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专题01 二次函数的定义五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一二次函数的识别】 (1)【考点二二次函数中各项的系数】 (2)【考点三利用二次函数的定义求参数】 (3)【考点四已知二次函数上一点，求字母或式子的值】 (5)【考点五列二次函数的关系式】 (6)【过关检测】 (8)【典型例题】【考点一二次函数的识别】【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）以下函数式二次函数的是（）【考点二 二次函数中各项的系数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数221y x x =--+的二次项系数是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项”作答即可．【详解】解：二次函数221y x x =--+的二次项系数是1-．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数()32-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A ．2B ．2-C ．1-D ．4-【答案】D 【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．【详解】解：()23622x y x x x --==，∴二次项系数是2，一次项系数是6-，∴264-=-，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．2．（2022·全国·九年级假期作业）二次函数2(1)y x x =-的二次项系数是________．【答案】2【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数．【详解】解：y =2x （x -1）=2x 2-2x ．所以二次项系数2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．【考点三 利用二次函数的定义求参数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数()2231y m x mx =+++是二次函数，则（ ）A ．2m ³-B ．2m ¹C ．2m ¹-D ．2m =-【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解：根据题意得20m +¹，解得2m ¹-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数是解题的关键．【变式训练】【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数2y ax bx c =++的定义条件是：a 、b 、c 为常数，0a ¹，自变量最高次数为2．【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线223y ax x =-+经过点(1,2)P ，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】将点P 代入函数表达式中，解方程可得a 值．【详解】解：将(1,2)P 代入223y ax x =-+中，得：22=121+3a -´´，解得：=1a ，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线23y ax bx =+-过点（2，4），则代数式84a b +的值为（ ）A ．14B ．2C ．－2D ．－14【答案】A【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax 2+bx -3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值．【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax 2+bx -3得4a +2b -3=4，整理得8a +4b =14.故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．2．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．20【答案】B【分析】先把点()2,3-代入解析式，得到2=7c b -，然后化简247=2c b --（c-4b ）-7，整体代入即可得到答案.【详解】解：把点()2,3-代入2y x bx c =-++，得：2=7c b -，∵247=2c b --（c-2b ）-7277=7=´-；故选择：B .【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.【考点五 列二次函数的关系式】【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是()0x x >，两年后这台机器的价格为y 万元，则y 与x 之间的函数关系式为_____．【答案】()2501y x =-【分析】根据题意列出函数解析式即可．【详解】解：∵一台机器原价为50万元，每年的折旧率是()0x x >，两年后这台机器的价格为y 万元，∴y 与x 之间的函数关系式为()2501y x =-．故答案为：()2501y x =-．【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格=原价()21x ´-．2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当60x =时，8050y x ==；时，100y =．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(2)求该公司销售该原料日获利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．【答案】(1)2200y x =-+(3070x ££)；(2)222606450w x x =-+-(3070x ££)【分析】（1）根据y 与x 写成一次函数解析式，设为y kx b =+，把x 与y 的两对值代入求出k 与b 的值，即可确定出y 与x 的解析式，并求出x 的范围即可；（2）根据利润=单价´销售量列出w 关于x 的二次函数解析式即可．【详解】（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+．60x =Q 时，80y =，50x =时，100y =，608050100k b k b +=ì\í+=î，解得2200k b =-ìí=î，2200y x \=-+，根据部门规定，得3070x ££．（2）22(30)450(30)(2200)45030702260600045022606450w x y x x x x x x x =--=--+-=-+--=-£-£+（）【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．【过关检测】一、选择题二、填空题6．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）二次函数2=23y x x --中，当=1x -时，y 的值是________．【答案】0【分析】把=1x -代入2=23y x x --计算即可．【详解】解：当=1x -时，2=23=123=0y x x ---+，故答案为：0．【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把=1x -代入2=23y x x --计算．7．（2022春·全国·九年级专题练习）把y ＝（2－3x ）（6＋x ）变成y ＝ax ²＋bx ＋c 的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．【答案】23x - －16 12【解析】略8．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数||1(1)45m y m x x +=++-是关于x 的二次函数，则一次函；【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y 与x 之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得()()2302050600y x x x x =++=++，∴y 与x 之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y 与x 之间的函数关系式是解题的关键．三、解答题。
专题01 二次函数的定义压轴题五种模型全攻略考点一 二次函数的识别 考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 已知二次函数一点求代数式的值考点五 列二次函数关系式考点一 二次函数的识别例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（ ）A ．31y x =-B ．231y x =-C ．2y x=D ．323y x x =+-【变式训练】1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①26y x =；②235y x =-+；③2200400y x x =+；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．52．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①55y x =-；②231y x =-；③3243y x x =-；④2221y x x =-+；⑤21y x =．其中是二次函数的是____________．考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数223y x x =-+的一次项系数是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3【变式训练】1．（2022·全国·九年级）设a ，b ，c 分别是二次函数y ＝﹣x 2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）A ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝0B ．a ＝﹣1，b ＝0，c ＝3C ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝3D ．a ＝1，b ＝0，c ＝32．（2022·全国·九年级）已知二次函数y ＝1﹣5x ＋3x 2，则二次项系数a ＝___，一次项系数b ＝___，常数项c ＝___．考点三 根据二次函数的定义求参数例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则m 的值为 _____．【变式训练】1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知(2)21m y m x x =-+-是y 关于x 的二次函数，那么m 的值____．2．（2021·广东广州·九年级期中）关于x 的函数()21mmy m x -=+是二次函数，则m 的值为__________．考点四 已知二次函数一点求代数式的值例题：（2022·全国·九年级）若点(m ，0)在二次函数y ＝x 2﹣3x +2的图象上，则2m 2﹣6m +2029的值为 ____．【变式训练】1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为()0m ,，则代数式2332022m m -++的值为______．2．（2022·全国·九年级课时练习）点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上一点，则236m m -的值为__________考点五 列二次函数关系式例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x ，第一季度的总产值为y （亿元），则y 关于x 的函数解析式为________________．【变式训练】1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x 元，则可卖出()35010x -件，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为________．2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正方形ABCD 的边长是10cm ，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上的一点，BE DF =．四边形AEGF 是矩形，矩形AEGF 的面积()2cm y 与BE 的长cm x ()010x <£的函数关系是______．一、选择题1．（2021·湖南湘西·九年级期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ．y ＝3x +1B ．y ＝ax 2+bx +cC ．s ＝2t 2﹣2t ﹣1D ．y ＝x 2+1x2．（2020·浙江杭州·九年级阶段练习）二次函数y ＝x （1﹣x ）﹣2的一次项系数是（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣23．（2021·安徽·休宁县洪里初级中学九年级期中）若y ＝（m －2）22m x -＋5x －3是二次函数，则常数m 的值为（ ）．A ．－2B ．2C ．±2D ．不能确定4．（2022·全国·九年级课时练习）已知|1|(1)2m y m x m -=++是y 关于x 的二次函数，则m 的值为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．05．（2022·全国·九年级课时练习）在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为()02x x <<的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为（ ）A ．22y x x =+B ．24y x =-C ．24y x =-D ．42y x=-6．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数：①y ＝2x ﹣1；②y ＝﹣2x 2﹣1；③y ＝3x 3﹣2x 2；④y =2（x +3）2-2x 2；⑤y ＝ax 2+bx +c ，其中二次函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．（2021·全国·九年级专题练习）二次函数2231y x x =--的二次项系数与常数项的和是__________．8．（2021·全国·九年级课时练习）把y ＝(3x -2)(x ＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为________．9．（2019·陕西·西安高新一中实验中学九年级期末）若函数27(3)1m y m x x -=--+是二次函数，则m 的值为_________．10．（2021·四川·广汉市教学研究教师培训中心九年级期中）若函数y ＝（m －2）x |m |＋2x ＋1是关于x 的二次函数，则m 的值为________．11．（2021·上海市罗星中学九年级期中）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加()0x x >厘米，则面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式为____．12．（2021·全国·九年级课时练习）观察：①26y x =；②235y x =-+；③2200400200y x x =++；④22y x x =-；⑤21132y x x =-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有___________________．（只填序号）三、解答题13．（2021·内蒙古·奈曼旗新镇中学九年级阶段练习）已知函数()273m y m x -=+.（1）当m 为何值时，此函数是正比例函数？（2）当m 为何值时，此函数是二次函数？14．（2021·江苏·九年级专题练习）已知y 关于 x 的函数y =（m 2+2m ）x 2+mx +m +1.（1）当m 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m 为何值时，此函数是二次函数？15．（2021·全国·九年级专题练习）已知函数()()2211y m m x m x m =-+-++．（1）当m 为何值时，这个函数是关于x 的一次函数；（2）当m 为何值时，这个函数是关于x 的二次函数．16．（2022·重庆市巴川中学校八年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝30cm ，∠A ＝60°，动点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时动点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是ts ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接EF ．(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？。
二次函数（一）——所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数一、 知识点回顾1.函数概念小结2.待定系数法求函数解析式3.图像平移法则二、 典例剖析考点1【二次函数的相关概念】例1下列函数中，哪些是二次函数？y=3(x-1)²+1 （2）y=x ＋x 1 （3）s=3-2t （4）y=21x x- (5)y=(x+3)²-x² (6) v=10πr²随堂练习11.下列结论正确的是A ．y =ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量).3．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A ．y =81x 2 B ．y C ．y =21x D ．y =a 2x考点2【二次函数的一般式】例2-1若y=（m ＋1）x 267m m --是二次函数，则m=（ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对例2-2．已知抛物线y=ax²经过点A （－2，－8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （－1，－4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.随堂练习21．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0B ．a <0，b ≠0，c ≠0C ．a >0，b ≠0，c ≠0D ．a ≠02.已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？3．如果函数y=x 232k k -++kx+1是二次函数，则k 的值一定是______考点3【常见的二次函数模型】例3-1【面积问题】如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.例3-2【密植问题】某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 假设果园增种x 棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？如果果园橙子的总产量为y 个,那么请你写出y 与x 之间的关系式.例3-3【利率问题】人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本息合计自动转存，到支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税，我如果将10000元存入银行，请写出两年后支取时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式。
二次函数弓形模型二次函数是一种常见的数学模型，它的图像形状可以是一条抛物线，也可以是一个弓形。
二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 是常数，且a不等于0。
本文将探讨二次函数弓形模型的特点、应用以及解析方法。
首先，我们来讨论二次函数弓形模型的特点。
当a大于0时，二次函数的图像开口朝上，形状为一个弓形。
当a小于0时，二次函数的图像开口朝下，形状也是一个弓形。
无论开口朝上还是朝下，二次函数的图像都具有对称轴，对称轴的方程为x=-b/2a。
对称轴将图像分为两个对称的部分，称为左半部分和右半部分。
弓形模型的顶点是二次函数图像的最低点（当a大于0时）或最高点（当a小于0时），顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
其次，我们来探讨二次函数弓形模型的应用。
弓形模型常用于描述一些现实生活中的问题，例如抛物线的轨迹、物体的运动轨迹等。
在物理学中，二次函数弓形模型可以用来描述自由落体运动中物体的高度随时间的变化，以及抛体的轨迹。
在经济学中，二次函数弓形模型可以用来描述成本、收益、供求关系等。
在工程学中，二次函数弓形模型可以用来描述一些曲线的形状，例如拱桥的形状等。
最后，我们来介绍二次函数弓形模型的解析方法。
对于给定的二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以通过以下步骤来解析该函数的图像：1.计算对称轴的坐标：对称轴的方程为x=-b/2a，计算得到对称轴的x坐标为-b/2a。
2.计算顶点的坐标：将对称轴的x坐标代入二次函数的表达式中，计算得到顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
3.计算y轴截距：将x=0代入二次函数的表达式中，计算得到y轴截距为c。
4.根据对称轴、顶点和y轴截距的坐标，绘制二次函数的图像。
当我们了解了二次函数弓形模型的特点、应用和解析方法后，就可以更好地理解和应用这一数学模型。
无论是在学术研究中还是在实际应用中，二次函数弓形模型都具有重要的地位和作用。
它不仅可以帮助我们理解自然界和社会现象中的规律，还可以用于解决一些实际问题，为我们的生活和工作带来便利和效益。
二次函数最值模型总结二次函数是数学中一种基本的函数形式，其形式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数有着许多重要的特点和性质，其中一个重要的应用就是最值模型。
最值模型能够帮助我们求解二次函数的最值问题，如最大值、最小值等。
在这篇文章中，我将对二次函数最值模型进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
首先，我们先回顾一下二次函数的一般形式f(x) = ax^2 + bx + c。
其中a决定了二次函数的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下；b和c则决定了二次函数在坐标系中的位置。
为了简化分析，我们通常假设a>0。
在最值模型中，我们通常要求解二次函数的最大值和最小值。
最大值对应二次函数的开口向下的情况，最小值对应二次函数的开口向上的情况。
接下来，我们将分别讨论这两种情况下的最值模型。
首先，考虑开口向下的情况，即a<0。
对于这种情况，我们可以通过求导数来找到二次函数的最大值。
一般来说，设f(x) = ax^2 + bx + c，其中a<0，我们可以先求导数f'(x) = 2ax + b。
接着，我们令f'(x) = 0，解得x = -b / (2a)。
将x带入原本的函数f(x)中，我们可以找到对应的最大值。
需要注意的是，由于二次函数是一个抛物线，所以在开口向下的情况下，最大值一定存在。
这是因为当x趋向于正无穷或负无穷时，二次函数的值趋向于负无穷，而当x = -b / (2a)时，二次函数的值最大。
接下来，我们来看开口向上的情况，即a>0。
对于这种情况，我们无法直接通过求导数来找到最小值。
不过，我们可以通过另一种方法来求解，即利用二次函数的顶点。
二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的顶点坐标可以通过公式(-b / (2a), f(-b / (2a)))求得。
那么，最小值就是最顶点的纵坐标。
常见的函数模型
1.线性函数模型：y=mx+b，用于描述两个变量之间的直线关系。
2. 二次函数模型：y = ax + bx + c，用于描述曲线关系，如开口向上或向下的抛物线。
3. 指数函数模型：y = ab^x，用于描述随着 x 增加而指数级增加或减少的关系。
4. 对数函数模型：y = logb(x)，用于描述递增速度逐渐减缓的关系。
5. 正弦函数模型：y = A sin (Bx + C) + D，用于描述周期性变化的关系。
6. 余弦函数模型：y = A cos (Bx + C) + D，与正弦函数类似，用于描述周期性变化的关系。
7. 常量函数模型：y = c，用于描述恒定不变的关系。
8. 分段函数模型：将函数在不同的区间定义为不同的函数，用于描述不同条件下的关系。
9. 概率密度函数模型：用于描述随机变量的分布规律，如正态分布、泊松分布等。
10. 非线性函数模型：除了上述函数模型外，还有各种非线性函数模型，如指数增长模型、对数减少模型、S形曲线模型等。
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二次函数的实际模型二次函数是数学中一类重要的函数形式，其形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
二次函数在实际问题中的应用非常广泛，可以描述许多自然现象和工程实践。
本文将介绍二次函数的实际模型，并讨论其在不同领域的应用。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像为一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
b决定了抛物线的对称轴位置，c则是y轴截距。
二、1. 物理学中的自由落体模型自由落体是物体在无空气阻力作用下下落的运动。
根据牛顿的第二定律，物体的运动满足F=ma，其中F为物体所受的合力，m为物体的质量，a为加速度。
在自由落体运动中，物体所受的合力为重力，可以表示为F=mg，其中g为重力加速度。
假设一个物体从高度h自由落下，我们可以建立二次函数模型来描述物体的高度和时间的关系。
考虑时间t为自变量，物体的高度h为因变量，我们可以得到二次函数的实际模型为h=-gt^2+vt+h0，其中v为物体的初始速度，h0为物体的初始高度。
2. 经济学中的成本函数模型在经济学中，每个企业都需要考虑生产过程中的成本。
成本函数可以用二次函数来近似描述。
假设一个企业的固定成本为c，变动成本为q^2，其中q为企业的产量。
则企业的总成本为C=c+q^2，可以用二次函数来表示。
二次函数模型可以帮助企业分析成本与产量之间的关系，从而找到最优的生产策略。
对成本函数进行求导，可以得到边际成本函数，帮助企业制定最优产量。
3. 生物学中的生长模型生物的生长过程中，通常会存在一个生长极限。
在一定条件下，生物的生长速率与其规模呈二次函数关系。
例如，人体的身高与年龄之间的关系可以用二次函数来描述。
假设一个个体的身高h和年龄t之间存在二次函数关系，可以表示为h=at^2+bt+c。
通过研究二次函数的系数，可以得到个体的生长速率、生长极限等信息。
函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。
几种不同类型的函数模型一 函数模型及数学建模函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关系用函数表现出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成．(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题．建模过程示意图：二 几种常见的函数模型1．一次函数模型：f(x)＝kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0)；2．反比例函数模型：f(x)＝k x＋b(k 、b 为常数，k ≠0)； 3．二次函数模型：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)；4．指数函数模型：f(x)＝ab x ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0，b>0，b ≠1)；5．对数函数模型：f(x)＝mlog a x ＋n(m 、n 、a 为常数，a>0，a ≠1)；6．幂函数模型：f(x)＝ax n ＋b(a 、b 、n 为常数，a ≠0，n ≠1)；7．分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．三 指、对、幂三种函数模型增长速度的比较正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数的增长差异．直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝x n (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一个“档次”上. 随着x 的增大，y ＝a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n>0)的增长速度，而y ＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x>x 0时，就有log a x<x n <a x ，此式揭示了在充分远处三种函数的变化规律．总结：（1）在区间(0,+∞)上，函数y=a x (a>1),y=log a x(a>1)和y=x n (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上；（2）随着x 的增大，y=a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n (n>0)的增长速度，表现为指数爆炸；（3）随着x 的增大，y=log a x(a>1)的增长速度会越来越慢；（4）随着x 的增大，y=a x (a>1)的图象逐渐表现为与y 轴平行一样，而y=log a x(a>1)的图象逐渐表现为与x 轴平行一样；（5）当a>1,n>0时，总会存在一个x 0,当x>x 0时，有a x ＞x n ＞log a x ；（6）当0<a<1，n<0时，总会存在一个x 0,当x>x 0时，有log a x＜x n ＜a x一次函数模型例1 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y 1(元)、y 2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．图(1) 图(2)(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．思路点拨：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．解：(1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29(x≥0)，y 2＝12x(x≥0)．(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x<9623时，y 1>y 2，即便民卡便宜；当x>9623时，y 1<y 2，即如意卡便宜． 函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求．本题由于过原点的直线是正比例函数图象，因此运用了待定系数法求得一次函数解析式，然后利用函数解析式解决了实际问题．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．例2 一个报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润．解：设每天从报社买进设每月所获利润为y ∵y＝0.8x ＋550在[250,400]上是增函数，∴当x ＝400时，y 取得最大值870.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元． 二次函数模型例3 以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100元/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的32倍；③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润．(1)分别求出该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季的最高价格；(2)在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？思路点拨：首先用标价x 表示出购买人数和旺季价格，进而可表示出利润函数，再利用函数关系解决相关问题．解：(1)设在旺季销售时羊毛衫的标价为x 元/件，购买人数为kx ＋b(k<0)，则旺季的最高价格为－b k元/件，利润函数L(x)＝(x －100)(kx ＋b)＝kx 2－(100k －b)x －100b ，x∈[100，－b k ]．当x ＝100k －b 2k ＝50－b 2k时，L(x)最大．由题意知50－b 2k ＝140，解得－b k ＝180.即旺季的最高价格是180(元/件)，则淡季的最高价格是180×23＝120(元/件)．(2)设在淡季销售时羊毛衫的标价为t 元/件，购买人数为mt ＋n(m<0)，则淡季的最高价格为－n m＝120(元/件)，即n ＝－120m ，利润函数L(t)＝(t －100)(mt －120m)＝m(t －110)2－100m ，t∈[100,120]．当t ＝110时，L(t)最大．所以，在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．二次函数模型是初等数学阶段研究的最为广泛的多项式函数，由于具有二次函数、二次方程、二次不等式、二次曲线等四个“二次”互为关联的重要特征，因此在应用型问题中是最为重要的模型．此外作为一个考点，由于二次函数涉及函数单调性、区间最值等诸多方面，因此有理由相信，今后这类试题仍将是重点．本题最为重要的特点是逆向运用二次函数最值问题，通过旺季最值的取得来获得参变量之间的关系进而对淡季羊毛衫的价格作出判断与预测．这种方法值得去关注．指数函数模型例4 按复利计算利率的一种储蓄，本金为a ，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？思路点拨：复利是计算利息的一种方法，即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息 解：已知本金为a 元．1期后的本利和为y 1＝a ＋a×r＝(1＋r)a ；2期后的本利和为y 2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r ＝a(1＋r)2；3期后的本利和为y 3＝a(1＋r)3；…x 期后的本利和为y ＝a(1＋r)x .将a ＝1000(元)，r ＝2.25%，x ＝5代入上式得y ＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×(1.0225)5≈1117.68(元)．故复利函数式为y ＝a(1＋r)x,5期后的本利和为1117.68元．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为P ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式y ＝N(1＋P)x 来表示，解决平均增长率的问题时要用到这个函数式．例5 光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y.(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)至少通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg 3≈0.4771) 解：(1)y ＝a(1－10%)x (x∈N *)(2)∵y≤13a ，∴a(1－10%)x ≤13a ，∴0.9x ≤13，x≥log 0.913＝－lg 32 lg 3－1≈10.4，∴x ＝11.对数函数模型例6 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量． (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？思路点拨：该问题已经给出了函数模型，故赋值后可求出Q 的值，进而求出v 的值．解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得：0＝5log 2Q 10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)． 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.直接以对数函数为模型的应用题不是很多，此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解． 例7 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边，上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t 为出发后的某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示S ＝f(t)的函数关系的为( C )解析：当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，S ＝vt ，图象为一条线段；当环岛两周时，S 两次增至最大，并减少到与环岛前的距离S 0；上岛考察时，S ＝S 0； 返回时，S ＝S 0－vt ，图象为一条线段．所以选C.例8 用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( B ) A 3 B 4 C 5 D 6解析：设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，所以x≥1lg2≈3.32，因此至少要洗4次． 例9 函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象如图：则函数y ＝f(x)·g(x)的图象可能是( A )解析：明确函数图象在x 轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”．∵函数y ＝f(x)·g(x)的定义域是函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排除C 、D.由于当x 为很小的正数时f(x)＞0且g(x)＜0，故f(x)·g(x)＜0.故选A.例 10 下列函数中，随x 值的增大，增长速度最快的是( D )(A)y ＝50x(x∈Z) (B)y＝1000x (C)y ＝0.4×2x －1 (D)y ＝110000·e x解析：指数“爆炸式”增长，y ＝0.4×2x －1和y ＝110000·e x 虽然都是指数型函数，但y ＝110000·e x 的底数e 较大些，增长速度更快．例11 把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，求这两个正三角形面积之和的最小值解析：设一个正三角形的边长为x(cm)，则另一个正三角形的边长为12－3x 3＝4－x(cm)，两个正三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x)2＝32[(x －2)2＋4](0＜x ＜4)．当x ＝2(cm)时，S min ＝23(cm 2)． 例12 当2<x<4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( B )(A)2x >x 2>log 2x (B)x 2>2x >log 2x (C)2x >log 2x>x 2 (D)x 2>log 2x>2x解析：法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x ，在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2>2x >log 2x.法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x ＝3，经检验易知选B. 例13 已知函数的图象如图所示，试写出它的一个可能的解析式__________________．解：可由图象的两点特征去确定．第一点：过两定点(0,1)，(10,3)．第二点：增长情况．答案：y ＝lg(99100x 2＋1)＋1(x≥0)(答案不唯一)例14 奇瑞曾在2009年初公告：2009年生产目标定为39.3万辆；而奇瑞董事长极力表示有信心达成这个生产目标，并在09年实现更为平衡的增长．我们不妨来看看近三年奇瑞的政绩吧：2006年，奇瑞汽车年销量8万辆；2007年，奇瑞汽车年销量18万辆；2008年，奇瑞汽车年销量30万辆；如果我们分别将06,07,08,09定义为第一，二，三，四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·b x ＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映奇瑞公司年销量y 与年份x 的关系？解：建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．(1)构造二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f(x)＝x 2＋7x ，故f(4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数模型g(x)＝a·b x ＋c(a≠0，b ＞0，b≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g(x)＝1253·(65)x －42，故g(4)＝1253·(65)4－42＝44.4，与计划误差为5.1. 由(1)(2)可得，f(x)＝x 2＋7x 模型能更好地反映奇瑞公司年销量y 与年份x 的关系．例15 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳能电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%(如，2003年的年生产量的增长率为36%)．(1)求2006年全球太阳能电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦)；(2)目前太阳能电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳能电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%)，这四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)?解：(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太阳能电池的年生产量的增长率依次为36%,38%,40%,42%.则2006年全球太阳能电池的年生产量为670×1.36×1.38×1.40×1.42≈2499.8(兆瓦)．(2)设太阳能电池的年安装量的平均增长率为x ，则＋4＋4≥95%，解得x≥0.615. 因此，这四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%.例16 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
二次函数的模型建立与解题技巧分享二次函数是一种常见的数学函数，广泛运用于各个领域。
在建立二次函数的模型时，需要考虑诸多因素，并掌握一些解题技巧。
本文将分享一些关于二次函数模型建立与解题的技巧和方法。
1. 二次函数模型建立二次函数的一般形式是：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
建立二次函数模型时，需要根据具体问题中的已知条件，确定函数的具体形式。
首先，我们需要找到二次函数的顶点，即函数曲线的最高或最低点。
若已知顶点的坐标为(h, k)，则二次函数的一般形式可以简化为：f(x) =a(x - h)^2 + k。
通过确定顶点坐标，我们可以快速确定函数的形状。
其次，我们需要根据已知条件来确定二次函数的系数。
已知条件可以是函数经过某点的坐标，函数的对称轴，或者函数的导数等。
根据这些已知条件，可以得到一系列的方程，通过求解这些方程来确定a、b、c的值。
最后，通过将得到的系数代入二次函数的一般形式，就可以建立起具体的二次函数模型。
2. 解题技巧分享（1）寻找函数的顶点：通过求解二次函数的导数，可以得到函数的极值点，从而确定函数的顶点。
具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，导数为f'(x) = 2ax + b。
将f'(x) = 0，解得x = -b/(2a)，代入原函数，即可求得顶点的坐标。
（2）确定函数的对称轴：二次函数的对称轴是函数曲线的镜像轴，使得函数关于对称轴对称。
对称轴的方程为x = -b/(2a)，通过这个方程可以方便地确定函数的对称轴。
（3）求解函数与坐标轴的交点：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，当x = 0时，可以求得函数与x轴的交点为(0, c)。
而当y = 0时，可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0，来确定函数与y轴的交点。
（4）应用完全平方式解题：在某些情况下，我们可以通过完全平方式，将二次函数转化为完全平方的形式。
二、新知探索三、课堂练习观察图象并完成填空函数y＝a x2的图象，当a＞0时开口．当a＜0时开口，对称轴是，顶点坐标是．| a | 越大，开口越．例1研讨二次函数f (x)＝12x2＋4 x＋6的性质与图象．解 (1) 因为f (x)＝12x2＋4 x＋6＝12(x2＋8 x＋12)＝12(x＋4)2－2．由于对任意实数x，都有12(x＋4)2≥0，所以 f (x)≥－2，并且，当x＝－4时取等号，即f(－4)＝－2．得出性质：x＝－4时，取得最小值－2．记为 y min＝－2．点(－4，－2)是这个图象的顶点．(2) 当y＝0时，12x2＋4 x＋6＝0，x2＋8 x＋12＝0，解得x1＝－6，x2＝－2．故该函数图象与x 轴交于两点(－6，0)，(－2，0)．(a≠0)，下面我们先来研究这类函数的性质．出示引例．学生在初中已经重点学过二次函数的作图，所以教师只讲述y＝x2的图象画法，其余5个函数的图象，学生分组合作解答，教师巡回观察．最后通过屏幕演示，集体对照．教师总结二次函数的图像以及相关性质。
生：观察图象，小组合作讨论．然后每组选一名代表汇报各组的交流结果，最后师生一起汇总得出结论．师生共同解决例1，教师详细板书解题过通过引例，使学生进一步掌握二次函数图象的描点作图法，并根据所做图象来分析函数y＝a x2中系数a 对图象的影响，提高学生读图能力．学生合作，集体回忆初中所学二次函数的知识．开口方向，对称轴，顶点坐标等性质应用。
通过对例1中二次三项式的代数分析，使学生对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度，更重要的是使学生掌握数形结合研究函数的方法，初步培养学生的画图、识图能力．分析图象与x轴的交点，一方面为描点作图，另一方面为下节研究函数与方程，不等式的关系做铺垫．2xy=2xy-=22xy=23xy=22xy-=23xy-=四、课堂小结五、作业布置(3) 列表作图．以x＝－4为中间值，取x 的一些值，列出这个函数的对应值表然后画出函数的图象．观察上表或图形回答：1．关于x＝－4对称的两个自变量的值对应的函数值有什么特点？答：相同．2．－4－h 与－4＋h (h＞0) 关于x＝－4对称吗？分别计算－4－h与－4＋h的函数值，你能发现什么？答：f (－4－h)＝f (－4＋h)．得出性质：直线x＝－4为该函数的对称轴．函数在(－∞，－4]上是减函数，在[－4，＋∞)上是增函数．小结例2中的函数性质：1．开口．2．最值．3．顶点．4．对称轴．5．单调性．总结：1．二次函数的性质．2．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．3．数形结合研究二次函数的方法．1..对应作业本完成2.学有余力的同学做一下同步考卷程，带领学生仔细分析各个性质的由来．回顾总结函数单调性的相关性质以及证明。
函数模型一二次函数模型一价格竞争[问题提出]：甲乙两个加油站位于同一条公路旁，为在公路上行驶的汽车提供同样的汽油，彼此竞争激烈。
一天，甲站推出“降价销售”吸引顾客，结果造成乙站的顾客被拉走，影响了乙站的赢利。
我们知道，利润是受销售价和销售量的影响及控制的，乙站为挽回损失，必须采取降价销售这一对策来争取顾客。
那么，乙站如何决定汽油的价格，既可以同甲站竞争，又可以获取尽可能高的利润呢？[分析]：在这场“价格战”中，我们将站在乙站的立场上为其制定价格对策，因此需要组建一个模型来描述甲站汽油价格下调后乙站销售量的变化情况，从而得到乙站的销售利润。
[引入参数]：为描述汽油价格和销售量间的关系，引入指标：1）价格战前，甲、乙两站汽油的正常销售价格为P（元/升）；2）降价前乙站的销售量均为L(升)；3）汽油的成本价格为W（元/升）；4）降价后乙站的销售价格为x(元/升)，这是变量；5）降价后甲站的销售价格为y(元/升)。
[模型假设]：影响乙站汽油销售量的因素，主要有以下几个：1)甲站汽油降价的幅度；2)乙站汽油降价的幅度；3)甲乙两站之间汽油销售价格之差（x-y）。
我们知道，随着甲站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随之减小；而随着乙站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随之增大；同时，随着两站之间汽油销售价格之差（x-y）的增加，乙站汽油销售量也随之减小。
假设1：在这场价格战中，假设汽油的正常销售价格保持不变；假设2：以上各因素对乙加油站汽油销售量的影响是线性的,比例系数分别为a,b,c（均为正常数）。
[建立模型]：由假设2，乙站的汽油销售量为L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)，所以，乙站的利润函数R(x,y)=(x-W)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)]。
[模型求解]：当y确定时，利润函数R(x,y)=(x-W)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)]是关于x的二次函数。
求出R(x,y)的最大值点为x*=[L+(a+c)y-P(a-b)+W(b+c)]/2(b+c)。
