C D C ''',,，作C 关于AB 的对称点'C , 连7)()('2'22'=⋅++=BC BD BC BD D C……………………12分.7,,7共线时，取最小值，当D P C D C PD P C PD CP '='≥+'=+……………………14分19．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）方法一：连BD 交AE 于N ，由条件易算43BD = ∴BC BD ⊥ ··········2分 又//BC AE ∴AE BD ⊥ ··········4分从而,AE A BN M E N ⊥⊥ 所以AE MNB ⊥平面 ··········6分 ∴AE MB ⊥ ··········7分方法二：由102,2,6====MC CE DE ME ，得222MC CE ME =+ , 故CE ME ⊥，又CE BE ⊥ ，所以CE BEM ⊥平面 ，……………………2分 所以CE BM ⊥， ……………………3分 可得BM AB ⊥，计算得62,72===MB AM AD ,EMBEC DC（第19题图）从而222BE MB ME +=,BM BE ⊥ ……………………5分⊥MB 平面ABE ，所以AE MB ⊥. ……………………7分（Ⅱ）方法一：设直线CM 与面AME 所成角为θ， 则sin hMCθ=，其中h 为C 到AME 面的距离. …………………9分 ∵AE BC ∥ ∴C 到AME 面的距离即B 到AME 面的距离. 由1133M ABE ABE B AME AEM V S BM V S h -∆-∆===．…………………12分所以3ABE AEM S BM h S ∆∆==∴sin 15h MC θ== . ……………………………………………15分 方法二：由MB ABCE ⊥面，如图建系，(0,2,0),2,0),A C -(0,0,E M则(0,2,2,0),AM AE =-=-u u u u r u u u r2,MC =--u u u u r设平面AME 的法向量为(,,)m x y z =u r，由00m AM m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r ，可取m =u r， …………………………12分sin cos ,15m MC m MC m MCθ⋅=<⋅∴>==u r u u u u ru r u u u u r u r u u u u r ．.………………………15分20．（本题满分15分）解答：（Ｉ）221()x ax f x x ++'=， 因为0x >．C（第21题图）由1'()02f =，得211()1022a ++= ，所以52a =- ,…………3分 此时51()ln 2f x x x x=-+-． 则222511(2)()22'()x x x x f x x x-+--==． 所以()f x 在1[,2]2上为减函数，在[2,)+∞上为增函数．…………5分 所以2x =为极小值点，极小值35ln 2(2)22f =-．.…………6分 （Ⅱ）不等式1ln a x b x x-≤-即为()f x b ≤． 所以max ()b f x ≥． ……………………………8分 ⅰ）若12x ≤≤，则ln 0x ≥，1113()ln 222f x a x x x x x =+-≤-≤-=． 当0,2a x ==时取等号； ……………………………10分 ⅱ）若112x ≤<，则ln 0x <，151()ln ln 2f x a x x x x x x =+-≤-+-． 由（Ｉ）可知51()ln 2g x x x x =-+-在1[,1]2上为减函数． 所以当112x ≤≤时，153()()ln 2222g x g ≤=-． ……………………13分 因为53533ln 2122222-<-=<．所以max 3(2f x )= 于是min 32b =． ……………………15分 21．（本题满分15分） 解答：（Ⅰ）由题意设224a b =， …………………2分即椭圆2222:14x y C b b+=， 设1122(,),(,),A x y B x y3344(,),(,)C x y D x y 由22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩作差得， 1212()()x x x x -++ 12124()()0y y y y -+= 又∵(2,1)M -,即12124,2x x y y +=-+=，∴AB 斜率121212y y k x x -==-．…………………………4分 由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． 消x 得，224820x x b ++-=．则12AB x =-==． 解得23b =，于是椭圆C 的方程为：221123x y +=．…………………6分 （Ⅱ）设直线:(2)1AB y k x =++, 由221123(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩消x 得， 222(14)8(21)4(21)120k x k k x k +++++-=． 于是21212228(21)4(21)12,1414k k k x x x x k k -++-+=⋅=++．………………8分 ()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD ⋅=+⋅+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r11224433(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)x y x y x y x y =---⋅+-+---⋅+- ∵2112212(2,1)(2,1)(1)(2)(2)x y x y k x x ---⋅+-=-+++22121224(1)(1)[42()]14k k x x x x k +=-++++=+． …………………13分 同理可得2443324(1)(2,1)(2,1)4k x y x y k+---⋅+-=+． ∴22222221120(1)4(1)()144(14)(4)k AD EB k k k k k +⋅=++=++++u u u r u u u r ， 2222220(1)161445()2k k k +≥=+++, 当1k =±时取等号． 综上，AD EB ⋅u u u r u u u r 的最小值为165． …………………15分22. （本题满分15分）解答：（Ⅰ）下面用数学归纳法证明：当2n ≥时，1n a >．ⅰ）当2n =时，由11110a =-，1n a +=， 得252=a ，显然成立； ⅱ）假设n k =时命题成立，即1k a >．则1n k =+时，1k a += ．于是11k a +-=因为22(3)4(1)0k k a a --=->． 所以11k a +>，这就是说1n k =+时命题成立． 由ⅰ）ⅱ）可知，当2n ≥时，1n a >． …………………3分 （Ⅱ）由1121,1n n b b b +=+=，得112(1)n n b b ++=+， 所以12n n b +=，从而21n n b =-． ………………5分 由（Ⅰ）知，当2n ≥时，1n a >，所以，当2n ≥时，1n n a a +-=．因为2225(1)4(1)0nn n n a a a a -+-+=-<，所以1n n a a +<． 综上，当2n ≥时，11n n a a +<<． ………………7分 由11110a =-，1()*)(n n a f a n N +∈=，所以111110c a ==- ，235,22a a == 所以12331,1c c a c <=>>>L ，又11223115,,2102c a a c a ==-===． 从而存在集合[,]ab ，使得[,]nc a b ∈对任意*n N ∈成立， 当231112,10b c a a c =====-时,b a -的最小值为213110c c -=．……9分 （Ⅲ）当2n ≥时，1n a >， 所以21111n n n n a a a a ++++-= 即21111n n n n a a a a +++=+- ， 也即1111n n n a a a ++-=- ，…………11分11111121()n n n n n n n n n n b b b b b b b b c c a a a a a a a a +++++++--=-=-++-+-L （）（） 112111n n n b b b a a a ++++=++L （1-）（1-）（1-） 1112111()(n n n n n b b b b b a a a ++++=--+++L ）22n n nc ≤-． 即122nn n n nc c c +≤+-(2)n ≥,． 于是11112122i 2(2)2426inn i n n i i n n i i c c c c c c +++++==≤+-=-+-=+-∑∑． 故232311226(*,2)22nn n n c n N n c c c +++≤+-∈+≥+L ．.……………15分。

浙江省宁波市届高三模拟考试数学试题全W O R D版精编版MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】宁波市2018年高考模拟考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1．已知集合{}05A x x =<<，{}2280B x x x =--<，则A B =A ．()2,4-B ．()4,5C ．()2,5-D ．()0,42．已知复数z 满足(1)2z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为A ．32i -B ．32iC ．32-D ．323．已知直线l 、m 与平面α、β，α⊂l ，β⊂m ，则下列命题中正确的是A ．若m l //，则必有βα//B ．若m l ⊥，则必有βα⊥C ．若β⊥l ，则必有βα⊥D ．若βα⊥，则必有α⊥m4．使得3nx ⎛+ ⎝（n N *∈）的展开式中含有常数项的最小的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．75．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．已知实数x ，y 满足不等式组2403480280x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则x y -的最大值为若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有A ．48种B ．72种C ．96种D ．216种 8．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点(5,0)P 的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若5BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆= A ．56B ．2033C ．1531D ．20299．已知a 为正常数，2221,()321,x ax x a f x x ax a x a ⎧-+≥=⎨-++<⎩,若存在(,)42ππθ∈，满足(sin )(cos )f f θθ=，则实数a 的取值范围是（第7题图）（第14题图） 1(,1)2)1,22()2,1()22,21(已知,x y 均为非负实数，且1x y +≤，则22244(1)x y x y ++--的取值范围为 2[,4]3．[1,4]C ．[2,4]D ．[2,9] 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．双曲线2213y x -=的离心率是，渐近线方程为． 12．已知直线:1l mx y -=．若直线l 与直线10x my --=平行，则m 圆222240x x y ++-=截得弦长的最小值为． 13a =14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为，该三棱锥的外接球体积为．15．已知数列{}n a 与2{}na n均为等差数列（n N *∈），且12a =，则23321()))23n n a a aa n ++++=（（．16．已知实数,,a b c 满足：2a b c ++=-，4abc =-.则c b a ++的最小值为．17．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为侧面11BB C C 中心，F 在棱AD 上运动，正方体表面上有一点P 满足111D P xD F yD E =+(0,0)x y ≥≥，则所有满足条件的P 点构成图形的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若满足()0f B =，2a =，且D是BC 的中点，P 是直线AB 上的动点，求PD CP +的最小值．1A A（第17题19．（本题满分15分）如图，四边形ABCD 为梯形，，∥︒=∠60,C CD AB 点E 在线段CD上，满足BE CD ⊥,且124CE AB CD ===，现将ADE ∆沿AE 翻折到AME 位置，使得210MC =（Ⅰ）证明：AE MB ⊥;（Ⅱ）求直线CM 与面AME 所成角的正弦值． 20．（本题满分15分）已知函数1()ln f x a x x x=+-，其中a 为实常数．（Ｉ）若12x =是()f x 的极大值点，求(f x ）的极小值； （Ⅱ）若不等式1ln a x b x x -≤-对任意502a -≤≤，122x ≤≤恒成立，求b 的最小值．21．（本题满分15分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3，点(2,1)M -是椭圆内一点，过点M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l ，设1l 与椭圆C 相交于点,A B ，2l 与椭圆C 相交于点,D E ．当M 恰好为线段AB 的中点时，10AB =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求AD EB ⋅的最小值．22.（本题满分15分）三个数列{}{},{}n n n a b c ，，满足11110a =-，11b =，21|1|25n n n n a a a a +-+-+=121n n b b +=+，,*n n b c a N n =∈．（Ⅰ）证明：当2n ≥时，1n a >；（Ⅱ）是否存在集合[,]a b ，使得[,]n c a b ∈对任意*n N ∈成立，若存在，求出b a -的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：232311226(*,2)22nn n nc n N n c c c +++≤+-∈+≥+． 宁波市2018年高考模拟考试数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D2．C3．C4．B5．A6．C7．C8．D9．D10．A9．()f x 关于直线x a =对称，且在[,)a +∞上为增函数．所以sin cos 2sin()224a πθθθ+==+．因为(,)42θππ∈，3(,)424ππθπ∈+．所以2sin(12()2)242a πθ∈=+，． 10．简解：1()2x y z -+=，则试题等价于21x y z ++=，满足,,0x y z ≥，求2224()x y z ++的取值范围．设点1(0,0,)2A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，点(,,)P x y z 可视为长方体的一个三角截面ABC 上的一个点，则2222||OP x y z =++，于是问题可以转化为||OP 的取值范围．显然||1OP ≤，||OP 的最小值为O 到平面ABC 的距离， 可以利用等积法计算．因为O ABC A OBC V V --=，于是可以得到||6OP ≥．所以21||[,1]6OP ∈，即2224[]x y z ++2[,4]3∈．另解：因为,0x y ≥，所以2222()()2x y x y x y +≤+≤+令t x y =+，则01t ≤≤．22222244(1)4(1)5214x y x y t t t t ++--≤+-=-+≤．当0xy =且1t =，即0,1x y ==或1,0x y ==时取等号； 另一方面，222222244(1)2(1)3213x y x y t t t t ++--≥+-=-+≥ 当16x y ==时取等号．所以222244(1)[,4]3x y x y ++--∈．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．2，y =12．1-，13．0；5214．4++，315．221-+n 16．617．11816．简解：不妨设a 是,,a b c 中的最小者，即,a b a c ≤≤，由题设知0a <，且2b c a +=--，4bc a-=. 于是,b c 是一元二次方程24(2)0x a x a++-=的两实根， 24(2)40a a∆=++⨯≥， 3244160a a a +++≤，2(4)(4)0a a ++≤,所以4a ≤-.又当4a =-,1b c ==时，满足题意.故,,a b c 中最小者的最大值为4-.因为,,0a b c <，所以,,a b c 为全小于0或一负二正.1）若,,a b c 为全小于0，则由（1）知，,,a b c 中的最小者不大于4-，这与2a b c ++=-矛盾.2）若,,a b c 为一负二正，设0,0,0a b c <>>，则 当4a =-,1b c ==时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故c b a ++的最小值为6.17．答：118．构成的图形，如图所示．记BC 中点为N ，所求图形为直角梯形ABND 、BNE ∆、1D AD ∆．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）解答：（Ⅰ）1()4cos cos )12f x x x x =--2cos222sin(2)26x x x π=--=--……………………4分由于222,262k x k k Z πππππ-+<-<+∈，ND1A 1B 1A所以()f x 增区间为,,63k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．……………………6分（Ⅱ）由()2sin(2)206f B B π=--=得 262B ππ-=，所以3π=B .…………8分 B C P C D C ''',,，作C 关于AB 的对称点'C ,连……………………12分 ……………………14分19．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）方法一：连BD 交AE 于N ，由条件易算43BD = ∴BC BD ⊥··········2分又//BC AE ∴AE BD ⊥··········4分从而,AE A BN M E N ⊥⊥所以AE MNB ⊥平面··········6分 ∴AE MB ⊥··········7分方法二：由102,2,6====MC CE DE ME ，得222MC CE ME =+,故CE ME ⊥，又CE BE ⊥，所以CE BEM ⊥平面，……………………2分 所以CE BM ⊥，……………………3分可得BM AB ⊥，计算得62,72===MB AM AD , 从而222BE MB ME +=,BM BE ⊥……………………5分⊥MB 平面ABE ，所以AE MB ⊥.……………………7分（Ⅱ）方法一：设直线CM 与面AME 所成角为θ，则sin hMC θ=，其中h 为C 到AME 面的距离.…………………9分∵AE BC ∥∴C 到AME 面的距离即B 到AME 面的距离.BEC C（第19题图）由1133M ABE ABE B AME AEM V S BM V S h -∆-∆===．…………………12分所以3ABE AEM S BM h S ∆∆==∴sin h MC θ==.……………………………………………15分 方法二：由MB ABCE ⊥面，如图建系， 则(0,2,26),(23,2,0),AM AE =-=- 设平面AME 的法向量为(,,)m x y z =，由0m AM m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取 (2,m =，…………………………12分15sin cos ,m MC m MC m MCθ⋅=<⋅∴>==．.………………………15分 20．（本题满分15分）解答：（Ｉ）221()x ax f x x ++'=，因为0x >．由1'()02f =，得211()1022a ++=，所以52a =-,…………3分 此时51()ln 2f x x x x =-+-．则222511(2)()22'()x x x x f x x x -+--==． 所以()f x 在1[,2]2上为减函数，在[2,)+∞上为增函数．…………5分所以2x =为极小值点，极小值35ln 2(2)22f =-．.…………6分 （Ⅱ）不等式1ln a x b x x-≤-即为()f x b ≤． 所以max ()b f x ≥．……………………………8分 ⅰ）若12x ≤≤，则ln 0x ≥，1113()ln 222f x a x x x x x =+-≤-≤-=．C（第21题图）当0,2a x ==时取等号；……………………………10分ⅱ）若112x ≤<，则ln 0x <，151()ln ln 2f x a x x x x x x =+-≤-+-．由（Ｉ）可知51()ln 2g x x x x =-+-在1[,1]2上为减函数．所以当112x ≤≤时，153()()ln 2222g x g ≤=-．……………………13分因为53533ln 2122222-<-=<．所以max 3(2f x )=于是min 32b =．……………………15分21．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）由题意设224a b =，…………………2分即椭圆2222:14x y C b b+=，设1122(,),(,),A x y B x y由22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩作差得， 又∵(2,1)M -,即12124,2x x y y +=-+=，∴AB 斜率121212y y k x x -==-．…………………………4分由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．消x 得，224820x xb ++-=．则12AB x =-== 解得23b =，于是椭圆C 的方程为：221123x y+=．…………………6分 （Ⅱ）设直线:(2)1AB y k x =++,由221123(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩消x 得，222(14)8(21)4(21)120k x k k x k +++++-=．于是21212228(21)4(21)12,1414k k k x x x x k k-++-+=⋅=++．………………8分 ∵2112212(2,1)(2,1)(1)(2)(2)x y x y k x x ---⋅+-=-+++22121224(1)(1)[42()]14k k x x x x k+=-++++=+．…………………13分同理可得2443324(1)(2,1)(2,1)4k x y x y k+---⋅+-=+． ∴22222221120(1)4(1)()144(14)(4)k AD EB k k k k k +⋅=++=++++，2222220(1)161445()2k k k +≥=+++,当1k =±时取等号． 综上，AD EB ⋅的最小值为165．…………………15分 22.（本题满分15分）解答：（Ⅰ）下面用数学归纳法证明：当2n ≥时，1n a >．ⅰ）当2n =时，由11110a =-，1n a +=，得252=a ，显然成立； ⅱ）假设n k =时命题成立，即1k a >． 则1n k =+时，1k a +=．于是11k a +-=因为22(3)4(1)0k k a a --=->． 所以11k a +>，这就是说1n k =+时命题成立．由ⅰ）ⅱ）可知，当2n ≥时，1n a >．…………………3分 （Ⅱ）由1121,1n n b b b +=+=，得112(1)n n b b ++=+， 所以12n n b +=，从而21n n b =-．………………5分 由（Ⅰ）知，当2n ≥时，1n a >， 所以，当2n ≥时，1n n a a +-=因为2225(1)4(1)0nn n n a a a a -+-+=-<，所以1n n a a +<．综上，当2n ≥时，11n n a a +<<．………………7分 由11110a =-，1()*)(n n a f a n N +∈=，所以111110c a ==-，235,22a a == 所以12331,1c c a c <=>>>，又11223115,,2102c a a c a ==-===． 从而存在集合[,]ab ，使得[,]nc a b ∈对任意*n N ∈成立， 当231112,10b c a a c =====-时,b a -的最小值为213110c c -=．……9分 （Ⅲ）当2n ≥时，1n a >，所以21111n n n n a a a a ++++-= 即21111n n n n a a a a +++=+-，也即1111n n n a a a ++-=-，…………11分 1112111()(n n n n n b b b b b a a a ++++=--+++）22n n n c ≤-． 即122nn n n nc c c +≤+-(2)n ≥,． 于是11112122i 2(2)2426inn i n n i i n n i i c c c c c c +++++==≤+-=-+-=+-∑∑．故232311226(*,2)22n n n n c n N n c c c +++≤+-∈+≥+．.……………15分。

S 1S 2n n 2018 年浙江省高考模拟试卷数学卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150 分，考试时间120 分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共 40 分）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷上无效。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么棱柱的体积公式P (A+B)=P (A)+P (B) V =Sh如果事件A ，B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高P (A ⋅B)=P (A)⋅P (B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么棱锥的体积公式V =1Sh3n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高P (k )=C k p k(1 -k )n -k ,(k = 0,1, 2, , n) 棱台的体积公式球的表面积公式S = 4R2V =1h (S ++S )3 1 2球的体积公式V =4R33其中S1, S2分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径h 表示棱台的高一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。

）1、（原创）已知集合U =R ，集合M = {y y = 2x, x ∈R} ，集合N = {x y = lg(3 -x)}，则(C U M ) N =（）A.{y y ≥3}B.{y y ≤0}C. {y 0 <y < 3}D. ∅2、（原创）已知实数x, y, 则“xy ≥ 2 ”是“x 2+y 2≥ 4 ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3、（引用十二校联考题）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（）A．3π+ 2C．3π2B．π +D．5π+23 332 3 62⎩-=5 5 5 51n-14、（改编）袋中标号为1，2，3，4 的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取1 号球，乙不取2 号球，丙不取3 号球，丁不取4 号球的概率为（）1 3 11 23A. B. C. D.4 8 2424⎧x -y ≥-1⎪5、（15 年海宁月考改编）设变量x, y 满足约束条件⎨x +y ≤ 4⎪y ≥a，目标函数z = 3x - 2 y 的最小值为- 4 ，则a 的值是( )1A.-1B.0 C．1 D．26、（改编）单位向量a i，（i=1,2,3,4）满足a i ⋅a i+1 = 0 ,则a1+a2+a3+a4可能值有( )A．2 个B．3 个C．4 个D．.5 个x27、（改编）如图，F1,F2分别是双曲线C :a2y2b21 （a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线 F1B 与C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M，若|MF2|=|F1F2|,则C 的离心率是( )A. B. C. D.3 28、（引用余高月考卷）如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，A，B，C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过（）A.点AB.点BC.点C，但不过点DD.点C 和点D9、若正实数x，y 满足x + 2 y + 4 = 4xy ，且不等式(x + 2 y)a2+ 2a + 2xy - 34 ≥ 0 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[-3, ]2B．(-∞,-3] [2,+∞) C．(-3, ]2D．(-∞,-3] (2,+∞) 10、（改编）已知f (x) =x2- 2x +c, f (x) = f (x), f n (x) = f ( f (x))(n ≥ 2, n ∈N * ) ，若函数y = f n (x) -x 不存在零点，则c 的取值范围是( )3ln 3- 2⎨ 0 1 2 5 3 4A. c < 14B. c ≥ 34C. c > 94D. c ≤ 94非选择题部分（共 110 分）二、填空题：（ 本大题共 7 小题, 单空题每题 4 分，多空题每题 6 分，共 36 分。

浙江省宁波市鄞州区2017-2018学年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|y=2x}，B={y|y=}，则A∩B=( )A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3或x≤1} D．{x|x≥3或0≤x≤1} 2．已知点A=（﹣1，1）、B=（1，2）、C=（﹣3，2），则向量在方向上的投影为( ) A．﹣B．C．﹣D．3．已知实数a，b，则“＜”是“lna＜lnb”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知直线l，m和平面α，β，下列中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若α⊥β，l∥α，则l⊥βD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，如图所示，则将y=f （x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为( )A．y=sin（2x﹣）B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=﹣cos2x6．已知A，B，P是双曲线﹣=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k PA•k PB=，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．2 D．7．若直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则a+b的取值范围( )A．（，3）B．（﹣3，3）C．（﹣3，）D．（﹣1，3）8．设函数f（x）=，则当实数m变化时，方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为( )个．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，每空3分，第13-15题每空4分，共36分．）9．已知sinα=，α∈（0，），则cos（π﹣α）=__________，cos2α=__________．10．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n．则a3=__________，S2015=__________．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为：cm），则该几何体的体积为__________cm3，表面积为__________cm2．12．设函数f（x）=是一个奇函数，满足f（2t+3）＜f（4﹣t），则a=__________，t的取值范围是__________．13．若直线y=3x+b与y=nx+m相交，且将圆x2+y2﹣6x﹣8y+21=0的周长四等分，则m+b ﹣n的值为__________．14．设x，y是正实数，且x+y=3，则+的最小值是__________．15．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为__________．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c=2，sinC（cosB﹣sinB）=sinA．（1）求角C的大小；（2）若cosA=，求边b的长．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PB⊥平面DEF；（2）若AD=2DC，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．18．数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n﹣2S n﹣1=1（n∈N*，n≥2），数列{b n}的前n项和为T n，满足b1=1，T n=n2b n，n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若对n∈N*，恒有S n+1＞成立，求实数λ的取值范围．19．已知抛物线C：y2=4x，过x轴上的一定点Q（a，0）的直线l交抛物线C于A、B两点（a为大于零的正常数）．（1）设O为坐标原点，求△ABO面积的最小值；（2）若点M为直线x=﹣a上任意一点，探求：直线MA，MQ，MB的斜率是否成等差数列？若是，则给出证明；若不是，则说明理由．20．已知函数f（x）=x2﹣（k+1）x+，g（x）=2x﹣k，其中k∈R（1）若f（x）在区间（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；（2）设函数p（x）=，是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得p（x1）=p（x2）？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．浙江省宁波市鄞州区2015届高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|y=2x}，B={y|y=}，则A∩B=( )A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3或x≤1} D．{x|x≥3或0≤x≤1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用函数的定义域以及函数的值域求出两个集合，然后求解交集即可．解答：解：集合A={x|y=2x}={x|x∈R}，B={y|y=}={y|y≥0}，则A∩B={x|x≥0}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域以及函数的值域的求法，集合的交集的求法，考查计算能力．2．已知点A=（﹣1，1）、B=（1，2）、C=（﹣3，2），则向量在方向上的投影为( ) A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知可求，的坐标，根据在方向上的投影为：=（θ为向量的夹角），即可求解．解答：解：由已知可得，=（2，1），=（﹣2，1），∴=2×（﹣2）+1×1=﹣3，||=，设，的夹角为θ，则向量在方向上的投影为：==．故选：C．点评：本题主要考查了向量投影定义的简单应用，属于基础试题．3．已知实数a，b，则“＜”是“lna＜lnb”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若lna＜lnb，则0＜a＜b，推出＜，∴，“＜”是“lna＜lnb”的充要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数不等式的性质是解决本题的关键．4．已知直线l，m和平面α，β，下列中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若α⊥β，l∥α，则l⊥βD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．解答：解：对于A，若l∥α，l∥β，则α与β可能相交；故A错误；对于B，若l∥α，m⊂α，则l∥m或者异面；故B错误；对于C，若α⊥β，l∥α，则l与β位置关系不确定；故C错误；对于D，若l⊥α，m⊂α，满足线面垂直的性质定理故l⊥m；故D正确；故选D．点评：本题考查了线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为( )A．y=sin（2x﹣）B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=﹣cos2x考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数图象可得A，由T=﹣，可得T，由周期公式可得ω，由（，1）在函数图象上，又|φ|＜，可解得φ，从而可得f（x）=sin（2x+），根据左加右减平移变换规律即可得解．解答：解：由函数图象可得：A=1，周期T=﹣，可得：T=π，由周期公式可得：ω==2，由（，1）在函数图象上，可得：sin（+φ）=1，可解得：φ=2kπ，k∈Z，又|φ|＜，故可解得：φ=，故有：y=f（x）=sin（2x+），则有：f（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，故选：D．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数图象的平移规律，属于基本知识的考查．6．已知A，B，P是双曲线﹣=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k PA•k PB=，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出点A，点P的坐标，求出斜率，将点A，P的坐标代入方程，两式相减，再结合k PA•k PB=，即可求得离心率．解答：解：由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∴k PA•k PB=•=，∵﹣=1，﹣=1，∴两式相减可得=，∵k PA•k PB=，∴=，∴=，即为c2=a2，则e==．故选A．点评：本题考查双曲线的方程，主要考查双曲线的几何性质：离心率的求法，属于中档题．7．若直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则a+b的取值范围( )A．（，3）B．（﹣3，3）C．（﹣3，）D．（﹣1，3）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意画出不等式组表示的平面区域，结合直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点得到关于a，b的不等式组，然后利用线性规划知识求得a+b的取值范围．解答：解：不等式组表示的平面区域如图，联立，解得A（1，2）．联立，解得B（﹣4，0）．联立，解得C（4，﹣4）．要使直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则或．（a，b）所在平面区域如图，联立，解得M（﹣1，﹣2），联立，解得N（2，1），令t=a+b，即b=﹣a+t，∴当直线b=﹣a+t过M时，t有最小值为﹣3；当直线b=﹣a+t过N时t有最大值为3．∴t=a+b的范围是（﹣3，3）．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．8．设函数f（x）=，则当实数m变化时，方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为( )个．A．2 B．3 C．4 D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）=，分类得出当m=0时，f（x）=1，或f（x）=﹣1，当m=1时，f（x）=e，或f（x）=0，或f（x）=﹣2，当m＜0时，0＜f（x）＜1，当m＞1时，f（x）＞e，或f（x）＜﹣2，分别运用图象判断根的个数．解答：解：∵函数f（x）=，∴图象为∵方程f（f（x）））=m，∴当m=0时，f（x）=1，或f（x）=﹣1，运用图象判断有4个根，当m=1时，f（x）=e，或f（x）=0，或f（x）=﹣2，运用图象判断有5个根，当m＜0时，0＜f（x）＜1，运用图象判断有3个根，当m＞1时，f（x）＞e，或f（x）＜﹣2，运用图象判断有3个根，故运用排除法得出方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为2个．故选：A点评：本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，每空3分，第13-15题每空4分，共36分．）9．已知sinα=，α∈（0，），则cos（π﹣α）=，cos2α=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦的诱导公式以及倍角公式求值．解答：解：已知sinα=，α∈（0，），所以cosα=，cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=；故答案为：．点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及倍角公式；关键是熟练掌握公式．10．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n．则a3=2，S2015=2．考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2）可推得该数列的周期为6，易求该数列的前6项，由此可求得答案．解答：解：由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），得a n+6=a n+5﹣a n+4=a n+4﹣a n+3﹣a n+4=﹣a n+3=﹣（a n+2﹣a n+1）=﹣（a n+1﹣a n﹣a n+1）=a n，所以6为数列{a n}的周期，又a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3，a6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+3+2﹣1﹣3﹣2=0，∵2015=335×6+5，S2015=335×0+（1+3+2﹣1﹣3）=2，故答案为：2，2．点评：本题考查求数列的通项及前n项和公式，注意解题方法的积累，找出数列的周期是解决本题的关键，属于中档题．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为：cm），则该几何体的体积为16cm3，表面积为34+6cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一侧面垂直于底面的四棱锥，结合图中数据求出它的体积与表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，且侧面PCD⊥底面ABCD；∴该四棱锥的体积为V四棱锥=×6×2×4=16，侧面积为S侧面积=S△PAB+2S△PBC+S△PCD=•6+2••2+•6•4=6+22，S底面积=6×2=12，∴S表面积=S侧面积+S底面积=6+22+12=34+6．故答案为：16，34+6．点评：本题考查了利用几何体的三视图求空间几何体的体积与表面积的应用问题，是基础题目．12．设函数f（x）=是一个奇函数，满足f（2t+3）＜f（4﹣t），则a=1，t的取值范围是（，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件根据奇函数的性质求得a的值，从而得到f（x）的解析式；由所给的不等式结合f（x）的图象可得|2t+3|＜|4﹣t|，解此绝对值不等式，求得t的范围．解答：解：函数f（x）=是一个奇函数，设x＜0，则﹣x＞0，且f（﹣x）=﹣f（x），即﹣a（﹣x）（﹣x+2）=﹣x（x﹣2），化简可得ax（2﹣x）=x（2﹣x），∴a=1．即f（x）=，故函数f（x）为R上的减函数，它的图象如图．由f（2t+3）＜f（4﹣t），可得2t+3＞4﹣t，求得t＞，求得t∈（﹣7，），故答案为：1，（，+∞）．点评：本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的单调性的应用，解绝对值不等式，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．13．若直线y=3x+b与y=nx+m相交，且将圆x2+y2﹣6x﹣8y+21=0的周长四等分，则m+b ﹣n的值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，两直线相较于圆心，且两直线互相垂直，把圆心坐标代入两直线方程，再根据两直线斜率之积等于﹣1，求得m、n、b的值，即可求得m+b﹣n的值．解答：解：由题意知，圆心（3，4）为两直线的交点，且两直线互相垂直，∴，解得，∴m+b﹣n=，故答案为：．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，判断圆心（3，4）为两直线的交点，且两直线互相垂直是解题的关键，属于基础题．14．设x，y是正实数，且x+y=3，则+的最小值是．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：由已知可得+==，分离之后结合基本不等式即可求解解答：解：∵x+y=3，x＞0，y＞0∴+====x+1+y+1+﹣8=﹣11+16（）=﹣11+（=﹣11（2））=当且仅当即x=y=时取等号故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用解题的关键是对已知式在进行化简，配凑基本不等式成立的条件15．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由已知，结合向量的基本运算可求得=，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC解答：解：∵=2∴===∵AD=||=，AC=||=3，A=，设AB=c∴=||||cosA=则13==∴13=1整理可得，2c2﹣54=0∵c＞0解可得，c=3由余弦定理可得，a2=c2+b2﹣2bc•cosA=点评：本题主要考查了解三角形的简单应用，解题中要注意结合向量知识，要灵活的运用基本公式三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c=2，sinC（cosB﹣sinB）=sinA．（1）求角C的大小；（2）若cosA=，求边b的长．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出tanC的值，即可确定出C的度数；（2）由cosA的值求出sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A+C），把各自的值代入求出sin（A+C）的值，即为sinB的值，再由c，sinC的值，利用正弦定理求出b的值即可．解答：解：（1）由题意得sinC（cosB﹣sinB）=sinA，整理得：sinCcosB﹣sinBsinC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，即﹣sinBsinC=sinBcosC，∵sinB≠0，∴tanC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（2）∵cosA=，∴sinA==，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×（﹣）+×=，由正弦定理得：=，则b==．点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PB⊥平面DEF；（2）若AD=2DC，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD；（2）取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH，确定∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角即可．解答：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD…（2）解：取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH．∵E是PC中点，∴，∴EBGH为平行四边形，…∵PD⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD连接AH，…∴∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角．…∵AD=2DC，∴在Rt△ADH中，AH=DC …∴在Rt△AGH中，AG=CD，∴sin∠GHA==．…点评：本题考查了线线、线面平行的相互转化，通过中位线证明线线平行，再由线面平行的判定得到线面平行；考查直线BE与平面PAD所成角的正弦值，属于中档题．18．数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n﹣2S n﹣1=1（n∈N*，n≥2），数列{b n}的前n项和为T n，满足b1=1，T n=n2b n，n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若对n∈N*，恒有S n+1＞成立，求实数λ的取值范围．考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过a n﹣2a n﹣1=（S n﹣2S n﹣1）﹣（S n﹣1﹣2S n﹣2）=0可得数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，进而可得其通项；通过=及b n=••…••b1=可得结论．（Ⅱ）由题只需要对任意正整数λ＜恒成立．通过﹣=可得数列的单调性，进而可得结论．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得a2=2，当n≥3时，S n﹣1﹣2S n﹣2=1，∴a n﹣2a n﹣1=（S n﹣2S n﹣1）﹣（S n﹣1﹣2S n﹣2）=0，即a n=2a n﹣1，又∵a2=2a1，所以数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a n=2n﹣1，n∈N*；当n≥2时，T n﹣1=（n﹣1）2b n﹣1，∴=，∴b n=••…••b1=，显然对n=1也成立．故b n=，n∈N*；（Ⅱ）由题意S n=2n﹣1，只需要对任意正整数λ＜恒成立．记C n=，当n≥2时，C n﹣C n﹣1=﹣=，当n≥3时数列{C n}递增；当n≤2时数列{C n}递减．易知n=3或2时有最小的项C2=C3=，综上：λ＜．点评：本题考查求数列的通项，考查数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．19．已知抛物线C：y2=4x，过x轴上的一定点Q（a，0）的直线l交抛物线C于A、B两点（a为大于零的正常数）．（1）设O为坐标原点，求△ABO面积的最小值；（2）若点M为直线x=﹣a上任意一点，探求：直线MA，MQ，MB的斜率是否成等差数列？若是，则给出证明；若不是，则说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）联立直线AB与抛物线方程，利用韦达定理可得结论；（2）设M（﹣a，t），通过计算2k MQ与k MA+k MB的值即得结论．解答：解：（1）设直线AB的方程为：my=x﹣a，联立方程组，消去x可得：y2﹣4my﹣4a=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4a，∴S△AOB=•a•|y1﹣y2|=2a，所以当m=0时，S△AOB有最小值2a；（2）结论：直线MA，MQ，MB的斜率成等差数列．证明如下：设M（﹣a，t），∴k MQ=，而k MA+k MB=+=（*）因为x1x2==a2，x1+x2=m（y1+y2）+2a=4m2+2a，代入（*）式，可得k MA+k MB==﹣，∴k MA+k MB=2k MQ，所以直线MA，MQ，MB的斜率成等差数列．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及到韦达定理、斜率的计算、等差中项的性质、三角形的面积计算公式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=x2﹣（k+1）x+，g（x）=2x﹣k，其中k∈R（1）若f（x）在区间（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；（2）设函数p（x）=，是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得p（x1）=p（x2）？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得△=（k+4）（k﹣2），分类讨论，分别求出实数k的取值范围，再取并集，即得所求．（2）根据g（x）在（0，+∞）单调递增，其值域为（﹣k，+∞），f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（，+∞），即可得出结论．解答：解：（1）由题意知△=（k+4）（k﹣2）…①当f（1）f（4）＜0时，．…②当f（1）f（4）=0时，k=或k=，经检验k=符合．…③当△=0时，k=2或k=﹣4，经检验k=2符合．…④当时，解得2＜k＜．…综上2≤k＜…（Ⅱ）显然g（x）在（0，+∞）单调递增，其值域为（﹣k，+∞）…∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，≥0即k≥﹣1．∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（，+∞）…∴而k≥﹣1，∴这样的k不存在．…点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。

镇海中学高考模拟考试 数学（文科）试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ).柱体的体积公式 V Sh =，其中S 表示底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式 13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式 24S R π=， 球的体积公式 343V R π=，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合A={0，2，x }，B={x 2}，A B=A ，则满足条件的实数x 有（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2．已知复数21iz =-+，则 （ ）A ．||2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣1D ．z 的共轭复数为1+i3. 已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，且l ∥α，则下列命题正确的是A.若l ∥m ，则m ∥αB.若m ∥α，则l ∥mC.若l m ⊥，则m α⊥D.若m α⊥，则l m ⊥4. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( ) A. 1007 B. 1008 C. 2018 D. 20185.已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是（ ）A.图象关于点(,0)3π-中心对称 B.图象关于6x π=-轴对称C.在区间5[,]126ππ--单调递增 D.在[,]63ππ-单调递减6. 函数13y x x =-的图象大致为 （ ）7．定义：()00>>=y ,x y )y ,x (F x ，已知数列{}n a 满足：()()n ,F ,n F an22=()n *∈N ，若对任意正整数n ，都有k n a a ≥()k *∈N 成立，则k a 的值为（ ） A ．12B ．2C ．89D ．988．如图，将︒45的直角三角板ADC 和︒30的直角三角板ABC 拼在一起组成平面四边形ABCD ，其中︒45的直角三角板的斜边AC 与︒30的直角三角板的︒30所对的直角边重合，若DB xDA yDC =+u u u r u u u r u u u r，则x ，y 分别等于（ ）A,1 B,1 C．2, D 31,39．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-= (a>0，b>0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交 双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足∠MAN=120o ， 则该双曲线的离心率为 （ ）A.3 B. 73C. 3D.310．已知函数2()4,0f x x x x =-+≤⎪⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则实数a 的取值范围 是 （ ）A.(],6-∞-B.[]6,0-C.(],1-∞-D.[]1,0-第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．11.如图是容量为100的样本的频率分布直方图,试根据图形中的数据填空, 样本数据落在范围[10,14]内的频数为________ ； 12.已知1sin()cos 62παα+-=，则sin()6πα-的值是 ；13. 已知条件2:(43)1p x -≤,条件0)1()12(:2≤+++-a a x a x q .若p是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________；14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积是 ；15. 圆心为椭圆22143x y +=的右焦点，且与直线5x y +=相切的圆方程是 ________；频率16．在平面直角坐标系中，若不等式组10,10,(10,x y x a ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩为常数)，所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ；17．设M 是△ABC 内一点，AB·30AC BAC =∠=，定义()(,,),f M m n p = 其中,,m n p 分别是△MBC ，△MAC ，△MAB 的面积，若114()(,,),2f M x y a x y =+=，则22a a+的取值范围是 .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. （本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C 上．(1)求角C 的值；(2)若1c =，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 的面积的最大值．19．（本小题满分14分）设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以1为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .20.(本小题满分15分）已知在四棱锥P ABCD-中，//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====，,E F 分别是,AD PC 的中点.(Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面； (Ⅱ)求证//PA BEF 平面；(Ⅲ)若PB AD =，求二面角F BE C --的大小.21．（本小题满分15分）设函数2()2(4)ln f x ax a x x =+++． （Ⅰ）若()f x 在x=41处的切线与直线4x+y=0平行，求a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数()y f x =的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明0()0f x '<．22. (本题满分14分)若A、B是抛物线x2 上的不同两点，弦ABy4（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P 的一条“相关弦”.；（I）求点)0,4(P的“相关弦”的中点的横坐标；(II)求点)0,4(P的所有“相关弦”的弦长的最大值。

宁波市2018学年高三第一次模拟检测考试高三数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{08}P x x =∈≤≤R ，{||7}Q x x =∈<R ，则P Q = A.[7,8]B.(7,8]- C.(,8]-∞ D.(7,)-+∞2.已知平面α，直线,m n 满足m α⊄，n α⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.已知()()y f x x =∈R 存在导函数，若()f x 既是周期函数又是奇函数，则其导函数A.既是周期函数又是奇函数 B.既是周期函数又是偶函数C.不是周期函数但是奇函数D.不是周期函数但是偶函数4.设24280128(32)x x a a x a x a x -+=++++ ，则7a =A.4- B.8- C.12- D.16-5.关于,x y 的不等式组230,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域存在点00(,)P x y ，满足0023x y -=，则实数m 的取值范围是A.(,3)-∞- B.(1,1)- C.(,1)-∞- D.(1,)-+∞6、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.1231π+ B.421π+ C.41π+D.12π7、数列{}n a 满足321=a ，1)12(21++=+n n n a n a a ，则数列{}n a 的前2018项和=2018S A.40374036 B.40364035 C.40354034 D.404440338、已知ξ是离散型随机变量，则下列结论错误的是A.1(1(2≤≤≤ξξP P B.)())((22ξξE E ≤C.)1()(ξξ-=D D D.))1(()(22ξξ-=D D 9、已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率e 的取值范围为]21,31[，直线1+-=x y 交椭圆于点N M ,，O 是坐标原点，且ON OM ⊥，则椭圆长轴长的取值范围是A.8,7[ B.]76[ C.]6,5[ D.9,8[10.在空间直角坐标系中，(2,2,0),(,,1)OA a b OB c d d ==-uur uuu r，O 为坐标原点，满足22221,4a b c d +=+=，则下列结论不正确的是（）A.OA OB ⋅uur uuu r的最小值为6- B.OA OB ⋅uur uuu r的最大值为10C.||ABD.||AB 最小值为1二.填空题（多空题每空3分，单空题每空4分，共计36分）11.设i 为虚数单位，给定复数2(1)1i z i-=+，则z 的虚部为________,模为___________.12.已知实数0a >且1a ≠，若7log 28a =，则1a a +=_________;若70log 18a <<，则实数a 的取值范围为_____________.13.将函数()2sin f x x =的图像的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移12π个单位长度得到()g x 的图像，则()g x =___________,若函数()g x 在区间[0,]3a ，7[2,6a π上单调递增，则实数a 的取值范围是____________.14.在ABC ∆中，D 为边BC 中点，经过AD 中点E 的直线交线段,AB AC 于点,M N .若,,AB mAM AC nAN ==uuu r uuur uuu r uuu r则m n +=___________;该直线将原来的三角形分成的两部分，则三角形AMN 与四边形BCNM 面积之比的最小值是______________.15.设等差数列}{n a 的前14项77...1421=+++a a a ，已知111,a a 均为正整数，则公差=d 16.农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康，小梁，小谭，小刘，小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶，现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应漂流瓶”的概率为17.已知不等式0ln 32>-+-kx kk x 对任意正整数k 均成立，则实数x 的取值范围为三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.（本大题共14分）如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，O 是坐标原点，OP 落在x 轴非负半轴上，点Q 在第一象限，C 是扇形弧上一点，ABCD 是扇形内接矩形.（1）当C 是扇形弧上的四等分点（靠近Q ）时，求点C 的坐标.（2）当C 在扇形弧上运动时，求矩形ABCD 面积的最大值19.如图所示，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，O 是AC 的中点，且ABD CBD ∠=∠，AB BD =（1）求证：OD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D AE C --的余弦值20.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10， ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数：类似地，称图2中的1,4,9,16， ，这样的数称为正方形数。

2018年浙江省宁波市高考数学二模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ={x|0<x <5}，B ={x|x 2−2x −8<0}，则A ∩B =( ) A.(−2, 4) B.(4, 5) C.(−2, 5) D.(0, 4)2. 已知复数z 满足z(1+i)=2−i （i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A.−32iB.32iC.−32D.323. 已知直线l ，m 与平面α，β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中正确的是( ) A.若l // m ，则必有α // β B.若l ⊥m ，则必有α⊥β C.若l ⊥β，则必有α⊥β D.若α⊥β，则必有m ⊥α4. 使得(3x +x √x)n(n ∈N ∗)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A.4 B.5 C.6 D.75. 记S n 为数列{a n }的n 项和．“任意正整数n ，均有a n >0”是“{S n }为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知实数x ，y 满足不等式组{x +2y −4≥0,3x −4y +8≥0,2x −y −8≤0,则|x −y|的最大值为( )A.0B.2C.4D.87. 若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有( )A.48 种B.72 种C.96 种D.216 种8. 设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点P(5, 0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若|BF|=5，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF=( )A.56 B.2033C.1531D.20299. 已知a 为正常数，f(x)={x 2−ax +1,x ≥a,x 2−3ax +2a 2+1,x <a,若存在θ∈(π4,π2)，满足f(sinθ)=f(cosθ)，则实数a 的取值范围是( )A.(12,1) B.(√22,1)C.(1, √2)D.(12,√22)10. 已知x ，y 均为非负实数，且x +y ≤1，则4x 2+4y 2+(1−x −y)2的取值范围为( ) A.[23,4]B.[1, 4]C.[2, 4]D.[2, 9] 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．双曲线x 2−y 23=1的离心率是________，渐近线方程是________．已知直线l:mx −y =1．若直线l 与直线x −my −1=0平行，则m 的值为________；动直线l 被圆x 2+2x +y 2−24=0截得弦长的最小值为________．已知随机变量X 的分布列如表：若E(X)=2，则a =________；D(X)=________．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120∘的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为________．已知数列{a n }与{a n2n }均为等差数列(n ∈N ∗)，且a 1=2，则a 1+(a22)2+(a33)3+...+(an n)n =________．已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c =−2，abc =−4．则|a|+|b|+|c|的最小值为________．已知棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BB 1C 1C 中心，F 在棱AD 上运动，正方体表面上有一点P 满足D 1P →=xD 1F →+yD 1E →(x ≥0, y ≥0)，则所有满足条件的P 点构成图形的面积为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=4cosx⋅sin(x−π6)−1．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若满足f(B)=0，a=2，且D是BC的中点，P是直线AB上的动点，求|CP|+|PD|的最小值．如图，四边形ABCD为梯形，AB // CD，∠C=60∘，点E在线段CD上，满足BE⊥CD，且CE=AB=14CD=2，现将△ADE沿AE翻折到AME位置，使得MC=2√10．(1)证明：AE⊥MB；(2)求直线CM与面AME所成角的正弦值．已知函数f(x)=aln x+x−1x，其中a为实常数．(1)若x=12是f(x)的极大值点，求f(x)的极小值；(2)若不等式aln x−1x ≤b−x对任意−52≤a≤0，12≤x≤2恒成立，求b的最小值．如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，点M(−2, 1)是椭圆内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1，l2，设l1与椭圆C相交于点A，B，l2与椭圆C 相交于点D，E．当M恰好为线段AB的中点时，|AB|=√10．(1)求椭圆C的方程；(2)求AD→⋅EB→的最小值．三个数列{a n}，{b n}，{c n}，满足a1=−1110，b1=1，a n+1=|a n−1|+√a n2−2a n+52，b n+1=2b n+1，c n=a bn，n∈N∗．(1)证明：当n≥2时，a n>1；(2)是否存在集合[a, b]，使得c n∈[a, b]对任意n∈N∗成立，若存在，求出b−a的最小值；若不存在，请说明理由；(3)求证：22c2+23c3+⋯+2nc n≤2n+1+c n+1−6(n∈N∗, n≥2)．参考答案与试题解析2018年浙江省宁波市高考数学二模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】先求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|0<x<5}，B={x|x2−2x−8<0}={x|−2<x<4}，∴A∩B={x|0<x<4}=(0, 4)．故选D.2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】z(1+i)=2−i（i为虚数单位），可得z(1+i)(1−i)=(2−i)(1−i)，利用复数的运算法则化简即可得出．【解答】解：z(1+i)=2−i（i为虚数单位），∴z(1+i)(1−i)=(2−i)(1−i)，z=12−32i，则z的虚部为−32．故选C.3.【答案】C【考点】平面与平面垂直的判定平面与平面平行的判定直线与平面平行的判定【解析】A．如图所示，直线l，m都与交线c平行，满足条件，因此不正确；B．假设α // β，l′⊂β，l′ // l，l′⊥m，则满足条件，故不正确；C．根据线面垂直的判定定理即可判断；D．设α∩β=c，若l // c，m // c，虽然α⊥β，但是可有m // α，即可否定．【解答】解：A，设α∩β=c，l // c，m // c满足条件，但是α与β不平行，因此不正确；B，假设α // β，l′⊂β，l′ // l，l′⊥m，则满足条件，但是α与β不垂直，因此不正确；C，若l⊂α，l⊥β，根据线面垂直的判定定理可得α⊥β，故正确；D，设α∩β=c，若l // c，m // c，虽然α⊥β，但是可有m // α，因此不正确．故选C．4.【答案】B【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】此题暂无解析【解答】解：设(3xx√x )n(n∈N∗)的展开式的通项为T r+1，则Tr+1=3n−r C n r x n−r x−32r=3n−r C n r x n−52r，令n−52r=0得n=52r．又n∈N∗，∴当r=2时，n最小，即n min=5．故选B．5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】“a n>0”⇒“数列{S n}是递增数列”，“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n>0”，由此知“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．【解答】解：∵ “a n>0”⇒“数列{S n}是递增数列”，“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n>0”，∴ “a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．故选A.6.【答案】C【考点】含参线性规划问题点到直线的距离公式【解析】首先画出不等式组表示的平面区域，然后根据|x−y|的几何意义求最大值．【解答】解：实数x，y满足不等式组{x+2y−4≥0,3x−4y+8≥0,2x−y−8≤0,表示的平面区域如图：|x−y|的几何意义表示区域内的点到直线x−y=0的距离的√2倍，由图可知A点到直线y=x距离最大，所以|x−y|的最大值为：4.故选C.7.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：每个正方形分别记为A，B，C，D，E，F，如图所示，按照以下顺序涂色，A:C41→B:C31→D:C21→C:C21→E:C11→F:C21，所以由分步乘法计数原理得到总的方案数为C41C31C21C21C11C21=96．故选C ． 8.【答案】 D【考点】直线与抛物线结合的最值问题 三角形的面积公式 抛物线的定义 【解析】分别过A ，B 作准线l 的垂线AM ，BN ，根据|BF|求出B 点坐标，得出直线AB 的方程，从而得出A 点坐标，于是S △BCFS△ACF=|BC||AC|=|BN||AM|．【解答】解：抛物线的准线方程为l:x =−1，分别过A ，B 作准线l 的垂线AM ，BN ，则|BN|=|BF|=5，∴ B 点横坐标为4，不妨设B(4, −4)，则直线AB 的方程为：y =4x −20，联立方程组{y =4x −20,y 2=4x, 得4x 2−41x +100=0， 设A 横坐标为x 0，则x 0+4=414，故而x 0=254．∴ |AM|=x 0+1=294，∴ S △BCFS△ACF=|BC||AC|=|BN||AM|=2029．故选D .9.【答案】 D【考点】函数的对称性两角和与差的正弦公式 正弦函数的定义域和值域 分段函数的应用 【解析】判断函数的单调性和对称性，根据对称性得出sinθ+cosθ=2a ．结合θ的范围得出a 的范围． 【解答】解：∵ a >0，∴ f(x)在(−∞, a)上单调递减，在(a, +∞)上单调递增，不妨设x >0，则f(a +x)=(a +x)2−a(a +x)+1=x 2+ax +1， f(a −x)=(a −x)2−3a(a −x)+2a 2+1=x 2+ax +1， ∴ f(a +x)=f(a −x)，同理：当x <0时，上式也成立， ∴ f(x)的图象关于直线x =a 对称， ∵ f(sinθ)=f(cosθ)，∴sinθ+cosθ=2a，即a=12(sinθ+cosθ)=√22sin(θ+π4)．∵θ∈(π4,π2 )，∴π2<θ+π4<3π4，∴12<√22sin(θ+π4)<√22，即12<a<√22．故选D.10.【答案】A【考点】二次函数的性质函数的值域及其求法【解析】设x+y=t，可得t的范围，且得到y=t−x，代入4x2+4y2+(1−x−y)2，转化为关于x的二次三项式，利用二次函数求其最值，结合t的范围可得最终答案．【解答】解：设x+y=t，∵x≥0，y≥0，x+y≤1，∴0≤t≤1，0≤x≤1，则4x2+4y2+(1−x−y)2=4x2+4(t−x)2+(1−t)2=8x2−8tx+5t2−2t+1，当x=t2时，其最小值为3t2−2t+1，∵0≤t2≤12，则当x=1时，4x2+4y2+(1−x−y)2的最大值为8−8t+5t2−2t+1=5t2−10t+9，而3t2−2t+1在(0, 1)上的最小值为23，当x=1时，t=1，4x2+4y2+(1−x−y)2的最大值为5×12−10×1+9=4，∴4x2+4y2+(1−x−y)2的取值范围为[23,4]．故选A.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．【答案】2,y=±√3x【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】双曲线x2−y23=1中，a=1，b=√3，c=2，即可求出双曲线的离心率与渐近线方程．【解答】=1中，a=1，b=√3，c=2，解：双曲线x2−y23∴e=c=2，渐近线方程是y=±√3x．a故答案为：2；y=±√3x.【答案】−1,2√23【考点】直线与圆的位置关系两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】由两直线平行与系数的关系列式求得m值；动直线过定点P，画出直线与圆，由图可知，当过P(0, −1)的直线与P与圆心的连线垂直时，直线l被圆x2+2x+y2−24=0截得弦长最小，再由垂径定理求解．【解答】解：∵直线mx−y=1即直线mx−y−1=0与直线x−my−1=0平行，∴{−m2+1=0,即m=−1，−m+1≠0,直线l:mx−y=1过定点P(0, −1)，圆x2+2x+y2−24=0化为(x+1)2+y2=25，如图：当过P(0, −1)的直线与P与圆心的连线垂直时，直线l被圆x2+2x+y2−24=0截得弦长最小，则弦长最小值为2√25−(√2)2=2√23．故答案为：−1；2√23.【答案】0,52【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】，由此能求出DX由随机变量X的分布列及EX=2，列出不等式组，求出a=0，b=14的值．【解答】解：由随机变量X的分布列及EX=2，得：{13+b +16+14=1,13a +2b +3×16+4×14=2,， 解得a =0，b =14，∴ D(X)=(0−2)2×13+(2−2)2×14+(3−2)2×16+(4−2)2×14 =52.故答案为：0；52. 【答案】20√5π3【考点】由三视图求表面积 三角形的面积公式 【解析】根据三视图画出几何体的直观图，判断三视图的数据所对应的量，求出各侧面的高，代入公式计算即可．求出外接球的半径，然后求解外接球的体积． 【解答】解：由三视图得几何体的直观图是：∴ S 表=2×12×2×2+12×2√3×√5+12×2√3×1 =4+√15+√3，设底面外接圆的半径为r ，则2√3sin120=2r ，解得r =2，设三棱柱的外接球的半径为R ， R =√22+12=√5． 该三棱锥的外接球体积为：4π3×(√5)3=20√5π3．故答案为：20√5π3. 【答案】 2n+1−2 【考点】等比数列的前n 项和 等差数列的通项公式 【解析】设等差数列{a n}的公差为d，a1=2，可得a121=22=4，a222=(2+d)22，a323=(2+2d)23，由{a n2 n }为等差数列(n∈N∗)，可得2×(2+d)22=4+(2+2d)23，解出d即可得出a n，再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a1=2，∴a121=22=4，a222=(2+d)22，a323=(2+2d)23，∵{a n2n}为等差数列(n∈N∗)，∴2×(2+d)22=4+(2+2d)23，化为：d2−4d+4=0，解得d=2，∴a n=2+2(n−1)=2n．∴(a nn)n=2n．∴a1+(a22)2+(a33)3+...+(a nn)n=2+22+⋯+2n=2(2n−1) 2−1=2n+1−2.故答案为：2n+1−2.【答案】6【考点】二次函数的性质不等式的基本性质【解析】a+b+c=−2，abc=−(4)可得：至少有一个小于（0）不妨设a，b，c<0；或a> 0，b>0，c<(0)①a>0，b>0，c<(0)则a+b=−2−c，ab=−4c，可得a，b是方程t2+(2+c)t−4c=0的两个正实数根．△≥0，化为：(c+4)(c2+4)≤0，可得c≤−(4)代入|a|+|b|+|c|即可得出．．②a，b，c<0时，由已知可得：a+b=−2−c，ab=−4c，a，b是方程t2+(2+c)t−4c=0的两个负实数根．△≥0，解出可得矛盾．【解答】解：a+b+c=−2，abc=−4，可得：至少有一个数小于0，不妨设a，b，c<0，或a>0，b>0，c<0.①a>0，b>0，c<0，则a+b=−2−c，ab=−4c，∴ a ，b 是方程t 2+(2+c)t −4c =0的两个正实数根． Δ=(2+c)2+16c≥0，化为：c 3+4c 2+4c +16≤0， ∴ (c +4)(c 2+4)≤0， ∴ c ≤−4，|a|+|b|+|c|=a +b −c=−2−c −c =−2−2c ≥−2−2×(−4)=6；②a ，b ，c <0时，由已知可得：a +b =−2−c ，ab =−4c ， a ，b 是方程t 2+(2+c)t −4c =0的两个负实数根． Δ=(2+c)2+16c≥0，化为：c 3+4c 2+4c +16≤0， ∴ (c +4)(c 2+4)≤0， ∴ c ≤−4，∴ a +b =−2−c >0，与a ，b <0矛盾，舍去． 综上可得：|a|+|b|+|c|的最小值为6. 故答案为：6. 【答案】 118【考点】平面向量在解析几何中的应用 三角形的面积公式 棱柱的结构特征 【解析】根据面面平行的性质确定P 的轨迹边界，从而得出轨迹图形． 【解答】解：∵ D 1P →=xD 1F →+yD 1E →(x ≥0, y ≥0)，∴ D 1，E ，F ，P 四点共面，设D 1，E ，F ，P 四点确定的平面为α，则α与平面BCC 1B 1的交线与D 1F 平行， ①当F 与D 重合时，取BC 的中点M ，连接EM ，DM ，则EM // D 1F ，则此时P 的轨迹为折线D 1−D −M −E ，②当F与A重合时，EB // D1F，此时P的轨迹为折线D1−A−B−E，∴当F在棱AD上运动时，符合条件的P点在正方体表面围成的图形为Rt△D1AD，直角梯形ABMD，Rt△BME．∴S=12×1×1+12×(12+1)×1+12×12×12=118．故答案为：118.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】解：(1)函数f(x)=4cosx⋅sin(x−π6)−1=4cosx(√32sinx−12cosx)−1=√3sin2x−cos2x−2 =2sin(2x−π6)−2，由−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，所以f(x)的增区间为[kπ−π6, kπ+π3]，k∈Z；(2)由f(B)=2sin(2B−π6)−2=0，得2B−π6=π2，所以B=π3，作C关于AB的对称点C′，连结C′D，C′P，C′B，如图所示，则∠CBC′=120∘，由余弦定理得(C′D)2=BD2+(BC′)2+BD⋅BC′=7，CP+PD=C′P+PD≥C′D=√7，且C′，P，D三点共线时取得最小值√7．则|CP|+|PD|的最小值为√7．【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式图的最短路问题及其算法余弦定理的应用正弦函数的单调性【解析】(Ⅰ)化函数f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出f(x)的增区间；(Ⅱ)由题意求得B的值，作C关于AB的对称点C′，利用对称关系求得CP+PD的最小值．【解答】解：(1)函数f(x)=4cosx⋅sin(x−π6)−1=4cosx(√32sinx−12cosx)−1=√3sin2x−cos2x−2 =2sin(2x−π6)−2，由−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，所以f(x)的增区间为[kπ−π6, kπ+π3]，k∈Z；(2)由f(B)=2sin(2B−π6)−2=0，得2B−π6=π2，所以B=π3，作C关于AB的对称点C′，连结C′D，C′P，C′B，如图所示，则∠CBC′=120∘，由余弦定理得(C′D)2=BD2+(BC′)2+BD⋅BC′=7，CP+PD=C′P+PD≥C′D=√7，且C′，P，D三点共线时取得最小值√7．则|CP|+|PD|的最小值为√7．【答案】(1)证明：如图，连结BD交AE于点N，∵∠C=60∘，CE=2，∴BE=CE⋅tan60∘=2√3，BC=CEcos60∘=4.∵CE=14CD=2，∴ CD =8，DE =CD −CE =6，∴ BD =√BE 2+DE 2=√12+36=4√3， ∴ BD 2+BC 2=CD 2， ∴ BC ⊥BD .∵ AB//CE ，AB =AE ，∴ 四边形ABCE 是平行四边形， ∴ BC // AE ， ∴ AE ⊥BD ，∴ AE ⊥BN ，AE ⊥MN .∵ BN ∩MN =N ，BN ⊂平面MNB ，MN ⊂平面MNB ， ∴ AE ⊥平面MNB ， ∴ AE ⊥MB ．(2)解：如图，以BE 为x 轴，BA 为y 轴，BM 为z 轴建立空间直角坐标系，则有A(0,2,0),C(2√3,−2,0),E(2√3,0,0),M(0,0,2√6)，则AM →=(0,−2,2√6)，AE →=(2√3,−2,0)，MC →=(2√3,−2,−2√6)， 设平面AME 的法向量为m →=(x,y,z)， 由{m →⋅AM →=0,m →⋅AE →=0,得{−2y +2√6z =0,2√3x −2y =0, 可取m →=(√2,√6,1)， ∴ sinθ=cos <m →,MC →>=m →⋅MC →|m →|⋅|MC →|=√1515. 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 两条直线垂直的判定 【解析】(Ⅰ)连BD ，交AE 于N ，推导出AE ⊥BN ，AE ⊥MN ，从而AE ⊥平面MNB ，由此能证明AE ⊥MB ．(Ⅱ)设直线CM 与面AME 所成角为θ，则sinθ=ℎMC ，其中ℎ为C 到面AME 的距离，由AE // BC ，得C 到面AME 的距离即B 到面AME 的距离．由V M−ABE =13∗S △ABE ∗BM =V B−AME =13S △AEM ∗ℎ求出ℎ=2√63，由此能求出直线CM 与面AME 所成角的正弦值．【解答】(1)证明：如图，连结BD 交AE 于点N ，∵ ∠C =60∘，CE =2，∴ BE =CE ⋅tan60∘=2√3，BC =CEcos60∘=4. ∵ CE =14CD =2，∴ CD =8，DE =CD −CE =6，∴ BD =√BE 2+DE 2=√12+36=4√3， ∴ BD 2+BC 2=CD 2， ∴ BC ⊥BD .∵ AB//CE ，AB =AE ，∴ 四边形ABCE 是平行四边形， ∴ BC // AE ， ∴ AE ⊥BD ，∴ AE ⊥BN ，AE ⊥MN .∵ BN ∩MN =N ，BN ⊂平面MNB ，MN ⊂平面MNB ， ∴ AE ⊥平面MNB ， ∴ AE ⊥MB ．(2)解：如图，以BE 为x 轴，BA 为y 轴，BM 为z 轴建立空间直角坐标系，则有A(0,2,0),C(2√3,−2,0),E(2√3,0,0),M(0,0,2√6)，则AM →=(0,−2,2√6)，AE →=(2√3,−2,0)，MC →=(2√3,−2,−2√6)， 设平面AME 的法向量为m →=(x,y,z)， 由{m →⋅AM →=0,m →⋅AE →=0,得{−2y +2√6z =0,2√3x −2y =0, 可取m →=(√2,√6,1)， ∴ sinθ=cos <m →,MC →>=m →⋅MC →|m →|⋅|MC →|=√1515. 【答案】 解：(1)f ′(x)=x 2+ax+1x 2，∵ x >0．由f ′(12)=0，得(12)2+12a +1=0， ∴ a =−52，此时f(x)=−52ln x +x −1x ． 则f ′(x)=x 2−52x+1x 2=(x−2)(x−12)x 2．由f ′(x)=0得，x =12或x =2，∴ f(x)在[12,2]上为减函数，在[2+∞)上为增函数． ∴ x =2为极小值点，极小值f(2)=32−5ln 22．(2)不等式aln x −1x ≤b −x 即为f(x)≤b ， ∴ b ≥f(x)max ．①若1≤x ≤2，则lnx ≥0，f(x)=aln x +x −1x ≤x −1x ≤2−12=32，当a =0，x =2时取等号； ②若12≤x ≤1，则lnx ≤0，f(x)=aln x +x −1x ≤−52ln x +x −1x． 由(1)可知g(x)=−52ln x +x −1x 在[12,1]上为减函数． ∴ 当12≤x ≤1时，g(x)≤g(12)=52ln 2−32． ∵ 52ln 2−32<52−32=1<32，∴ f(x)max =32. ∴ b min =32．【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 【解答】 解：(1)f ′(x)=x 2+ax+1x 2，∵ x >0．由f ′(12)=0，得(12)2+12a +1=0，∴ a =−52，此时f(x)=−52ln x +x −1x ． 则f ′(x)=x 2−52x+1x 2=(x−2)(x−12)x 2．由f ′(x)=0得，x =12或x =2，∴ f(x)在[12,2]上为减函数，在[2+∞)上为增函数． ∴ x =2为极小值点，极小值f(2)=32−5ln 22．(2)不等式aln x −1x ≤b −x 即为f(x)≤b ， 所以b ≥f(x)max ．①若1≤x ≤2，则lnx ≥0，f(x)=aln x +x −1x ≤x −1x ≤2−12=32， 当a =0，x =2时取等号； ②若12≤x ≤1，则lnx ≤0，f(x)=aln x +x −1x ≤−52ln x +x −1x ．由(1)可知g(x)=−52ln x +x −1x 在[12,1]上为减函数． 所以当12≤x ≤1时，g(x)≤g(12)=52ln 2−32． 因为52ln 2−32<52−32=1<32， 所以f(x)max =32. 所以b min =32． 【答案】解：(1)由椭圆的离心率e =c a=√1−b 2a 2=√32， 则a 2=4b 2， ∴ 椭圆C 的方程：x 24b 2+y 2b 2=1， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,作差得y 1−y 2x 1−x 2=−14⋅x 1+x 2y 1+y 2， 又∵ M(−2, 1)，即x 1+x 2=−4，y 1+y 2=2，∴ AB 斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=12．由{x 24b 2+y 2b 2=1,y =12x +2,消去y 得x 2+4x +8−2b 2=0，则|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+14√16−4(8−2b 2)=√10．解得b 2=3， 于是椭圆C 的方程为：x 212+y 23=1．(2)设直线AB:y =k(x +2)+1，由{x 212+y 23=1,y =k(x +2)+1,消去y 得，(1+4k 2)x 2+8k(2k +1)x +4(2k +1)2−12=0， 于是x 1+x 2=−8k(2k+1)1+4k 2，x 1x 2=4(2k+1)2−121+4k 2．设D(x 3, y 3)，E(x 4, y 4)，AD →⋅EB →=(AM →+MD →)⋅(EM →+MB →)=AM →⋅MB →+EM →⋅MD →=(−2−x 1, 1−y 1)⋅(2+x 2, y 2−1)+(−2−x 4, 1−y 4)⋅(2+x 3, y 3−1)， ∵ (−2−x 1, 1−y 1)⋅(2+x 2, y 2−1)=−(1+k 2)(2+x 1)(2+x 2) =−(1+k 2)[4+2(x 1+x 2)+x 1x 2]=4(1+k 2)1+4k 2，同理可得(−2−x 4, 1−y 4)⋅(2+x 3, y 3−1)=4(1+k 2)4+k ，∴ AD →⋅EB →=4(1+k 2)(11+4k 2+14+k 2)=20(1+k 2)2(1+4k 2)(4+k 2)≥20(1+k 2)2(1+4k 2+4+k 22)2=165，当且仅当1+4k 2=4+k 2时，即k =±1时取等号． 综上，AD →⋅EB →的最小值为165．【考点】直线与抛物线结合的最值问题 椭圆的离心率 椭圆的标准方程基本不等式在最值问题中的应用 平面向量数量积的运算 中点坐标公式 【解析】(Ⅰ)根据椭圆的离心率公式求得a =2b ，利用点差法求得AB 的斜率，代入椭圆方程，根据弦长公式即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；(Ⅱ)设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标，求得AD →∗EB →，化简，根据基本不等式的关系，即可求得求AD →∗EB →的最小值． 【解答】解：(1)由椭圆的离心率e =c a=√1−b 2a 2=√32， 则a 2=4b 2， ∴ 椭圆C 的方程：x 24b 2+y 2b 2=1，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,作差得y 1−y 2x 1−x 2=−14⋅x 1+x 2y 1+y 2， 又∵ M(−2, 1)，即x 1+x 2=−4，y 1+y 2=2，∴ AB 斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=12．由{x 24b2+y 2b 2=1,y =12x +2,消去y 得x 2+4x +8−2b 2=0， 则|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+14√16−4(8−2b 2)=√10．解得b 2=3， 于是椭圆C 的方程为：x 212+y 23=1．(2)设直线AB:y =k(x +2)+1，由{x 212+y 23=1,y =k(x +2)+1,消去y 得，(1+4k 2)x 2+8k(2k +1)x +4(2k +1)2−12=0， 于是x 1+x 2=−8k(2k+1)1+4k 2，x 1x 2=4(2k+1)2−121+4k ．设D(x 3, y 3)，E(x 4, y 4)，AD →⋅EB →=(AM →+MD →)⋅(EM →+MB →)=AM →⋅MB →+EM →⋅MD →=(−2−x 1, 1−y 1)⋅(2+x 2, y 2−1)+(−2−x 4, 1−y 4)⋅(2+x 3, y 3−1)， ∵ (−2−x 1, 1−y 1)⋅(2+x 2, y 2−1)=−(1+k 2)(2+x 1)(2+x 2) =−(1+k 2)[4+2(x 1+x 2)+x 1x 2]=4(1+k 2)1+4k 2，同理可得(−2−x 4, 1−y 4)⋅(2+x 3, y 3−1)=4(1+k 2)4+k 2，∴ AD →⋅EB →=4(1+k 2)(11+4k +14+k ) =20(1+k 2)2(1+4k 2)(4+k 2)≥20(1+k 2)2(1+4k 2+4+k 22)2=165，当且仅当1+4k 2=4+k 2时，即k =±1时取等号． 综上，AD →⋅EB →的最小值为165．【答案】(1)证明：下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，a n >1， ①当n =2时，由a 1=−1110，a n+1=|a n −1|+√a n 2−2a n +52，得a 2=52，显然成立；②假设n =k 时命题成立，即a k >1， 则n =k +1时，ak+1=a k −1+√a k 2−2a k+52．于是a k+1−1=a k −3+√a k 2−2a k +52．因为(√a k 2−2a k +5)2−(3−a k )2=4(a k −1)>0， 所以a k+1>1，这就是说n =k +1时命题成立． 由①②可知，当n ≥2时，a n >1.(2)解：由b n+1=2b n +1，b 1=1，得b n+1+1=2(b n +1)， 所以b n +1=2n ，从而b n =2n −1， 由(1)知，当n ≥2时，a n >1，所以，当n ≥2时，a n+1−a n =12[√a n 2−2a n +5−(1+a n )]． 因为a n 2−2a n +5−(1+a n )2=4(1−a n )<0，所以a n+1<a n ． 综上，当n ≥2时，1<a n+1<a n ．由a 1=−1110，a n+1=f(a n )，n ∈N ∗， 所以c 1=a 1=−1110，a 2=52，a 3=2， 所以c 1<1，c 2>c 3> (1)又c 1=a 1=−1110，a 2=52，c 2=a 3=2，存在集合[a, b]，使得c n ∈[a, b]对任意n ∈N ∗成立， 当b =c 2=a 3=2，a =c 1=−1110时， b −a 的最小值为c 2−c 1=3110．(3)证明：当n ≥2时，a n >1，a n+1=|a n −1|+√a n 2−2a n +52，所以a n =a n+12+a n+1−1a n+1，即a n a n+1=a n+12+a n+1−1，也即a n −a n+1=1−1an+1，∴ c n −c n+1=a b n −a b n+1=(a b n −a b n +1)+(a b n +1−a b n +2)+...+(a b n+1−1−a b n+1)=(1−1a b n +1)+(1−1a b n +2)+...+(1−1a b n+1)=(b n+1−b n )−(1a b n +1+1a b n +2+...+1a b n+1)≤(b n+1−b n )−(1a b n+1a b n+...+1a b n)=2n −2n c n，即2nc n≤2n +c n+1−c n ，n ≥2， 于是∑n i=22i c i≤∑n i=2(2i +c i+1−c i )=2n+1−4+c n+1−c 2=2n+1+c n+1−6，故22c 2+23c 3+⋯+2nc n≤2n+1+c n+1−6(n ∈N ∗, n ≥2)．【考点】数列的极限 数列的求和数列递推式 数学归纳法 【解析】(Ⅰ)利用数学归纳法证明即可，(Ⅱ)根据数列的递推公式可得b n =2n −1，利用作差法比较1<a n+1<a n ．求出数列的{c n }的变化，故可得存在集合[a, b]，使得c n ∈[a, b]对任意n ∈N ∗成立，当b =c 2=a 3=2，a =c 1=−1110时，b −a 的最小值为c 2−c 1=3110． (Ⅲ)由(Ⅱ)c n −c n+1=2n −2nc n，再根据求和公式即可证明．【解答】(1)证明：下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，a n >1， ①当n =2时，由a 1=−1110，a n+1=|a n −1|+√a n 2−2a n +52，得a 2=52，显然成立；②假设n =k 时命题成立，即a k >1， 则n =k +1时，ak+1=a k −1+√a k 2−2a k+52．于是a k+1−1=a k −3+√a k 2−2a k +52．因为(√a k 2−2a k +5)2−(3−a k )2=4(a k −1)>0， 所以a k+1>1，这就是说n =k +1时命题成立． 由①②可知，当n ≥2时，a n >1.(2)解：由b n+1=2b n +1，b 1=1，得b n+1+1=2(b n +1)， 所以b n +1=2n ，从而b n =2n −1， 由(1)知，当n ≥2时，a n >1，所以，当n ≥2时，a n+1−a n =12[√a n 2−2a n +5−(1+a n )]． 因为a n 2−2a n +5−(1+a n )2=4(1−a n )<0，所以a n+1<a n ． 综上，当n ≥2时，1<a n+1<a n ．由a 1=−1110，a n+1=f(a n )，n ∈N ∗， 所以c 1=a 1=−1110，a 2=52，a 3=2， 所以c 1<1，c 2>c 3> (1)又c 1=a 1=−1110，a 2=52，c 2=a 3=2，存在集合[a, b]，使得c n ∈[a, b]对任意n ∈N ∗成立， 当b =c 2=a 3=2，a =c 1=−1110时， b −a 的最小值为c 2−c 1=3110．(3)证明：当n ≥2时，a n >1，a n+1=|a n −1|+√a n 2−2a n +52，所以a n =a n+12+a n+1−1a n+1，即a n a n+1=a n+12+a n+1−1，也即a n −a n+1=1−1an+1，∴ c n −c n+1=a b n −a b n+1=(a b n −a b n +1)+(a b n +1−a b n +2)+...+(a b n+1−1−a b n+1)=(1−1a b n +1)+(1−1a b n +2)+...+(1−1a b n+1)=(b n+1−b n )−(1a b n +1+1a b n +2+...+1a b n+1)≤(b n+1−b n )−(1a b n+1a b n+...+1a b n)=2n −2n c n，即2nc n≤2n +c n+1−c n ，n ≥2， 于是∑n i=22i c i≤∑n i=2(2i +c i+1−c i )=2n+1−4+c n+1−c 2=2n+1+c n+1−6，故22c 2+23c 3+⋯+2nc n≤2n+1+c n+1−6(n ∈N ∗, n ≥2)．。

2018届鄞州区高考数学模拟试题（理）2018．5本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。

满分150分， 考试时间120分钟。

参考公式：球的表面积公式：24R S π=， 其中R 表示球的半径． 球的体积公式： 334R V π=，其中R 表示球的半径．柱体的体积公式：Sh V =， 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式：Sh V 31=， 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=，其中21,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．选择题部分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）C.充要条件D.既非充分又非必要条件 2．已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是A.,////m n m n αα⊂⇒B.,m n m n αα⊂⊥⇒⊥C.βαβα////,,⇒⊂⊂n m n mD.,n n βααβ⊂⊥⇒⊥3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，设)1()1()(-+-=x g x f x h ，则下列结论中正确的是A ．)(x h 关于)0,1(对称B ．)(x h 关于)0,1-(对称C ．)(x h 关于1=x 对称D ．)(x h 关于1-=x 对称 4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是A. 2B. 4C. 6D. 12 5．已知0AB BC ⋅=，1AB =，2BC =，0AD DC ⋅=，则BD的最大值为A.6．若00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值为3，则a 的值是A ．1B ．2C ．3D ．47．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且2||||BC CF =，则双曲线的离心率为 A. 352+B ．352-C ．325+D ．325-8．已知定义在R上的函数()f x 满足:①()(2)0f x f x +-=;②俯视图2（第4题）侧视图正视图(2)()f x f x -=-；③当]1,1[-∈x时，[1,0]()cos()(0,1]2x f x x x π∈-=⎨ ∈⎪⎩； 则函数xx f y )21()(-=在区间[3,3]-上的零点个数为A.5B.6C.7D.8非选择题部分二、填空题（本大题共7小题，第9,10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9．设全集}101|{≤≤∈=n N n U ,}8,5,4,3,1{=A ,}9,6,4,3,1{=B ,则=B A▲ ，=B A C U )( ▲ .10．已知数列{}n a 满足0n a ≠,113a =，()1122,n n n n a a a a n n N *---=⋅≥∈，则=n a ▲ ,=+++100993221a a a a a a ▲ . 11．已知函数()22,1,22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则[]=-)2(f f ▲ ,不等式()2f x ≥的解集为 ▲ .12．如图，在平面四边形ABCD 中,7,2,1===AC CD AD , 则=∠CAD cos▲ ； 又若621sin ,147cos =∠-=∠CBA BAD ,则=BC▲ .13. 如图，在棱长为1的正四面体BCD A -中，平面α与棱 BC CD AD AB ,,,分别交于点H G F E ,,,，则四边形EFGH周长的最小值为 ▲ .14．已知ABC ∆满足4,3==AC AB ，O 是ABC∆的外心，且()R ∈-+=λλλ21，则ABC ∆的面积是▲ ．15．如图，某商业中心O 有通往正东方向和北偏东︒30方向的两条街道，某公园P 位于商业中心北偏东θ角⎪⎭⎫⎝⎛=<<33tan ,20θπθ，且与商业中心O 的距离为21公里处，现要经过公园P 修一条直路分别与两条街道交汇于B ，A 两处,当商业中心O 到B ，A 两处的距离之和最小时，B A ,的距离为 ▲ 公里．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）(第12题)（第15题）（第13题）D16.（本小题满分15分）已知点)0,125(π是函数()()21-+=x cos x cos x sin a x f 图象的一个对称中心． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ上的最大值和最小值及取到最值时的对应x 值．17.（本小题满分15分）已知四边形ABCD中,,//CD AB 221====CD BC AB AD , E 为DC中点，连接AE ，将AED ∆沿AE 翻折到1AED ∆,使得二面角D AE D --1的平面角的大小为θ.（Ⅰ）证明:AE BD ⊥1；（Ⅱ）已知二面角C AB D --1的平面角的余弦值为55，求θ的大小及1CD 的长.18．（本小题满分15分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，左、右焦点分别为12,F F ，点G在椭圆C 上，且021=⋅GF ，12GF F ∆的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线)0()1(:<-=k x k y l 与椭圆C 相交于A，B 两点．点)0,3(P ，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，当kk k 21最大时，求直线l 的方程．19.（本小题满分15分）已知数列{}n a 中，a a =1（实数a 为常数），22=a ，n S 是其前n 项和，且()12n n n a a S -=. 数列{}n b 是等比数列，21=b ，4a 恰为4S 与12-b 的等比中项.（Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列； （Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式； （Ⅲ）若231=c ，当2≥n 时nn n n b b b c 1211111+++++=-- ，{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意2n ≥，都有13612+≥n T n ．20.（本小题满分14分）已知函数b ax x x f ++=2)(，)R ,(2)(∈+=b a a x x g ，且函数)(x f 与)(x g 的图象至多有一个公共点。

实用文档标准文案宁波市2018年高考模拟考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．已知集合??05Axx???，??2280Bxxx????，则AB? A．??2,4?B．??4,5C．??2,5?D．??0,42．已知复数z满足(1)2zii???（i为虚数单位），则z的虚部为A32i?B32i C32?D．323．已知直线l、m与平面?、?，??l，??m，则下列命题中正确的是A．若ml//，则必有??//B．若ml?，则必有???C．若??l，则必有???D．若???，则必有??m4．使得13n xxx???????（nN??）的展开式中含有常数项的最小的n为A．4B．5C．6D．75．记n S为数列{}n a的前n项和．“任意正整数n，均有0n a?”是“{}n S为递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．已知实数x，y满足不等式组2403480280xyxyxy??????????????，则xy?的最大值为A. 0B. 2C. 4D. 87．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有A．48种 B．72种 C．96种 D．216种8．设抛物线24yx?的焦点为F，过点(5,0)P的直线与抛物线相交于,AB两点，与抛物线的准线相交于C，若5BF?，则BCF?与ACF?的面积之比BCFACF SS??? A．56 B．2033C．1531 D．20299．已知a为正常数，2221,()321,xaxxafxxaxaxa???????????,若存在(,)42????，满足(sin)(cos)ff???，则实数a的取值范围是A. 1(,1)2B.)1,22(C.)2,1(D. )22,21(10．已知,xy均为非负实数，且1xy??，则22244(1)xyxy????的取值范围为（第7题图）实用文档标准文案23（第14题图）A. 2[,4]3 B．[1,4] C．[2,4]D．[2,9]二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．双曲线2213yx??的离心率是，渐近线方程为12．已知直线:1lmxy??．若直线l与直线10xmy???平行，则m的值为；动直线l被圆222240xxy????截得弦长的最小值为13．已知随机变量X的分布列如下表：X a234P13b1614若2EX?，则a?；DX?14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为，该三棱锥的外接球体积为15．已知数列{}n a与2{}n an均为等差数列（nN??），且12a?，则23321()))23nn aaaan?????（（16．已知实数,,abc满足：2a bc????，4abc??.则cba??的最小值为17．已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD?中，E为侧面11BBCC中心，F在棱AD 上运动，正方体表面上有一点P满足111DPxDFyDE??(0,0)xy??，则所有满足条件的P点构成图形的面积为三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）已知函数()4cossin16fxxx???????????. （Ⅰ）求函数()fx 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC?中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若满足()0fB?，2a?，且D是BC的中点，P是直线AB上的动点，求PDCP?的最小值．ECBDC1A1B1D1AF（第17题图）实用文档标准文案19．（本题满分15分）如图，四边形ABCD为梯形，，∥???60,CCDAB点E在线段CD上，满足BECD?,且124CEABCD???，现将ADE?沿AE翻折到AME位置，使得210MC?．（Ⅰ）证明：AEMB?;（Ⅱ）求直线CM与面AME所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数1()lnfxaxxx???，其中a为实常数．（Ｉ）若12x?是()fx的极大值点，求(fx）的极小值；（Ⅱ）若不等式1lnaxbxx???对任意502a???，122x??恒成立，求b的最小值．实用文档标准文案21．（本题满分15分）如图，椭圆2222:1(0)xyCabab????的离心率为32，点(2,1)M?是椭圆内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,ll，设1l与椭圆C相交于点,AB，2l与椭圆C相交于点,DE．当M恰好为线段AB的中点时，10AB?．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求ADEB?的最小值．22. （本题满分15分）三个数列{}{}nnn abc，，满足11110a??，11b?，21|1|252nnnn aaaa??????，121nn bb???，,*n nb caNn??．（Ⅰ）证明：当2n?时，1n a?；（Ⅱ）是否存在集合[,]ab，使得[,]n cab?对任意*nN?成立，若存在，求出ba?的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：232311226(*,2)22nnnn cnNnccc??????????．实用文档标准文案宁波市2018年高考模拟考试数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．D 10．A9．()fx关于直线xa?对称，且在[,)a??上为增函数．所以sincos2sin()224a????????因为(,)42????，3(,)424??????．所以2sin(12()2)242a?????，．10．简解：1()2xyz???，则试题等价于21xyz???，满足,,0xyz?，求2224()xyz??的取值范围．设点1(0,0,)2A，(1,0,0)B，(0,1,0)C，点(,,)Pxyz可视为长方体的一个三角截面ABC上的一个点，则2222||OP xyz???，于是问题可以转化为||OP的取值范围．显然||1OP?，||OP的最小值为O到平面ABC的距离，可以利用等积法计算．因为OABCAOBC VV???，于是可以得到1||6OP?．所以21||[,1]6OP?，即2224[]xyz??2[,4]3?．另解：因为,0xy?，所以2222()()2xyxyxy?????实用文档标准文案令txy??，则01t??22222244(1)4(1)5214xyxytttt???????????．当0xy?且1t?，即0,1xy??或1,0xy??时取等号；另一方面，222222244(1)2(1)3213xyxytttt???????????当16xy??时取等号．所以222244(1)[,4]3xyxy?????．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．2，3yx?? 12．1?，223 13．0；52144315??，2053? 15．221??n16．6 1711816．简解：不妨设a是,,abc中的最小者，即,abac??，由题设知0a?，且2bca????，4bca??. 于是,bc是一元二次方程24(2)0xaxa????的两实根，24(2)40aa??????，3244160aaa????，2(4)(4)0aa???, 所以4a??.又当4a??,1bc??时，满足题意. 故,,abc中最小者的最大值为4?.因为,,0abc?，所以,,abc为全小于0或一负二正.1）若,,abc为全小于0，则由（1）知，,,abc中的最小者不大于4?，这与2abc????矛盾. 2）若,,abc为一负二正，设0,0,0abc???，则22826abcabca?????????????当4a??,1bc??时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故cba??的最小值为6.17．答：118．构成的图形，如图所示．记BC中点为N，所求图形为直角梯形ABND、BNE?、NCBDC1A1B1D1A．实用文档标准文案1DAD?．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）解答：（Ⅰ）31()4cos(sincos)122fxxxx???3sin2cos222sin(2)26xxx???????……………………4分由于222,262kxkkZ????????????，所以()fx增区间为,,63kkkZ?????????????．……………………6分（Ⅱ）由()2sin(2)206fBB?????得262B????，所以3??B. …………8分作C关于AB的对称点'C, 连BCPCDC''',,，7)()('2'22'?????BCBDBCBDDC……………………12分.7,,7共线时，取最小值，当DPCDCPDPCPDCP????????……………………14分19．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）方法一：连BD交AE于N，由条件易算43BD?∴BCBD?··········2分又//BCAE∴AEBD?··········4分从而,AEABNMEN??所以AEMNB?平面··········6分∴AEMB?··········7分方法二：由102,2,6????MCCEDEME，得A ABEMBECDC（第19题图）实用文档标准文案222MCCEME?? , 故CEME?，又CEBE?，所以CEBEM?平面，……………………2分所以CEBM?，……………………3分可得BMAB?，计算得62,72???MBAMAD,从而222BEMBME??,BMBE?……………………5分?MB平面ABE，所以AEMB?. ……………………7分（Ⅱ）方法一：设直线CM与面AME所成角为?，则sin hMC??，其中h为C到AME面的距离. …………………9分∵AEBC∥∴C到AME面的距离即B到AME面的距离.由1133MABEABEBAMEAEM VSBMVSh???????．…………………12分所以263ABEAEM SBMhS????∴15sin15hMC??? . ……………………………………………15分方法二：由MBABCE?面，如图建系，(0,2,0),(23,2,0),AC?(23,,0),(0,0,26),EM则(0,2,26),(23,2,0),AMAE????(23,2,26)MC???设平面AME的法向量为(,,)mxyz?，由00m AM mAE?????????，可取(2,6,1)m?， (12)分15sincos,15mMCmMCmMC?????????．.………………………15分zyAMBECx实用文档标准文案xyEDAMO B（第21题图）20．（本题满分15分）解答：（Ｉ）221()xax fxx????，因为0x?．由1'()02f?，得211()1022a???，所以52a?? ,…………3分此时51()ln2fxxxx????．则222511(2)()22'()xxxxfxxx??????．所以()fx在1[,2]2上为减函数，在[2,)??上为增函数．…………5分所以2x?为极小值点，极小值35ln2(2)22f??．. …………6分（Ⅱ）不等式1lnaxbxx???即为()fxb?．所以max()bfx?．……………………………8分ⅰ）若12x??，则ln0x?，1113()ln222fxaxxxxx????????当0,2ax??时取等号；……………………………10分ⅱ）若112x??，则ln0x?，151()lnln2fxaxxxxxx???????．由（Ｉ）可知51()ln2gxxxx????在1[,1]2上为减函数．所以当112x??时，153()()ln2222gxg???．……………………13分因为53533ln2122222?????．所以max3(2fx)=于是min32b?．……………………15分21．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）由题意设224ab?，…………………2分即椭圆2222:14xyCbb??，设1122(,),(,),AxyBxy3344(,),(,)CxyDxy由22211222224444xybxyb???????作差得，实用文档标准文案1212()()xxxx???12124()()0yyyy???又∵(2,1)M?,即12124,2xxyy?????，∴AB斜率121212yykxx????．…………………………4分由222214122xybbyx???????????．消x得，224820xxb????．则2212111164(82)104ABkxxb????????．解得23b?，于是椭圆C的方程为：221123xy??．…………………6分（Ⅱ）设直线:(2)1ABykx???, 由221123(2)1xyykx??????????消x得，222(14)8(21)4(21)120kxkkxk???????．于是21212228(21)4(21)12,1414kkkxxxxkk??????????． (8)分()()ADEBAMMDEMMBAMMBEMMD????????? 11224433(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)xyxyxyxy??????????????∵2112212(2,1)(2,1)(1)(2)(2)xyxykxx???????????22121224(1)(1)[42()]14kkxxxxk?????????．…………………13分同理可得2443324(1)(2,1)(2,1)4kxyxyk?????????．∴22222221120(1)4(1)()144(14)(4)kADEBkkkkk??????????，2222220(1)161445()2kkk??????, 当1k??时取等号．综上，ADEB?的最小值为165．…………………15分22. （本题满分15分）解答：（Ⅰ）下面用数学归纳法证明：当2n?时，1n a?．实用文档标准文案ⅰ）当2n?时，由11110a??，21|1|252nnnn aaaa??????，得252?a，显然成立；ⅱ）假设nk?时命题成立，即1k a?．则1nk??时，211252kkkk aaaa??????于是2132512kkkk aaaa???????．因为222(25)(3)4(1)0kkkk aaaa???????．所以11k a??，这就是说1nk??时命题成立．由ⅰ）ⅱ）可知，当2n?时，1n a?．…………………3分（Ⅱ）由1121,1nn bbb????，得112(1)nn bb????，所以12nn b??，从而21nn b??．………………5分由（Ⅰ）知，当2n?时，1n a?，所以，当2n?时，2125(1)2nnnnn aaaaa???????．因为2225(1)4(1)0nnnn aaaa???????，所以1nn aa??．综上，当2n?时，11nn aa???．………………7分由11110a??，1()*)(nn afanN???，所以111110ca???，235,22aa??所以12331,1ccac?????，又11223115,,2102caaca??????．从而存在集合[,]ab，使得[,]n cab?对任意*nN?成立，当231112,10bcaac??????时,ba?的最小值为213110cc??．……9分（Ⅲ）当2n?时，1n a?，所以21111nnnn aaaa??????即21111nnnn aaaa??????，也即1111nnn aaa?????，…………11分实用文档标准文案11111121()nnnnnnnn nnbbbbbbbb ccaaaaaaaa??????????????????（）（）111nnn bbb aaa???????（1-）（1-）（1-）112111()(nnn nnbbb bb aaa??????????）22nnn c?-．1112即122nnnnn ccc????(2)n?,．??．于是11112122i2(2)2426inninniinnii c ccccc?????????????????故232311226(*,2)22nnnn cnNnccc??????????．.……………15分。

2017-2018学年浙江省宁波市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，x，x2﹣x}，且B⊆A，则x=（）A．1 B．0 C．2 D．﹣12．已知a∈R，则a2＞3a是a＞3的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．下列中，正确的是（）A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条4．已知等比数列{a n}满足a2=，a2•a8=4（a5﹣1），则a4+a5+a6+a7+a8=（）A．20 B．31 C．62 D．635．已知函数f（x）=，并给出以下，其中正确的是（）A．函数y=f（sinx）是奇函数，也是周期函数B．函数y=f（sinx）是偶函数，不是周期函数C．函数y=f（sin）是偶函数，但不是周期函数D．函数y=f（sin）是偶函数，也是周期函数6．已知函数y=f（x）=|x﹣1|﹣mx，若关于x的不等式f（x）＜0解集中的整数恰为3个，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．7．如图，已知椭圆C：，点A，F分别为其右顶点和右焦点，过F作AF的垂线交椭圆C于P，Q两点，过P作AP的垂线交x轴于点D，若|DF|=，则椭圆C的长轴长为（）A．2 B．4 C．2D．48．在△ABC中，点D满足=，P为△ABC内一点，且满足=+，则=（）A．B．C．D．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．下面几个数中：①30.4②③log23•log98④5﹣0.2⑤最大的是．最小的是．（请填写对应数的序号）10．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率为．则b=，若以（2，1）为圆心，r为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r=．11．已知x，y满足约束条件，且目标函数z=mx+y．（Ⅰ）若z的最小值为0，则m=；（Ⅱ）若z仅在点（1，1）处取得最小值，则m的取值范围为．12．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为．（单位：cm2）13．已知点P在边长为2的正方形ABCD边界上运动，点M在以P为圆心，1为半径的圆上运动，则•的最大值为．14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f（x）≤0恒成立，则b的取值范围为．15．已知a＞0，b＞0，且，则a+b的最小值是此时a=．三、解答题（共5小题，满分74分）16．已知函数f（x）=2sin（ωx）cos（ωx）+msin2（ωx）（ω＞0）关于点（）对称（Ⅰ）求m的值及f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，最大内角A的值为f（x）的最小正周期，若b=2，△ABC面积的取值范围为[]，求角A的值及a的取值范围．17．已知数列{a n}满足a1=，a n=．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）已知数列{b n}满足b1=1，b2=2，且b n=b1+a1b2+a2b3+…+a n﹣2b n﹣1（n＞2），判断2016是否为数列{b n}中的项？若是，求出相应的项数n，若不是，请说明理由．18．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=，AD=1，AB=2CD=4，E为AB中点，沿线段DE将△ADE折起到△A1DE，使得点A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上．（Ⅰ）求证：平面A1EC⊥平面A1DC；（Ⅱ）求直线A1B与平面EBCD所成角的正弦值．19．在“2016”的logo设计中，有这样一个图案：，其由线段l、抛物线弧E及圆C三部分组成，对其进行代数化的分析，如图建系，发现：圆C方程为（x﹣4）2+y2=16，抛物线弧E：y2=2px（y≥0，0≤x≤8），若圆心C恰为抛物线y2=2px的焦点，线段l所在的直线恰为抛物线y2=2px的准线．（Ⅰ）求p的值及线段l所在的直线方程；（Ⅱ）P为圆C上的任意一点，过P作圆的切线交抛物线弧E于A、B两点，问是否存在这样的点P，使得弦AB在l上的投影长度与圆C的直径之比为4：3？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．20．已知f（x）=．（Ⅰ）若a=﹣8，求当﹣6≤x≤5时，|f（x）|的最大值；（Ⅱ）对于任意的实数a（﹣2≤a≤4）都有一个最大的正数M（a），使得当x∈[0，M（a）]时，|f（x）|≤3恒成立，求M（a）的最大值及相应的a．2016年浙江省宁波市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，x，x2﹣x}，且B⊆A，则x=（）A．1 B．0 C．2 D．﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由A={﹣1，0，1，2}，B⊆A知x=﹣1或x=0或x=2，从而分类讨论求得．【解答】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B⊆A，∴x=﹣1或x=0或x=2，若x=﹣1，则x2﹣x=2，故成立；若x=0，则x2﹣x=0，故不成立；若x=2，则x2﹣x=2，故不成立；故选：D．2．已知a∈R，则a2＞3a是a＞3的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a2＞3a，解得a＞3或a＜0．即可判断出结论．【解答】解：由a2＞3a，解得a＞3或a＜0．∴a2＞3a是a＞3的必要不充分条件．故选：B．3．下列中，正确的是（）A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据条件举出反例判断．【解答】解：对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，b⊂α，故B错误．对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．对于D，∵直线a∥平面α，∴存在直线b⊂α，使得a∥b，过P作c∥b，则a∥c．故D正确．故选：D．4．已知等比数列{a n}满足a2=，a2•a8=4（a5﹣1），则a4+a5+a6+a7+a8=（）A．20 B．31 C．62 D．63【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2=，a2•a8=4（a5﹣1），可得=，=4（a5﹣1），联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=，a2•a8=4（a5﹣1），∴=，=4（a5﹣1），解得a5=2，q3=8，解得q=2．，则a4+a5+a6+a7+a8=+2×2+2×22+2×23=31．故选：B．5．已知函数f（x）=，并给出以下，其中正确的是（）A．函数y=f（sinx）是奇函数，也是周期函数B．函数y=f（sinx）是偶函数，不是周期函数C．函数y=f（sin）是偶函数，但不是周期函数D．函数y=f（sin）是偶函数，也是周期函数【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】求出y=f（sinx）的解析式，求出f[sin（﹣x）]，判断f（sinx）与f[sin（﹣x）]的关系，利用函数周期的定义得出y=f（sinx）的周期．同理判断y=f（sin）的奇偶性和周期性．【解答】解：∵f（x）=，∴f（sinx）=．当sinx＞0时，﹣sinx＜0，∴f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=1+sinx=f（sinx），当sinx＜0时，﹣sinx＞0，∴f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=1﹣sinx=f（sinx），∴f（sinx）是偶函数，∵f[sin（x+2π）]=f（sinx），∴y=f（sinx）是以2π为周期的函数．同理可得：y=f（sin）是偶函数，∵y=sin不是周期函数，∴y=f（sin）不是周期函数．故选：C．6．已知函数y=f（x）=|x﹣1|﹣mx，若关于x的不等式f（x）＜0解集中的整数恰为3个，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）＜0得|x﹣1|＜mx，构造函数，作出两个函数的图象得到不等式关系进行求解即可．【解答】解：由f（x）＜0得|x﹣1|﹣mx＜0，即|x﹣1|＜mx，设g（x）=|x﹣1|，h（x）=mx．作出g（x）的图象如图：若|x﹣1|＜mx解集中的整数恰为3个，则x=1，2，3是解集中的三个整数，则满足，即，则，即，故选：A7．如图，已知椭圆C：，点A，F分别为其右顶点和右焦点，过F作AF的垂线交椭圆C于P，Q两点，过P作AP的垂线交x轴于点D，若|DF|=，则椭圆C的长轴长为（）A．2 B．4 C．2D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得A，F的坐标，令x=c，求得P的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，化简整理可得D的坐标，由条件解方程可得a=2，进而得到椭圆的长轴长．【解答】解：由题意可得A（a，0），F（c，0），即有c=，令x=c，可得y=±=±，可得P（，），由AP⊥PD，可得k AP•k P D=﹣1，即•=﹣1，解得x D=﹣，由|DF|=，可得﹣x D==，即为a2[（a2﹣（a2﹣2）]=8，即a2=4，解得a=2．则椭圆C的长轴长为4．故选：B．8．在△ABC中，点D满足=，P为△ABC内一点，且满足=+，则=（）A．B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】可作出图形，并作，以AE，AF为邻边作平行四边形AEPF，从而有，这样即可求出，而同理可以求得，从而便可求得的值．【解答】解：如图，作，以AE，AF为邻边作平行四边形AEPF；∵E在AB上，，且PE∥AC；∴；又，∴，且，PE∥AC；∴；∴；∴．故选：A．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．下面几个数中：①30.4②③log23•log98④5﹣0.2⑤最大的是②．最小的是⑤．（请填写对应数的序号）【考点】不等式比较大小．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、和差化积公式即可得出．【解答】解：①30.4∈；②=tan60°=；③log23•log98==；④5﹣0.2∈（0，1）；⑤＜0．综上可得：最大的是②；最小的是⑤．故答案分别为：②；⑤．10．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率为．则b=2，若以（2，1）为圆心，r为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，c，运用离心率公式计算可得b=2；再由直线和圆相切的条件：d=r，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求半径．【解答】解：双曲线x2﹣=1（b＞0）的a=1，c=，由题意可得e===，解得b=2；由双曲线x2﹣=1可得渐近线方程为y=±2x，由以（2，1）为圆心，r为半径的圆与渐近线y=2x相切，可得d=r，即r==．故答案为：2，．11．已知x，y满足约束条件，且目标函数z=mx+y．（Ⅰ）若z的最小值为0，则m=﹣1；（Ⅱ）若z仅在点（1，1）处取得最小值，则m的取值范围为（﹣2，1）．【考点】简单线性规划．【分析】（Ⅰ）由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，分类代入目标函数求得m的值；（Ⅱ）由题意求得直线y=﹣mx+z的斜率的范围，得到m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得B（3，5），C（0，2），化目标函数z=mx+y为y=﹣mx+z，由图可知，当m＜0时，使目标函数取得最小值的最优解为A（1，1）或B （3，5），把A（1，1）代入z=mx+y=0，求得m=﹣1．把B（3，5）代入z=mx+y=0，求得m=﹣，不合题意；当m＞0时，使目标函数取得最小值的最优解为A（1，1）或C（0，2），把A（1，1）代入z=mx+y=0，求得m=﹣1，不合题意．把B（0，2）代入z=mx+y=0，得2=0（舍）．∴若z的最小值为0，则m=﹣1；（Ⅱ）若z仅在点（1，1）处取得最小值，则﹣1＜﹣m＜2，得﹣2＜m＜1．∴若z仅在点（1，1）处取得最小值，则m的取值范围为（﹣2，1）．故答案为：（Ⅰ）﹣1；（Ⅱ）（﹣2，1）．12．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为64﹣．（单位：cm2）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，由此求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，所以该几何体的体积为V=43﹣×π•43=64﹣．故答案为：64﹣．13．已知点P在边长为2的正方形ABCD边界上运动，点M在以P为圆心，1为半径的圆上运动，则•的最大值为1+2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A，B，C，D的坐标，设M（m，n），运用数量积的坐标表示可得•=m（m﹣2）+n（n﹣2）=（m﹣1）2+（n﹣1）2﹣2，运用几何意义：距离的平方，即可得到所求最大值．【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），设M（m，n），则•=（﹣m，﹣n）•（2﹣m，2﹣n）=m（m﹣2）+n（n ﹣2）=（m﹣1）2+（n﹣1）2﹣2，要求•的最大值，即求点（m，n）与点E（1，1）的距离的平方的最大值．由图象可得，当P在点A，B，C，D时，连接PE，延长交圆于M，即为所求．此时，|PM|=1+，即有•的最大值为（1+）2﹣2=1+2．故答案为：1+2．14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f（x）≤0恒成立，则b的取值范围≤﹣．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据题意可知函数与x轴有两交点，且两根差的绝对值应不小于1，可得出（m﹣n）2≥1恒成立，转换成最值问题求解即可．【解答】解：设f（x）=x2+ax+b=0，有两根x1，x2，∴4b＜a2，x1+x2=﹣a，x1x2=b，∵对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f（x）≤0恒成立，∴（x1﹣x2）2≥1恒成立，∴a2﹣1≥4b，∴b≤﹣．15．已知a＞0，b＞0，且，则a+b的最小值是此时a=．【考点】基本不等式．【分析】变形a+b=（2+a+a+2b）﹣1=（2+a+a+2b）﹣1=﹣1，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：a+b=（2+a+a+2b）﹣1=（2+a+a+2b）﹣1=﹣1≥﹣1=，当且仅当a=，b=时取等号．故答案分别为：；．三、解答题（共5小题，满分74分）16．已知函数f（x）=2sin（ωx）cos（ωx）+msin2（ωx）（ω＞0）关于点（）对称（Ⅰ）求m的值及f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，最大内角A的值为f（x）的最小正周期，若b=2，△ABC面积的取值范围为[]，求角A的值及a的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，结合f（x）关于点（，1）对称，得，即m=2，从而可得f（x）的最小值；（Ⅱ）f（x）的图象关于点（）对称，有，求得ω=6k+，又A为f（x）的最小正周期，得．结合A为△ABC的最大内角，得，即．求解该不等式求得A=．由△ABC面积的取值范围求得c的范围．再由余弦定理用c表示a，则a的取值范围可求．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（ωx）cos（ωx）+msin2（ωx）=sin（2ωx）+=．∵f（x）的图象关于点（）对称，则m=2，∴f（x）的最小值为；（Ⅱ）f（x）的图象关于点（）对称，有，则ω=6k+，又A为f（x）的最小正周期，则．又A为△ABC的最大内角，则，即．得，故k=0时，此时A=．∵[]，∴1≤c≤2．又a2=c2+4+2c∈[7，12]，∴a∈[]．17．已知数列{a n }满足a 1=，a n =．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）已知数列{b n }满足b 1=1，b 2=2，且b n =b 1+a 1b 2+a 2b 3+…+a n ﹣2b n ﹣1（n ＞2），判断2016是否为数列{b n }中的项？若是，求出相应的项数n ，若不是，请说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过对a n =两边同时取倒数，整理即得结论；（Ⅱ）通过（I ）可知b 3=b 1+b 2=2，当n ≥2时利用b n ﹣1=b 1+b 2+b 3+…+b n ﹣2与b n =b 1+a 1b 2+a 2b 3+…+a n ﹣2b n ﹣1作差，进而利用累乘法计算即得结论． 【解答】（Ⅰ）证明：∵a n =，∴==1+（n ＞1），又∵==2，∴数列{}是首项为2、公差为1的等差数列，∴=2+n ﹣1=n+1，∴a n =；（Ⅱ）结论：2016为数列{b n }中的第3024项． 理由如下：由（I ）可知b n =b 1+a 1b 2+a 2b 3+…+a n ﹣2b n ﹣1=b 1+b 2+b 3+…+b n ﹣1（n ＞2），又∵b 1=1，b 2=2，∴b 3=b 1+b 2=2，∵当n ≥2时，b n ﹣1=b 1+b 2+b 3+…+b n ﹣2，∴b n ﹣b n ﹣1=b n ﹣1，即=，由累乘法可知b n=••…••b3=••…••2=n，当b n=n=2016时，解得：n=3024，∴2016为数列{b n}中的第3024项．18．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=，AD=1，AB=2CD=4，E为AB中点，沿线段DE将△ADE折起到△A1DE，使得点A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上．（Ⅰ）求证：平面A1EC⊥平面A1DC；（Ⅱ）求直线A1B与平面EBCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）过A1作A1H⊥CD交CD于H，连结CE，则可证四边形ADCE 是矩形，得出CE⊥CD，由A1H⊥平面BCDE得出A1H⊥CE，于是CE⊥平面A1DC，故而平面A1EC⊥平面A1DC；（II）利用勾股定理计算A1H，BH，A1B，于是直线A1B与平面EBCD所成角的正弦值为．【解答】证明：（I）过A1作A1H⊥CD交CD于H，连结CE．∵点A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上，∴A1H⊥平面EBCD．∵CE⊂平面EBCD，∴A1H⊥CE．∵AB∥CD，∠A=，CD=AE=，∴四边形AECD是矩形，∴CE⊥CD．又A1H⊂平面A1DC，CD⊂平面A1DC，A1H∩CD=H，∴CE⊥平面A1DC，∵CE⊂平面A1CE，平面A1EC⊥平面A1DC．解：（II）连结BH，∵A1H⊥平面EBCD，∴∠A1BH为直线A1B与平面EBCD所成的角．连结HE，设A1H=x，则DH=，HE=，∴CH==．∴+=2，解得x=，∴A1H=，DH=，∴BH==，∴A1B==．∴sin∠A1BH==．∴直线A1B与平面EBCD所成角的正弦值为．19．在“2016”的logo设计中，有这样一个图案：，其由线段l、抛物线弧E及圆C三部分组成，对其进行代数化的分析，如图建系，发现：圆C方程为（x﹣4）2+y2=16，抛物线弧E：y2=2px（y≥0，0≤x≤8），若圆心C恰为抛物线y2=2px的焦点，线段l所在的直线恰为抛物线y2=2px的准线．（Ⅰ）求p的值及线段l所在的直线方程；（Ⅱ）P为圆C上的任意一点，过P作圆的切线交抛物线弧E于A、B两点，问是否存在这样的点P，使得弦AB在l上的投影长度与圆C的直径之比为4：3？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）求得圆的圆心，以及抛物线的焦点坐标，可得p=8，进而得到抛物线的准线方程，即有直线l的方程；（Ⅱ）假设存在这样的P点，满足条件．设P（x0，y0），由切线的性质可得切线的斜率，进而得到切线方程，联立抛物线的方程，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理，弦长公式，化简整理，求得P的坐标和A，B的纵坐标，即可判断不存在．【解答】解：（Ⅰ）圆C方程为（x﹣4）2+y2=16的圆心为（4，0），抛物线y2=2px的焦点为（，0），由题意可得=4，解得p=8；抛物线y2=16x的准线为x=﹣4，由题意可得直线l：x=﹣4；（Ⅱ）假设存在这样的P点，满足条件．设P（x0，y0），由切线的性质可得切线的斜率为k=﹣，且（x0﹣4）2+y02=16，则切线方程为（x0﹣4）（x﹣4）+y0y=16，联立抛物线的方程y2=16x，消去x，可得y2+y0y﹣4x0=0，即有y A+y B=﹣，y A y B=﹣，由|MN|=|y A﹣y B|===，解得x0=1，y0=，即P（1，），解得y A，或y B=（±2），抛物线弧右上端点坐标为（8，8），且（+2）＞8，故此时P不满足条件，这样的点P不存在．20．已知f（x）=．（Ⅰ）若a=﹣8，求当﹣6≤x≤5时，|f（x）|的最大值；（Ⅱ）对于任意的实数a（﹣2≤a≤4）都有一个最大的正数M（a），使得当x∈[0，M（a）]时，|f（x）|≤3恒成立，求M（a）的最大值及相应的a．【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）通过f（x）的解析式可知当﹣6≤x＜0时，存在0≤t＜2使得f （x）=f（t），从而问题转化为求当0≤x≤5时|f（x）|的最大值即可，进而计算可得结论；（Ⅱ）通过配方可知f（x）=+1﹣a﹣（0≤x≤t），分0≤﹣≤t、0＜t≤﹣、﹣＜0＜t三种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，当x≥0时，f（x）=x2﹣8x+9，∵当x＜0时，f（x）=f（x+2），∴当﹣6≤x＜0时，存在0≤t＜2使得f（x）=f（t），从而只要求当0≤x≤5时|f（x）|的最大值即可，此时f（4）≤f（x）≤f（0），即﹣7≤f（x）≤9，∴当﹣6≤x≤5时，|f（x）|的最大值为9；（Ⅱ）f（x）=x2+ax+1﹣a=+1﹣a﹣，其中0≤x≤t，①当0≤﹣≤t时，f mi n（x）=f（﹣）=1﹣a﹣，f ma x（x）=max{f（0），f（t）}=max{1﹣a，t2+at+1﹣a}，|f（x）|≤3恒成立转化为：，则M（a）=t ma x=（﹣2≤a≤0），由=+1=+1，显然在[﹣2，0]上单调递减，故此时M ma x（a）=M[﹣2]=2；②当0＜t≤﹣时，f mi n（x）=f（t）=t2+at+1﹣a，f ma x（x）=f（0）=1﹣a，则有，有a≥﹣2，即0＜t＜﹣≤1，此时不可能比①中的值大；③当﹣＜0＜t时，f ma x（x）=f（t）=t2+at+1﹣a，f mi n（x）=f（0）=1﹣a，则有，则M（a）=t ma x=（0＜a≤4），与①同理，可得M ma x（a）＜M（0）＜M（﹣2）=2；综上所述，当a=﹣2时，M ma x（a）=2．2016年7月5日。

宁波市2018年高考模拟考试数学试卷说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|05}A x x =<<，2{|280}B x x x =--<，则(A B ⋂= ) A. ()2,4-B. ()4,5C. ()2,5-D. ()0,42.已知复数z 满足(1)2z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为 A. 32i - B. 32i C. 32-D.323.已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是 A. 若，则必有 B. 若，则必有 C. 若，则必有D. 若，则必有4.使3x⎛ ⎝ n(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )． A. 4B. 5C. 6D. 75.记n S 为数列{}n a 前n 项和．“任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知实数x ，y 满足不等式组2403480280x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则x y -的最大值为A. 0B. 2C. 4D. 87.若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有A. 48种B. 72种C. 96种D. 216种8.设抛物线24y x=焦点为F ，过点(5,0)P 的直 线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若5BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆= A.56B.2033 C.1531D.20299.已知a 为正常数，2221,()321,x ax x a f x x ax a x a⎧-+≥=⎨-++<⎩,若存在(,)42ππθ∈，满足(sin )(cos )f f θθ=，则实数a 的取值范围是 A. 1(,1)2B. C. D.10.已知,x y 均为非负实数，且1x y +≤，则()222441x y x y ++--的取值范围为 A. 2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []1,4C. []2,4D. []2,9第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11.双曲线2213y x -=的离心率是____，渐近线方程是_____的的12.已知直线:1l mx y -=．若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为____；动直线l 被圆222240x x y ++-=截得弦长的最小值为______．13.已知随机变量X 的分布列如下表：若2EX =，则a =______；DX =______． 14.【2018届浙江省宁波市5月模拟】已知一个三棱锥三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为____，该三棱锥的外接球体积为____．15.已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列，且12a =，则32321...222n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ _________．16.已知实数,,a b c 满足：2a b c ++=-， 4abc =-.则|a|+|b|+|c|的最小值为______．17.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， E 为侧面11BB C C 中心，F 在棱AD 上运动，正方体表面上有一点P 满足111D P xD F yD E =+(0,0)x y ≥≥，则所有满足条件的P 点构成图形的面积为______．的三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本题满分14分）已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若满足()0f B =，2a =，且D 是BC 的中点，P 是直线AB 上的动点，求的最小值．19.如图，四边形ABCD梯形，//,60AB CD C ∠= 点E 在线段CD 上，满足BE CD ⊥,且124CE AB CD ===，现将ADE ∆沿AE 翻折到AME 位置，使得MC =（1）证明：AE MB ⊥； （2）求直线CM 与面AME 所成角正弦值．20.（本题满分15分）已知函数1()ln f x a x x x=+-，其中a 为实常数． （Ｉ）若12x =是()f x 的极大值点，求(f x ）的极小值； （Ⅱ）若不等式1ln a x b x x -≤-对任意502a -≤≤，122x ≤≤ 恒成立，求b 的最小值．21.如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点()2,1M -是椭圆内一点，过点M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l ，设1l 与椭圆C 相交于点,A B ，2l 与椭圆C 相交于点,D E ．当点M 恰好为线段AB的中点时，AB =（1）求椭圆C 的方程； （2）求AD EB ⋅的最小值．22.（本题满分15分）三个数列{}{}{},n n n a b c ，，满足11110a =-，11b =，1n a +=，121n n b b +=+，,*n n b c a n N =∈．（Ⅰ）证明：当2n ≥时，1n a >；（Ⅱ）是否存在集合[],a b ，使得[],n c a b ∈对任意*n N ∈成立，若存在，求出b a -的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：()23112322226*,2nn n ncn N n c c c +++++≤+-∈≥．。

宁波市2018年高考模拟考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1．已知集合{}05A x x =<<，{}2280B x x x =--<，则AB =A ．()2,4-B ．()4,5C ．()2,5-D ．()0,4 2．已知复数z 满足(1)2z i i +=-(i 为虚数单位），则z 的虚部为A ．32i - B ．32i C ．32-D ． 323．已知直线l 、m 与平面α、β,α⊂l ,β⊂m ，则下列命题中正确的是A ．若m l //，则必有βα//B ．若m l ⊥，则必有βα⊥C ．若β⊥l ，则必有βα⊥D ．若βα⊥，则必有α⊥m4．使得3nx ⎛+ ⎝（n N *∈）的展开式中含有常数项的最小的n 为A ．4B ．5C ．6D ．75．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的A 。

充分不必要条件B 。

必要不充分条件C 。

充要条件D 。

既不充分也不必要条件6．已知实数x ，y 满足不等式组2403480280x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则x y -的最大值为A 。

0 B. 2 C 。

4 D 。

87．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有 A ．48种 B ．72种 C ．96种 D ．216种8．设抛物线24y x =的焦点为F ,过点(5,0)P 的直 线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若5BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆= A ．56 B ． 2033 C ． 1531 D ． 20299．已知a 为正常数，2221,()321,x ax x a f x x ax a x a⎧-+≥=⎨-++<⎩，若存在(,)42ππθ∈，满足(sin )(cos )f f θθ=，则实数a 的取值范围是 A. 1(,1)2 B. )1,22(C. )2,1(D. )22,21( 10．已知,x y 均为非负实数，且1x y +≤，则22244(1)x y x y ++--的取值范围为A. 2[,4]3B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[2,9]（第7题图）（第14题图）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．双曲线2213y x -=的离心率是 ,渐近线方程为 ． 12．已知直线:1l mx y -=．若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ；动直线l 被圆222240x x y ++-=截得弦长的最小值为 ． 13若，则 ; ．14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为 ，该三棱锥的外接球体积为 ．15．已知数列{}n a 与2{}na n 均为等差数列（n N *∈)，且12a =,则23321()))23nn a a a a n++++=（（． 16．已知实数,,a b c 满足:2a b c ++=-，4abc =-。