计量第二章 答案
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第二章 线性回归模型的基本思想与最小二乘法
2.1 总体回归函数（PRF ）与样本回归函数（SRF ）有何区别？
答：总体回归函数和样本回归函数的区别是：总体回归函数准确地描述了某种状态下或某个范围内变量之间客观存在的关系，但一般是未知的，而样本回归函数是对总体回归函数的近似，是利用样本数据计算得到的。
2.2 拟合优度的含义是什么？
答：拟合优度是回归直线对观测值的拟合程度，它的直观含义是因变量的变动能被自变量解释的比例。
其定义是,2
1ESS RSS
R
TSS TSS
=
=-。
2R 的值越接近1，说明回归直线对观测
值的拟合程度越好，反之，2R 的值越接近0，说明回归直线对观测值的拟合程度越差。
2.3 误差与残差有何区别？
答：残差指真实值与由样本回归函数所得的估计值的差，而误差是真实值与由总体回归函数所得的估计值的差。
2.4 以下是某城市10个市场苹果需求（Y ）和价格（X ）的数据：
Y 99 91 70 79 60 55 70 101 81 67 X 22 24 23 26 27 24 25 23
22 26
（1）计算
22, , y x xy ∑∑∑。
（2）假设12Y
X u ββ=++，计算系数的OLS 估计量12
ˆˆ,ββ。
（3）做出散点图和样本回归线（利用统计软件）。
（4）估计苹果在本均值点(,)X Y 的需求弹性（Y X Y X
Y X X Y
∆∆∆÷=⋅∆）。
答：（1）
(2224232627242523+22+26)1024.2
X =+++++++=(999170796055701018167)/1077.3Y =+++++++++=
2
2
i
y ()
470.89+187.69+53.29+2.89+299.29
+497.29+53.29+561.69+13. 69+106.09=2246.1
Y Y =-=∑∑
2
2() 4.84+0.04+1.44+3.24+7.84+0.04+0.64+1.44+4.84+3.24=27.6i x X X =-=∑∑
()()47.74+2.74+8.76+3.06+48.44+4.46+5.84+28.44+8.14+18.54=176.16
i
i
xy X X Y Y =--=∑∑这个数值有误，答案是 -143.6
（2）2
2
176.16ˆ==6.3827.6i i i
x y x β=
∑∑ 有误，答案为 -5.203
12
ˆˆ=77.3 6.3824.2=77.096Y X ββ=--- 有误，答案为203.21
（3）散点图和样本回归线如下图所示：
5060
70
80
90
100
110
21
22
23
24
25
26
27
28
X Y
（4）
224.2
6.38 1.9977
7.3
Y X Y X
X Y X X Y Y β∆∆∆÷=⋅=-⨯=-⨯=-∆
答案应为-1.628
也就是说当价格变动1时，需求将反向变动1.997。
2.5 DATA1-1给出了中国2011年各省市GDP （Y ）和投资（X ）的数据。
利用统计软件（Eviews 或Stata ）回答以下问题： （1）做散点图，观察投资对GDP 的影响。
（2）估计回归方程12i
i i Y X u ββ=++。
（3）你如何解释斜率系数的含义？ 答：（1）散点图如下：
010,000
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
10,000
20,000
30,000
X
Y
（2）以下是用eviews6.0输出的结果，可知：
1.832478490.2798i i Y X =-，即为所要求的估计回归方程。
（3）斜率系数是指当投资变动1单位时，GDP 将变动1.832478单位。
另外，
1.8324780>，这表明投资对GDP 有正相关关系。
而1.8324781>，表明投资的小幅度变动，将引起GDP 更大幅度的变动，也就是说投资变动将引起较大的GDP 变动。
2.6 DATA2-2给出了美国1996-2006年GDP （X ）与城市失业率（Y ）的数据。
利用统计软件回答以下问题：
（1）估计Y 的变动（失业率增量：百分数）对X 的变化率（经济增长率：百分数）的回归方程。
（2）提取自变量的系数，你有什么发现？
提示：研究奥肯定律。
奥肯定律是指：经济增长超过潜在的经济增长水平的增量每提升一定幅度时，失业率将下降一个百分点。
答：（1）根据eviews6.0输出结果得到估计方程为： 1.2330.373duem dgdp =- （2）由（1）中所求的方程可以知道斜率0.3730-<,可知当GDP 变动1个百分点时，失业率将反向变动0.0373个百分点。
这很符合奥肯定律。
2.7 假设一元回归方程中的截距项为零，即2 (1,2,,)i
i i Y X u i n β=+= ，利用最小
二乘法的思想计算斜率系数2β的估计量2
ˆβ。
计算2ˆvar()β及其估计量。
答：2ˆˆˆi i i i i u
Y Y Y X β=-=-，残差平方和222ˆˆRSS=()i i i
u Y X β=-∑∑，两边对2
ˆβ求导数，并令其为零: 2ˆ2()()0i i i Y X X β--=∑，求得22
ˆi i i
X Y X β=∑∑
从而2222222222222
var()var()ˆvar()()()()i i i i i i i i i
X Y X u X X X X X σσβ====∑∑∑∑∑∑∑ 2.8* 证明：因变量Y 对自变量X 回归的拟合优度R 等于X 和Y 的（样本）相关系数的平方，即2
2
XY R r =，其中XY r 是X 和Y 的（样本）相关系数。
答：证明：
22
cov(,)
i i xy x y
i i x y X Y r x y
σσ=
=
∑∑∑
2222
2221
2
2
2
22ˆ()()ˆ()
i i
i i i xy i
i
i
i
i
Y
Y y x x y RSS R r TSS
Y Y y
y
x y
β-==
=
==
=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑
2.9* 采用正文中的记号，试证明：
ˆˆˆˆˆ0, 0, 0, i i i i i
u u x u Y Y Y ====∑∑∑ 解： 12ˆˆˆˆi i i i i
u Y Y Y X ββ=-=--。
由正规方程：
1
2
ˆˆ)0i
i
i
Y X X
ββ--=∑(，12ˆˆ()(1)0i i
Y X ββ---=∑ 所以，ˆ0i u
=∑，ˆ0i i u X =∑ ˆˆˆˆ ()0i i i i i i i u
x X X u X u u X
=-=-=∑∑∑∑
121212ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()0i i i i i i i i i i
u Y X u u X u u X u ββββββ=+=+=+=∑∑∑∑∑∑ 1212
ˆˆˆˆˆY X X Y ββββ=+=+=。
