第四讲最大公因数和最小公倍数(一)解答【五竞】
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第八讲最大公因数和最小公倍数(一) 知识导航互质数：如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。
求几个数的最大公因数和最小公倍数，通常用短除法和分解质因数的方法。
即先分解质因数，然后将其公有的质因数相乘，则为它们的最大公因数；将公有的质因数和各自独有的质因数连乘，其积为最小公倍数。
精典例题例1：用短除法计算：（1）(54,90),[54,90] (2)(45,75,90)【分析】求最大公因数可用列举法，分解质因数法，小数缩倍法，大减小法，短除法。
求最小公倍数可用列举法，分解质因数法，大数扩倍法，短除法。
(54,90)=2×3×3=18,[54,90]= 2×3×3×3×5=270(45,75,90)= 3×5=15例2:利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数。
(1)144和250 （2）240、80和96【分析】分解质因数法，最大公因数=公有质因数乘积，最小公倍数=公有质因数×独有质因数。
（1）144=2×2×2×2×3×3250=2×5×5×5（144，250）=2 【144，250】=2×2×2×2×3×3×5×5×5=18000（2）240=2×2×2×2×3×580=2×2×2×2×596=2×2×2×2×2×3（240，80，96）=2×2×2×2=16【240，80，96】=2×2×2×2×3×5×2=480.例3:利用辗转相除法求下列各组数的最大公约数。
【分析】辗转相除法适用于大数并且无法估计时。
先大÷小，再除数÷余数，直到能整除，除数为最大公因数。
（1）377和221 (2)511和1214（1）377÷221=1......156 （2）1214÷511=2 (192)221÷156=1......65 511÷192=2 (127)156÷65=2......26 192÷127=1 (65)65÷26=2......13 127÷65=1 (62)26÷13=2 65÷62=1 (3)（377，221）=13 62÷3=20 (2)3÷2=1 (1)2÷1=2（511，1214）=1例4：计算（1573,1547,1859）。
【分析】大数且无法估计，且很接近，先算两个数的，再求与第三个数的最大公因数。
1573÷1547=1 (26)1547÷26=59 (13)26÷13=2 （1573，1547）=131859÷13=143（13，1859）=13（1573,1547,1859）=13例5:智慧芒师在班上发水果，一共有59个苹果，97个梨，平均分给班上的学生，最后剩下5个苹果，7个梨。
请问班里一共有多少名学生？【分析】设有n名学生，根据题意得：59÷n余5，97÷n余7；59-5=54能被n整除； 97-7=90能被n整除；N为54和90的公因数，且大于7.（54，90）=18. 18的因数有：1，2，3，6，9，18.班上一共有9名或18名学生。
答：班上一共有9名或18名学生。
例6:庆祝六一儿童节，学校买了红花180朵，黄花234朵，白花360朵。
把这些花扎成三色的花束，所有花束里的红花朵数相同，黄花朵数相同，白花朵数也相同，至多可扎成几束花正好把花用完?每束中的红花、黄花、白花各几朵?【分析】要求每束花里，相同的颜色的花朵数相同，则扎成的花束一定能整除180，234，360.最多的花束，为它们的最大公因数。
（180，234，360）=3×3×2=18束。
每束花中红花有180÷18=10朵；黄花有234÷18=13朵；白花有360÷18=20朵；答：最多可以扎18束花，每束花中的红花10朵，黄花13朵，白花20朵。
例7:有些自然数既能够表示成连续9个整数之和，又能够表示成连续11个整数之和，还能表示成连续12个整数之和，则所有这样的数中最小的一个数是多少?【分析】设这个最小的自然数为n.根据等差数数和公式得N=(a1+a9)×9÷2可得n能被9整除；N=(a1+a11)×11÷2可得n能被11整除；N=(a1+a12)×12÷2，12个数可分为6对，每对的和为奇数，可得n能被6整除；最小的一个数就是【9，11，6】=198.答：最小的一个数是198.家庭作业1.计算：（28,72），【28,72】；（28,44,260），【28,44,260】。
（28,72）=2×2=4；【28,72】=2×2×3×3×7=504；（28,44,260）=2×2=4；【28,44,260】=2×2×5×7×11×13=20020；2.计算：（36,99），【36,99】；（24,28,42），【24,28,42】。
（36,99）=3×3=9；【36,99】=3×3×4×11=396；（24,28,42）=2；【24,28,42】=2×2×2×3×7=168.3.计算：（1085,1178），【1085,1178】。
1178÷1085=1……93；1085÷93=11……62；93÷62=1……31；62÷31=2；（1085,1178）=31.根据（甲，乙）×【甲，乙】=甲×乙得【1085,1178】=1085×1178÷31=41230.4.两个数的和为70，它们的最大公因数是7，这两个数的差是多少?【分析】设A=7a,B=7b。
得7a+7b=70,a+b=10.因为a与b互质，10=1+9=3+7.A=1×7=7; 3×7=21B=9×7=63; 7×7=49两数的差63-7=56或49-21=28.答：这两个数的差是56或21.5.用一个数去除30, 60, 75，都能整除，这个数最大是多少?【分析】这个数最大是（30，60，75）=15.答：这个数最大是15.6.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯。
问:下一次既响铃又亮灯是几点钟?【分析】每次亮灯时间是9的倍数，同时整点即经过60分钟响一次铃，说明响铃时间是60的倍数。
从12点起，下一次既响铃又亮灯是9和60的最小公倍数。
【9，60】=180分钟=3时。
12时加3点，下午三点答：下一次既响铃又亮灯是下午3点钟7.将一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而无剩余，问至少可以剪出多少块正方形？【分析】要使正方形块数最少，则正方形要最大，正方形边长是90和42的最大公因数。
边长最大是（90，42）=6；剪出：（90÷6）×（42÷6）=15×7=105块。
答：至少剪出105块正方形。
8.小高把62个奶糖和75个水果糖平均分给他的朋友们，最后剩下2个奶糖，3个水果糖。
请问小高把糖分给了多少个朋友?【分析】设有n个小朋友，根据题意得：62÷n余2，75÷n余3；62-2=60能被n整除； 75-3=72能被n整除；N为60和72的公因数，且大于3.（60，72）=12. 12的因数有：1，2，3，4，6，12.小朋友的人数有4，6，12人。
答：小高把糖分给了4，6或12个小朋友。
9.有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物?在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少?【分析】要求每份礼物里，有相同的东西，则礼物的份数一定是336，252和210的公因数。
最多份数为336，252，210的最大公因数。
（336，252，210）=2×3×7=42份。
每份礼物中铅笔有336÷42=8支；橡皮有252÷42=6块；文具盒有210÷42=5个；答：最多可以分成42份同样的礼物，在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有8支，6块，5个。
10.有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。
现在把它们截成相等的小段，每一根都不能有剩余，每小段最长为多少米?一共可截成多少段?【分析】截成相等的小段，每段长度是120，180，300的公因数，最长的长度为120，180，300的最大公因数。
每段最长是（120，180，300）=2×2×3×5=60厘米；一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=2+3+5=10段。
答：每小段最长是60厘米，一共可截成10段。
