2016年河北省衡水中学高三二模数学试卷

2016高考置换卷2数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1设全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜12x x +-0≥｝，B ＝｛x ｜1＜2x＜8｝，则（C U A ）∩B 等于 A ．[－1，3） B ．（0，1，2] D ．（2，3）2. 若向量a 、b 满足)1,2(-=+b a，)2,1(=a，则向量a 与b 的夹角等于 ( ) A.︒45 B ． ︒60 C ．︒120 D ．︒1353已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-14.甲.乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分。

若甲.乙两人射击的命中率分别为35和P ，且甲.乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920。

假设甲.乙两人射击互不影响，则P 值为（ ） A.35B.45C.34D.145.设12,F F 分别是双曲线22221x y a b -=的左.右焦点，若双曲线上存在点A ，使120AF AF ⋅=，且123AF AF =,则双曲线的离心率为（ ）A.52 B.102 C.152D.5 6.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ）A ．3169d V ≈B 32d V ≈ C 3300157d V ≈D 32111d V ≈7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( )A.3B.4C.5D.6 8.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 9.执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =否是1,0,1===T S k 开始N输入kT T =1+=k k T S S +=?N k >S输出结束A 1111+2310+++…… B.1111+++23223410⨯⨯⨯⨯ C 1111+2311+++…… D. 1111+++22323411⨯⨯⨯⨯ 10.函数f （x ）=的零点个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 311.1是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的体积是（ ） A.3πB. 4πC. 6πD. 12π二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设全集U R =，集合{}2log 2x x A =≤，()(){}310x x x B =-+≥，则()U B A =I ð( ) A ．(],1-∞- B ．(](),10,3-∞-U C ．[)0,3 D ．()0,3 【答案】D考点：集合的运算性质2.正项等比数列{}n a 中，存在两项m a .n a 14m n a a a =，且6542a a a =+，则14mn+的最小值是( )A ．32B ．2C ．73D ．256 【答案】A 【解析】试题分析：由题根据所给条件6542a a a =+14m n a a a =得到6m n +=，进而运用均值不等式求解即可.设数列{}n a 的公比为q ,则由6542a a a =+可得220,2q q q --=∴=或-1(舍去)，因为存在两项m a .n a 14m n a a a =，所以11112246m n a a m n --=∴+=，，()44355141122411[]666n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=⎛⎫∴++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭(当且仅当4n m m n =时取等号)，则14m n +的最小值是32. 考点：等比数列性质；基本不等式3.设向量a r 与b r 满足2a =r，b r 在a r 方向上的投影为1，若存在实数λ，使得a r 与a bλ-r r 垂直，则λ=( )A ．12B ．1C ．2D ．3 【答案】C考点：平面向量的数量积运算4.已知函数()sin y x m ωϕ=A ++的最大值为4，最小值为0．两个对称轴间最短距离为2π，直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为( )A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 226y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭C ．2sin 3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．2sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】[来源:学科网ZXXK]试题分析：由题意可得A+m=4，A-m=0，解得 A 和m 的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．由题意m=2． A=±2，再由两个对称轴间的最短距离为2π可得函数的最小正周期为π可得22πωπω=∴=，,222y Asin x m sin x ωϕϕ∴=++=±++（）（），6x π=Q 是其图象的一条对称轴，326k k z k πππϕπϕπ∴+=+∈∴=+，，，故可取6ϕπ=， 故符合条件的函数解析式是2sin 226y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，故选B.考点：函数y Asin x ωϕ=+（）图象与性质 5.在C ∆AB 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若C 23S ∆AB =，6a b +=，cos cos 2cosC a b cB +A=，则c =( )A ．27B ．23C ．4D ．33 【答案】B考点：正弦定理、余弦定理和面积公式的运用6.设M 是C ∆AB 所在平面上的一点，且33C 022MB +MA +M =u u u u r u u u u r u u u u r r，D 是C A 的中点，则D M BMu u u u r u u u u r 的值为( )A ．13B ．12C ．1D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：结合题意，画出图形，利用图形，延长MD 至E ，使DE=MD ，得到平行四边形MAEC ，求出MD u u u u r与MB uuu r 的关系，即可得出正确的结论．如图所示，∵D 是AC 之中点，延长MD 至E ，使得DE=MD ，∴四边形MAEC 为平行四边形，113330322222MD ME MA MC MB MA MC MB MA MC MD ∴==+++=∴=-+=-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r r u u u r u u ur u u r u u u u r Q （）,，（）；3||||13||||MD MD MB MD ∴==-u u u u r u u u u r u u ur u u u u r ，故选A ．考点：平面向量基本定理7.已知锐角A 是C ∆AB 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若221sin cos 2A -A =，则下列各式正确的是( ) A ．2b c a += B ．2b c a +< C ．2b c a +≤ D ．2b c a +≥[来源:Z_xx_] 【答案】C考点：余弦定理；基本不等式8.已知函数()2g x a x =-（1x e e≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B 【解析】试题分析：由已知，得到方程a-x 2=-2lnx ⇔-a=2lnx-x 2在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解，构造函数22f x lnx x =-（），求出它的值域，得到-a 的范围即可．由已知，得到方程2222a x lnx a lnx x -=-⇔-=-在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解，设22f x lnx x =-（）， ()()2112120x x f x x x e f x x x e-+'=-=≤≤∴'=Q （），，（）在x=1有唯一的极值点，()221112211f f e e f x f f e f e e e=--=-==-<Q Q 极大值（），（），（）（），（）， 故方程22a lnx x -=-在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解等价于221e a -≤-≤-．从而a 的取值范围为2[1]2e -，．故选B ．考点：对数函数的图像与性质9.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =，33a =，数列{}12n n n a a a ++++是公差为2的等差数列，则25S =( )A ．232B ．233C ．234D ．235 【答案】B考点：等差数列的性质【名师点睛】本题属于创新题目，比较灵活的考查了等差数列的性质的推广问题，解决问题的关键是将所求数列{}12n n n a a a ++++转化为求等间距的等差数列的项组成新的等差数列问题进行计算即可，属于较好的创新题目，能够从正反两个方面考查等差数列性质的运用.10.函数()cos f x x π=与()2log 1g x x =-的图象所有交点的横坐标之和为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 【答案】C 【解析】试题分析：由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．由图象变化的法则可知：2y log x =的图象作关于y 轴的对称后和原来的一起构成2y log x =的图象，在向右平移1个单位得到21y log x =-的图象，再把x 轴上方的不动，下方的对折上去,可得21g x log x =-（）的图象；又f x cos x π=（）的周期为2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有A 、B 、C 、D ，4个交点，由中点坐标公式可得：22A D B C x x x x +=+=，，故所有交点的横坐标之和为4，故选C.考点：函数零点；函数图像11.已知向量是单位向量a r ，b r ，若0a b ⋅=r r ，且25c a c b -+-=r r r r2c a +r r 的取值范围是( )A ．[]1,3B ．22,3⎡⎤⎣⎦C ．652⎤⎥⎣ D ．55⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：平面向量的坐标运算、两点之间的距离公式，点到直线的距离【名师点睛】本题考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解，属于较难题；关键是根据点(x,y)的几何意义得到其轨迹为点（1，0）和（0，2）之间的线段，然后根据()22||22c a x y +=++r r系不难解决问题.12.定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，()0,x ∀∈+∞，()2log 3f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则方程()()2f x f x '-=的解所在区间是( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,3 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，由单调函数的性质，可得2f x log x -（）为定值，可以设2t f x log x =-（），则考点：根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用． 【名师点睛】本题注意考查利用零点存在性定理判断函数的零点及函数零点与方程根的关系的应用，解题的关键点和难点是求出f x （）的解析式，根据迭代的方法求得()f x 的解析式，结合()()2f x f x '-=及零点有关知识得到210ln 2log x x -=的个所在的范围即可.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13.若110tan tan 3αα+=，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为．【答案】0 【解析】试题分析：把已知条件的等式两边都乘以tan α，得到关于tan α的方程，求出方程的解，根据α的范围即可得到满足题意tan α的值，然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用同角三角函数间的基本关系把分母中“1”化为正弦与余弦函数的平方和的形式，分子利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，然后给分子分母都除以2cos α，变为关于tan α的关系式，把求出的tan α的值，然后根据条件计算即可．()()110331033tan tan tan tan tan ααααα+=∴--=∴=Q ，，或13，,,1343tan tan ππααα⎛⎫∈∴>∴= ⎪⎝⎭Q ，，)21cos 2sin 22cos cos sin 2244222αππαααα+⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭)2222tan 1tan sin 22cos 2121221tan 1tan αααααα⎫-++=++⎪++⎝⎭616101010⎫=-+=⎪⎝⎭. 考点：两角和的正弦函数公式；同角三角函数间的基本关系化简求值；二倍角 14.已知函数()f x （R x ∈）满足()11f =，且()f x 的导数()12f x '<，则不等式()22122x f x <+的解集为．【答案】11-∞-+∞U （，）（，）考点：导数的运算；其它不等式的解法15.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑥67a a >． 其中正确命题的个数是． 【答案】3考点：等差数列的性质【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值．在等差数列中n S 存在最大值的条件是：100a d ><，．主要是对数列函数特性的考查，属于今年常考的命题方向，一定要认真思考，总结该类型题目的解决方法.16.已知函数()f x 为偶函数且()()4f x f x =-，又()235,01222,12x x x x x f x x -⎧--+≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎩，函数()12xg x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()()()F x f x g x =-恰好有4个零点，则a 的取值范围是．【答案】192,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：由题作出函数f(x)与g(x)的图像，然后根据函数周期性与奇偶性研究第一象限交点问题即可解决问题.由题()f x 为偶函数且()()4f x f x =-，()235,01222,12x x x x x f x x -⎧--+≤≤⎪=⎨⎪+<≤⎩不难得到其第一象限局部图像如图所示，易知g(x)为偶函数，所以只要两者在第一象限交点个数为2个的a 的范围即为所求实数a 的范围， 易知当g(x)分别经过A,B 两点时的a 值分别为19192,,288a ∴<<时所给函数F(x)的零点个数为4个.考点：分段函数的通项与性质；函数的奇偶性与周期性；函数的零点问题 【名师点睛】有关分段函数的图像与性质的考查题目往往与函数的零点及函数的基本性质及单调性，奇偶性的考查结合在一起，解决问题的关键是根据函数解析式分析其图像特征，通过数形结合思想解决有关问题即可，有一定难度，需要认真练习，通过作图能力、计算能力及分析能力.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+．()1求{}n a 的通项公式；()2记()2log 1n n b a =+，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n S ．【答案】(1)21nn a =-；(2)()()111222n n n n ++-+-⋅考点：数列的求和；数列递推式．18.（本小题满分12分）已知角A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，a ，b ，c 是各角的对边，若向量()1cos ,cos2m A -B ⎛⎫=-A +B ⎪⎝⎭r，5,cos 82n A -B ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，且98m n ⋅=r r ． ()1求tan tan A⋅B 的值； ()2求222sin Cab a b c +-的最大值．【答案】(1)19；(2)38-考点：三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算． 19.（本小题满分12分）已知函数()232sin 2xf x x ωω=-（0ω>）的最小正周期为3π．()1求函数()f x 在区间3,4ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； ()2在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且a b c <<，32sin a c =A ，求角C 的大小；()3在()2的条件下，若3112213f π⎛⎫A +=⎪⎝⎭，求cos B 的值．【答案】(1)x π=-时，f （x ）的最小值是-3，2x π=时，f （x ）的最大值是1； (2)23π；1253+【解析】试题分析：(1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式，利用周期公式可求ω，由34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，可得222363x πππ-≤+≤，根据正弦函数的图象和性质即可得解；(2)2sin c =A ，由正弦定理结合0sinA ≠，可得sinC =，结合a b c <<，即可求C 的值；(3)由3112213f π⎛⎫A += ⎪⎝⎭得1213cosA =，由(2)可求,3sinA A B π+=，从而利用两角和与差的余弦函数公式即可求值．试题解析：(1)()1226221323cos x f x x sin x ωπωωππωω--⨯=+-⎛⎫ ⎭∴⎪⎝∴Q ，＝，＝， ()22136f x sin x π∴+⎛⎫ ⎪⎝⎭-＝，……………………………………………..(2分)2221123633436x x sin x ππππππ⎡∈-∴-≤+≤⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∴-≤+≤Q ，，，，所以x π=-时，f （x ）的最小值是-3，2x π=时，f （x ）的最大值是1；………………………..(4分)(2)2sin c =A 由正弦定理，有0=2a sinA sinA sinC a b c c sinC ==≠∴<<Q ，，，23C π∴=；……………………………………………..(8分) (3) 由3112213f π⎛⎫A += ⎪⎝⎭得1213cosA =,520,,31333A sinA C AB πππ<<∴=∴+=Q Q ，＝，333cosB cos A cos cosA sin sinA πππ⎛⎫= ∴=⎪⎝⎭=-+..(12分)考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；三角函数的最值．【名师点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．有关三角函数图像与性质问题结合解三角形问题主要是根据所给三角函数的性质结合有关运算公式及正弦定理、余弦定理进行边角关系的分析计算解决有关问题，难度往往不大，多为中档题目. [来源:学。

河北省衡水中学2015-2016学年度下学期高三年级二调考试理科试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ） A ．1Z B ．2Z C ．3Z D ．4Z3.下列四个函数中，在0x =处取得极值的函数是（ ）①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2xy =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86.两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，则它们的第7项之比为（ ）A ．2B ．3C ．4513D ．70277.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000，σσ>，若ξ在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.28.函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0B ．32C ．62D ．2-9.若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．-2 B ．-3 C ．125 D ．-13110.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，焦距为2c ），若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．102，⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．202，⎛⎤⎥ ⎝⎦11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ）A ．7πB ．19πC ．776π D ．19196π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 .14.已知向量AB 与AC 的夹角为60°，且||||2AB AC ==，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为 .15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是2223be （e 为双曲线的离心率），则e 的值为 .16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,3,7sin sin 23a b B A ==+=.(1)求角A 的大小； (2)求ABC ∆的面积. 18. (本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.(1)当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值.(只需写出结论)19. (本小题满分12分)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如图2. (1)求证：1A E ⊥平面BCDE ； (2)求二面角1E A B C --的余弦值；(3)判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由.20. (本小题满分12分)如图，已知椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点. (1)若6ED DF =，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.21. (本小题满分12分)设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比较12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.(1)求证：22QC BC QC QA ⋅=-； (2)若6,5AQ AC ==，求弦AB 的长.23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为25sin ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标()3,5，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值. 24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(1)已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； (2)若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求225m x y z =++的最大值.参考答案及解析一、选择题1. C2.B3.D4.D5.B6.B7.B8.A9.C 10.B 11.D 12.A 二、填空题13. 433 14.1 15. 62 16. 2015413-三、解答题17.解：(1)在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，得73sin sin A B =，即7sin 3sin B A =.(3分) 又因为7sin sin 23B A +=，所以3sin 2A =. (5分)当1c =时，因为2227cos 0214a c b B ac +-==-<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去.当2c =时，因为2227cos 0214a cb B ac +-==>，又,,b c b a B C B A >>⇒>>，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11333sin 322222S bc A ==⨯⨯⨯=. (12分) 18.解：(1)根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.(1分)乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=.(2分)由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =. (4分)(2)由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2. (5分)且()0255210209C C P X C ===，()()11025555221010521299，C C C C P X P X C C ======，（8分） 所以X 的分布列为X 0 1 2P所以()2520121999+=E X =⨯+⨯⨯. （10分） （3）当0b =时，2s 达到最小值. (12分)19.解：（1）∵DE BE ⊥，//BE DC ，∴DE DC ⊥，又∵1A D DC ⊥，1A D DE D =，∴DC ⊥平面1A DE .∴1DC A E ⊥，又∵1A E DE ⊥，DCDE D =，∴1A E ⊥平面BCDE ；(4分)（2）∵1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，∴以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，易知23DE =，则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(4,23,0)C ，(0,23,0)D ，∴1(2,0,2)BA =-，(2,23,0)BC =，平面1A BE 的一个法向量(0,1,0)n =，设平面1A BC 的法向量(,,)m x y z =，由10BA m ⋅=，0BC m ⋅=，得2202230x z x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(3,1,3)m =--，∴7c o s ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图，得二面角1E A B C --为钝二面角，∴二面角1E A B C --的余弦值为77-； （8分） （3）假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A B C ，设(,0,0)(02)P t t ≤≤，则1(,0,2)A P t =-，1(0,23,2)A D =-，设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅=，得1111232020y z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得(2,,)3tp t =，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅=，即23303tt -+=，解得3t =-， ∵02t ≤≤，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．(12分 )29592920.解：(1)依题设得椭圆的顶点()()2,0,0,1A B ，则直线AB 的方程为220x y +-=.(1分)设直线EF 的方程为()0y kx k =>.设()()()001122,,,,，D x kx E x kx F x kx ，其中12x x <.联立直线l 与椭圆的方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得方程()22144k x +=.(3分)故212214x x k=-=+，由6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021221510677714x x x x k=+==+，由点D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k =，所以221012714=++k k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.（6分） (2)根据点到直线的距离公式，知点,A B 到线段EF 的距离分别为122221,1414k h h kk==++，又2241||14k EF k +=+，所以四边形AEBF 的面积为()()212222121144||221414k k k S EF h h k k+++=+==++ 2442121221144k+k k k==+≤++，当且仅当14k k =，即12k =时，取等号.所以四边形AEBF 面积的最大值为22.(12分)21.解：(1) ()()()22221'220-（）（)(）a x a x a x a x f x x a x x x x---+=---==>．当0a ≤时， ()'0f x >，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间．当0a >时，由()'0f x >，得2a x >；由()'0f x <，得02a x <<. 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭.（4分） (2)由(1)得，若函数()f x 有两个零点，则0a >，且()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<.因为0a >，所以4ln402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=. 当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <.所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()()332ln 30,10f f =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.(3)证明：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，则()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--= 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =.因为'02a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，故只要证122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋> 2a即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>， 即证明()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，即证明11221222ln－＋x x x x x x <.设t ＝()1201xt t x =<<．令()22ln 1－＋t g t t t =-，则()()()222114'11（）t g t t t t t -=-=++.因为0t >，所以()'0g t ≥，当且仅当1t =时，()'0g t =，所以()g t 在()0,+∞上是增函数． 又()10g =，所以当()()0,1,0t g t ∈<总成立．所以原题得证．（12分）22. 解：(1)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴由切割线定理得()2QA QB QC QC BC QC =⋅=-⋅，∴22QC BC QC QA ⋅=-.(5分)(2)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴PAC CBA ∠=∠,∵,PAC BAC BAC CBA ∠=∠∴∠=∠,∴5AC BC ==.由6AQ =及(1)知，9QC =.由QAB QCA ∠=∠，知QAB QCA ∆=∆，∴ABQACA QC =，∴103AB =.(10分) 23. 解：(1)由232252x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l 的普通方程为350x y ---=.(2分)又由25sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为22250x y y +-=，即()2255x y +-=.(5分)（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23240t t -+=，由于()2324420∆=-⨯->，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以1212324t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，又直线l 的过点()3,5，,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所以12|||PB||||t |32PA t +=+=.(10分)24.解：(1) ()22,3134,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.(4分)则当[]3,1x ∈-时，()f x 为常函数.(5分) （2）由柯西不等式得()()()()()2222222x 225225y z x y z ⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦，所以32253x y z -≤++≤，当且仅当222x y z ==，即225,,333x y z ===时，取最大值，因此m 的最大值为3.（10分）。

文数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.设集合22{|230},{|log 0}M x x x N x x =--<=<,则M N I 等于（ ）A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()0,1D ．()1,3 2.若复数z 的实部为1,且2z =,则复数z 的虚部是（ ） A ．3- B ．3± C ．3i ± D ．3i3.若命题:,cos()cos p a R παα∈-=,命题2:,10q x R x ∀∈+>,则下面结论正确的是（ ） A ．p 是假命题 B ．q ⌝是真命题 C ．p q ∧是假命题 D ．p q ∨是真命题4.若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩,则(())f f e =（ ）（其中e 为自然对数的底数）A ．0B ．1C ．2D ．ln(1)xe +5.若一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.在等差数列{}n a 中,12012a =-,其前n 项和为n S ,若2012122002201210S S -=,则2016S 的值等于（ ） A ．2011 B ．-2012 C ．2014 D ．-20137.如图是某班50名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100,则图中x 的值等于（ ）A ．0.120B ．0.180C ．0.012D ．0.018 8.函数sin y x x =在区间[,]ππ-上的图象是（ ）9.若函数()2sin()(214)84f x x x ππ=+-<<的图象与x 轴交于点A,过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点,则()OB OC OA +⋅=u u u r u u u r u u u r（ ）（其中O 为坐标原点）A ．-32B ．32C ．-72D ．7210.双曲线1C 的中心在原点,焦点在x 轴上,若1C 的一个焦点与抛物线22:12C y x =的焦点重合,且抛物线2C 的准线交双曲线1C 所得的弦长为43,则双曲线1C 的实轴长为（ ） A ．6 B ．26 C ．3D ．2311.已知点P 是椭圆221168x y +=上顶点的动点,12,F F 分别为椭圆的左右焦点,O 是坐标原点,若M 是12F PF ∠的平分线上一点,且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r,则OM u u u u r 的取值范围是（ ）A ．[)0,3B ．()0,22 C ．[22,3) D ．(0,4]12.已知函数()2,0ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,若函数()f x 的图象在A 、B 两点处的切线重合,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,1)--B ．()1,2C ．(1,)-+∞D ．(ln 2,)-+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）13.若直线10ax by -+=平分圆22:2410C x y x y ++-+=的周长,则ab 的取值范围是_____.14.若某程序框图如下图所示,则该程序运行后输出的i 值为______.15.已知变量,x y 满足约束条件240240x y y x y k -+≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩,且目标函数3z x y =+的最小值为-1,则实常数k =_____.16.在一个棱长为4的正方体内,最多能放入个直径为1的球.三、解答题 （本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项为1,设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意正整数n 都有24121n n a n a n -=-. （1）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（2）是否存在正整数n 和k ,使得1,,n n n K S S S ++成等比数列？若存在,求出n 和k 的值；若不存在,请说明理由.18.（本小题满分12分）全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议,2014年3月在北京开幕,期间为了了解企员工的工资收入状况,从108名相关人员中用分层抽样的方法抽取了若干人组成调研小组,有关数据见下表：（单位：人）（1）求,x y ；（2）若从中层、高管抽取的人员中选2人,求这二人都来自中层的概率.19.（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中,//,90,AD BC ADC BA BC ∠==o,把BAC ∆沿AC 折起到PAC ∆的位置,使得点P 在平面ACD 上正投影O 恰好落在线段AC 上,如图2所示,点E 、F 分别为棱PC 、CD 的中点. （1）求证：平面//OEF 平面APD ；（2）若3,4,5AD CD AB ===,求四棱锥E EFO -的体积.20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 上,离心率等于12,它的一个顶点恰好是抛物线283x y =的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(2,3),(2,3)P Q 在椭圆上,点,A B 是椭圆上不同的两个动点,且满足APQ BPQ ∠=∠,试问直线AB 的斜率是否为定值,请说明理由. 21.（本小题满分12分） 已知函数()ln x xf x x-=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）对于任意的非零实数k ,证明不等式222()ln()2e k e k e k ++>+恒成立.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.ⅠⅡⅢ-22.（本小题满分10分） 选修4-1 几何证明选讲如图所示,PA 为圆O 的切线,A 为切点,PO 角圆O 于B 、C 两点,20,10,PA PB BAC ==∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E.（1）求证：AB PC PA AC ⋅=g ； （2）求AD AE ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数）,点A 、B 是曲线C 上两点,点A 、B 的极坐标分别为125(,),(,)36ππρρ （1）写出曲线C 的普通方程和极坐标方程； （2）求AB 的值.24.（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 已知函数()22,f x x x a a R =---∈ （1）当3a =时,解不等式()0f x >；（2）当(,2)x ∈-∞时,不等式()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案及解析一、选择题1.C2.B3.D4.C5.D6.C7.D8.A9.D 10.D 11.B 12.C 二、填空题13.]81,(-∞ 14.8 15.9 16.66 三、解答题17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d, 在24121n n a n a n -=-中,令n=1,可得312=a a,所以32=a ,所以d=2.所以)()1(2k n n n +=+,经整理得n(k-2)=1.所以n=1,k=3. 即存在正整数n=1和k=3符合题意. 18.解：（1）由题意可得1822763==y x ,所以x=7,y=3. （2）记从中层抽取的3人为321,,b b b ,从高管抽取的2人为21,c c , 则从中层,高层抽取的人员中选2人的基本事件有：),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(21231322123221113121c c c b c b c b c b b b c b c b b b b b 共10种.设选中的2人都来自中层的事件为A,则A 包含的基本事件有：),,(),,(),,(323121b b b b b b 共3种. 因此3.0103)(==A P . 故选中的2人都来自中层的概率为0.3.19.解：（1）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上, 所以PO ⊥平面ADC,所以PO ⊥AC.因为PA=PC,又E 为PC 的中点,所以O 是AC 的中点. 所以OE ∥PA,又因为PA ⊂平面PAD,所以OE ∥平面PAD. 同理,OF ∥平面PAD.又OE I OF=O,OE 、OF ⊂平面OEF, 所以平面OEF ∥平面PDA.（2）因为∠ADC=90°,AD=3,CD=4,所以64321=⨯⨯=∆ACD S ,而点O,F 分别是AC,CD 的中点, 所以2341==∆∆ACD CFO S S .由题意可知△ACP 为边长为5的等边三角形,所以高325=OP ,即点P 到平面ACD 的距离为325,所以点E 到平面CFO 的距离为345.故3853452331=⨯⨯=-CFO E V .20.解：（1）设椭圆标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,抛物线y x 382=的焦点为)32,0(,∴32=b ,由222,21c b a a c e =-==,解得12,1622==b a . ∴椭圆C 的标准方程为1121622=+y x . （2）当∠APQ=∠BPQ 时,直线PA,PB 斜率之和为0.设PA 斜率为k,则PB 斜率为-k,则PA 的直线方程为y-3=k(x+2). 与椭圆方程联立,得048)23(4)23(8)43(222=--+-++k x k k x k , ∴243)32(82k kk x A +-=+,同理,PB 的直线方程为y-3=-k(x-2),可得243)32(82kk k x B ++=+. ∴2224348,431216k kx x k k x x B A B A +-=-+-=+, 214)(3)2(3)2(=--+=-++++-=--=B A B A B A B A B A B A AB x x k x x k x x x k x k x x y y k .所以直线AB 的斜率为定值21. 21.解：（1）由题意得,函数()f x 的定义域为),0(+∞,()21ln -'=x f x x ,令21ln 0-=xx,得x=e. 当e x ≤<0时,()21ln 0-'=≥xf x x ；当x>e 时,()21ln 0-'=<xf x x, 所以函数()f x 在区间(0,e]上单调递增,在区间),(+∞e 内单调递减. 所以eee f x f -==1)()(极大值,无极小值. （2）欲证原不等式成立,只需证对任意的x>e,xlnx>2x-e,即证xlnx-2x+e>0.令g(x)=xlnx-2x+e,则1ln 21ln )(-=-+='x x x g , 令0)(='x g ,得x=e,当x>e 时,0)(>'x g ,当0<x<e 时,0)(<'x g , 故g(x)在x=e 处取得最小值,g(e)=elne-2e+e=0, 所以e x x x -≥2ln （当且仅当x=e 时取等号）.因为e k e >+2,所以对于任意的非零实数k,不等式2222)ln()(k e k e k e +>++恒成立.22.解：（1）∵PA 为圆O 的切线,∴∠PAB=∠ACP, 又∠P 为公共角,∴△PAB~△PCA,∴PCPAAC AB =, ∴AB PC PA AC ⋅=g .（2）∵PA 为圆O 的切线,BC 是过点O 的割线, ∴PC PB PA ⋅=2,∴PC=40,BC=30.又∵∠CAB=90°,∴900222==+BC AB AC , 又由（1）知,21==PC PA AC AB , ∴56,512==AB AC .连接EC.则∠CAE=∠EAB,又∠ABC=∠CEA, ∴△ACE~△ADB,∴ACADAE AB =,∴36051256=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD .23.解：（1）由参数方程2cos (22sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数）,得普通方程为4)2(22=-+y x ,由普通方程4)2(22=-+y x ,得θθρ(sin 4=为参数). （2）由两点极坐标),65,(),3,(21πρπρB A 可知∠AOB=2π,所以AB 为直径,故4=AB . 24.解：（1）由题得,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤≤->-=.23,1,223,35,2,1)(x x x x x x x f当x>2时,1-x>0,即x<1,解得∅∈x ；当223≤≤x 时,5-3x>0,即35<x ,解得3523<≤x ； 当23<x 时,x-1>0,即x>1,解得231<<x ,故不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<351x x .（2）当(,2)x ∈-∞时,()0f x <,即222022-<⇒-<-⇒<---a x a x x a x x 或32+>a x 恒成立,解得4≥a ,故a 的取值范围为),4[+∞.。

河北省衡水中学 2015-2016 学年度放学期高三年级二调考试理科试卷第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知会合A1,3, 4,5，会合B x Z | x24x 5 0 ，则 A I B 的子集个数为（）A． 2B．4C．8D．162.如图，复平面上的点Z1, Z2, Z3, Z4到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z1，则复数 z i （ i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A．Z1B．Z2C．Z3D．Z43.以下四个函数中，在x 0处获得极值的函数是（）① y x3；② y x21；③ y x ；④ y 2xA．①②B．①③C．③④D．②③5.履行如下图的程序框图，输出的结果是（）A． 5B．6C．7D．8两个等差数列的前 n 项和之比为 5n10，则它们的第 7 项之比为（）6.2n1A ． 2B ．3C ．45D ． 7013277.在某次联考数学测试中，学生成绩 听从正态散布 100，20 ，若 在（80,120）内的概率为 0.8，则落在（ 0,80）内的概率为（）A ． 0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.28.函数 fx A sin x A 0, 0 的部分图象如下图，f 1 f2f 3f 2015的值为（ ）A ． 0B ．3 2C ．6 2D ．29.若 1x 1 2x 7a 1x a 2 x 2a 8 x 8 ，则 a 1a 2a 7 的值是（）a 0A ． -2B ．-3C ．125D ．-13122cxy2，圆 C 2 : x 22cxy 20，椭圆C: x 2y 21（ a b0 ，10.已知圆 C 1 : xa 2b 2焦距为 2c ），若圆 C 1 , C 2 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（）A ．1 ,1 B ．1 C ．2 D ． 0， 220，,122211.定义在 R 上的函数 f x 对随意 x 1 , x 2 x 1 x 2都有f x1f x 2 0 ，且函数x 1x 2y fx 1 的图象对于（1,0）成中心对称，若 s, t 知足不等式 fs 2 2sf 2t t 2 ，则当 1s 4 时，t2s的取值范围是（）stA ．111D ．13,B ． 3,C ． 5,5,2 22212.正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 3 ，此时四周体 ABCD 外接球表面积为（） A ． 7B ．19C ．77D ．191966第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.一个几何体的三视图如下图，该几何体体积为.uuuruuuruuuruuuruuuruuur uuur 已知向量 AB 与 AC 的夹角为 60°，且 | AB | | AC | 2 ，若 APABAC ，且14.uuur uuur的值为.AP BC ，则实数x 2y 20 的半焦距为，过右焦点且斜率为 1 的直线与15.已知双曲线 a 2 b 21 a 0, bc双曲线的右支交于两点，若抛物线y 24cx 的准线被双曲线截得的弦长是2 2 be 23（ e 为双曲线的离心率），则 e 的值为.16.用 g n 表示自然数 n 的全部因数中最大的那个奇数，比如：9 的因数有 1,3,9，g 99,10 的因数有 1,2,5,10， g105 ，那么g 1 g 2 g 3g 220151.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.(本小题满分 12 分)在锐角ABC 中，角A, B,C所对的边分别为a, b, c ，已知a7, b 3, 7 sin B sin A 2 3 .(1)求角A的大小；(2)求ABC 的面积.18.(本小题满分 12 分)某厂商检查甲、乙两种不一样型号电视机在 10 个卖场的销售量（单位：台），并依据这 10 个卖场的销售状况，获得如下图的茎叶图 .为了鼓舞卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据均匀数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场” .(1)当a b 3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数目为m，乙型号电视机的“星级卖场”数目为n ，比较 m ， n 的大小关系；(2)在这 10 个卖场中，随机选用 2 个卖场，记X为此中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的散布列和数学希望；(3)若a1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，依据茎叶图推测b为什么值时， s2达到最小值 .(只需写出结论 )19. (本小题满分 12 分)如图 1，在边长为 4 的菱形ABCD中，BAD60o，DE AB 于点 E ，将 ADE 沿 DE 折起到A1DE的地点，使A1D DC ，如图2.(1)求证： A1 E平面 BCDE ；(2)求二面角 E A1 B C 的余弦值；(3)判断在线段 EB 上能否存在一点 P ，使平面A1DP平面 A1 BC ？若存在，求出EPPB 的值；若不存在，说明原因.20.(本小题满分 12 分)如图，已知椭圆：x2y2 1 ，点 A, B 是它的两个极点，过原点且斜率为k 的直线 l 4与线段 AB 订交于点 D ，且与椭圆订交于E, F两点.(1)uuur uuur若 ED6DF ，求k的值；(2)求四边形 AEBF 面积的最大值.21. (本小题满分 12 分)设函数f x x2 a 2 x a ln x.(1)求函数f x的单一区间；(2)若函数f x有两个零点，求知足条件的最小正整数 a 的值；(3)若方程f x c c R 有两个不相等的实数根 x1 , x2，比较 f 'x1x2与 0 的大小 .请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题满分 10 分)选修 4-1：几何证明选讲如图，直线 PQ 与⊙O相切于点 A, AB 是⊙O的弦，PAB的均分线AC交⊙O于点C，连结 CB ，并延伸与直线PQ订交于Q点.(1)求证： QC BC QC 2QA2；(2)若 AQ 6,AC5，求弦AB的长.23. (本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程x 2 3t在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为2（ t 为参数），在以原2y t52点 O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆 C 的方程为 2 5 sin .(1)写出直线l的一般方程和圆C的直角坐标方程；(2)若点P坐标3, 5，圆C与直线l交于A, B两点，求| PA || PB |的值.24.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲(1)已知函数 f x x1x 3 ，求 x 的取值范围，使 f x 为常函数；(2)若 x, y,z R, x2y2z21，求 m2x2y5z 的最大值.参照答案及分析一、选择题1. C2.B3.D4.D5.B6.B7.B8.A9.C 10.B11.D12.A二、填空题13.4314.115.616.420151323三、解答题17.解：(1)在ABC中，由正弦定理a b，得73，即 7 sin B 3sin A .(3sin A sin B sin A sin B 分)又因为7 sin B sin A 2 3 ，所以 sin A3. (5分) 2当 ca 2c 2 b 271时，因为 cos B2ac0 ，所以角 B 为钝角，不切合题意，舍去 .14当 ca 2c 2 b 27 ，又 b c, baB C , BA ，所以 ABC2 时，因为 cosB2ac14为锐角三角形， 切合题意 .所以 ABC 的面积 S1bc sin A1 323 3 3. (122222分)18.解： (1)依据茎叶图，得 2 数据的均匀数为1010 14 18 2225 27 30 41 43.(1 分)1024乙组数据的均匀数为1018 20 2223 313233 33 43 26.5 .(2 分)10由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数 m 5 ，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数 n 5，所以 m n .(4 分)(2)由题意，知 X 的全部可能取值为 0,1,2. (5 分 )且PX 0C 50 C 522，PX 1C 51C 515，PX 2C 50 C 522，（8 分）C29C29C29101010所以 X 的散布列为X 012P252999所以E X2 1 5 +2 2=1. （10 分）9 9 9（3）当 b 0 时， s 2 达到最小值 .(12 分)19.解：（1）∵ DE BE ，BE//DC ，∴ DEDC ，又∵ A 1D DC ， A 1D I DE D ，∴DC平面 A 1DE .∴ DC A 1E ，又∵ A 1EDE ，DCI DE D ，∴A 1E平面 BCDE ；(4分)（2）∵ 1平面BCDE ，DEBE ，∴以EB ，ED ，EA1分别为 x 轴， y 轴和 z 轴，A E如图成立空间直角坐标系，易知DE2 3 ，则 A 1 (0,0, 2) ， B(2,0,0) ， C (4, 2 3,0)，uuur uuurrD(0, 23,0) ，∴ BA 1 ( 2,0,2) ， BC (2, 2 3,0) ，平面 A 1 BE 的一个法向量 n (0,1,0)，uruuur ur 设平面 A 1BC 的法向量 m (x, y, z) ，由 BA 1 m urur r3) ，∴ cosur r得 m ( 3,1,m, n ur m n r| m | | n |uuur ur 2x 2z 0，令 y 1 ， 0 ，BC m 0 ，得2 x 2 3y 07，由图，得二面角 EA 1 BC 为钝二7面角，∴二面角 E A 1B C 的余弦值为7 ； （8 分）7（3）假定在线段 EB 上存在一点 P ，使得平面 A 1 DP 平面 A 1BC ，设 P(t ,0,0)(0 t 2) ，uuur uuuurur uuuur ur 则 A 1P (t,0, 2) ，A 1D (0,2 3, 2) ，设平面 A 1DP 的法向量为 p ( x 1 , y 1, z 1 ) ，由 A 1D p 0 ，uuur ur，得23y 1 2z 1 0，令urt ，∵平面1x 1 2 ，得 p (2,,t ) A 1 DP 平面 A 1BC ，A P p tx 12z 1 03ur urt∴ m p 0，即 23t 0 ，解得 t3 ，33∵ 0 t2 ，∴在线段 EB 上不存在点 P ，使得平面 A 1DP 平面 A 1 BC ．(12 分 )20.解： (1)依题设得椭圆的极点 A 2,0 , B 0,1 ，则直线 AB 的方程为 x2 y 20 .(1分)设直线 EF 的方程为 ykx k0 .设D x 0 ,kx 0 ，E x 1 , kx 1 , F x 2 ,kx 2 ，此中 x 1 x 2 .联立直线 l 与椭圆的方程x 2 y 21，消去 y ，得方程 14k 2 x 24.(3 分)4y kx故 xx 2uuuruuur6 x x2，由 ED6DF 知， x x2 2，得11 4k 2x 01 6x 2x 15x 27 10，由点 D 在线段 AB 上，知 x 0 2kx 02 0 ，得771 4k 2x 02，所以2 = 10 ，化简，得 24k 225k 60 ，解得 k2或 k3.（61+2k 1+2k 1+4k 23 8 7分）(2)依据点到直线的距离公式，知点 A, B 到线段 EF 的距离分别为h 12k, h 21 ，又1 4k214k2|EF |4 1 k 2，所以四边形 AEBF 的面积为1 4k 2S1|EF |h 1 h 22 1 2k21 4k 24k21 4k 21 4k2+4k4，当且仅当11 时，取等号 .所以四边2 4k2 112 2 4kk ，即 k21 1 24kk形 AEBF 面积的最大值为 2 2 .(12 分)21.解： (1) f ' x2xa2 x 2 - （a）x a （ xa)( x ） ．a 2x 221 x 0xx当 a 0 时，f ' x，函数 f x 在 0,上单一递加，所以函数 f x 的单一增区间为 0,，无单一减区间．当 a 0 时，由 f ' x0 ，得 xa；由 f ' x0，得 0x a .22所以函数fx 的单一增区间为a,，单一减区间为0,a22.（4 分）(2) 由 (1) 得，若函数 fx 有两个零点，则a 0 ，且 fx 的最小值a ，即f02a 24a 4a lna0 .因为 a0 ，所以 a 4lna4 0 .22令 h aa 4lna4 ，明显 h a 在 0,上为增函数，且2h 22 0, h 34ln3 ln81 ，所以存在 a 02,3 , h a 0 0 .1 1 0216当 a a 0 时， h a 0 ；当 0 aa 0 时， h a 0 .所以知足条件的最小正整数 a 3 .又当a时， f 33 2 ln 30, f 1 0 ，所以时， f x 有两个零点．3a 3综上所述，知足条件的最小正整数 a 的值为 3.(3)证明：因为 x 1 , x 2 是方程 f x c 的两个不等实根，由 (1)知 a 0 .不如设 0x 1x 2 ，则 x 2 - a 2 x a ln xc, x 2 - a 2 x2 a ln x2 c,111 2两式相减得 x 12 a 2 x 1 aln x 1 x 22a 2 x 2a ln x 2 0 ，即 x 12 2x 1 x 22 2x 2 ax 1 a ln x 1 ax 2 a ln x 2 a x 1 ln x 1 x 2 ln x 2 ．所以 ax 12＋2x 1－x 22－2x 2 .x 1＋ln x 1－x 2－ ln x 2因为 f 'a0，当 x0,a时， f ' x0 ，当 xa , 时， f ' x0 ，222故只需证x 1＋ x2>a即可，即证明 x 1x 2x 12＋2x 1－ x 22－2x 2 ，22x 1＋ ln x 1－ x 2－ ln x 2即证明 x 12 x 22 x 1 x 2 ln x 1 ln x 2x 12 2x 1 x 222x 2 ，即证明 lnx 12x 1－2x 2.设 t ＝t x 10 t1．x 2 x 1＋ x 2x 22t －22第11页/共13页因为 t 0 ，所以g ' t0 ，当且仅当t1时，g ' t0 ，所以 g t 在0,上是增函数．又 g 1 0 ，所以当 t0,1 , g t0 总成立．所以原题得证．（12分）22.解： (1)∵PQ与⊙O相切于点A ,∴由切割线定理得QA2QB QC QC BC QC ，∴ QC BC QC2QA2.(5分)(2)∵PQ与⊙O相切于点A ,∴PAC CBA ,∵PAC BAC ,BAC CBA ,∴AC BC 5.由AQ6及(1)知，QC9 .由 QAB QCA ，知 QAB QCA ，∴AB QA，∴ AB10.(10 分)CA QC3x3 2 t23. 解： (1)由2得直线 l的一般方程为 x y350.(2分)y5 2 t2又由得圆 C 的直角坐标方程为x2y2，即 x222 5 sin25y0y55 .(5分)22（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22，即3t t522t20 ，因为20，故可设 t1 , t 2是上述方程的两实数根，32t4324 42所以t1t232，又直线 l的过点 3,5， A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2，所以t1t24| PA|| PB|| t1 || t 2 | 3 2 .(10分)2x2, x324.解： (1) f x x 1 x 34, 3x12x2, x1.(4 分)则当 x3,1 时， f x 为常函数.(5分)（2）由柯西不等式得x2y2z222222252x2 y5z ，所以32x2 y5z 3 ，当且仅当xyz，即 x2, y2, z5时，取最222333大值，所以 m 的最大值为 3.（10 分）。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：1、复数的概念；2、充分条件与必要条件． 2.若点55sin,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin α的值为（ ） AB ．12C ．12- D．-【答案】D 【解析】试题分析：因为551(sin,cos )(,662ππ=，所以sin α-==故选D ． 考点：任意角的三角函数值．3.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001,002，…，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ）33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 8923 45A ．607B ．328C ．253D ．007 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意依次读取数据，得到的样本编号为：253,313,457,860,736,253,007,328, ，其中860,736大于700，舍去；253重复出现，所以第二个253舍去，所以得到的第5个样本编号为328，故选B ． 考点：系统抽样．4.已知,,A B C 点在球O 的球面上，90,2BAC AB AC ∠=== ，球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．36πD ．20π 【答案】A考点：球的表面积．【思路点睛】由已知中球面上有,,A B C 三点，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，可以求出平面ABC 截球所得截面的直径BC 的长，进而求出截面圆的半径r ，再根据已知中球心到平面ABC 的距离，根据球的半径R 代入球的表面积公式即可得到答案．5.若实数,x y满足()2202011-y x y x y -≥-≤⎨⎪+≤⎪⎩，则y 的最大值为（ ）A ．1B ．45 C【答案】A 【解析】试题分析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知y 的最大值为1，故选A ．考点：简单的线性规划问题． 6.已知函数()21xf x x =+，关于函数()f x 的性质，有以下四个推断： ①()f x 的定义域是(),-∞+∞；②()f x 的值域是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； ③()f x 是奇函数； ④()f x 是区间(0,2)内的增函数. 其中推断正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C考点：1、函数的定义域与值域；2、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】无论用什么方法求函数的值域，都必须首先考虑函数的定义域．具体的方法有：①直接法；②配方法；③分离常数法；④换元法；⑤三角函数有界法；⑥基本不等式法；⑦单调性法；⑧数形结合法；⑨导数法(对于具体函数几乎都可以用导数法去解决)．7.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 【答案】D 【解析】试题分析：易知直线AB 的斜率不为0，则设1122(,),(,)A x y B x y ，l ：3x my =+，则由222231x my x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得22222222()690b m a y mb y b a b +++-=，所以21222262mb y y b m a +=-=-+，12x x +＝12()6262m y y m ++=-+=，所以222,2m a b ==，所以22229c a b b =-==，所以218a =，所以所求椭圆方程为221189x y +=，故选D ． 考点：1、椭圆的方程；2、直线与椭圆的位置关系． 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43 B ．52 C ．73 D ．53【答案】A考点：1、空间几何体的三视图；2、棱柱与棱锥的体积． 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．32 B ．53 C ．85 D ．127【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环，得1,2,3S i A ===；第二次循环，得141,3,633S i A =+===；第三次循环，得413,4,10362S i A =+===；第四次循环，得318,5,152105S i A =+===；第五次循环，得815,655153S i =+==>，此时不满足循环条件，退出循环，输出53S =，故选B ．考点：程序框图．10.已知,A B 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右顶点，P 是C 上一点，且直线,AP BP 的斜率之积为2，则C 的离心率为（ ）A 【答案】B考点：1、双曲线的几何性质；2、直线的斜率．11.已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()()22f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),12,-∞-+∞ B ．()1,2- C ．()2,1- D ．()(),21,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：因为(0)0f =，则不防设0x >，则0x -<，22()4()()(4)()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以函数()f x 为奇函数，又易知当0x >时，函数为增函数，则由奇函数的单调性可知函数()f x 为增函数，所以2(2)()f a f a ->等价于22a a ->，解得21a -<<，故选C ．考点：1、分段函数的奇偶性；2、分段函数的单调性．【方法点睛】与分段函数有关的不等式问题，充分考虑分段函数的单调性，通过分类讨论化为不等式组求解；或画出分段函数的图象，观察在相应区间上函数图象与相应直线相交的交点横坐标的范围，列出函数满足的不等式，从而解出参数范围．12.已知数列{}n a 中，()()12212121,1,2*kk k k k k a a a a a k N -+==+-=+∈，则{}n a 的前60项的和60S =（ ） A ．312154- B ．312124- C ．32294- D ．322124-【答案】C考点：递推数列求和．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量OA AB ⊥ ，3OA =，则OA OB ⋅= .【答案】9 【解析】试题分析：因为OA AB ⊥ ，所以0OA AB =，所以22()||39OA OB OA OA AB OA OA AB =+=+== ．考点：1、向量垂直的充要条件；2、向量的加减运算． 14.若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = . 【答案】14【解析】试题分析：22135241()4a a a a a ==． 考点：等比数列的性质．15.函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）的部分图象如图所示，则()0f = .【答案】2考点：三角函数的图象．【方法点睛】ω由周期T 确定，即由2T πω=求出．常用的确定T 值的方法有：（1）曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为2T ；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为2T；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为T ；（4）有时还可以从图中读出4T 或34T的长度来确定ω． 16.若函数()()22114f x x x ax b ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的最大值为 . 【答案】4 【解析】试题分析：因为函数()f x 的图象关于直线1x =-对称，所以(0)(2)f f =-，(1)(3)f f =-，即22221[1(2)][(2)2]411(1)(1)[1(3)][(3)3]44b a b a b a b ⎧=-⨯---+⎪⎪⎨⎪-++=-⨯---+⎪⎩，解得40a b =⎧⎨=⎩，所以221()(1)(4)4f x x x x =-+＝432144x x x x --++，则32()324f x x x x '=--++＝2(1)(24)x x x -++-．令()0f x '=，解得1x =-或1x =-()f x在1x =-处取得极大值，又(1(14f f -=-=，所以 max ()4f x =．考点：1、函数的对称性；2、函数最值与导数的关系．【方法点睛】①利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在()a b ，内的极值；第二，求函数在端点的函数值()()f a f b ，；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值；②函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()()cos 2cos b A c a B π=+-.(1)求角B 的大小；(2)若4b =，ABC ∆a c +的值.【答案】(1) 23B π=；(2)a c +=考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式；3、两角和与差的正弦公式．18.(本小题满分12分)某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗”与“企业规模”有关？(2)从上述320家支持节能降耗改造的中小型企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】(1)能，理由见解析；(2)7．考点：1、独立性检验的基本思想；2、古典概型．19.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1,,PA AD E F ==分别为,PD AC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAB ； （2）求点F 到平面ABE 的距离.【答案】(1)见解析；(2)4．考点：1220.(1O 内切于圆O Γ（1（2）当【答案】（12考点：1、椭圆的定义；2、轨迹方程；3、直线与椭圆的位置关系；3、直线的方程．21.(本小题满分12分)已知函数()211ln ,2f x a x a R x x =++∈. (1) 2a =时，讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：()()212ln 3x x e x x ---+<. 【答案】(1)在区间（0,1）内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增；(2)见解析．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数最值与导数的关系；3、不等式恒成立．【方法点睛】利用导数研究函数的单调性时，先求导，再由()0f x '> (()'0f x <)解出相应的x 的取值范围．当()0f x '>时，() f x 在相应的区间上是增函数；当()'0f x <时，() f x 在相应的区间上是减函数．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论． 请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，⊙1O 和⊙2O 公切线AD 和BC 相交于点,,,D A B C 为切点，直线1DO 交⊙1O 于,E G 两点，直线2DO 交⊙2O 于,F H 两点.(1)求证：DEF ∆∽∆(2)若⊙1O 和⊙2O DE DF 的值. 【答案】（1）见解析；（2考点：1、相似三角形；23、切割线定理．23.(本小题满分10分)已知曲线E ，倾斜角为α的直线l 过点()2,2P .（1）求E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设12,l l 是过点P 且关于直线2x =对称的两条直线，1l 与E 交于,A B 两点，2l 与E 交于,C D 两点，求证：||:||||:||PA PD PC PB =.【答案】（1）()22cos :40,:2sin x t E x y x l y t αα=+⎧=≠⎨=+⎩(t 为参数)；(2)见解析．考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、参数的几何意义的应用．【警示点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x y ， (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等．24.(本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m .(1)求m ；(2)若()222,b,c 0,,a 2a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值.【答案】(1)2m =；(2)1．【解析】f x的表达式，分段求得最值，从而求得m的值；(2)试题分析：(1)利用零点分段法得出()利用基本不等式求解．考点：1、零点分段法；2、基本不等式．。

省中学2016届高三二调数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、设全集U = R,集合A = M⅛x≤2}, B = W（X-3）（x + l）≥0},则（狙A = （）A. （f TB. 2T （°，3）c∙ [°，3） D.（°，3）ɪ 4 2、正项等比数列{“〃}中，存在两项%、%,使得= 4% ,且a6 =a5 +团，则加* 〃的最小值是（）2 7_ 25A. 2B. 2 c. 3 D. 63、设向量α与匕满足同=2, ∕7在α方向上的投影为1,若存在实数2,使得α与a —2）垂直，则X=（）ɪA. 2B. 1 C, 2D, 34、已知函数∙y = Asm（0x+°） + m的最大值为4,最小值为0.两个对称轴间最短距离为y = 4sin∣2x + (]c「2Sw5、在AABC中，三个角A ,β cosB + /?cos A C --2 cos C cA. 2√7B.y = -2 sin [ 2x + 工]+ 2B. I 6Jy = 2 sin(2X + + 2B, C 所对的边为a, b , c ,若S A ABC=2 百，a + b = 6^则C=()2√3 c. 4 d, 3√3ππ—X ——2,直线6是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为（）sin 2 A-Cos 2 A = ɪ2,则下列各式正确的是(存在关于X 轴对称的点，则实数。

的取值围是()差为2的等差数列，则S25=()1。

、函数“H=CoS 八与g(χHι°g2∣ι∣的图象所有交点的横坐标之和为() 6、设M 是ΔABC 所在平面上的一点，且 3 3 MB+-MA+-MC=0,D 是AC 的中点，则MD BM 的值为(ɪ A. 3ɪ B. 2C. D. 27、已知锐角A 是ΔABC 的一个角，aC 是三角形中各角的对应边，若A b + c = 2a B. b +c <2a C. b + c<2a D. b + c≥2aɪ8,已知函数8(”=。

2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）二调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（∁U B）∩A=（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3）D．（0，3）2．（5分）正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（）A．B．2 C．D．3．（5分）设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=（）A．B．1 C．2 D．34．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是（）A． B．C．D．5．（5分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2D．36．（5分）设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC中点，则的值为（）A．B．C．1 D．27．（5分）已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则下列各式正确的是（）A．b+c=2a B．b+c＜2a C．b+c≤2a D．b+c≥2a8．（5分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+2] B．[1，e2﹣2] C．[+2，e2﹣2] D．[e2﹣2，+∞）9．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25=（）A．232 B．233 C．234 D．23510．（5分）函数f（x）=cosπx与函数g（x）=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5分）已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3] B．[] C．[，] D．[，3]12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，） B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）+2cos cos2α的值为．14．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜的解集为．15．（5分）已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列五个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|．其中正确的命题是（写出你认为正确的所有命题的序号）16．（5分）已知函数f（x）为偶函数且f（x）=f（4﹣x），又f（x）=，函数g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（1）求{a n}的通项公式；（2）记b n=log2（a n+1），求数列{b n•a n}的前n项和为S n．18．（12分）已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量，且（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．19．（12分）已知函数f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．（I）求函数f（x）在区间[﹣π，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，a=2csinA，求角C的大小；（Ⅲ）在（II）的条件下，若f（A+）=，求cosB的值．20．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．21．（12分）设函数f（x）=（1+x）2﹣mln（1+x），g（x）=x2+x+a．（1）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（3）是否存在常数m，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x，a∈R．（Ⅰ）当a=时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围．2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）二调数学试卷（理科）答案与解析一、选择题1． 设全集U=R ，集合A={x|1og 2x ≤2}，B={x|（x ﹣3）（x+1）≥0}，则（∁U B ）∩A=（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，﹣1]∪（0，3）C ．[0，3）D ．（0，3）解：∵集合A={x|1og 2x≤2}=（0，4]， B={x|（x ﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）， ∴C U B=（﹣1，3）， ∴（C U B ）∩A=（0，3），选D2． 正项等比数列{a n }中，存在两项a m 、a n 使得=4a 1，且a 6=a 5+2a 4，则的最小值是（ ）A ．B ．2C ．D ．解：设数列{}n a 的公比为q ,则由6542a a a =+可得220,2q q q --=∴=或-1(舍去)，因为存在两项m a .n a 14a =，所以1146a a m n =∴+=，，()435514112411[]666n m m n m n m n m n ⎛+=⎛⎫∴++=++≥+= ⎝ ⎪⎝⎭(当且仅当4n m m n =时取等号)，则14m n +的最小值是32．选A3． 设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=（ ）A ．B ．1C ．2D ．3解：∵向量，满足||=2，在方向上的投影为1，∴==2×1=2．∵存在实数λ，使得与﹣λ垂直， ∴==0，∴22﹣2λ=0，解得λ=2．选C4． 已知函数y=Asin （ωx +φ）+m 的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是（ ）A．B．C．D．解：由题意m=2．A=±2，再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2，∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=±2sin（2x+φ）+2．再由是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=，故符合条件的函数解析式是y=﹣2sin（2x+）+2，选B5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2B．4 C．2D．3解：===1，即有2cosC=1，可得C=60°，若S△ABC=2，则absinC=2，即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．选C6．设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC中点，则的值为（）A．B．C．1 D．2解：如图所示，∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴==（+）；又∵++=，∴=﹣（+）=﹣3；∴==．选A点评解题的关键是画出平行四边形MAEC，得出与的关系．7．已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则下列各式正确的是（）A．b+c=2a B．b+c＜2a C．b+c≤2a D．b+c≥2a解：由sin2A﹣cos2A=，得cos2A=﹣，又A为锐角，∴0＜2A＜π，∴2A=，即A=，由余弦定理有a2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2=，即4a2≥（b+c）2，解得：2a≥b+c，选C8．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+2] B．[1，e2﹣2] C．[+2，e2﹣2] D．[e2﹣2，+∞）解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．选B*9．已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25=（）A．232 B．233 C．234 D．235解：∵数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，∴a n+3﹣a n=（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）=2，∴a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，∴S25=（a1+a4+a7+…+a25）+（a2+a5+a8+…+a23）+（a3+a6+a9+…+a24）=++=233，选B*10．函数f（x）=cosπx与函数g（x）=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为（）A．2 B．4 C．6 D．8解：由图象变化的法则可知：y=log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=log2|x|的图象，在向右平移1个单位得到y=log2|x﹣1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去可得g（x）=|log2|x﹣1||的图象；又f（x）=cosπx的周期为=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有ABCD4个交点，由中点坐标公式可得：x A+x D=2，x B+x C=2故所有交点的横坐标之和为4，选B*11．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3] B．[] C．[，] D．[，3]解：因为•=0，且|﹣|+|﹣2|=，设单位向量=（1，0），=（0，1），=（x，y），则=（x﹣1，y），=（x，y﹣2），则，即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距离和为，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，|+2|=表示（﹣2，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（﹣2，0）到直线2x+y﹣2=0的距离所以|+2|min=，最大值为（﹣2，0）到（1，0）的距离是3，所以|+2|的取值范围是[，3]；选D*12．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，选B二、填空题13．若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）+2cos cos2α的值为．解：∵tanα+=，α∈（，），∴tanα=3，或tanα=（舍去），则sin（2α+）+2cos cos2α=sin2αcos+cos2αsin+•=sin2α+cos2α+=•+•+=•+•+=•+•+=0，答案：0*14．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜的解集为．解：设F（x）=f（x）﹣x，则F′（x）=f′（x）﹣∵f′（x）＜，∴F′（x）=f′（x）﹣＜0即函数F（x）在R上单调递减而f（x2）＜即f（x2）﹣＜f（1）﹣∴F（x2）＜F（1）而函数F（x）在R上单调递减∴x2＞1即x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）*15．已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列五个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|．其中正确的命题是（写出你认为正确的所有命题的序号）解：由题可知等差数列为a n=a1+（n﹣1）d，由s6＞s7有s6﹣s7＞0，即a7＜0，由s6＞s5同理可知a6＞0，则a1+6d＜0，a1+5d＞0，由此可知d＜0 且﹣5d＜a1＜﹣6d．∵，∴s11=11a1+55d=11（a1+5d）＞0，s12=6（a1+a12）=6（a6+a7），∵S7＞S5，∴S7﹣S5=a6+a7＞0，∴s12＞0．由a6＞0，a7＜0，且a6+a7＞0，可知|a6|＞|a7|．即①②⑤是正确的，③④是错误的．答案：①、②、⑤．**16．已知函数f（x）为偶函数且f（x）=f（4﹣x），又f（x）=，函数g （x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是．解：由题意可知f（x）是周期为4的偶函数，对称轴为直线x=2，且函数g（x）也是偶函数，因此只需做出x＞0时f（x），g（x）的图象，然后此时产生两个不同交点即可．作出函数f（x）、g（x）的图象如下：可知，若F（x）恰有4个零点，只需，即．解得．三、解答题*17．设数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（1）求{a n}的通项公式；（2）记b n=log2（a n+1），求数列{b n•a n}的前n项和为S n．解：（1）∵a n+1=2a n+1，∴（a n+1+1）=2（a n+1）∵a1+1=2≠0，∴a n+1≠0，∴，∴{a n+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，∴，∴；（2）∵，∴，∴，记A=1×21+2×22+…+n•2n，∴2A=1×22+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣A=A﹣2A=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴A=（n﹣1）•2n+1+2，故．18．已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量，且（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．解：（1）∵，，由已知得：（1﹣cos（A+B））+=，即（1﹣cos（A+B））+=，4cos（A﹣B）=5cos（A+B），∴9sinAsinB=cosA cosB，tanAtanB=．（2）==tanC=﹣tan（A+B）=﹣•=﹣（tanA+tanB）≤﹣•2=﹣，（当且仅当A=B 时等号成立），故的最大值为﹣．19．已知函数f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．（I）求函数f（x）在区间[﹣π，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，a=2csinA，求角C的大小；（Ⅲ）在（II）的条件下，若f（A+）=，求cosB的值．解：（I）∵，由函数f（x）的最小正周期为3π，即，解得，∴，∵时，可得：，∴，所以x=﹣π时，f（x）的最小值是﹣3，时，f（x）的最大值是1．（II）由已知，由正弦定理，有==，又sinA≠0，∴，又因为a＜b＜c，∴．（Ⅲ）由得．∵，∴．由知，∴．*20．已知函数f（x）=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．解：（1）由函数f（x）=e x﹣ax+a，可知f′（x）=e x﹣a，①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；②当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，故当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f（x）在单调递增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，lna），单调递增区间为（lna，+∞）；（2）由（1）知，当a＜0时，函数f（x）在R上单调递增且当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，∴f（x）≥b不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0；当a＞0时，由函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，可得b≤f min（x），∵f min（x）=2a﹣alna，∴b≤2a﹣alna，∴ab≤2a2﹣a2lna，设g（a）=2a2﹣a2lna （a＞0），则g′（a）=4a﹣（2alna+a）=3a﹣2alna，由于a＞0，令g′（a）=0，得，故，当时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；当时，g′（a）＜0，g（a）单调递减．所以，即当，时，ab的最大值为．**21．设函数f（x）=（1+x）2﹣mln（1+x），g（x）=x2+x+a．（1）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（3）是否存在常数m，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立⇔，设φ（x）=，则f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立⇔m≤φ（x）min，∵φ′（x）=，当x∈（0，e﹣1）时，φ′（x）＜0；当x∈（e﹣1，+∞）时，φ′（x）＞0．故φ（x）在x=e﹣1处取得极小值，也是最小值，即φ（x）min=φ（e﹣1）=e，故m≤e．（2）函数h（x）=f（x）﹣g（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点等价于方程1+x﹣2ln（1+x）=a在[0，2]上恰有两个相异实根，令F（x）=1+x﹣2ln（1+x），则F′（x）=，当（0，1]时，F′（x）＜0，当（1，2]时，F′（x）＞0，故F（x）在（0，1]上递减，在（1，2]上递增，故F min（x）=F（1）=2﹣2ln2．且F（0）=1，F（2）=3﹣2ln3，因此F（0）＞F（2），∴只要F（1）＜F（2），即只要F（1）＜a≤F（2），可使方程h（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点．即a∈（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．（3）存在满足题意．f′（x）=2（1+x）﹣=，函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞），若m≤0，意．f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不合题意；当m＞0时，由f′（x）＞0，得2（1+x）2﹣m＞0，解得x＞﹣1+或x＜﹣1﹣（舍去），故m＞0时，函数f（x）的增区间是，单调递减区间是，而函数g（x）在（﹣1，+∞）上的单调递减区间是，单调递增区间是，故只需=﹣，解得m=．***22．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x，a∈R．（Ⅰ）当a=时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围．解：（Ⅰ）当a=时，，则，化简得（x＞﹣1），f（0）=0，f（1）=ln2﹣，∴函数y=f（x）在x=1处取到极小值为，在x=0处取到极大值为0；（Ⅱ）由题意，（1）当a≤0时，函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，此时，不存在实数b∈（1，2），使得当x∈（﹣1，b）时，函数f（x）的最大值为f（b）；（2）当a＞0时，令f′（x）=0有x=0或，①当，即a＞时，函数f（x）在（）和（0，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，要存在实数b∈（1，2），使得当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），则f（）＜f（1），代入化简得，令（a＞），∵恒成立，故恒有，∴a时，恒成立；②当，即0＜a＜时，函数f（x）在（﹣1，0）和（）上单调递增，在（0，）上单调递减，此时由题，只需，解得a≥1﹣ln2，又1﹣ln2，∴此时实数a的取值范围是1﹣ln2≤a＜；③当a=时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，显然符合题意．综上，实数a的取值范围是[1﹣ln2，+∞）．。

一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，满分 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．）1.设全集 U R ，会合 x log 2 x 2 ，x x 3 x 10 ，则 e U I( )A ．, 1B ．, 1U0,3C ．0,3D ．0,3【答案】 D考点：会合的运算性质2.正项等比数列 a n 中，存在两项 a m . a n ，使得 a m a n 4a 1 ，且 a 6 a 5 2a 4 ，则14mn的最小值是 ()A ．3B ．2C ．7D ．25236【答案】 A【分析】试题剖析：由题依据所给条件 a 6 a 5 2a 4 求得数列的公比，而后依据a m a n 4a 1 得到 m n 6 ，从而运用均值不等式求解即可 .设数列 a n 的公比为 q,则由 a 6 a 52a 4 可得 q 2q 2 0, q2 或-1(舍去 )，因为存在两项 a m . a n ，使得 a m a n 4a 1 ，因此 a 1 2m 12n 1 4a 1， m n 6 ，1 41m n 1 41[5n 4m ]152n 4m3(当且仅当n 4m时取m n6m n6m n6m n2m n等号 )，则14的最小值是3. m n2考点：等比数列性质；基本不等式rr3.设向量a与b知足垂直，则() A．12r r r方向上的投影为 1，若存在实数，使得r与r r a，在a a a b2 bB．1C．2D．3【答案】 C考点：平面向量的数目积运算4.已知函数y sin xm 的最大值为 4 ，最小值为 0 ．两个对称轴间最短距离为，直线 x是其图象的一条对称轴，则切合条件的分析式为 () 26A．y4sin2x B．y2sin 2 x266C．y2sin x D．y2sin2x233【答案】 B【分析】 [根源 : ZXXK]试题剖析：由题意可得 A+m=4 ，A-m=0 ，解得 A 和 m 的值，再依据周祈求出ω，依据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而获得切合条件的函数分析式．由题意 m=2． A= ±2，再由两个对称轴间的最短距离为可得函数的最小正周期2为 π可得2， 2 ,y Asin （ x） m2sin （2x ） 2 ，Q x是其图象的一条对称轴，6k， k z ， k，故可取，3266故切合条件的函数分析式是 y2sin 2x 2 ，应选 B.6考点：函数 y Asin （ x）图象与性质5. 在C 中，三个内角 ， ， C 所对的边为 a ， b ， c ，若 SC2 3 ，a b 6 ，acosb cos ，则c ()c 2cosCA ．2 7B ．2 3C ．4D ．3 3【答案】 B考点：正弦定理、余弦定理和面积公式的运用 6.设是uuuur 3 uuuur 3 uuuur rC 所在平面上的一点，且2 2 C 0， D 是 C 的中点，则uuuurD的值为 ( )uuuurA．1B．1C．1D．2 32【答案】 A【分析】试题剖析：联合题意，画出图形，利用图形，延伸MD 至 E，使 DE=MD ，获得uuuur uuur平行四边形 MAEC ，求出MD与MB的关系，即可得出正确的结论．以下图，∵ D 是 AC 之中点，延伸 MD 至 E，使得 DE=MD ，∴四边形 MAEC为平行四边形，uuuur1 uuur1uuur uuuur） , Q uuur3 uuur3 uuuur r uuur3 uuur uur）uuuur；MD ME（MA MC MB MA MC，MB（MA MC3MD 22222uuuur uuuur1|MD ||MD |，应选 A．uuur uuuur3|MB || 3MD|考点：平面向量基本定理7. 已知锐角是 C 的一个内角， a ，b， c 是三角形中各角的对应边，若sin2cos21，则以下各式正确的选项是() 2A．b c 2a B．b c 2a C．b c 2a D．b c 2a [来源:Z_xx_]【答案】 C考点：余弦定理；基本不等式8.已知函数 g xa x 2（ 1 x e ， e 为自然对数的底数）与 h x 2ln x 的图象上存e在对于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是 ()1 22C ．122A ．1,2 2B ． 1,e22, e 2D ．e 2,ee【答案】 B【分析】试题剖析：由已知，获得方程a-x 2=-2lnx ? -a=2lnx-x 2在 1， e 上有解，结构函数e（f x ） 2lnxx 2 ，求出它的值域，获得 -a 的范围即可．由已知，获得方程 ax22lnxa 2lnx x 2在 1， e 上有解，设 （fx ） 2lnxx 2 ，e2 2x2 1 x 1x1 e ， f （ x ） 0 在 x=1 有独一的极值点，f （ x ）x，Qxxe（ 1） 1 ，（ ） 2 2，（ ）（），（ 1），Q f2f eef x 极大值 f 11 Q f efee 2e故方程 a2lnx x 2在1， e 上有解等价于 2e 2a1．从而 a 的取值范围为e[1， e 2 2] ．应选 B ．考点：对数函数的图像与性质9.已知S n是数列a n的前n项和，a11， a2 2 ， a3 3，数列a n a n 1 a n 2是公差为 2 的等差数列，则S25()A．232B．233C．234D．235【答案】 B考点：等差数列的性质【名师点睛】此题属于创新题目，比较灵巧的考察了等差数列的性质的推行问题，解决问题的重点是将所求数列a n a n 1a n 2转变成求等间距的等差数列的项组成新的等差数列问题进行计算即可，属于较好的创新题目，能够从正反两个方面考察等差数列性质的运用.10.函数f x cos x 与g x log 2 x 1 的图象全部交点的横坐标之和为() A．0B．2C．4D．6【答案】 C【分析】试题剖析：由图象变化的法例和余弦函数的特色作出函数的图象，由对称性可得答案．由图象变化的法例可知：y log 2 x的图象作对于y 轴的对称后和本来的一同组成y log2 x 的图象，在向右平移 1 个单位获得y log2x 1的图象，再把 x 轴上方的不动，下方的对折上去 ,可得（g x）log2x 1的图象；又（f x）cos x的周期为 2，以下图：两图象都对于直线 x=1 对称，且共有 A、B、C、D，4 个交点，由中点坐标公式可得：x A x D2， x B x C2，故全部交点的横坐标之和为4，应选 C.考点：函数零点；函数图像11.已知向量是单位向量rrrrr r r r r r的取值a ， b ，若 a b0 ，且c a c2b 5 ，则c2a范围是()A．1,3B．2 2,3C．65,22D．6 5,3 55【答案】 D考点：平面向量的坐标运算、两点之间的距离公式，点到直线的距离【名师点睛】此题考察了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解，属于较难题；重点是依据点 (x,y)的几何意义获得其轨迹为点（1，0）和（ 0，2）之间的线rr 22表示点到线段上的连线的范围，联合其几何关段，而后依据 | c2 a |x 2y系不难解决问题 .12.定义在 0,上的单一函数 f x ， x 0,， ff x log 2 x3 ，则方程f x f x 2 的解所在区间是 ()A ． 0,1B ． 1,1C ．1,2D ． 2,322【答案】 C【分析】试题剖析：依据题意，由单一函数的性质，可得（ ）f x log 2 x 为定值，能够设t （f x ） log 2 x ，则考点：根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用．【名师点睛】此题注意考察利用零点存在性定理判断函数的零点及函数零点与方程根的关系的应用，解题的重点点和难点是求出（f x）的分析式，依据迭代的方法求得 f x 的分析式，联合 f x f x 2 及零点相关知识获得log2x1的个所x ln 2在的范围即可 .第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．）13.若tan110 ，,，则 sin 22cos cos2的值为．tan34244【答案】 0【分析】试题剖析：把已知条件的等式两边都乘以tan，获得对于tan的方程，求出方程的解，依据的范围即可获得知足题意tan的值，而后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特别角的三角函数值化简后，再利用同角三角函数间的基本关系把分母中“ 1”化为正弦与余弦函数的平方和的形式，分子利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，而后给分子分母都除以cos2，变成对于tan的关系式，把求出的 tan的值，而后依据条件计算即可．Q tan110， tan33tan 1 0， tan3或1，tan33 Q,,tan，tan 3 ，43sin 22cos cos22sin 22cos 2 2 1 cos242 42222cos2122tan1tan21sin 22 1 tan22tan221261610 .21010考点：两角和的正弦函数公式；同角三角函数间的基本关系化简求值；二倍角14.已知函数f x（x R ）知足 f 1 1 ，且 f x 的导数f x 1，则不等式2f x2x21的解集为．22【答案】（， 1）U（1，）考点：导数的运算；其他不等式的解法15.已知S n是等差数列a n的前n项和，且S6S7S5，给出以下五个命题：① d 0 ；②S110 ；③ S120 ；④数列S n中的最大项为S11；⑥ a6a7．此中正确命题的个数是．【答案】 3考点：等差数列的性质【名师点睛】此题考察等差数列的前n 项和的最值．在等差数列中S n存在最大值的条件是： a 1 0， d0 ．主假如对数列函数特征的考察，属于今年常考的命题方向，必定要仔细思虑，总结该种类题目的解决方法.16.已知函数 fx 23 x5,0x 1，函数x 为偶函数且 f xf x 4 ，又 f x22x 2 x ,1 x2xg x1x 恰巧有 4 个零点，则 a 的取值范围是．a ，若 F x f x g2【答案】 2,198【分析】试题剖析：由题作出函数 f(x) 与 g(x) 的图像，而后依据函数周期性与奇偶性研究第一象限交点问题即可解决问题 .x 23x 5,0 x 1不难获得其第一象由题 f x 为偶函数且 f xf x 4 ， f x22x2 x ,1 x2限局部图像以下图，易知 g(x)为偶函数，因此只需二者在第一象限交点个数为 2 个的 a 的范围即为所务实数 a 的范围，易知当 g(x)分别经过 A,B 两点时的 a 值分别为 2,19,2 a19时所给函数F(x)的88零点个数为 4 个.考点：分段函数的通项与性质；函数的奇偶性与周期性；函数的零点问题【名师点睛】 相关分段函数的图像与性质的考察题目常常与函数的零点及函数的基天性质及单一性，奇偶性的考察联合在一同，解决问题的重点是依据函数分析式剖析其图像特色，经过数形联合思想解决相关问题即可，有必定难度，需要认真练习，经过作图能力、计算能力及剖析能力.三、解答题（本大题共 6 小题， 17 题 10 分，其他每题 12 分，共 70 分.解答应写出文字说明 .证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 10 分）设数列a n知足a11， a n 12a n 1 ．1 求 a n的通项公式；2 记 b n log2 a n 1 ，求数列b n a n的前n项和S n．【答案】 (1) a n2n1；(2) n 1 2n 12n n 12考点：数列的乞降；数列递推式．18.（本小题满分 12 分）已知角，，C是 C 的三个内角，a， b ，c是各角r,cos，r5,cosr r9．的对边，若向量 m 1 cos n8，且 m n8221 求 tan tan的值；2 求ab sin C2 的最大值．22【答案】 (1) 1；(2)39 8考点：三角函数的化简求值；平面向量数目积的运算．19.（本小题满分 12 分）已知函数 f x3 sinx 2sin 2x （ 0 ）的最小正周期2为 3 ．1 求函数 f x 在区间,3上的最大值和最小值；42 在 C 中， a ，b ，c 分别为角， ，C 所对的边，且 ab c ， 3a 2c sin，求角 C 的大小；3 在 2的条件下，若 f3 211，求 cos 的值．213【答案】(1) x时，f （x ）的最小值是 -3， x时，（ ）的最大值是 1 ； (2) 2 ；3 2(3)125 326【分析】剖析： (1)由三角函数中的恒等 用化 函数分析式，利用周期公式可求ω，由 x3 ，可得22，依据正弦函数的 象和性 即可得解；，2x6343(2)由已知3a 2c sin ，由正弦定理 合 sinA0 ，可得 sinC3， 合 a b c ，2即可求 C 的 ； (3)由 f3 211得 cosA12，由(2)可求 sinA, A B，从而利213133用两角和与差的余弦函数公式即可求 ．分析： (1)Q f x ＝ 3sin1 cos x2sinx2＝3 ，2 x 221，＝ ，63fx ＝ 2sin 2x1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..(2 分)36Q x3，2 x 2 sin21 ，，23， 1x64633因此 x， f （x ）的最小 是 -3， x，（ ）的最大 是2f x1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..(4 分)(2)由已知 3a 2c sin 由正弦定理，有a2sinAsinA ，sinA 0， sinC = 3，Q a b c ， c3 sinC 2C2 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..(8 分)3(3) 由 f32 11 得213cosA 12 ,Q 0A， sinA ＝ 1 cos 2A ＝ 5,Q C2 , A B ，133 1333cosBcosAcos cosAsin sinA12 53⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..(12 分)33 3 26考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；三角函数的最值．【名师点睛】此题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考察．相关三角函数图像与性责问题联合解三角形问题主假如依据所给三角函数的性质联合相关运算公式及正弦定理、余弦定理进行边角关系的剖析计算解决相关问题，难度常常不大，多为中档题目.[根源 :学。