题目因果关系与对称性原理及其电磁学应用学生姓名詹斌专业名称物理学指导教师王参军学号2007910140582009年12月30日因果关系与对称性原理及其电磁学应用摘要:利用电磁场的原始定义,讨论了电势和矢势等描述电磁场系统的物理量在空间反射、时间反演操作下的变换性质,利用对称性原理讨论了某些对称条件时电磁场的分布情况,指出只有严格意义上的物理定律才能应用对称性原理.关键词:因果关系;对称性原理;电磁场;反演操作The cause and effect and the principle of symmetry and it’s a pplication in the electromagnetic fieldsAbstract :By utilizing the original definition of the electromagnetic fields , the trans formation property of the electromagnetic field’ s state functions under the space operaxion or time operation is discus sed. The eletromag2netic field’s distribution from t he charge’ s distributio n is got after the principle of symmetry is utilized. Finally it is pointed out that only the really physics law can be discussed using the principle of symmetry.Key words :the cause and effect ;the principle of symmetry ;electromagnetic field ;under operation目录引言 (1)1因果关系和对称性原理 (1)2操作及其对称性 (1)3对称性原理的应用 (2)3. 1对称性原理在静电场中的应用 (2)3. 1. 1对于球对称分布的电荷系统 (3)3. 1. 2 (3)3. 1. 3 (3)3. 2 (4)3. 2. 1 (4)3. 2. 2 (5)4 结语 (5)参考文献: (7)引言各类物理定律和对称性原理在现代物理学中处于统治地位,它们决定了整个物理学乃至各门分支学科的理论框架.利用对称性原理常可将许多复杂问题简化.利用对称操作,还可以将各种事物进行分类,如将矢性物理量分成极矢量和轴矢量两大类.因此,若利用对称性原理将电磁场中各类矢量进行分类,可简化许多电磁场问题.1因果关系和对称性原理狭义相对论指出,物理定律(自然规律)是绝对的,它不因观察者的不同而不同.自然规律实际上是对事物发展的制约,它决定了事物演化的进程,反映了事物发展的因果关系.可以说,自然规律从本质上讲都是因果关系,因果关系是绝对的、客观的,但是无法直接观察.我们能观察到的是各种物理现象,能够测量到的是各种物理量,却无法直接感知各现象之间的因果关系及各物理量之间的相互关系(物理定律) .因果关系与物质一样,都是客观存在的,并且具有比物质更好的稳定性,但它们是隐秘的,不能直接被观测到.因果关系是绝对的,这种原因与结果之间的必然关系对所有观察者都相同.然而,在宏观世界中,没有绝对相同的条件.当原因与结果之间的关系是非线性时,常常会出现看似相同的原因(其实有着微小的差别)导致差异很大的结果;当原因与结果之间的关系是线性时,则因果关系是稳定的,因果关系具有可重复性和可预言性,用物理语言讲就是, “等价的原因会导致等价的结果”.而对非线性因果关系而言,几乎任何两个原因都不会是等价的.对称性在现代物理学中具有非常重要的地位,利用对称性可以将事物分成各种等价类.当用对称性的语言描述线性因果关系时,有“对称的原因会导致对称的结果”;当某原因能惟一的决定某结果时,上述说法就成为“原因中的对称性必反映在结果中”,即“结果中的对称性至少有原因中的对称性那样多”,这就是对称性原理;但当原因不足以惟一的决定结果时,对称性原理的表述应修改为“原因中的对称性必反映在全部可能结果的集合中”,即“全部可能结果的集合中的对称性至少有原因中的对称性那样多”.2 操作及其对称性物理量作为研究对象(系统) ,经过空间平移、转动、镜像反射以及时间平移、反演等时空操作后会有改变 ,对时空平移、 空间转动操作而言 ,这种改变很容易理解和得到 ,但对于镜像反射及时间反演操作而言 ,这种改变不是显而易见的 ,而且不同物理量在这两种操作下的变换性质也是不同的.对象位矢 r 及相关的速度 v 和加速度 a (力 f )等极矢量而言 ,它们沿反射镜面法线方向的分量经镜面反射后变号(大小不变) ,与镜面平行方向的分量在镜面反射后不变.角速度ω,角动量 L ,力矩 M 等轴矢量却具有与极矢量相反的变换性质.因此 ,任一有物理意义的矢量物理量 ,对空间反射的变换性质是确定的 ,而且是不变的.易证:标量的梯度是个极矢量.极矢量的旋度是个轴矢量 ,2 个极矢量的矢积是个轴矢量. 在电磁学中 ,电磁场可用( A ,ψ) 描述,电势ψ是个标量场,它的梯度是电场的一部分,为极矢量,故电场为极矢量(只有相同性质的矢量才能相加) .由于电场 A E t ψ∂=-∇∂,故A t ∂∂是极矢量,矢势 A 也是个极矢量,而 B A =∇⨯,故 B 是个轴矢量.电流密度 J v ρ=,与v 一样,是个极矢量.时间反演操作 T 指的是时间 t →- t 的变换.质量 m ,电荷 q 以及位矢 r ,角位移 d θ等与时间无关,经时间反演后不变,速度 v ,角速度 ω等物理量经反演后变号,加速度 a ,力 f ,力矩 M 等经时间反演后不变,这种变换性质对任意物理量都是确定不变的.在电磁学中,电荷 q 及其分布经()r ρ时间反演是不变的,故电流 I 及其分布J v ρ=经时间反演就要变号.在静电场中,电势()r ψ由电荷分布()r ρ惟一决定,它们都不是时间 t 的直接函数,故对时间反演具有不变性.由电场 A E tψ∂=-∇∂可知,电场 E 在时间反演操作下不变号,故矢势 A 在时间反演变化下将会变号(反向) . 而磁场 B A =∇⨯,它与 A 一样也在时间反演操作下反号.由此可知,利用对称性原理可使某些电磁学的问题大大简化.3对称性原理的应用3. 1对称性原理在静电场中的应用在静电场中,由于电荷(含自由电荷、 束缚电荷等所有电荷)及其分布惟一地决定静电场与电势及其分布,因此,电荷及其分布是原因,电场(电势)及其分布是结果.由对称性原理可知,电荷分布()r ρ具有什么样的对称性,电场()E r (电势()r ψ)及其分布就会有什么样的对称性.3. 1. 1对于球对称分布的电荷系统对于球对称分布的电荷系统,设电荷分布对某点 O 为球对称,则取以 O 为原点的球坐标系后,电荷分布()(),,r r ρφθρ=.由对称性原理可知,电势分布()(),,r r ψφθψ=,即电势仅为位矢大小的函数.而电场()()r r E r e E r e rψψ∂=-∇=-=∂ 即电场 E 的大小也仅为位矢大小的函数(即具有球对称性) ,电场的方向为径向.若直接从电荷分布讨论电场的分布,仅仅利用球对称性是不够的.当()r ρ =()r ρ时,由对称性原理可知,电场 E 的大小与方向也都应具有球对称性.在球坐标系中,有()()()()()r r E r E r E r e E r e E r e φφθθ==++即电场 E 的 3 个分量也都具有球对称性.对电荷而言,其分布除了球对称性外,还具有对 y = 0 平面的反射操作y P 的对称性,故电场 E 及其3个分量也都应具有上述对称性. 但作为极矢量,电场的2个分量 ()E r e φφ和 ()E r e θθ经过y P 的操作后改变方向,故应有此分量的大小等于0.只有()r r E r e 分量经过y P 的操作后不改变方向,从而有()()()()r r r r E r E r E r e E r e ===.3. 1. 2类似地,若电荷系统具有对 z = 0 平面的面分布对称性,即()()(),,r x y z z ρρρ==则由对称性原理可得()(),,x y z z ψψ=. 用间接或直接方法都可以导出()()z E r E z e =.3. 1. 3在柱坐标系(),,r z ρφ中,若()(),,,r z r z ρφρ=,则有()(),,,r z r z ψφψ= , ()()(),,,r r z z r z E r z e E r z e ψ=+.在对称轴z 轴上 , e 无法确定,由惟一性原理可得()0r E r =,从而有在 z 轴上, ()z E E z e =.对于上述几种对称分布的电荷情况,仅利用对称性原理以及惟一性即可求出电场的方向,以及大小的对称性,若欲求电场的大小,则只要作好相应的高斯面,利用高斯定理就可以很容易地求出电场的大小.3. 2对称性原理在稳恒磁场中的应用稳恒的电流及其分布惟一地决定了稳恒磁场B 及矢势A 的分布.由对称性原理可知,磁场 B (或矢势 A)的分布具有的对称性至少有电流密度 J 分布的对称性那样多. 因此在电流具有对称性分布的情况下,可以很方便地求出磁场 B (或矢势 A) 的分布.3. 2. 1在柱坐标系(),,r z φ中,当 ()(),,z J r z J r e φ= 时,由对称性原理可得矢势 A 的大小和方向均有相同的柱对称性,即()()()()()r r z z A r A r A r e A r e A r e φφ==++对 y = 0 平面而言,电流分布具有对该平面的反射操作y P 的对称性,而作为极矢量的矢势 A 的分量()A r e φφA,经此操作后会变号,故()0A r φ=;对 0z =平面,电流密度 J 在经过空间反射z P 及时间反演 T 的连续操作后复原,则矢势 A 也应具有此连续操作的对称性,但对矢势 A 的分量()r r A r e 而言, 经过此连续操作后变号, 故应有()0r A r =.只有分量()z z A r e 才能同时具有对y P 和z P T +操作的不变性,故()()z z A r A r e =.由此可得()B A B r e φ=∇⨯=.若从电流分布()J r 的对称性来讨论磁感应强度 B 的分布,还需要用到 B 为轴矢量以及在时间反演 T 操作下变号的性质.方法如下:由()(),,z J r z J r e φ=及对称性原理可得：()()()()()r r z z B r B r B r e B r e B r e φφ==++,又因为电流分布()J r 经空间反射y P 后不变,经z P T +连续操作后也不变,而磁感应强度 B 的分量()r r B r e 经y P 操作后变号,故Br ( r) = 0而()z z B r e 经z P T +连续操作后变号,故()r r B r e .只有()B r e φφ经y P 及z P T +操作后不变,即()()()r B r B r B r e φ==.3. 2. 2在柱坐标系(),,r z φ中,当()(),,z J r z J r e φ=时,由对称性原理可得矢势 A 的大小和方向均有相同的柱对称性,即()()()()()r z z A r A r A r e A r e A r e φφφ==++.电流分布()J r 具有对z P 及 z P T + 操作的不变性 , 而()()()()()()()()z z z r r z z z z r r z z P A r P A r P A r e P A r e P A r e A r e A r e A r e φφφφ⎡⎤==++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ,故应有 ()0z A r =;又有()()()()()()()()y y r r y y r r y r r r r P T A r P T A e P T A e P T A e T A e P A e A e A e A e φφφφφφφφ⎡⎤⎡⎤+=+++=+=--=-+⎣⎦⎣⎦故应有()0r A r =,从而有()()()A r A r A r e φφ==.由此可得()()()z z z B r A B r e B r e =∇⨯==类似地,在利用磁感应强度 B 是个轴矢量以及在时间反演下变号的性质后,也可以直接由电流分布()J r 的对称性导出磁感应强度 B 的分布. 至于感应强度 B 的大小,选择好积分回路,利用安培环路定理可方便地求出.4结语由上述对常见对称分布电荷(或电流)产生的电场(或磁场)的讨论可以看到,即使没有具体的物理定律,仅利用对称性原理,就能够从电荷(或电流)分布的对称性,导出电场(或磁场)分布的对称性,这为进一步求解电场(或磁场)提供了方便.需要指出的是,如 D ρ∇∙=这样的物理公式,并不能称为真正意义上的因果关系. 从数学角度来讲,自由电荷的分布()r ρ不能惟一地决定电位移矢量 D 的分布(束缚电荷的分布()p r '对电位移矢量D 的分布也有影响) .但从物理角度来看, D 是个辅助量,它不是某种系统的状态量,没有测量意义上的可操作性. 实际上,由0D E P ε=+可知,电位移矢量 D 是由电场系统的状态量 E 和电介质系统的电极化状态量 P 组合而成的一个数学量,它不能被看成是某个物理系统的状态量,故公式 D ρ∇∙=中,D 与ρ之间的关系不是因果关系,不能直接应用对称性原理.同理, H 也是个辅助量,它本质上是由磁场系统的状态量 B 和磁介质系统的磁化状态量 M组合而成的一个数学量,它不能被看成是某个物理系统的状态量,故公式 H J ∇⨯= 不是真正意义上的因果关系,同样不能直接应用对称性原理.参考文献:[1 ] 赵凯华.定性与半定量物理学[M] . 北京:高等教育出版社 ,1991. 7— 39.[2 ] 严子尚.关于对称性原理的注记[J ] .大学物理 ,2002 ,21 (9) :32— 33.[3 ] 张容.时空对称性与力学守恒定律[J ] .西南教育学院学报(自然科学版) ,2002 ,28 (3) :401— 403.[4 ] 李清玉 ,吴文良.物理学中的对称性简析[J ] .云南师范大学学报(自然科学版) ,2002 ,20 (6) :38— 41.7。
