对称性原理. 二. 有限对称群的表象及其群论原理(唐有祺)思维导图

对称——重要的物理思维方法大千世界千差万别、千变万化，却又和谐统一、协调。

上下、左右、阴阳、正负……互相对应，构成一个对立统一的整体．反映客观世界的这种内在一致性、规律的不变性,这种平衡的美感,这就是对称。

这种对称可以帮助我们认识物理世界的规律性,探索未知世界的奥秘,学好物理学。

一、对称性普遍存在于物理学中对称性普遍存在于各种物理现象、过程和规律之中，它反映了物理世界的和谐与优美。

概括起来说，中学物理中的对称主要表现为时空对称、数学对称和抽象对称。

１、时空对称时空对称表示物理现象（或系统）在时空变换下的不变性。

主要包括：空间对称、时间对称、时间和空间同时对称。

杠杆的平衡、平面镜的成像、磁场的两极、电荷的正负、光的可逆性等表现物质的直观形象在空间的对称；做匀速运动的物体，通过空间任一位置的速度都相等，相干光在干涉空间任一区域都保持相等的条纹亮度。

做匀加速直线运动的物体，通过空间任一位置的加速度都相等，表现了物质在运动过程中的空间对称。

物体沿光滑斜面上滑和下滑、竖直上抛和下落等表现出了时间的对称，弹簧振子的振动则同时表现出了时间和空间的对称：振子在平衡位置两侧任意相对称的位置上受到的合外力、具有的速度和加速度的大小相同，通过对称轨迹的时间、位移大小、合外力的冲量、合外力所做的功相同，等等。

我们不难看出，物质运动对时空表现出的对称，其含义已大大超出轴对称、中心对称等几何对称的概念，它是对运动时空中的某一点或某一时刻表现出某种重复或特定的序，例如量值的恒定、周期性的复现、过程的可逆、互斥的存在等等。

２、数学对称数学对称表示物理内容在数学形式（图与式）上的对称性或不变性。

例如，简谐运动的振动图象、交变电流的图象都是正弦图象，它们具有的对称性表现为物理内容在数学图形上的对称。

动量定理△Ｐ＝Ｆ×ｔ与动能定理△Ｅk＝Ｆ×ｓ之间，万有引力定律与库仑定律之间具有的对称性以及机械能守恒定律E K1+ E P1= E K2+ E P2具有的对称性表现为物理内容在数学表达式上的对称性。

一、群论对称性简介1.1 群论的定义群论是数学的一个分支，研究了具有某种对称性的数学结构。

一个群是由一组元素及它们的运算组成的集合，满足封闭性、结合律和单位元的性质。

1.2 对称性的概念对称性是指物体或结构在某种变换下保持不变的性质。

在群论中，对称性是指一个对象在某个变换作用下，仍然与原对象相同或等价。

1.3 群论对称性的应用群论对称性在数学、物理、化学等领域中具有重要意义。

例如，在物理学中，对称性原理可以帮助我们理解和解释自然界的规律。

二、群的基本性质2.1 封闭性如果一个集合中的元素经过某种运算后仍然在这个集合中，这个集合就具有封闭性。

对于群而言，封闭性是基本性质之一。

2.2 结合律结合律是指在群中，任意三个元素经过某种运算后的结果与它们的顺序无关。

即(a b) c = a (b c)。

2.3 单位元单位元是一个特殊的元素，它与其他元素相乘或相除后，结果仍然是原来的元素。

对于群而言，单位元是使群保持不变的元素。

三、群的分类3.1 循环群循环群是最简单的群之一，它的所有元素都可以表示为一个元素的循环乘积。

循环群可以分为奇循环群和偶循环群。

3.2 交换群交换群是指群中任意两个元素交换后，结果仍然是原来的元素。

交换群也称为阿贝尔群。

3.3 非交换群非交换群是指群中任意两个元素交换后，结果不再是原来的元素。

非交换群在数学和物理学中具有重要意义。

四、群的作用4.1 群的表示群的表示是指将群的作用映射到某个空间上的方法。

群的表示可以是线性的，也可以是非线性的。

表示理论在数学、物理学和计算机科学等领域中具有重要意义。

4.2 群的作用在数学中的应用群的作用在数学中可以用于解决方程、几何问题等。

例如，在代数几何中，群的作用可以帮助我们理解和解释空间的性质。

4.3 群的作用在物理学中的应用群的作用在物理学中可以用于描述粒子的对称性。

例如，在量子力学中，粒子的状态可以通过群的表示来描述。

五、群论的对称性与宇宙的规律5.1 群论在宇宙规律中的应用群论对称性可以帮助我们理解和解释宇宙中的规律。

1 从客观上分析对称因素和对称操作2 分析各种对称操作如何用函数表示，继而用矩阵表示出来2.1 恒等操作 对向量不产生任何影响,对应于单位矩阵 2.2 旋转操作 n 旋转轴可衍生出n-1个旋转操作,记为2.3 平面反映 共有3种反映操作,即d h v σσσ,,2.4 象转操作 系符合操作,由绕主轴的旋转和σh 组合而成,即:j n h h j n i n C C S σσ==2.5 反演 使各分量都改变符号,即2.6 C2’ 其旋转垂直于主轴，设旋转轴的极角为θ，则：3 分析这些对称操作和对称表示是否符合群的定义，若是，分析其性质。

3.1 群的定义与性质 3.2 计算群的阶 3.3 分析子群3.4 分析是否是交换群3.5 分析是否是有限群还是无限群 3.6 分析其他4 列出群的乘法表，分析共轭类4.1 列出表4.2 分析共轭元素和共轭类5 以此类推，总结出所有的分子的对称性5.1 点群分类 下面的分类采用Schonflies 符号. 5.2 对于上面的分子点群分类，可以归为四类 5.3 分子点群的判别 6 群的表示6.1 群表示的定义6.2 可约表示和不可约表示 6.3 特征标和不可约表示的性质 7 对称性分子轨道1 从客观上分析对称因素和对称操作恒等元及恒等操作 分别用E 、 E ^表示。

Equation旋转轴和旋转操作 分别用C n 、 C ^n 表示。

Circle 对称面与反映操作 分别用σ、σ^表示。

? 对称中心及反演操作分别用i 及i ^表示。

inversion旋映轴和旋转反映操作可用S n 及S ^n 表示。

spin2 分析各种对称操作如何用函数表示，继而用矩阵表示出来2.1 恒等操作 对向量不产生任何影响,对应于单位矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x I z y x 010010001''' 2.2 旋转操作 n 旋转轴可衍生出n-1个旋转操作,记为)/360()1,2,1(n k k n k C k n ⋅-=对应旋转角度存在关系: I C C C C C C nn ji n i n j n j n i n ===+,满足可交换性与循环(周期)性将z 轴选定为旋转轴, 向量的z 分量不受影响.考虑(x,y)变化绕主轴旋转操作示意图 向量(x,y)的极角α 向量(x’,y’)的极角ϕϕϕαϕϕϕαααcos sin )sin(sin cos )cos(sin cos ''y x r y y x r x r y r x +=+=-=+===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x C z y x 1000cos sin 0sin cos )('''ϕϕϕϕϕ对于氨分子，n=3，旋转角为120°⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=10002/12/302/32/1~)240(10002/12/302/32/1~)120(323313 C C C C2.3 平面反映 共有3种反映操作,即d h v σσσ,,当主轴为z 轴时, σv 不改变向量的z 分量.设反映面的极角为θ,对于二维向量作用后各相关的极角如图所示.变换关系:)2cos()2sin()2sin()2sin()2cos()2cos(''θθαθθθαθy x r y y x r x -=-=+=-=相应的矩阵表示:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x z y x v 10002cos 2sin 02sin 2cos '''θθθθσ应用于氨分子,设σv 与yz 平面重合,则极角θa =π/2,的极角分别30°为和150°,相应的矩阵表示依次为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10002/12/302/32/1,10002/12/302/32/1,100010001 垂直于主轴σh 的反映面操作,使z 改变符号,,而x,y 分量不变⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x z y x h 100010001'''σ 对于σd 的反映面操作,因其也包含主轴,矩阵表示的一般形式同于,而具体形式取决于它的极角.2.4 象转操作 系符合操作,由绕主轴的旋转和σh 组合而成,即:j n h h j n i n C C S σσ==相应的矩阵表示为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⋅⋅-⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x n j n j n j n j z y x S z y x j n 1000)/2cos()/2sin(0)/2sin()/2cos('''ππππ 2.5 反演 使各分量都改变符号,即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x i z y x 100010001''' 22S C i h ==σ2.6 C2’ 其旋转垂直于主轴，设旋转轴的极角为θ，则：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x C z y x 10002cos 2sin 02sin 2cos '2'''θθθθ 该操作也可看成极角为θ的σv 映面操作与对称操作σh 的乘积：C2’= σh σv （ θ ）除了上面的6类对称操作外，还有其它一些操作，如旋转轴不为主轴的C3旋转操作，不包含主轴的σ映面操作等。