二次函数在生活中的建模应用

二次函数的应用于医学问题在医学领域，二次函数是一种经常被使用的数学模型，它可以帮助研究人员分析和解决各种与身体机能和疾病相关的问题。

本文将探讨二次函数在医学问题中的应用，并通过具体案例来说明其在这一领域中的重要性和价值。

一、体温变化的二次函数模型体温是衡量身体状况的重要指标之一，二次函数可以很好地描述体温的变化规律。

我们以发烧为例，假设一个人在发烧前体温为正常值37℃，发烧后体温开始升高，并在一定时间后达到峰值。

然后体温逐渐下降，恢复到正常水平。

设t为时间（单位小时），T为体温（单位℃），我们可以建立如下的二次函数模型：T = a(t - t0)^2 + T0其中，a代表发烧的严重程度和恢复的速度，t0为发烧开始的时间，T0为发烧前的体温水平。

通过调整参数a、t0和T0的值，我们可以根据实际数据去拟合体温变化曲线，进而预测病情的发展趋势以及恢复时间。

二、血糖变化的二次函数模型血糖是糖尿病患者关注的重点指标之一，也可以使用二次函数进行建模。

在某些情况下，糖尿病患者的血糖水平可能会出现波动，特别是在餐后。

通过建立血糖变化的二次函数模型，可以更好地了解血糖的变化规律，以便根据实际情况进行药物管理和饮食调节。

例如，假设一个糖尿病患者在进食后血糖水平开始上升，并在一定时间后达到最高峰值，然后逐渐下降返回基准水平。

可以使用如下的二次函数模型来描述血糖的变化过程：G = a(t - t0)^2 + G0其中，G代表血糖水平，a代表血糖的波动幅度，t0为进食后的时间，G0为进食前的基准血糖水平。

通过调整参数a、t0和G0的值，可以更准确地预测血糖的变化趋势，从而帮助患者更好地管理疾病。

三、药物浓度的二次函数模型在药物治疗过程中，了解药物在体内的浓度变化对于确定药物的用量和用时非常重要。

二次函数可以帮助模拟和预测药物浓度的变化。

设t表示时间（单位小时），C表示药物在血液中的浓度（单位毫克/升），可以构建以下二次函数模型：C = a(t - t0)^2 + C0其中，a表示药物的分布速度和排泄速度，t0表示药物给药的时间，C0表示给药前的血药浓度。

二次函数的应用题及解答在数学中，二次函数是一类常见的函数类型，由形如y=ax²+bx+c的方程所定义，其中a、b和c是实数且a不等于零。

二次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如在物理学、经济学和工程学等领域。

本文将探讨二次函数的应用题及解答，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 弹射问题假设有一个小球从地面上以初速度v0竖直上抛，忽略空气阻力的影响。

则小球的高度可用二次函数模型y=-gt²+v0t+h来描述，其中g是重力加速度，t为时间，h为抛射的起始高度。

问题：一个小球从地面上以10 m/s的速度竖直上抛，起始高度为1.5m。

求小球的高度和时间的关系，并计算小球落地时的时间。

解答：根据模型y=-gt²+v0t+h，将已知数据代入，得到二次函数模型为y=-5t²+10t+1.5。

我们需要求解该函数的根，即令y=0，解得t=0和t=2。

因此，小球的高度和时间的关系可用二次函数y=-5t²+10t+1.5表示。

落地时的时间为t=2秒。

2. 投射问题假设有一枚炮弹以一定角度a和初速度v0被抛射出去，并忽略空气阻力的影响。

则炮弹的水平位移可用二次函数模型x=v0cos(a)t来表示，垂直位移可用二次函数模型y=-gt²+v0sin(a)t来表示。

问题：一枚炮弹以60°的角度和100 m/s的速度被抛射，求炮弹的轨迹和最远射程。

解答：根据模型x=v0cos(a)t和y=-gt²+v0sin(a)t，将已知数据代入，得到二次函数模型x=50t和y=-5t²+86.6t。

炮弹的轨迹由这两个函数表示。

为了求解最远射程，我们需要找到函数y=-5t²+86.6t的顶点坐标。

通过求导可得到顶点坐标为(8.66, 346.4)。

因此，最远射程为346.4米，对应的水平位移为8.66米。

3. 经济问题假设某个公司的固定成本为C0，每单位产品的生产成本为C，每单位产品的售价为P。

例谈二次函数在实际生活中的应用作者：张岚秦婷马玲刘瑜来源：《大东方》2018年第02期摘要：二次函数作为一个非常重要的函数模型，贯穿于整个中学数学的教与学中，是数学研究中的重要的工具。

本文通过具体的实例进行分析和总结二次函数在实际生活中的应用。

关键词：二次函数；数学模型；应用1 二次函数的相关概念一般地，我们把形如的函数叫做一元二次函数，其图像是一条抛物线，且a决定函数图像的开口方向，a>0时，开口方向向上，a物线是轴对称图形，对称轴为直线。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P，其坐标为。

抛物线与x轴交点个数由一元二次方程根的个数决定，即由的符号决定。

当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴只有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点。

2 二次函数在实际生活中的应用有关二次函数的应用问题按照是否需要建立平面直角坐标系可以分为两类，一类不需要建立平面直角坐标系，这类题目关键是要求出二次函数的解析式，例如求销售利润的最值问题，二次函数的解析式分为顶点式，一般式和交点式，要根据实际问题所给的条件选择合适的解析式，接着只需运用二次函数的主要性质：如单调性、奇偶性、对称性、最值等，必要时结合二次函数图形求解出函数模型。

另一类就是必须建立平面直角坐标系。

这类题呈现的方式主要是以抛物线为基础的实际问题，如拱桥问题、投掷问题等等。

首先要将拱桥抽象为抛物线，然后结合实际问题中的条件，建立坐标系求出抛物线的解析式。

平面直角坐标系选择的一般原则是使得得出的二次函数的解析式最简单，因此要学会巧妙地选择直角坐标系的位置。

综上可知不管是哪类二次函数模型题最终都是通过二次函数解析式来解决问题的。

2.1 在经济生活中的应用二次函数在经济生活中的应用，主要分为投资策略、销售定价、货物存放、消费住宿等不同方面，而这几个不同方面的问题有一个共通点，那就是利润的最大化问题。

不论是投资还是销售，利润问题都是我们最关注的问题。

二次函数的实际应用：建模问题一、球类、跳水、喷泉问题这类问题对于解析式的确定通常采用顶点式：1. 球类问题分为篮球问题、足球问题及羽毛球问题。

篮球问题会考察“球是否入篮”，即看篮筐所在点是否在抛物线上；“足球是否进球门”即看球到达球门所在位置时纵坐标是比球门高还是低；羽毛球涉及过网越界问题，即计算在过网位置纵坐标比网高还是低，越界考察在界限位置纵坐标是正数还是负数。

2. 跳水问题考察的是动作是否在规定范围内规范，同样考察在指定位置的纵坐标与限定高度的大小比较。

3. 喷泉问题考察的比较多的是圆形水池的半径，需要计算抛物线与水池水平面的交点坐标。

1、如图，羽毛球运动员甲站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方23m 的 P 处发出，把球勘察点，其运行路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，其高度为617m ，离甲站立地点 O 的水平距离为 4m ，球网 BA 离 O 点的水平距离为 5m ，以 O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，乙站立地点 C 的坐标为（m ，0）①求出抛物线的解析式；（不写自变量的取值范围）②求排球落地点N 离球网的水平距离； ③乙原地起跳可接球的最大高度为49米，若乙因为接球高度不够而失球，求 m 的取值范围．2、某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 332米，入水处距池边的距离为 4 米，运动员在距水面高度为 5 米以前，必须完成规定的翻腾动作， 并调整好入水姿势，否则就会出现失误． ①求这条抛物线的解析式．②在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是①中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 3.6 米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．3、如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA ，O 恰在水面中心，OA=1.25m ，由柱子顶端 A 处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 2.25m ． ①若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？②若水流喷出的抛物线形状与①相同，水池的半径为 3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？4、一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球在 A 处出手时离地面920m ，与篮筐中心C 的水平距离为 7m ，当球运行的水平距离是 4m 时，达到最大高度 4m （B 处），篮筐距地面 3m ，篮球运行的路线为抛物线（如图所示）．①建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；②判断此球能否投中？5、如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 OA ，O 恰好在水面的中心，OA=1.25 米．由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA 距离为 1 米处达到距水面的最大高度 2.25 米．①建立适当的平面直角坐标系，使A 点的坐标为（0，1.25），水流的最高点的坐标为（1，2.25），求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）；②若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？ ③若水流喷出的抛物线形状与①相同，水池半径为 3.5 米，要使水流不落到池外，此时水流距水面的最大高度就达到多少米？6、如图，足球上守门员在O 处开出一高球．球从离地面 1米的A 处飞出（A 在 y 轴上），把球看成点．其运行的高度y （单位：m ）与运行的水平距离 x （单位：m ）满足关系式h x a y +-=2)6(（1）①当此球开出后．飞行的最高点距离地面 4 米时．求y 与 x 满足的关系式．②在①的情况下，足球落地点 C 距守门员多少米？（取734≈）③如图所示，若在①的情况下，求落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．求：站在距离O 点 6 米的 B 处的球员甲要抢到第二个落点 D 处的球．他应再向前跑多少米？（取562≈）（2）球员乙升高为 1.75 米．在距 O 点 11 米的H 处．试图原地跃起用头拦截．守门员调整开球高度．若保证足球下落至 H 正上方时低于球员乙的身高．同时落地点在距 O 点 15 米之内．求 h 的取值范围．7、如图，一位篮球运动员甲在距篮球筐下 4 米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线， 当球运行到水平距离为 2.5 米时达到最高高度为 3.5 米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为 3.05 米，该运动员的身高为 1.8 米．在这次投篮中，球在该运动员的头顶上方 0.25 米处出手，则当球出手时，该运动员离地面的高度为________米．运动员乙跳离地面时，最高能摸到 3.3 米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？二、隧道、过桥问题隧道、过桥问题通常采用的是y=ax2+c 的形式，通常考察的是车或者船是否能够通过，考察的是车或者船的高度比车或者船边缘对应纵坐标的数值大小比较。

二次函数的建模一、利用二次函数解决面积最大问题1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，即 当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y又∵500,02500＜x＜＞x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值， 即当25)1(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)1(42504422max =-⨯-=-=a b ac y图（1）图解：（得：（2即水流距水平面的最大高度系.（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?4.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A．2.76米B．6.76米解：设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得-4=a×102 a=-1/25 所以此抛物线的解析式为：y=-x2/25因为桥下水面宽度不得小于18米，所以令x=9时可得：y=-81/25=-3.24此时水深6+4-3.24=6.76米即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．故选B2、有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式；（2）在正常水位的基础上,当水位上升h（m）时,桥下水面的宽度为d（m）,求出将d表示h的函数解析式.（3）设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行?(1)设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得-4=a×102 a=-1/25 所以此抛物线的解析式为：y=-x2/25(2)设水面上升hm，水面与抛物线的交点为（d/2,h-4），带入抛物线得h-4=-d2/4×1/25 化简得：d=10√4-h(3)将d=18代入d=10√4-h得：h=0.76所求最大水深为：2+0.76=2.76(米)8.如图，是江夏广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为（4，8）．所以8=a×42 a=1/2 ∴所求抛物线的函数解析式为：y=x2/2（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A、D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．（3）由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为（2，2），又∵点A的坐标为（4，8），∴点D的坐标为（-4，8），设直线BD的函数解析式为y=kx+b，2k+b＝2..........①−4k+b＝8........②解得：k=-1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=-x+4，把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为（0，4），两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．三、利用抛物线解决最大利润问题1、某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分）（2）在（1）的条件下，设工艺厂试销该工艺品每天所得利润为P元；①当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元？②工艺厂自身发展要求试销单价不低于35元/件，同时，当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过55元，写出在此情况下每天获利P的取值范围．解：（1）如图所示是一次函数解析式，设一次函数解析式为：y=ax+b30a+b＝500.........①40a+b＝400.........②解得：a＝−10 b＝800∴函数解析式为：y=-10x+800（2）①由题意得出：P=yx=（-10x+800）（x-20）=8000，解得：x1=40，x2=60，∴当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元；②∵P=yx=（-10x+800）（x-20）=-10x2+1000x-16000=-10（x-50）2+9000，∴当x=50时，P=9000元，当x=35时，P=6750元，∴P的取值范围是：6750≤P≤9000．3.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：销售单价x（元/件）…55 60 70 75 …一周的销售量y…450 400 300 250 …（件）（1）直接写出y与x的函数关系式：y=-10x+1000（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请求出该商家最大捐款数额是多少元？解：（1）设y=kx+b，由题意得，55k+b＝450...........①60k+b＝400...........②解得：k＝−10 b＝1000则函数关系式为：y=-10x+1000；（2）由题意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？解：：（1）当x=20时,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,300×（12﹣10）=300×2=600元, 即政府这个月为他承担的总差价为600元;（2）依题意得,w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000 ∵a=﹣10＜0,∴当x=30时,w有最大值4000元．即当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元;（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000, 解得：x1=20,x2=40．∵a=﹣10＜0,抛物线开口向下,∴结合图象可知：当20≤x≤40时,w≥3000．又∵x≤25,∴当20≤x≤25时,w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元,∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小,∴当x=25时,p有最小值500元．即销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元．5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x元/个.（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含x的式子表示）；（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？解：（1）（220－10x）；物线的开侧，随的知，，最大时，该文具店每周解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为，将（3000，100），（3200，96）代入得，解得：。

二次函数的应用于生物学问题在生物学研究中，二次函数作为一种数学模型，被广泛应用于解决各种生物学问题。

本文将探讨二次函数在生物学中的应用，包括生物体的成长模型、群体数量的变化以及药物在体内的分布等。

一、生物体的成长模型二次函数可以用来描述生物体的成长模型。

例如，某种昆虫的体长随时间的变化可以用二次函数表示。

设体长为L，时间为t，初始体长为L0，生长速率为a，则昆虫的体长可以表示为L(t) = L0 + at + bt^2，其中b为一个常数。

这个二次函数模型能够准确描述昆虫体长的变化，并帮助我们了解昆虫的生长规律。

二、群体数量的变化二次函数也可以应用于描述生物群体数量的变化。

以某种动物种群为例，设种群数量为N，时间为t，初始种群数量为N0，种群增长速率为r，则群体数量的变化可以使用二次函数进行建模。

采用离散模型，可以表示为N(t) = N0 + rt + st^2，其中s为一个常数。

这个二次函数模型能够帮助我们预测未来的种群数量，为生态学研究提供有力的工具。

三、药物在体内的分布除了生长模型和种群变化，二次函数还可以应用于药物在体内的分布问题。

在药物代谢研究中，我们需要了解药物在体内的含量随时间的变化情况。

假设药物在体内的含量为C，时间为t，初始含量为C0，药物的消耗速率为k，则药物在体内的含量可以使用二次函数进行描述。

采用离散模型，可以表示为C(t) = C0 - kt - mt^2，其中m为一个常数。

这个二次函数模型能够帮助我们确定药物在体内的消耗规律，并优化药物治疗方案。

综上所述，二次函数在生物学中的应用十分广泛，能够帮助我们解决生物学问题。

通过建立准确的二次函数模型，我们能够深入理解生物体的成长规律、种群数量的变化以及药物在体内的分布等重要问题。

在今后的研究中，我们可以进一步探索二次函数的应用领域，为生物学研究提供更多的数学支持。

二次函数的应用案例总结二次函数是一种常见的数学函数形式，它的形式为：y = ax^2 + bx + c。

在现实生活中，二次函数可以用于解决各种问题，包括物理、经济、工程等领域。

本文将总结几个常见的二次函数应用案例，以展示二次函数的实际应用。

案例一：物体自由落体的高度模型假设一个物体从高处自由落体，忽略空气阻力，我们可以用二次函数来表示物体的高度与时间之间的关系。

设物体初始高度为H，加速度为g，时间为t。

根据物理定律，物体的高度可以表示为：h(t) = -0.5gt^2 + H。

这个二次函数模型可以帮助我们计算物体在任意时间点的高度，并可以用于预测物体何时落地。

案例二：销售收入和定价策略假设一个公司生产和销售某种产品，销售价格为p（单位：元），销售量为q（单位：件）。

二次函数可以用于建立销售收入与定价策略之间的模型。

设定售价的二次函数为：R(p) = -ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。

我们可以通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，确定最佳售价，以使得销售收入最大化。

案例三：桥梁设计中的弧线形状在桥梁设计中，常常需要确定桥梁的弧线形状，以使得车辆在桥上行驶时感到平稳。

二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。

设桥梁的弧线形状为y = ax^2 + bx，其中x表示桥梁长度的一半，y表示桥梁的高度。

通过调整参数a和b，可以得到不同形状的弧线，以满足设计要求。

案例四：市场需求和价格关系分析在经济学中，二次函数可以用于建立市场需求与价格之间的关系模型。

设市场需求量为D，价格为p。

根据经济理论，市场需求可以表示为：D(p) = ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。

通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，可以研究市场需求和价格之间的关系，得出不同价格下的市场需求量。

综上所述，二次函数在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。

通过建立二次函数模型，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。

2023年安徽中考数学总复习专题：基于数学建模的二次函数的实际应用1．如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；（2）当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？2．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．（1）求水流运行轨迹的函数解析式；（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．3．如图1是一座抛物线型拱桥C1侧面示意图．水面宽AB与桥面长CD均为24m，点E在CD上，DE＝6m，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离；（2）如图2，在（1）的条件下，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆是形状相同的抛物线C2，C3，其最低点与桥面CD的距离均为1m．求拱桥抛物线C1与钢缆抛物线C2的竖距离的最小值．4．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和w（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？5．在北京冬奥自由式滑雪女子大跳台决赛上，中国选手谷爱凌凭借精彩发挥夺得金牌，创造历史．如图1是跳台比赛场地的示意图，在图2中取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=―112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=―18x2+bx+c运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离H取到最大值？最大值为多少？6．掷实心球是北京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是小杰投掷实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图2所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小杰某次试投时的数据如图2所示．（1）在图中画出实心球运动路径的示意图；（2）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式；（3）根据北京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（男生），若实心球投犾距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为满分10分．请通过计算，判断小杰此次试投的成绩是否能达到满分．7．如图1，在建筑工人临时宿舍外，有两根相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其形状可近似看成抛物线y=120x2+bx+c，已知绳子最低点距离地面74米．以点B为坐标原点，直线BD为x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系．（1）求立柱AB的长度；（2）一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD之间与AB相距4米的地方加上一根立柱MN撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线F1的最低点相对点A下降了1米，距立柱MN也是1米，如图2所示，求MN的长；（3）若加在线段BD之间的立柱MN的长度是2.4米，并通过调整MN的位置，使抛物线F1的开口大小与抛物线y=112x2+1的开口大小相同，顶点距离地面1.92米．求MN与CD的最近距离．8．如图是小明站在点O处长抛篮球的路线示意图，球在点A处离手，且OA＝1m．第一次在点D处落地，然后弹起在点E处落地，篮球在距O点6m的点B处正上方达到最高点，最高点C距地面的高度BC＝4m，点E到篮球框正下方的距离EF＝2m，篮球框的垂直高度为3m．据试验，两次划出的抛物线形状相同，但第二次的最大高度为第一次的12，以小明站立处点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求抛物线ACD的函数解析式；（2）求篮球第二次的落地点E到点O的距离；（结果保留整数）（3）若小明想一次投中篮球框，他应该向前走多少米？（结果精确到0.1m）（参考数据：3≈1.73，6≈2.45）9．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．（1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；（2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？（3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．10．如图1所示为某公司生产的A型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4米，宽AB＝3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．（1）按如图1所示建立平面直角坐标系；求该抛物线的解析式．（2）现将A型活动板房改为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户框架FGMN，点G、M在AD上，点N、F在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设M（m，0），且满足12≤m≤1，当窗户框架FGMN的周长最大时，每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇长方形窗户框架FGMN成本）（3）根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润W（元）最大？最大利润是多少？参考答案与试题解析1．解：（1）以水面所在直线AB为x轴，以过拱顶垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：∴A（﹣10，0），C（0，4），设二次函数的解析式为y＝ax2+4（a≠0），把点A坐标代入解析式得：100a+4＝0，解得：a=―1 25，∴这个函数的表达式为：y=―125x2+4；（2）当水面宽10m时，即x＝5时，y=―125×52+4＝3，此时水面离拱顶4﹣3＝1（m），1÷0.2＝5（h），答：达到警戒水位后，再过5h此桥孔将被淹没．2．解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（8，5），设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5，将点（0，1）代入可得a=―5 64，∴抛物线为：y=―564（x﹣8）2+5．（2）能，理由如下：当x＝12时，y=―564（12﹣8）2+3.75＞3.5，∴水流能碰到这棵果树．3．解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1=―1 24，∴y1=―124x2，当x＝12时，y1=―124×122＝﹣6，∴桥拱顶部离水面高度为6m；（2）由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x ﹣6）2+1，将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2=1 12，∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2=112（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3=112（x+6）2+1设拱桥抛物线C1与钢缆抛物线C2的竖距离为Lm，则L＝y2﹣y1=112（x﹣6）2+1﹣（―124x2）=18x2﹣x+4=18（x﹣4）2+2，∵18＞0，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：拱桥抛物线C1与钢缆抛物线C2的竖距离的最小值是2m．4．解：（1）由题意得：5k＝3，解得k＝0.6，∴y1＝0.6x；∵抛物线y2＝ax2+bx经过（1，2），（5，6），∴a+b=225a+5b=6，解得：a=―0.2 b=2.2，∴y2＝﹣0.2x2+2.2x；（2）w＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2，∵﹣0.2＜0，∴当t＝4时，w有最大值9.2（千元），答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元．5．解：（1）由题意可知抛物线C2：y=―18x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：c =4―18×16+4b +c =8， 解得：b =32c =4， ∴抛物线C 2的函数解析式为：y =―18x 2+32x +4； （2）∵运动员与小山坡的竖直距离为H 米，∴H =―18x 2+32x +4﹣（―112x 2+76x +1）； =―124（x ﹣4）2+113 ∵―124＜0， ∴当x ＝4时，H 取到最大值，最大值为113． 6．解：（1）如图所示：（2）解：依题意，抛物线的顶点B 的坐标为（4，3），点A 的坐标为（0，2）．设该抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣5）2+4，∵抛物线过点A （0，2），∴a （0﹣5）2+4＝2，解得，a =―225， ∴该抛物线的表达式为y =―225（x ﹣5）2+4； （3）解：令y ＝0，得―225（x ﹣5）2+4＝0， 解得x 1＝5+52，x 2＝5﹣52（C 在x 轴正半轴，故舍去）．∴点C 的坐标为（5+52，0）．∴OC ＝5+52＞5+5＝10，∴小杰此次试投的成绩达到满分．7．解：（1）由题意抛物线的解析式为y=120（x﹣5）2+74，即y=120x2―12x+3，令x＝0，得到y＝3，∴AB＝3米；（2）由题意设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣3）2+2，把A（0，3）代入解析式得：3＝a（0﹣3）2+2，解得：a=1 9，∴y=19（x﹣3）2+2，当x＝4时，y=19 9，∴MN=199米；（3）抛物线F1的开口大小与抛物线y=112x2+1的开口大小相同，顶点距离地面1.92米，∴设抛物线F1的解析式为y=112（x﹣h）2+1.92，把A（0，3）代入解析式得：3=112（﹣h）2+1.92，解得：h1＝﹣3.6（舍去），h2＝3.6，∴抛物线F1的解析式为y=112（x﹣3.6）2+1.92，∵MN＝2.4，∴当y＝2.4时，112（x﹣3.6）2+1.92＝2.4，解得：x1＝1.2，x2＝6，当x＝1.2时，DM＝10﹣1.2＝8.8（米），当x＝6时，DM＝10﹣6＝4（米），∵4＜8.8，∴MN与CD的最近距离为4米．8．解：（1）设篮球开始飞出到第一次落地时抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，∵h＝6，k＝4，∴y＝a（x﹣6）2+4，由已知：当x＝0时y＝1，即1＝36a+4，∴a=―1 12，∴抛物线ACD的函数表达式为y=―112（x﹣6）2+4；（2）令y＝0，―112（x﹣6）2+4＝0，∴（x﹣6）2＝48，解得：x1＝43+6≈13，x2＝﹣43+6＜0（舍去），∴篮球第一次落地距O点约13米；如图，第二次篮球弹出后的距离为DE，根据题意：DE＝MN，∴2=―112（x﹣6）2+4，解得：x1＝6﹣26，x2＝6+26，∴DE＝MN＝|x1﹣x2|＝46≈10，∴OE＝OD+DE≈13+10＝23（米），∴篮球第二次落地点E距O点的距离约为23米；（3）当y＝3时，3=―112（x﹣6）2+4，解得：x1＝6﹣23≈2.5，x2＝6+23≈9，∵OF＝OE+EF≈23+2＝25，∴25﹣9＝16（米）或25﹣2.5＝22.5（米），∴小明需要在第一次抛球时投中篮筐，他应该向前走16米或22.5米．9．解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，将（0，2.25）代入得，a（0﹣1）2+3＝2.25，解得a=―3 4，∴抛物线的解析式为：y=―34（x﹣1）2+3．（2）令y＝0，得，0=―34（x﹣1）2+3，解得x＝﹣1（舍）或x＝3，∵2×3＝6（米），∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外．（3）将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点（2.5，0），设平移后的抛物线的解析式为：y=―34（x﹣1）2+h，将（2.5，0）代入得，―34（2.5﹣1）2+h＝0，解得h=27 16，当x＝0时，y=―34（0﹣1）2+2716=1516．∴调整后水管的最大长度1516米．10．解：（1）∵长方形的长AD＝4米，宽AB＝3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米，∴OH＝AB＝3米，EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1米，E（0，1），D（2，0），由题意知抛物线的函数表达式为y＝ax2+1，把点D（2，0）代入，得a=―1 4，∴该抛物线的函数表达式为y=―14x2+1；（2）∵M（m，0），∴N（m，―14m2+1），∴MN=―14m2+1，∴C矩形MNFG＝2（MG+MN）＝2[2m+（―14m2+1）]=―12m2+4m+2，∵―12＜0，对称轴为m＝4，且12≤m≤1，∴当m＝1时，C有最大值，最大值为11 2，∴长方形窗户框架的成本为112×10＝55（元），∴395+55＝450（元），答：每个B型活动板房的成本是450元；（3）根据题意，得W＝（n﹣450）[100+20(600―n)10]＝﹣2（n﹣550）2+20000，∵﹣2＜0，∴当n＝550 时，W有最大值，且最大值为20000，答：公司将销售单价n定为550 元时，每月销售B型活动板房所获利润W最大，最大利润20000元．。

二次函数的应用抛物线的实际应用二次函数的应用：抛物线的实际应用引言：二次函数是数学中重要的一种函数形式，它的图像为一个抛物线。

抛物线在现实生活中有着广泛的应用，无论是物理学、经济学还是工程学，都离不开对二次函数的应用。

本文将重点介绍抛物线的实际应用，并探讨二次函数在这些应用中的角色。

一、抛物线在物理学中的应用1. 自由落体运动自由落体运动是我们熟知的物理现象，物体在重力作用下自由下落。

这一过程可以用二次函数来描述。

假设物体从高度 h0 自由下落，高度随时间的变化可以用二次函数 h(t) = -gt^2 + h0 来表示，其中 g 是重力加速度，t 是时间。

抛物线的开口向下，表达了物体的下降趋势，通过解析二次函数，我们可以计算物体的下落时间、最大高度等重要物理量。

2. 抛物线弹道在射击或投掷物体时，抛物线弹道也是常见的现象。

例如，运动员射击目标、棒球手投掷棒球等。

这些抛物线弹道可以利用二次函数进行建模。

通过观察抛物线的顶点和开口方向，我们可以分析射击或投掷的角度、速度等因素，帮助运动员准确命中目标。

二、抛物线在经济学中的应用1. 成本与收益在经济学中，成本与收益是决策的重要因素。

当生产或经营某种产品时，成本和收益之间往往存在着二次函数关系。

成本一般随着产量的增加而呈抛物线增长，而收益则随着产量的增加而呈抛物线增长，二者的交点即为盈亏平衡点。

通过分析二次函数的图像，我们可以找到最大化收益、最小化成本的最优产量或定价策略。

2. 市场供需市场供需关系也可以用二次函数进行建模。

供需的交点是市场均衡点，也就是商品的实际价格。

市场需求一般随着价格的下降而增加，而市场供应一般随着价格的上升而增加，二者的交点即为市场均衡。

通过分析二次函数的图像，我们可以预测市场的价格波动和供需的变化趋势。

三、抛物线在工程学中的应用1. 科学研究在科学研究中，抛物线的应用非常广泛。

例如，在天体力学中，通过二次函数可以描述天体的轨迹；在工程力学中，通过二次函数可以建立材料的变形模型，以便研究材料的受力行为。

简述二次函数的应用二次函数是高中数学中重要的函数之一、它的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0。

二次函数在现实生活中有着广泛的应用。

以下是几个二次函数的应用领域的例子。

1.抛物线二次函数的图像是一个抛物线，抛物线在物理学、工程学和计算机图形学中有着广泛的应用。

比如，抛物线的形状可以用来描述物体自由落体的运动轨迹，炮弹的弹道轨迹，天桥的拱形结构等。

此外，在电脑游戏和动画中，抛物线被广泛用于模拟物体的运动轨迹。

2.物体的位置与时间关系二次函数可以描述一个物体在时间t上的位置。

例如，当一个物体以恒定的加速度下落时，它的位置与时间的关系可以表示为y=1/2gt^2，其中g是重力加速度。

这种关系在物理学和工程学中有着广泛的应用，尤其在研究物体自由落体、弹道以及其他与时间相关的运动问题时。

3.利润与产量关系在经济学中，二次函数可以用来描述企业的利润与产量之间的关系。

通常情况下，企业的利润随着产量的增加而先增加后减少。

这种关系可以用二次函数来建模，并通过求解函数的极值来确定最大利润对应的产量。

这个应用可以帮助企业找到最佳产量水平，以最大化其利润。

4.预测和拟合数据通过二次函数可以对一组数据进行预测和拟合。

例如，如果我们有一组时间和距离的数据点，我们可以使用二次函数来预测未来的距离值，并通过函数的图像来分析数据的趋势和变化。

这种方法在统计学、经济学、工程学等领域中经常被使用，以预测和分析数据的变化。

5.优化问题二次函数的图像是一个拋物线，在一些范围内有一个最大或最小值。

因此，二次函数可以用于求解各种优化问题。

例如，在工程设计中，当需要确定一个系统的最佳参数或一些变量的最优值时，可以使用二次函数建立目标函数，并通过求解函数的极值来找到最佳的解。

6.图像处理二次函数在计算机图形学和图像处理中扮演着重要角色。

例如，图像的亮度、对比度和锐化等可以通过应用二次函数来调整和改善。

此外，曲线插值、图像平滑和边缘检测等问题也可以通过二次函数进行建模和解决。

未来展望与研究方向
跨学科研究
未来可以将数学与其他学科结合 起来，如物理学、生物学等，从 更广泛的视角研究体育运动的规
律和技巧。
高科技应用
随着科技的发展，未来可以利用更 多的传感器和数据分析技术来研究 体育运动的细节和技巧，进一步提 高运动水平。
普及教育和推广
加强数学和体育的普及教育，让更 多的人了解和掌握数学在体育运动 中的应用，促进体育事业的发展。
数学与体育的紧密联系
运动规律描述
数学中的函数和方程可以 用来描述各种运动规律， 如篮球运动中的轨迹、速 度和加速度等。
数据分析和预测
通过数学方法对体育比赛 数据进行处理和分析，可 以预测比赛结果和球员表 现，为决策提供依据。
技术创新和发展
数学在体育技术创新和发 展中发挥了重要作用，如 运动装备的优化、训练方 法的改进等。
球员更好地实现个人和团队的目标。
04 篮球运动中的其他数学问 题
角度与弧度的应用
总结词
在篮球运动中，角度和弧度的概念非常重要，它们涉及到投篮、传球、防守等 各个环节。
详细描述
角度在篮球中主要用于描述投篮的角度、传球的角度等，弧度则用于描述球的 轨迹和旋转程度。通过数学模型和公式，可以计算出最佳的投篮角度和弧度， 从而提高投篮的准确性和效率。
05 结论
二次函数在篮球运动中的重要性
01
02
03
投篮轨迹分析
通过二次函数，可以描述 篮球的投篮轨迹，帮助球 员和教练更好地理解和预 测球的落点。
最佳出手点
利用二次函数的极值性质， 可以找到最佳的投篮出手 点，提高投篮命中率。
训练和比赛策略
基于二次函数的分析，可 以制定更加科学的训练和 比赛策略，提高球队的整 体水平。

二次函数的实际应用总结二次函数是高中数学中重要的一类函数。

它具有形如y=ax^2+bx+c的特点，其中a、b、c是实数且a不等于0。

二次函数有许多实际应用，涉及到物理、经济和生活中的各种问题。

本文将总结几个二次函数的实际应用。

一、物体自由落体物体自由落体是一个常见的物理问题，可以用二次函数来描述。

当一物体从高处自由落下时，它的高度与时间之间的关系可以由二次函数表示。

设物体自由落下的高度为H（米），时间为t（秒），重力加速度为g（9.8米/秒²），则有公式H = -gt²/2。

其中负号表示高度的减小，因为物体向下运动。

通过这个二次函数，我们可以计算物体在不同时间下的高度，进而研究物体的运动规律。

例如，我们可以计算物体自由落地所需的时间，或者计算物体在某个时间点的高度。

这在工程设计和物理实验中具有重要意义，帮助我们预测和控制物体的运动。

二、开口向上/向下的抛物线二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向由二次项系数a的正负决定。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

对于开口向上的抛物线，我们可以将其应用到生活中的一些情景。

比如，一个喷泉的水柱，水流高度与时间之间的变化可以用开口向上的二次函数来描述。

同样，开口向下的抛物线也有实际应用。

例如，一个弹簧的变形量与受力之间的关系常常是开口向下的二次函数。

通过了解抛物线的性质和方程，我们可以更好地理解和解决与之相关的问题。

三、经济学中的应用二次函数在经济学中也有广泛的应用。

例如，成本函数和收入函数常常是二次函数。

企业的成本与产量之间的关系可以用二次函数来刻画。

同样，市场需求和供给也可以用二次函数来表达。

在经济学中，研究成本、收入、需求和供给的函数对于决策和市场分析至关重要。

通过对二次函数的运用，我们可以计算某一产量下的成本和收入，并了解市场价格的影响因素。

这有助于企业决策和经济政策的制定。

四、其他实际应用除了以上提到的应用，二次函数还可以用于建模和预测其他实际问题。

实际问题中的二次函数建模训练1．弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图16，甲站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2．（1）a的值为；点B的横坐标为；（2）若弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半．①求弹力球第一次着地后抛物线解析式；②求弹力球第二次着地点到点O的距离；③如果摆放一个底面半径为0.5m，高0.5m的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点9m，若要甲能投球成功，需将筐沿x轴向左移动bm，直接写出b的取值范围．2．图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置．图2为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为x轴，以过发射装置所在的直线AB为y轴，建立平面直角坐标系．发射装置底部在轮廓线的点A 处，距离地面为1米，在发射装置3米的点B处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为C1：y＝﹣x2+x+1，从发射装置的发射点弹射一个小球（忽略空气阻力）时，小球的飞行路线为一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c．（1）直接写出c的值，当小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米时，求b的值，并求小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离；（2）若小球最远着陆点到y轴的距离为15米，当小球飞行到小山丘顶的正上方，且与顶部距离不小于米时，求b的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值；（3）圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF，已知点E在C1上，其横坐标为14，CF∥x轴，CD＝1.5，DE＝1，若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），请直接写出b的取值范围．3．如图是小智用数学软件模拟弹球运动轨迹的部分示意图，已知弹球P从x轴上的点A向右上方弹射出去，沿抛物线l1：y＝﹣x2+2x+15运动，落到图示的台阶S1﹣S5某点Q处后，又立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与L1，形状相同的抛物线L2，抛物线L2的顶点N与点Q的垂直距离为4，点A到台阶底部O的距离为3，最高一是台阶S1到x 轴的距离为9，S1～S5每层台阶的高和宽均分别为1和1.5．台阶的各拐角均为直角．（1）求弹球P上升到最高点M时，弹球到x轴的距离；（2）①指出落点Q在哪一层台阶上，并求出点Q的坐标；②求出抛物线L2的解析式；（3）已知△BCD的BC边紧贴x轴，∠C＝90°，BC＝1，CD＝2，当弹球沿抛物线L2下落能击中△BCD时，求点C的横坐标的最大值与最小值．4．图1是运动员训练使用的带有乒乓球发射机的乒乓球台示意图．水平台面的长和宽分别为2.8m和1.6m，中间球网高度为0.15m，发射机安装于台面左侧边缘，能以不同速度向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为0.4m，乒乓球（看成点）在发射点P获得水平速度v（单位：m/s）后，从发射点向右下飞向台面，点Q是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：P，Q的竖直距离h（单位：m）与飞出时间t（单位：s）的平方成正比，且当t＝1时，h＝5；P，Q的水平距离是vt（单位：m）．（1）设v＝10m/s，用t表示点Q的横坐标x和纵坐标y，并求出y与x的函数关系式；（不必写x的取值范围）（2）在（1）的条件下，①若发球机垂直于底线向正前方发球，根据（1）中的函数关系式及题目中的数据，判断这次发球能否过网？是否出界？并说明理由；②若球过网后的落点是右侧台面内的点M（如图3，点M距底线0.3m，边线0.3m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：≈2.6）（3）将乒乓球发射机安装于台面左侧底线的中点，若乒乓球的发射速度v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上（不接触中网和底线），请直接出v的取值范围．（结果保留根号）5．将小球（看作一点））以速度v1竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度．小球相对于抛出点的高度y（m）与时间t（s）的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度v1（m/s）与时间t（s）的积，另一部分与时间t（s）的平方成正比．若上升的初始速度v1＝10m/s，且当y＝5m时，小球达到最大高度．（1）求小球上升的高度y与时间t的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升到最大高度时的时间；（2）如图，向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度v2（m/s），发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度y（m）与时间t（s）的函数解析式与（1）中的解析式相同．①若v2＝5m/s，当t＝s时，小球的坐标为，小球上升的最高点坐标为；求小球上升的高度y与小球距抛出点的水平距离x之间的函数关系式；②在小球的正前方的墙上有一高m的小窗户PQ，其上沿P的坐标为（6，），若小球恰好从窗户中穿过（不包括恰好击中点P，Q，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度v2的取值范围．6．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为（﹣，﹣10）．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为（1，），正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝，EN＝，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．。

二次函数的应用举例在数学中，二次函数是一类常见的函数形式，其表达式一般为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不为零。

二次函数在实际应用中具有广泛的应用，本文将介绍二次函数的几个常见应用举例。

1. 物体的抛射运动物体的抛射运动是二次函数的典型应用之一。

当一个物体被斜抛时，其运动轨迹可以用二次函数表示。

例如，当某个物体以一定的初速度水平抛出时，其高度与飞行时间之间的关系可以用二次函数模型来描述。

具体而言，该模型为y = -16t^2 + vt + h，其中t为时间（单位为秒），v为初速度（单位为米/秒），h为抛出高度（单位为米）。

2. 曲线的绘制二次函数可以绘制出各种曲线形状，从而在绘画、设计等领域中被广泛应用。

例如，在建筑设计中，二次函数常被用于绘制圆顶建筑、拱桥等曲线形状。

在绘画中，二次函数可以绘制出各种曲线，如抛物线、椭圆等，用于美化作品或表达特定的艺术效果。

3. 利润的最大化在经济学中，二次函数常被用于研究企业的利润最大化问题。

根据经济学原理，企业在销售产品时，需考虑生产成本和销售价格之间的关系，以实现最大利润。

假设某企业的成本函数为C(x) = ax^2 + bx + c，其中x为生产数量，a、b、c为常数。

则该企业的利润函数为P(x) =R(x) - C(x)，其中R(x)为销售收入函数。

通过求解利润函数的极大值，可以确定最佳的生产数量，从而实现利润的最大化。

4. 投射物体的落地点计算二次函数还可以用于计算投射物体的落地点。

例如，当一个物体从一定高度自由落体时，它的落地点（水平方向的距离）可以用二次函数模型来计算。

具体而言，该模型为d = v0t + 1/2at^2，其中d为落地点距离（单位为米），v0为初速度（水平方向，单位为米/秒），t为时间（单位为秒），a为重力加速度（单位为米/秒^2）。

总结起来，二次函数在物理学、数学、经济学等领域具有广泛的应用。

通过物体的抛射运动、曲线的绘制、利润的最大化以及落地点的计算等实例，我们可以看到二次函数在实际问题中的重要性。

二次函数的应用 1.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正确水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）A ．2.76米B ．6.76米C ．6米D ．7米考点：二次函数的应用．专题：应用题；压轴题．分析：根据已知，假设解析式为y=ax 2，把（10，-4）代入求出解析式．假设在水面宽度18米时，能顺利通过，即可把x=9代入解析式，求出此时水面距拱顶的高度，然后和正常水位相比较即可解答．解答：解：设该抛物线的解析式为y=ax 2，在正常水位下x=10，代入解析式可得-4=a×102 ∴ 故此抛物线的解析式为：因为桥下水面宽度不得小于18米，所以令x=9时可得：此时水深6+4-3.24=6.76米即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．故选B ．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．难度中上，首先要知道水面宽度与水位上升高度的关系才能求解．2.林书豪身高1.91m ，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−51-x 2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（ ）A ．3.2mB ．4mC ．4.5mD ．考点：二次函数的应用．专题：数形结合．分析：把y=3.05代入所给二次函数解析式，求得相应的x 的值，加上2.5即为所求的数值．2251-y x =251-a =米24.381251-y -=⨯=解答：解：由题意得：3.05=−51-x 2+3.5， x 2=2.25，∵篮圈中心在第一象限，∴x=1.5， ∴他与篮底的距离约为1.5+2.5=4m ，故选B ．点评：考查二次函数的应用；建立数学模型，求得篮圈中心与原点的水平距离是解决本题的关键．3.如图是江夏宁港灵山脚下古河道上一座已有了400年历史的古拱桥的截面图，这座拱桥桥洞上沿是抛物线形状，若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，则抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，如果在桥洞两侧壁上各安装一盏距离水面4m 的景观灯，则两盏景观灯之间的水平距离是（ ）A ．3mB ．4mC ．5mD ．6m 考点：二次函数的应用．分析：根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的左端点坐标为（0，1），可设抛物线的顶点式求解析式，再根据两灯的纵坐标值，求横坐标，作差即可．解答：解：抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点（0，1），设抛物线解析式为y=a （x-5）2+5，把点（0，1）代入得：1=a （0-5）2+5，即∴抛物线解析式为令y=4，得∴盏景观灯之间的水平距离是： 故选C ．点评：根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．4.如图，在“江夏杯”钓鱼比赛中，选手甲钓到了一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看作以A 为最高点的一条抛物线，已知鱼线AB 长6m ，鱼隐约在水面了，估计鱼离鱼竿支点有8m ，254-a =5)5(254-y 2+-=x 215x 1=m 525-215=25x 2=此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹脚α恰好为60°，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为考点：二次函数的应用．分析：过点A 作AC⊥OB，交OB 于点C ，在RT△ABC 中，可求出AC 、BC ，然后根据OB=8米，可得出点A 的坐标，根据二次函数过原点及二次函数的顶点坐标即可确定二次函数解析式．解答：解：过点A 作AC⊥OB，交OB 于点C ，∵AB=6米，OB=8米，α=60°，∴AC=ABsin∠α=米BC=ACcos∠α=3米，∴OC=OB -BC=5米，故可得点A 的坐标为设函数解析式为y=a （x-5）2+ 又∵函数经过原点， ∴0=a （0-5）2 +解得：故函数解析为： 故答案为：点评：此题考查了二次函数的应用，关键是利用几何知识求出点A 的坐标，另外要掌握二次函数的一般式及顶点式的特点，有一定难度．33）（33,533332533-a =33)5(2533-y 2+-=x 33)5(2533-y 2+-=x5.如图，AB 是自动喷灌设备的水管，点A 在地面，点B 高出地面1.5米．在B 处有一自动旋转的喷水头，在每一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B 与水流最高点C 的连线与水平线成45°角，水流的最高点C 与喷头B 高出2米，在如图的坐标系中，水流的落地点D 到点A 的距离是 米．考点：二次函数的应用．分析：根据所建坐标系，易知B 点坐标和顶点C 的坐标，设抛物线解析式为顶点式，可求表达式，求AD 长就是求y=0是x 的值．解答：解：如图，建立直角坐标系，过C 点作CE⊥y 轴于E ，过C 点作CF⊥x 轴于F ， ∴B（0，1.5），∴∠CBE=45°，∴EC=EB=2米，∵CF=AB+BE=2+1.5=3.5，∴C（2，3.5）设抛物线解析式为：y=a （x-2）2+3.5，又∵抛物线过点B ，∴1.5=a（0-2）2+3.5 ∴∴ ∴所求抛物线解析式为： ∵抛物线与x 轴相交时，y=0， ∴（舍去）727221-=+=x x∴点D 坐标为）（0,72+水流落点D 到A 点的距离为：米72+点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系的特点设合适的函数表达式形式进而求出二次函数解析式是解决问题的关键．6.我市某工艺厂设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（注：利润=销售总价-成本总价）销售单价x （元∕件） … 30 40 50 60 …21-a =23221-5.3)2(21-y 22++=+-=x x x 23221-y 2++=x x 23221-02++=x x每天销售量y（件）…500 400 300 200 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）在（1）的条件下，设工艺厂试销该工艺品每天所得利润为P元；①当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元？②工艺厂自身发展要求试销单价不低于35元/件，同时，当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过55元，写出在此情况下每天获利P的取值范围．考点：二次函数的应用．分析：（1）描点，由图可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；（2）①根据利润=销售总价-成本总价=单件利润×销售量；②据①中表达式，运用性质求P的取值范围．解答：解：（1）如图所示是一次函数解析式，设一次函数解析式为：y=ax+b30a+b＝500.........①40a+b＝400.........②解得：a＝−10 b＝800∴函数解析式为：y=-10x+800；（2）①由题意得出：P=yx=（-10x+800）（x-20）=8000，解得：x1=40，x2=60，∴当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元；②∵P=yx=（-10x+800）（x-20）=-10x2+1000x-16000=-10（x-50）2+9000，∴当x=50时，P=9000元，当x=35时，P=6750元，∴P的取值范围是：6750≤P≤9000．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，根据已知得出y与x的函数关系式是解题7.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？解答：解：（1）设y=kx+b，由题意得，55k+b＝450...........①60k+b＝400...........②解得：k＝−10 b＝1000则函数关系式为：y=-10x+1000；（2）由题意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，∵-10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，∴当50≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；（3）∵由40（-10x+1000）≤10000解得x≥75∴当x=75时，利润最大，为8750元．点评：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．8.如图，是江夏广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC=4米，点B 到水平面距离为2米，OC=8米．（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）考点：二次函数的应用．专题：压轴题． 分析：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数解析式为y=ax 2，又由点A 在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式；（2）延长AC ，交建筑物造型所在抛物线于点D ，连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求；（3）首先根据题意求得点B 与D 的坐标，设直线BD 的函数解析式为y=kx+b ，利用待定系数法即可求得直线BD 的函数解析式，把x=0代入y=-x+4，即可求得点P 的坐标． 解答：解：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax 2，由题意知点A 的坐标为（4，8）． ∵点A 在抛物线上，∴8=a×42， 解得:21=a 221y x =∴所求抛物线的函数解析式为：（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A、D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．（3）由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为（2，2），又∵点A的坐标为（4，8），∴点D的坐标为（-4，8），设直线BD的函数解析式为y=kx+b，2k+b＝2..........①−4k+b＝8........②解得：k=-1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=-x+4，把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为（0，4），两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．点评：此题考查了二次函数的实际应用问题．解此题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数解题．。

二次函数的应用于救援业问题救援业是一项关乎生命安全和人道救助的重要工作，而二次函数的应用正好能够帮助救援人员在应急情况下更好地规划救援方案和资源的调配。

本文将通过几个实际例子来介绍二次函数在救援业中的应用。

第一种应用场景是地震救援中的搜索与救援。

在地震发生后，经过初步搜索和判断，我们可将地震区域划分为不同的救援区域。

假设某地震区域的灾民集中在一个半径为r的圆形区域内，而我们需要从x点出发，辐射性地救援这些灾民。

为了节约时间和资源的损耗，我们希望找到一个最佳的救援路径，使得总行程最短。

通过二次函数的应用，我们可以建立一个模型来解决这个问题。

假设灾民的集中区域位于坐标原点，而救援点x在x轴上。

如果我们设救援点x的坐标为a，那么到达集中区域内的任意一点的距离可以表示为d(x) = √(x^2 + r^2)。

而整个救援区域的总行程可以表示为S(a) =2π∫[0,a]√(x^2 + r^2)dx。

我们的目标是找到一个最小的a值，使得总行程最短。

通过计算和优化，我们可以得到最佳的救援点a，并且在实际操作中，救援人员可以根据这个模型来选择最佳的救援路径，提高救援效率，减少时间和资源的浪费。

第二种应用场景是洪涝灾害中的抗洪工程规划。

在洪水来临时，抗洪工程的规划和设计至关重要。

而二次函数可以帮助我们分析水位的变化趋势，提前做好防洪措施。

假设某地区的河流水位随时间变化可以用二次函数表示，即h(t) =at^2 + bt + c。

我们可以通过观测和收集数据来确定参数a、b和c的值，进而得到一个水位变化的数学模型。

利用这个模型，我们可以预测出未来一段时间内水位的变化趋势，并根据预测结果来规划和设计抗洪工程。

比如，如果预测到水位将超过警戒线，我们可以提前加固堤坝、疏浚河道等措施，从而有效防范洪水灾害，保护人民的生命和财产安全。

第三种应用场景是医疗救援中的医疗资源分配。

在灾难发生后，伤员的救治优先级和医疗资源的分配是一个关键问题。

二次函数在生活中的运用二次函数是一个具有形式为y=ax^2+bx+c的二次多项式函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

它是数学中一个重要的函数类型，其在现实生活中有许多广泛的应用。

下面将介绍一些二次函数在生活中的运用。

1.物体的自由落体运动：当物体从静止的位置开始自由下落时，其高度与时间的关系可以用二次函数来描述。

根据物体下落的加速度和初速度，我们可以建立二次函数模型来预测物体的高度随时间的变化。

2.弹性力的计算：弹性力是恢复力的一种，其大小与物体偏离平衡位置的距离成正比。

当物体被施加一个力使其偏离平衡位置时，恢复力的大小可以用二次函数描述。

3.抛物线的建模：抛物线是二次函数的图像，它在很多领域中都有应用。

例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶可以提供更好的排水系统。

在桥梁设计中，抛物线形状的拱桥可以提供更好的结构稳定性。

4.投射物体的路径预测：当一个物体以一定的初速度和角度被抛出时，它的轨迹可以用二次函数模型来预测。

例如，在棒球运动中，球员可以通过分析投球的初速度和角度来预测球的落点。

5.音乐乐器的调音：乐器的音高可以通过改变乐器弦的张力来调节。

根据弦的拉紧程度，可以建立一个二次函数模型来描述音高与弦长的关系。

这使得乐器演奏者能够根据需要调整乐器的音高。

6.经济中的成本与产出关系：在经济学中，成本与产出的关系经常可以用二次函数来描述。

例如，生产一定数量的商品所需的成本与产出之间可能存在一个最优点，通过求二次函数的极值，可以确定最大化利润的产量。

7.变量与值的关系：二次函数可以用来描述两个变量之间的关系。

例如，员工的工资与工作经验之间可能存在一个二次函数模型，随着工作经验的增加，工资可能会呈现先上升后下降的趋势。

8.交通流量的模拟：交通流量的变化可以用二次函数来建模。

例如，小时交通流量随时间的变化可能呈现一个钟形曲线，交通高峰期的交通流量较大，而其他时间段的交通流量相对较小。

以上仅列举了二次函数在生活中的一些应用，其中还有许多其他的应用。