2015高考数学二轮复习热点题型专题十一 函数的图象

§1.2 函数的图象考点核心整合1.要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.2.函数图象的作法有两种:一种是描点法；另一种是图象的变换法.(1)描点法作图:一般要考虑定义域,化简解析式,描出能确定图象伸展方向的几个关键点. (2)利用图象变换法作图:①平移变换:y=f(x)y=f(x-h);y=f(x)y=f(x)+k.②对称变换:y=f(x)−−→−轴关于x y=-f(x), y=f(x)−−→−轴关于y y=f(-x)；y=f(x)−−−−→−=ax 关于直线y=f(2a-x)； y=f(x)−−−−→−=xy 关于直线y=f -1(x)； y=f(x)−−−→−关于原点y=-f(-x). ③翻折变换:y=f(x)y=f(|x|);y=f(x)y=|f(x)|.④伸缩变换:y=f(x)y=f(ax);y=f(x)y=af(x).考题名师诠释【例1】已知函数y=xf ′(x)的图象如右图所示〔其中f ′(x)是函数f(x)的导函数〕，下面四个图象中y=f(x)的图象大致是( )解析：由图象知当0<x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0,即f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，+∞)上为增函数，否定A、B、D.故选C.答案：C【例2】已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2，规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x).试讨论h(x)是否有最大值或最小值,并说明理由.解：画出y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,它们交于A、B两点.由“规定”，在A、B两侧,|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A、B之间,|f(x)|<g(x),故h(x)=-g(x).综上可知,y=h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值.【例3】设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论.解析：(1)由f(2-x)=f(2+x)得函数y=f(x)的对称轴为x=2,∴f(-1)=f(5).而f(5)≠0 f(1)≠f(-1)，即f(x)不是偶函数.又∵f(x)在［0，7］上只有f(1)=f(3)=0,∴f(0)≠0.从而知函数y=f(x)不是奇函数.故函数y=f(x)是非奇非偶函数. (2)⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-).14()(),4()().7()7(),2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f ⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10)，从而知函数y=f(x)的周期为T=10.又f(3)=f(1)=0,∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有2个根，从而可知函数y=f(x)在［0，2 000］上有400个根，在［2 000，2 005］上有2个根，在［-2 000，0］上有400个根，在［-2 005，-2 000］上没有根.所以函数y=f(x)在［-2 005,2 005］上有802个根.【例4】已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2+2x. (1)求g(x)的表达式；(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;(3)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在［-1,1］上是增函数，求实数λ的取值范围. 解：(1)设y=f(x)的图象上任意一点Q(x 0,y 0)关于原点的对称点为P(x,y),则⎩⎨⎧-=-=.,00y y x x∵Q(x 0,y 0)在y=f(x)的图象上， ∴-y=x 2-2x,即y=-x 2+2x. 故g(x)=-x 2+2x.(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得2x 2-|x-1|≤0.当x ≥1时，2x 2-x+1≤0，此不等式无解； 当x<1时，2x 2+x-1≤0，解得-1≤x ≤21. 因此原不等式的解集为［-1,21］. (3)h(x)=-(1+λ)x 2+2(1-λ)x+1.①当λ=-1时，h(x)=4x+1在［-1,1］上是增函数，∴λ=-1. ②当λ≠-1时，对称轴方程为x=λλ+-11. (ⅰ)当λ<-1时，λλ+-11≤-1,解得λ<-1； (ⅱ)当λ>-1时，λλ+-11≥-1,解得-1<λ≤0.综上,λ≤0.【例5】已知函数f(x)=x 3+3ax-1,g(x)=f ′(x)-ax-5，其中f ′(x)是f(x)的导函数. (1)对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g(x)<0，求实数x 的取值范围；(2)设a=-m 2，当实数m 在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点. 解：(1)由题意,g(x)=3x 2-ax+3a-5. 令φ(a)=(3-x)a+3x 2-5,-1≤a ≤1.对-1≤a ≤1，恒有g(x)<0，即有φ(a)<0. ∴⎩⎨⎧<-<,0)1(,0)1(ϕϕ即⎪⎩⎪⎨⎧<-+<--.083,02322x x x x解得-32<x<1. 故x ∈(-32,1)时，对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g(x)<0.(2)f ′(x)=3x 2-3m 2.①当m=0时，f ′(x)=x 3-1的图象与直线y=3只有一个公共点； ②当m ≠0时， x (-∞,-|m|)-|m| (-|m|,|m|)|m| (|m|,+∞)f ′(x) + 0 - 0 + f(x)↗极大↘极小↗极小 又因为f(x)的值域是R ，且在(|m|,+∞)上单调递增，所以当x>|m|时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点.当x<|m|时，恒有f(x)≤f(-|m|). 由题意得，f(-|m|)<3, 即2m 2|m|-1=2|m|3-1<3. 解得m ∈(-32,0)∪(0,32). 综上，m 的取值范围是(-32,32).。

高考专题《函数图像问题》考题归纳及详解一．选择题（共34小题）1．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A． B．C．D．2．函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．3．函数y=的图象大致是（）A． B．C．D．4．函数y=xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．5．函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（）A． B．C．D．6．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．7．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B． C．D．8．函数y=xln|x|的图象大致是（）A．B．C．D．9．f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C． D．10．函数的图象大致为（）A． B． C． D．11．函数f（x）=（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A． B．C．D．12．函数f（x）=（2x﹣2﹣x）cosx在区间[﹣5，5]上的图象大致为（）A． B．C．D．13．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．14．函数f（x）=的部分图象大致为（）A．B．C．D．15．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．16．函数y=x（x2﹣1）的大致图象是（）A．B． C． D．17．函数y=x﹣2sinx，x∈[﹣，]的大致图象是（）A．B．C．D．18．函数f（x）=的部分图象大致是（）A．． B．.C．.D．.19．函数y=﹣2x2+2|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．20．函数的图象大致是（）A．B．C．D．21．函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．22．函数的图象大致是（）A．B．C．D．23．函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．24．函数y=sinx（1+cos2x）在区间[﹣2，2]上的图象大致为（）A．B．C．D．25．函数f（x）=（x2﹣3）•ln|x|的大致图象为（）A． B． C． D．26．函数f（x）=﹣e﹣ln|x|+x的大致图象为（）A．B．C．D．27．函数y=1+x+的部分图象大致为（）A．B．C．D．28．函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．29．函数f（x）=x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．30．函数f（x）=e ln|x|+的大致图象为（）A．B．C．D．31．函数y=的一段大致图象是（）A． B．C．D．32．函数的图象大致是（）A．B．C．D．33．函数的大致图象是（）A．B．C．D．34．函数的图象大致为（）A．B．C．D．二．解答题（共6小题）35．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB 面积的最大值．36．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．37．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．38．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．39．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．40．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．函数图像问题高考试题精选参考答案与试题解析一．选择题（共34小题）1．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：因为f（0）=（02﹣2×0）e0=0，排除C；因为f'（x）=（x2﹣2）e x，解f'（x）＞0，所以或时f（x）单调递增，排除B，D．故选A．2．函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．故选：B．3．函数y=的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D4．函数y=xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．故选：C．5．函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2|x|，∴f（3）=9﹣8=1＞0，故排除C，D，∵f（0）=﹣1，f（）=﹣2=0.25﹣＜﹣1，故排除A，故选：B当x＞0时，f（x）=x2﹣2x，∴f′（x）=2x﹣2x ln2，故选：B6．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．7．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B． C．D．【解答】解：根据指数函数y=（）x可知a，b同号且不相等则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D选项C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C 不正确故选：A8．函数y=xln|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=xln|x|，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，D，当x→0时，f（x）→0，故排除B又f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0得：x＞，得出函数f（x）在（，+∞）上是增函数，故选：C．9．f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C． D．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x）∴函数f（x）为奇函数，排除A，∵x∈（0，1）时，x＞sinx，x2+x﹣2＜0，故f（x）＜0，故排除B；当x→+∞时，f（x）→0，故排除C；故选：D10．函数的图象大致为（）A． B． C． D．【解答】解：函数是非奇非偶函数，排除A、B，函数的零点是x=e﹣1，当x=e时，f（e）=，排除选项D．故选：C．11．函数f（x）=（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A． B．C．D．【解答】解：f（﹣x）====f（x），∴f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除B，D；又x→0时，e x+1→2，x（e x﹣1）→0，∴→+∞，排除C，故选A．12．函数f（x）=（2x﹣2﹣x）cosx在区间[﹣5，5]上的图象大致为（）A． B．C．D．【解答】解：当x∈[0，5]时，f（x）=（2x﹣2﹣x）cosx=0，可得函数的零点为：0，，，排除A，B，当x=π时，f（π）=﹣2π+2﹣π，＜0，对应点在x轴下方，排除选项C，故选：D．13．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f （x）单调递增，排除D，故选C．14．函数f（x）=的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）==﹣，当x=0时，可得f（0）=0，f（x）图象过原点，排除A．当﹣＜x＜0时；sin2x＜0，而|x+1|＞0，f（x）图象在上方，排除C．当x＜﹣1，x→﹣1时，sin（﹣2）＜0，|x+1|→0，那么f（x）→∞，当x=﹣时，sin2x=﹣，y=﹣=，对应点在第二象限，排除D，B满足题意．故选：B．15．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f （x）单调递增，排除D，故选C．16．函数y=x（x2﹣1）的大致图象是（）A．B． C． D．【解答】解：∵函数y=x（x2﹣1），令f（x）=x（x2﹣1），则f（﹣x）=﹣x（x2﹣1）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，又当0＜x＜1时，f（x）＜0，综上所述，函数y=x（x2﹣1）的大致图象是选项A．故选：A．17．函数y=x﹣2sinx，x∈[﹣，]的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）=﹣x+2sinx=﹣（x﹣2sinx）=﹣f（x），所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，只有CD适合，y′=1﹣2cosx，由y′=0解得x=，∴当x=时，函数取极值，故D适合，故选：D．18．函数f（x）=的部分图象大致是（）A．． B．.C．.D．.【解答】解：由x2+|x|﹣2=0，解得x=﹣1或x=1，∴函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞），∵f（﹣x）==﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴f（x）的图象关于原点对称，故排除A，令f（x）=0，解得x=0，故排除C，当x=时，f（）=＜0，故排除B，故选：D19．函数y=﹣2x2+2|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由y=﹣2x2+2|x|知函数为偶函数，即其图象关于y 轴对称，故可排除B，D．又当x=2时，y=﹣2•（﹣2）2+22=﹣4．所以，C是错误的，故选：A．20．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）=）=﹣，∴f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数，．∴其图象关于y轴对称，可排除A、C，；又当x→0时，cos（πx）→1，x2→0，∴f（x）→﹣∞．故可排除B；而D均满足以上分析．故选：D．21．函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）满足f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，排除D，x=1时，f（1）=＞0，对应点在第一象限，x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限；所以排除B，C；故选：A．22．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数满足f（﹣x）=﹣f（x），故函数图象关于原点对称，排除A、B，当x∈（0，）时，，故排除D，故选：C23．函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=的导数为，令y′=0，得x=，时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0．∴函数在（﹣），（）递减，在（）递增．且x=0时，y=0，故选：C24．函数y=sinx（1+cos2x）在区间[﹣2，2]上的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=sinx（1+cos2x），定义域为[﹣2，2]关于原点对称，且f（﹣x）=sin（﹣x）（1+cosx）=﹣sinx（1+cosx）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除D；由0＜x＜1时，y=sinx（1+cos2x）=2sinxcos2x＞0，排除C；又2sinxcos2x=0，可得x=±（0＜x≤2），则排除A，B正确．故选B．25．函数f（x）=（x2﹣3）•ln|x|的大致图象为（）A． B． C． D．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）•ln|x|是偶函数；排除选项A，D；当x→0时，f（x）→+∞，排除选项B，故选：C．26．函数f（x）=﹣e﹣ln|x|+x的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=﹣e﹣ln|x|+x是非奇非偶函数，排除A，D；当x＞0时，f（x）=﹣e﹣lnx+x=x﹣，函数是增函数，排除C；故选：B．27．函数y=1+x+的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，点x=π时，y=1+π，排除B．故选：D．28．函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=，可知函数是奇函数，排除选项B，当x=时，f（）==，排除A，x=π时，f（π）=0，排除D．故选：C．29．函数f（x）=x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=x•ln|x|是奇函数，排除选项A，C；当x=时，y=，对应点在x轴下方，排除B；故选：D．30．函数f（x）=e ln|x|+的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=e ln|x|+∴f（﹣x）=e ln|x|﹣f（﹣x）与f（x）即不恒等，也不恒反，故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，可排除A，D，当x→0+时，y→+∞，故排除B故选：C．31．函数y=的一段大致图象是（）A． B．C．D．【解答】解：f（﹣x）=﹣=﹣f（x），∴y=f（x）为奇函数，∴图象关于原点对称，∴当x=π时，y=﹣＜0，故选：A．32．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，函数在（﹣1，1）上单调递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，故选A．33．函数的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）===﹣f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故A，C错误；又当x＞1时，ln|x|=lnx＞0，∴f（x）＞0，故D错误，故选B．34．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，当x=时，f（）==故选：D二．解答题（共6小题）35．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB 面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．36．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．37．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．38．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a ﹣4=0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d==，φ满足tanφ=，且的d 的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17解得a=8≥﹣4，符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．39．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．40．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；又直线l2的参数方程为，（m为参数），同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，∴其普通方程为：x+y﹣=0，联立得：，∴ρ2=x2+y2=+=5．∴l3与C的交点M的极径为ρ=．。

考点12 函数的图象【命题解读】 关于函数图象的考查： （1）函数图象的辨识与变换。

（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力。

【基础知识回顾】 1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )―――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ). (4)翻折变换y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象. [常用结论与微点提醒] 1.记住几个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称.(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x ．而言，如果x 的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于．．．y ．而言的，利用“上减下加”进行.1、（2020届山东省泰安市高三上期末）函数()3ln xf x x=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A2、.(2020·深圳调研)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )【答案】 C【解析】 由函数f (x )的图象知a >1，－1<b <0. ∴g (x )＝a x ＋b 在R 上是增函数，且g (0)＝1＋b >0. 因此选项C 满足要求.3、已知函数f(x)＝log a x(0＜a ＜1)，则函数y ＝f(|x|＋1)的图象大致为( )A B C D【答案】A【解析】 先作出函数f(x)＝log a x(0＜a ＜1)的图象，当x>0时，y ＝f(|x|＋1)＝f(x ＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y ＝f(|x|＋1)为偶函数，∴再将函数y ＝f(x ＋1)(x>0)的图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x ＜0时的图象．故选A .4、定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数(0)ϕϕ>，使得函数()y f x =的图象向右平移ϕ个单位长度后，恰与函数()y g x =的图象重合，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”．下列四个选项中，函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”的是( ) A ．f 2()x x =，2()21g x x x =-+ B ．f ()sin x = x ，()cos g x = xC ．f ()x ln = x ，()g x ln =2x D ．f 1()()3x x =，1()2()3x g x =【答案】ABD【解析】由2()f x x =，2()(1)g x x =-知，()f x 向右移动一个单位可得到()g x ，故选项A 正确； 由3()sin ,()cos sin()2f x xg x x x π===-知，()f x 向右移动32π个单位可得到()g x ，故选项B 正确；由1(),()()22f x lnxg x ln x lnx ln ===-知，()f x 项下移动2ln 个单位可得到()g x ，故选项C 不正确； 由31321211()()11133()(),()2()()13331()23x xx log x x log f x g x -=====知，()f x 向右移动3log 2个单位可得到()g x ，故选项D 正确； 故选：ABD ．5、已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a ＞0.(1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0，1]时，由图象写出f (x )的最小值．【解析】(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥0，－x （x －a ），x ＜0，其图象如图所示． (2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.(3)由图象知，当a2＞1，即a ＞2时，f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0＜a2≤1，即0＜a ≤2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 24.综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24，0＜a ≤2，1－a ，a ＞2.考向一 作函数的图象例1、作出下列函数的图象： (1)(1)y ＝2－2x ；(2)y ＝log 13 [3(x ＋2)]； (3)y ＝|log 12(－x )|. 【解析】：(1)作函数y ＝2x 的图象关于x 轴对称的图象得到y ＝－2x 的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y ＝2－2x 的图象．如图1；(2)因为y ＝log 13[3(x ＋2)]＝－log 3[3(x ＋2)]＝－log 3(x ＋2)－1.所以可以先将函数y ＝log 3x 的图象向左平移2个单位，可得y ＝log 3(x ＋2)的图象，再作图象关于x 轴对称的图象，得y ＝－log 3(x ＋2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得y ＝－log 3(x ＋2)－1的图象， 即为y ＝log 13[3(x ＋2)]的图象．如图2；(3)作y ＝log 12x 的图象关于y 轴对称的图象，得y ＝log 12(－x )的图象，再把x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，可得到y ＝|log 12(－x )|的图象．如图3.变式1、分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1; (4)y ＝x ＋2x －1．【解析】(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x x ≥1，－lg x 0<x <1图象如图①．(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 x ≥0x 2＋2x －1x <0．图象如图③．(4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝x ＋2x －1的图象，如图④．变式2、作出下列函数的图象：(1)y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1； (4)y ＝x 2－2|x|－1. 【解析】(1)作出y ＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象，保留y ＝的图象中x ≥0的部分，加上y ＝的图象中x>0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝的图象，如图①实线部分．①②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图③.(4)∵y ＝22x 21,021,0x x x x x ⎧--⎪⎨+-⎪⎩≥，＜，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图④.③ ④方法总结：1.作函数图象的一般步骤为： (1)确定函数的定义域． (2)化简函数解析式．12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x⎛⎫ ⎪⎝⎭12x⎛⎫⎪⎝⎭(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)． (4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．2．采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象．考向二 图象的辨识例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数ln ()xf x x x=-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，||||()()()ln x ln x f x x x f x x x--=--=--=--，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ， 当0x >且0x →，()f x →+∞，排除C . 故选：A.变式1、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）函数(ln cos 2y x x =⋅的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由于0x ，所以()f x 的定义域为R ，因为()ln(cos(2)f x x x -=-+⋅-)cos 2x x =⋅1)cos2x x -=⋅)cos2x x =-⋅ ()f x =-所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A ，B因为ln cos 0222f πππ⎛⎛⎫ =+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝，()ln(cos ln(1f ππππ=+⋅=-<-，333ln cos 0222f πππ⎛⎛⎫ =+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝ 所以排除C 故选：D变式2、（2020·浙江学军中学高三3月月考）函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】 由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 变式3、（2020届山东省九校高三上学期联考）若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可以为（ ）A ．()22x xxf x -=+B ．()22x xxf x -=-C ．()22x xf x x-+=D ．()22x xf x x--=【答案】C 【解析】对四个选项解析式分析发现B ，D 两个均为偶函数，图象关于y 轴对称，与题不符，故排除；极限思想分析，0,222,022x xx xxx +--→+→→+，A 错误； 220,222,x xxxx x-+-+→+→→+∞，C 符合题意.故选：C变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D. 满足条件的只有A. 故选：A方法总结：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项考向三 函数图象的应用例3、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4- 【答案】A【解析】令()2g x x m =-+,画出()f x 与()g x 的图象,平移直线,当直线经过()1,2时只有一个交点,此时4m =,向右平移,不再符合条件,故4m <故选：A变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log b b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】C【解析】 在同一直角坐标系内，作出函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log y x =，3x y =，13log y x =的图象如下： 因为31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log b b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以a 是13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =交点的横坐标；b 是3x y =与13log y x =交点的横坐标；c 是13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与13log y x =交点的横坐标；由图象可得：b c a <<.故选：C.变式2、函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________.【答案】2【解析】f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f (x )的零点个数为2.变式3、已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0．(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．【解析】 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4．(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －4＝x －22－4，x ≥4，－x x －4＝－x －22＋4，x <4.f (x )的图象如图所示：(3)f (x )的减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．方法总结： 函数的图象在解题中有着十分广泛的应用，常见的有：研究函数的性质，解不等式，求函数的零点等．(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应法则．(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标；不等式f (x )<g (x )的解集是函数f (x )的图象位于g (x )图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想．1、（2020天津3）函数241x y x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【思路导引】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象．【解析】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误． 故选A ． 2、（2019全国Ⅲ理7）函数在的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】 因为，所以是上的奇函数，因此排除C ，又，因此排除A ，D ．故选B ． 3、(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x xe ef x x的图象大致为【答案】B3222x x x y -=+[]6,6-332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++()f x []6,6-1182(4)721f =>+【解析】当0<x 时，因为0--<x xe e ，所以此时2()0--=<x xe ef x x ，故排除A ．D ；又1(1)2=->f e e ，故排除C ，选B ．4、(2018全国卷Ⅰ)设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【答案】D【解析】当0x ≤时，函数()2x f x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D ．5、(2015安徽)函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【答案】C 【解析】∵2()()ax b f x x c +=+的图象与,x y 轴分别交于,N M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴0b x a =->，20b y c=>，故0,0a b <>，又函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c ．6、已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则下列结论正确的是( )A ．121x x +=-B ．341x x =C ．412x <<D ．123401x x x x <<【答案】BCD【解析】由函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩，作出其函数图象：由图可知，122x x +=-，121x -<<-；当1y =时，2|log |1x =，有1,22x =； 所以341122x x <<<<； 由34()()f x f x =有2324|log ||log |x x =，即2324log log 0x x +=； 所以341x x =；则2123412111(2)(1)1(0,1)x x x x x x x x x ==--=-++∈； 故选：BCD ．。

§2.7 函数的图象1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ⑥y ＝f (x )――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(3)伸缩变换②y ＝f (x )――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同． ( × ) (2)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图象相同． ( × ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( × )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( √ )(5)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( × ) (6)不论a (a >0且a ≠1)取何值，函数y ＝log a 2|x －1|的图象恒过定点(2,0)． ( × ) 2．(2013·山东)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B.取x ＝π2，排除C ；取x ＝π，排除A ，故选D.3．(2013·北京)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )等于( )A ．e x ＋1B ．e x －1 C ．e－x ＋1D ．e－x －1答案 D解析 与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.4．已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案 C解析 y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ≥0f (x )，x <0.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m的图象与直线y ＝x 恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)答案 B解析 方法一 特值法，令m ＝2，排除C 、D ，令m ＝0，排除A ，故选B. 方法二 令x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－1或x ＝－2， 所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m <2.故选B.题型一 作函数的图象例1 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1;(4)y ＝x ＋2x －1.思维启迪 根据一些常见函数的图象，通过平移、对称等变换可以作出函数图象．解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x ≥1)，－lg x (0<x <1)图象如图①.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2＋2x －1 (x <0).图象如图③.(4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图④.思维升华 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋mx(m >0)的函数是图象变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程．作出下列函数的图象．(1)y ＝sin |x |；(2)y ＝x ＋2x ＋3.解 (1)当x ≥0时，y ＝sin |x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin |x |为偶函数，其图象关于y 轴对称，其图象如图．(2)y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1x 向左平移3个单位再向上平移1个单位得到，如下图所示．题型二 识图与辨图例2 (1)(2013·四川)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )(2)已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，(－1≤x ≤0)x ，(0<x ≤1)，则下列函数的图象错误的是( )思维启迪 (1)根据函数的定义域，特殊点和函数值的符号判断； (2)正确把握图象变换的特征，结合f (x )的图象辨识． 答案 (1)C (2)D解析 (1)由3x－1≠0得x ≠0，∴函数y ＝x 33x －1的定义域为{x |x ≠0}，可排除选项A ；当x＝－1时，y ＝(－1)313－1＝32>0，可排除选项B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝6480，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.(2)先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，再将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度即可得到y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确； y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D 不正确． 综上所述，选D.思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(1)已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )(2)把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是( )A ．y ＝(x －3)2＋3B ．y ＝(x －3)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋3D ．y ＝(x －1)2＋1答案 (1)B (2)C解析 (1)方法一 (函数性质法) 函数f (x )满足x ＋1>0，ln(x ＋1)－x ≠0，即x >－1且lg(x ＋1)－x ≠0，设g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1.由于x ＋1>0，显然当－1<x <0时，g ′(x )>0，当x >0时，g ′(x )<0，故函数g (x )在x ＝0处取得极大值，也是最大值， 故g (x )≤g (0)＝0，当且仅当x ＝0时，g (x )＝0， 故函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，且函数g (x )在(－1,0)∪(0，＋∞)上的值域为(－∞，0)，故函数f (x )的值域也是(－∞，0)，且在x ＝0附近函数值无限小， 观察各个选项中的函数图象，只有选项B 中的图象符合要求． 方法二 (特殊值检验法)当x ＝0时，函数无意义，排除选项D 中的图象， 当x ＝1e －1时，f (1e －1)＝1ln (1e －1＋1)－(1e －1)＝－e<0，排除选项A 、C 中的图象，故只能是选项B 中的图象．(注：这里选取特殊值x ＝(1e －1)∈(－1,0)，这个值可以直接排除选项A 、C ，这种取特值的技巧在解题中很有用处)(2)把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1， 于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2， 再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1 ＝(x －1)2＋3.题型三 函数图象的应用例3 (1)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22)B ．(22，1)C ．(1，2)D ．(2，2)(2)(2013·湖南)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0思维启迪 (1)可以通过函数y ＝4x 和y ＝log a x 图象的位置、特征确定a 的范围； (2)画两函数图象、观察即可． 答案 (1)B (2)B解析 (1)方法一 ∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1. 令f (x )＝4x ，g (x )＝log a x ，当x ＝12时，f (12)＝2.(如图)而g (12)＝log a 12＝2，∴a ＝22.又∵g (x )＝log a x ，x 0∈(0,1)，a 1，a 2∈(0,1)且a 1<a 2时，log a 2x 0>log a 1x 0，∴要使当0<x ≤12时，4x <log a x 成立，需22<a <1.故选B. 方法二 ∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1，排除答案C ，D ； 取a ＝12，x ＝12，则有421＝2，log 2112＝1，显然4x <log a x 不成立，排除答案A ；故选B.(2)画出两个函数f (x )，g (x )的图象，由图知f (x )，g (x )的图象的交点个数为2.思维升华 (1)根据函数图象，可以比较函数值大小，确定参数范围； (2)利用函数图象，可以解决一些形如f (x )＝g (x )方程的解或函数零点问题．(1)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个(2)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．答案 (1)A (2)1<a <54解析 (1)观察图象可知，共有10个交点．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x <0，作出图象，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14<1<a ，∴1<a <54.高考中的函数图象及应用问题一、已知函数解析式确定函数图象典例：(5分)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数的图象大致是( )思维启迪 根据函数的定义域、值域、单调性和特征点确定函数图象． 解析 由函数y ＝f (x )的图象知，当x ∈(0,2)时，f (x )≥1， 所以log 21 f (x )≤0.又函数f (x )在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y ＝log 21f (x )在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各选项知，选C. 答案 C温馨提醒 (1)确定函数的图象，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想． (2)对于给出图象的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除．二、函数图象的变换问题典例：(5分)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为 ( )思维启迪 从y ＝f (x )的图象可先得到y ＝－f (x )的图象，再得y ＝－f (x ＋1)的图象． 解析 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确． 答案 C温馨提醒 (1)对图象的变换问题，从f (x )到f (ax ＋b )，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别． (2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定． 三、图象应用典例：(5分)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．思维启迪 先作函数y ＝|x 2－1|x －1的图象，然后利用函数y ＝kx －2图象过(0，－2)以及与y＝|x 2－1|x －1图象两个交点确定k 的范围． 解析 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x >1或x <－1)，－x －1(－1≤x <1).在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知， 当0<k <1或1<k <4时有两个交点． 答案 (0,1)∪(1,4)温馨提醒 (1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质．(2)利用函数图象也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图.方法与技巧(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y ＝1－x 2的图象． 2．合理处理识图题与用图题 (1)识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系． (2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况． 失误与防范(1)解题时要注意运用“以形助数”或“以数辅形”；(2)要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别.A 组 专项基础训练一、选择题1．函数y ＝ln(1－x )的大致图象为( )答案 C解析 将函数y ＝ln x 的图象关于y 轴对折，得到y ＝ln(－x )的图象，再向右平移1个单位即得y ＝ln(1－x )的图象．故选C.2．函数y ＝5x 与函数y ＝－15x 的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析 y ＝－15x ＝－5－x ，可将函数y ＝5x 中的x ，y 分别换成－x ，－y 得到，故两者图象关于原点对称．3．若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是( )答案 B解析 ∵log a 2<0，∴0<a <1，由f (x )＝log a (x ＋1)单调性可知A 、D 错误，再由定义域知B 选项正确．4．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C 解析 y ＝lgx ＋310＝lg(x ＋3)－1， 将y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)的图象， 再向下平移1个单位长度，得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象． 5．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是 ( )A ．(－1,0)B ．[－1,0)C ．(－2,0)D ．[－2,0)答案 A解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)，故选A.二、填空题6．已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．答案 g (x )＝3x －2解析 设g (x )上的任意一点A (x ，y )，则该点关于直线x ＝1的对称点B 为B (2－x ，y )，而该点在f (x )的图象上．∴y ＝(13)2－x ＝3x －2，即g (x )＝3x －2.7．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________________________________________________________________________． 答案 6解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝6.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)． 三、解答题9．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4.f (x )的图象如图所示： (3)f (x )的减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取 值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．10．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解 (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x2.∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故a的取值范围是[3，＋∞)．B 组 专项能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是 ( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0答案 D解析 函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数． 又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0. 2．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．8答案 D解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt .在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称． 因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0. 也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0，因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8.3.若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m 的图象如图，则m 的取值范围是________．答案 1<m <2解析 ∵函数的定义域为R ，∴x 2＋m 恒不等于零， ∴m >0.由图象知，当x >0时，f (x )>0，∴2－m >0⇒m <2.又∵在(0，＋∞)上函数f (x )在x ＝x 0(x 0>1)处取得最大值，而f (x )＝2－mx ＋m x ，∴x 0＝m >1⇒m >1.综上，1<m <2.4．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称； (2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1， 求x ∈[－4,0]时f (x )的表达式．(1)证明 设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图象上任一点，则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)． 因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)] ＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0， 所以P ′也在y ＝f (x )的图象上，所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称． (2)解 当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 所以f (－x )＝－2x －1.又因为f (x )为偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]． 当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]， 所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7， 而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].5．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1， x ∈(1，3)作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)； 函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0<m <1，∴M ＝{m |0<m <1}．。