优胜教育小学数学讲义因数、公因数和最大公因数 - 题目

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。

（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。

求几个数的最大公因数的方法答案知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1．数A、3×3×5，数B=2×2×3×5，数C=2×3×3×5，A、B、C三个数的最大公约数是15，最小公倍数是180．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．专题：压轴题；数的整除．分析：求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；对于三个数：三个数公有质因数的乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．解答：解：数A=3×3×5，数B=2×2×3×5，数C=2×3×3×5，所以A、B、C三个数的最大公约数是：3×5=15，最小公倍数是：3×5×2×3×2=180；故答案为：15，180．点评：此题主要考查求三个数的最大公约数与最小公倍数的方法：三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．例2．张集小学学前班买来一筐橙子，分给5个人最后余2个，分给7人最后余2个，分给9人也余2个，学前班最少买来多少个橙子？考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：约数倍数应用题．分析：根据分给5个人余2个，分给7人余2个，分给9人也余2个，可知这筐橙子的总个数减去2就是5、7和9的公倍数，要求至少也就是用5、7和9的最小公倍数加上2即可．解答：解：因为5、7和9三个数两两互质，所以它们的最小公倍数是它们的乘积，即5×7×9=315，所以这筐橙子至少有：315+2=317（个）；答：学前班最少买来317个橙子．点评：解答本题关键是理解：这筐橙子的总个数减去2就是5、7和9的公倍数，求至少有的个数，就用它们的最小公倍数加上2即可．例3．一次数学竞赛，结果学生中获得一等奖，获得二等奖，获得三等奖，其余获纪念奖．已知参加这次竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：即求在50以内的7、3和2的公倍数，先求出这三个数的最小公倍数，因为这三个数两两互质，这三个数的最小公倍数即这三个数的乘积，然后根据题意，进行选择，判断出参加这次竞赛的学生的人数；然后把参加这次竞赛的学生的人数看作单位“1”，获纪念奖的人数占参加竞赛人数的（1﹣﹣﹣），继而根据一个数乘分数的意义，用乘法解答即可．解答：解：2、3和7的最小公倍数是2×3×7=42，因为在50以内的7、3和2的公倍数只有1个42，所以参加这次竞赛的学生有42个，纪念奖有：42×（1﹣﹣﹣），=42×，=1（人）；答：获纪念奖的有1人．点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的方法，当三个数两两互质时，其最小公倍数就是这三个数的乘积．例4．求下列每组数的最大公因数和最小公倍数．9和11 28和7 10和25最大公因数：1最大公因数：7最大公因数：5最小公倍数：99最小公倍数：28最小公倍数：50．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．解答：解：①因为9和11是互质数最大公因数是：1最小公倍数是：11×9=99②28是7的倍数最大公因数是：7最小公倍数是：28③10=2×5，25=5×5最大公因数是：5最小公倍数是：5×5×2=50故答案为：1，99；7，28；5，50．点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．例5．求出下面每组数的最小公倍数，再另外写出它们的两个公倍数．（1）14和35的最小公倍数是：70，公倍数有：140，210（2）15和60最小公倍数是：60，公倍数有：120，180．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数．据此解答．解答：解：（1）14=2×735=5×714和35的最小公倍数是：2×5×7=70，公倍数有：140，210．（2）60÷15=4，它们是倍数关系，最小公倍数是60，公倍数有：120，180．故答案为：70，140，210；60，120，180．点评：此题考查的目的是理解公倍数、最小公倍数的意义，掌握求两个数的公倍数、最小公倍数的方法．演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共12小题）1．（2012•成都）两个数的最大公约数是15，最小公倍数是180，已知其中一个数是60，另一个数是（）A．3B．4C．45 D．900考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：另一个数是最小公倍数×最大公约数÷已知其中一个数，即可得解．解答：解：15×180÷60=45答：两个数的最大公约数是15，最小公倍数是180，已知其中一个数是60，另一个数是45．故选：C．点评：最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，此题主要考查了已知两个数的最大公约数和最小公倍数求这两个数的方法．2．（2012•盂县）a÷b=5（a和b都是不为0的自然数），a和b的最大公约数是（）A．a B．b C．5考点：求几个数的最大公因数的方法．专题：压轴题．分析：这道题属于求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；由此解答问题即可．解答：解：由a÷b=5（a和b都是不为0的自然数），可知数a是数b的倍数，所以a和b的最大公约数是b；故选B．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数．3．（2012•同心县模拟）a÷b=5（a和b都是不为0的自然数），a和b的最大公因数是（）A．a B．b C．5考点：求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：因为a和b都是不为0的自然数，且a÷b=5，则a和b成倍数关系，当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公因数；据此判断即可．解答：解：因为a和b都是不为0的自然数，且a÷b=5，则a和b成倍数关系，所以a和b的最大公因数是b；故选：B．点评：此题主要考查了求两个数的最大公因数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数．4．（2013•泉州）假如A=B+1（A、B是大于2的自然数），那么A、B的最小公倍数是它们最大公因数的（）倍．A．A B．B C．A B D．无法确定考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：因为A=B+1（A、B是大于2的自然数），则判断出A、B是相邻的自然数，相邻的自然数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，故此判断．解答：解：由题意得：A、B是互质数，所以它们的最大公因数是1，最小公倍数是AB，AB÷1=AB倍；故选：C．点评：本题考查两个数为互质数时的最大公因数和最小公倍数的问题．5．（2013•广州模拟）a与b是互质数，它们的最小公倍数是最大公约数的m倍，则m是（）A．a b B．a C．b D．1考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．分析：根据题意，可知互质的两个数的最大公约数的1，最小公倍数是它们的乘积，用最小公倍数除以最大公约数即用它们的乘积除以1就等于它们的乘积，所以m等于ab．解答：解：a与b互质，那么a与b的最大公约数是1，最小公倍数的ab，最小公倍数÷最大公约数=ab÷1=ab，所以m=ab．故选：A．点评：此题主要考查的是互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积．6．（2012•恩施州）18和24最小公倍数与最大公因数的差是（）A．54 B．66 C．68 D．82考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：利用求几个数的最大公因数的和最小公倍数的方法是：这几个数的公有的质因数的乘积就是这几个数的最大公因数；这几个数的公有的因数和它们独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；再用最小公倍数减最大公因数即可．解答：解：18=2×3×3，24=2×2×2×3，所以最小公倍数是：：2×2×2×3×3=72，18和24的最大公约数是2×3=6；72﹣6=66；故选：B．点评：此题主要考查了求最大公约数和最小公倍数的方法．7．（2012•陕西模拟）李伟家客厅长6米，宽4.8米，计划在地面上铺方砖，请你帮忙选择其中一种方砖，使地面都是整块方砖．你的选择是（）A．边长是50厘米B．边长60厘米C．边长100厘米考点：求几个数的最大公因数的方法．专题：约数倍数应用题．分析：据题意可知，要想得到整数块砖，应在所给数据中找出地板长和宽的公因数，就能得到正确答案．解答：解：6米=600厘米，4.8米=480厘米，600=2×2×2×3×5×5；480=2×2×2×2×2×3×5；故选项中只有60是600、480的因数，所以应选边长为60厘米的方砖．故选：B．点评：此题主要考查几个数的公因数，再依据题目中的条件，即可求得正确结果；注意要将6米，4.8米进行适当的单位换算．8．（2012•定州市模拟）A=2×2×5．B=2×3×5．它们的最大公因数是（）A．2B．10 C．60考点：求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：根据最大公约数的意义可知：最大公约数是两个数的公有的质因数的乘积，据此解答后再进行选择．解答：解：A=2×2×5．B=2×3×5，因为A和B公有的质因数是：2和5，所以A和B的最大公因数是：2×5=10；故选：B．点评：本题主要考查求两个数的最大公因数的方法，注意找准公有的质因数，进而把公有的质因数相乘即可．9．（2012•新田县模拟）16和48的最大公因数是（）A．4B．6C．16考点：求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：求两数的最大公约数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最大公约数是1；两个数为倍数关系，则最大公约数为较小的数；两个数有公约数的，最大公约数是两个数公有质因数的连乘积；此题16和48是倍数关系，所以16和48的最大公因数是较小的数16．解答：解：16和48是倍数关系，所以16和48的最大公因数是较小的数16．故选：C．点评：解答此题的关键是会根据两个数的分解质因数情况求最大公因数，也可以根据两个数的关系，直接确定它们的最大公因数．10．（2013•华亭县模拟）最大公约数是1的两个数是（）A．质数B．互质数C．质因数D．素数考点：求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，所以最大公约数是1的两个数是互质数，由此得出判断．解答：解：公因数只有1的两个数叫做互质数，所以最大公约数是1的两个数是互质数，故选：B．点评：此题考查的目的是理解和掌握互质数的概念，据此解决有关的问题．11．（2013•六合区模拟）对8和10两个数进行下面的说明，错误的是（）A．两个数的最大公因数是2 B．两个数的公倍数只有40C．8和10都是合数考点：求几个数的最大公因数的方法；公倍数和最小公倍数；合数与质数．专题：数的整除．分析：A、利用求最大公因数的方法求出8和10的最大公因数；B，因为8和10的公倍数有无数个，所以此题的说法是错误的；C、根据合数的意义：一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；所以8和10都是合数．解答：解：A、8=2×2×2，10=2×5，所以8和10的最大公因数是2，B、因为8和10的公倍数有无数个，所以此题的说法是错误的；C、8和10都是合数；故选：B．点评：本题主要考查了最大公因数的求法及公倍数与合数的意义．12．（2013•吉州区模拟）自然数a除以自然数b，商是10，那么a和b的最大公约数是（）A．a B．b C．10考点：求几个数的最大公因数的方法．分析：由自然数a除以自然数b，商是10，可知a和b是倍数关系，b是较小数，根据倍数关系的两个数的最大公约数是较小数，据此解答然后选择．解答：解：自然数a除以自然数b，商是10，那么a和b的最大公约数是：b；故选：B．点评：解答本题关键是理解：自然数a除以自然数b，商是10，可知a和b是倍数关系．二．填空题（共12小题）13．（2009•秀屿区）12和36的最大公因数是12，最小公倍数是36．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．分析：由于12和36为倍数关系，则最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数．解答：解：因为36÷12=3，所以12和36的最大公因数是12，最小公倍数是36．故答案为：12，36．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数．14．（2013•江阳区）30和45的最大公因数是15．考点：求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，即可得解．解答：解：30=2×3×545=3×3×5所以30和45的最大公因数是5×3=15故答案为：15．点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．15．（2013•福田区模拟）甲数=2×3×3，乙数=5×3×2，甲乙两数的最大公约数是6，它们的最小公倍数是90．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．分析：求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．解答：解：甲数=2×3×3，乙数=5×3×2，甲乙两数的最大公约数是2×3=6，它们的最小公倍数是2×3×3×5=90；故答案为：6，90．点评：考查了求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．16．（2013•武进区模拟）a是一个大于0的自然数，与a+1的最大公因数是1，最小公倍数是a2+a．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：两个连续不为0的自然数是互质数，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积．解答：解：由题意可知：a和a+1是连续不为0的自然数，所以它们是互质数，则最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，即为：a×（a+1）=a2+a，故答案为：1，a2+a．点评：本题考查互质数的有关知识，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积．17．（2014•贺兰县模拟）A=2×2×3，B=3×5，A和B的最大公因数是3，最小公倍数是60．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．解答：解：因为：A=2×2×3，B=3×5，所以最大公因数是3，最小公倍数是：2×2×3×5=60．故答案为：3，60．点评：本题考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．18．（2014•尤溪县模拟）9和15这两个数既是奇数又是合数，它们的最大公因数是3，最小公倍数是45．考点：求几个数的最大公因数的方法；奇数与偶数的初步认识；求几个数的最小公倍数的方法；合数与质数．专题：数的整除．分析：求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．解答：解：9=3×3，15=3×5，所以9和15的最大公因数是3，最小公倍数是：3×3×5=45．故答案为：3，45．点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．19．（2014•湖南模拟）如果：A=2×2×5，B=2×3×5，那么A、B的最小公倍数是它们的最大公约数的6倍．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．解答：解：因为：A=2×2×5，B=2×3×5，所以A和B的最大公因数是：2×5=10，最小公倍数是：2×2×3×5=60，60÷10=6，故答案为：6．点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．20．（2014•湖南模拟）24和40的最大公因数是8，最小公倍数是120．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．解答：解：因为：24=2×2×2×3，40=2×2×2×5，所以24和40的最大公因数是：2×2×2=8，它们的最小公倍数是：2×2×2×3×5=120，．故答案为：8，120．点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．21．（2009•兰州）已知A=2×2×5，B=2×3×5，那么A和B两个数的最大公约数是10，最小公倍数是60．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．分析：求最大公约数也就是几个数的公有质因数的连乘积，对于这两个数来说：两个数的公有质因数连乘积就是它们的最大公约数，两个数的公有质因数和它们独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，由此解决问题即可．解答：解：A=2×2×5，B=2×3×5，所以A和B的最大公约数为2×5=10；A和B的最小公倍数为2×2×3×5=60；故答案为：10，60．点评：此题主要考查求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法：几个数的公有质因数连乘积是这几个数的最大公约数，两个数的公有质因数和它们独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数．22．（2012•中山模拟）120与60的最大公约数是60，最小公倍数是120．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．分析：由题意可知，所求的数与60是倍数关系，则它等于与60的最小公倍数．解答：解：因为该数与60的最大公约数是60，则该数与60是倍数关系，又因为该数与60的最小公倍数是120，所以该数为120．故答案为：120．点评：考查了已知两个数的最大公约数和最小公倍数，求一个数．如果两个数的最大公约数等于其中一个数，则这两个数互为倍数关系．23．（2014•荔波县模拟）如果A是B的，A和B的最小公倍数是B，它们的最大公因数是A．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数，由题目条件可以得知：A是B的，也就是B是A的5倍，由此可以解决．解答：解：因为A和B是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数A，最小公倍数是较大的那个数B，故答案为B；A．点评：此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数．24．（2014•田林县模拟）如果a÷b=（a、b都是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是a．考点：求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：a和b都是自然数，且不为0．a÷b=，即5a=b，说明b是a倍数，当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，所以a和b的最大公因数是a．解答：解：a和b都是自然数，且不为0，a÷b=，那么a和b的最大公因数是a．故答案为：a．点评：此题解答关键是明确：当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数．三．解答题（共4小题）25．已知甲数=3×5×A，乙数=2×3×A；若甲、乙两数的最大公因数是15，求A并求出此时乙数的所有因数？考点：求几个数的最大公因数的方法；找一个数的因数的方法．专题：数的整除．分析：甲、乙两数的最大公因数是15，找出两个数共同的因数，解题即可．解答：解：甲、乙两数的最大公因数是15．甲数=3×5×A，乙数=2×3×A所以A=5乙=2×3×5=3030=1×30=2×15=3×10=5×6所以30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30．答：A是5；乙的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30．点评：注意找准两个数公有的质因数和独自含有的质因数是解题的关键．26．甲乙两数共有的因数中最大的是4，共有的倍数中最小的是60，如果甲是12，那么乙是多少？考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：首先要知道最大公因数和最小公倍数是如何求得的，最大公因数是两个数的公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数的公有质因数和各自独有质因数的乘积，所以根据最小公倍数是60，除以12求出乙数独有的质因数，进而求出乙数．解答：解：因为60÷12=5，4×5=20，所以乙数是20．答：那么乙是20．点评：本题考查了最大公因数和最小公倍数，解题关键是：最大公因数是两个数的公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数的公有质因数和各自独有质因数的乘积．27．已知正整数a与b之和为432，a和b的最小公倍数与最大公因数的和为7776，请问a 和b的乘积是多少？考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：根据两数的最小公倍数的意义及求法、最大公因数的意义及求法，弄清数量关系，设出这两个数，然后进行推理求解．解答：解：设a、b两数的最大公约数M，令两数为a=AM、b=BM，AB互质，最小公倍数为ABMAM+BM=（A+B）M=432=24×33…①ABM+M=（AB+1）M=7776=25×35…②则②÷①得（AB+1）÷（A+B）=2×32=18AB+1=18A+18B等式右为偶数，则AB奇数，则A、B必然同为奇数．（B﹣18）A=18B﹣1A=（18B﹣1）÷（B﹣18）=（18B﹣324+323）÷（B﹣18）=18+323÷（B﹣18）323=17×19 能被B﹣18整除，则有：①B﹣18=17，B=35，A=37或B﹣18=19，B=37，A=35M=432÷（35+37）=6两个数就是a=35×6、b=37×6或交换顺序两个数的乘积=35×6×37×6=（7776﹣6）×6=46620②B﹣18=323，B=341，A=1M=432÷（323+1）不为整数，舍弃综上，ab两个数是210、222，其乘积为46620．答：a和b的乘积是46620．点评：此题解题的关键是理解题意，弄清数量间的关系，明确最大公约数和最小公倍数的含义，进而推理计算得出结论．28．王东认为，1～20各数和3的最大公因数是有规律的．你认为王东的想法正确吗，请你列表表示．考点：求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：首先填表，根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，然后找出规律．解答：解：王东的想法正确．列表如下：1～20各数和3的最大公因数是有规律的，不是1就是3．如果1～20中的数为3的倍数，即3、6、9、12、15、18这六个数，则它们与3的最大公因数为3．如果1～20中的数不是3的倍数，即1、2、4、5、7、8、10、11、13、14、16、17、19、20这十四个数，则它们与3的最大公因数为1．点评：此题考查了两个数不同关系的最大公约数的求法．B档（提升精练）一．选择题（共10小题）1．（2012•彭州市模拟）a、b是两个不是0的自然数，a÷b=6，a和b最小公倍数是（）A．a B．b C．6考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．解答：解：由a÷b=6可知，数a是数b的6倍，属于倍数关系，a＞b，所以a和b最小公倍数是a；故选A．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．。

公倍数和最小公倍数答案知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1．20和30的公倍数有无数个．√．考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：20和30的最小公倍数是60，所以它的公倍数有60n（n是非零的自然数）个如：60，120，180…据此解答．解答：解：20和30的公倍数有无数个．正确．故答案为：√．点评：本题主要考查了学生对公倍数知识的掌握情况．例2．如果A和B是互质数，那么A和B的最小公倍数是它们的乘积．正确．考点：公倍数和最小公倍数．分析：互质的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；据此进行判断．解答：解：如果A和B是互质数，那么A和B的最小公倍数是它们的乘积；故答案为：正确．点评：此题考查了互质的两个自然数的最大公因数和最小公倍数的求法．例3．一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它截成边长是最大的正方形纸片，一共可以截多少块？考点：公倍数和最小公倍数；长方形、正方形的面积．分析：要把它截成边长是最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为长方形长与宽的最大公约数，求出正方形的边长，然后计算长与宽里面分别有几个边长，相乘的积就是要截的正方形的个数．解答：解：要把它截成边长是最大的正方形，纸片的边长应是28与40的最大公约数为4厘米，28÷4=7，40÷4=10，7×10=70．答：一共可以截70块．点评：此题是把实际问题转化为求最大公约数问题．例4．五年级A班在分组进行大扫除时，8人一组或6人一组都刚好分完．如果这个班人数在50人以内，那么，五年级A班可能是多少人？考点：公倍数和最小公倍数．分析：要求五年级A班可能是多少人，即求8和6的公倍数是多少，先根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；先求出最小公倍数，然后结合题意，得出结论．解答：解：8=2×2×2，6=2×3，8和6的最小公倍数是2×2×2×3=24；50以内8和6的公倍数有24，24×2=48；所以可能是24人，也可能是48人；答：五年级A班可能是24人，还可能是48人．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．例5．在□里填上合适的数，组成四位数，使它有因数2，且是3和5的公倍数．162□5□2□14□□考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：既有因数3，又是2和5的公倍数的数，就是同时是2、3、5的公倍数，要想满足是3的倍数，个位上可以是0、3、6、9，而0、3、6、9中只有0能满足同时是2和5的倍数，即个位上是0即可满足同时是2、3、5的公倍数；由此解答即可．解答：解：1620，是2、3、5的倍数；5220，是2、3、5的倍数；1440，是2、3、5倍数．故答案为：0，2、0，4、0．点评：本题主要考查2、3、5的倍数特征，注意个位上是0的数同时是2和5的倍数．演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共18小题）1．（2014•东莞）有两个两位数的自然数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，这两个数的和是（）A．96 B．48 C．60考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．专题：数的整除．分析：先将6和90分解质因数，求得符合条件的两个两位数，再相加即可求解．解答：解：6=2×3，90=2×3×3×5，一个数是：2×3×3=18，另一个数是：2×3×5=30，这两个数的和是：18+30=48．故选：B．点评：此题考查了合数分解质因数和求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数的乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的乘积是最小公倍数．2．（2013•南京）任意两个数的（）的个数是无限的．A．公倍数B．公因数C．最小公倍数D．最大公因数考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：一个数的约数是有限的，所以两个数的公约数一定是有限的；一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，由此解决问题即可．解答：解：由分析可知：任意两个数的公倍数的个数是无限的；故选：A．点评：本题主要考查公因数、公倍数、最小公倍数的意义．3．（2012•白云区）红星小学六年级四个班的学生人数在165到170之间，其中男女人数的比是3：4，那么六年级学生的总人数是（）A．166 B．167 C．168 D．169考点：公倍数和最小公倍数；找一个数的倍数的方法．专题：压轴题；数的整除．分析：男女人数的比是3：4，六年级学生的总人数一共占7份，所以学生总人数一定是7的倍数，在165到170之间找出7的倍数即可．解答：解：3+4=7，168÷7=24，168是7的倍数，答：六年级学生的总人数是168人．故选：C．点评：此题主要利用找一个数的倍数的方法解决问题．4．（2012•德江县模拟）32以内3和5的公倍数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：公倍数和最小公倍数．分析：互质数的最小公倍数是它们的乘积，3和5是互质数，据此求出它们的最小公倍数，然后用最小公倍数求出32以内的公倍数，数出即可．解答：解：3和5是互质数，它们的最小公倍数是：3×5=15，32以内3与5的公倍数有：15×1=15，15×2=30，共有2个．故选：B．点评：本题主要考查两个数的最小公倍数的求法，注意互质数的最小公倍数是它们的乘积．5．（2012•静宁县模拟）两个数的（）的个数是无限的．A．公因数B．公倍数C．最小公倍数考点：公倍数和最小公倍数．分析：根据公因数，公倍数、最小公倍数的意义解答．解答：解：公因数是两个数公有的因数，公因数的个数是有限的，公倍数是两个数公有的倍数，公倍数的个数是无限的，公倍数中最小的一个就是这两个数的最小公倍数；故选：B．点评：本题主要考查公因数，公倍数、最小公倍数的意义．6．（2012•儋州模拟）a、b是相邻的两个偶数（a、b均不为0），a和b的最小公倍数数是（）A．a b B．2ab C．a+b D．a b÷2考点：公倍数和最小公倍数．分析：首先理解偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数．再根据公倍数的意义，两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个叫做这两个数的最小公倍数．由此解答．解答：解：相邻的偶数相差2，根据求两个数的最小公倍数的方法，先把这两个数分解质因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．例如：4和6的最小公倍数，4=2×2，6=2×3，4和6的最小公倍数是：2×2×3=12.12是4和6的乘积的一半．所以，a、b是相邻的两个偶数（a、b均不为0），a和b的最小公倍数数是ab÷2．故选：D．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法．7．（2011•来安县）323至少要加上（）才是2和3的公倍数．A．1B．2C．3D．4考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：根据“个位上的数字是0、2、4、6、8的数字能被2整除”，所以323加1、3、5、7、9…才是2的倍数，能被3整除的数的特征是：“各个数位上的数字之和是3的倍数的数”，由此即可解答．解答：解：323+1=324，3+2+4=9，所以324也是3的倍数，答：323至少加上1才是2和3的公倍数．故选：A．点评：解答此题的关键：（1）能被2整除的数的特征；（2）能被3整除的数的特征．8．（2010•大安区）a、b、c是非零自然数，a×b=c，下面的说法正确的是（）A．a是b的最大公因数B．b是a和c的公因数C．c是a和b的公倍数D．c是a和b的最小公倍数考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．分析：根据公倍数的意义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，进行解答即可．解答：解：a、b、c是非零自然数，a×b=c，即a和b是c的约数，c是a和b的公倍数；故选：C．点评：此题考查公倍数的意义，应明确其意义，并能灵活运用．9．（2008•扬州）同学们去社区做好事，每组6人或9人，都正好不多也不少．去社区做好事的同学至少有（）人．A．3B．9C．18 D．54考点：公倍数和最小公倍数．分析：根据每组6人或9人，都正好不多也不少，可知去社区做好事的同学数既是3的倍数也是9的倍数，即是6和9的公倍数，要求至少就是求6和9的最小公倍数，据此解答．解答：解：6的倍数有6，12，18，24，30，36，42…，9的倍数有：9，18，27，36，45…，6和9的最小公倍数是18；故选：C．点评：解答本题关键是由每组6人或9人，都正好不多也不少，可知去社区做好事的同学数是6和9的公倍数，要求至少就是求6和9的最小公倍数．10．（2008•金坛市）下面四句话中，表述正确的语句共有（）（1）周长相等的正方形和圆，圆的面积大．（2）两个数的公倍数一定比这两个数都大．（3）圆锥体的体积是与它等底等高圆柱体体积的三分之一（4）若干个相同的梯形一定能够进行图形密铺．A．1句B．2句C．3句D．4句考点：公倍数和最小公倍数；图形的密铺；正方形的周长；圆、圆环的周长；长方形、正方形的面积；圆、圆环的面积；圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积．专题：压轴题．分析：根据题意，对各题进行依次分析，进而得出结论．解答：解：（1）周长相等的正方形和圆，圆的面积大，说法正确；（2）因为当两数是倍数关系时，较小的数是他们的最大公约数，较大的数是他们的最小公倍数；所两个数的公倍数一定比这两个数都大，说法错误；（3）圆锥体的体积是与它等底等高圆柱体体积的三分之一，属于理解和掌握的知识，应牢记；说法正确；（4）当拼接点处几个角的和为360度时，若干个相同的梯形可以进行图形密铺，但不是一定，故说法错误；故选：B．点评：此题涉及的面较广，解答此题的关键是对各题进行依次分析，通过分析，得出结论．11．m与n都是非零的自然数，m=12n，m和n的最小公倍数是（）A．12 B．m C．n考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公因数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．解答：解：m与n都是非零的自然数，m=12n，则：m÷n=12，数m是数n的12倍，属于倍数关系，m＞n，所以，m和n的最小公倍数是m；故选：B．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．12．71以内3和5的公倍数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：互质数的最小公倍数是它们的乘积，3和5是互质数，据此求出它们的最小公倍数，然后用最小公倍数求出71以内的3和5的公倍数，数出即可．解答：解：3和5是互质数，它们的最小公倍数是：3×5=15，71以内3与5的公倍数有：15×1=15，15×2=30，15×3=45，15×4=60，共有4个．故选：D．点评：本题主要考查两个数的最小公倍数的求法，注意互质数的最小公倍数是它们的乘积．13．有任何两个自然数的（）的个数是无限的．A．公倍数B．公因数C．倍数考点：公倍数和最小公倍数．分析：根据公约数和公倍数的意义可知；公约数是两个数的公有的质因数，有最大公因数个数是有限的，公倍数是两个数共有的质因数和各自独有的质因数的乘积，有最小公倍数，个数是无限的，据此解答．解答：解：如4，84，8的公因数有1，2，44，8的公倍数有8，16，24，32…有无数个，所以任何两个自然数的公倍数的个数是无限的故选：A点评：主要考查公倍数的意义，有最小而没有最大的．14．48是6和8的（）A．最大公约数B．公倍数C．最小公倍数考点：公倍数和最小公倍数．分析：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，因为48既是6的倍数，又是8的倍数，而6和8不是互质数，所以48是6和8的公倍数，但不是最小公倍数．解答：解：因为48既是6的倍数，又是8的倍数，且6和8不互质，所以48是6和8的公倍数．故选B．点评：此题主要考查公倍数和最小公倍数的意义．15．下面各组数中公倍数有36的是（）A．12和8 B．21和14 C．6和18 D．8和9考点：公倍数和最小公倍数．分析：根据几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，以此即可推出答案．解答：解：A、36是12的倍数，但不是8的倍数．B、36既不是21的倍数也不是14的倍数．C、36既是6的倍数又是18的倍数．D、36是9的倍数，但不是8的倍数．故选C．点评：此题主要考查倍数与公倍数的意义．16．同时是2、3、5的倍数的两位数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：就是求两位数据的2、3、5的公倍数，2、3、5两两互质，这三个数的只是2×3×5=30，30扩大2倍，3倍都是两位数的2、3、5的倍数．解答：解：2×3×5=30，30×2=60，30×3=90，即在两位数中，同时是2、3、5的倍数的数有30、60、90三个．故选：C．点评：本题也可根据2、3、5的倍数特征来解答，这个数的个位上的数字一定是0，各位上的数字之和是3的倍数．17．24是8和12的（）A．公因数B．最小公倍数C．最大公因数考点：公倍数和最小公倍数．分析：根据公倍数和最小公倍数的意义，两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个叫做这两个数的最小公倍数．由此解答．解答：解：根据分析，24是8和12的最小公倍数．故选：B．点评：此题的解答主要明确公倍数和最小公倍数的概念及意义．18．六（1）班的学生数在30～60人之间，其中喜爱跳绳，同学喜爱跳皮筋，六（1）班有（）人．A．21 B．42 C．49 D．63考点：公倍数和最小公倍数．分析：首先六（1）班的学生数一定是3和7的公倍数，且范围为30～60人之间，写出3和7的公倍数，找出答案即可．解答：解：因为人数为整数，六（1）班的学生数的和都是整数，所以六（1）班的学生数一定是3和7的公倍数；3和7的公倍数有：21，42，63…，而学生数在30～60人之间，故选B．点评：此题考查运用求公倍数的方法来解决有关整数的实际问题，解答时注意所求数的范围，选择合理的方法．二．填空题（共9小题）19．（2013•龙海市模拟）50以内6和8的公倍数有24、48，6和8的最小公倍数是24；9和27的公因数有1、3、9，9和27的最大公因数是9．考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．专题：数的整除．分析：（1）公倍数是两个数公有的倍数，先找出找出两个数的倍数，从中找出公有的倍数；（2）公倍数中最小的一个就是这两个数的最小公倍数，据此找出6和8的最小公倍数；（3）公因数是两个数公有的因数，据此求出两个数的公因数找出公有的因数即可；（4）公因数中最大的一个就是这两个数的最大公因数，据此找出9和27的最大公因数．解答：解：（1）50以内6和8的倍数是：6的倍数是：6、12、18、24、30、36、42、48，8的倍数是：8、16、24、32、40、48，50以内6和8的公倍数有：24、48；（2）50以内6和8的公倍数24、48中，24是最小的，所以6和8的最小公倍数是：24；（3）9的因数有：1、3、9，27的因数有：1、3、9、27，9和27的公因数有：1、3、9；（4）9和27的公因数1、3、9中，9是最大的，所以9和27的最大公因数是9．故答案为：24、48；24；1、3、9；9．点评：本题主要考查公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的意义和求法．20．（2012•南安市）能同时被2、3、5整除的最大三位数是990．考点：公倍数和最小公倍数；数的整除特征．分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．解答：解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0．要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．故答案为：990．点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．21．（2012•白云区）两个数的乘积一定是这两个数的公倍数．正确．（判断对错）考点：公倍数和最小公倍数；因数和倍数的意义．分析：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数这是正确的，举例证明即可．解答：解：比如4和12，12×4=48，48是12的倍数，48也是4的倍数，即48是4、12的公倍数；所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数是正确的；故答案为：正确．点评：本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系．22．（2012•无棣县）两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是4．这个两位数与16的最大公因数是8．考点：公倍数和最小公倍数；求几个数的最小公倍数的方法．分析：根据同时是2和3的倍数的数的特征，个位必须是偶数，且个位和十位上的数字之和是3的倍数，由此确定个位上的数字是4；求24和16的最大公因数，首先把这两个数分别分解质因数，公有质因数的积就是它们的最大公因数．由此解答．解答：解：根据分析，两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是4；把24和16分解质因数：24=2×2×2×3；16=2×2×2×2；24和16的最大公因数是：2×2×2=8；故答案为：4，8．点评：此题主要考查了：同时是2和3的倍数的特征和求两个数的最大公因数的方法．23．（2012•鞍山）A=2×2×3，B=2×2×2×2．A和B的最大公约数是4，最小公倍数是48．考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．分析：根据求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法可得出答案．解答：解：（1）求A和B的最大公约数，是求公约数中最大的，它就必须包含A和B全部公有的质因数2和2，2×2=4，所以A和B的最大公约数是4．（2）求A和B的最小公倍数，只要包含它们全部公有的质因数（2个2），以及各自独有的质因数（1个3和2个2）就可以了．即2×2×3×2×2=48，所以A和B的最小公倍数是48．故答案为：4，48．点评：求两个数的最大公约数的方法是把两个数全部公有的质因数相乘即可；求两个数的最小公倍数的方法是把两个数全部公有的质因数以及各自独有的质因数相乘即可．24．（2012•海门市）两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是4，这个两位数与36的最大公因数是12．考点：公倍数和最小公倍数；求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：根据同时是2和3的倍数的数的特征，个位必须是偶数，且个位和十位上的数字之和是3的倍数，由此确定个位上的数字是4；求24和36的最大公因数，首先把这两个数分别分解质因数，公有质因数的积就是它们的最大公因数．由此解答．解答：解：根据分析，两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是4；把24和36分解质因数：24=2×2×2×3；36=2×2×3×3；24和36的最大公因数是：2×2×3=12；故答案为：4，12．点评：此题主要考查了：同时是2和3的倍数的特征和求两个数的最大公因数的方法．25．（2012•武汉模拟）甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450．若它们的差最小，则两个数为150和225．考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．分析：两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的乘积．设这两个数为a、b，则a×b=450×75=75×75×2×3，若要它们差最小，就应使两个数离的最近，所以当a=75×2，b=75×3时，它们的差最小．解答：解：设这两个数为a、b，则a×b=450×75=75×75×2×3，当a=75×2=150，b=75×3=225时，它们的差最小．故答案为：150、225．点评：本题从两个数的最大公约数和最小公倍数之间的关系入手比较简单．26．（2011•富源县）能同时被2、3、5整除的最大两位数是90，将它分解质因数为90=3×3×5×2．考点：公倍数和最小公倍数；合数分解质因数．分析：本题可先求出2、3、5的最小公倍数是多少，然后再求出能同时被2、3、5整除的两位数是多少，最后分解质因数就可以了．解答：解：（1）2、3、5最小公倍数为：2×3×5=30；（2）能同时被2、3、5整除的最大两位数是：30×3=90；（3）90=3×3×5×2．故答案为：90，90=3×3×5×2．点评：分解质因数可利用短除法．27．（2011•合川区）如果a=2×3×7，b=2×3×5，那么a和b的最大公因数是6，最小公倍数是210．考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．分析：两个数的最大公约数是这两个数全部公有质因数的乘积，最小公倍数是把各自独有的质因数全部乘进去，所得的积就是这两个数的最小公倍数．解答：解：a=2×3×7，b=2×3×5，那么a和b的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×5×7=210；故答案为：6，210．点评：解答此题应根据最大公约数和最小公倍数的方法进行解答即可．三．解答题（共1小题）28．（2014•台湾模拟）求最小整数，被三除余二，被五除余三，被七除余四？考点：公倍数和最小公倍数；同余定理．专题：数的整除．分析：由“一个整数被三除余二，被五除余三，被七除余四”可知，将这个整数乘2后得：被3除余1，被5除余1，被7除余1；由此可见将乘2后的数减去1就同时能被3，5，7整除，由此即可求出．解答：解：将乘2后的数减去1就同时能被3，5，7整除；3，5，7的最小公倍数为3×5×7=105，（105+1）÷2=53；答：这个整数最小是53．点评：此题属于同余除法，应明确这个整数乘2后的数减去1能被3、5、7整除，是解答此题的关键．B档（提升精练）一．选择题（共15小题）1．两个数的（）的个数是无限的．A．最大公因数B．最小公倍数C．公因数D．公倍数考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：一个数的约数是有限的，所以两个数的公约数一定是有限的；一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，但两个数的最大公约数和最小公倍数只有一个，由此解决问题即可．解答：解：两个数的公约数是有限的；两个数的公倍数的个数是无限的，但两个数的最大公约数和最小公倍数只有一个；故选：D．点评：此题考查两个数的公约数和公倍数的个数：两个数的公约数是有限的；两个数的公倍数的个数是无限的；紧扣定义解答问题．2．在A×B=12中，12肯定是A、B的（）A．最小公倍数B．最大公因数C．公倍数考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：根据公倍数的意义，两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数．如果A×B=12，那么12肯定是A、B的公倍数．解答：解：根据分析：如果A×B=12，那么12肯定是A、B的公倍数．故选：C．点评：此题考查的目的是理解公倍数的意义，两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数．其中最小的一个就是这两个数的最小公倍数．3．某班的学生不论分成4人一组还是6人一组，都正好分完．下列数据中（）可能是这个班的人数．A．40 B．36 C．30考点：公倍数和最小公倍数．分析：即求4和6的公倍数，先求出4和6的最小公倍数，然后写出4和6的公倍数，然后进行选择即可．解答：解：4=2×2，6=2×3，4和6的最小公倍数是2×2×3=12，4和6的公倍数有12，24，36，48…；故选：B．点评：此题考查的是求两个数的公倍数，应掌握求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．4．大于而小于的分数有（）个．A．1B．2C．无数考点：公倍数和最小公倍数．分析：先求出一个大于而小于的同分母的分数=，然后根据分数的基本性质把和的分子分母扩大若干倍，得出分数无数个大于而小于的分数，不是1个和2个，据此解答．解答：解：大于而小于的分数同分母的有=，根据分数的基本性质把和的分子分母扩大2倍，得到，，三个大于而小于的分数，这时就得到5个大于而小于的分数；然后在把和的分子分母3倍，4倍，5倍…，即得到无数个大于而小于的分数；所以大于而小于的分数不是1个，也不是2个，…而是有无数个；故选：C．点评：解答本题关键是利用分数的基本性质把和的分子分母同时扩大2倍，3倍，4倍，5倍…，从而得到无数个大于而小于的分数．5．两个数（不为0的自然数）的积一定是这两个数的（）A．公倍数B．最小公倍数C．公约数D．最大公约数考点：公倍数和最小公倍数．分析：根据因数和倍数的意义，以及研究因数和倍数时，为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）．由此解决问题．解答：解：两个数（不为0的自然数）的积一定是这两个数的公倍数．故选A．点评：此题主要考查因数和倍数、公倍数和最小公倍数、公约数和最大公约数的意义．。

找一个数的因数的方法答案知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1．现有草莓40个，可以平均分给多少个小朋友？考点：找一个数的因数的方法．分析：根据因数与倍数的意义，和找一个数的因数的个数的方法，求出40的因数有哪些，根据题意可以平均分给多少个小朋友，那就不是1个．由此解答．解答：解：40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40．根据题意不可能分给1个小朋友，因此可以平均分给2个，4个，5个，8个，10个，20个，或40个．答：可以分给2个，4个，5个，8个，10个，20个，或40个小朋友．点评：此题主要考查求一个数的因数的方法，根据求一个数的因数的方法解决问题．例2．只有一个因数的数是1只有两个因数的数是质数有三个因数以上的数是合数．考点：找一个数的因数的方法．专题：数的整除．分析：在自然数中，只有一个因数的数是1；除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；据此解答即可．解答：解：只有一个因数的数是1；只有两个因数的数是质数；有三个因数以上的数是合数．故答案为：1；质数；合数．点评：此题考查了质数与合数的含义以及找一个数的因数的方法．属于识记内容．例3．有144块糖平均分成若干份，要求每份不得少于10颗，也不能多于50颗，那么一共有6种分法．考点：找一个数的因数的方法．专题：约数倍数应用题．分析：找到144的约数中大于10且小于50的即可求解．解答：解：因为144=2×2×2×2×3×3，所以144在10到50之间的约数有：12、16、18、24、36、48，所以有6种；答：一共有6种分法．故答案为：6．点评：解答此题的关键是先把144进行分解质因数，然后找出符合条件的数解答即可．例4．a、b、c是三个互不相等的自然数，而且a÷b=c，a至少有4个约数．考点：找一个数的因数的方法．专题：压轴题．分析：首先a．b．c肯定是a的因数，而且互不相等，所以算三个；然后考查1，1肯定是a 的因数，问题是会不会与上面的三个重复首先a≠1，这个很明显；然后，如果b=1，则a=c，这是不行的，所以b也不等于1，同样地，c也不等于1；也就是说1．a．b．c是互不相等的，至少有这四个数是a的因数．解答：解：由分析知：a的约数有1、a、b、c；共4个；故答案为：4．点评：根据找一个的因数的方法进行解答即可．例5．5是15的因数，又是5的倍数．×．（判断对错）考点：找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．专题：数的整除．分析：因数和倍数是相对的，是相互依存的，只能说一个数是另一个数的倍数或另一个数是这个数的因数，不能单独存在．解答：解：根据因数和倍数的关系，我们可以说5是15的因数，15是5的倍数，不能说5是15的因数，又是5的倍数．故答案为：×．点评：解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析．例6．两个不同质数相乘的积，一共有4个约数．考点：找一个数的因数的方法；合数与质数．专题：数的整除．分析：根据质数的意义进行分析：一个数除了1和它本身两个约数外，不含其它的约数，这样的数叫做质数；两个不同的质数相乘的积，约数有：1、这两个数的乘积、这两个质数本身；进而得出结论．解答：解：两个不同的质数相乘的积，约数有：1、这两个数的乘积、这两个质数本身，共4个约数；如2和3，2×3=6，6的约数有1，2，3，6，共4个．故答案为：4．点评：解答此题的关键是根据质数的含义进行分析、解答．演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共21小题）1．（2013•牡丹江）要把402个水杯装箱，选择每箱（）个水杯的包装箱正好装完．A．12 B．4C．3D．5考点：找一个数的因数的方法．专题：数的整除．分析：求要把402个水杯装箱，选择每箱多少个水杯的包装箱正好装完，每箱的个数只要是402的因数即可．解答：解：在12、4、3、5中，只有3是402的因数，所以选择每箱3个水杯的包装箱正好装完；故选：C．点评：明确要求的问题，即只要每箱的个数是402的因数的即可．2．（2012•广州）某小学的教师共有70人，这个学校男女老师人数的比不可能是（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：6考点：找一个数的因数的方法．专题：压轴题；数的整除．分析：学校共有70人，本题的四个选项都是最简整数比，那么男女教师比的前项和后项相加应能被70整除，70的因数有：1、2、5、7、10、14、35、70，而1+2=3，3不是70的因数，由此作答．解答：解：70的因数有：1、2、5、7、10、14、35、70，而1+2=3，3不是70的因数，又不能被70整除．故选：C．点评：本题的关健是看各个选项的前项、后项的和是否能被总人数整除．3．（2012•建华区）自然数36的因数有（）个．A．10 B．8C．9考点：找一个数的因数的方法．专题：压轴题；数的整除．分析：根据找一个数的因数的方法，进行列举即可．解答：解：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，故选：C．点评：解答此题应根据找一个数的因数的方法进行解答，注意写因数时要两个两个的写防止遗漏．4．（2011•郑州模拟）1，2，3，5都是30的（）A．质数B．质因数C．约数考点：找一个数的因数的方法．分析：整数a除以整数b（b≠0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a，a叫b的倍数，b叫a的约数，因为30能被1、2、3、5整除，所以1、2、3、5是30的约数．解答：解：30÷1=30，30÷2=15，30÷3=10，30÷5=6，所以1、2、3、5是30的约数；故选：C．点评：解答此题根据约数的定义，只要30能被1、2、3、5整除即可．5．（2011•焦作模拟）在12的约数中，可以组成（）组互质数．A．5B．6C．7D．8考点：找一个数的因数的方法；合数与质数．分析：先根据找一个数的因数的方法，列举出12的约数，12的约数有：1、2、3、4、6、12，共6个；进而根据互质数的含义：公因数只有1的两个数叫做互质数，写出即可．解答：解：12的约数有：1、2、3、4、6、12，互质数有1、2，1、3，1、4，1、6，1、12，2、3，3、4；共7组；故选：C．点评：解答此题应先根据找一个数因数的方法，求出12的因数；进而根据互质数的含义，进行列举，继而数出即可．6．（2011•东莞模拟）一个三位数，个位上的数是0，这个数一定能被（）整除．A．2和3 B．2和5 C．3和5 D．2、3和5考点：找一个数的因数的方法．分析：此题应根据能被2和5整除的数的特征：这个数的个位数一定是0；进行解答即可．解答：解：能被2和5整除的数的特征是：这个数的个位数一定是0；故选：B．点评：此题的关键是根据能被2和5整除的数的特征解答．7．（2011•普定县模拟）因为12=2×2×3，所以12的因数有（）个．A．3B．4C．5D．6考点：找一个数的因数的方法．专题：数的整除．分析：由题意可知：12的因数有：1、2、3、2×2、2×3、2×2×3；然后数出即可．解答：解：12的因数有：1、2、3、2×2=4、2×3=6、2×2×3=12，共6个；故选：D．点评：此题主要考查找一个数的因数的方法，应按照从小到大的顺序，做到不重复、不遗漏．8．（2012•哈尔滨模拟）48有（）因数．A．6个B．8个C．10个D．12个考点：找一个数的因数的方法．分析：求一个数的因数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6…，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的因数，重复的只写一个，据此写出48的因数，然后数出即可．解答：解：48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共计10个；故选：C．点评：本题主要考查求一个数因数的方法．9．（2012•中山模拟）已知n=2×3×7，那么n的约数有（）个．A．5B．6C．7D．8考点：找一个数的因数的方法．分析：根据找一个数因数的方法，进行列举：n约数有：1、2、3、7、2×3=6、2×7=14、3×7=21、2×3×7=42；数出即可．解答：解：a约数有：：1、2、3、7、2×3=6、2×7=14、3×7=21、2×3×7=42；共8个；故选：D．点评：解答此题应根据找一个数的因数的方法，进行列举即可．10．（2010•安次区模拟）（）是12的质因数．A．1B．2C．4D．12考点：找一个数的因数的方法．专题：数的整除．分析：先把12分解质因数，找出因数里面的质数即可．解答：解：12=2×2×3，质数有2、3，即2、3是12的质因数；故选：B．点评：此题主要考查分解质因数的方法以及求一个数的质因数的方法．11．（2009•京山县）一个自然数的最小倍数是18，这个数的因数有（）个．A．2B．4C．6考点：找一个数的因数的方法．分析：根据”一个数最小的倍数是它本身”可知：该自然数是18，进而根据找一个数的因数的方法，进行列举，数出即可．解答：解：这个数是18，18的因数有：1、2、3、6、9、18，共6个；故选：C．点评：解答此题的关键：先判断出这个自然数是多少，进而根据一个数的因数的方法，进行列举即可．12．（2009•绵阳）一个数它既是18的倍数，又是18的约数，这个数是（）A．1B．9C．18 D．324考点：找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．专题：压轴题．分析：根据找一个数的因数的方法：一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数的个数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其最大约数又是其最小倍数．解答：解：由分析得：一个数既是18的倍数，又是18的因数，这个数是18．故选：C．点评：此题主要考查了因数和倍数的意义及其求法．根据找一个数的因数、倍数的方法进行解答．13．（2008•武昌区）一个数的最大因数（）这个数的最小倍数．A．大于B．等于C．小于考点：找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．专题：压轴题．分析：根据“一个数的最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身”进行解答即可．解答：解：由分析知：一个数的最大因数等于这个数的最小倍数；故选：B．点评：解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行解答．14．自然数A=2×3×5，A的全部因数有（）个．A．3B．4C．6D．8考点：找一个数的因数的方法．分析：结合题意，根据找一个数的因数的方法进行列举即可．解答：解：自然数A=2×3×5，A的全部因数有：1，2，3，5，6，10，15，30共8个；故选：D．点评：此题应根据找一个数的因数的方法进行分析、解答．15．1、2、3都是6的（）A．质数B．约数C．公约数考点：找一个数的因数的方法．分析：求一个数的约数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6…，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的约数，重复的只写一个，据此写出；解答：解：6÷1=6，6÷2=3，6÷3=2，6÷6=1，即6的约数有：1，2，3，6．故选：B点评：重点要注意1和它本身也是6的约数．16．32的所有约数之和是（）A．30 B．62 C．63考点：找一个数的因数的方法．专题：数的整除．分析：先找出32的约数有1，2，4，8，16，32，然后把它们相加即可．解答：解：32的约数有1，2，4，8，16，32，1+2+4+8+16+32=63；答：32的所有约数之和是63；故选：C．点评：此类题做题的关键是先找出32的约数，然后根据题意，相加即可得出结论．17．360的因数共有（）个．A．26 B．25 C．24 D．23考点：找一个数的因数的方法．专题：数的整除．分析：按从小到大的顺序依次找到360的因数即可求解．解答：解：360的因数有：1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360；一共24个．故选：C．点评：考查了找一个数的因数的方法，可以小到大的顺序依次找，也可以两个两个的找，是基础题型．18．已知m=2×2×3×5，那么m的因数有（）A．3B．4C．12 D．无数考点：找一个数的因数的方法．分析：根据因数的意义可知：m=2×2×3×5，那么m的因数有；1、2、3、5、2×2、2×3、2×5、3×5、2×2×3、2×2×5、2×3×5、2×2×3×5，据此求出然后数出即可．解答：解；m=2×2×3×5，那么m的因数有；1、2、3、5、2×2=4、2×3=6、2×5=10、3×5=15、2×2×3=12、2×2×5=20、2×3×5=30、2×2×3×5=60，共计12个；故选：C．点评：解答本题关键是根据m的质因数求出它因数，即把质因数分别相乘即可，最后不要忘记1是它的公因数．19．7与15是105的（）A．因数B．质因数C．质数考点：找一个数的因数的方法．专题：数的整除．分析：因为7×15=105，所以7与15是105的因数．解答：解：7与15是105的因数，故选：A．点评：此题考查了因数的意义．20．已知自然数n只有2个约数，那么3n有（）个约数．A．2B．3C．4D．3或4考点：找一个数的因数的方法．专题：数的整除．分析：根据找一个数的因数的方法进行解答即可．解答：解：因为n只有两个约数，那么n为质数，那么3n最多有4个约数：1、n、3、3n；当n=3时，3n只有3个约数；n≠3时，有4个约数；故选：D．点评：解答此题应根据题意，进行认真分析，找出3n的所有约数，进而得出结论．21．两个数的最小公倍数是36，下面哪个数不可能是这两个数的公因数？（）A．8B．9C．12考点：找一个数的因数的方法；合数分解质因数．分析：根据两个数的公因数和最小公倍数的意义可知：这两个数的公因数一定是他们的最小公倍数的因数，据此分析各答案中的数是不是36的因数即可判断．解答：解：8不是36的因数，9和12是36的因数，所以两个数的最小公倍数是36，8不是这两个数公因数，9和12是这两个数的公因数；故选：A．点评：解答本题关键是理解：这两个数的公因数一定是他们的最小公倍数的因数．二．填空题（共7小题）22．（2014•广州模拟）已知自然数a只有两个约数，那么5a最多有3个约数．错误．（判断对错）考点：找一个数的因数的方法；用字母表示数．分析：根据找一个数的因数的方法进行解答即可．解答：解：因为a只有两个约数，那么a为质数，那么5a最多有4个约数：1、a、5、5a；故答案为：错误．点评：解答此题应根据题意，进行认真分析，找出5a的所有约数，进而得出结论．23．（2014•武平县模拟）24的约数有1、2、3、4、6、8、12、24，选择其中四个数组成一个比例为1：2=12：24．考点：找一个数的因数的方法；比例的意义和基本性质．专题：数的整除；比和比例．分析：（1）求一个数的约数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6…，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的约数，重复的只写一个，据此写出；（2）把24的约数写乘积是24的等式，然后根据比例的基本性质，把一个算式的因数分别作为比例的内项，另一个算式的因数作为外项，据此写出比例式．解答：解：（1）24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24；（2）1×24=24，2×12=24，把1和24做外项，2和12做内项，写出比例式是：1：2=12：24；故答案为：1、2、3、4、6、8、12、24，1：2=12：24．点评：本题主要考查约数的求法和根据比例的基本性质组成比例的方法．24．（2014•岚山区模拟）50以内只含有质因数2的数有2、4、8、16、32．考点：找一个数的因数的方法．分析：求50以内只含有质因数2的数，即求50以内的偶数，根据偶数的含义：自然数中是2的倍数的数叫做偶数；由此列举即可．解答：解：50以内的只含质因数2的数有2、4、8、16、32；故答案为：2、4、8、16、32．点评：此题考查了找一个数的因数的方法，应结合偶数的含义进行解答．25．（2014•贵州模拟）我国首艘航母辽宁舰的弦号是16，这个数共有5个因数．考点：找一个数的因数的方法．专题：数的整除．分析：找一个数的因数，可以一对一对的找，把16写成两个数的乘积，那么每一个乘积中的因数都是16的因数，然后从小到大依次写出即可．解答：解：因为16=1×16=2×8=4×4，所以这个数共有5个因数：1、2、4、8、16．故答案为：5．点评：此题主要考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握．26．（2013•广州模拟）36的约数共有9个，选择其中四个组成比例，使两个比的比值等于，这个比例式是4：3=12：9．考点：找一个数的因数的方法；解比例．分析：根据求一个数的因数的方法，求出36的因数，由此可以解决问题．解答：解：36的约数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，共有九个．从中选出3、4、9、12可以组成比例式4：3=12：9．故答案为：9，4：3=12：9．点评：此题考查了求一个数的因数的方法和比例的基本性质的应用．27．（2013•道里区模拟）乙数是甲数的倍数，甲乙两数的最大公因数是B，最小公倍数是CA.1 B．甲数C．乙数D．甲、乙两数的积．考点：找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．专题：数的整除．分析：倍数关系的两个数的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，因为乙数是甲数的倍数，即乙数和甲数是倍数关系，乙数是较大数，甲数是较小数，据此解答．解答：解：乙数是甲数的倍数，所以甲乙的最大公因数是甲数；最小公倍数是：乙数；故答案为：B，C．点评：本题主要考查倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法，注意找准较大数和较小数．28．（2012•宜良县）24的因数中有2个素数，5个合数；从24的因数中选出两个奇数和两个偶数，组成一个比例式是2：1=6：3（答案不唯一）．考点：找一个数的因数的方法；合数与质数；比例的意义和基本性质．分析：先根据找一个数倍数的方法，列举出24的因数，然后结合质数和合数的意义：只有1和它本身两个约数的数是质数，除了1和它本身以外，还含有其它约数的数是合数，进行解答；然后根据奇数和偶数的意义，根据题意选出两个奇数和两个偶数，组成一个比例式即可．解答：解：24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；其中素数（质数）有：2、3两个；合数有：4、6、8、12、24五个；选出两个奇数和偶数，组成一个比例式为：2：1=6：3（答案不唯一）；故答案为：2，5，2：1=6：3（答案不唯一）．点评：此题涉及的知识点有：（1）找一个倍数的方法；（2）质数和合数的意义；（3）奇数和偶数的含义；（4）比例的含义．B档（提升精练）一．选择题（共19小题）1．（2010•高阳县）古希腊认为：如果一个数恰好等于它的所有约数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．例如：6有四个约数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个约数．6=1+2+3，恰好是所有约数之和，所以6就是“完全数”．下面的数中是“完全数”的是（）A．12 B．15 C．28 D．36考点：找一个数的因数的方法．专题：压轴题．分析：根据完全数的定义，可将下列选项中的数字进行计算，即可得出答案．解答：解：A、12的因数有：1、2、3、4、6、12，所以1+2+3+4+6=16；B、15的因数有：1，3，5，15，所以1+3+5=9；C．28的因数有：1、2、4、7、14、28，所以1+2+4+7+14=28；D、36的因数有：1、2、3、4、9、12、18、36，所以1+2+3+4+9+12+18=49；因此只有C选项符合题意．故选：C．点评：本题主要考查求一个数的约数的方法，注意完全数的意义：如果一个数恰好等于它的所有约数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．2．我们发现一些数具有一个有趣的特点，例如，6有四个因数1、2、3、6，除6本身以外，还有1、2、3三个因数．6=1+2+3，恰好是所有因数（本身除外）之和．那么下面的数中也具有同样特点的是（）A．12 B．28 C．32考点：找一个数的因数的方法．分析：求一个数的因数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6…，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的因数，重复的只写一个，据此写出12、28、32的因数，然后根据题中的方法分析找出．解答：解：12的因数有：1、2、3、4、6、12，1+2+3+4+6=16；28的因数有：1、2、4、7、14、28，1+2+4+7+14=28；32的因数有：1、2、4、8、16、32，1+2+4+8+16=31；故选：B．点评：本题主要考查求一个数的因数的方法，此题先求出因数然后分析．3．有72颗糖，平均分成若干份，每份不得少于5颗，也不能多于20颗，一共有几种方法．（）A．4B．5C．6D．10考点：找一个数的因数的方法．专题：数的整除．分析：找到72的约数中＞5且＜20的有：6，8，9，12，18，依此即可求解．解答：解：因为72的约数有：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，又因为每份不得少于5颗，也不能多于20颗，只有6，8，9，12，18．故选：B．点评：考查了一个数的约数的求法，本题要注意找在5和20之间的约数．4．下列各数分解质因数后，只含有质因数3的是（）A．12 B．15 C．81 D．105专题：数的整除．分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，据此把12、15、81、105分解质因数即可．解答：解：12=2×2×3；15=3×5；81=3×3×3×3；105=3×5×7；所以，81分解质因数后，只含有质因数3，故选：C．点评：本题主要考查分解质因数的方法．注意是质数相乘的形式．5．下面四句话中正确的一句是（）A．18的所有因数都是合数B．位置数对是（3，2）的物体和（2，3）的物体处于同一位置．C．通常情况下，盈利用正数表示，亏损用负数表示D．分数的基本性质用式子表示是==考点：找一个数的因数的方法；分数的基本性质；负数的意义及其应用；数对与位置．专题：综合判断题．分析：A、18的所有因数是：1、2、3、6、9、18，所以18的所有因数是2，3，6，9为错误；B、数对是用有顺序的两个数表示出一个确定的位置，用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，根据数对表示的意义可以判断出结果；C、此题主要用正、负数来表示具有意义相反的两种量判定即可；D、分数的基本性质：分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），分数的大小不变．解答：解：A、18的所有因数是：1、2、3、6、9、18，故A错误；B、（3，2）的物体：物体在第三列，第二行，（2，3）的物体：物体在第二列，第三行，所以不在同一个位置故B错误；C、通常情况下，盈利用正数表示，亏损用负数表示，是正确的；D、根据分数的基本性质可知：用式子表示是==，是错误的．故选：C．点评：此关键理解用数对表示物体位置的方法．并理解数对中的两个数字是有顺序的．此题根据“找一个数的因数的方法”，进行解答即可．此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．此题主要考查分数的基本性质．6．参加学校体操表演的男女生共120人，男女生人数比一定不可能是（）A．1：5 B．7：5 C．11：13 D．9：2专题：数的整除．分析：由题意知道，男女人数的总份数必须是120的约数，由此即可得到答案．解答：解：9+2=11（份），11不是120的约数，所以男女生人数的比不可能是2：9；故选：D．点评：由题意知道，男女人数的总份数必须是120的约数，由此即可得到答案．7．20名少先队员参加义务劳动，分成人数相等的若干小组（组数和每组人数都不少于2），最多有（）种分法．A．2B．3C．4D．6考点：找一个数的因数的方法．专题：数的整除．分析：根据题干可知：分成人数相等的若干小组（组数和每组人数都不少于2），那么这里只要求出20的因数中大于2即可解决问题．解答：解：20=1×20，20=2×10，20=10×2，20=4×5，20=5×4，因为大于或者等于2的有4组：2×10，10×2，4×5，5×4．故答案为：C．点评：此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的方法的灵活应用．8．下面四句话中正确的一句是（）A．18的所有因数都是合数B．把3米长的绳子截成相等的7段，每段长是1米的C．今年爸爸比明明大b岁，八年后爸爸比明明大b+8岁D．分数的基本性质用式子表示是==考点：找一个数的因数的方法；分数的意义、读写及分类；分数的基本性质；用字母表示数．专题：综合判断题．分析：A、18的所有因数是：1、2、3、6、9、18，所以18的所有因数都是合数为错误．B、把3米长的绳子平均截成7段，根据分数的意义，即将根3米长的绳子当做单位“1”平均分成7份，则每份是全长的1÷7=，也可以看作每段长是1米的．C、8年后爸爸长了8岁，明明也长了8岁．他们的年龄差不变．据此解答．D、依据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；据此判断即可．解答：解：A、18的所有因数都是合数，错误；B、把3米长的绳子截成相等的7段，每段长是1米的，是正确的；C、今年爸爸比明明大b岁，八年后爸爸比明明大b+8岁，是错误的；D、分数的基本性质用式子表示是==，是错误的．故选：B．点评：对于综合知识的考查，注意基础知识的积累．9．任意两个不同的质数相乘的积有（）个约数．A．2B．3C．4D．无法确定考点：找一个数的因数的方法；合数与质数．专题：数的整除．分析：根据质数、合数的概念及意义，质数只有1和它本身两个因数；合数至少有三个因数；据此解答．解答：解：两个不同的质数相乘的积，它的因数有1，这两个质数，和这两个质数的积本身4个因数；因此，两个不同的质数相乘的积一定有4个约数；故选：C．点评：此题主要考查质数、合数的意义以及求一个数的因数的方法．10．两个数的最大公约数是12，这两个数的公约数的个数有（）A．2个B．4个C．6个考点：找一个数的因数的方法．分析：两个数的最大公约数是12，这两个数的公约数的个数也就是12的约数的个数，计算出12的约数个数即可进行选择．解答：解：12约数有：1，2，3，4，6，12共六个，故选：C．点评：此题主要考查求两个数的公约数个数的方法．11．把60支铅笔分成几堆，下面（）的分法得到的堆数最少．A．每3支一堆B．每4支一堆C．每6支一堆考点：找一个数的因数的方法．专题：数的整除．分析：根据整数除法的意义列式计算即可作出选择．解答：解：60÷3=20（堆）；60÷4=15（堆）；60÷6=10（堆）．因为20＞15＞10，所以C的分法得到的堆数最少．故选：C．点评：考查了整数除法的意义和整数大小的比较．。