4.3.1 空间直角坐标系教案

教学设计4．3.1空间直角坐标系教学设计（一）整体设计教学分析学生已经对立体几何以及平面直角坐标系的相关知识有了较为全面的认识，学习《空间直角坐标系》有了一定的基础．这对于本节内容的学习是很有帮助的．但部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑．本节课的内容是非常抽象的，试图通过教师的讲解而让学生听懂、记住、会用是徒劳的，必须突出学生的主体地位，通过学生的自主学习与和同学的合作探究，让学生亲手实践，这样学生才能获得感性认识，从而为后续的学习并上升到理性认识奠定基础．通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动．创设学习情境，营造氛围，精心设计问题，让学生在整个学习过程中经常有自我展示的机会，并有经常性的成功体验，增强学生的学习信心，从学生已有的知识和生活经验出发，让学生经历知识的形成过程．通过阅读教材，并结合空间坐标系模型，模仿例题，解决实际问题．三维目标1．掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体的有关坐标．通过空间直角坐标系的建立，使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习，培养学生类比、迁移、化归的能力．2．解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想，进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与，大胆探索的精神．重点难点教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标．教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标，以及相关应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.大家先来思考这样一个问题，天上的飞机的速度非常的快，即使民航飞机速度也非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界有这么多飞机，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车，汽车要低得多，原因是，飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度．为此我们学习空间直角坐标系．教师板书课题：空间直角坐标系．思路2.我们知道数轴上的任意一点M都可用一个实数x表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用一对有序实数(x，y)表示．那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用有序实数组(x，y，z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系．教师板书课题：空间直角坐标系．推进新课新知探究提出问题①在初中,我们学过数轴，那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示?②在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?③在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢?④观察图1，体会空间直角坐标系该如何建立．⑤观察图2，建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢?讨论结果：①在初中，我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度．这是数轴的三要素．数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示．②在初中，我们学过平面直角坐标系，平面直角坐标系是以一点为原点O，过原点O 分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy，xOy称平面直角坐标系，平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：Dⅰ○互相垂直；Dⅱ○原点重合；Dⅲ○通常取向右、向上为正方向；Dⅳ○单位长度一般取相同的．平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示，括号里横坐标写在纵坐标的前面，它们是一对有序实数(x，y)．③在空间，我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系，即空间直角坐标系，空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来．④观察图3，OABC-D′A′B′C′是单位正方体，我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长度，建立三条数轴Ox，Oy，Oz称为x轴、y 轴和z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz，其中O叫坐标原点，x轴、y轴和z轴叫坐标轴．如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，我们又得到三个坐标平面xOy平面，yOz平面，zOx平面．由此我们知道，确定空间直角坐标系必须有三个要素，即原点、坐标轴方向、单位长．图1图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定．用右手握住z轴，当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向．我们称这种坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系．注意：在平面上画空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°，即用斜二测画法画立体图，这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度，而在x轴上的长度取原来长度的一半．同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度，这就不符和斜二测画法的约定，直观性差．⑤观察图2，建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M就可以用坐标来表示了．已知M为空间一点．过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y 轴和z轴的交点分别为P、Q、R，这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x，y，z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x，y，z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标．坐标为x，y，z的点M通常记为M(x，y，z)．图2反过来，一个有序数组x，y，z，我们在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y 的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面．这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x，y，z为坐标的点．数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x，y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．(如图2所示) 坐标为x，y，z的点M通常记为M(x，y，z)．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x，y，z之间的一一对应关系．注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征．如果点M在yOz平面上，则x＝0；同样，zOx面上的点，y＝0；xOy面上的点，z＝0；如果点M在x轴上，则y＝z＝0；如果点M在y轴上，则x＝z＝0；如果点M在z轴上，则x＝y＝0；如果M是原点，则x＝y＝z＝0.空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定，因此，常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”．事实上，我们的生活空间应该是四度空间，应加上时间变量t.即(x，y，z，t)，它表示在时刻t所处的空间位置是(x，y，z)．应用示例思路11如图3，长方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝4，|OD ′|＝2，写出D ′，C ，A ′，B ′四点的坐标．图3活动：学生阅读题目，对照刚学的知识，先思考，再讨论交流，教师适时指导，要写出点的坐标，首先要确定点的位置，再根据各自坐标的含义和特点写出．D ′在z 轴上，因此它的横、纵坐标都为0，C 在y 轴上，因此它的横、竖坐标都为0，A ′为在zOx 面上的点，y ＝0；B ′不在坐标面上，三个坐标都要求．解：D ′在z 轴上，而|OD ′|＝2，因此它的竖坐标为2，横、纵坐标都为0，因此D ′的坐标是(0,0,2)．同理C 的坐标为(0,4,0)．A ′在xOz 平面上，纵坐标为0，A ′的横坐标的长等于|OA |＝3，A ′的竖坐标的长等于|OD ′|＝2，所以A ′的坐标就是(3,0,2)．点B ′在xOy 平面上的射影是点B ，因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同，在xOy 平面上，点B 的横坐标x ＝3，纵坐标y ＝4；点B ′在z 轴上的射影是点D ′，它的竖坐标与D ′的竖坐标相同，点D ′的竖坐标z ＝2，所以点B ′的坐标是(3,4,2)．点评：能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础，一定掌握如下方法，过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，确定x 、y 和z ，同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征．2讲解课本例2.活动：学生阅读，思考与例1的不同，教师引导学生考虑解题的方法，图中没有坐标系，这就给我们解题带来了难度，同时也给我们的思维提供了空间，如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单？一般来说，以特殊点为原点，我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为建立空间直角坐标系的基本原则，这里我们以下底面为xOy 平面，其他不变，来看这15个点的坐标．解：把图中的钠原子分成上、中、下三层，下层的钠原子全部在xOy 平面上，因此其竖坐标全部是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(12，12，0)；中层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上，与z 轴交点的竖坐标是12，所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(12，0，12)、(1，12，12)、(12，1，12)、(0，12，12)；上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上，与z 轴交点的竖坐标是1，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(12，12，1)．思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上，以中层面作为xOy 平面，结果会怎样呢？解：把图中的钠原子分成上、中、下三层，中层的钠原子全部在xOy 平面上，因此其竖坐标全部是0，所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(12，0,0)、(1，12，0)、(12，1,0)、(0，12，0)；上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上，与轴交点的竖坐标是12，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0，12)、(0,1，12)、(1,0，12)、(1,1，12)、(12，12，12)；下层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上，与轴交点的竖坐标是－12，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0，－12)、(1,0，－12)、(1,1，－12)、(0,1，－12)、(12，12，－12)． 点评：建立坐标系是解题的关键，坐标系建立的不同，点的坐标也不同，但点的相对位置是不变的，坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同．因此解题时要慎重建立空间直角坐标系．思路21已知点P ′在x 轴正半轴上，|OP ′|＝2，PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，|PP ′|＝1，求点P ′和P 的坐标．解：如图4，显然，P ′在x 轴上，它的坐标为(2,0,0)．若点P 在xOy 平面上方，则点P 的坐标为(2,0,1)．若点P 在xOy 平面下方，则点P 的坐标为(2,0，－1)．点评：注意点P 有两种可能的位置情况，不要漏解．图42如图5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1和D 1B 1的中点，棱长为1，求E ，F 点的坐标．图5解：方法一：从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B ，而B 点的坐标为(1,1,0)，E 点的竖坐标为12，所以E 点的坐标为(1,1，12)；F 点在xOy 平面上的射影为G ，而G 点的坐标为(12，12，0)，F 点的竖坐标为1，所以F 点的坐标为(12，12，1)． 方法二：从图中条件可以得到B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)，B (1,1,0)．E 为BB 1的中点，F 为D 1B 1的中点，由中点坐标公式得E 点的坐标为(1＋12，1＋12，1＋02)＝(1,1，12)，F 点的坐标为(1＋02，1＋02，1＋12)＝(12，12，1)． 点评：(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 的中点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22)； (2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特征． 变式训练1．在上题中求B 1(1,1,1)点关于平面xOy 对称的点的坐标．解：设所求的点为B 0(x 0，y 0，z 0)，由于B 为B 0B 1的中点，所以⎩⎨⎧ 1＝1＋x 02，＝1＋y 02，＝1＋z 02.解之，得{ x 0＝1，y 0＝1，z 0＝－1.所以B 0(1,1，－1)．2．在上题中求B 1(1,1,1)点关于z 轴对称的点的坐标．解：设所求的点为P (x 0，y 0，z 0)，由于D 1为PB 1的中点，因为D 1(0,0,1)，所以⎩⎨⎧ 0＝1＋x 02，＝1＋y 02，＝1＋z 02.解之，得{x 0＝－1，y 0＝－1，z 0＝1.所以P (－1，－1,1)．3．在上题中求B 1(1,1,1)点关于原点D 对称的点的坐标．解：设所求的点为M (x 0，y 0，z 0)，由于D 为MB 1的中点，D (0,0,0)，所以⎩⎨⎧ 0＝1＋x 02，＝1＋y 02，＝1＋z 02.解之，得{ x 0＝－1，y 0＝－1，z 0＝－1.所以M (－1，－1，－1).课本本节练习1、2、3.拓展提升在空间直角坐标系中的点P (x ，y ，z )关于①坐标原点；②横轴(x 轴)；③纵轴(y 轴)；④竖轴(z 轴)；⑤xOy 坐标平面；⑥yOz 坐标平面；⑦zOx 坐标平面的对称点的坐标是什么？解：根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知：点P (x ，y ，z )关于坐标原点的对称点为P 1(－x ，－y ，－z )；点P (x ，y ，z )关于横轴(x 轴)的对称点为P 2(x ，－y ，－z )；点P (x ，y ，z )关于纵轴(y 轴)的对称点为P 3(－x ，y ，－z )；点P (x ，y ，z )关于竖轴(z 轴)的对称点为P 4(－x ，－y ，z )；点P (x ，y ，z )关于xOy 坐标平面的对称点为P 5(x ，y ，－z )；点P (x ，y ，z )关于yOz 坐标平面的对称点为P 6(－x ，y ，z )；点P (x ，y ，z )关于zOx 坐标平面的对称点为P 7(x ，－y ，z )．点评：其中记忆的方法为：关于谁对称谁不变，其余的相反．如关于横轴(x 轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标相反.1．空间直角坐标系的建立．2．空间直角坐标系中点的坐标的确定．3．空间直角坐标系中点的位置的确定．4．中点公式：P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则P 1P 2中点M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22)． 5．空间直角坐标系中点的对称点的坐标．作业习题4.3 A 组1、2.设计感想通过复习相关内容，为新课的引入和讲解做好铺垫．设置问题，创设情境，引导学生用类比的方法探索新知．由于学生的空间观念还比较薄弱，教学中宜多采用教具演示，尽量使学生能够形象直观地掌握知识内容．本课时可自制空间直角坐标系模型演示，帮助学生理解空间直角坐标系的概念．如果学生先前的学习不是主动的、不是入脑的，那么老师的血汗与成绩就不成比例，更谈不上学生的创新意识．鉴于此，在教学中积极挖掘教学资源，努力创设出一定的教学情景，设计例题思路，与高考联系，吸引学生，引起学生学习的意向，即激发学生的学习动机，达到学生“想学”的目的．为能增强学生学习的目的性，在教学中指明学生所要达到的目标和所学的内容，即让学生知道学到什么程度以及学什么．同时调整教学语言，使之简明、清楚、易听明白，注重一些技巧，如重复、深入浅出、抑扬顿挫等．备课资料备用习题1．在空间过点M(1,2，－3)作z轴的垂线，交z轴于点N，则垂足N的坐标为() A．(1,0,0) B．(0,2,0) C．(0,0,3) D．(0,0，－3) 分析：由于z轴上的点横坐标、纵坐标都为0，且竖坐标不变仍为－3，所以垂足N的坐标为(0,0，－3)．答案：D2．点P(a，b，c)到坐标平面zOx的距离为()A.a2＋c2B．|a| C．|b| D．|c|分析：由空间点的坐标的意义我们就可以知道，|b|就是点P(a，b，c)到坐标平面zOx 的距离，故正确答案为C.答案：C点评：这里要注意，求P(a，b，c)到zOx坐标平面的距离，所得结果应该是一正值，这里不能将答案误认为是b，而应是|b|.教学设计（二）整体设计1．教学任务分析使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景，理解空间中点的坐标的表示．通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性．2．教学重点和难点重点：空间直角坐标系中点的坐标表示．难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标．3．教学基本流程4.教学情景设计①②。

4.3.1空间直角坐标系1．教学任务分析使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。

通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性。

2．教学重点和难点重点：空间直角坐标系中点的坐标表示难点：空间直角坐标系中点的坐标表示3．学情景设计问题设计意图感觉可以空间中的任意一点是否师：学生从（师：引导学生观察图间中任意一点M如何用坐标表示呢？生：点对应着唯一确着空生：师：叫做点M（、例2什么收获？精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系教材分析本节课内容是数学必修2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节。

课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想。

本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题。

结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键。

课时分配本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系。

教学目标重点：空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点。

难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应。

知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点。

能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应。

教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。

自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置。

考试点：空间中点的确定及坐标表示。

易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取。

拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式。

教具准备多媒体课件和三角板课堂模式师生互动、小组评分以及兵带兵的课堂模式。

一、引入新课由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示。

4.3.1 空间直角坐标系知识点一空间直角坐标系的建立及坐标表示提出问题(1)如图数轴上A点，B点.(2)如图在平面直角坐标系中，P，Q点的位置．(3)如图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置？问题1：上述(1)中如何确定A，B两点的位置？问题2：上述(2)中如何确定P，Q两点的位置？问题3：对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？导入新知1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：，这样就建立了.(2)相关概念：叫做坐标原点，叫做坐标轴．通过的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向的正方向，食指指向的正方向，如果中指指向的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用 来表示， 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ．其中 叫点M 的横坐标， 叫点M 的纵坐标， 叫点M 的竖坐标． 化解疑难1．空间直角坐标系的建立建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上，对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 2．空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴、y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.3．特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下提出问题(1)已知数轴上A 点的坐标2，B 点的坐标－2. (2)已知平面直角坐标系中P (a ，b )，Q (m ，n )． 问题1：如何求数轴上两点间的距离？问题2：如何求平面直角坐标系中P ，Q 两点间距离？问题3：若在空间中已知P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，如何求|P 1P 2|? 导入新知1．点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离|OP |＝ .2．任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离|P 1P 2|＝ . 化解疑难1．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．2．空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.常考题型题型一 空间中点的坐标的确定例1 如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．类题通法空间中点P 坐标的确定方法(1)由P 点分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴、z 轴于点P x 、P y ，P z ，这三个点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，那么点P 的坐标就是(x ，y ，z )． (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题． 活学活用1.如图所示，V ­ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．题型二 空间中点的对称例2 (1)点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是________．(2)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．类题通法1．求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．2．空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：(1)关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；(2)关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；(3)关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；(4)关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；(5)关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；(6)关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；(7)关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．活学活用2-1．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点的坐标为()A．(－3,1,5)B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)2-2．点P(－3,2，－1)关于平面xOy的对称点是_______，关于平面yOz的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于y轴的对称点是________．题型三空间中两点间的距离例3如图，已知正方体ABCD ­A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．类题通法求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．活学活用3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为()A. 2aB.2 2aC．a D. 1 2a随堂即时演练1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是()A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)3．已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|P A|＝|PB|，则点P的坐标是________．4．在空间直角坐标系中，正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．5．如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．参考答案知识点一空间直角坐标系的建立及坐标表示问题1：【答案】利用A，B两点的坐标2和－2.问题2：【答案】利用P，Q两点的坐标(a，b)和(m，n)．问题3：【答案】可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图示．导入新知1．(1) x 轴、y 轴、z 轴 空间直角坐标系Oxyz (2)点O x 轴、y 轴、z 轴 每两个坐标轴 2．x 轴 y 轴 z 轴3．有序实数组(x ，y ，z ) 有序实数组(x ，y ，z ) M (x ，y ，z ) x y z知识点二 空间两点间的距离公式 问题1：【答案】|AB |＝|x 1－x 2|＝|x 2－x 1|. 问题2：【答案】d ＝|PQ |＝(a －m )2＋(b －n )2.问题3：【答案】与平面直角坐标系中两点的距离求法类似． 导入新知 1．x 2＋y 2＋z 22．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2 常考题型题型一 空间中点的坐标的确定例1 解：以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系， 如图所示．分别设|AB |＝1，|AD |＝2，|AA 1|＝4， 则|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝12，所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝32.所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)． 活学活用1.解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1. ∵O 点是坐标原点，∴C (1,1,0)，同样的方法可以确定B (1，－1,0)，A (－1，－1，0)，D (－1,1,0)． ∵V 在z 轴上， ∴V (0,0,3)．题型二 空间中点的对称例2 【答案】 (1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1) 活学活用 2-1．【答案】A2-2．【答案】(－3,2,1) (3,2，－1) (－3，－2,1) (3,2,1) 题型三 空间中两点间的距离例3 解：由题意应先建立坐标系，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体的棱长为a ，所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a )． 由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′， 所以M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝⎛⎭⎫a 2，a2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点， 故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a .根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－3a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＝64a .活学活用 3.【答案】B随堂即时演练1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】(0,0,6) 4．【答案】23935．【答案】|DE |＝ 5 |EF |＝ 6。

【课题】4.3.1空间直角坐标系【教材】人教A版普通高中数学必修二第134页至136页.【课时安排】1个课时.【教学对象】高二〔上〕学生.【授课教师】***一．教材分析：本节内容主要引入空间直角坐标系的根本概念，是在学生已学过的二维平面直角坐标系的根底上进展推广，为以后学习用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题、研究空间几何对象等内容打下良好的根底。

空间直角坐标系的知识是空间解析几何的根底，与平面解析几何的内容共同表达了"用代数方法解决几何问题〞的解析几何思想；通过空间直角坐标系内任一点与有序数组的对应关系，实现了形向数的转化，将数与形严密结合，提供一个度量几何对象的方法。

其对于沟通高中各局部知识，完善学生的认知构造，起到了很重要的作用。

二．教学目标：✧知识与技能（1）能说出空间直角坐标系的构成与特征；（2）掌握空间点的坐标确实定方法和过程；（3）能初步建立空间直角坐标系。

✧过程与方法（1）结合具体问题引入，诱导学生自主探究；. z.（2）类比学习，循序渐进。

情感态度价值观（1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，进而拓展自己的思维空间。

（2）通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系，并加深领会研究事物从低维到高维的方法与过程。

（3）通过对空间坐标系的接触学习，进一步培养学生的空间想象能力。

三．教学重点与难点：教学重点：空间直角坐标系相关概念的理解；空间中点的坐标表示。

教学难点：右手直角坐标系的理解，空间中点与坐标的一一对应。

四．教学方法：启发式教学、引导探究五．教学根本流程：↓. z.六．教学情境设计：. z.〔二〕引导探究，动手实践约6分钟思考：借助于平面直角坐标系，我们就可以用坐标来表示平面上任意一点的位置，则能不能仿照直角坐标系的方式来表示空间上任意一点的位置呢？不妨动手试一试……思路点拨：通过在地面上建立直角坐标系*Oy，则地面上任一点的位置可以用一对有序实数对〔*，y〕确定。

§4.3.1 空间直角坐标系（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示3．情态与价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.（二）教学重点和难点 ：空间直角坐标系中点的坐标表示.知识要点：1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O －xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M ，作出M 点在三条坐标轴Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，则把有序实数组(x ， y ， z )叫做M 点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ， y ， z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.4. 在xOy 平面上的点的竖坐标都是零，在yOz 平面上的点的横坐标都是零，在zOx 平面上的点的纵坐标都是零；在Ox 轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy 轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz 轴上的点的横坐标、纵坐标都是零例题精讲：【例1】在空间直角坐标系中，作出点M (6，－2， 4).解：点M 的位置可按如下步骤作出：先在x 轴上作出横坐标是6的点1M ，再将1M 沿与y 轴平行的方向向左移动2个单位得到点2M ，然后将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动4个单位即得点M .M 点的位置如图所示.【例2】在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12，AD =8，1AA =5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.解：以A 为原点，射线AB 、AD 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)、B (12，0，0)、C (12，8，0)、D (0，8，0)、1A (0，0，5)、1B (12，0，5)、1C (12，8，5)、1D (0，8，5).【例3】已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系. 解：正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A (2，－2，0)、B (2，2，0)、C (－2，2，0)、D (－2，－2，0)、P (0，0，点评：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.【例4】在空间直角坐标系中，求出经过A (2，3，1)且平行于坐标平面yOz 的平面α的方程. 分析：求与坐标平面yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz 平行的平面内的点的特点来求解.解：坐标平面yOz⊥x轴，而平面α与坐标平面yOz平行，∴平面α也与x轴垂直，∴平面α内的所有点在x轴上的射影都是同一点，即平面α与x轴的交点，∴平面α内的所有点的横坐标都相等。

人教高一数学教学设计之《4.3.1空间直角坐标系》一. 教材分析《4.3.1空间直角坐标系》这一节主要介绍空间直角坐标系的定义、构成及基本性质。

通过本节的学习，使学生了解空间直角坐标系在几何中的应用，为后续学习立体几何奠定基础。

二. 学情分析高一学生已具备了一定的函数、几何基础知识，但空间想象能力相对较弱。

在教学过程中，教师需要注重引导学生建立空间直角坐标系的直观印象，提高他们的空间想象力。

三. 教学目标1.了解空间直角坐标系的定义、构成及基本性质。

2.学会在空间直角坐标系中确定点的位置。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.空间直角坐标系的定义和构成。

2.如何在空间直角坐标系中确定点的位置。

3.空间直角坐标系在几何中的应用。

五. 教学方法1.采用直观演示法，让学生直观地了解空间直角坐标系的构成。

2.采用讲解法，讲解空间直角坐标系的基本性质和点的坐标确定方法。

3.采用练习法，让学生通过实际操作，巩固所学知识。

4.采用讨论法，引导学生探讨空间直角坐标系在几何中的应用。

六. 教学准备1.准备多媒体课件，展示空间直角坐标系的图像。

2.准备示例题目，用于讲解和练习。

3.准备黑板，用于板书关键知识点。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示空间直角坐标系的图像，引导学生直观地了解空间直角坐标系的构成。

2.呈现（10分钟）讲解空间直角坐标系的定义、构成及基本性质，让学生初步掌握空间直角坐标系的基本概念。

3.操练（10分钟）示例题目：在空间直角坐标系中，确定点A(2,3,1)的位置。

引导学生动手操作，巩固空间直角坐标系中点的坐标确定方法。

4.巩固（5分钟）练习题目：在空间直角坐标系中，确定点B(-3,1,-2)的位置。

学生独立完成，教师巡回指导。

5.拓展（5分钟）引导学生探讨空间直角坐标系在几何中的应用，如：判断两个点是否垂直、平行等。

6.小结（5分钟）总结本节课的主要知识点，强调空间直角坐标系在几何中的重要性。

4.3.空间直角坐标系-人教A版必修二教案一、教学目标1.学习直角坐标系的概念，了解在三维直角坐标系中，坐标轴的表示方法和空间点的坐标表示方法；2.掌握在空间直角直角坐标系中作图的方法，能够将空间图形与其在坐标系中的位置相互对应；3.通过课后习题、考试等方式检验学生的综合运用能力。

二、重点难点重点1.空间直角坐标系的概念；2.空间点的坐标表示方法；3.空间直角坐标系中作图方法。

难点1.空间直角坐标系的概念；2.空间点的坐标表示方法。

三、教学内容与过程教学内容1.空间直角坐标系的概念；2.空间点的坐标表示方法；3.在空间直角坐标系中作图。

教学过程步骤一：导入1.利用多媒体课件导入地球上的三个点，比如北京、纽约、悉尼，并在地球仪中显示出来。

从图中引入坐标系的概念，说明坐标系的作用。

步骤二：介绍直角坐标系1.定义直角坐标系，介绍二维平面直角坐标系，强调横坐标和纵坐标，并引入坐标轴的概念。

2.引入三维空间直角坐标系，强调横坐标、纵坐标和高度，说明坐标轴的表示方法。

步骤三：坐标的表示方法1.引入空间点的概念，说明空间点的坐标表示方法；2.强调空间点坐标的有序性和唯一性；3.引入数轴上的正负数概念，解释四象限的概念。

并说明当横坐标、纵坐标和高度均为正时，空间点在哪个象限。

步骤四：作图1.引入有关空间直线的概念，强调表示空间直线所需的两点的空间坐标；2.引入有关空间平面的概念，强调表示空间平面所需的三点的空间坐标；3.演示如何利用坐标轴和空间点的坐标进行三维作图。

步骤五：练习与应用1.练习课前习题，巩固学生对坐标系及其表示方法的掌握。

2.应用：利用已掌握的知识，在三维坐标系中作图，如：作一个正方体、立方体等。

四、教学反思在教学过程中，通过导入地球上的三个点引出坐标系的概念，激发了学生的学习兴趣，提高了课堂氛围。

在直角坐标系的介绍中，通过多媒体课件、图形等方式进行讲解，更加形象直观地给学生展示了横、纵、高度、坐标轴等概念。

高一数学导学案
4.3.1空间直角坐标系
制作人：审核人：高一数学组使用时间：2016 .03
学习目标：
1.了解空间直角坐标系的建系方式；
2. 掌握空间中任意一点的表示方法；
3. 能在空间直角坐标系中求出点的坐标
预习导航：
1. 回顾数轴上及平面直角坐标系中点的表示方法；
2.了解空间直角坐标系的建系方式；
3．空间中点的表示方法
4. 空间中的对称点的坐标特征
问题探究：
探究一、空间直角坐标系的建系方式
、
探究二、空间中点的表示方法及应用
例1、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，
D`，C，A`，B`四点的坐标.
练习1、在空间直角坐标系中描出下列各点，并说明这些点的位置A（0,1,1）B（0,0,2）C（0,2,0）
D（1,0,3）E（2,2,0）F（1,0,0）练习2 如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为AB=12，AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标。

例2结晶体的基本单位称为晶胞，如图（课本）是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中色红点代表钠原子，黑点代表氯原子．建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．
练习如图所示，在四棱锥P－ABCD中，各棱长均为a，底面为正方形，PO⊥底面ABCD，建立适当的坐标系，写出各顶点的坐标．
探究三、空间中对称点的坐标特征
课堂小结：这节课你学到了什么
课后作业：
.P138 T2
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