建立二次函数模型解题

——二次函数压轴题常见模型小结DBO AxyC问题1：求抛物线解析式和顶点D 坐标12()()y a x x x x =--2y ax bx c=++2()y a x h k=-+十字相乘配方法（★）12轴交点(，0)、(，0)x x x 轴交点（0，c ）y 顶点（h,k ）原始三角形：重视四点围成的三角形（边、角关系）函数 点形2223(3)(1)(1)4y x x y x x y x =+-=+-=+-问题2：判断△ACD 的形状，并说明理由DBOAxyCD （-1，-4）BOA （-3,0）xyC （0，-3）问题3：E是y轴上一动点，若BE=CE,求点E的坐标DB OA xyCB（1,0）O xyC（0，-3）B（1,0）O xyC（0，-3）问题4：抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N，在线段PM、MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标。

DB OA xyC最大值及此时点P 的坐标DBO Ax yC PH DB O Ax yC PHEFDB O AxyC PHE F于G ，PH 为邻边作矩形PEGH ，求矩形PEGH 周长的最大值。

DBO Ax yCDB O AxyC PHEG问题7：在对称轴上找一点P，使得△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题8：在对称轴上找一点P，使得∣PA-PC∣最大，求出P点坐标DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题9：线段MN=1，在对称轴上运动（M 点在N 点上方），求四边形BMNC 周长的最小值及此时M 点坐标DBOAxyC已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA=OC=3,顶点为D 2y x bx c =++B （1,0）OA （-3,0）xyC （0，-3）.x=1NB ’ B ’’M将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。

高中二次函数求解技巧高中数学中，二次函数是一个重要的概念，不仅在证明和推导中经常用到，而且在解决实际问题中也有广泛的应用。

在这篇文章中，我将介绍一些高中二次函数求解的技巧，希望能为学生提供一些帮助。

一、函数图像的特征在求解二次函数的问题中，首先要了解函数图像的特征。

对于一般的二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a\ eq0$，它的图像是一个抛物线。

其中，$a$决定了抛物线的开口方向，当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。

而$b$和$c$决定了抛物线的位置。

其次，二次函数的图像与顶点有关。

顶点的横坐标为$x_0=-\\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y_0=f(x_0)$。

通过顶点可以判断抛物线的开口方向和顶点的位置。

二、求解二次方程当我们遇到一个二次方程时，可以通过因式分解、配方法或求根公式来求解。

1. 因式分解法对于形如$f(x)=ax^2+bx+c=0$的二次方程，如果可以因式分解成$(px+q)(rx+s)=0$的形式，那么方程的解可以直接得出。

要想因式分解，可以尝试将方程写成以下形式：$ax^2+bx+c=(dx+e)(fx+g)$$=dfx^2+(dg+ef)x+eg$通过比较系数，可以得到以下等式：$\\begin{cases}df=a\\\\dg+ef=b\\\\eg=c\\end{cases}$通过解这个方程组，可以得到因式分解后方程的解。

2. 配方法对于无法因式分解的二次方程，可以通过配方法来求解。

配方法的基本思路是将二次项进行分解，然后再进行因式分解。

对于形如$f(x)=ax^2+bx+c=0$的二次方程，通过配方法可以将方程变形为：$\\begin{aligned}f(x)&=ax^2+bx+c\\\\&=\\frac{a}{4a^2}x^2+\\frac{b}{2a}x+c\\\\&=\\left(\\frac{x}{2a}+\\frac{b}{4a^2}\\right)^2-\\left(\\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\right)\\end{aligned}$将左边化简为完全平方形式，右边的项即为常数项。

二次函数实际问题广泛存在于我们的日常生活中，例如物体的自由落体运动、桥梁的拱形设计、以及经济学中的成本收益问题等。

下面，我们将通过具体的例子，探讨二次函数实际问题的解题方法。

例题：一位农民有一块形状为直角三角形的土地，他计划将这块土地用于种植，需要围上篱笆。

已知直角三角形的两条直角边长度分别为a米和b米，假设篱笆的价格是每米p元，那么他需要花费多少元来围这块土地？
解题步骤如下：
根据题目，理解问题的背景和目标。

在这个问题中，我们需要找出农民围土地所需的总花费，这是我们的目标。

定义变量。

这里，直角三角形的两条直角边长度是已知的，分别为a米和b米，篱笆的价格也是已知的，为p元/米。

我们需要找出的是篱笆的总长度，我们设其为L米。

建立数学模型。

我们知道，直角三角形的周长等于其三条边的长度之和。

因此，篱笆的总长度L = a + b + 斜边长度。

而斜边的长度可以通过勾股定理求得，即斜边长度= √(a²+ b²)。

所以，L = a + b + √(a²+ b²)。

然后计算总的花费，即总价= Lp = p(a + b + √(a²+ b²))。

通过数学模型，我们得到了总价是p*(a + b + √(a²+ b²))元。

以上就是一个利用二次函数解决的实际问题。

需要注意的是，在解决这类问题时，首先要明确问题的目标，然后确定已知和未知的变量，通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，最后求解数学模型，得出实际问题的答案。

二次函数的图象与性质大题（五大题型）通用的解题思路：题型一．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．题型二．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．题型三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．题型四．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．题型五．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．题型一．二次函数的性质（共3小题）1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =． （1）若抛物线经过点(2,0)，求h 的值；（2）若对于11x h =−，22x h =，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，直接写出h 的取值范围． 【分析】（1）根据对称轴2bx a=−进行计算，得2b h =，再把(2,0)代入2(0)y x bx b =−+≠，即可作答．（2）因为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上的点，所以把11x h =−，22x h =分别代入，得出对应的1y ，2y ，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答；（3）根据121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，得出当221h −<−<−或者211h −<+<−，即可作答． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x h =， 22b bh ∴=−=−， 即2b h =，∴抛物线22y x hx =−+，把(2,0)代入22y x hx =−+， 得0422h =−+⨯， 解得1h =；（2）由（1）知抛物线22y x hx =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，221(1)2(1)1y h h h h ∴=−−+−=−，22(2)220y h h h =−+⨯=，对于11x h =−，22x h =，都有12y y >， 210h ∴−>，解得1h >或1h <−；（3）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，且1(2,)h y −关于直线x h =的对称点为1(2,)h y +，1(1,)h y +关于直线x h =的对称点为1(1,)h y −，∴当221h −<−<−时，存在12y y <，解得01h <<，当221h −<+<−时，存在12y y <， 解得43h −<<−，当211h −<+<−时，存在12y y <， 解得32h −<<−，当211h −<−<−时，存在12y y <， 解得10h −<<，综上，满足h 的取值范围为41h −<<且0h ≠．【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数223y x tx =−++． （1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴． （2）若04x ……时，y 的最小值为1，求出t 的值．（3）如果(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，则12x x +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出12t =，再根据对称轴公式求出对称轴； （2）根据抛物线开口向下，以及0x =时3y =，由函数的性质可知，当4x =时，y 的最小值为1，然后求t 即可；（3）(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出1m t −=，再令2232x tx mx a −++=+，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出122x x +=−．【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数223y x tx =−++，得3123t =−++， 解得12t =， ∴对称轴直线为21122t x t =−==−⨯； （2）当0x =时，3y =，抛物线开口向下，对称轴为直线x t =， ∴当x t =时，y 有最大值，04x ……时，y 的最小值为1，∴当4x =时，16831y t =−++=，解得74t =； （3）12x x +是定值，理由：(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上， 212m mx t m −+∴===−， 1m t ∴−=，令2232x tx mx a −++=+， 整理得：22()30x m t x a +−+−=，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点， 1x ∴，2x 是方程22()30x m t x a +−+−=的两个根，122()2()21m t x x m t −∴+=−=−−=−是定值． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,)A t −，(,)B m p ． （1）若0t =，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；（2）若0t <，点(,)C n q 在该抛物线上，m n <且5513m n +<−，请比较p ，q 的大小，并说明理由． 【分析】（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，将其代入函数解析式中解得1a =−，则函数解析式为抛物线的解析式为22y x x =−−+，再根据求对称轴的公式2bx a=−即可求解； ②令0y =，求出抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，由题意可得0p <，则点B 在x 轴的下方，以此即可解答； （2）将点A 坐标代入函数解析式，通过0t <可得a 的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B ，C 到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,0)A −， 42(2)20a a ∴+++=，1a ∴=−，∴抛物线的解析式为22y x x =−−+， ∴抛物线的对称轴为直线112(1)2x −=−=−⨯−；②令0y =，则220x x −−+=， 解得：11x =，22x =−，∴抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，点(2,0)A −，(,)B m p ，且0p <， ∴点(,)B m p 在x 轴的下方，2m ∴<−或1m >．（2）p q <，理由如下：将(2,)t −代入2(2)2y ax a x =−++得42(2)266t a a a =+++=+，0t <， 660a ∴+<， 1a ∴<−，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线(2)1122a x a a −+=−=+， 1a <−，110a∴−<<， 1111222a ∴−<+<， m n <且5513m n +<−，∴1312102m n +<−<−， ∴点(,)B m p 到对称轴的距离大于点(,)C n q 到对称轴的距离，p q ∴<．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）4．（2023•南京）已知二次函数223(y ax ax a =−+为常数，0)a ≠． （1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）若1a =−，求证：当10x −<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，则a 的取值范围是 ．【分析】（1）证明240b ac −>即可解决问题． （2）将1a =−代入函数解析式，进行证明即可． （3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a −−⨯⨯=−， 又因为0a <，所以40a <，30a −<， 所以24124(3)0a a a a −=−>，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）将1a =−代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下． 则当10x −<<时，y 随x 的增大而增大， 又因为当1x =−时，0y =， 所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212ax a−=−=，且过定点(0,3)， 又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<， 所以当0a >时，230a a −+<， 解得3a >， 故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <−， 故1a <−．综上所述，3a >或1a <−． 故答案为：3a >或1a <−．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上． （1）求抛物线的顶点(,0)m ； （2）若12y y <，求m 的取值范围；（3）若点0(x ，0)y 在抛物线上，若存在010x −<<，使102y y y <<成立，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案； （2）由12y y <，得到221296m m m m −+<−+，解不等式即可； （3）由题意可知012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线222()y x mx m x m =−+=−． ∴抛物线的顶点坐标为(,0)m ．故答案为：(,0)m ；（2）点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上，且12y y <， 221296m m m m ∴−+<−+，2m ∴<；（3）点0(x ，0)y 在抛物线上，存在010x −<<，使102y y y <<成立， ∴012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解得302m <<． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −． （1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．【分析】（1）将点(2,3)a −代入抛物线23y ax bx =++中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；（2）分类讨论当0a >和0a <，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a 的取值范围． 【解答】解（1）抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −， ∴把(2,3)a −代入23y ax bx =++得2(2)233a a ab ⨯−−+=，22b a ∴=，2223y ax a x ∴=++，∴抛物线的对称轴222a x a a=−=−，答：抛物线的对称轴为：x a =−；（2）①当0a >时，抛物线开口方向向上，对称轴0x a =−<，在x 轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小， ∴当0t <时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去， ∴当0t >时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；②当0a <时，抛物线开口方向向下，对称轴0x a =−>，在x 轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， ∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴同侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+， .m n p >>，∴此时02a t <−<−，即20t a −<<，2t ∴>，∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，p m n ∴>>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，∴当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴同侧时， (2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，答：a 的取值范围为20(2)t a t −<<>．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式2y x bx c =++，通过输入不同的b ，c 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．（1）若输入2b =，3c =−，得到如图①所示的图象，求顶点C 的坐标及抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）已知点(1,10)P −，(4,0)Q ．①若输入b ，c 的值后，得到如图②的图象恰好经过P ，Q 两点，求出b ，c 的值；②淇淇输入b ，嘉嘉输入1c =−，若得到二次函数的图象与线段PQ 有公共点，求淇淇输入b 的取值范围．【分析】（1）将2b =，3c =−，代入函数解析式，进行求解即可； （2）①待定系数法进行求解即可；②将1c =−代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)−，求出1x =−和4x =的函数值，根据抛物线与线段PQ 有公共点，列出不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）2y x bx c =++，解：当2b =，3c =−时，2223(1)4y x x x =+−=+−， ∴顶点C 的坐标为：(1,4)−−；当0y =时，2230x x +−=，即(3)(1)0x x +−=， 解得：13x =−，21x =， (3,0)A ∴−，(1,0)B ；（2）①抛物线恰好经过P ，Q则：1101640b c b c −+=⎧⎨++=⎩，解得：54b c =−⎧⎨=⎩；②当1c =−时，21y x bx =+−， 当0x =时，1y =−， ∴抛物线过(0,1)−，当1x =−时，11y b b =−−=−，当点(1,)b −−在点P 上方，或与点P 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：10b −…， 解得：10b −…；当4x =时，1641415y b b =+−=+，当点(4,154)b +在点Q 上方，或与点Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：1540b +…，154b ≥−； 综上：10b −…或154b ≥−． 【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2024•浙江模拟）设二次函数24(y ax ax c a =−+，c 均为常数，0)a ≠，已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：（1）判断m ，n 的大小关系，并说明理由； （2）若328m n −=，求p 的值；（3）若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围．【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线2x =，据此可解决问题． （2）根据（1）中发现的关系，可求出m 的值，据此即可解决问题． （3）根据m 和n 相等，所以三个数中的负数只能为p ，据此可解决问题． 【解答】解：（1）m n =．因为二次函数的解析式为24y ax c =+， 所以抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=， 又因为1522−+=， 所以点(1,)m −与(5,)n 关于抛物线的对称轴对称， 故m n =．（2）因为m n =，328m n −=， 所以8m =．将(0,3)和(1,8)−代入函数解析式得：348c a a c =⎧⎨++=⎩，解得13a c =⎧⎨=⎩所以二次函数的解析式为243y x x =−+．将2x =代入函数解析式得，224231p =−⨯+=−．（3）由（1）知，m n =， 所以m ，n ，p 中只能p 为负数． 将(0,3)代入函数解析式得，3c =， 所以二次函数解析式为243y ax ax =−+． 将1x =−代入函数解析式得，53m a =+． 将2x =代入函数解析式得，43p a =−+．则430530a a −+<⎧⎨+≥⎩，解得34a >，所以a 的取值范围是34a >． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +．（1）若13y y =，求抛物线的对称轴； （2）若231y y y <<，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；（2m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +，13y y =， ∴该抛物线的对称轴为：直线22m m x −++=，即直线1x =； （2）当0m >时，可知点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +从左至右分布， 231y y y <<，∴232232m m m m m m ++⎧−<⎪⎪⎨−++⎪−>⎪⎩，解得12m <<； 当0m <时，3m m m ∴<−<−+，21y y ∴>，不合题意，综上，m 的取值范围是12m <<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过(2,4)A −−和(3,1)B 两点．（1）求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过(23,)C m n −，(72,)D m n −两点，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）已知点(6,5)M −，(2,5)N ，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线2x =，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解； （3）分0a >时，0a <时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，得：424931a b c a b c −+=−⎧⎨++=⎩，解得：162b a c a =−⎧⎨=−−⎩；（2）抛物线经过(23,)C m n −，2,)m n −两点， ∴抛物线的对称轴为：直线237222m mx −+−==，抛物线开口向下，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，32k ∴−…，即5k …； （3）①当0a >时，6x =−，5y …，即2(6)(1)(6)625a a a ⨯−+−⨯−−−…， 解得：1336a …，抛物线不经过点N ，如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：1336a …；②当0a <时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则2244(62)(1)544ac b a a a a a−−−−−==，解得：11a =−，2125a =−， 当11a =−时，111112222(1)a −=−=⨯−， 此时，定点横坐标满足116222a−−……，符合题意； 当11a =−时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点，如图③，当2125a =−时，11111312222()25a −=−=⨯−，此时顶点横坐标不满足116222a−−……，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N 时，把(2,5)N 代入2(1)62y ax a x a =+−−−，得：252(1)262a a a =⨯+−⨯−−， 解得：54a =−，当54a =−时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N ，结合图象可知：54a <−时，抛物线与线段MN 有一个交点，综上所述：a 的取值范围为：1336a …或1a =−或54a <−．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)，1(6,)y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上． （1）当13y =时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,1)−−，当自变量x 的值满足12x −……时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0a >时，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上．若21y y c <<，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)，(1,1)−−代入抛物线解析式得出a ，b 的关系，然后求出对称轴，再分0a >和0a <，由函数的增减性求出a 的取值范围；（3）先画出函数图象，再根据21y y c <<确定m 的取值范围． 【解答】解：（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 0632x +∴==， ∴抛物线的对称轴为直线3x =；（2）2(0)y ax bx c a =++≠过(0,3)，(1,1)−−，3c ∴=，31a b −+=−， 4b a =+，∴对称轴为直线422b a x a a+=−=−，①当0a >时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴412a a+−−…， 解得4a …，04a ∴<…；②当0a <时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴422a a+−…， 解得45a −…， ∴405a −<…，综上：a 的取值范围是405a −<… 或04a <…；（3）点(0,3)在抛物线2y ax bx c =++上，3c ∴=，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上， ∴对称轴为直线422m mx m −+==−， ①如图所示：21y y c <<，6m ∴<且06232m +−>=， 56m ∴<<；②如图所示：21y y c <<，46m ∴−>， 10m ∴>，综上所述，m 的取值范围为56m <<或10m >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）12．（2024•保山一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过(2,0)A −，(3,0)B ，(0,6)C 三点；点P 是第一象限内抛物线上的动点，点P 的横坐标是m ，且132m <<． （1）试求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN x ⊥轴并交BC 于点N ，作PM y ⊥轴并交抛物线的对称轴于点M ，若12PM PN =，求m 的值．【分析】（1）将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）用m 表示出PM 和PN ，建立关于m 的方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知，将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式得，4209306a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得116a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为26y x x =−++．（2）将x m =代入抛物线得表达式得，26y m m =−++， 所以点P 的坐标为2(,6)m m m −++． 令直线BC 的函数解析式为y px q =+，则306p q q +=⎧⎨=⎩，解得26p q =−⎧⎨=⎩，所以直线BC 的函数解析式为26y x =−+． 因为132m <<，且抛物线的对称轴为直线12x =，所以12PM m =−． 又因为点N 坐标为(,26)m m −+，所以226(26)3PN m m m m m =−++−−+=−+． 因为12PM PN =， 所以211(3)22m m m −=−+，解得m =， 又因为132m <<，所以m =． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线28y x =−+与抛物线2y x bx c =−++交于A ，B 两点，点B 在x 轴上，点A 在y 轴上． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点C 是直线AB 上方抛物线上一点，过点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AB 于点D ，E ．当38DE AB =时，求点C 的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A ，B 两点坐标，再将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．（2）根据AOB ECD ∆∆∽得到CD 与OB 的关系，建立方程即可解决问题． 【解答】解：（1）令0x =得，8y =， 所以点A 的坐标为(0,8)； 令0y =得，4x =， 所以点B 的坐标为(4,0)；将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式得，81640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的函数表达式为228y x x =−++． （2）因为//CD x 轴，//CE y 轴， 所以AOB ECD ∆∆∽， 则CD DEOB AB=． 因为38DE AB =，4OB =， 所以32CD =． 令点C 坐标为2(,28)m m m −++， 则点D 坐标为21(2m m −，228)m m −++所以2211()222CD m m m m m =−−=−+，则213222m m −+=，解得1m =或3．当1m =时，2289m m −++=； 当3m =时，2285m m −++=； 所以点C 的坐标为(1,9)或(3,5)．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0,3)A −，(3,0)B ．点P 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当23x −<<时，求y 的取值范围；（3）当抛物线2y x bx c =++上P 、A 两点之间部分的最大值与最小值的差为34时，求m 的值； （4）点M 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为1m −．过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM ∆与PNM ∆的面积相等时，直接写出m 的值． 【分析】（1）依据题意，将A 、B 两点代入解析式求出b ，c 即可得解；（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由23x −<<可以判断得解； （3）依据题意，分类讨论计算可以得解；（4）分别写出P 、Q 、M 、N 的坐标，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，所以Q 到PM 的距离等于N 到PM 的距离，可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，将(0,3)A −，(3,0)B 代入解析式2y x bx c =++得，3c =−，930b c ++=，2b ∴=−，3c =−，∴抛物线的解析式为223y x x =−−；（2）由题意，抛物线2223(1)4y x x x =−−=−−，∴抛物线223y x x =−−开口向上，当1x =时，y 有最小值为4−，当2x =−时，5y =；当3x =时，0y =， ∴当23x −<<时，45y −<…；（3）由题意得，2(,23)P m m m −−，(0,3)A −，①当0m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为3−， 2323(3)4m m ∴−−−−=，解得：1m =−②当02m ……时，P 、A 两点之间部分的最大值为3−，最小值为223m m −−或4−， 显然最小值是4−时不合题意， ∴最小值为223m m −−， 233(23)4m m ∴−−−−=， 解得：32m =或12m =， 32m =时，P 、A 两点之间部分的最小值为4−，故舍去， ③当2m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为4−， 2323(4)4m m ∴−−−−=，解得：1m =+，12+<，故舍去，综上，满足题意得m 的值为：1或12； （4）由题意得，2(1,4)M m m −−，(1,0)N m −，2(0,23)Q m m −−， 设PM y kx b =+，代入P 、M 两点， 2223(1)4mk b m m m k b m ⎧+=−−⎨−+=−⎩， 解得：1k =−，23b m m =−−，23PM y x m m =−+−−，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，Q ∴到23PM y x m m =−+−−的距离与N 到23PM y x m m =−+−−的距离相等，Q 到23PM y x m m =−+−−的距离=，N 到23PMy x m m =−+−−的距离=， 2|||4|m m ∴−=−+，当2m <−时，24m m −=−，解得：m =，当20m −……时，24m m −=−，解得：m =，当02m <…时，24m m =−，解得：m =当2m <时，24m m =−，解得：m =综上，满足题意得m ． 【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论． 题型四．抛物线与x 轴的交点（共14小题）15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数2(2)2(y mx m x m =−−−为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）不论m ． （3）在22x −……的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；（2）当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，即可得到定点坐标；（3）利用抛物线过两个定点，得到函数y 随x 增大而增大，代入解析式求出m 值即可． 【解答】解：（1）①当0m =时，函数解析式为22y x =−，此一次函数与x 轴有交点； ②当0m ≠时，函数解析式为2(2)2y mx m x =−−−，令0y =，则有2(2)20mx m x −−−=，△2222(2)4(2)44844(2)0m m m m m m m m =−−⨯−=−++=++=+…． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）222(2)222()22y mx m x mx mx x m x x x =−−−=−+−=−+−， 当1x =时，0y =， 当0x =时，2y =−，∴不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2)−故答案为：(1,0)，(0,2)−，（3）若0m =，函数22y x =−，y 随x 增大而增大，当2x =时，2y =，与题干条件符； 当0m ≠时，函数2(2)2y mx m x =−−−是二次函数，①当0m >时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，当22x −……的范围中时，y 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，2y =，即242(2)2m m =−−−，解得0m =（舍去）．②当0m <时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，其增减性依旧是y 随x 的增大而增大和①相同．综上分析，0m =．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C −，点D 为抛物线的顶点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求ABD ∆的面积【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A 和点D 坐标，再根据||2D ABD AB y S ∆⋅=解析求解即可．【解答】解：（1）将(3,0)B ，(0,3)C −代入2y x bx c =++得0933b c c =++⎧⎨=−⎩，解得23b c =−⎧⎨=−⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =−−；（2）将223y x x =−−配方得顶点式2(1)4y x =−−， ∴顶点(1,4)D −，在223y x x =−−中，当2230y x x =−−=时， 解得1x =−或3x =， (1,0)A ∴−，4AB ∴=， ∴||44822D ABD AB y S ∆⋅⨯===． 【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，且与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)．直线2y kx =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，交抛物线2y ax bx c =++于点C ，D （点C 在点D 的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点，当2k =时，求PCD ∆面积的最大值； （3）若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；（2）求出直线与抛物线的交点C ，D 坐标，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，设点P坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<，则点(,22)H m m +，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m 的函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）分0k >和0k <两种情况讨论即可．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，1a ∴=−，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)， ∴抛物线的解析式为2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++；（2）当2k =时，联立方程组22234y x y x x =+⎧⎨=−++⎩，解得10x y =−⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， (1,0)C ∴−，(2,6)D ，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，如图，设点P 坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<， ∴点(,22)H m m +，2234(22)2PH m m m m m ∴=−++−+=−++，221331273(2)()22228PCD S PH m m m ∆∴=⨯=−++=−−+， 302−<，12m −<<， ∴当12m =时，S 有最大值，最大值为278． PCD ∴∆面积的最大值为278； （3）令0x =，则2y =， ∴点B 坐标为(0,2)，令0y =，则20kx +=， 解得2x k=−，∴点A 坐标为2(k−，0)， 若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点， 当0k >时，如图所示，则21k−<−， 解得02k <<； 当0k <时，如图所示：则24k−>， 解得102k −<<；综上所述，k 的取值范围为02k <<或102k −<<．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．18．（2024•西湖区校级模拟）已知21()y ax a b x b =+++和22()(y bx a b x a a b =+++≠且0)ab ≠是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当1a =，3b =−时，求抛物线21()y ax a b x b =+++的顶点坐标； （2）判断这两条抛物线与x 轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…．当20y …时，求自变量x 的取值范围．【分析】（1）把a ，b 的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令10y =，20y =，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到0a <，且24()224ab a b a b a−+=+，然后得到30b a =−>，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当1a =，3b =−时，2221()23(1)4y ax a b x b x x x =+++=−−=−−， ∴顶点坐标为(1,4)−；（2）3个，理由为：令10y =，则2()0ax a b x b +++=， 即()(1)0ax b x ++=， 解得：1bx a=−，21x =−， 令20y =，则2()0bx a b x a +++=， 即()(1)0bx a x ++=， 解得：1ax b=−，21x =−， 又a b ≠且0ab ≠，∴两条抛物线与x 轴的交点总个数为3个；（3）抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…，0a ∴<，且24()224ab a b a b a−+=+，整理得：30b a =−>，∴22()y bx a b x a =+++的开口向上，且抛物线与x 轴交点的横坐标为113x =，21x =−， 如图所示，借助图象可知当13x …或1x −…时，20y …．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．19．（2024•三元区一模）抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴正半轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是抛物线上不同的两点． ①当1x ，2x 满足什么数量关系时，12y y =； ②若12122()x x x x +=−，求12y y −的最小值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若12y y =，则M 、N 关于抛物线对称轴对称，即可求解；②22121122121212(43)(43)()()4()y y x x x x x x x x x x −=−+−−+=+−+−，而12122()x x x x +=−，得到12y y −的函数表达式，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =−−， 即2(1)(3)(43)y a x x a x x =−−=−+， 即33a =， 解得：1a =，故抛物线的表达式为：243y x x =−+；（2）如图，。

二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．一、利用二次函数解决几何面积最大问题1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是：利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18）（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。

问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x-）（米），根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。

二次函数的实际应用类型1 建立二次函数模型解决几何图形面积问题设长方形的长(或宽)为自变量，从而表示出另一边长，然后将面积表示为长(或宽)的二次函数，最后利用二次函数的性质解题．1．现有一块矩形场地，如图所示，长为40 m，宽为30 m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？2．(安徽中考)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？3．(莆田中考)如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长AB＝4米，∠ABC＝60°.设AE＝x米(0＜x＜4)，矩形的面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式；(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草，已知红色花草的价格为20元/平方米，黄色花草的价格为40元/平方米．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号)?类型2 建立二次函数模型解决体育运动中的问题从实际问题中抽象出抛物线上点的坐标，从而确定二次函数解析式，然后根据二次函数的性质解决问题．通常球飞行的高度对应函数的纵坐标，球飞行的距离对应函数的横坐标．4．(随州中考)如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t.已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？5．如图，足球场上守门员在O处发出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取43＝7)(3)运动员乙要抢到第二个落点D的足球，他应再向前跑多少米？(取26＝5)参考答案1.(1)由题意知，B场地宽为(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自变量x的取值范围为0＜x＜30.(2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1<0，∴当x＝15时，y最大＝225.即当x是15 m时，种植菊花的面积＝20－12x.∴y ＝AB·BC＝32a ·x ＝32(20－12x)x ，即y ＝－34x 2＋30x(0<x<40)． (2)∵y＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300.∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值是300平方米． 3.(1)连接AC ，BD.AC 与EH 交于点M.∵花坛为菱形，∴EH ∥BD ，EF ∥AC.∵∠ABC ＝60°，∴△ABC ，△BEF 是等边三角形．∴EF＝BE ＝AB －AE ＝4－x.在Rt △AEM 中，∠AEM ＝∠ABD＝30°，则EM ＝32x.∴EH ＝2EM ＝3x.又∵EF＝BE ＝4－x ，∴S ＝EH·EF＝3x ·(4－x)，即S ＝－3x 2＋43x.(2)∵红色花草价格比黄色花草便宜，∴当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低．又∵S＝－3x 2＋43x ＝－3(x －2)2＋43，∴当x ＝2时，S 最大＝4 3.易得S 四边形ABCD ＝8 3.此时四个三角形的面积为83－43＝4 3.∴最低总费用为：20×43＋40×43＝2403(元)．答：当x ＝2时，购买花草所需的总费用最低，最低总费用是2403元．4.(1)将(0，0.5)和(0.8，3.5)代入y ＝at 2＋5t ＋c ，得a ＝－2516，c ＝0.5，∴y ＝－2516t 2＋5t ＋0.5＝－2516(t －85)2＋4.5.∴足球飞行的时间是1.6秒时，足球离地面最高，最大高度是4.5米．(2)当x ＝28时，28＝10t ，∴t ＝2.8.当t ＝2.8时，y ＝－2516×19625＋5×2.8＋0.5＝2.25.∵0＜2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．5.(1)设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y ＝a(x －6)2＋4.由已知：当x ＝0时，y ＝1.即1＝36a＋4，∴a ＝－112.∴表达式为y ＝－112(x －6)2＋4. (2)令y ＝0，－112(x －6)2＋4＝0.∴(x－6)2＝48.解得x 1＝43＋6≈13，x 2＝－43＋6<0(舍去)．∴足球第一次落地点C 距守门员约13米．(3)第二次足球弹出后的距离为CD ，根据题意：CD ＝EF(即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位)，∴2＝－112(x －6)2＋4.解得x 1＝6－26，x 2＝6＋2 6.∴CD ＝||x 1－x 2＝46≈10.∴BD＝13－6＋10＝17(米)．答：他应再向前跑17米．。

专题01 二次函数的定义压轴题四种模型全攻略考点一 二次函数的识别 考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项 考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 列二次函数关系式考点一 二次函数的识别例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（ ）A ．31y x =-B ．231y x =-C ．2y x =D ．323y x x =+-【答案】B【解析】【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【详解】解：A 、31y x =-，是一次函数，故此选项不符合题意；B 、231y x =-，是二次函数，故此选项符合题意；C 、2y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意；D 、323y x x =+-，未知数的最高次为3，不是二次函数，故此选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式2y ax bx c =++(0a ≠)，是解题的关键．【变式训练】1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①26y x =；②235y x =-+；③2200400y x x =+；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】【分析】 根据二次函数的定义判断即可．典型例题【详解】①26y x =是二次函数；②235y x =-+是二次函数；③2200400y x x =+是二次函数；④32y x x =-不是二次函数；⑤213y x x=-+不是二次函数； ⑥()22121y x x x =+-=+不是二次函数；这六个式子中二次函数有①②③故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的定义，即一般地，形如2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．2．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①55y x =-；②231y x =-；③3243y x x =-；④2221y x x =-+；⑤21y x =．其中是二次函数的是____________． 【答案】②④##④②【解析】【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①y =5x -5为一次函数；②y =3x 2-1为二次函数；③y =4x 3-3x 2自变量次数为3，不是二次函数；④y =2x 2-2x +1为二次函数；⑤y =21x 函数式为分式，不是二次函数． 故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，熟记定义“函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0”是解题关键．考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数223y x x =-+的一次项系数是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的定义：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项作答．【详解】解：二次函数y =x 2－2x +3的一次项系数是－2；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式训练】1．（2022·全国·九年级）设a ，b ，c 分别是二次函数y ＝﹣x 2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ） A ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝0B ．a ＝﹣1，b ＝0，c ＝3C ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝3D ．a ＝1，b ＝0，c ＝3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的一般形式可得答案．【详解】解：二次函数y ＝﹣x 2+3的二次项系数是a ＝﹣1，一次项系数是b ＝0，常数项是c ＝3；故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．2．（2022·全国·九年级）已知二次函数y ＝1﹣5x ＋3x 2，则二次项系数a ＝___，一次项系数b ＝___，常数项c ＝___．【答案】 3 -5 1【解析】【分析】形如：()20y ax bx c a =++≠这样的函数是二次函数，其中二次项系数为,a 一次项系数为,b 常数项为,c 根据定义逐一作答即可．【详解】解：二次函数y ＝1﹣5x +3x 2，则二次项系数a ＝3，一次项系数b ＝﹣5，常数项c ＝1，故答案为：3，﹣5，1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．考点三 根据二次函数的定义求参数例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则m 的值为 _____．【答案】-1【解析】【分析】若y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；【详解】 解：由题意得：21012m m -≠⎧⎨+=⎩， 解得：m =-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．【变式训练】1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知(2)21m y m x x =-+-是y 关于x 的二次函数，那么m 的值____．【答案】2-【解析】 【分析】根据二次函数的定义，(2)m m x -中，未知数x 的指数为2，系数不为0，列式计算即可． 【详解】解：∵(2)21m y m x x =-+-是y 关于x 的二次函数，∵2m =且20m -≠，∵2m =-．故答案为：2-．【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．2．（2021·广东广州·九年级期中）关于x 的函数()21m m y m x -=+是二次函数，则m 的值为__________．【答案】2【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数，求出m 的值即可解决问题．【详解】解：∵()21m m y m x -=+是关于x 的二次函数，∵m 2-m =2，m +1≠0，解得：m =2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程；牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键．考点四 列二次函数关系式例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x ，第一季度的总产值为y （亿元），则y 关于x 的函数解析式为________________．【答案】233y x x =++【解析】【分析】根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解．【详解】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x ，∵二月份的为()111x x +⨯=+三月份的为()()()2111x x x +⨯+=+第一季度的总产值为y （亿元），则()2211133y x x x x =++++=++ 故答案为：233y x x =++【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．【变式训练】1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x 元，则可卖出()35010x -件，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为【答案】2105607350y x x =-+-【解析】【分析】由题意分析出每件商品的盈利为：()21x -元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简即可.【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：()21x -元，所以：()()2135010y x x =--2102103507350x x x =-++-2105607350x x =-+-故答案为：2105607350y x x =-+-【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键. 2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在长方形ABCD 中，8cm AB =，6cm AD =，点M ，N 从A 点出发，点M 沿线段AB 运动，点N 沿线段AD 运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设cm AM AN x ==，阴影部分的面积为2cm y ，则y 与x 之间的关系式为______．【答案】y =-212x +48 【解析】【分析】先求出212AMN S x =，进而即可得到答案． 【详解】由题意得：21122AMN S AM AN x =⋅=， ∵阴影部分的面积=6×8-212x ，即：y =-212x +48． 故答案是：y =-212x +48．本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积．一、选择题1．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）下列函数中是二次函数的是（ ）A ．y =2x +1B ．22y x =-C ．y =-8xD ．3y x = 【答案】B【分析】根据二次函数的定义进行判断．【详解】解：A 、该函数是一次函数，不是二次函数，故本选项错误；B 、该函数是二次函数，故本选项正确；C 、该函数是反比例函数，故本选项错误；D 、该函数是三次函数，故本选项错误；故选B ．【点睛】本题考查二次函数的定义．熟知一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．2．（2020·北京房山·九年级期中）二次函数24+3y x x =-的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A ．1，4，3B ．0，4，3C ．1，-4，3D ．0，-4，3【答案】C【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如()2,,0y ax bx c a b c a =++≠是常数，的函数，叫做二次函数．其中x ，y 是变量，,,a b c 是常量， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项作答．【详解】解：解:二次函数24+3y x x =-的二次项系数是1，一次项系数是4-，常数项是3．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常数项时，不要漏课后训练3．（2022·江苏·九年级专题练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x ，两年后这台机器约为y 万元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y ＝100（1﹣x ）B ．y ＝100﹣x 2C ．y ＝100（1+x ）2D ．y ＝100（1﹣x ）2【答案】D【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．【详解】解：根据题意知y ＝100（1﹣x ）2，故选：D ．【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．4．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）若函数24(m 2)3m m y x mx +-=++-是关于x 的二次函数，则m 的取值为（ ）A ．3-B ．2C ．3D ．3-或2 【答案】D【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可． 【详解】解：由二次函数的定义可知，当22042m m m +≠⎧⎨+-=⎩时，该函数是二次函数， ∵m =-3或m =2，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键．5．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在Rt ABO 中，AB OB ⊥，且3AB OB ==，设直线x t =截此三角形所得的阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系式为（ ）A ．S t =B ．212S t =C ．2S t =D ．2112S t =- 【答案】B【分析】Rt ABO 中，AB OB ⊥，且3AB OB ==，可得45AOB A ∠=∠=︒；再由平行线的性质得出45OCD A ∠=∠=︒，即45COD OCD ∠=∠=︒，进而证明CD OD t ==，最后根据三角形的面积公式，求出S与t 之间的函数关系式．【详解】解：如图所示，∵Rt ABO 中，AB OB ⊥，且3AB OB ==，∵45AOB A ∠=∠=︒，∵CD OB ⊥，∵CD AB ∥，∵45OCD A ∠=∠=︒，∵45COD OCD ∠=∠=︒，∵CD OD t ==，∵12OCD S OD CD =⨯△ ()21032t t =<≤， 即：()21032S t t =<≤． 故选：B ．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系．二、填空题6．（2021·全国·九年级课前预习）把y ＝（2－3x ）（6＋x ）变成y ＝ax ²＋bx ＋c 的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．【答案】 23x - －16 12【解析】略7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，CD ∵AB 于D ，BD ＝1，设BC ＝x ，AD ＝y ，当x ＞2时，y 关于x 的函数解析式为 _____．【答案】21122y x x【分析】由BD =1，AD =y ，可得AB =AC =y +1，在Rt ∵ACD 中，CD 2=AC 2-AD 2=2y +1，在Rt ∵BCD 中，CD 2=BC 2-BD 2=x 2-1，即得2y +1=x 2-1，可得答案．【详解】解：∵BD =1，AD =y ，∵AB =y +1，∵AB =AC ，∵AC =y +1，在Rt ∵ACD 中，CD 2=AC 2-AD 2=（y +1）2-y 2=2y +1，在Rt ∵BCD 中，CD 2=BC 2-BD 2=x 2-12=x 2-1，∵2y +1=x 2-1，∵2112y x =-． 故答案为：21122yx x ． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CD 2作等量，列出y 与x 的关系式．8．（2021·重庆·垫江第八中学校九年级阶段练习）若函数y ＝（a ＋1）x |a |＋1是二次函数，则a 的值是 ______ ．【答案】１【分析】根据二次函数的定义，列出关于a 的方程和不等式，即可求解．【详解】根据二次函数的定义可得：1210a a ⎧+=⎨+≠⎩，解得：a =1． 故答案为：1．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的最高次项的次数为2，二次项系数不等于零，是解题的关键．9．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）已知2324m m ym x 是二次函数，则m 的值为___________．【答案】-1【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解：∵2324m m y m x 是二次函数，∵2322m m --=且40m -≠，解得：1m =-．故答案为：-1【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数()20y ax a =≠是解题的关键．10．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；②3y x=-；③2431y x x =-+；④2(1)y m x bx c =-++；⑤y =(x -3)2-x 2 【答案】③【分析】根据二次函数的定义： 一般地,把形如y =ax ²+bx +c (a ≠0)(a 、b 、c 是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可．【详解】解：①2y ax bx c =++，必须满足a ≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；②等号右边为分式，故②不是二次函数；③2431y x x =-+是二次函数，故③是二次函数；④2(1)y m x bx c =-++，1m =时，该式不是二次函数；⑤2222(3)6969y x x x x x x =--=-+-=-+，该式不是二次函数；故答案为：③．【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键．三、解答题11．（2022·全国·九年级专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？（1）y ＝3x —1；（2）232y x =+ ；（3）3232y x x =+ ；（4）2221y x x =-+ ；（5）2()1y x x x =-+ ；（6）2y x x -=+【答案】（2）（4）是二次函数【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解∵（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1．（2）是二次函数，因为符合二次函数的概念．（3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3．（4）是二次函数，因为符合二次函数的概念．（5）不是二次函数，因为原式整理后为y =－x ．（6）不是二次函数，因为x －2为分式，不是整式．故（2）（4）是二次函数．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 均为常数，且0a ≠）的函数关系称为二次函数是解题的关键．12．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y =（a +1） 21ax ++（a ﹣2）x （a 为常数），求a 的值：(1)函数为二次函数；(2)函数为一次函数．【答案】(1)a =1(2)a =0或﹣1【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出a 2+1=2，a +1≠0得出即可；（2）利用一次函数的定义分别求出即可．(1) 当 21210a a ⎧+=⎨+≠⎩时，函数为二次函数， 解得：a =±1，a ≠-1，∵a =1；(2)当 211120a a a ⎧+=⎨++-≠⎩时，函数为一次函数， 解得：a =0，当a +1=0，即a =﹣1时，函数为一次函数，所以，当函数为二次函数时，a =1，当函数为一次函数时，a =0或﹣1．【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．13．（2022·全国·九年级课时练习）一个二次函数234(1)21kk y k x x -+=-+-．（1）求k 的值．（2）求当x =3时，y 的值？【答案】（1）k =2；（2）14【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k 所满足的式子，求解即可；（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x =3求解即可． 【详解】解：（1）依题意有234210k k k ⎧-+=⎨-≠⎩， 解得：k =2，∵k 的值为2；（2）把k =2代入函数解析式中得：221y x x =+-，当x =3时，y =14，∵y 的值为14．【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键．14．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数y ＝（k 2﹣k ）x 2+kx +k +1（k 为常数）．（1）若这个函数是一次函数，求k 的值；（2）若这个函数是二次函数，则k 的值满足什么条件？【答案】（1）k ＝1；（2）k ≠0且k ≠1【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；（2）由二次函数的定义求解可得．【详解】解：（1）若这个函数是一次函数，则k 2﹣k ＝0且k ≠0，解得k ＝1；（2）若这个函数是二次函数，则k 2﹣k ≠0，解得k ≠0且k ≠1．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键．15．（2022·浙江宁波·八年级期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x 元．(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x 的代数式表示）．(2)设销售利润为y ，请写出y 关于x 的函数关系式．(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？【答案】(1)()4010x +(2)21060400y x x =-++(3)24元/千克【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；（2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论；（3）令y =480，求出x 的值，再根据题意对x 的值进行取舍即可．（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x ）千克，故答案为：（40+10x ）．（2）根据题意得，()()40102818y x x =+--整理得21060400y x x =-++（3）令480y =，代入函数得，21060400480x x -++=解方程，得14x =，22x =因为要尽可能地清空库存，所以2x =舍去取4x =此时荔枝定价为28424-=（元/千克）答：应将价格定为24元/千克．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．。