整式的乘除和因式分解 专题2

学习必备精品知识点整式的乘除与因式分解知识点及题型汇编同底数幂的乘法【知识盘点】若m、n均为正整数，则a m·a n=_______，即同底数幂相乘，底数______，指数_____．【应用拓展】1．计算：（1）64×（－6）5（2）－a4（－a）4（3）－x5·x3·（－x）4（4）（x－y）5·（x－y）6·（x－y）72．计算：（1）（－b）2·（－b）3+b·（－b）4（2）a·a6+a2·a5+a3·a4（3）x3m－n·x2m－3n·x n－m（4）（－2）·（－2）2·（－2）3·…·（－2）1007．已知a x=2，a y=3，求a x+y的值．8．已知4·2a·2a+1=29，且2a+b=8，求a b的值．积的乘方【知识盘点】积的乘方法则用字母表示就是：当n为正整数时，（ab）n=_______．【应用拓展】1．计算：（1）（－2×103）3（2）（x2）n·x m－n（3）a2·（－a）2·（－2a2）3（4）（－2a4）3+a6·a6（5）（2xy2）2－（－3xy2）22．先完成以下填空：（1）26×56=（）6=10( )（2）410×2510=（）10=10( )你能借鉴以上方法计算下列各题吗？（3）（－8）10×0.12510（4）0.252007×42006（5）（－9）5·（－23）5·（13）53．已知x n=2，y n=3，求（x2y）2n的值．4．一个立方体棱长为2×103厘米，求它的表面积（结果用科学记数法表示）．【综合提高】10．观察下列等式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；（1）请你写出第5个式子：______________（2）请你写出第10个式子：_____________（3）你能用字母表示所发现的规律吗？试一试!幂的乘方【知识盘点】若m、n均为正整数，则（a m）n=_____，即幂的乘方，底数_____，指数_______．【应用拓展】1．计算：（1）（y2a+1）2（2）[（－5）3] 4－（54）3（3）（a－b）[（a－b）2] 52．计算：（1）（－a2）5·a－a11（2）（x6）2+x10·x2+2[（－x）3] 48．用幂的形式表示结果：（1）（23）2=______；（22）3=________；（2）（35）7=______；（37）5=________；（3）（53）4=______；（54）3=________．你发现了什么规律？用式子表示出来．同底数幂的除法知识点：1.同底数幂相除，底数不变，指数相减：底数a可以是一个具体的数，也可以是单项式或多项式。

第十课时《整式的乘除与因式分解》（2）———因式分解【课前热身】1、把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式等于（ ）A 、))(2(2m m a +-B 、))(2(2m m a --C 、)1)(2(--m a mD 、)1)(2(+-m a m2、下列分解因式正确的是( )A. 32(1)x x x x -=-．B. 26(3)(2)m m m m +-=+-.C. 2(4)(4)16a a a +-=-.D. 22()()x y x y x y +=+-.3、在下列等式中，属于因式分解的是( )A. bn ay bm ax n m b y x a +-+=++-)()(B. 1)(12222+-=++-b a b ab aC. )32)(32(9422b a b a b a ++-=+-D. 8)7(872--=--x x x x4、把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式等于 .【考点链接】因式分解(1)把一个________化成了几个______的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式___________.(2)分解因式，必须进行到每一个___________都不能再分解为止.(3)分解因式最常用的方法有：___________，___________，_____________，___________。

【教材解读】一、填空题1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。

2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____3、232y x 与y x 612的公因式是____________________。

4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。

5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的有________________________ ，其结果是 _____________________。

第十四章整式的乘除与因式分解（2）考试范围：第十四章整式的乘除与因式分解；考试时间：100分钟；命 题人：QQ2403336035注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（1--6题2分，7--16题3分，共计42分）1．已知3,5=-=+m n n m ，则22m n -等于（ ）A ．5B ．15C ．25D ．92．下列各式计算正确的是（ ） A ．x x x x x x 4128)132(4232---=-+- B ．3322))((y x y x y x +=++C ．2161)14)(14(x x x -=---D ．22242)2(y xy x y x +-=-3．把（－2）2014＋（－2）2015分解因式的结果是（ ）.A.22015B.－2 2015C.－2 2014D.220144．如（x ＋m ）与（x ＋3）的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）． A ．－3 B ．3 C ．0 D ．15．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．16 D ．256．已知3181=a ，4127=b ，619=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．a ＜b ＜cD ．b ＞c ＞a7．如果二次三项式12-+ax x 可分解为()()b x x +⋅-2，那么a ＋b 的值为 （ ）（A ）－2 （B ）－1（C ）1 （D ）28．设2251M a a =-+，237N a =+，其中a 为实数，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．N M >B ．N M ≥C ．N M ≤D ．不能确定．9．如果多项式x 2＋mx ＋16是一个二项式的完全平方式，那么m 的值为 A ．4 B ．8 C ．－8 D ．±810．式子2014-a 2+2ab-b 2的最大值是（ ）A ．2012B ．2013C ．2014D ．201511．如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ） A ．m+3 B ．m+6 C．2m+3 D ．2m+612 13．选择题：在公式s=ab 中，若a 增大10%，b 减少10%，则 S （ ） A 、增大10% B 、减少1% C 、增大0.5% D 、不变14．不论a 为何实数，代数式245a a -+的值一定是（）A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定15．如下图，左图是一个长为2a ，宽为2b （a>b ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按右图那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A ．2abB ．（a+b ）2C ．（a －b ）2D ．a 2－b 216．在求1+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S=1+62+63+64+65+66+67+68+69① 然后在①式的两边都乘以6，得： 6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②②﹣①得6S ﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014的值？你的答案是（ ）A B C D ．a 2014﹣1第II 卷（共计78分）二、填空题（每题3分，共计12分）17．分解因式：4x—9=_____________________ ． 18 19．对于实数a ，b ，c ，d ，，×（-2）-0×2=-2，=27时，则x= ．20．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为______________________．三、解答题（共6题66分）21．（1）计算:①xy xy y x 2)26(23÷+- ②2（a －3）（a ＋2）－（4＋a ）（4－a ）． ③2014 2－2015×2013（2）分解因式：①9a 2（x －y ）＋4b 2（y －x ）； ②-3x 2+6xy-3y 222x ＞1）求（1 （223．（1）若m x =4，m y =3，求m x+3y的值（2）、先化简，再求值：已知，其中x=﹣2，y=﹣0.5．24．已知：a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且222222222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状，并证明你的结论．25．如图，长为50cm ，宽为x cm 的大长方形被分割为8小块，除阴影A 、B 外， 其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为a cm ． （1）从图可知，每个小长方形较长一边长是 cm （用含a 的代数式表示）； （2）求图中两块阴影A 、B 的周长和（可以用x 的代数式表示）；（3）分别用含x ，a 的代数式表示阴影A 、B 的面积，并求a 为何值时两块阴影 部分的面积相等．26．(1)已知(a-b)2=15，(a+b)2=7，计算ab 的值；(2)阅读理解：已知210a a +-=，求3223a a ++的值．解：3223a a ++3223a a a a a =+-+++22(1)14a a a a a =+-++-+ 004=++ 4=请你参照以上方法解答下面问题：如果2310a a a +++=，试求代数式2345678a a a a a a a a +++++++的值参考答案1．B 【解析】试题分析：根据题意把22m n -应用平方差公式22()()a b a b a b +-=-进行式因分解得（n+m ）（n-m ），因此把3,5=-=+m n n m 整体代入即可求解（n+m ）（n-m ）=5×3=15. 故选B考点：因式分解，整体代入法 2．C 【解析】试题分析：因为2324(231)8124x x x x x x -+-=--+，所以A 错误； 因为223223()()x y x y x x y xy y ++=+++，所以B 错误； 因为2161)14)(14(x x x -=---，所以C 正确；因为222(2)44x y x xy y -=-+，所以D 错误；故选：C. 考点：整式的乘法. 3．C 【解析】 试题分析：根据题意知2014215（－2）＋（－2）(2)(2).(2=-+--=-. 考点：幂的乘方 4．A 【解析】试题分析：由题意知（x+m ）（x+3）=22x mx 3x 3m x (m 3)x 3m +++=+++，由于不含有x 项，因此m+3=0，即m=-3. 故选A考点：多项式乘以多项式 5．C ． 【解析】试题分析：∵251244522+++-x y xy x =2224441225x xy y x x -++++ =22(2)4( 1.5)16x y x -+++，∴当2(2)x y -，24( 1.5)x +时，原式最小，∴多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为16， 故选C ．考点：1．完全平方公式；2．非负数的性质．【解析】试题分析：3181=a =431124(3)3=，4127=b =341123(3)3=，619=c =261122(3)3=， ∵a>0，b>0，c>0，且124＞123＞122，∴a ＞b ＞c ．故选A ． 考点：幂的乘方与积的乘方． 7．B 【解析】试题分析：∵2(2)()(2)2x x b x b x b -+=+--，二次三项式12-+ax x 可分解为()()b x x +⋅-2，∴221a b b =-⎧⎨-=-⎩，解得：B.考点：因式分解的意义.8．C ． 【解析】试题分析：可设2251y a a =-+，237y a =+，则在关于a ，y 的直角坐标系中，可知图象如下，∴M 可以等于N ， ∴N M ≤．故选C ．考点：二次函数的性质．【解析】试题分析：∵（x±4）2=x 2±8x+16， 所以m=±2×4=±8． 故选D ．考点：完全平方式． 10．C ． 【解析】试题分析：2014-a 2+2ab-b 2=2014-（a 2-2ab+b 2）=2014-（a-b ）2，∵（a-b ）2≥0，∴原式的最大值为：2014． 故选C ．考点：1.因式分解-运用公式法；2.偶次方． 11．C ． 【解析】试题分析：依题意得剩余部分为（m+3）2﹣m 2=（m+3+m ）（m+3﹣m ）=3（2m+3）=6m+9， 而拼成的矩形一边长为3，． 故选C ．考点：平方差公式的几何背景． 12．A【答案】B【解析】解：在公式s=ab 中， S=a×(1+10%)×b×(1-10%) =1.1a×0.9b =0.99ab即ab-0.99ab =0.01ab =1%ab故本题选择B 14．A ． 【解析】试题分析：设y=a 2-4a+5，即y=（a-2）2+1，∵（a-2）2≥0，∴（a-2）2+1≥1，即245a a -+≥1，∴不论a 为何值，代数式245a a -+值大于等于1．根据以上的解答，故答案选A ． 考点：二次函数的最值． 15．C 【解析】试题分析：由题意得四块形状和大小都一样的小长方形的长是a ，宽是b ，拼成的正方形的边长是a+b ，所以中间空的部分的面积=（a+b ）2 -4 ab= a 2－2ab+b 2=（a －b ）2.故选：C. 考点：完全平方公式. 16．B ． 【解析】试题分析：设S=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014，① 则aS=a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014+a 2015，②， ②﹣①得：（a ﹣1）S=a 2015﹣1，∴故选B ． 试题解析：考点：1.同底数幂的乘法；2.有理数的乘方． 17．（2x-3）（2x-3） 【解析】试题分析：根据题意应用平方差公式22()()a b a b a b +-=-进行因式分解得24x 9-=（2x+3）（2x-3）． 考点：因式分解 18．14 【解析】考点：1.完全平方公式；2.分式的值.19．22． 【解析】试题分析：得：(1)(1)(2)(3)27x x x x +--+-=，化简得：221(6)270x x x -----=， 去括号得：2216270x x x --++-=， 合并得：220x -=， 解得：22x =．故答案为：22．考点：1．整式的混合运算；2．解一元一次方程；3．新定义．20．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）． 【解析】试题分析：左边阴影的面积等于边长为a 的正方形面积减去边长为b 的正方形面积，即a 2﹣b 2，右边平行四边形底边为a+b ，高为a ﹣b ，即面积=（a+b ）（a ﹣b ），两面积相等所以等式成立．即：a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）．故答案是a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）． 考点：平方差公式的几何背景．21．（1）①-3x 2y+1 ② 3a 2-2a-28③ 1（2）①（x-y ）（3a+2b ）（3a-2b ）②-3（x-y ）2【解析】 试题分析：（1）①按照多项式除以单项式的除法法则计算便可；②先去括号，然后合并同类项即可；③将2015×2013改写成（2014+1）×（2014-1 ）然后用平方差公式；（2）①先提公因式（x-y ），然后用平方差公式分解因式；②先提公因式-3，然后用完全平方公式分解因式．试题解析：①xy xy y x 2)26(23÷+-=32 6222x y xy xy xy -÷+÷=-3x 2y+1；②2（a －3）（a ＋2）－（4＋a ）（4－a ）=222222212(16)2212163228a a a a a a a a ----=---+=--．③ 2014 2－2015×2013=2014 2－（2014+1）×（2014-1 ）= 2014 2－（2014 2-1 ）=2014 2－2014 2+1 =1；（2）①9a 2（x －y ）＋4b 2（y －x ）= （x －y ）（9a 2-4b 2）=（x-y ）（3a+2b ）（3a-2b ）；②-3x 2+6xy-3y 2=-3（x 2-2xy+y 2）=-3（x-y ）2．考点：1．整式的乘除；2．平方差公式；3．因式分解．22．（1）23；（2【解析】试题分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简即可求出所求式子的值．2=x 2，，2，∵x ＞1考点：完全平方公式． 23．（1） 108 （2） 化简结果=20xy-32;求值结果=-12 【解析】试题分析：（1）逆用同底数幂的乘法运算x 3y x 3y x 3m m m m (m )y +=⋅=⋅；（2）先化简整式，然后将x=﹣2，y=﹣0.5代入计算即可.试题解析：（1）x 3y x 3y x 3m m m m (m )y +=⋅=⋅=4×27=108.（2）当x=﹣2，y=﹣0.5时，原式=-12.考点：1. 同底数幂的乘法；2.整式的化简求值. 24．等边三角形．证明见试题解析． 【解析】试题分析：由222222222a b c ab ac bc ++=++分组因式分解，利用非负数的性质得到三边关系，从而判定三角形形状．试题解析：△ABC 是等边三角形．证明如下：∵222222222a b c ab ac bc ++=++，∴2222222220a b c ab ac bc ++---=， 即2222222220a ab b a ac c b bc c -++-++-+=， ∴222()()()0a b a c b c -+-+-=，∴0a b -=，0a c -=，0b c -=，得a b =，a c =，b c =，即a b c ==，所以△ABC 是等边三角形．考点：因式分解的应用．25．(1) 50-3a ；（2）4x ；（3）()()5033A S a x a =-⨯-， ()3503B S a x a =-+；【解析】 试题分析：（1）由图形知：每个小长方形较长一边长为：（50-3a ）cm; (2) 由图形知：A 的长＋B 的宽=x ，A 的宽＋B 的长=x ，可求周长和.(3)分别用含有x 、a 的代数式表示A 、B 的长和宽，从而可求阴影A 、B 的面积，列方程可求a 的值.试题解析：(1) 50-3a ；（2）由图形知：A 的长＋B 的宽=x ，A 的宽＋B 的长=x 所以周长和=4x ；（3）()()5033A S a x a =-⨯-， ()3503B S a x a =-+()()()50333503a x a a x a -⨯-=-+考点：1.列代数式；2.解一元一次方程. 26．(1)-2; (2)0. 【解析】试题分析：（1）把(a-b)2=15，(a+b)2=7，分别展开，相减，即可求出ab 的值； （2）将原式进行分组，提取公因式，代入求值即可求解.试题解析：（1）(a+b)2 -(a-b)2=4ab=7-15=-8， ∴ab=-2.（2）∵2310a a a +++=，∴原式=2345678a a a a a a a a +++++++（）（）23523=11a a a a a a a a +++++++（）（）5=000a a ⋅+⋅= .考点：1.完全平方公式；（2）代数式求值. 27．(1)()2m n -; (2)()()m n m n --或者()24m n m n +-；(3)(4)()222()472029a b a b ab -=+-=-=.【解析】试题分析：(1)由大正方形面积减去四个小长方形面积可得；（2）法一：由大正方形面积减去四个小长方形面积可得，法二，由小正方形的边长平方可得；(3)由完全平方差公式与完全平方和公式可得三者关系；(4)将上题中结论变形为()22()4a b a b ab -=+-，可求. (1)()2m n -;(2)()()m n m n --或者()24m n mn +-;(4)()222()472029a b a b ab -=+-=-=. 考点：1.整式乘法；2.完全平方公式.。

第十五章《整式的乘除与因式分解》单元测试题目二一、相信你的选择（每题4分，共40分）1．下列各单项式中，与y x 42是同类项的为（ ）A.42xB.42xyC.4yxD.yz x 422．))((22a ax x a x ++-的计算结果是（ ）A.3232a ax x -+B.33a x -C.3232a x a x -+D.322222a a ax x -++3．下面是某同学在一次作业中的计算摘录：①ab b a 523=+； ②n m mn n m 33354-=-； ③5236)2(4x x x -=-⋅； ④a b a b a 2)2(423-=-÷； ⑤523)(a a =； ⑥23)()(a a a -=-÷-其中正确的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4．计算22(3)(8)x x n x mx -+++的结果中不含2x 和3x 的项，则n m ,的值为（ ）． A ．1,3==n m B ．0,0==n m C ．9,3-=-=n m D ．8,3=-=n m 5．下列分解因式正确的是（ ）A.)1(23-=-x x x xB.)2)(3(62-+=-+m m m mC.16)4)(4(2-=-+a a aD.))((22y x y x y x -+=+6．如图：矩形花园中,,,b AD a AB ABCD ==花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK ．若c RS LM ==，则花园中可绿化部分的面积为（ ） A.2b ac ab bc ++- B.ac bc ab a -++2 C.2c ac bc ab +-- D.ab a bc b -+-227．从边长为a 的正方形中去掉一个边长为b 的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（ ）A ．))((22b a b a b a -+=- B ．2222)(b ab a b a +-=- C ．222()2a b a ab b +=++ D ．2() a ab a a b +=+ 8．若a 为整数，则a a +2一定能被（ ）整除A ．2B ．3C ．4D ．59．如果代数式7322++x x 的值为8，那么代数式9642-+x x 的值是（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-10．若225722+-++m n nm b a b a 的运算结果是753b a ，则n m +的值是（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．3 二、试试你的身手（每小题4分，共40分）11．系数为21-且只含字母x 、y 的3次单项式有 个，它们分别是 ．12．(1)当x _______时，0)4(-x 等于______； (2)=-÷⨯200920082007)1()5.1()32(_______． 13．分解因式：ab b a 2122-+-＝________________.14．如图，要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的长至少要 ．（用含x 、y 、z 的代数式表示）．15．如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为 ．16．把20cm 长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是5cm 2，则这两段铁丝分别长 ．17．多项式291x +加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可能是 ． 18．我们规定这样一种运算：如果)0,0(>>=N a N a b ，那么b 就叫做以a 为底的N 的对数，记做N b a log=．例如：因为823=，所以38log2=，那么81log 3的值为 ．19．某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽．发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 ．20次把第1次铺的完全围起来，如图（2）；第3次把第2次铺的完全围起来，如图（3）；…。

整式乘除与因式分解复习教案第一篇：整式乘除与因式分解复习教案整式的乘除与因式分解复习菱湖五中教学内容复习整式乘除的基本运算规律和法则，因式分解的概念、方法以及两者之间的关系。

通过练习，熟悉常规题型的运算，并能灵活运用。

教学目标通过知识的梳理和题型训练，提高学生观察、分析、推导能力，培养学生运用数学知识解决问题的意识。

教学分析重点根据新课标要求，整式的乘除运算法则与方法和因式分解的方法与应用是本课重点。

难点整式的除法与因式分解的应用是本课难点。

教学方法与手段采用多媒体课件，由于本课内容较多，故设计了大量的练习，使学生理解各种类型的运算方法。

本课教学以练习为主。

教学过程一．回顾知识点（一）整式的乘法1、同底数的幂相乘2、幂的乘方3、积的乘方4、同底数的幂相除5、单项式乘以单项式6、单项式乘以多项式7、多项式乘以多项式8、平方差公式9、完全平方公式（二）整式的除法1、单项式除以单项式2、多项式除以单项式（三）因式分解1、因式分解的概念2、因式分解与整式乘法的关系3、因式分解的方法4、因式分解的应用二．练习巩固（一）单项式乘单项式(1)(5x3)⋅(-2x2y),(2)(-3ab)2⋅(-4b3)(3)(-am)2b⋅(-a3b2n)，231(4)(-a2bc3)⋅(-c5)⋅(ab2c)343（二）单项式与多项式的乘法(1)(-2a)⋅(x+2y-3c),(2)(x+2)(y+3)-(x+1)(y-2)(3)(x+y)(-2x-1y)2（三）乘法公式应用(1)(-6x+y)(-6x-y)(2)(x+4y)(x-9y)(3)(3x+7y)(-3x-7y)（四）整式的除法1(1)(-a6b4c)÷((2a3c)41(2)6(a-b)5÷[(a-b)2]3(3)(5x2y3-4x3y2 +6x)÷(6x)13(4)x3my2n-x2m-1y2+x2m+1y3)÷(-0.5x2m-1y2)3 4（五）提取公因式法因式分解(1)3ay-3by+3y(2)-4a3b2+6a2b-2ab(3)3(x-y)3-6(x-y)2(4)5m(a-b)4-4m2(b-a)3（六）乘法公式因式分解(1)25-16x2(2)-81x2+4(y-1)2(3)x2-14x+49(4)(x+y)2-6(x+y)+9（七）因式分解的应用1、解方程（1）9x2+4x=0(2)x2=(2x-5)22、计算（1）(2mp-3mq+4mr)÷(2p-3q+4r)（2）(16-x4)÷(4+x2)÷(x-2)探究活动:求满足4x2-9y2=31的正整数解。

2023年中考数学《整式的运算与因式分解》专题知识回顾及练习题（含答案解析）1. 合并同类型：法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。

2. 整式的加减的实质：合并同类项。

3. 整式的乘除运算：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。

②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。

4. 乘法公式：①平方差公式：()()22b a b a b a −=−+。

②完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±。

5. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a −+=−22完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。

③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则： ()()n x m x c bx x ++=++2。

31．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．32．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．33．（2022•长春）先化简，再求值：2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝2﹣4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．34．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x 2+2x ﹣2＝0，∴x 2+2x ＝2，∴当x 2+2x ＝2时，原式＝2（x 2+2x ）+1＝2×2+1＝4+1＝5．35．（2022•广西）先化简，再求值：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x ，其中x ＝1，y ＝21． 【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x＝x 2﹣y 2+y 2﹣2y＝x 2﹣2y ，当x ＝1，y ＝时，原式＝12﹣2×＝0．36．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a +b ）（a ﹣b ）+b （2a +b ），其中a ＝1，b ＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a ＝1，b ＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a +b ）（a ﹣b ）+2a +b ）＝a 2﹣b 2+2ab +b 2＝a 2+2ab ，将a ＝1，b ＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．37．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2），其中x ＝21． 【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x ＝代入计算即可．【解答】解：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2）＝1﹣x 2+x 2+2x＝1+2x ，当x ＝时，原式＝1+＝1+1＝2．38．（2022•南充）先化简，再求值：（x +2）（3x ﹣2）﹣2x （x +2），其中x ＝3﹣1．【分析】提取公因式x +2，再利用平方差公式计算，再代入计算．【解答】解：原式＝（x +2）（3x ﹣2﹣2x ）＝（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4，当x ＝﹣1时， 原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．39．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣3|﹣12．（2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x ＝21． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣ ＝1+1+2×+﹣1﹣2 ＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1）＝x 2+6x +9+x 2﹣9﹣2x 2﹣2x＝4x ，当x ＝时，原式＝4×＝2．40．（2022•岳阳）已知a 2﹣2a +1＝0，求代数式a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1的值．【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【解答】解：a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1＝a 2﹣4a +a 2﹣1+1＝2a 2﹣4a＝2（a 2﹣2a ），∵a 2﹣2a +1＝0，∴a 2﹣2a ＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．41．（2022•苏州）已知3x 2﹣2x ﹣3＝0，求（x ﹣1）2+x （x +32）的值． 【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x 2﹣2x +1+x 2+x＝2x 2﹣x +1，∵3x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（x 2﹣x ）+1＝2×1+1＝3．42．（2022•荆门）已知x +x1＝3，求下列各式的值： （1）（x ﹣x 1）2； （2）x 4+41x． 【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）∵＝， ∴＝ ＝ ＝﹣4x • ＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2 ＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．43．（2022•无锡）计算：（1）|﹣21|×（﹣3）2﹣cos60°； （2）a （a +2）﹣（a +b ）（a ﹣b ）﹣b （b ﹣3）．【分析】（1（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝×3﹣＝﹣＝1；（2）原式＝a 2+2a ﹣（a 2﹣b 2）﹣b 2+3b＝a 2+2a ﹣a 2+b 2﹣b 2+3b＝2a +3b ．44．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．45．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．。