四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学(理)试题答案

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________． 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ．故答案为：23． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为：12． 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．专题13 平面向量CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【命题意图】主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力和方程思想、数形结合思想的运用．【命题规律】在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及向量的坐标运算，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大． 【答题模板】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0； （2）若a ∥b （a ≠0），则b ＝λa ，应视题目条件灵活选择． 【知识总结】 1．向量的有关概念向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫作向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作 AB u u u r，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．向量的长度（模）：向量AB u u u r 的大小即向量AB u u u r 的长度（模），记为|AB u u u r|．（1）向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． （2）任意向量a 的模都是非负实数，即|a |≥0．（3）向量不能比较大小，但|a |是实数（正数或0），所以向量的模可以比较大小． 2．几种特殊向量 特殊向量 定义备注零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的． 单位向量长度等于1个单位的向量 单位向量记作a 0，a 0=||aa ． 平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）0与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量． 相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a ，b 为相反向量，则a =–b ．说明：（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0；（2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量； （4）与向量a 平行的单位向量有两个，即向量||a a 和–||a a ． 3．平面向量运算的坐标表示运算坐标表示和（差） 已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2），a –b =（x 1–x 2，y 1–y 2）． 数乘 已知a =（x 1，y 1），则λa =（λx 1，λy 1），其中λ是实数．任一向量的坐标已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB u u u r=（x 2–x 1，y 2–y 1）．说明：（1）相等的向量坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 4．平面向量共线的坐标表示（1）如果a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件为x 1y 2–x 2y 1=0．（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点共线的充要条件为（x 2–x 1）（y 3–y 1）–（x 3–x 1）（y 2–y 1）=0，或（x 2–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 2–y 1），或（x 3–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 3–y 1）． 5．向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零． （2）向量数量积的性质设a ，b 为非零向量，它们的夹角为θ，则①设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e ·a =a ·e =|a |cos θ； ②a ⊥b ⇔a ·b =0；③当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a ，b 反向时，a ·b =–|a ||b |．特别地，a ·a =a 2=|a |2或|a ④|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a 与b 共线，即a ∥b 时等号成立；⑤cos θ=·||||a ba b ． （3）向量数量积的运算律 ①交换律：a ·b =b ·a ；②数乘结合律：（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）； ③分配律：（a +b ）·c =a ·c +b ·c ． （4）平面向量数量积的几何意义 ①一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫作向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫作向量a 在向量b 的方向上的投影． ②a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 ①θ为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线； ②θ为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线；③当a ·b >0时，cos θ>0，则θ是锐角或θ=0°（此时cos θ=1）； ④当a ·b <0时，cos θ<0，则θ是钝角或θ=180°（此时cos θ=–1）． 【方法总结】1．只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． （1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；（3）如果对于一组基底e 1，e 2，有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则可以得到1122,.λμλμ=⎧⎨=⎩2．平面向量的线性运算的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3．向量的线性运算（1）向量的线性运算集中体现在三角形中，可构造三角形，利用向量加减法的三角形法则表示相关的向量，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，得出含相关向量的关系式． （2）向量线性运算的常用结论：①在△AB C 中，若D 是BC 的中点，则AD u u u r =12（AC u u u r +AB u u u r）；②O 为△ABC 的重心的充要条件是OA u u u r +OB uuu r +OC u u u r=0；③四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB u u u r +DC u u u r =2EF u u u r．4．利用共线向量定理解题的策略（1）a ∥b ⇔a =λb （b ≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔,AB AC u u u r u u u r共线．（3）若a 与b 不共线且λa =μb ，则λ=μ=0．（4）OA u u u r =λOB uuu r +μOC u u u r（λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则λ+μ=1．5．利用平面向量基本定理解题的策略（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．注意：（1）若a ，b 为非零向量，且a ∥b ，则a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．（2）零向量和共线向量不能作基底，基底通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．6．向量坐标运算问题的一般思路（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算． （2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．7．求向量模长利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1）a2=a·a=|a|2或|a（2）|a±b；（3）若a=（x，y），则|a8．求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；（3）利用绝对值三角不等式||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围．9．求向量夹角问题的方法（1）定义法：当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ=·||||a ba b求得；（2）坐标法：若已知a=（x1，y1）与b=（x2，y2），则cos<a，b，<a，b>∈[0，π]．10．用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．11．平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查，解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．1．【广西南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，()1,2=-b ，则·(2)-=a a b A ．5 B ．6 C ．7D ．82．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，(),2x =b 且·(2)3-=a a b ，则实数x 的值为A ．12-B ．12C ．3-D ．33．【广西钦州市2019届高三4月综合能力测试（三模）数学】已知平面向量,AB AC u u u r u u u r的模都为2，,90AB AC =ouu u r uuu r ，若()0BM MC λλ=≠u u u u v u u u u v ，则()AM AB AC +=uuu r uu u r uuu r gA ．4B ．2C D ．04．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知菱形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，120ABC =o ∠，则DE AC ⋅u u u v u u u v的值为 A ．4 B ．–3C D ．5．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ= A ．2 B ．-2 C ．12 D ．1-26．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】已知向量(2,1),(1,7)=-=a b ，则下列结论正确的是 A ．⊥a b B ．∥a b C ．()⊥-a a bD ．()⊥+a a b7．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=u u u u r u u u r ，(1)()AN AC R λλ=-∈u u ur u u u r ，设()f BN CM λ=⋅u u u r u u u u r ，当函数()f λ的最大值为–2时，a =A ．3 B ．C D ．8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》数学】已知向量()1,2=a ，()2,m =b ，且⊥a b ，则m = A ．4 B ．1 C ．1-D ．4-9．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第七次模拟考试数学】已知向量=a b ,a b 间的夹角为34π，则2-=a bA BC D 10．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知向量,a b 的夹角为2π，且()2,1=-a ，2=b ，则2+=a bA ．B ．3C D11．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】设向量(1,)x x =-a ，(1,2)=-b ，若∥a b ，则x =A ．32- B ．–1 C ．23 D ．3212．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知向量,a b 满足()+=⊥+a a b a a b ，则a 与b 的夹角是A ．56π B ．23π C ．π3D ．6π13．【云南省红河州2018届高三复习统一检测数学】在ABC △中，2CM MB =u u u u r u u u r ，AN CN =+0u u u r u u u r，则A ．2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．2376MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC ．1263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u rD ．7263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u r14．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】已知向量()1,1=-a ，()8,k =b ，若∥a b ，则实数k =__________．15．【广西柳州高级中学2017–2018学年高三5月模拟考试数学】已知向量()2,3=a ，(),6m =-b ，若⊥a b ，则|2|+=a b __________．16．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知向量=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =__________．17．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知向量()1,5=a ，()2,1=-b ，(),3m =c ．若()⊥+b a c ，则m =__________．18．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】设向量(,1),(4,2)x ==a b ，且∥a b ，则实数x 的值是__________．19．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC AD AB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=__________．20．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】已知1=b ，2⋅=a b ，则向量(2)-⋅=a b b __________．21．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u v u u u v u u u v ，则||OP uuu v ＝__________．22．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学】已知向量a =（sin2α，1），b =（cos α，1），若∥a b ，π02α<<，则=α__________． 23．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】如图，已知AB 为圆C 的一条弦，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r，则AB u u u r =______．24．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ=__________．25．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】在ABC △中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r (),x y ∈R ，且21x y +=，则ABC △的面积的最大值为_____．26．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】已知O 为原点，点()2,3A ，()1,5B ，(),3C m ，若AB OC ⊥u u u r u u u r ，则实数m =__________．27．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】直线230x y +-=与圆22220x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则||OA OB +=u u u r u u u r__________．28．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】已知向量()()1,1,,2m =-=a b ，若5-=a b ，则实数m =__________． 29．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知向量()1,3=-a ，()1,t =b ，若()2-⊥a b a ，则t =__________．30．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =u u u r u u u r ．则AB AD ⋅=u u u r u u u r __________． 31．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知向量()(),1,3,2x ==-a b ，a b，则x __________．若∥。

○…………外…………○…………内…………绝密★启用前【校级联考】四川省教考联盟2019届高三第三次诊断性考试数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设全集U =R ，集合A ={x|x 2−1>0}，B ={x|0<x ≤2}，则集合(C U A)∩B =（ ） A ．(−1,1)B ．[−1,1]C ．(0,1]D ．[−1,2]2．在复平面内，复数z 对应的点是Z(−1,2)，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．−1+2iB ．−1−2iC ．1+2iD ．1−2i3．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为（ ） A ．7200B ．2880C ．120D ．604．已知向量a ⃑=(√2,−√2)，b ⃑⃑=(cosα,sinα)，则|a ⃑−b ⃑⃑|的最大值为（ ） A ．1B ．√5C ．3D ．95．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）○…………线…………※○…………线…………A ．-1 B ．0 C ．√22D ．16．几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．729B ．428C ．356D ．2437．下列说法中错误的是（ ）A ．先把高二年级的1000多学生编号为1到1000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为m +50，m +100，m +150……的学生，这样的抽样方法是系统抽样法B ．正态总体N(1,9)在区间(−1,0)和(2,3)上取值的概率相等C ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．若一组数据1、a 、2、3的平均数是2，则该组数据的众数和中位数均是2 8．A ，B 是⊙O ：x 2+y 2=1上两个动点，且∠AOB =120°，A ，B 到直线l ：3x +4y −10=0的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2的最大值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．已知四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在AD 上，等腰直角三角形ABC 的斜边AC 为2，DC =2√2，则这个球的表面积为（ ） A ．25π4B ．8πC ．12πD ．16π10．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，其图象向左平移π6个单位后所得图象关于y 轴对称，则f(x)的单调递增区间为（ ） A ．[−5π12+kπ,π12+kπ]，k ∈Z B ．[−π3+kπ,π6+kπ]，k ∈ZC ．[−5π12+2kπ,π12+2kπ]，k ∈ZD ．[−π12+kπ,5π12+kπ]，k ∈Z11．在数列{a n }中，已知a 1=1，且对于任意的m,n ∈N ∗，都有a m+n =a m +a n +mn ，则∑1a i=2019i=1（ ）201920182019202112．已知定义在R上的函数f(x)关于y轴对称，其导函数为f′(x).当x≥0时，不等式xf′(x)>1−f(x).若对∀x∈R，不等式e x f(e x)−e x+ax−axf(ax)>0恒成立，则正整数a的最大值为（）A．1B．2C．3D．4……○…………装※※请※※不※※……○…………装第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件{3x −2y ≥03x −y −3≤0y ≥0 ，则yx−4的最小值为_____．14．已知等比数列{a n }中，a 2=2，a 5=14，则a 1a 2+a 2a 3+...+a 5a 6=_______．15．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x)+f(x +2)=0，且f(1)=−2，则f(2019)+f(2018)的值为__________．16．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 与圆O ：x 2+y 2=5有公共点P(1,−2)，且圆O 在点P 处的切线与双曲线C 的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为________． 三、解答题17．槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解A ，B 两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.（1）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a ≥b 的概率；（2）从所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上（包含20颗）的同学中随机抽取3人，求被抽到B 班同学人数的分布列和数学期望.18．如图，在ΔABC 中，已知点D 在BC 边上，且AD ⊥AC ，sin∠BAC =2√77，AD =1，AB =√7.订…………○……………○……__考号：___________订…………○……………○……（1）求BD 的长； （2）求ΔABC 的面积.19．如图，在棱长为1的正方体PB 1N 1D 1−ABND 中，动点C 在线段BN 上运动，且有BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAD⃑⃑⃑⃑⃑⃑(0<λ≤1).（1）若λ=1，求证：PC ⊥BD ；（2）若二面角B −PC −D 的平面角的余弦值为−5√1122，求实数λ的值. 20．已知点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l ：x =4的距离的比是常数12，点M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 1：y =kx 交曲线C 于A ，B 两点，当点M 不在A 、B 两点时，直线MA ，MB 的斜率分别为K 1，K 2，求证：K 1，K 2之积为定值. 21．已知函数f(x)=ax 2+(a −2)x −lnx . （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a 的取值范围. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ=4cosθ，过点P(2,−1)的直线l 的参数方程为：{x =2+t y =−1−t（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求线段|MN |的长和|PM |⋅|PN |的积. 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f(x)=|x −2|−|x −1|.（1）若正数a，b满足a+2b=f(−1)，求2a +1b的最小值；（2）解不等式f(x)>12.参考答案1．C【解析】【分析】解出集合A，再求出C U A，再利用交集概念求解。

2019届四川省高三下三诊考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知为虚数单位，复数满足，复数所对应的点在（） A．第一象限 _____________________________________ B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2. 已知，则（）A．_________________________________ B．______________________________ C．______________________________D．3. 执行如图所示程序框图，则输出的为（）A． B． C．D．4. “，使” 是“ ” 成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件5. 已知实数，则点落在区域，内的概率为（）A． B． C．D．6. 甲、乙、丙、丁和戊名同学进行数学应用知识比赛，决出第名至第名（没有重名次）. 已知甲、乙均未得到第名，且乙不是最后一名，则人的名次排列情况可能有（）A．种___________________________________ B．种C．种___________________________________ D．种7. 若函数同时满足以下三个性质；① 的最小正周期为；②对任意的，都有；③ 在上是减函数，则的解析式可能是（）A．_____________________________________B．C． D．8. 在长方体中，、分别是棱、上的动点，如图, 当的长度取得最小值时，二面角的余弦值的取值范围为（）A．_________________________________ B．______________________________ C．_________________________________ D．9. 设、是拋物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，过点作的垂线与拋物线交于、两点，则四边形的面积的最小值为（）A． B． C．D．10. 已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是（）A. ________________________ B．_________________________________ C．____________________________ D．二、填空题11. 已知向量与共线且方向相同，则 _________ ．12. 若展开式各项系数之和为，则展开式的常数项为________ ．13. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为元，每桶水的进价是元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.请根据以上数据分析，这个经营部定价在 _________ 元/桶才能获得最大利润.14. 在平面直角坐标系中，点若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是 _________ ．15. 已知函数，其中常数，给出下列结论：① 是上的奇函数；②当时，对任意恒成立；③ 的图象关于和对称；④若对，使得，则．其中正确的结论是 _________ ．（请填上你认为所有正确结论的序号）三、解答题16. 体育课上，李老师对初三（1）班名学生进行跳绳测试，现测得他们的成绩（单位：个）全部介于与之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：，第二组：，……，第五组：），并绘制成如右图所示的频率分布直方图．（1）求成绩在第四组的人数和这名同学跳绳成绩的中位数；（2）从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为，求的分布列及数学期望．17. 已知在中，角所对的边长分别为且满足．（1）求的大小；（2）若，求的长．18. 已知各项均为正数的数列的前项满足．（1）求数列通项公式；（2）设为数列的前项和，若对恒成立，求实数的最小值．19. 如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形，在图①中，设平面与平面相关交于直线．（1）求证：面；（2）在图①中，线段上是石存在点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，以为直径的圆与轴正半轴交于点．是否存在实数，使得的内切圆的圆心在轴上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21. 设，其中是正常数，且．（1）求函数的最值；（2）对任意的正数，是否存在正数，使不等式成立？并说明理由；（3）设且，证明：对任意正数都有．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。

2019年高三年级第三次诊断性测试（理科数学答案）一、选择题：每小题5分.1~5 BABBC 6~10 ABDCD 11~12 CC 二、填空题：每小题5分. 13.23π14.3 15.2 16.15,28éö÷ê÷êëø三、解答题：17.（12分）（Ⅰ）由正弦定理得1sin C=Û()sin cos cos sin C B B C C B =+-()()()sin tan B C B C B C Û+=+Û+=∴60B C +=°，∴120A =°； …6分（Ⅱ）1sin 2S bc A ==，∵222222cos 3a b c bc A b c bc bc =+-=++³，即33bc ³∴1bc £，∴1sin 2S bc A ==£…12分 18.（12分）（Ⅰ）如图，取AD 中点G ，联结CG 交BD 于Q ，∴1//CG C E ，联结AF 交BD 于P ， ∵,F G 都是中点，∴AFCG 是平行四边形， ∴//PF CG ，∴//PF 平面1DEC ， 又∵//AF CG ，∴BP PQ QD ==，∴133BP BD ==； …6分（Ⅱ）建立空间直角坐标系，易得二面角1P EC D --的余弦值为13. …12分19. （12分）（Ⅰ）由已知可得100x =，()922221100671496000i i x ==´+++=å ，∴9221996000900006000i i x x =-=-=å，又()91ln 2522i i i x y =×=å，24.022.679v =»，∴25229 2.67100119ˆ0.0260006000b-´´==»， ˆ 2.670.021000.67a =-´=， ∴回归方程为：0.020.67x y e +=； …6分 （Ⅱ）由 3.67ˆ39.25ye =»，而39.25 1.247.147´=>， ∴这一在校男生的体重是正常的. …12分 20.（12分）（Ⅰ）由2b =，e =，得21c =，25a =，∴椭圆的方程为22154x y +=； …5分（Ⅱ）设P 为MN 的中点，由题意得2BF FP =，()0,2B ，()1,0F ，设(),P x y ，则()1,2BF =- ，∴1,12FP æöç÷=-ç÷èø ，即3,12P æöç÷-ç÷èø， 设直线l ：312y k x æöç÷+=-ç÷èø，即312y kx k æöç÷=-+ç÷èø，代入2245200x y +-=得 ()()222354532512002k x k k x k æöç÷+-+++-=ç÷èø， ∴()22253231510151254k k k k k k +=Þ+=++，∴65k =， ∴直线l 的方程为65140x y --=，联立2215465140x y x y ì+=ïíï--=ïî得2721120x x -+=， ∴MN =又d ==，∴11223535BMN S d MN D =××==. …12分21. （12分） （Ⅰ）由()()()()'221111xx x e ax e x fx a x xx --æö-ç÷=+-=ç÷èø，∴()22'2244e e a f -==， ∴0a =； …5分（Ⅱ）由()()()()'210xx eaxfx x x--=>设()()0x g x e ax x =->，则()'x g x e a =-，∴()()01g x g >=， ∴①若01a <£时，()'x g x e a =-，∴()()01g x g >=，∴()f x 在()0,1上递增，在()1,+¥上递减，∴()()min 11f x f e a e ==-³-，显然满足()20f x e +³，②若1a e <£时，()'0ln g x x a =Þ=，∴()()()ln ln 1ln 0g x g a a a a a a ³=-=-³， 同①则()()min 10f x f e a ==-³，也满足()20f x e +³， ③若2e a e <£时，()'0x g x e a =Þ=，∴(]ln 1,2x a =Î，∴()()()min ln 1ln 0g x g a a a ==-<， ∴()g x 在()0,+¥上存在两个零点12,x x ，且()10,1x Î，()21,x Î+¥，()f x 在()0,1和()21,x 上是减函数，在()1,1x 和()2,x +¥上是增函数，∴()f x 在1x 和2x 处取得极小值，由()()()1111111ln ln x e f x a x x a a x x x =+-=+-，又11x e ax =，∴11ln ln x a x =+，即11ln ln x x a -=-，∴()()1ln 1ln f x a a a a a =-=-，同理()()21ln f x a a =-，∴()()min 1ln f x a a =-， 记()()()21ln h a a a e a e =-££，则()()''ln 11ln ln 0h a a a a a a =-=--=-<，∴()()()222min 12h a h e e e ==-=-，∴2e a e ££时，()()221ln 0f x e a a e +³-+³， 综上所述 20a e ££时()20f x e +³成立. …12分 22. （10分）（Ⅰ）sin cos 0x αy α-=，()2221x y -+=； …5分 （Ⅱ）直线参数方程代入圆的方程得()()22cos 2sin 1t αt α-+=，化简得24cos 30t t α-+=，当06πα<<cos 1α<<，2316cos 04αæöç÷D =->ç÷èø成立，∴12124cos OA OB t t t t α+=+=+=，∵06πα<<，∴4OA OB <+<. …10分 23. （10分）（Ⅰ）()32f x x >-+，即123x x +++>，由数轴得()(),30,x Î-¥-+¥∪； …5分 （Ⅱ）∵()[]11,1f x x x x -=+-Î-，要证()f x x -£1£∵2a b +=2a b =+³14ab £，1==³. …10分以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分．。

四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集是实数集R ，M ={x |x ＞1}，N ={x |x ＜2}，则M ∩N =（ ）A. {x|1≤x ≤2}B. {x|x >2，或x <1}C. {x|1<x <2}D. {x|x ≥2，或x ≤1} 2. 复数z =1+2i 3（i 为虚数单位），则|z |=（ ）A. 1+2iB. 1−2iC. √5D. 5 3. 设命题p ：∀x ∈[0，π4)，sinx ＜cosx ，则￢p 为（ ）A. ∃x 0∈[0,π4), sinx 0≥cosx 0 B. ∃x 0∈[0,π4), sinx 0<cosx 0 C. ∀x ∈[0,π4), sinx ≥cosxD. ∀x ∈[0,π4), sinx >cosx4. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A. 64B. 32C. 16D. 55. 已知实数x ，y 满足{x +y ≤2，2x +y ≥2，y ≥0，则z =x +2y 的最小值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 16. 已知函数y =sin3x ，则下列说法正确的是（ ）A. 函数图象关于y 轴对称B. 函数图象关于原点对称C. 函数在(−π6,π3)上是减函数D. 函数在(−π6,π3)上是增函数7. 已知函数f （x ）满足f （0）=2，且对任意x ∈R 都满足f （x +3）=-f （x ），则f （2019）的值为（ ） A. 2019 B. 2 C. 0 D. −28. 一个四棱柱的底面是正方形，且侧棱与底面垂直，其正（主）视图如图所示，则其表面积等于（ ） A. 16 B. 8 C. 4√2 D. 4+4√2 9. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b =2，B =60°，△ABC 的面积为√3，则a +c =（ ） A. 4 B. √14 C. 2 D. 4+2√3 10. 如图，已知AB 是圆心为C 的圆的一条弦，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =92，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=（ ）A. 3B. 9C. √3D. 2√311. 如图，矩形ABCD 中，|AB |=8，|BC |=6，O 为坐标原点，E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，R ，T 在线段OF ，CF 上，OR =kOF ，CT =kCF ，直线ER 与直线GT 相交于点M ，则点M 与椭圆C 1：x 216+y 29=1的位置关系是（ ）A. 点M 在椭圆C 1内B. 点M 在椭圆C 1上C. 点M 在椭圆C 1外D. 不确定12. 若a ∈R ，且a ＞1，函数f(x)=2a xa x +1+log a 1+x1−x，则不等式f （x 2-2x ）＜1的解集是（ ） A. (0,2)B. (0,1)∪(1,2)C. (−∞,0)∪(2,+∞)D. (−∞,1−√2)∪(1+√2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f （x ）=x 3-2x +3，则曲线l 在点x =1处的切线的斜率为______．14. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，点P （1，√3），在角α的终边上，则sin(α+π3)=______．15. 已知直线x +ay +3=0与圆O ：x 2+y 2=4相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且△AOB 为等边三角形，则实数a 的值为______．16. 如图所示，球O 半径为R ，圆柱O 1O 2内接于球O ，当圆柱体积最大值时，圆柱的体积V =4√39π，则R =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，且S n =2a n -1，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 2a n +1，求数列{1bn b n+1}的前n 项和T n ．18. 某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查．从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比为32．商家认为一年以内（含一年）更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机．现按照性别采用分层抽样的方法从中抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表： 时间间隔（月） [3，6] （6，9] （9，12] （12，15] （15，18] （18，21] （21，24] 男性x 8 9 1812 8 4女性y25131172（1）计算表格中x、y的值；（2）若以频率作为概率，从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中，随机抽取2人，求这2人均为男性的概率；（3）请根据频率分布表填写2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”．频繁更换手机未频繁更换手机合计男性顾客女性顾客合计附表及公式：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，∠FAD=90°，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，AF=AB=2，BC=4，EF=1．（1）求证：CD⊥DE；（2）求五面体ABCDEF的体积．20.已知点M（1，-2）在抛物线E：y2=2px（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）直线l1，l2都过点（2，0），l1，l2的斜率之积为-1，且l1，l2分别与抛物线E相交于点A，C和点B，D，设M是AC的中点，N是BD的中点，求证：直线MN恒过定点．21.已知函数f（x）=ln x．（1）求函数y=f（x）-x的单调区间；（2）求证：函数g（x）=e x-e2f（x）的图象在x轴上方．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为{x=3+2cosα，y=2√3+2sinα（α为参数）．（1）写出C的普通方程，求C的极坐标方程；（2）若过原点的直线l与C相交于A，B两点，AB中点D的极坐标为(ρ0，π3)，求D的直角坐标．23.设函数f（x）=x+|2x-4|+1，g(x)=|x+m|+|x−2m|，其中m≠0．（1）解不等式f（x）≤4；（2）设f（x），g（x）的值域分别为A，B，若A⊆B，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵M={x|x＞1}，N={x|x＜2}；∴M∩N={x|1＜x＜2}．故选：C．进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：复数z=1+2i3=1-2i，则|z|==．故选：C．化简复数z，根据模长的定义计算|z|的值．本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即￢p：∃x0∈[0，），sinx0≥cosx0，故选：A．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】C【解析】解：n=2，A=2，n≥5否，n=3，A=4，n≥5否，n=4，A=8，n≥5否，n=5，A=16，n≥5是，输出A=16，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．5.【答案】D【解析】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A（1，0）时，直线的截距最小，此时z最小．即z=1+2×0=1，故选：D．求出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，件即可求出z的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：函数为奇函数，图象关于原点对称，则B正确，A错误，当-＜x＜时，-＜3x＜π，此时函数y=sin3x，不是单调函数，则C，D错误，故选：B．根据三角函数的奇偶性和单调性进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础．7.【答案】D【解析】解：∵f（x+3）=-f（x），∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），∴f（x）的周期为6，∴f（2019）=f（3），又f（3）=-f（0）=-2，∴f（2019）=-2．故选：D．先判断f（x）的周期，得出f（2019）=f（3），再根据条件计算f（3）即可．本题考查了函数周期的判断与应用，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图，该几何体的为底面边长为，高为1的正四棱柱．故：S==4+4．故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步利用体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：△ABC中，b=2，B=60°，所以△ABC的面积为S=acsinB=ac•=，解得ac=4；又b2=a2+c2-2accosB，即4=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-12，所以（a+c）2=16，解得a+c=4．故选：A．利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求出a+c的值．本题考查了余弦定理和三角形面积公式的应用问题，也考查了特殊角的三角函数值应用问题，是基础题．10.【答案】A【解析】解：过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点．Rt△ACD中，AD=AB，=，====．所以=3．故选：A．过点C作CD⊥AB于D，可得AD=AB，Rt△ACD中利用三角函数的定义算出=，再由向量数量积的公式加以计算，结合，求解即可．本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：∵OR=kOF，CT=kCF，∴R（4k，0），T（4，3-3k）直线GT的方程为y=-x+3 ①又E（0，-3）则直线ER的方程为y=x-3 ②由①②消去k，得到直线ER与直线GS的交点M的轨迹方程：+=1．∴点M在椭圆C1：+=1上．故选：B．OR=kOF，CT=kCF，可得R（4k，0），T（4，3-3k），可得直线GT、ER的方程，联立解得直线ER与直线GS的交点M的轨迹方程，即可判断出结论．本题考查了椭圆的标准方程、直线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：由＞0，解得-1＜x＜1．可得函数f（x）的定义域为：（-1，1）．y==2-在（-1，1）上单调递增．y==-1在（-1，1）上单调递增，a＞1，∴y=在（-1，1）上单调递增．∴f（x）在（-1，1）上单调递增．又f（0）=1．∴不等式f（x2-2x）＜1即不等式f（x2-2x）＜f（0），∴-1＜x2-2x＜0，解得0＜x＜2，且x≠1．∴不等式f（x2-2x）＜1的解集为（0，1）∪（1，2）．故选：B．由＞0，解得-1＜x＜1．可得函数f（x）的定义域为：（-1，1）．分别判定函数y=，y=，y=在（-1，1）上单调性质，可得f（x）在（-1，1）上单调性，利用单调性即可解出不等式f （x2-2x）＜1即不等式f（x2-2x）＜f（0）的解集．本题考查了函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：函数f（x）=x3-2x+3，导函数f′（x）=3x2-2，则曲线l在点x=1处的切线的斜率为：f′（1）=1．故答案为：1．求出函数的导数，代入x=1即可得到切线的斜率．本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力．14.【答案】√32【解析】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P（1，），在角α的终边上，∴tanα=，∴α=+2kπ，k∈Z，则=sin（+2kπ）=sin=，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得α的值，可得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．15.【答案】±√2【解析】解：圆心（0，0）到直线x+ay+3=0的距离d=，依题意cos30°=，即=，解得a=．故答案为：±．先求圆心到直线的距离d，再根据△AOB为等边三角形意cos30°=，可解得．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．16.【答案】√23⋅√63【解析】解：设小圆O1，O2的半径为r，如图，作出球O及其内接圆柱的轴截面得到四边形ABCD，由题意得到AB=CD=2r，当BC=AD=2r时，圆柱的体积最大，此时R2+R2=4r2，即R=，圆柱体积V=，解得r=，∴R==．故答案为：．设小圆O1，O2的半径为r，作出球O及其内接圆柱的轴截面得到四边形ABCD，当BC=AD=2r时，圆柱的体积最大，由此能求出结果．本题考查球半径的求法，考查球、内接圆柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．17.【答案】解：（1）∵S n=2a n−1(n∈N∗)，∴n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1．n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n-1-（2a n-1-1），可得a n=2a n-1．∴数列{a n}是以首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n-1．（2）b n=log2a n+1=n．∴1 b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1．∴T n=(1−12)+(12−13)+…+(1n−1n+1)=1-1n+1=nn+1．【解析】（1）由，可得n=1时，a 1=2a 1-1，解得a 1．n≥2时，a n =S n -S n-1，可得a n =2a n-1．再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =log 2a n+1=n ．可得==．利用“裂项求和”方法即可得出．本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）由题知男性顾客共有350×35=210人，女性顾客共有350×25=140人，按分层抽样抽取105人，则应该抽取男性顾客105×210350=63人，女性顾客105×140350=42人；所以x =63-（8+9+18+12+8+4）=4，y =42-（2+5+13+11+7+2）=2；………………………………（3分）（2）记“随机从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中， 抽取2人”为事件A ，设男性分别为a ，b ，c ，d ，女性分别为e ，f ，则事件A 共包含（a ，b ）（a ，c ）（a ，d ）（a ，e ）（a ，f ）（b ，c ）（b ，d ）（b ，e ）（b ，f ）（c ，d ）（c ，e ）（c ，f ）（d ，e ）（d ，f ）（e ，f ）15个可能结果，其中2人均男性有（a ，b ）（a ，c ）（a ，d ）（b ，c ）（b ，d ）（c ，d ）6种可能结果，所以2人均男性的概率为P （A ）=615=25；………………………………（7分）（3）由频率分布表可知，在抽取的105人中，男性顾客中频繁更换手机的有21人，女性顾客中频繁更换手机的有9人，据此可得2×2列联表： 频繁更换手机 未频繁更换手机 合计男性顾客 21 4263 女性顾客 9 3342 合计 30 75105 所以K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=1.75；……………………（11分）因为1.75＜2.706，所以没有90%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”．……………………（12分）【解析】（1）由题意利用分层抽样原理计算应该抽取的男性、女性顾客人数，从而求得x 、y 的值；（2）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（3）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．19.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥DC，∵平面ADEF⊥平面ABCD且平面ADEF∩平面ABCD=AD，∠FAD=90°，∴FA⊥平面ABCD，∴FA⊥CD，∵FA∩AD=A，FA、AD⊂面ADEF，∴CD⊥面ADEF，∴CD⊥DE………………………………………………………（6分）（2）作EH⊥AD于点H，连接BH，∵平面ADEF⊥平面ABCD且平面ADEF∩平面ABCD=AD，∴EH⊥平面ABCD，∵∠FAD=90°，∴FA∥EH，∵EF∥AD，∴四边形AHEF是矩形，∵EF=1∴AH=1∵AB=2，BC=4，V多面体ABCDEF =V B−AFEH+V E−BCDH=13×S四边形AFEH×AB+13×S四边形BCDH×EH=1 3×1×2×2+13×(3+4)×22×2=43+143=6………………………………………………（12分）【解析】（1）说明AD⊥DC，推出FA⊥平面ABCD，得到FA⊥CD，即可证明CD⊥面ADEF，即可得到CD⊥DE．（2）作EH⊥AD于点H，连接BH，证明四边形AHEF是矩形，，求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】（12分）解：（1）∵点M（1，-2）在抛物线E：y2=2px上，∴（-2）2=2p，∴解得p=2，∴抛物线E的方程为：y2=4x………………………………………（4分）（2）由l1，l2分别与E相交于点A，C和点B，D，且由条件知：两直线的斜率存在且不为零．∴设l1：x=m1y+2，l2：x=m2y+2由{x=m1y+2y2=4x,得：y2-4m1y-8=0……………………………………（7分）设A（x1，y1），C（x2，y2），则y1+y2=4m1∴y M=2m1，又x M=2+2m12，即M(2+2m12，2m1)同理可得：N(2+2m22，2m2)………………………………………………………………………（9分）∴k MN=2m2−2m1(2+2m22)−(2+2m12)=1m1+m2，∴MN：y−2m1=1m1+m2(x−2m12−2)即MN：y=1m1+m2[x−2(1−m1m2)]，∵l1，l2的斜率之积为-1，∴1 m11m2=−1即m1m2=-1，∴MN：y=1m1+m2(x−4)，即直线MN过定点（4，0）．………………………………………（12分）【解析】（1）求出p即可求解抛物线方程．（2）设l1：x=m1y+2，l2：x=m2y+2，由得：y2-4m1y-8=0，设A（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理求出M，同理可得：N，求出斜率，推出直线方程，利用直线系求解直线MN过定点（4，0）．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．21.【答案】解：（1）由题意得：y′=1x −1=1−xx(x＞0)……………………………………………………………（2分）令y'=0则x=1……．………………………………………………………………………………（3分）当0＜x＜1时，y'＞0，∴函数在（0，1）上单调递增；……………………………………………（4分）当1＜x时，y'＜0∴函数在（1，+∞）上单调递减；………………………………………………（5分）（2）记函数g（x）=e x-e2ln x（x＞0）∴g′(x)=e x−e2x，易知g′（x）单调递增………………………………………………………（7分）又g′（1）=e-e2＜0，g′(2)=e2−e22=e22＞0，∴在（0，+∞）上存在一个x0∈（1，2），使得：g′(x0)=e x0−e2x0=0，即：e x0=e2x0，且ln x0=-x0+2………………………………………………………………（9分）当x∈（0，x0），有g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（x0，+∞），有g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴g(x)≥g(x0)=e x0−e2lnx0=e2x0−e2lnx0=e2x0+e2x0−2e2=x02−2x0+1x0e2＞0，∴e x-e2ln x＞0，∴函数g（x）=e x-e2f（x）的图象在x轴上方………………………………………………（12分）【解析】（1）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．（2）记函数g（x）=e x-e2lnx（x＞0）∴，易知g′（x）单调递增，又g′（1）=e-e2＜0，，说明在（0，+∞）上存在一个x0∈（1，2），使得：，然后利用单调性，推出函数的最值与0的关系，说明结果即可．本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大．22.【答案】解：（1）C 的普通方程(x −3)2+(y −2√3)2=4∴x 2+y 2−6x −4√3y +17=0……..………………..………………………..……………（3分）C 的极坐标方程ρ2−6ρcosθ−4√3ρsinθ+17=0……………………………．……………（5分）（2）由已知得直线l 的极坐标方程为θ=π3，代入ρ2−6ρcosθ−4√3ρsinθ+17=0，得ρ2-9ρ+17=0∴△=92-4×17＞0，设A(ρ1，π3)，B(ρ2，π3)，则ρ1+ρ2=9……..……………..………（7分） ∵D 是AB 中点∴ρ0=ρ1+ρ22=92，∴x D =92cos π3=94，y D =92sin π3=9√34………..…………..………（9分） ∴D 的直角坐标为(94，9√34)．……．……..………．………（10分） 【解析】（1）利用sin 2α+cos 2α=1消去参数α可得曲线C 的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C 的极坐标方程‘（2）联立直线l 和曲线C 的极坐标方程，根据韦达定理和中点公式可得D 的极坐标，再化成直角坐标．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f(x)={−x +5,x <23x−3,x≥2由f （x ）≤4得，{3x −3≤4x≥2或{−x +5≤4x<2，解得1≤x ≤73∴f （x ）≤4的解集为[1，73]……..………………..………………………………………（5分）（2）f(x)={−x +5,x <23x−3,x≥2，由分段函数的单调性得A =[3，+∞），g(x)=|x +m|+|x −2m |≥|(x +m)−(x −2m )|=|m +2m |，当x =-m 时取等号，∴B =[|m +2m |，+∞)时A ⊆B ∴|m +2m |≤3，|m|+|2m |≤3，|m|2−3|m|+2≤0，1≤|m|≤2∴m 的取值范围[-2，-1]∪[1，2]………………..………………………………………（10分）【解析】（1）分2段去绝对值解不等式再相并可得；（2）利用分段函数的单调性得A，利用绝对值不等式的性质得B，再根据子集关系列不等式可解得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。