最新人教版高中理科数学一轮复习全套单元测试题含答案及解析

课时追踪检测( 十三 ) 1．函数f ( x) ＝ ( x＋ 2a)( x－a) 2的导数为 ()A．2( x2－a2) C．3( x2－a2)答案： C B．2( x2＋a2) D．3( x2＋a2)分析：∵ f ( x)＝( x＋2a)( x－ a)2＝ x3－3a2x＋2a3，∴ ′()＝3(x 2－a2) ．fx2．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是 ()A．x－ 3y＋3＝ 0B．x－ 2y＋ 2＝ 0 C．2x－y＋1＝ 0D．3x－y＋ 1＝ 0答案： C分析：∵ y＝sinx x，x＋e，∴ y′＝cos x＋e∴y′|x＝0＝cos 0＋ e0＝ 2，∴曲线y＝ sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2( x－0)，即 2x－y＋ 1＝ 0.3．曲线y ＝x在x＝ 0 处的切线方程是xln 2＋－ 1＝0，则＝ ()a y a1B．2A.21C．ln 2D．ln 2答案： A分析：由题知y′＝ a x ln a， y′|x＝0＝ln a，又切点为(0,1)，故切线方程为x ln a－ y＋1 1＝ 0，∴a＝2.4．若f ( x) ＝2xf′(1) ＋x2，则f′(0)＝ ()A．2B．0C．－ 2D．－ 4答案： D分析： f ′(x)＝2f ′(1)＋2x，∴令 x＝1，得 f ′(1)＝－ 2，∴′(0) ＝ 2′(1) ＝－ 4.f f5．已知曲线y＝ ln x的切线过原点，则此切线的斜率为()A．e B．－ e11C．e D．－e答案： C分析： y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且 y′＝1，设切点为( x0，ln x0)，则 y′|x＝x＝1，x0x0切线方程为 y－ln x0＝1(0,0) ，因此－ ln x0＝－ 1，解得x0＝ e，故此( x－x0) ．由于切线过点x01切线的斜率为 .e－ 2x＋ 1在点 (0,2) 处的切线与直线y＝0和 y＝ x 围成的三角形的面积为() 6．曲线y＝ e11A.B．322C．3D．1答案： A分析： y′|x＝0＝(－2e－2x)|x ＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋ 2，易得切线与直线y＝0和 y＝x 的交点分别为(1,0)22，3，3，故围成的三角形的面积为121×1×＝.2337．已知y＝f ( x) 是可导函数，如图，直线y＝ kx＋2是曲线 y＝f ( x)在 x＝3处的切线，令(x ) ＝xf(x)，′()是 () 的导函数，则g′(3) ＝ ()g g xg xA．－ 1B．0 C．2D．4答案： B分析：由题图可知，曲线y＝ f ( x)在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－13，∵g( x)＝ xf ( x)，∴ g′(x)＝ f ( x)＋ xf ′(x)，∴ g′(3)＝ f (3)＋ 3f′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g′(3)1＝ 1＋3× － 3 ＝0.8．设点P是曲线y＝ x3－23x＋ 3上的随意一点，点P处切线倾斜角α 的取值范围为()A. 0，π∪5π，π262πB. 3，ππ2πC． 0，2∪ 3 ，ππ5πD.2，6答案： C分析：由于y′＝3x2－3≥－3，故切线斜率k≥－3，因此切线倾斜角α 的取值范围是0，π2π，π.2∪39．已知函数f ( x) ＝x ln x，若f′ ( x0) ＝ 2，则x0＝ ________.答案： e分析： f ′(x)＝ln x＋1，由 f ′(x )＝2，即ln x ＋1＝2，解得 x ＝e.00010．若直线l与幂函数y＝x n的图象相切于点A(2,8) ，则直线l 的方程为________．答案： 12x－y－ 16＝ 0分析：由题意知，A(2,8)在 y＝x n上，∴2n＝8，∴ n＝3，∴y′＝3x22过点 (2,8) ．∴y－ 8＝ 12( x－ 2)，即，直线 l 的斜率 k＝3×2＝12，又直线 l直线 l的方程为12x－y－16＝ 0.11．在平面直角坐标系xOy中，点 M在曲线 C：y＝ x3－ x 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点处的切线的斜率为2，则点的坐标为 ________．M M答案： ( － 1,0)分析：∵ y′＝3x2－1，曲线 C在点 M处的切线的斜率为2，∴ 3x2－ 1＝2，x＝± 1. 又∵点在第二象限，∴x＝－ 1，∴y＝( －1) 3－( －1)＝0，∴点的坐标为 ( － 1,0) ．M M12．设函数f (x) ＝ (x－)(x－)(x－ )(，b，c是两两不等的常数 ) ，则a＋a b c a f abb ＋fc＝ ________.f c答案： 0分析：∵ f ( x)＝ x3－( a＋ b＋ c) x2＋( ab＋ bc＋ ca) x－ abc，∴ f ′(x)＝3x2－2( a＋ b＋ c) x ＋ab＋bc＋ ca，f′(a)＝( a－ b)( a－ c)，f′(b)＝( b－ a)( b－ c)，f′(c)＝( c－ a)( c－ b)．a ＋ f bc ∴fab ＋ fc＝a＋b＋ca － ba － cb － a b －c c － ac － b＝a b － c － b a － c ＋ c a － ba －b a － c＝0.b － c1π1．已知函数 f ( x ) ＝ x cos x ，则 f ( π ) ＋f ′2＝()31A ．－ πB ．－ π2231C ．－ πD ．－ π答案： C11分析：∵ f ′(x ) ＝－ x 2cos x ＋ x ( － sinx ) ，π 1 23∴f ( π ) ＋ f ′ 2 ＝－ π ＋ π ·( － 1) ＝－ π .2．设曲线 y ＝ 1＋ cosx在点 π ， 1 处的切线与直线 x －ay ＋ 1＝ 0 平行，则实数 a 等于sin x 2()1 A ．－ 1 B ．2 C ．－ 2 D ．2答案： A－ 1－ cos x分析：∵ y ′＝2，sinxπ1∴y ′ x ＝ 2 ＝－ 1，由条件知 a ＝－ 1，∴ a ＝－ 1.3．若点 P 是曲线 y ＝x 2 －ln x 上随意一点，则点 P 到直线 y ＝x － 2 的最小值为 () A ．1B ． 2C ．2D ． 32答案： B1分析：由于定义域为 (0 ，＋∞ ) ，因此 y ′＝ 2 x－ x ＝ 1，解得 x ＝ 1，则在 P (1,1) 处的切线 方程为 x － y ＝ 0，因此两平行线间的距离为 2 ＝ 2.d ＝24. 已知函数 f ( x ) ＝ x ， g ( x ) ＝ a ln x ， a ∈ R ，若曲线 y ＝ f ( x ) 与曲线 y ＝ g ( x ) 订交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________．1e答案： y ＝ 2e x ＋ 21a分析： f ′(x ) ＝， g ′(x ) ＝( x ＞ 0) ，由已知得2 xxx ＝ a lnx ，e1 a解得 a ＝ 2，2x＝ x，x ＝ e 2.∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e) ，切线的斜率为 k ＝ f ′(e 2) ＝ 1 ，∴切线的方程为y －e2e＝ 1 ( x －e 2) ，即 y ＝ 1 x ＋ e.2e2e 25．已知函数 f ( x ) ＝ x 3－4x 2＋ 5x －4.(1) 求曲线 f ( x ) 在点 (2 ， f (2)) 处的切线方程；(2) 求经过点 A (2 ，－ 2) 的曲线 f ( x ) 的切线方程．解： (1) ∵ f ′(x ) ＝ 3x 2－8x ＋ 5，∴f ′(2) ＝ 1，又 f (2) ＝－ 2，∴曲线 f ( x ) 在点 (2 ，f (2)) 处的切线方程为 y － ( －2) ＝ x －2，即 x － y － 4＝ 0.3 2(2) 设切点坐标为 ( x 0， x 0－ 4x 0＋ 5x 0－ 4) ， 2∵f ′(x 0) ＝ 3x 0－ 8x 0＋ 5，2∴切线方程为 y － ( －2) ＝ (3 x 0－8x 0＋ 5)( x －2) ，又切线过点 ( x ， x 3 2－ 4x ＋ 5x － 4) ，0 0 0 0322∴x 0－ 4x 0 ＋ 5x 0－2＝ (3 x 0－ 8x 0＋ 5)( x 0－ 2) ，整理得 ( x 0－ 2) 2 ( x 0－ 1) ＝ 0，解得 x ＝ 2 或 x ＝ 1，∴经过(2 ，－ 2) 的曲线f ( x ) 的切线方程为x － －4＝0 或 y ＋2＝0.Ayb6．设函数 f ( x ) ＝ ax －x ，曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (2 ， f (2)) 处的切线方程为 7x － 4y － 12＝ 0. (1) 求 f ( x ) 的分析式；(2) 证明曲线 f ( x ) 上任一点处的切线与直线x ＝ 0 和直线 y ＝ x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．7解： (1) 方程 7x － 4y －12＝ 0 可化为 y ＝4x － 3，b1当x ＝ 2时，1′()＝b2a－2＝2，a＝1，f(x) ＝x ＝ . 又＋2，于是解得故y2fx a x b7b＝3.a＋4＝4，3－x.(2)设 P( x0， y0)为曲线上任一点，由y′＝ 1＋30， 0)处的切线方程为y－0＝3－0)，即y－ x －3 2知，曲线在点(1＋ (x x0x01＋360，－6＝20) ．令x＝ 0，得y＝－x0，进而得切线与直线x＝0的交点坐标为x0. 令x0( x－xy＝ x，得 y＝ x＝2x，进而得切线与直线y＝ x 的交点坐标为(2 x2x ) ．00,016因此点 P( x0， y0)处的切线与直线x＝0， y＝ x 所围成的三角形的面积为S＝2－x0|2 x0|＝6.故曲线 y＝ f ( x)上任一点处的切线与直线 x＝0， y＝ x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为 6.。

第二篇第 4 节一、选择题x－ x，若 f(a)＝ 3，则 f(2a)等于 ()1．已知 f( x)＝ 2＋ 2A． 5 B ．7C． 9D． 11分析：由 f(a)＝3得 2a＋ 2－a＝ 3，两边平方得22a＋ 2－2a＋ 2＝ 9，即 22a＋ 2－2a＝7，故 f(2a)＝ 7，选 B.答案： B2． (2014 天津市滨海新区联考)设 a＝ 40.7，b＝ 0.30.5， c＝ log23，则 a、 b、 c 的大小关系是 ()A． b<a<c B ．b<c<aC． a<b<c D． a<c<b分析： a＝ 40.7>4 12＝ 2,0<b＝0.30.5<1,1< c＝ log23<2，因此 b<c<a，应选 B.答案： B3． (2014 杭州一检 )设函数 f(x)＝ 2|x|，则以下结论中正确的选项是() A． f(－1)< f(2)< f(－2) B ．f(－2)<f( －1)< f(2)C． f(2)< f( －2)<f(－ 1)D． f(－1)< f(－2)< f(2)分析：由题意， f(x)＝ 2|x|＝ 2|－x|＝ f( －x) ，即 f(x)为偶函数．f－ 1 ＝ f 1 ，故f － 2 ＝ f 2 .明显 x≥ 0 时， f(x)＝ 2x单一递加．因此 f(1)< f(2)< f(2) ，即 f(－ 1)<f(－2)< f(2) ．应选 D.答案： Dx |x|a4． (2014 陕西汉中模拟 )函数 y ＝ x (a>1)的图象的大概形状是( )分析： 当 x>0 时， y ＝ a x ；当 x<0 时， y ＝－ a x .又 a>1，应选 B.答案： B5． (2014 北京市延庆log 4x ， x>0， 则 ff 1＝()3 月模拟 )已知函数 f(x)＝3x ， x ≤ 0，161 A ． 9B. 91C ．－ 9D ．－9分析： 由于 f 1 ＝ log 4 1＝－ 2，16 16121因此 ff 16＝f(－ 2) ＝ 3－＝ 9.应选 B.答案： B3 x， 0≤ x ≤ 1，6．(2014 湖南长沙模拟 )已知函数则不等式 1<f(x)<4 的解集为f( x)＝x 2－ 4x ＋ 4， x>1，()A ． [0,1] ∪ (3,4)B ．(0,1] ∪ (3,4)C ． (0,1) ∪ (3,4)D ． (0， log 34)∪ (3,4)分析： 当 0≤ x ≤1 时， 1<3x <4，解得 0<x<log 34，此时 0<x ≤ 1.当 x>1 时， 1< x 2－ 4x ＋ 4<4 ，联合 x>1，解得 3<x<4.故所求不等式的解集是(0,1] ∪(3,4) ．应选 B.答案： B二、填空题17． (2014 吉林市二模 )已知函数 f(x)＝ －x 2， x>0则 f(f(9)) ＝ ________.2x ， x ≤ 0，1分析： f(f(9)) ＝ f(－ 3)＝ .8答案：188．设函数 － |x|且 a ≠1) ，若 f(2) ＝ 4，则 f(－ 2)与 f(1) 的大小关系是 ________．f(x) ＝a (a>0 分析： ∵f(2)＝ a －21＝ 4，∴a ＝ 2.1－|x|＝ 2|x|，∴f(x)＝ 2∴f(－ 2)＝ 4， f(1) ＝ 2，∴f(－ 2)> f(1)．答案： f(－ 2)> f(1)9．函数 f( x)＝ a x ＋2013－ 2014(a>0 且 a ≠ 1)所经过的定点是________．分析： 令 x ＋ 2013＝ 0，得 x ＝－ 2013，这时 y ＝ 1－ 2014＝－ 2013，故函数过定点 (－2013，－ 2013)．答案： (－ 2013，－ 2013)x10．已知函数 f( x)＝ |2 － 1|， a<b<c ，且 f(a)>f(c)>f(b)，则以下结论中，必定建立的是________ ．① a<0， b<0， c<0; ② a<0，b ≥ 0， c>0；－ ac; a c③2 <2④2 ＋2 <2.分析： 画出函数 f(x)＝ |2x － 1|的大概图象 (如下图 ) ，由图象可知： a<0， b 的符号不确立， 0< c<1，故①②错；∵f(a)＝ |2a － 1|， f(c) ＝ |2c － 1|，∴|2a － 1|>|2c － 1|，即 1－2a >2c － 1，故 2a ＋ 2c <2，④建立．又 2a ＋ 2c >2 2a ＋c，∴2a ＋c<1 ，∴a ＋c<0 ，∴－a>c ，∴2－a>2c ，③不建立．答案： ④三、解答题11．化简以下各式：(1)[(0.064 1 －2.5 2 － 3 3 05 ) ] 3 － π；3 8a 4－ 8a 1b33 2(2)3 3÷a － 2－ 2 b ×a · a (a>0， b>0) ．2 ＋ 23 2 3 a 5a ab ＋ 4b 33 3a · a解： (1)原式＝3 52 3 270.48 － 15－23－32 3＝ 0.4－ 23－ 2－1＝ 0.4－1－52＝ 0.15a 3 a － 8ba a 6 (2)原式＝ 2 112×11×1a 3＋ 2a 3b 3＋4b 3 a 3－ 2b 3 a 62a － 8ba＝1313a 3 － 2b 3 2a － 8b a＝a － 8b＝a2.12．已知定义域为R 的函数(1)求 a， b 的值；(2)若对随意的t∈R，不等式－2x＋ bf(x)＝2x＋1＋a是奇函数．22恒建立，求 k 的取值范围．f(t－2t)＋ f(2t － k)<0解： (1)∵f(x)是定义域为R 的奇函数，－1＋ b∴f(0)＝ 0，即＝ 0，2＋ a解得 b＝ 1.－2x＋ 1进而有 f(x)＝.2x＋1＋ a1－ 2＋1－2＋ 1又由 f(1) ＝－ f(－ 1)知＝－，4＋a1＋a解得 a＝ 2.经查验 a＝ 2 合适题意，∴所求 a、 b 的值为 2,1.(2)由 (1)知 f(x)＝－ 2x＋ 11＋1.＝－2x＋1＋2 2 2x＋1由上式易知f(x)在 ( －∞，＋∞) 上为减函数．又因 f(x)是奇函数，进而不等式f(t 2－ 2t)＋ f(2t2－ k)<0 ，等价于 f(t2－ 2t)< －f(2t2－ k)＝ f( － 2t 2＋ k)．因 f(x)是减函数，因此由上式推得 t2－ 2t>－2t2＋ k.即对全部 t∈R有 3t2－ 2t－ k>0.进而鉴别式＝ 4＋12k<0，1解得 k<－3.。

2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{12}A xx =<<∣，{||1}B x x =≤∣，则A B ⋃=（）A.[)12-，B.()2-∞，C.[)13-， D.[]12-，2.已知复数()i i 1z =+，则z =（）A.1B.C.D.23.已知命题p ：x ∀∈R ，220x x m -+>，则满足命题p 为真命题的一个充分条件是（）A.m>2B.0m <C.1m < D.m 1≥4.若函数()2220log 0x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩，，，，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（）A.2- B.2C.3- D.35.已知{}n a 是各项不全为零的等差数列，前n 项和是n S ，且2024S S =，若()2626m S S m =≠，则正整数m =（）A.20B.19C.18D.176.已知平面向量a ，b满足a =，(b =，2a b -= ，则a 在b上的投影为（）A.B.1C.2D.7.函数()2e e 1x xf x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C.D.8.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,)M m ，且sin 3α=-，则tan 2α=（）A.55-B.C.55-D.55或9.已知等比数列{}n a 满足21q ≠，24m n a a a =，（其中m ，*n ∈N ），则91m n+的最小值为（）A .6B.16C.32D.210.已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A .403π⎛⎤ ⎥⎝⎦， B.2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， D.2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11.设4sin1a =，3sin2b =，2sin3c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<12.已知函数14sin π,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩,若关于x 的方程2[()](2)()10f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（）A.()35，B.[]35，C.()31--，D.[]31--，二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14.设m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有___________（只填序号）.①m α⊂，//m β②m α⊂，n β⊥，n m ⊥③αγ⊥，βγ⊥④m α⊥，m β⊥15.已知数列{}n a 为递减数列，其前n 项和22n S n n m =-++，则实数m 的取值范围是___________.16.已知点A ，B ，C 均在球O 的球面上运动，且满足3AOB π∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为6，则球O 的体积为___________.三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =，12bc =，12A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长.18.已知数列{}n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4C =，cos cos 2cos a A c C b B +=.（1）求tan A .（2）若c =，求ABC 的面积.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；（2）求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值.21.已知函数()1ln 1f x x x=-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明，对()0x ∀∈+∞，，均有()()11e 2ln 1f x x -+<++.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与与曲线C '有公共点，试求a的取值范围.23.已知函数()22f x x x t =++-（0t >），若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若a b c ，，均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】12 ##-0.5【14题答案】【答案】④【15题答案】【答案】()2,-+∞【16题答案】【答案】三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.【17题答案】【答案】（1）π3（2）13【18题答案】【答案】（1）21n a n =-；（2）2122323n n n T ++-=【19题答案】【答案】（1）tan 3A =（2）12【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）63【21题答案】【答案】（1）240x y +-=（2）证明见解析【22题答案】【答案】（1）:20l x a -=，2214x y +=（2）[]1,1-【23题答案】【答案】（1）3t =（2）16 3。

B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元 数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （ ） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里 里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （ ）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行， 令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n： ， + ， + + ， + + + ， ，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列 满足，且 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时， ，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前 项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为 ， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果 ．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ； 即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前 项和 ．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前 项和为 ，且 是 与 的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为 ，已知 ．（1）求证：数列 是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为 ，且 b = 4n nn +1，若对任意 都成立，求实数 的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当 为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得 ．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是 为首项， 为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当 为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在 上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述 的取值范围为．第 7 单元 数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（ ）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （ ）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为 ， ， （ ），则 （ ）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则 ．．故选 B ．满足： ，若数列 是等比数列，则 的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （ ）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列 的前 项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足： ， ， 成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前 项和对任意的恒成立，则 的最大值为（ ）A ．115【答案】C【解析】由 ， ，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列 是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即 的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ， （ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪 琪 琪 琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以 ， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值 ． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，（1）求数列（2）令【答案】（1）， 的通项公式；，求数列 的前 项和 ．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时， ，即 ，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前 项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为 ，首项为 的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是 ，首项 的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理 是偶数时是公比是 ，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即 ，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前 项和为 ，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与 的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．综合检测(一)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果复数z ＝2－1＋i ，则( )A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i2．等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎫1－12n 3．已知研究x 与y 之间关系的一组数据如下表所示，则y 对x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点( )X 0 1 2 3 Y1357A.(1,2)B.⎝⎛⎭⎫32，0 C ．(2,2)D.⎝⎛⎭⎫32，44．设M 是△ABC 边BC 上任意一点，且2AN →＝NM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( ) A.14 B.13 C.12D ．15．下面图(1)是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1、A 2、…、A 16，图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是( )图(1)图(2)A ．6B ．10C ．91D ．926．某同学在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……，若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2 015个三角形中共有▲的个数是( ) A ．64 B ．63 C ．62D ．617．已知集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4≤0x ＋y ≥0x －y ≥0表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P (x ，y )，则点P 的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的概率为( )A.π32B.3π16C.π16D.3π328．已知函数f (x )＝e x ＋x ，对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④9．(·洛阳统考)设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆交双曲线于A 、B 、C 、D 四点，则|F 1A |＋|F 1B |＋|F 1C |＋|F 1D |等于( ) A ．4 3 B ．23 C. 3D.3210．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N (110,102)，若P (100≤ξ≤110)＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) A ．10 B ．9 C ．8D ．711．设n ＝ʃπ204sin x d x ，则二项式(x －1x )n 的展开式的常数项是( )A ．12B ．6C ．4D ．112．(·济源模拟)已知F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫55，1B.⎣⎡⎭⎫22，1C.⎝⎛⎦⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎤0，22 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝2 016|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．14．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是函数f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心． 若f (x )＝x 3－32x 2＋12x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f ⎝⎛⎭⎫22 016＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 016＝________. 15．已知集合M ＝N ＝{0,1,2,3}，定义函数f ：M →N ，且点A (0，f (0))，B (i ，f (i ))，C (i ＋1，f (i ＋1))(其中i ＝1,2)．若△ABC 的内切圆圆心为I ，且IA →＋IC →＝λIB →(λ∈R )，则满足条件的△ABC 有________个．16．以下给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(·北京西城区二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，其中ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2(1)求ω与φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝455，求2sin α－sin 2α2sin α＋sin 2α的值．18．(12分)已知函数f (x )＝ax －ln(1＋x 2)． (1)当a ＝45时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的极值；(2)证明：当x >0时，ln(1＋x 2)<x ；(3)证明：⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋134…⎝⎛⎭⎫1＋1n 4<e (n ∈N *，n ≥2，e 为自然对数的底数)．19.(12分)(·咸阳模拟)如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2.又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.(1)求证：PC ⊥AC ；(2)求二面角M —AC —B 的余弦值； (3)求点B 到平面MAC 的距离．20．(12分)某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1,2,3,4,5,6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ<5的为二等品，ξ<3的为三等品．若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 1 3 1 1 6 3 3 4 1 2 4 1 2 5 3 1 2 6 3 1 6 1 2 1 2 2 5 3 4 5(1)以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产的产品为一等品、二等品和三等品的概率；(2)已知该厂生产一件产品的利润y (单位：元)与产品的等级系数ξ的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，ξ<3，2，3≤ξ<5，4，ξ≥5若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z ，求Z 的分布列和均值．21.(12分)已知数列{a n }，其前n 项和是S n 且S n ＋12a n ＝1 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3(1－S n ＋1) (n ∈N *)，求使方程1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝2551成立的正整数n 的值．22．(12分)(·合肥质检)焦点分别为F 1，F 2的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)过点M (2,1)，且△MF 2F 1的面积为 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点(0,3)作直线l ，直线l 交椭圆C 于不同的两点A ，B ，求直线l 倾斜角θ的取值范围； (3)在(2)的条件下，使得|MA |＝|MB |成立的直线l 是否存在？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．综合检测(一)1．C2．C [依题意，知a n ＝2n －1，1a n a n ＋1＝12n －1·2n ＝122n －1＝12×14n －1，所以T n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n ，选C.] 3．D [由题可知，y 对x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过定点(x ，y )，由表格可知，x ＝1＋2＋34＝32，y ＝1＋3＋5＋74＝4，所以y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 必过点⎝⎛⎭⎫32，4.] 4．B [因为M 是△ABC 边BC 上任意一点，设AM →＝mAB →＋nAC →，且m ＋n ＝1，又AN →＝13AM→＝13(mAB →＋nAC →)＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝13(m ＋n )＝13.] 5．B [由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.故选B.]6．C [前n 个▲中所包含的所有三角形的个数是1＋2＋3＋…＋n ＋n ＝n (n ＋3)2，由n (n ＋3)2＝2 015，解得n ＝62.]7．D [满足不等式组的区域如图△ABO 内部(含边界)，由于直线y ＝x 与y ＝－x 垂直，△ABO 与圆x 2＋y 2＝2的公共部分如图阴影部分是14圆，则点P 落在圆x 2＋y 2≤2内的概率为P ＝S 扇形S △ABO＝14×2π12×2×⎝⎛⎭⎫43＋4＝3π32.]8．B [由于函数f (x )＝e x ＋x ，对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，且横坐标依次增大．由于此函数是一个单调递增的函数，故由A 到B 的变化率要小于由B 到C 的变化率．可得出角∠ABC 一定是钝角，故①对，②错．由于由A 到B 的变化率要小于由B 到C 的变化率，由两点间距离公式可以得出AB <BC ，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③错，④对．]9．A [依题意，设题中的双曲线方程是x 2－y 2＝1，不妨设点A 、B 、C 、D 依次位于第一、二、三、四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2，|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝8，由此解得|AF 1|＝3＋1，|AF 2|＝3－1，同理|DF 1|＝|AF 1|＝3＋1，|CF 1|＝|BF 1|＝|AF 2|＝3－1，|AF 1|＋|BF 1|＋|CF 1|＋|DF 1|＝43，选A.]10．B [∵考试的成绩ξ服从正态分布N (110,102)． ∴考试的成绩ξ关于ξ＝110对称， ∵P (100≤ξ≤110)＝0.35，∴P (ξ≥120)＝P (ξ≤100)＝12(1－0.35×2)＝0.15，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.15×60＝9.] 11．B [由定积分得n ＝－4cos x |π20＝4，二项式的通项公式为T r ＋1＝C r 4x 4－r (－1x)r ＝C r 4(－1)r x4－2r，由4－2r ＝0，得r ＝2，所以常数项为T 3＝C 24(－1)2＝6，故选B.]12．B [设P (x ，y )，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，由PF 1⊥PF 2，得PF 1→⊥PF 2→＝0，即(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋b 2⎝⎛⎭⎫1－x 2a 2－c 2＝c 2x 2a 2＋b 2－c 2＝0，∴x 2＝a 2(c 2－b 2)c 2≥0，∴c 2－b 2≥0，∴2c 2≥a 2，∴e ≥22.又∵e <1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1.]13.2 0172 015解析 由题意得|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， e ≤|PF 1|＋|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝2 017|PF 2|2 015|PF 2|＝2 0172 015. 14．2 015解析 由f (x )＝x 3－32x 2＋12x ＋1，得f ′(x )＝3x 2－3x ＋12，∴f ″(x )＝6x －3，由f ″(x )＝6x －3＝0，得x ＝12，又f ⎝⎛⎭⎫12＝1，∴f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1， ∴f (1－x )＋f (x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 016＝f ⎝⎛⎭⎫22 016＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 016＝…＝f ⎝⎛⎭⎫1 0072 016＋f ⎝⎛⎭⎫1 0092 016＝f ⎝⎛⎭⎫1 0082 016＋f ⎝⎛⎭⎫1 0082 016＝2 ∴f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f ⎝⎛⎭⎫22 016＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 016 ＝2×1 007＋1＝2 015. 15．18 解析由IA →＋IC →＝λIB →(λ∈R )知△ABC 是以B 为顶点的等腰三角形，A 点是4×4的格点中第一列的点．当i ＝1时，B 点是第二列格点中的点，C 点是第三列格点中的点，此时腰长为2，5，10的△ABC 分别有6个、4个、2个，当i ＝2时，B 点是第三列格点中的点，C 点是第四列格点中的点，此时腰长为5的△ABC 有6个，如图，△ABC 为其中的一个．综上，满足条件的△ABC 共有18个． 16．i ≤10?解析 这是一个循环结构，s ＝0，n ＝2，i ＝1，其中变量i 是计数变量，它应使循环体执行10次，因此条件应是i ≤10？. 17．解 (1)f (x )＝2sin(ωx ＋φ＋π3)．设f (x )的最小正周期为T .由图象可得T 2＝π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝π2，所以T ＝π，ω＝2. 由f (0)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3＝1， 因为φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以φ＝π6. (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由f ⎝⎛⎭⎫α4＝2cos α2＝455，得cos α2＝255， 所以cos α＝2cos 2α2－1＝35.所以2sin α－sin 2α2sin α＋sin 2α＝2sin α(1－cos α)2sin α(1＋cos α)＝1－cos α1＋cos α＝14.18．(1)解 当a ＝45时，f (x )＝45x －ln(1＋x 2)，∴f ′(x )＝45－2x1＋x 2＝4x 2－10x ＋45(1＋x 2).x ，f ′(x )，f (x )变化如下表：x(0，12)12(12，2) 2(2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )极大值极小值∴f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝25－ln 54， f (x )极小值＝f (2)＝85－ln 5.(2)证明 令g (x )＝x －ln(1＋x 2)， 则g ′(x )＝1－2x1＋x 2＝(x －1)21＋x 2≥0.∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (0)＝0， ∴ln(1＋x 2)<x .(3)证明 由(2)知ln(1＋x 2)<x ，令x ＝1n 2，得ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 4<1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n ， ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋124＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋134＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 4 <1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1－1n<1，∴⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋134…⎝⎛⎭⎫1＋1n 4<e. 19．(1)证明 ∵PC ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴PC ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AC .(2)解 在平面ABC 内，过点C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P (0,0，z )，则C (0,0,0)，A ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，M (0,1，z )，B (0,2,0)，∴CP →＝(0,0，z )，AM →＝(0,1，z )－⎝⎛⎭⎫32，－12，0＝⎝⎛⎭⎫－32，32，z .∵cos 60°＝|cos 〈AM →，CP →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AM →·CP →|AM →||CP →|＝z 23＋z 2·|z |，且z >0，∴zz 2＋3＝12，得z ＝1， ∴AM →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，1.设平面MAC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AM →＝0，n ·CA →＝0，得⎩⎨⎧－32x ＋32y ＋1＝0，32x －12y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－33，y ＝－1，∴n ＝⎝⎛⎭⎫－33，－1，1. ∵平面ABC 的一个法向量为CP →＝(0,0,1)． ∴cos 〈n ，CP →〉＝n ·CP →|n ||CP →|＝217.显然，二面角M —AC —B 为锐二面角， ∴二面角M —AC —B 的余弦值为217. (3)解 点B 到平面MAC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CB→·n |n |＝2217.20．解 (1)由题意在抽取的30件产品中一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件， 故该厂生产一等品概率为P 1＝630＝15，二等品概率为P 2＝930＝310，三等品概率为P 3＝1530＝12.(2)由题意得：Z 的可能取值为2,3,4,5,6,8，而从该厂大量产品中任取两件取得一等品、二等品、三等品是相互的，故：P (Z ＝2)＝12×12＝14，P (Z ＝3)＝2×12×310＝310，P (Z ＝4)＝310×310＝9100，P (Z ＝5)＝2×12×15＝15，P (Z ＝6)＝2×310×15＝325，P (Z ＝8)＝15×15＝125.∴Z 的分布列为Z 2 3 4 5 6 8 P14310910015325125∴E (Z )＝2×14＋3×310＋4×9100＋5×15＋6×325＋8×125＝3.8.21．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1， 由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23.当n ≥2时，因为S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，所以S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1 (n ≥2)，所以{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝2·⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)． (2)由于1－S n ＝12a n ＝⎝⎛⎭⎫13n ， 故b n ＝log 3(1－S n ＋1)＝log 3⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝－n －1， 1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， 则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2. 由12－1n ＋2＝2551，解得n ＝100.22．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由M (2,1)， △MF 2F 1的面积为3，得12·2c ·1＝3⇒c ＝3，故椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－3＝1，又椭圆C 过点M (2,1)， ∴4a 2＋1a 2－3＝1且a 2>3， 于是(a 2)2－8a 2＋12＝0且a 2>3，∴a 2＝6， 故椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)易知θ＝π2时，符合题意；当θ≠π2时，可设直线l 方程为y ＝kx ＋3，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 26＋y 23＝1得(1＋2k 2)x 2＋12kx ＋12＝0，由Δ＝144k 2－4×12×(1＋2k 2)>0， 解得k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，∴θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4，综上知θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4. (3)易知，当直线l 与x 轴垂直时，不合题意． 假设存在直线l 满足条件，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若M ，A ，B 三点共线，注意到|MA |＝|MB |，故A ，B 两点重合于点M ，这与A ，B 是椭圆C 上不同的两点矛盾． 故M ，A ，B 三点不共线，取AB 的中点D ，连接MD ，知MD ⊥AB . 由方程(1＋2k 2)x 2＋12kx ＋12＝0知x 1＋x 2＝－12k1＋2k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝－12k 21＋2k 2＋6＝61＋2k 2.于是，点D 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1＋2k 2，31＋2k 2， 由MD ⊥AB 得31＋2k 2－1－6k1＋2k 2－2＝－1k (k >1或k <－1)，得k 2＋k ＋1＝0，此方程无实数解，所以满足条件的直线不存在．。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是() A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)3．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)4．(·河南名校联考)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A·tan Btan C(tan A＋tan B)的值为()A ．0B ．2 014C ．2 015D ．2 0165．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺6．(·渭南模拟)已知椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，…，P n ，且椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值为( ) A ．2 001 B ．2 000 C ．1 999D ．1 9987．(·河北衡水中学第二次调研考试)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n 的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．98．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1639．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[16，1]B ．[16，2 2 ]C ．[16，413]D ．[213，1]10．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33B.22C.23D.3411．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或712．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( )A ．[0,1－2lg 2]B ．[1，52]C ．[12，lg 2]D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ； ②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值． 其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)14．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．15．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.16．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．18．(12分)(·咸阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.19.(12分)如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB、A1B1分别为圆O、圆O1的直径且AA1⊥平面P AB.(1)求证：BP⊥A1P；(2)若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱锥A1－APB的体积．20．(12分)(·保定调研)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极植点，求a的值；(2)若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．21．(12分)如图，P －AD －C 是直二面角，四边形ABCD 是∠BAD ＝120°的菱形，AB ＝2，P A ⊥AD ，E 是CD 的中点，设PC 与平面ABCD 所成的角为45°.(1)求证：平面P AE ⊥平面PCD ；(2)试问在线段AB (不包括端点)上是否存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°？若存在，请求出AF 的长，若不存在，请说明理由．22．(12分)(·合肥第二次质检)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA →＋μCB →，且λμ＝14.(1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k 的值，若不存在，说明理由．答案解析1．C 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9．D [t t 2＋9＝1t ＋9t，而u ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时，等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18， 因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围是[213，1]．]10．C [设BC 的中点为M ，则A G →＝23AM →.又M 为BC 的中点，∴AM →＝12(A B →＋A C →)，∴A G →＝23AM →＝13(A B →＋A C →)，∴|A G →|＝13A B →2＋A C →2＋2A B →·A C →＝13A B →2＋A C →2－4.又∵A B →·A C →＝－2，∠A ＝120°， ∴|A B →||A C →|＝4.∵|A G →|＝13AB →2＋AC →2－4≥132|A B →||A C →|－4＝23，当且仅当|A B →|＝|A C →|＝2时取“＝”，∴|A G →|的最小值为23，故选C.]11．A [因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.]12．A [如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域．因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率． 由图可知，点P 在点B 处时，t 取得最小值； 点P 在点C 处时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即B (3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即C (2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数， 所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]．而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.] 13．①③⑤解析 当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ， 故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值， 故③正确；若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值， 故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影， 均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值， 故⑤正确．14．a >6解析 以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，如图所示． 则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE →＝(3，x ，－b )，DE →＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE →＝0， ∴9＋x (x －a )＝0， 即x 2－ax ＋9＝0，由题意可知方程有两个不同根， ∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6. 15．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11x d x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 16．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC ＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4zy ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)． 17．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1， 将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3， 因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)． (2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6， 所以－1≤sin(x ＋π3)≤12， 所以f (x )的取值范围是[－1，12]． 18．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， ∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0， ∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13， 综上所述，13≤T n ＜12. 19．(1)证明 易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1，又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解 由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △P AB ＝12×2×23＝23， ∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3. 20．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1， 经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0 得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (0，1a ) 1a (1a ，＋∞) f ′(x )＋ 0 －f (x )极大值所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a＜0，所以a ＞1. 综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．21.(1)证明 因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ，而CD ⊂平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解 以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成角，所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)．设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)，所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0， 令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13， 所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)． 而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22， 整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)，因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°，此时AF ＝26－4.22．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3， 因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3， 所以|CM →|≥3， 当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6. (2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )， 因为CM →＝λC A →＋μC B →， 所以⎩⎨⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎨⎧ x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1， 所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。

2022高考数学（理）一轮复习单元测试（配最新高考＋重点）第一章集合与常用逻辑用第一章集合与常用逻辑用语单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、（2020山东理）已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则()UC A B 为（ ） A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4 D ．{}0,2,3,42 ．（2020浙江理）设集合A ={x |1<x <4},B ={x |x 2-2x -3≤0},则A ∩(C R B )=（ ）A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)3、【2020韶关第一次调研理】若集合M 是函数lg y x =的定义域，N 是函数y =的定义域，则M ∩N 等于( )A ．(0,1]B ．(0,)+∞C ．φD ．[1,)+∞ 4、【2020厦门期末质检理2】“φ＝2π”是“函数y=sin(x ＋φ)为偶函数的”A .充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5．（2020湖南理）命题“若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是（ ）A ．若α≠4π,则tanα≠1B ．若α=4π,则tan α≠1C ．若tanα≠1,则α≠4πD ．若tanα≠1,则α=4π6、【2020泉州四校二次联考理】命题:R p x ∀∈，函数2()2cos 23f x x x =+≤，则（ ）A ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+≤B ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+> C ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+≤ D ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+> 7、（2020湖北理）命题“0x ∃∈R Q ,30x ∈Q ”的否定是（ ）A ．0x ∃∉R Q ,30x ∈QB ．0x ∃∈R Q ,30x ∉QC ．x ∀∉RQ ,3x ∈Q D ．x ∀∈RQ ,3x ∉Q8、【2020深圳中学期末理】设集合A={－1, 0, 1}，集合B={0, 1, 2, 3}，定义A ＊B={(x, y)| x ∈A ∩B, y ∈A ∪B}，则A ＊B 中元素个数是（）A.7B.10C.25D.529、【2020粤西北九校联考理3】下列命题错误．．的是（ ） A. 2"2""320"x x x >-+>是的充分不必要条件;B. 命题“2320,1x x x -+==若则”的逆否命题为“21,320若则x x x =-+≠”;C.对命题：“对0,k >方程20x x k +-=有实根”的否定是:“ ∃k >0，方程20x x k +-=无实根”;D. 若命题:,p x A B p ∈⋃⌝则是x A x B ∉∉且;10、【江西省新钢中学2020届高三第一次考试】在△ABC 中，设命题,sin sin sin :Ac C b B a p ==命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件11、（2020浙江宁波市期末）已知()f x 是定义在实数集R 上的增函数，且(1)0f =，函数()g x 在(,1]-∞上为增函数，在[1,)+∞上为减函数，且(4)(0)0g g ==，则集合{|()()0}x f x g x ≥= （ ）（A ） {|014}x x x ≤≤≤或（B ）{|04}x x ≤≤（C ）{|4}x x ≤ （D ） {|014}x x x ≤≤≥或 12．定义：设A 是非空实数集，若∃a ∈A ，使得关于∀x ∈A ，都有x ≤a (x ≥a )，则称a 是A 的最大(小)值 .若B 是一个不含零的非空实数集，且a 0是B 的最大值，则( )A ．当a 0＞0时，a －10是集合{x －1|x ∈B }的最小值B ．当a 0＞0时，a －10是集合{x －1|x ∈B }的最大值C ．当a 0＜0时，－a －10是集合{－x －1|x ∈B }的最小值D ．当a 0＜0时，－a －10是集合{－x －1|x ∈B }的最大值二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13、（2020上海理）若集合}012|{>+=x x A ,}21|{<-=x x B ,则A ∩B=_________ .14、【2020江西师大附中高三下学期开学考卷】若自然数n 使得作加法(1)(2)n n n ++++运算均不产生进位现象，则称n 为“给力数”，例如：32是“给力数”，因323334++不产生进位现象；23不是“给力数”，因232425++产生进位现象.设小于1000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A ，则集合A 中的数字和为__________ 15、【2020三明市一般高中高三上学期联考】下列选项叙述：①.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =” ②.若命题p ：2,10x R x x ∀∈++≠，则p ⌝：2,10x R x x ∃∈++= ③.若p q ∨为真命题，则p ，q 均为真命题④.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 其中正确命题的序号有＿＿＿＿＿＿＿ 16、【2020泉州四校二次联考理】已知集合22{(,)||||1|1},{(,)|(1)(1)1}A x y x a y B x y x y =-+-≤=-+-≤，若A B φ⋂≠，则实数a 的取值范畴为 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分) （2011年朝阳区高三上学期期中）设关于x 的不等式(1)0()x x a a --<∈R 的解集为M ，不等式2230x x --≤的解集为N .（Ⅰ）当1a =时,求集合M ；（Ⅱ）若M N ⊆,求实数a 的取值范畴.18、(本小题满分12分) 【山东省潍坊一中2020届高三时期测试理】已知集合{}}0)1(2|{,0)13(2)1(3|22<+--=<+++-=a x a x x B a x a x x A ，（Ⅰ）当a=2时，求B A ⋂；（Ⅱ）求使A B ⊆的实数a 的取值范畴19．(本小题满分10分) 【2020北京海淀区期末】若集合A 具有以下性质： ①A ∈0，A ∈1；②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，Ax∈1.则称集合A 是“好集”. （Ⅰ）分别判定集合{1,0,1}B，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+； （Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判定下面命题的真假，并说明理由. 命题p ：若A y x ∈,，则必有A xy ∈； 命题q ：若A y x ∈,，且0≠x ，则必有Axy∈；20、(本小题满分12分)（山东省潍坊市2020届高三上学期期中四县一校联考） 已知集合{}{}R x x B x x x R x A x x ∈<=++≥+∈=-,42|,)23(log )126(log |32222.求⋂A (C R B ).21．(本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数，命题q ：当x ∈[12，2]时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．假如p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范畴．22．(本小题满分12分) 【山东省微山一中2020届高三10月月考理】设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ； (2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范畴．祥细答案 一、选择题 1、【答案】C【解析】}4,0{=A C U,因此{0,24}U C A B =（） ，,选C.2. 【答案】B【解析】A =(1,4),B =(-1,3),则A ∩(C R B )=(3,4).【答案】B 3、【答案】A【解析】因为集合M 是函数lg y x =的定义域，;0>x N 是函数y = 因此01≥-x ，(](](0,),,1,0,1M N M N =+∞=-∞⋂=4、【答案】A【解析】φ＝2π时，y=sin(x ＋φ)=x cos 为偶函数；若y=sin(x ＋φ)为偶函数，则k=ϕZk ∈+,2ππ；选A;5、【答案】C【解析】因为“若p ,则q ”的逆否命题为“若p ⌝,则q ⌝”,因此 “若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1,则α≠4π”.6、【答案】D【解析】3)62sin(212sin 32cos 12sin 3cos 2)(2≤++=++=+=πx x x x x x f ；P 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+>；7、【答案】D解析:依照对命题的否定知,是把谓词取否定,然后把结论否定.因此选D 8、【答案】B【解析】解：A ∩B ={ 0, 1}，A ∪B {－1, 0, 1, 2, 3}，x 有2种取法, y 有5种取法由乘法原理得2×5=10，故选B 。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．综合检测(二)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知1－b i1＋2i ＝a ＋i (a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．4C ．－10D ．102．(·宜昌调研)下列说法中，正确的是( ) A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“存在x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“对任意的x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12n －1D ．a n ＝13n－14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．85．现有2门不同的考试要安排在连续的5天之内进行，每天最多考一门，且不能连续两天有考试，则不同的安排方案有( ) A ．6种 B ．8种 C ．12种D ．16种6．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( ) A.9π4 B.94π C.4π9D.49π7．如果执行下面的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a n ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a n 的和 B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a n 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最小的数和最大的数8．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2Sl ”类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r＝3VS ”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则其外接圆半径r ＝a 2＋b 22”；类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球半径r ＝a 2＋b 2＋c 23”，这两位同学类比得出的结论( ) A ．两人都对 B ．甲错、乙对 C ．甲对、乙错D ．两人都错9．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”：x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分10．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)．关于函数f (x )＝(e x )*1e x 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0]． 其中所有正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．311．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 展开式中x 2项的系数为( ) A ．11 B ．20 C ．15D ．1612．(·模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫13，12∪⎝⎛⎭⎫12，1第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．用黑白两种颜色的正方形地砖依照图中的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．14．若m ＝ʃ20(2x －e x )d x ，则“a ＝m ＋e 2－214”是“函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点”的________条件(从“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中选填)． 15．如图，在△OAB 中，C 为OA 上的一点，且OC →＝23OA →，D 是BC 的中点，过点A 的直线l ∥OD ，P 是直线l 上的动点，若OP →＝λ1OB →＋λ2OC →，则λ1－λ2＝______.16．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的离心率为1＋52，圆C 是以坐标原点O 为圆心，实轴为直径的圆．过双曲线第一象限内的任一点P (x 0，y 0)作圆C 的两条切线，其切点分别为A ，B .若直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，则b 22|OM |2－a 22|ON |2的值为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(·福州质检)如图，函数f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x2＋m 的图象过点⎝⎛⎭⎫5π6，0.(1)求实数m 的值及f (x )的单调递增区间；(2)设y ＝f (x )的图象与x 轴、y 轴及直线x ＝t ⎝⎛⎭⎫0<t <2π3所围成的曲边四边形的面积为S ，求S关于t 的函数S (t )的解析式．18.(12分)(·淄博模考)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)．进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，假设每场比赛的结果互相．现已赛完两场，乙队以2∶0暂时领先． (1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和均值E (X )．19．(12分)(·珠海摸底)在边长为4 cm 的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，M ，N 分别为AB ，CF 的中点，现沿AE ，AF ，EF 折叠，使B ，C ，D 三点重合，构成一个三棱锥．(1)请判断MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； (2)证明：AB ⊥平面BEF ； (3)求二面角M —EF —B 的余弦值．20．(12分) 已知公比为q 的等比数列{a n }是递减数列，且满足a 1＋a 2＋a 3＝139，a 1a 2a 3＝127.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{(2n －1)·a n }的前n 项和T n ；(3)若b n ＝n 3n －1·a n ＋32 (n ∈N *)，证明：1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1≥435.21.(12分)若函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －2x .(1)求函数φ(x )＝g (x )－kf (x )(k >0)的单调区间；(2)若对所有的x ∈[e ，＋∞)，都有xf (x )≥ax －a 成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)(·广州普通高中毕业班综合测试)已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C 2：x 22－y 2＝1的顶点，直线x ＋2y ＝0与椭圆C 1交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(－2，1)，点P 是椭圆C 1上异于点A ，B 的任意一点，点Q 满足AQ →·AP →＝0，BQ →·BP →＝0，且A ，B ，Q 三点不共线． (1)求椭圆C 1的方程； (2)求点Q 的轨迹方程；(3)求△ABQ 面积的最大值及此时点Q 的坐标．综合检测(二)1．A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9．D [∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ，则P (x,2ax )． 设P (x 1，y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x ，y 1＝2ax ，消去x 得y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)． 故点P 的轨迹为抛物线的一部分．]10．C [由定义的运算知，f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋e x *0＋1e x *0＝1＋e x ＋1e x ，①f (x )＝1＋e x ＋1e x ≥1＋2e x ·1e x ＝3，当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号，∴f (x )的最小值为3，故①正确；②∵f (－x )＝1＋e －x ＋1e －x ＝1＋1e x ＋e x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故②正确；③f ′(x )＝e x －1e x ＝e 2x －1e x ，当x ≤0时，f ′(x )＝e 2x －1e x ≤0，∴f (x )在(－∞，0]上单调递减，故③错误．故正确说法的个数是2.]11．C [因为函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|表示数轴上的点到－2和4之间的距离， 易知其最小值为4－(－2)＝6，即n ＝6， 此时展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1x)r ＝C r 6x 6－2r (－1)r ， 由6－2r ＝2，得r ＝2，所以T 3＝C 26x 2(－1)2＝15x 2，即x 2项的系数为15.]12．D [6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称．不妨设P 在第一象限，|PF 1|>|PF 2|，当|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c 时，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2c ，即2c >2a －2c ，解得e ＝c a >12.因为e <1，所以12<e <1.当|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c 时，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2c ，即2a －2c >2c ，且2c ＋2c >2a －2c ，解得13<e <12.综上可得13<e <12或12<e <1，故选D.] 13．503 503603 14.充分不必要 15.－3216.5＋14解析 由题知P 、A 、O 、B 四点共圆，其方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)，又圆C 的方程为x 2＋y 2＝a 2，两式作差，得公共弦AB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝a 2，分别令x ＝0，y ＝0，得|ON |＝a 2y 0，|OM |＝a 2x 0.又点P (x 0，y 0)在双曲线上，故x 20a 2－y 20b 2＝1，即b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2.又e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522，所以b 2a 2＝1＋52.故b 22|OM |2－a 22|ON |2＝b 22a 4x 20－a 22a 4y 20＝b 2x 20－a 2y 202a 4＝b 22a 2＝1＋54. 17．解 (1)f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x2＋m＝32sin x ＋12cos x ＋12＋m ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋12＋m . 因为f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫5π6，0，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＋12＋m ＝0，解得m ＝－12. 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z . (2)由(1)得f (x )＝32sin x ＋12cos x .所以S ＝ʃt 0⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－32cos x ＋12sin x t 0＝⎝⎛⎭⎫－32cos t ＋12sin t －⎝⎛⎭⎫－32cos 0＋12sin 0＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3＋32. 所以S (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3＋32 ⎝⎛⎭⎫0<t <2π3. 18．解 (1)设甲队获胜为事件A ，则甲队获胜包括甲队以4∶2获胜和甲队以4∶3获胜两种情况．设甲队以4∶2获胜为事件A 1， 则P (A 1)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681；设甲队以4∶3获胜为事件A 2， 则P (A 2)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎫233×23＝64243， 则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝1681＋64243＝112243.(2)随机变量X 可能的取值为4,5,6,7. P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫132＝19.P (X ＝5)＝C 12×13×23×13＝427. P (X ＝6)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎫232×13＋⎝⎛⎭⎫234＝2881. P (X ＝7)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎫233＝3281， 则X 的分布列为X 4 5 6 7 P1942728813281E (X )＝4×19＋5×427＋6×2881＋7×3281＝48881.19．(1)解 MN ∥平面AEF .证明：由题意可知点M ，N 在折叠前后都分别是AB ，CF 的中点(折叠后B ，C 两点重合)， 所以MN ∥AF . 因为⎩⎪⎨⎪⎧MN ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，MN ∥AF ，所以MN ∥平面AEF .(2)证明 由题意可知AB ⊥BE 的关系在折叠前后都没有改变．因为在折叠前AD ⊥DF ，由于折叠后AD 与AB 重合，点D 与B 重合，所以AB ⊥BF .因为⎩⎪⎨⎪⎧AB ⊥BE ，AB ⊥BF ，BE ⊂平面BEF ，BF ⊂平面BEF ，BE ∩BF ＝B ，所以AB ⊥平面BEF .(3)解 记EF 的中点为G ，连接ME ，MF ，BG ，MG . 因为BE ＝BF ，ME ＝MF ，所以BG ⊥EF 且MG ⊥EF ， 所以∠MGB 是二面角M —EF —B 的平面角． 因为AB ⊥平面BEF ， 所以∠MBG ＝90°. 在△BEF 中，BG ＝2， 由于MB ＝2，所以MG ＝MB 2＋BG 2＝6，于是cos ∠MGB ＝BG MG ＝26＝33.所以二面角M —EF —B 的余弦值为33. 20．(1)解 由a 1a 2a 3＝127及等比数列性质得a 32＝127，即a 2＝13，由a 1＋a 2＋a 3＝139，得a 1＋a 3＝109， 由⎩⎨⎧ a 2＝13，a 1＋a 3＝109得⎩⎨⎧ a 1q ＝13，a 1＋a 1q 2＝109，∴1＋q 2q ＝103，即3q 2－10q ＋3＝0， 解得q ＝3，或q ＝13. ∵{a n }是递减数列，故q ＝3舍去，∴q ＝13，由a 2＝13，得a 1＝1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1 (n ∈N *)．(2)解 由(1)知(2n －1)·a n ＝2n －13n －1， ∴T n ＝1＋33＋532＋…＋2n －13n －1，① 13T n ＝13＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②得：23T n ＝1＋23＋232＋233＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋133＋…＋13n －1－2n －13n ＝1＋2·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ，∴T n ＝3－n ＋13n －1. (3)证明 ∵b n ＝n 3n －1·a n ＋32(n ∈N *) ＝n ＋32＝2n ＋32， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝25·27＋27·29＋…＋22n ＋3·22n ＋5＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫15－17＋⎝⎛⎭⎫17－19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12n ＋5. ∵n ≥1，15－12n ＋5≥15－17＝235， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1≥435. 21．解 (1)函数φ(x )＝x －2x－k ln x 的定义域为(0，＋∞)． φ′(x )＝1＋2x 2－k x ＝x 2－kx ＋2x 2， 记函数h (x )＝x 2－kx ＋2，其判别式Δ＝k 2－8.①当Δ＝k 2－8≤0，即0<k ≤22时，h (x )≥0恒成立，∴φ′(x )≥0在(0，＋∞)恒成立，φ(x )在区间(0，＋∞)上递增，②当Δ＝k 2－8>0即k >22时，方程h (x )＝0有两个不等的实根x 1＝k －k 2－82>0，x 2＝k ＋k 2－82>0. 若x 1<x <x 2，则h (x )<0，∴φ′(x )<0，∴φ(x )在区间(x 1，x 2)上递减；若x >x 2或0<x <x 1，则h (x )>0，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在区间(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递增． 综上可知：当0<k ≤22时，φ(x )的递增区间为(0，＋∞)；当k >22时，φ(x )的递增区间为(0，k －k 2－82)和(k ＋k 2－82，＋∞)，递减区间为(k －k 2－82，k ＋k 2－82)． (2)∵x ≥e ，∴x ln x ≥ax －a ⇔a ≤x ln x x －1. 令p (x )＝x ln x x －1，x ∈[e ，＋∞)，则p ′(x )＝x －ln x －1(x －1)2. ∵当x ≥e 时，(x －ln x －1)′＝1－1x>0， ∴函数y ＝x －ln x －1在[e ，＋∞)上是增函数，∴x －ln x －1≥e －ln e －1＝e －2>0，p ′(x )>0，∴p (x )在[e ，＋∞)上是增函数，∴p (x )的最小值为p (e)＝e e －1，∴a ≤e e －1. 22．解 (1)∵双曲线C 2：x 22－y 2＝1的顶点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴椭圆C 1的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)， ∵椭圆C 1过点A (－2，1)，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，得a ＝2.∴b 2＝a 2－(2)2＝2.∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 22＝1. (2)设点Q (x ，y )，点P (x 1，y 1)，由A (－2，1)及椭圆C 1关于原点对称可得B (2，－1)， ∴AQ →＝(x ＋2，y －1)，AP →＝(x 1＋2，y 1－1)，BQ →＝(x －2，y ＋1)，BP →＝(x 1－2，y 1＋1)．由AQ →·AP →＝0，得(x ＋2)(x 1＋2)＋(y －1)(y 1－1)＝0，即(x ＋2)(x 1＋2)＝－(y －1)(y 1－1)．①同理，由BQ →·BP →＝0，得(x －2)(x 1－2)＝－(y ＋1)(y 1＋1)．②①×②，得(x 2－2)(x 21－2)＝(y 2－1)(y 21－1)．③由于点P 在椭圆C 1上，则x 214＋y 212＝1，得x 21＝4－2y 21， 代入③式，得－2(y 21－1)(x 2－2)＝(y 2－1)(y 21－1)．当y 21－1≠0时，有2x 2＋y 2＝5，当y 21－1＝0时，点P (－2，－1)或P (2，1)，此时点Q 对应的坐标分别为(2，1)或(－2，－1)，其坐标也满足方程2x 2＋y 2＝5.当点P 与点A 重合时，即点P (－2，1)，由②得y ＝2x －3.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋y 2＝5，y ＝2x －3， 得点Q 的坐标为(2，－1)或⎝⎛⎭⎫22，－2. 同理，当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为(－2，1)或⎝⎛⎭⎫－22，2. ∴点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝5，除去四个点(2，－1)，⎝⎛⎭⎫22，－2，(－2，1)，⎝⎛⎭⎫－22，2. (3)点Q 到直线AB ：x ＋2y ＝0的距离为|x ＋2y |3. △ABQ 的面积为S ＝12(2＋2)2＋(－1－1)2·|x ＋2y |3 ＝|x ＋2y |＝x 2＋2y 2＋22xy .而22xy ＝2×(2x )×⎝⎛⎭⎫y 2≤4x 2＋y 22(当且仅当2x ＝y 2时等号成立)， ∴S ＝x 2＋2y 2＋22xy ≤ x 2＋2y 2＋4x 2＋y 22 ＝ 5x 2＋52y 2＝522(当且仅当2x ＝y 2时，等号成立)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝y 2，2x 2＋y 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－22，y ＝－2. ∴△ABQ 的面积的最大值为522，此时，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，2或⎝⎛⎭⎫－22，－2.。

数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点 数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 易误提醒 运用数学归纳法应注意：(1)第一步验证n ＝n 0时，n 0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．(2)由n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．[自测练习]1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个数，所以f (n )中共有n 2－n ＋1项，且f (2)＝12＋13＋14，故选D.答案：D2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B考点一 用数学归纳法证明等式|求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)． 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1) ＝2·2k ·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n ∈N *，原等式成立．用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n 0的值．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n ＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．1．用数学归纳法证明下面的等式：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n－1n (n ＋1)2. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1，∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k －1k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k(k ＋1)(k ＋2)2.∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)知对任意n ∈N *，有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n (n ＋1)2.考点二 用数学归纳法证明不等式|设数列{a n }各项均为正数，且满足a n ＋1＝a n －a 2n . 求证：对一切n ≥2，都有a n ≤1n ＋2. [证明] ∵数列{a n }各项均为正数，且满足a n ＋1＝a n －a 2n ， ∴a 2＝a 1－a 21>0，解得0<a 1<1.当n ＝2时，a 3＝a 2－a 22＝14－⎝⎛⎭⎫a 2－122≤14，不等式成立， 假设当n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即a k ≤1k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k －a 2k ＝14－⎝⎛⎭⎫a k －122≤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2－122＝k ＋1(k ＋2)2<k ＋1(k ＋1)(k ＋3)＝1(k ＋1)＋2，∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n ≥2，都有a n ≤1n ＋2.应用数学归纳法证明不等式注意的两个问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．2．(2016·大连双基)数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1，∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n，即1a n ＋1－1a n ＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.证明：法一：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.法二：(数学归纳法)当n＝1时，1S1＝1，nn＋1＝12，不等式成立．假设当n＝k时，不等式成立，即1S1＋1S2＋…＋1S k>kk＋1.则当n＝k＋1时，1S1＋1S2＋…＋1S k＋1S k＋1>kk＋1＋1(k＋1)2，又k(k＋1)＋1(k＋1)2－k＋1k＋2＝1－1k＋1＋1 (k＋1)2－1＋1k＋2＝1k＋2－k(k＋1)2＝1(k＋2)(k＋1)2>0，∴1S1＋1S2＋…＋1S k＋1S k＋1>k＋1k＋2，∴原不等式成立．考点三归纳—猜想—证明问题|将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…[解]由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，那么，当n ＝k ＋1时，S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2k －1＋S 2k ＋1＝k 4＋[(2k 2＋k ＋1)＋(2k 2＋k ＋2)＋…＋(2k 2＋k ＋2k ＋1)]＝k 4＋(2k ＋1)(2k 2＋2k ＋1)＝k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1＝(k ＋1)4，这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任意的n ∈N *，S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4都成立．归纳—猜想—证明类问题的解题步骤(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．3．设a >0，f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )， n ∈N *.(1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．解：(1)∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a 3＋a .猜想a n ＝a(n －1)＋a(n ∈N *)．(2)证明：①易知n ＝1时，猜想正确． ②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝a(k －1)＋a，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a ka ＋a k ＝a ·a (k －1)＋aa ＋a (k －1)＋a＝a(k －1)＋a ＋1＝a[(k ＋1)－1]＋a.这说明，n ＝k ＋1时猜想正确．由①②知，对于任意的n ∈N *，都有a n ＝a(n －1)＋a成立.14.数学归纳法在证明不等式中的易误点【典例】 设函数f (x )＝x －sin x ，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )． (1)若a 1＝2，试比较a 2与a 3的大小；(2)若0<a 1<1，求证：对任意n ∈N *,0<a n <1恒成立．[解] (1)当a 1＝2时，a 2＝f (2)＝2－sin 2∈(0,2)，所以sin a 2>0，又a 3＝f (a 2)＝a 2－sin a 2， 所以a 3－a 2＝－sin a 2<0，所以a 2>a 3.(2)证明：用数学归纳法证明当0<a 1<1时，对任意n ∈N *,0<a n <1恒成立． ①当n ＝1时，0<a 1<1，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，0<a k <1，所以sin a k >0，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－a k ＝－sin a k <0， 所以a k ＋1<a k <1.因为f (x )＝x －sin x ， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝1－cos x >0， 所以f (x )是(0,1)上的单调递增函数， 所以a k ＋1＝f (a k )>f (0)＝0，即0<a k ＋1<1， 故当n ＝k ＋1时，结论成立．综上可得，当0<a 1<1时，对任意n ∈N *,0<a n <1恒成立．[易误点评] (1)不会作差比较a 2与a 3大小，同时忽视了sin 2的值大小． (2)证明n ＝k ＋1成立时用不归纳做证n ＝k 成立条件导致失误．[防范措施] (1)用数学归纳证明不等式的关键是由n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题成立．(2)在归纳假设使用后，注意最后结论证明方法的选择．[跟踪练习] 若函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3.证明：(1)当n ＝1时，x 1＝2，f (x 1)＝－3，Q 1(2，－3)．∴直线PQ 1的方程为y ＝4x －11， 令y ＝0，得x 2＝114，因此，2≤x 1<x 2<3，即n ＝1时结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3. ∴直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4(x －4)．又f (x k ＋1)＝x 2k ＋1－2x k ＋1－3，代入上式，令y ＝0，得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1，由归纳假设，2<x k ＋1<3，x k ＋2＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3；x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立． 由(1)，(2)知对任；意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.A 组 考点能力演练1．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N ＋，n ≥2)．证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1命题成立．由(1)，(2)知原不等式在n ∈N ＋，n ≥2时均成立．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ＝1n f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2n ，n ＝1，S 2n －S n －1，n ≥2，(1)计算f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)比较f (n )与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 证明：(1)由已知f (1)＝S 2＝1＋12＝32，f (2)＝S 4－S 1＝12＋13＋14＝1312，f (3)＝S 6－S 2＝13＋14＋15＋16＝1920；(2)由(1)知f (1)>1，f (2)>1；下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，f (n )<1. ①由(1)知当n ＝3时，f (n )<1；②假设n ＝k (k ≥3)时，f (k )<1，即f (k )＝1k ＋1k ＋1＋…＋12k <1，那么f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k <1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋2－12k ＝1＋2k －(2k ＋1)2k (2k ＋1)＋2k －(2k ＋2)2k (2k ＋2)＝1－12k (2k ＋1)－1k (2k ＋2)<1，所以当n ＝k ＋1时，f (n )<1也成立．由①和②知，当n ≥3时，f (n )<1.所以当n ＝1和n ＝2时，f (n )>1；当n ≥3时，f (n )<1.3．(2015·安庆模拟)已知数列{a n }满足a 1＝a >2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：对任意n ∈N *，a n >2；(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：当a ＝3时，S n <2n ＋43.解：(1)证明：用数学归纳法证明a n >2(n ∈N *)； ①当n ＝1时，a 1＝a >2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1)时结论成立，即a k >2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2>2＋2＝2，所以n ＝k ＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n ∈N *，都有a n >2成立． (2){a n }是单调递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n >2， 所以a 2n ＋1－a 2n <0，所以a n ＋1<a n .这说明{a n }是单调递减的数列．(3)证明：由a n ＋1＝a n ＋2，得a 2n ＋1＝a n ＋2，所以a 2n ＋1－4＝a n －2.根据(1)知a n >2(n ∈N *)，所以a n ＋1－2a n －2＝1a n ＋1＋2<14，所以a n ＋1－2<14(a n －2)<⎝⎛⎭⎫142·(a n －1－2)<…<⎝⎛⎭⎫14n(a 1－2)．所以，当a ＝3时，a n ＋1－2<⎝⎛⎭⎫14n，即a n＋1<⎝⎛⎭⎫14n ＋2. 当n ＝1时，S 1＝3<2＋43.当n ≥2时，S n ＝3＋a 2＋a 3＋…＋a n <3＋⎝⎛⎭⎫14＋2＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫142＋2＋…＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14n －1＋2 ＝3＋2(n －1)＋141－14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1 ＝2n ＋1＋13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1<2n ＋43. 综上，当a ＝3时，S n <2n ＋43(n ∈N *)．B 组 高考题型专练1．(2014·高考江苏卷)已知函数f 0(x )＝sin xx (x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1)求2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2的值； (2)证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n⎝⎛⎭⎫π4＝22都成立． 解：(1)由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝cos x x －sin xx 2， 于是f 2(x )＝f ′1(x )＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′－⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3， 所以f 1⎝⎛⎭⎫π2＝－4π2，f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－2π＋16π3， 故2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－1.(2)证明：由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf ′0(x )＝cos x ， 即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，类似可得 2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)， 3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2， 4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． ①当n ＝1时，由上可知等式成立．②假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2.因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf ′k －1(x )＋f k (x )＋xf ′k (x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2·⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′ ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(k ＋1)π2， 所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(k ＋1)π2. 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合①②可知等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． 令x ＝π4，可得nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋n π2(n ∈N *) 所以⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝22(n ∈N *)． 2．(2014·高考安徽卷)设实数c >0，整数p >1，n ∈N *.(1)证明：当x >－1且x ≠0时，(1＋x )p >1＋px .(2)数列{a n }满足a 1>c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c pa 1－p n . 证明：a n >a n ＋1>c 1p. 证明：(1)用数学归纳法证明：①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立．②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1且x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立．(2)先用数学归纳法证明a n >c 1p. ①当n ＝1时，由题设a 1>c 1p 知a n >c 1p成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立． 由a n ＋1＝p －1p a n ＋c pa 1－p n 易知a n >0，n ∈N *.当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1<0. 由(1)中的结论得⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k p ＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p >1＋p ·1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p. 所以n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立． 综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p均成立． 再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n<1，即a n ＋1<a n . 综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.。

单元质检卷六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a4=15,S5=55,则数列{a n}的公差是()A. B.4 C.-4 D.-32.(2018辽宁沈阳交联体期中,5)已知a1=1,a n=n(a n+1-a n)(n∈N*),则数列{a n}的通项公式是()A.a n=2n-1B.a n=2n+3C.a n=nD.a n=n23.在等差数列{a n}中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列{a n}的前5项的和为()A.15B.20C.25D.15或254.(2018河南郑州一模,5)等比数列{a n}中,a3=9,前3项和为S3=3x2d x,则公比q的值是()A.1B.-C.1或-D.-1或-5.(2018全国高考必刷模拟一,5)已知数列{a n}的前n项和为S n,若S n=1+2a n(n≥2),且a1=2,则S20=()A.219-1B.221-2C.219+1D.221+26.(2018新疆乌鲁木齐三模)已知数列{a n}、{b n}满足a1=b1=1,a n+1-a n==2(n∈N*),则数列{}的前10项的和为()A.(49-1)B.(410-1)C.(49-1)D.(410-1)二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2018江苏南京、盐城一模,10)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若{a n}的前2 017项中的奇数项的和为2 018,则S2 017的值为.8.(2018辽宁抚顺一模,16)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=S n+2,则a9的值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2018北京,文15)设{a n}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求{a n}的通项公式;(2)求+…+.10.(15分)(2018河北石家庄一模,17)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且满足2S n=2n+1+m(m∈R).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项和T n.11.(15分)(2018山东济宁一模,17)已知{a n}是等比数列,满足a1=2,且a2,a3+2,a4成等差数列,数列{b n}满足b1+b2+b3+…+b n=2n(n∈N*).(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=(-1)n(a n-b n),求数列{c n}的前2n项和S2n.单元质检卷六数列(A)1.B∵{a n}是等差数列,a4=15,S5=55,∴a1+a5=22,∴2a3=22,a3=11.∴公差d=a4-a3=4.2.C由a n=n(a n+1-a n),得(n+1)a n=na n+1,,=1,故a n=n,故选C.3.A∵在等差数列{a n}中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,-解得∴S5=5a1+d=5×(-1)+2=15.故选A.4.C由S3=3x2d x=3×=3×33-0=27,且a3=9,得a1+a2=18,两式相除得=2,解得q的值为1或-5.C∵S n=1+2a n(n≥2),∴S2=1+2a2(n≥2),a1+a2=1+2a2,∴a2=1.S n=1+2a n(n≥2),①S n-1=1+2a n-1(n≥3),②①-②得a n=2a n-1,∴数列{a n}是从第2项开始的等比数列,则S20=a1+-=219+1.-6.D由题可知a n=1+(n-1)·2=2n-1,b n=1·2n-1,则数列{}即为数列{b n}的奇数项,数列{}仍为等比数列,其首项为b1=1,公比为原数列{b n}公比的平方,则数列{}的前10项的和为S10=--(410-1).7.4 034∵{a n}的前2 017项中的奇数项的和为2 018,(a1+a2 017)=2 018,∴a1+a2 017=4.∴S2 017=(a1+a2 017)=4 034.8.384当n≥2时,由a n+1=S n+2,得a n=S n-1+2,两式相减,得a n+1-a n=a n,∴a n+1=2a n,当n=1时,a2=S1+2=3,所以当n≥2时,数列{a n}是以2为公比的等比数列,∴a9=a2×27=3×128=384.9.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵a2+a3=5ln 2.∴2a1+3d=5ln 2,又a1=ln 2,∴d=ln 2.∴a n=a1+(n-1)d=n ln 2.(2)由(1)知a n=n ln 2.=e n ln 2==2n,∴{}是以2为首项,2为公比的等比数列.+…+=2+22+…+2n=2n+1-2.10.解(1)由2S n=2n+1+m(m∈R),得2S n-1=2n+m(m∈R).当n≥2时,2a n=2S n-2S n-1=2n,即a n=2n-1(n≥2).又a1=S1=2+,当m=-2时符合上式,所以通项公式为a n=2n-1.(2)由(1)可得log2(a n·a n+1)=log2(2n-1·2n)=2n-1,∴b n=,--∴T n=b1+b2+…+b n=1-+…+=-11.解(1)设数列{a n}的公比为q,则由条件得2(a3+2)=a2+a4,又a1=2,则2(2q2+2)=2q+2q3⇒4(q2+1)=2q(1+q2).因为1+q2>0,解得q=2,故a n=2n.对于{b n},当n=1时,b1=2×1=2;b n-1=2(n-1), 当n≥2时,由b1+b2+b3+…+b n=2n得:b1+b2+b3+…+-b n=2(n≥2),可得b n=2n,且b1=2也适合,故b n=2n.∴a n=2n,b n=2n.(2)因c n=(-1)n(a n-b n),由(1)得S2n=c1+c2+…+c2n=-a1+b1+a2-b2+…+a2n-b2n+n·(-2)=(-a1+a2-…+a2n)+(b1-b2+…-b2n)=-----=-(1-22n)-2n=22n+1-2n-。

单元质检卷十一计数原理(时间:60分钟满分:80分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼,则他至少选中1种无氧运动的选法有( )A.261种B.360种C.369种D.372种2.(x2+2ax-a)5的展开式中各项的系数和为1 024,则a=( )A.1B.2C.3D.43.某班准备从甲、乙等5人中选派3人发言,要求甲乙两人至少有一人参加,那么不同的发言顺序有( )A.18种B.36种C.54种D.60种4的展开式中,常数项为( )4.(2+x)x+1xA.2B.6C.8D.125.在某次活动中,某学校有2女、4男共6名教师报名成为志愿者,现在有3个不同的社区需要进行调查工作,从这6名志愿者中选派3名,每人去1个小区,每个小区去1名教师,其中至少要有1名女教师,则不同的选派方案有( )A.16种B.20种C.96种D.120种6.某学校社团将举办革命歌曲展演活动.现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛主席派人来》 4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》 2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出,要求最后一首歌曲必须是合唱,则不同的安排方法共有( )A.14种B.48种C.72种D.120种)n的展开式中,二项式系数的和是32,则展开式中各项系7.在二项式(x2-2x数的和为( )A.-32B.-1C.1D.328.已知(1+mx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,若a1+a2+a3+a4+a5=242,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=( )A.1B.-1C.-81D.819.为落实立德树人的根本任务,践行五育并举,某学校开设A,B,C三门德育校本课程,现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习,每位同学仅报一门,每门至少有一位同学参加,则不同的报名方法有( ) A.54种 B.240种C.150种D.60种10.若(x-a)(1+2x)5的展开式中x3的系数为20,则a=( )A.-14B.14C.-12D.1211.某地安排7名干部(3男4女)到三个自然村进行调研走访活动,每个村安排男、女干部各1名,剩下1名干部负责统筹协调,则不同的安排方案有( )A.72种B.108种C.144种D.210种12.两个三口之家(父母和小孩)共6人去旅游,有两辆不同的车可供选择,每辆车至少乘坐2人,但两个小孩不能单独乘坐一辆车,则不同的乘车方式的种数为( )A.48B.50C.98D.68二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某班4名同学去参加3个社团,每人只参加1个社团,每个社团都有人参加,则满足上述要求的不同方案共有种.14.中国长征系列运载火箭包括长征一号、长征二号、长征三号、长征四号4个系列十多种型号,具有发射从低轨到高轨、不同质量与用途的各种卫星、载人航天器和月球探测器的能力.其中长征三号系列火箭因其入轨精度高、轨道选择多、适应能力强,成为发射北斗导航卫星的“专属列车”.12年间,长征三号系列火箭用38次成功发射的优异表现,将53颗北斗导航卫星送入预定轨道.现假设长征三号系列火箭某8次成功发射共运送11颗相同的北斗导航卫星进入预定轨道,每次发射运送1颗或2颗卫星,则这11颗卫星的不同运送方式种数共有种.n(n∈N*)的展开式中所有二项式系数之和是64,则它展15.已知√x−12√x开式中x2的系数为.16.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告,现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告,新增播1个商业广告与2个不同的公益宣传广告,且要求2个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放,则不同的播放顺序共有 种. 答案：单元质检卷十一 计数原理1.C (方法1)由题意,分有1种无氧运动,2种无氧运动,3种无氧运动,则他至少选中1种无氧运动的选法有C 31C 93+C 32C 92+C 33C 91=369(种),故选C. (方法2)从12种运动中任意选4种共有C 124种选法,其中不符合题意的有C 94种选法,所以共有C 124−C 94=495-126=369(种),故选C.2.C 令x=1可知展开式中各项系数和为(a+1)5=1024,所以a=3.故选C.3.C 若只有甲乙其中一人参加,有C 21C 32A 33=36(种)情况;若甲乙两人都参加,有C 22C 31A 33=18(种)情况,则不同的发言顺序种数为36+18=54,故选C.4.D (2+x)x+1x4=2x+1x4+x x+1x4,x+1x4展开式的通项为T r+1=C 4r x 4-r (1x)r=C 4r x 4-2r ,当4-2r=0,即r=2时,2·C 42=12,所以(2+x)(x +1x)4的展开式中,常数项为12.故选D. 5.C 根据题意,分2步进行分析:①选出3名老师至少要有1名女教师,有C 63−C 43=16(种)方法,②将选出的3人安排到三个社区,有A 33=6(种)方法, 则有16×6=96(种)不同的选派方法,故选C.6.D 先安排最后一首歌曲有C 21种方法,再从余下的5首歌曲中选取3首任意排列有A 53种方法,则不同的安排方法共有C 21·A 53=120(种).故选D.7.B ∵二项式系数的和是32,则2n =32,∴n=5.令x=1,则展开式中各项系数的和为(-1)5=-1,故选B.8.B 令x=0,得a 0=1;令)5=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=243,所以1+m=3,即m=2;令x=-1,得(1-2)5=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5=-1.故选B.9.C 由题意需要分三组,有两类情况,若三组人数为1,1,3,此时有C 51C 41C 33A 22·A 33=60(种)方法;若三组人数为2,2,1,此时有C 52C 32C 11A22·A 33=90(种)方法.所以共有60+90=150(种)报名方法.故选C. 10.B (x-a)(1+2x)5=x(1+2x)5-a(1+2x)5,x(1+2x)5的展开式中x 3的系数为C 5222=40;a(1+2x)5的展开式中x 3的系数为a C 5323=80a.由题意可得40-80a=20,解得a=14.11.C 根据题意,分2步完成这件事:①对于4名女干部,从中选出1人,负责统筹协调,剩下3人安排到三个自然村,有C 41A 33=24(种)安排方法,②对于3名男干部,将3人全排列,安排到三个自然村,有A 33=6(种)安排方法,则有24×6=144(种)安排方法,故选C.12.A 根据题意,分2种情况讨论,①每辆车坐3人,有C 63=20(种)乘车方式;②一辆车坐2人,另一辆坐4人,要求两个小孩不能单独乘坐一辆车,有(C 62-1)A 22=28(种)乘车方式.则共有20+28=48(种)乘车方式.故选A. 13.36 由题设可得满足要求的不同方案共有C 42A 33=36(种).14.56 由题意得,在8次发射中,有3次发射运送2颗,有5次发射运送1颗,所以不同运送方式种数共有C 83=56(种).15.-3 由题意2n=64,则n=6,√x −12√x6展开式的通项T r+1=C 6rx 2r -62-126-r,令2r -62=2,解得r=5,所以展开式中x 2的系数为C 65×-12=-3.16.120 由题意知,要在该时间段只保留其中的2个商业广告,有A 52=20(种)情况,新增播1个商业广告,利用插空法有3种情况,再在2个空中插入2个不同的公益宣传广告,共有2种情况.根据分步乘法计数原理知,共有20×3×2=120(种)播放顺序.。

课时追踪检测( 二十三 )1．函数y＝sin2x－π－π，π上的简图是 ()3在区间2A BC D答案： A分析：令 x＝0，得 y＝sin －π33＝－2，清除 B，D.由 f－π＝0，fπ＝ 0，清除 C. 362．将函数＝ cos 2x ＋ 1 的图象向右平移π个单位，再向下平移 1个单位后获得的函数y4图象对应的表达式为 ()A．y＝ sin 2x B．y＝ sin 2x＋2．＝cos 2 x ．＝cos2x－πC yD y4答案： A分析：将函数y ＝＋1的图象向右平移π个单位获得y＝cos 2x－π＋＝sin 2x cos 2 x414＋ 1，再向下平移 1 个单位获得y＝sin 2x，应选A.3．函数f ( x) ＝2sin(π<φ <π的部分图象如下图，则ω ，φ 的值ω x＋φ)ω>0，－22分别是 ()1 π1 πA. 2和6 B ．2和－3ππC ．2和6D ．2 和－ 3答案： D分析：由图可知 T ＝ 211π5π12 － 12 ＝ π ，∴ ω ＝ 2，5π5π ＋ φ， 2代入分析式可得， 2＝ 2sin2× ，将12 125πππ∴ 6 ＋ φ ＝2k π ＋ 2 ( k ∈ Z) ，∴ φ ＝ 2k π－ 3，πππ∵－ 2 ＜ φ ＜ 2 ，∴ φ ＝－ 3 .π π4. 函数 f ( x ) ＝ 2sin( ω x ＋ φ ) ω >0，－ 2 <φ < 2 的部分图象如下图，将f ( x ) 的图象π ()向左平移 6 个单位后的分析式为2 － πB ．y ＝ 2sin 2 xA ．y ＝ 2sin x6． ＝2sin2x ＋ π． ＝2sin2x ＋ πC y6D y3答案： B分析：由题意得，最小正周期为T ＝ 5π ＋π412 3 ×3＝ π ，2π 5π ππf ( x ) ＝ ∴ ω ＝ π ＝ 2 ，由五点法， 2×12 ＋ φ ＝ 2 ，得 φ ＝－ 3 ，切合题意，∴2 －π，将f ( x ) 的图象向左平移 π 个单位后得 ＝ 2sin 2 x ＋ π－π ＝ 2sin 2x . 应选2sinx36 y 6 3B.π3π5．设函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ )( A ＞ 0， ω＞ 0) 在 x ＝ 2 时，取最大值A ，在 x ＝ 2 时，取最小值－ A ，则当 x ＝ π 时，函数 y 的值 ()A ．仅与 ω 相关B ．仅与 φ 相关C ．等于零D ．与 φ ， ω 均相关答案： Cπ 3π分析：由题意， 2 ＋2 ＝ π ，依据函数 y ＝ sin( ω x ＋φ ) 的图象可知，当 x ＝ π 时，函2 A数 y 的值为 0. 应选 C.6 ．如图，某港口一天6时到 18时的水深变化曲线近似知足函数 ＝πx ＋ φ ＋k .y 3sin 6据此函数可知，这段时间水深( 单位： m)的最大值为 ()A ．5B ．6C ．8D ．10答案： C分析：依据图象得，函数的最小值为 2，有－ 3＋ k ＝ 2，则 k ＝ 5，故最大值为 3＋k ＝ 8.7．已知函数 f ( x ) ＝ 2sinω x 在区间 －π，π上的最小值为－2，则 ω 的取值范围是3 4( )A. －∞， 932 ∪∪∪ 2，＋∞ 答案： D分析：当ω>0 时，－ π3 ω ≤ ω x ≤ π4 ω ，ππ 3由题意知－ 3 ω ≤－ 2 ，即 ω≥ 2；当 ω <0 时， π ω ≤ ω x ≤－ πω ，43 ππ由题意知4 ω ≤－ 2 ，∴ ω ≤－ 2.3综上可知， ω 的取值范围是 ( －∞，－ 2] ∪ 2，＋∞ .8．已知函数 f ( x ) ＝ sin( ω x ＋φ ) ω ππ ，若将 f ( x ) 的图象>0，| φ |< 2 的最小正周期是π f ( x ) 的图象 ()向右平移 3 个单位后获得的图象对于原点对称，则函数A ．对于直线 x ＝ π对称125πB ．对于直线 x ＝ 12 对称π， 0 对称C ．对于点 12D ．对于点5π，0 对称12答案： B分析：∵ f ( x ) 的最小正周期为 π ，∴2π＝ π ， ω＝ 2，ωπ个单位后获得 g ( x ) ＝ sin 2 x － π＋ φ ＝sin 2x － 2π＋ φ 的∴f ( x ) 的图象向右平移3 3 3图象，又 g ( x ) 的图象对于原点对称，2π∴－ 3 ＋ φ＝ k π ， k ∈ Z ，2π∴φ ＝＋k π ， k ∈Z ，又| φ |<π2 ，∴ φ ＝－ π3 ，π∴f ( x ) ＝ sin 2x － 3 .当 x ＝ π时， 2x －π＝－ π ，∴ A ， C 错误；12 365ππ π当 x ＝ 12 时， 2x － 3 ＝ 2 ，∴ B 正确， D 错误．9．将函数 f ( x ) ＝sin( ω x ＋ φ )π≤φ ≤πω >0，－ 22 图象上每一点的横坐标缩短为原πy ＝ sin x 的图象，则 f π来的一半，纵坐标不变，再向右平移6 个单位长度获得6 ＝________.2答案：2向左平移 π个x ＋π分析： y ＝ sin x――→6y ＝ sin6单位长度纵坐标不变1 ＋π――→，y ＝ sin 2x6横坐标变成本来的 2倍1π即 f ( x ) ＝ sin 2x ＋ 6 ，∴fππ π π 2 6 ＝ sin 12＋6 ＝ sin 4 ＝ 2 .f ( x ) ＝ sin( ωx ＋ φ )ππ10. 已知函数 ω >0，－ 2 ≤ φ ≤ 2 的图象上的两个相邻的最高点1 f ( x ) ＝ ________.和最低点的距离为 2 2，且过点 2，－ 2 ，则函数分析式πx π答案： sin2 ＋ 6T 22分析：据已知两个相邻最高和最低点距离为2 2，可得 2＋＋＝ 2 2，2π π，即 f ( x ) ＝ sinπ x ＋ φ.解得 T ＝ 4，故 ω ＝ T ＝ 2 21 又函数图象过点2，－ 2 ，故 f (2) ＝ sinπ ×2＋ φ12 ＝－ sin φ ＝－ 2，πππ又－ 2 ≤ φ ≤ 2 ，解得 φ ＝ 6 ，故 f ( x)＝sin π xπ2＋6.11．已知ω>0，在函数y＝2sinω x与y＝2cosω x的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则ω＝ ________.π答案：2y＝2sinωx，分析：由得 sinω x＝cosω x，y＝2cosωxπ∴tanω x＝1，ω x＝kπ ＋4(k∈Z)．kππ∵ω >0，∴x＝ω＋4ω ( k∈Z) ．设距离最短的两个交点分别为( x，y ) ， ( x， y )，不如取x ＝4ω， x ＝4ω，则 | x－x|11221π25π21 5π ππ＝4ω－4ω＝ω.2122＝ 22，又联合图形知 | y－y | ＝ 2× －2－2×2且( x1，y1) 与 ( x2，y2) 间的距离为 23，∴( x2－x1) 2＋ ( y2－y1) 2＝(23) 2，π 22∴ ω＋ (22) ＝ 12，π∴ω ＝ 2.12．已知函数 f ( x)＝sin x＋3cos x，则以下命题正确的选项是________． ( 写出全部正确命题的序号 )①f ( x)的最大值为2；②f ( x)的图象对于点π，0 对称；－6③f ( x)在区间－5π，π上单一递加；66④若实数 m使得方程 f ( x)＝ m在上恰巧有三个实数解 x， x，x，则 x ＋ x ＋x＝7π；1231233⑤f ( x)的图象与 g( x)＝sin x－2π的图象对于x 轴对称．3答案：①③④分析： f ( x)＝sin x＋3cos x13x＋π＝22sin x＋2cos x ＝2sin 3.因此①正确；π因为将 x＝－6代入 f ( x)，得f－π＝ 2sin－π＋π＝1≠0，663因此②不正确；由 2kπ －π2≤x＋π3≤2kπ＋π2，k∈ Z，得 2kπ －5π≤≤2 π ＋π ，∈ Z，66因此 f ( x)在区间－5ππ6，6上单一递加，③正确；若实数使得方程f(x ) ＝在上恰巧有三个实数解，联合函数f(x) ＝ 2sin x＋π及y＝mm m3的图象可知，必有 x＝0，x＝2π，＋ππ此时 f ( x)＝2sin x3＝ 3，另一解为x＝3，7π即 x1，x2， x3知足 x1＋ x2＋ x3＝ 3，④正确；因为 f ( x)＝2sin x ＋π＝ 2sin x＋π －2π＝－ 2sin x－ 2π不与 g( x)＝sin x－ 2π3333对于 x 轴对称．⑤不正确．1．设函数f ( x)＝sin2x＋π6，则以下结论正确的选项是()A ．f ( x ) 的图象对于直线 x ＝π对称3B ．f ( x ) 的图象对于点π，0 对称6C ．f ( x ) 的最小正周期为π ，且在0，π12 上为增函数πD ．把 f ( x ) 的图象向右平移 12个单位，获得一个偶函数的图象答案： Cπ分析：对于函数 f ( x ) ＝ sin 2x ＋ 6 ，ππ 5π 1当 x ＝ 3 时， f3 ＝ sin 6 ＝2，故 A 错； ππ π π当 x ＝ 6 时， f6 ＝ sin2 ＝1，故 6 ，0不是函数的对称点，故 B 错；函数的最小正周期为T ＝ 2π ＝ π ，当 x ∈ 0， π 时， 2 x ＋π∈ π ， π ，此时函数为增2 12 6 6 3函数，故 C 正确；π把 f ( x ) 的图象向右平移12个单位，获得g ( x ) ＝sin2 x － π＋ π＝sin 2 ，函数是奇函数，故D 错．126x2．已知函数 f ( x ) ＝ A sin( ω x ＋φ )( A ，ω ， φ 均为正的常数 ) 的最小正周期为 π ，当 x2π＝3 时，函数 f ( x ) 获得最小值，则以下结论正确的选项是 ()A ．f (2)< f ( － 2)< f (0)B ．f (0)< f (2)< f ( － 2)C ．f ( － 2)< f (0)< f (2)D ．f (2)< f (0)< f ( － 2)答案： A分析：∵因为 f ( x ) 的最小正周期为 π ，∴ω ＝ 2，即 f ( x ) ＝ A sin(2 x ＋φ ) ，2π4π π又当 x ＝ 3 时， 2x ＋φ ＝ 3 ＋ φ ＝ 2k π－ 2 ( k ∈Z) ，∴φ ＝ 2k π－ 11π( k ∈ Z) ，6 又 φ >0，∴ φ min ＝π ，故 f ( ) ＝ sin 2x ＋ π.6xA61π于是 f (0) ＝2A ， f (2) ＝ A sin 4＋6 ，f ( － 2) ＝ A sin － 4＋ π ＝ A sin 13π － 4 .6 6π 5π7π π π又∵－ 2< 6 －4<4－ 6 <6<2，此中 f (2) ＝A sin 4＋ π ＝ A sin π － 4＋ π＝ A sin 5π － 4 ，66 6 f ( － 2) ＝ A sin 13π ＝ A sin13π －4 ＝ A sin 4－ 7π 6 － 4 π －6 6 .π π又 f ( x ) 在 － 2 ， 2 上单一递加， ∴f (2)< f ( －2)< f (0) ，应选 A.πx ， x3．函数 f ( x) ＝ Asin( ω x ＋ φ ) ， A ＞ 0， ω ＞ 0，| φ | ＜ 2 的部分图象如下图，若21∈ － π ， π，且 f ( x 1) ＝ f ( x 2) ，则 f ( x 1＋ x 2) ＝ ()6 3A ．1B ．12 23C ． 2D ． 2答案： D分析：察看图象可知，A ＝ 1， T ＝ π ，∴ω ＝ 2， f ( x ) ＝ sin(2 x ＋ φ ) ．将 －π， 0 代入上式得 sin－ π＋ φ ＝0，63πππ由| φ | ＜ 2 ，得 φ ＝ 3 ，则 f ( x ) ＝ sin 2x ＋ 3 .π π－ 6＋3π函数图象的对称轴为 x ＝ 2＝ 12.π πf ( x 1) ＝ f ( x 2) ，又 x 1，x 2∈ － ， ，且 6 3x1＋x2ππ∴2＝12，∴ x1＋ x2＝6，ππ＝3∴f ( x1＋ x2)＝sin 2×＋.应选 D.632πππππ4．已知f ( x) ＝ sinω x＋3( ω >0) ，f6＝ f3，且 f ( x)在区间6，3 上有最小值，无最大值，则ω＝ ________.答案：143ππ6＋3π分析：依题意， x＝2＝4时， y 有最小值，∴sin π · ω＋π＝－ 1，43ππ3π∴ 4ω ＋3＝ 2kπ＋2 ( k∈ Z) ．∴ω＝ 8k＋14( k∈ Z) ，因为f ( x) 在区间ππ36，3上有最小值，无最大值，πππ因此3－4≤ω，即ω ≤12，14令 k＝0，得ω＝.35．已知函数 f ( x)＝23sin x cos x＋2sin2x－1，x∈R.(1)求函数 f ( x)的最小正周期和单一递加区间；(2) 将函数y＝f ( x) 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到本来的1，再把所获得2的图象向左平移π 个单位长度，获得函数y＝ () 的图象，求函数y＝ () 在区间－π，π上6g x g x612的值域．解： (1) 因为f ( x) ＝ 2 3sin x cos x＋2sin2x－1π＝3sin 2 x－ cos 2 x＝ 2sin 2x－6，∴函数f (x) 的最小正周期为＝π ，T由－π＋ 2 π≤2 －π ≤π＋ 2kπ，k∈ Z，2kx62π＋ kπ≤ x≤π＋ kπ， k∈Z，∴－63∴f( x)的单一递加区间为－π＋kπ，π＋ kπ，k∈Z. 63(2) 函数y＝f ( x) 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到本来的1，获得y ＝2π2sin 4x－6；再把所获得的图象向左平移π 个单位长度，6获得 g( x)＝2sin 4 x＋π－π＝ 2sin 4x＋π＝2cos 4 x. 662ππ2ππ当 x∈ －6，12时， 4x∈ －3， 3，因此当 x＝0时， g( x)max＝2，π当 x＝－6时， g( x)min＝－1.ππ∴y＝ g( x)在区间－6，12上的值域为．6．为迎接夏天旅行旺季的到来，少林寺独自设置了一个特意安排旅客住宿的旅馆，寺庙的工作人员发现为旅客准备的一些食品有些月份节余许多，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想合时调整投入．为此他们统计每个月入住的旅客人数，发现每年各个月份来旅馆入住的旅客人数会发生周期性的变化，而且有以下规律：①每年同样的月份，入住旅馆的旅客人数基真同样；②入住旅馆的旅客人数在 2 月份最少，在8 月份最多，相差约400 人；③2 月份入住旅馆的旅客约为100 人，随后逐月递加直到8 月份达到最多．(1)试用一个正弦型三角函数描绘一年中入住旅馆的旅客人数与月份之间的关系；(2) 请问哪几个月份要准备400 份以上的食品？解： (1) 设该函数为 f ( x)＝ A sin(ω x＋φ)＋ B( A>0，ω>0,0<|φ|<π)，依据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知， f (2)最小， f (8)最大，且 f (8)－ f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知， f ( x)在上单一递加，且 f (2)＝100，因此 f (8)＝500.2ππ依据上述剖析可得，ω＝ 12，故ω＝6，－ A＋ B＝100，A＝200，且解得B＝300.A＋ B＝500，依据剖析可知，当x ＝2 时f( )最小，x当 x＝8时 f ( x)最大．故 sin2×π ＋φ＝－ 1，且 sin8×π＋φ ＝ 1.665π又因为 0<| φ|< π，故φ＝－6 .因此入住旅馆的旅客人数与月份之间的关系式为f ( x)＝200sin π5πx－＋ 300. 66π－5π(2) 由条件可知， 200sin 6 x6＋300≥400，π5π1化简得 sin6 x－6≥ 2，即 2k π ＋π≤π－5π≤2 π ＋5π，∈Z，6 6x6k6k解得 12k＋6≤x≤12k＋ 10，k∈Z.因为 x∈N*，且1≤ x≤12，故 x＝6,7,8,9,10.即只有 6,7,8,9,10.。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析§6.3等比数列课标要求1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列前n 项和公式，理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1.(2)等比数列通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(3)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.3．等比数列的常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2w ＝m ＋n ，则a m a n＝a 2w ，其中m ，n ，w ∈N *.(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }数列(b ，p ，q ≠0)．(4)1>0，>11<0，q <1，则等比数列{a n }递增．1>0，q <11<0，>1，则等比数列{a n }递减．4．等比数列前n 项和的常用性质若等比数列{a n }的公比q ≠－1,前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .常用结论1．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.2．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．3．设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(2)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T3n T 2n ，…成等比数列．(3)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．(×)(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×)(3)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．(×)(4)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(√)2．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析若a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，数列－1，－1,1,1满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．3．(选择性必修第二册P37T1改编)在等比数列{a n }中，若a 3＝32，S 3＝92，则a 2的值为()A ．32B ．－3C ．－32D ．－3或32答案D解析由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3(q －2＋q －1＋1)，得q －2＋q －1＋1＝3，即2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，∴a 2＝a 3q ＝32或－3.4．(选择性必修第二册P31T4改编)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n (a ≠0)，则其前n 项和为S n ＝________.答案a ≠0，a ≠1解析因为a ≠0，a n ＝a n ，所以{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，Sn ＝a (1－a n )1－a.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2023·全国甲卷)设等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 5＝5S 3－4，则S 4等于()A.158B.658C ．15D ．40答案C 解析方法一若该数列的公比q ＝1，代入S 5＝5S 3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q ≠1.由1－q 51－q ＝5×1－q 31－q －4，化简得q 4－5q 2＋4＝0，所以q 2＝1或q 2＝4，因为此数列各项均为正数，所以q ＝2，所以S 4＝1－q 41－q ＝15.方法二由题知1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4＝5(1＋q ＋q 2)－4，即q 3＋q 4＝4q ＋4q 2，即q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q －2)(q ＋1)(q ＋2)＝0.由题知q >0，所以q ＝2.所以S 4＝1＋2＋4＋8＝15.(2)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n 等于()A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1答案B 解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，1q 4－a 1q 2＝12，1q 5－a 1q 3＝24，1＝1，＝2，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，因为a 6－a 4a 5－a 3＝a 4(q 2－1)a 3(q 2－1)＝a 4a 3＝2412＝2，所以q ＝2，所以S n a n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝2n －12n －1＝2－21－n .思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n 项和公式时，一定要讨论公比q ＝1的情形，否则会漏解或增解．跟踪训练1(1)(2023·天津)已知{a n }为等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＋1＝2S n ＋2，则a 4的值为()A ．3B ．18C ．54D ．152答案C解析由题意可得，当n ＝1时，a 2＝2a 1＋2，即a 1q ＝2a 1＋2，①当n ＝2时，a 3＝2(a 1＋a 2)＋2，即a 1q 2＝2(a 1＋a 1q )＋2，②联立①②1＝2，＝3，则a 4＝a 1q 3＝54.(2)(2023·青岛模拟)云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n }，则log 2(a 3a 5)的值为()A ．8B ．10C ．12D ．16答案C解析从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n }，则{a n }是以2为公比的等比数列，∴S 7＝a 1(1－27)1－2＝1016，即127a 1＝1016，解得a 1＝8，∴a n ＝8×2n －1，∴log 2(a 3a 5)＝log 2(8×22×8×24)＝12.题型二等比数列的判定与证明例2(2023·长沙模拟)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，a 2＝－1，且a n ＋2＋a n ＋1－6a n ＝0(n ∈N *)．(1)证明：{a n ＋1＋3a n }为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .(1)证明由a n ＋2＋a n ＋1－6a n ＝0，可得a n ＋2＋3a n ＋1＝2(a n ＋1＋3a n )，即a n ＋2＋3a n ＋1a n ＋1＋3a n＝2(n ∈N *)，∴{a n ＋1＋3a n }是以a 2＋3a 1＝5为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)可知a n ＋1＋3a n ＝5·2n －1(n ∈N *)，∴a n ＋1－2n ＝－3(a n －2n －1)，∴a n ＋1－2n a n －2n －1＝－3，∴{a n －2n －1}是以a 1－20＝1为首项，－3为公比的等比数列，∴a n －2n －1＝1×(－3)n －1，∴a n ＝2n －1＋(－3)n －1，S n ＝1－2n 1－2＋1－(－3)n 1－(－3)＝2n －34－(－3)n 4.思维升华等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数，且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式可写成a n ＝cq n －1(c ，q 均为非零常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝kq n －k (k 为常数，且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2(2024·潍坊模拟)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝3，b 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝2a n ＋b n .(1)证明：{a n ＋b n }和{a n －b n }都是等比数列；(2)求{a n b n }的前n 项和S n .(1)证明因为a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝2a n ＋b n ，所以a n ＋1＋b n ＋1＝3(a n ＋b n )，a n ＋1－b n ＋1＝－(a n －b n )，又由a 1＝3，b 1＝2得a 1－b 1＝1，a 1＋b 1＝5，所以数列{a n ＋b n }是首项为5，公比为3的等比数列，数列{a n －b n }是首项为1，公比为－1的等比数列．(2)解由(1)得a n ＋b n ＝5×3n －1，a n －b n ＝(－1)n －1，所以a n ＝5×3n －1＋(－1)n －12，b n ＝5×3n －1－(－1)n －12，所以a n b n ＝5×3n －1＋(－1)n －12×5×3n －1－(－1)n －12＝25×32n －2－14＝254×9n －1－14，所以S n ＝254×1－9n 1－9－n 4＝25×(9n －1)－8n32.题型三等比数列的性质命题点1项的性质例3(1)(2023·全国乙卷)已知{a n }为等比数列，a 2a 4a 5＝a 3a 6，a 9a 10＝－8，则a 7＝________.答案－2解析方法一{a n }为等比数列，∴a 4a 5＝a 3a 6，∴a 2＝1，又a 2a 9a 10＝a 7a 7a 7，∴1×(－8)＝(a 7)3，∴a 7＝－2.方法二设{a n }的公比为q (q ≠0)，则a 2a 4a 5＝a 3a 6＝a 2q ·a 5q ，显然a n ≠0，则a 4＝q 2，即a 1q 3＝q 2，则a 1q ＝1，∵a 9a 10＝－8，则a 1q 8·a 1q 9＝－8，则q 15＝(q 5)3＝－8＝(－2)3，则q 5＝－2，则a 7＝a 1q ·q 5＝q 5＝－2.下标和相等的等差(比)性质的推广(1)若数列{a n }为等比数列，且m 1＋m 2＋…＋m n ＝k 1＋k 2＋…＋k n ，则12m m a a ·…·n m a ＝12k k a a ·…·n k a .(2)若数列{a n }为等差数列，且m 1＋m 2＋…＋m n ＝k 1＋k 2＋…＋k n ，则1m a ＋2m a ＋…＋n m a ＝1k a ＋2k a ＋…＋n k a .典例已知等差数列{a n }，S n 为前n 项和，且a 9＝5，S 8＝16，则S 11＝________.答案33解析S 8＝8(a 1＋a 8)2＝16，∴a 1＋a 8＝4，又∵a 9＋a 1＋a 8＝3a 6，∴a 6＝3，故S 11＝11a 6＝33.(2)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.答案100解析因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 2(2a n )，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.命题点2和的性质例4(1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案2解析奇＋S 偶＝－240，奇－S 偶＝80，奇＝－80，偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)已知S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和，S 10＝20，则S 30－2S 20＋S 10的最小值为________．答案－5解析依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，且S 10＝20，不妨令其公比为q (q >0)，则S 20－S 10＝20q ，S 30－S 20＝20q 2，∴S 30－2S 20＋S 10＝(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝20q 2－20q ＝－5，故当q ＝12时，S 30－2S 20＋S 10的最小值为－5.思维升华(1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．跟踪训练3(1)(2024·南昌模拟)已知等比数列{a n }满足a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝20，a 2a 8＝2，则1a 2＋1a 4＋1a 6＋1a 8＝________.答案10解析1a 2＋1a 4＋1a 6＋1a 8＝＝a 2＋a 8a 2a 8＋a 4＋a 6a 4a 6＝a 2＋a 8＋a 4＋a 6a 2a 8＝202＝10.(2)(2023·长春统考)在等比数列{a n }中，q ＝12，S 100＝150，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100的值是________．答案50解析设T 1＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99，T 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100，所以T 2T 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12，所以S 100＝T 1＋T 2＝2T 2＋T 2＝3T 2＝150，所以T 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝50.课时精练一、单项选择题1．(2023·本溪模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ＝12，且a 3a 4＝132，则a 6等于()A.18 B.116C.132D.164答案C解析由a 3a 4＝132，得a 1q 2·a 1q 3＝132，即a 21＝132，所以a 21＝1.又a n >0，所以a 1＝1，a 6＝a 1q 5＝1＝132.2．若1，a 2，a 3,4成等差数列；1，b 2，b 3，b 4,4成等比数列，则a 2－a 3b 3等于()A.12B ．－12C ．±12D.14答案B解析由题意得a 3－a 2＝4－13＝1，设1，b 2，b 3，b 4，4的公比为q ，则b 3＝q 2>0，b 23＝1×4＝4，解得b 3＝2，a 2－a 3b 3＝－12＝－12.3．(2023·济宁模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n 等于()A ．5B ．6C ．7D ．8答案B解析∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.4．已知等比数列{a n }为递减数列，若a 2a 6＝6，a 3＋a 5＝5，则a5a 7等于()A.32B.23C.16D ．6答案A解析由{a n }为等比数列，得a 2a 6＝a 3a 5＝6，又a 3＋a 5＝5，∴a 3，a 5为方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，解得a 3＝2，a 5＝3或a 3＝3，a 5＝2，由{a n }为递减数列得a n >a n ＋1，∴a 3＝3，a 5＝2，∴q 2＝a 5a 3＝23，则a 5a 7＝1q 2＝32.5．(2024·揭阳模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地．则此人后三天所走的里程数为()A ．6B ．12C ．18D ．42答案D解析设第n (n ∈N *)天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列{a n }是公比为12的等比数列，1－12＝6332a 1＝378，解得a 1＝192，所以此人后三天所走的里程数为a 4＋a5＋a 6＝192×18×1－12＝42.6．(2023·新高考全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 4＝－5，S 6＝21S 2，则S 8等于()A ．120B ．85C ．－85D ．－120答案C解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1，若q ＝1，则S 6＝6a 1＝3×2a 1＝3S 2，不符合题意，所以q ≠1.由S 4＝－5，S 6＝21S 2，可得a 1(1－q 4)1－q ＝－5，a 1(1－q 6)1－q ＝21×a 1(1－q 2)1－q ，①由①可得，1＋q 2＋q 4＝21，解得q 2＝4，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q ·(1＋q 4)＝－5×(1＋16)＝－85.方法二设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝－5，S 6＝21S 2，所以q ≠－1，否则S 4＝0，从而S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，所以(－5－S 2)2＝S 2(21S 2＋5)，解得S 2＝－1或S 2＝54，当S 2＝－1时，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6，即为－1，－4，－16，S 8＋21，易知S 8＋21＝－64，即S 8＝－85；当S 2＝54时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝(1＋q 2)S 2>0，与S 4＝－5矛盾，舍去．综上，S 8＝－85.二、多项选择题7．(2023·太原模拟)已知数列{a n }是等比数列，以下结论正确的是()A ．{a 2n }是等比数列B ．若a 3＝2,a 7＝32，则a 5＝±8C ．若a 1<a 2<a 3，则数列{a n }是递增数列D ．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则r ＝－1答案ACD 解析令等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，对于A ，a 2n ＋1a 2n ＝＝q 2，且a 21≠0，则{a 2n }是等比数列，故A 正确；对于B ，由a 3＝2，a 7＝32，得q 4＝16，即q 2＝4，所以a 5＝a 3q 2＝2×4＝8，故B 错误；对于C ，由a 1<a 2<a 31(q －1)>0，1q (q －1)>0，>0，1(q －1)>0，a n ＋1－a n ＝q n －1·a 1(q －1)>0，即∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，所以数列{a n }是递增数列，故C 正确；对于D ，显然q ≠1，则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1q －1·q n －a 1q －1，而S n ＝3n ＋r ，因此q ＝3，a 1q －1＝1，r ＝－a 1q －1＝－1，故D 正确．8．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，且满足a 1>1，a 2022>1，a 2023<1，则()A ．a 2022a 2024－1<0B ．S 2022＋1<S 2023C ．T 2022是数列{T n }中的最大项D ．T 4045>1答案AC 解析设数列{a n }的公比为q .∵a 1>1，a 2023<1，∴0<a 2023<1，又a 2022>1，∴0<q <1.∵a 2022a 2024＝a 22023<1，∴a 2022a 2024－1<0，故A 正确；∵a 2023<1，∴a 2023＝S 2023－S 2022<1，即S 2022＋1>S 2023，故B 错误；∵0<q <1，a 1>1，∴数列{a n }是递减数列，∵a 2022>1，a 2023<1，∴T 2022是数列{T n }中的最大项，故C 正确；T4045＝a1a2a3·…·a4045＝a1(a1q)(a1q2)·…·(a1q4044)＝a40451q1＋2＋3＋…＋4044＝a40451q2022×4045＝(a1q2022)4045＝a40452023，∵0<a2023<1，∴a40452023<1，即T4045<1，故D错误．三、填空题9．(2023·全国甲卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和．若8S6＝7S3，则{a n}的公比为________．答案－1 2解析若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不符合题意．所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8·a1(1－q6)1－q＝7·a1(1－q3)1－q，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，解得q＝－1 2 .10．设等比数列{a n}共有3n项，它的前2n项的和为100，后2n项的和为200，则该等比数列中间n项的和等于________．答案200 3解析设数列{a n}的前n项和、中间n项和、后n项和依次为a，b，c.由题意知a＋b＝100，b＋c＝200，b2＝ac，∴b2＝(100－b)(200－b)，∴b＝200 3.11．在等比数列{a n}中，若a9＋a10＝4，a19＋a20＝24，则a59＋a60＝______.答案31104解析设等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1.因为a 9＋a 10＝4，a 19＋a 20＝24，所以a 19＋a 20＝(a 9＋a 10)q 10＝24，解得q 10＝6，所以a 59＋a 60＝(a 9＋a 10)q 50＝4×65＝31104.12．记S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝1－a n ，记T n ＝a 1a 3＋a 3a 5＋…＋a 2n －1a 2n ＋1，则a n ＝________，T n ＝________.答案12n解析由题意得a 1＝1－a 1，故a 1＝12.当n ≥2n ＝1－a n ，n －1＝1－a n －1，得a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1，则a n a n －1＝12，故数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .由等比数列的性质可得a 1a 3＝a 22，a 3a 5＝a 24，…，a 2n －1a 2n ＋1＝a 22n ，所以数列{a 2n －1a 2n ＋1}是以a 22＝116为首项，116为公比的等比数列，则T n ＝a 22＋a 24＋…＋a 22n ＝161－116＝四、解答题13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2.(1)证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }落入区间(10,2023)的所有项的和．解(1)由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，又a 1＋2＝3，所以a n ＋1＋2a n ＋2＝2，所以{a n ＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，所以a n ＋2＝3×2n －1，a n ＝3×2n －1－2.(2)由10<a n <2023，得10<3×2n －1－2<2023，即4<2n －1<675，即4≤n ≤10，故{a n }落入区间(10,2023)的项为a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10，所以其和S ＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝3×(23＋24＋…＋29)－2×7＝3×8－10241－2－14＝3034.14．(2024·邯郸模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，n ∈N *.(1)求{a n }通项公式；(2)设b n ＝a n n ＋1，在数列{b n }中是否存在三项b m ，b k ，b p (其中2k ＝m ＋p )成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．解(1)由题意知，在数列{a n }中，a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1，n ≥2，两式相减可得，a n ＋1－a n ＝3a n ，a n ＋1＝4a n ，n ≥2，由条件知，a 2＝3a 1＋1＝4a 1，符合上式，故a n ＋1＝4a n ，n ∈N *.∴{a n }是以1为首项，4为公比的等比数列．∴a n ＝4n －1，n ∈N *.(2)由题意及(1)得，在数列{a n }中，a n ＝4n －1，n ∈N *，在数列{b n }中，b n ＝4n －1n ＋1，如果满足条件的b m ，b k ，b p 存在，则b 2k ＝b m b p ，其中2k ＝m ＋p ，∴(4k －1)2(k ＋1)2＝4m －1m ＋1·4p －1p ＋1，∵2k ＝m ＋p ，∴(k ＋1)2＝(m ＋1)(p ＋1)，解得k 2＝mp ，∴k ＝m ＝p ，与已知矛盾，∴不存在满足条件的三项．15．(2023·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n .若p ：数列{a n }是等比数列；q ：(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若{a n }是等比数列，设公比为k ，则a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝k (a 1＋a 2＋…＋a n )，a 3＋a 4＋…＋a n ＋2＝k (a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)，于是(a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)2＝k 2(a 1＋a 2＋…＋a n )2＝(a 3＋a 4＋…＋a n ＋2)(a 1＋a 2＋…＋a n )，即q ：(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)成立；若(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)，取a n ＝0，n ∈N *，显然{a n }不是等比数列，故p 是q 的充分不必要条件．16．(2023·泰安模拟)若m ，n 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同零点，且m ，n ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq ＝________.答案20解析＋n ＝p >0，＝q >0>0，>0，则m ，－2，n 或n ，－2，m 成等比数列，得mn ＝(－2)2＝4.不妨设m <n ，则－2，m ，n 成等差数列，得2m ＝n －2.结合mn ＝4，可得(2m ＋2)m ＝4⇒m (m ＋1)＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，＝1，＝4＝5，＝4⇒pq ＝20.。

第二篇第 11节一、选择题1．函数 y＝2 x的单一递加区间是 () (3－ x )eA． (－∞， 0) B ．(0，＋∞ )C． ( －∞，－ 3)和 (1 ，＋∞ )D． (－ 3,1)x 2 x x2分析： y′＝－ 2xe ＋ (3－ x )e＝ e (－ x － 2x＋ 3)，22x的单一递加区间是 (－3,1)．应选由 y′>0? x ＋ 2x－ 3<0? － 3<x<1，∴函数 y＝ (3－x)eD.答案： D2．已知函数322在 x＝ 1处有极值10，则 f(2)等于 () f(x)＝ x＋ ax ＋ bx＋ aA．11或 18 B ．11C． 18D．17 或 18分析：∵函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋ a2在 x＝ 1处有极值 10，∴f(1)＝ 10，且 f′ (1) ＝ 0，1＋ a＋ b＋ a2＝10，a＝－ 3，a＝ 4，即解得或3＋ 2a＋ b＝0，b＝ 3，b＝－ 11.a＝－ 3，而当时，函数在 x＝ 1 处无极值，故舍去．b＝ 3∴f(x)＝ x3＋4x2－11x＋ 16，∴f(2)＝ 18.应选 C.答案： C3． (2014 年高考纲领全国卷)已知函数 y＝ x3－ 3x＋ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则c 等于 ()A．－2或2B．－9 或 3C．－1或1D．－3或1分析：∵y′＝ 3(x＋1)(x－ 1)，∴当x＝－ 1 或 x＝1 时获得极值，由题意得 f(1) ＝0 或 f(－1)＝ 0，即 c－2＝ 0 或 c＋ 2＝ 0，解得 c＝ 2 或 c＝－ 2.应选 A.答案： A4．若函数f(x) ＝ax3＋bx2＋ cx＋ d 有极值，则导函数f′ (x)的图象不行能是()分析：若函数 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx＋d 有极值，则此函数在某点双侧的单一性相反，也就是说导函数f′ (x)在此点双侧的导函数值的符号相反，因此导函数的图象要穿过x 轴，察看四个选项中的图象只有 D 项是不切合要求的，即f′ (x)的图象不行能是 D.答案： D5．(2014福建厦门质检)若函数f(x) ＝ x3－3x 在 (a,6－ a2)上有最小值，则实数 a 的取值范围是 ()A． (－5， 1)B．[－5，1)C． [ －2,1)D． (－5，－ 2]分析： f′( x)＝ 3x2－ 3＝ 0，得 x＝±1，且 x＝ 1 为函数的极小值点，x＝－ 1 为函数的极大值点．2函数 f(x)在区间 (a,6－ a ) 上，2则函数 f(x)极小值点必在区间(a,6－ a )内，即实数 a 知足 a<1<6 － a2且 f(a)＝ a3－ 3a≥ f(1)＝－ 2.解 a<1<6 － a2得，－ 5<a<1，不等式 a3－ 3a≥ f(1)＝－ 2，即 a3－ 3a＋ 2≥ 0，即 a3－ 1－ 3(a－ 1)≥ 0，即 (a－ 1)(a2＋ a－2) ≥0，即 (a－ 1)2(a＋ 2)≥ 0，即 a≥－ 2.故实数 a 的取值范围是[－ 2,1)．应选 C.答案： C6．(2014 河南洛阳模拟 )若 f( x)＝－12＋ bln x 在 (1，＋∞ )上是减函数，则 b 的取值(x－ 2)2范围是()A． [－ 1，＋∞ ) B ．(－1，＋∞ )C． ( －∞，－ 1]D． (－∞，－ 1)b分析：由题意可知f′ (x)＝－ (x－ 2)＋x≤0，在 x∈(1，＋∞ )上恒建立，即 b≤x(x－ 2)在 x∈(1，＋∞ )上恒建立，2因为φ(x)＝x(x－2) ＝x － 2x 在 (1，＋∞ )上的值域是 (－ 1，＋∞)，故只需b≤ － 1 即可．二、填空题x x27．已知向量a＝e＋2，－x， b＝(1，t)，若函数f( x)＝a·b 在区间(－1,1)上存在增区间，则 t 的取值范围为 ________．2分析： f(x)＝ e x＋x2－tx， x∈(－1,1)， f ′(x)＝ e x＋ x－ t，函数在 (x1， x2)? (－ 1,1)上单一递增，故 e x＋ x>t， x∈(x1， x2e＋ 1>t .)时恒建立，故答案： (－∞， e＋1)8．(2014 福建厦门外国语学校高三模拟) 若函数 f(x)＝x4－ ax3＋x2－2 有且仅有一个极值点，务实数 a 的取值范围 ________．分析： f′ (x)＝ 4x3－ 3ax2＋2x＝ x(4x2－ 3ax＋ 2)，函数 f(x)＝ x4－ ax3＋ x2－ 2 有且只有一个极值点的充要条件是9a2－ 32≤ 0，解得－ 4 2≤ a ≤ 4 233.答案：－42， 4 23 39．(2014 郑州模拟 )已知函数 f(x)＝－ x 3＋ ax 2－4 在 x ＝ 2 处获得极值， 若 m ，n ∈ [－ 1,1] ，则 f(m)＋ f ′ (n) 的最小值是 ________．分析： f ′( x)＝－ 3x 2 ＋2ax ，2a依据已知 3 ＝ 2， 得 a ＝3，即 f(x)＝－ x 3＋ 3x 2－ 4.依据函数 f(x)的极值点，可得函数f(m)在 [－ 1,1] 上的最小值为 f(0)＝－ 4， f ′ (x) ＝－ 3n 2＋ 6n 在 [－ 1,1]上单一递加，因此 f ′ (n)的最小值为 f ′ (－ 1)＝－ 9.[f( m)＋ f ′( n)] min ＝ f(m)min ＋ f ′( n)min ＝－ 4－ 9＝－ 13.答案： － 13sin x的单一递加区间是 ________．10．函数 f(x)＝2＋ cos x2＋cos x cos x －sin x － sin x 分析： f ′( x)＝22＋ cos x2cos x ＋1＝2>0，2＋ cos x即 cos x>－1，22k π－ 2π 2π联合三角函数图象或是单位圆中的三角函数线知道， 3 <x<2k π＋ 3 (k ∈Z )，即函数 f(x)的单一递加区间是2π2π2k π－ 3 ， 2k π＋ 3 (k ∈Z )．答案： 2k π－ 2π 2π，2k π＋3 (k ∈ Z )3三、解答题11． (2014 四川眉山二诊 )已知函数 f(x)＝ aln x － ax －3(a ∈ R )．(1)求函数 f(x)的单一区间；(2)若函数 y＝f(x)的图象在点 (2，f(2)) 处的切线的倾斜角为45°，关于随意的 t∈ [1,2] ，函数 g(x) ＝x3＋ x2·f′ (x)＋m在区间 (t,3)内总不是单一函数，求m 的取值范围．2a 1－ x(x>0)，解： (1)f′ (x)＝x当 a>0 时， f(x)的增区间为 (0,1)，减区间为 (1，＋∞ )；当 a<0 时， f(x)的增区间为 (1，＋∞ )，减区间为 (0,1)；当 a＝0 时， f(x)不是单一函数．a(2)由 (1)得 f′(2) ＝－2＝ 1，即 a＝－ 2，∴f(x)＝－ 2ln x＋ 2x－ 3，∴g(x)＝ x3＋m2＋ 2x2－ 2x，∴g′(x)＝ 3x2＋ (m＋ 4)x－ 2.∵g(x)在区间 ( t,3)内总不是单一函数，即 g′(x)＝ 0 在区间 (t,3)内有变号零点．因为 g′ (0)＝－ 2，g′ t <0，∴g′ 3 >0.当 g′(t)<0 ，即 3t 2＋ (m＋ 4)t－ 2<0 对随意 t∈[1,2] 恒建立，因为 g′ (0)<0 ，故只需 g′ (1)<0 且 g′ (2)<0 ，即 m<－ 5 且 m<－ 9，即 m<－ 9；由 g′(3)>0 ，37即 m>－3 .因此－373 <m<－ 9.12． (2014 嘉兴测试 )已知函数 f(x)＝1x2－ (2a＋ 2)x＋ (2a＋1)ln x2(1)求 f(x)的单一区间；(2)35，x1， x2∈[1,2]11，求正实数λ的取值范对随意的 a∈，，恒有 |f(x1)－ f(x2 )|≤ λ －22x1x2围．2a＋ 1解： (1)f′ (x)＝ x－ (2a＋ 2)＋x[x－2a＋1 ] x－ 1＝x， x>0.1①当 2a＋ 1≤ 0，即 a≤ －2时，函数 f(x)在 (0,1) 上单一递减，在(1，＋∞ )单一递加；1②当 0<2a＋ 1<1，即－2<a<0 时，函数 f(x)在(2a＋1,1)单一递减，在 (0,2a＋ 1)，(1，＋∞ )单一递加；③当 2a＋ 1＝ 1，即 a＝ 0 时，函数 f(x)在 (0，＋∞)单一递加；④当 2a＋ 1>1 ，即 a>0 时，函数 f(x)在 (1,2a＋ 1)上单一递减，在(0,1)，(2a＋ 1，＋∞) 上单一递加．35时，函数 f(x)在[1,2] 上单一递减．(2)依据 (1) ，当 a∈，2211对随意正数λ恒建立，此时λ∈(0，＋∞ )．若 x1＝ x2，则不等式 |f(x1 )－ f(x2 )|≤ λ －x2x1若 x1≠ x2，不如设1≤ x1<x2≤ 2，则 f(x1)> f(x2) ，1 >1， x1 x2原不等式即11f(x1) － f(x2) ≤λ －，x1x2即 f(x1λλ35， x1， x2∈[1,2] 恒建立．≤f(x2对随意的a∈，)－x1)－x222λ35， x1， x2∈[1,2]不等式 g(x1)≤ g(x2)恒建立，问设 g(x)＝ f(x)－，问题即对随意的a∈，x22题等价于函数g(x)在 [1,2] 上为增函数，3 5故 g′(x)≥ 0 对随意 a∈，，x∈[1,2] 恒建立．2 22a＋ 1λg′ (x)＝ x－ (2a＋ 2)＋x＋x2≥ 0，即 x3－ (2a＋2)x2＋ (2a＋1)x＋λ≥ 0，即(2x－ 2x2 )a＋ x3－ 2x2＋ x＋λ≥ 0，3 5对随意 a∈，恒建立．2 2因为 x∈[1,2] ， 2x－ 2x2<0，故只需 (2x－ 2x2)×52＋ x3－ 2x2＋ x＋λ≥ 0，即 x3－ 7x2＋ 6x＋λ≥ 0 对随意 x∈[1,2] 恒建立．令 h(x)＝ x3－ 7x2＋ 6x＋λ， h′( x)＝ 3x2－ 14x＋ 6<0 恒建立，故函数 h(x)在区间 [1,2] 上是减函数，因此 h(x)min＝ h(2) ＝λ－8，只需λ－ 8≥ 0 即可，即得λ≥ 8，故实数λ的取值范围是 [8，＋∞ )．。

指数与指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． (4)知道指数函数是一类重要的函数模型．知识点一 根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时，na n ＝a . (3)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0).(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r 、s ∈Q )．②(a r )s ＝a rs (a >0，r 、s ∈Q )． ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．易误提醒 在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．[自测练习]1．化简(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .答案：D知识点二 指数函数的图象与性质易误提醒 指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.必备方法1．指数函数图象的三个关键点画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2．底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．3．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点，向上(或向下)平移a 个单位后，图象都在直线y ＝a (或y ＝－a )的上方．[自测练习]2．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解：当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x －a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C. 答案：C3．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a解析：构造指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝⎛⎭⎫35x(x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝⎛⎭⎫35x >⎝⎛⎭⎫25x ，故⎝⎛⎭⎫3525>⎝⎛⎭⎫2525，即a >c ，故a >c >b . 答案：A4．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案：(1,2)考点一 指数幂的化简与求值|求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫21412-－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·(－3a 12-b －1)÷(4a 23·b －3)12； (3)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a 13-b13(a >0，b >0)．解：(1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a 16-b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a 16-b －3÷(a 13b 32-)＝－54a 12-·b 32-＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.(3)原式＝(a 3b 2a 13b 23)12ab 2a13-b 13＝a3111263+-+b111233+--＝ab －1.指数幂运算的四个原则1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． 2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． 4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．考点二 指数函数图象及应用|(1)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，故选B.[答案] B(2)(2015·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． [解析] 曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[答案] [－1,1]与指数函数图象有关的应用问题的两种求解策略1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：由f (x －1)＝f (x ＋1)可知T ＝2.∵x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，又∵f (x )是偶函数，∴可得图象如图．∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x 在x ∈[0,4]上解的个数是4个．故选D. 答案：D考点三 指数函数的性质及应用|高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属于低档题． 归纳起来常见的命题探究角度有： 1．比较指数式的大小．2．与指数函数有关的奇偶性及应用． 3．探究指数型函数的性质．探究一 比较指数式的大小1．(2015·高考山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：由指数函数y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b <a <c ，故选C.答案：C探究二 与指数函数有关的奇偶性及应用2．(2015·高考山东卷)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x ＝－2x ＋12x －a，即1－a ·2x ＝－2x＋a ，化简得a ·(1＋2x )＝1＋2x，所以a ＝1，f (x )＝2x＋12x －1.由f (x )>3得0<x <1.故选C.答案：C探究三 指数型函数的性质应用 3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)． 应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )． 故a 的值为0.指数函数的性质及应用问题三种解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．4.换元法解决与指数函数有关的值域问题【典例】 函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________． [思路点拨] 设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝t 2，这样原函数就可转化为二次函数． [解析] 因为x ∈[－3,2]，所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ， 则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数值域为⎣⎡⎦⎤34，57.[答案] ⎣⎡⎦⎤34，57 [方法点评] 与指数函数有关的值域或最值问题，通常利用换元法，将其转化为基本初等函数的单调性或值域问题，注意换元过程中“元”的取值范围的变化．[跟踪练习] 已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， 又y ＝22x －1－3·2x ＋5， ∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52A 组 考点能力演练1．已知函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b <0D ．0<a <1，b >0解析：由图象呈下降趋势知，0<a <1，又a －b <1＝a 0，故－b >0，即b <0. 答案：C2．函数y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减解析：根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函数是奇函数，排除C ，D.又函数y ＝2x ，y ＝－2－x都是R 上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f (x )＝2x －2－x 是R 上的增函数，故选A.答案：A3．(2015·日照模拟)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13解析：∵函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )，∴f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫53，f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫2－23＝f ⎝⎛⎭⎫43，又∵x ≥1时，f (x )＝3x －1为单调递增函数，且43<32<53，∴f ⎝⎛⎭⎫43<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫53， 即f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13，故选B. 答案：B4．已知实数a ，b 满足等式2a ＝3b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0； ⑤a ＝b ＝0.其中有可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：依题意，在同一坐标系下画出函数y ＝2x ，y ＝3x 的图象与直线y ＝t ，平移直线y ＝t ，通过观察可知，直线y ＝t 分别与函数y ＝2x ，y ＝3x 的图象的交点的横坐标a ，b 的大小关系可能是a <b <0；a ＝b ＝0；0<b <a ，因此其中有可能成立的关系式共有3个，故选C.答案：C5．(2015·济宁三模)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析：作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图， ∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知， 0<f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a <1.∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )<1，∴0<c <1. ∴1<2c <2，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又∵f (a )>f (c )，∴1－2a >2c －1， ∴2a ＋2c <2，故选D.答案：D6．计算：⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－⎝⎛⎭⎫－2323＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝a x －1＋1(a ≠0)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标是________．解析：由题意，因为a 为变量，所以只有当a x －1为定值时，函数的图象才过定点，所以x ＝1，y ＝2，定点A (1,2)．答案：(1,2)8．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上， f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a 2.∴a (2a －1)＝0， ∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12. 综上可知，a ＝12或a ＝32. 答案：12或329．已知2x 2－x ≤⎝⎛⎭⎫14x －1，求函数y ＝2x －2－x 的值域． 解：由2x 2－x ≤⎝⎛⎭⎫14x －1＝2－2x ＋2，得x 2－x ≤－2x ＋2，即x 2＋x －2≤0解得－2≤x ≤1.令t ＝2x ，t ∈⎣⎡⎦⎤14，2，则y ＝t －1t ，易知y ＝t －1t在区间⎣⎡⎦⎤14，2上是增函数， 所以，函数y ＝t －1t的值域为⎣⎡⎦⎤－154，32，即函数y ＝2x －2－x 的值域为⎣⎡⎦⎤－154，32. 10．(2016·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)∵f (x )＝e x －⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x ＋⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数．∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立 ⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋122≤0， 又⎝⎛⎭⎫t ＋12≥0，∴⎝⎛⎭⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12，∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x解析：对于选项A ，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠f (x )f (y )＝x 3y 3，排除A ；对于选项B ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x 在其定义域内是单调增函数，B 正确；对于选项C ，f (x ＋y )＝x ＋y ≠f (x )f (y )＝x 12y 12＝xy ，排除C ；对于选项D ，f (x ＋y )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫12x ⎝⎛⎭⎫12y ＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在其定义域内是减函数，排除D.故选B.答案：B2．(2015·高考山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：①当a >1时，f (x )在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解． ②当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32. 答案：－323．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________．解析：不等式2x 2－x <4可转化为2x 2－x <22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．答案：(－1,2)4．(2015·高考福建卷)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )关于直线x ＝1对称，所以a ＝1，所以函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示，因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.答案：1。

课时追踪检测 ( 十九 )1．sin( －600°) 的值为 ()32A. 2B ． 23C ．1D ． 3答案： A3分析： sin( －600°) ＝ sin(－720°＋ 120°) ＝sin 120 °＝ 2.π π32．若 α ∈ － 2 ， 2 ， sin α＝－ 5，则 cos( － α ) ＝ ()44A ．－B ．5 5 33C ．5D ．－ 5答案： Bπ π3分析：由于 α ∈ － 2 ， 2 ， sin α ＝－ 5，4 4因此 cos α＝ ，即 cos( － α ) ＝ .55tan π3．已知 α ∈ π， π ，且 cos5α ＋ 2＝ ()2 α ＝－ 13，则α ＋ π 1212A.B ．－13 13 1313C ．12D ．－ 12答案： Cπ， π512分析：∵ α∈ 2，且 cos α ＝－ 13，∴ sin α ＝ 13. πcos αtan α ＋－α1 13 2sinα ＋π＝－ cos α ＝sinα ＝12.3π 3ππ4．已知 tan( α － π ) ＝ 4，且 α∈ 2 ， 2 ，则 sin α ＋2 ＝ ()4 4A.B ．－5533C．5D．－5答案： B分析： tan( α －π ) ＝3? tan α＝3. 44π3π又由于α ∈ 2，2，因此α 为第三象限的角，π4因此 sinα ＋2＝ cos α＝－5.π5．已知 2tan α ·sinα＝ 3，－2<α<0，则 sinα＝ ()3B．－3A.2 211 C．2D．－2答案： B2sin 2α分析：由于 2tanα ·sin α＝3，因此cosα＝3，因此 2sin2α＝ 3cos α，即 2－ 2cos2α＝ 3cosα ，因此 cos1α＝－ 2( 舍去 ) ，α＝或 cos2π3又－ <α <0，因此 sinα＝－ .226．已知f ( α) ＝π －απ－α，则 f －31π的值为()－π －αα311A. 2B．－311C．－2D．3答案： C分析：∵ f (α)＝sinα ·cosα＝－ cos α，－cos α tan α∴f －31π＝－cos－31π＝－ cos 10π＋π333＝－ cos π＝－1.32π1π7．已知 sin α －4＝3，则 cos4＋α＝ ()2222A. 3B．－311C．3D．－3答案： D分析：∵ cos π＋α＝ sinπ－π＋α424ππ1＝sin4－α＝－ sinα －4＝－3.8．已知函数 f ( x)＝ a sin(π x＋α)＋ b cos(π x＋β)，且 f (4)＝3，则 f (2 017)的值为()A．－ 1B．1C．3D．－ 3答案： D分析：∵ f (4)＝ a sin(4π＋α ) ＋b cos(4 π＋β )＝a sinα＋b cosβ＝3，∴f(2 017)＝ a sin(2 017π＋α)＋ b cos(2 017π＋β)＝a sin(π＋α)＋ b cos(π＋β)＝－ a sinα－b cosβ＝－ ( a sinα ＋b cosβ )＝－ 3.即 f (2 017)＝－3.9.1－2sin 40 °cos 40 °＝________.cos 40 °－250°1－sin答案： 1sin 240°＋ cos 240°－ 2sin 40 °cos 40 °分析：原式＝cos 40 °－ cos 50 °|sin 40°－cos 40°|＝sin 50 °－ sin 40 °|sin 40°－sin 50°|＝sin 50 °－ sin 40 °＝sin 50 °－ sin 40 ° sin50 °－ sin 40 °＝1.10．若f (cos x)＝cos 2 x，则 f (sin 15°)＝________.3答案：－2分析： f(sin 15°) ＝f(cos 75°) ＝cos 150 °3＝cos(180 °－ 30°) ＝－ cos 30°＝－2.πππ11．已知α ∈ － 2 ，2，β∈ (0 ，π) ，若等式sin(3π －α) ＝2cos 2 －β，3cos(－α) ＝－ 2cos( π＋β ) 同时建立，则α＋β＝ ________.5π答案：12分析：由引诱公式可得，sinα ＝2sinβ ，①3cos α＝2cos β，②①2＋②2得 sin 2α＋ 3cos 2α＝2，21解得 cos α＝ .ππ又α ∈ －2，2，2因此 cos α＝2，代入②得 cos3β＝ .2π1又β ∈ (0 ，π ) ，因此β＝6， sinβ ＝2，代入①得 sin2πα ＝2，故α＝4，5π因此α＋β＝12 .15π3π1．已知 sin α cos α＝8，且 4＜α＜2，则 cos α －sinα的值为 ()33A．－B．2233C．－4D．4答案： B5π3π分析：∵ 4 ＜ α ＜ 2 ，∴cos α ＜0， sin α＜ 0 且 |cos α | ＜|sin α | ，∴cos α －sin α ＞ 0.21 3又(cos α －sin α ) ＝ 1－ 2sinα cos α ＝1－2× 8＝ 4，3∴ c os α －sin α ＝ 2 .2．若 sin θ， cos θ 是方程 4x 2＋ 2mx ＋ m ＝ 0 的两根，则 m 的值为 ()A ．1＋ 5B ．1－ 5C ．1± 5D ．－ 1－ 5答案： Bmm分析：由题意知， sin θ ＋ cos θ ＝－ 2， sin θ cos θ ＝4.∵(sin θ ＋cosθ ) 2＝ 1＋ 2sin θ cos θ ，2mm∴＝1＋，42解得 m ＝1± 5，2又＝ 4m － 16m ≥0，∴ ≤0或 ≥4，∴ ＝ 1－ 5.mm mcos 350 °－ 2sin 160 °)3．－＝ (3A ．－ 3B ．－ 23C ． 2D ． 3答案： D分析：原式＝－ －－－ ＋cos 10 °－ －＝－－cos 10 °－ 2 13sin 10 °°－ 2＝2cos 10sin 10 °＝ 3.4．sin 21°＋ sin 22°＋ ＋ sin 290°＝ ________.答案：91 2分析： sin 21°＋ sin 22°＋＋ sin 290°＝ sin 21°＋ sin 22°＋＋ sin 244°＋ sin 245°＋22222222cos 44°＋ cos 43°＋＋cos 1°＋ sin 90°＝ (sin1°＋ cos 1°) ＋ (sin2°＋ cos 2°)＋＋ (sin244°＋ cos 244°) ＋ sin 245°＋ sin 290°191＝44＋2＋1＝2 .5．已知 sin(3π＋α) ＝ 2sin 3π＋α ，求以下各式的值：2(1)sinα－ 4cosα5sinα＋ 2cosα；(2)sin 2α＋ sin 2 α .解：由已知得 sin α＝ 2cos α.2cos α －4cos α1(1)原式＝5× 2cosα＋ 2cos α＝－6.sin 2α＋ 2sinα cos αsin 2α＋ sin2α8(2)原式＝sin22＝1＝5.α＋cosαsin 2α＋4sin2α16．已知在△ABC中， sin A＋cos A＝5.(1)求 sin A cos A的值；(2)判断△ ABC是锐角三角形仍是钝角三角形；(3)求 tan A的值．1解： (1) ∵ sin A＋cos A＝5，①1∴两边平方得1＋ 2sin A cos A＝25，12∴s in A cos A＝－ .2512(2)由 sin A cos A＝－25<0，且 0<A<π，可知 cos A<0，∴A 为钝角，∴△ ABC是钝角三角形．(3) ∵ (sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A2449＝1＋25＝25，又 sin A>0，cos A<0，∴sin A－ cos A>0，7∴sin A－cos A＝5，②43∴由①，②可得sin A＝5，cos A＝－5，4sin A54∴tan A＝cos A＝3＝－3.－5。