黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高三上学期期末考试 数学(理科)试题(word版,含答案)

数学试题答案1.C当n=0,1,2,3,4时,x=3n+2分别为2,5,8,11,14,所以A∩B={5,8,11},故选C.2.A由11+i=a+b i(a,b∈R),得12−12i=a+b i,则a=12,b=-12,所以a+b=0.故选A.3.C由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,前n项和为S n,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的总两数为1(1-5)1-=5×(1-25)1-2=155.故选C.4.B,)(aba⊥-,222=⋅⇒=⋅-=⋅-∴bababaacos||a ba ba b⋅〈⋅〉===⋅∴，所以a与b的夹角是π4.故选B.5.D采用捆绑法和插空法.从4名男生中选择3名,进而将3个相邻的男生捆在一起,看成1个男生,方法数是A43种,这样与第4个男生看成是2个男生;然后6个女生任意排的方法数是A66种;最后在6个女生形成的7个空隙中,插入2个男生,方法数是A72种.综上所述,不同的排法共有A43A66A72种.故选D.6.B因为函数()()2sin0,02f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象的相邻两个零点的距离为2π，所以22Tππ=⨯=，所以222Tππωπ===，所以()()2sin2x xfϕ=+，又因为()0f，所以()02sinfϕ=sinϕ=因为02πϕ<<，所以4πϕ=，所以()2sin24f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选B.7.B由MN=3,NP=4,MP=5,可知∠PNM=90°,则球心O在过PM中点O'与面MNP垂直的直线上,因为MNP面积为定值,所以高最大时体积最大,根据球的几何性质可得,当O'Q过球心时体积最大,因为四面体Q-MNP的最大体积为10,所以13×S△MNP×O'Q=13×12×3×4×O'Q=10,可得O'Q=5,在△OO'P中,OP2=OO'2+O'P2,则R2=(5-R)2+254,得R=258,故球的表面积为4π×=625π16,故选B.8.C()0f x >等价于22ln e 2ln e 2ln ax x ax x x x +>+=+．令函数()e x g x x =+，则()e 10x g x '=+>，故()g x 是增函数．2ln e e 2ln ax x ax x +>+等价于2ln (0)ax x x >>，即2ln xa x>．令函数2ln ()x h x x=，则222ln ()xh x x -'=．当(0,e)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(e,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减．max 2()(e)eh x h ==.故实数a 的取值范围为2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选C.9.BCD将函数()sin f x x =的图象向左平移π3个单位长度，可得πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），可得π()sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A 选项，令()ππππsin 2sin 23333h x g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则π06h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2πsin 063h ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数π3g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭不是偶函数，A 不正确；对于B 选项，因为πsin 006g ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故π6x =-是函数()g x 的一个零点，B 正确；对于C 选项，当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,322x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数()g x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，C 正确；对于D 选项，因为对称轴满足2π,Z 32x k k ππ+=+∈，解得ππ,Z 122k x k =+∈，则0k =时，π12x =，所以函数()g x 的图象关于直线π12x =对称，D 正确．故选BCD ．10.ABD由题意可知：324a ⨯+=，故2a =-，故A 正确；乙组样本数据方差为9436⨯=，故B 正确；设甲组样本数据的中位数为i x ，则乙组样本数据的中位数为32i x -，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C 错误；甲组数据的极差为max min x x -，则乙组数据的极差为()()()max min max min 32323x x x x ---=-，所以两组样本数据的样本极差不同，故D 正确；故选ABD.11.ACD对于A ：因为1111B D A C ⊥，111B D A A ⊥，1111A C A A A ⋂=，所以11B D ⊥面11A C CA ，因为1AC ⊂面11A C CA ，所以111B D AC ⊥，同理可证11AD AC ⊥，因为1111AD B D D ⋂=，所以1A C ⊥平面11AB D ，因为AE ⊂平面11AB D ，所以1AC AE ⊥总成立，故选项A 正确；对于B ：平面EFB 即平面11BDD B ，而平面EFA 即平面11AB D ，所以当E 向1D 运动时，二面角A EF B --大小不变，选项B 不正确；对于C：建立如图所示的空间几何体，则()()()1,1,0,0,1,0,0,0,0A B C ，()()11,0,0,1,0,1D D ，因为,E F 在11B D上，且2EF =，故可设()13,1,1,,,122E t tF t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，112t ≤≤()1,,1AE t t =--，设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，又()1,0,0AB =- ，所以()()010x t x t y z -=⎧⎨-+-+=⎩，取1y =，则()0,1,m t = ，平面ABC 的法向量为()0,0,1n =，所以cos ,m n = ，设二面角E AB C --的平面角为θ，则θ为锐角，故cos θ==当112t ≤≤≤≤cos 2θ≤，当且仅当1t =时cos θ取最大值2即θ取最小值45︒，故C 正确；对于D ：因为111122BEF S EF BB =⨯⨯==点A 到平面11BDD B ，所以体积为1134212⨯=，即体积为定值，故选项D 正确．故选ACD.12.ABD 对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->，所以()1122112121x x x x +=-++=---()112121112x x ⎡⎤-++-⋅=-⎢⎥-⎣⎦≤，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，所1221x x +-的最大值为1-，故A 正确；对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=，10x +>，0y z +>，所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，所以()4411115531313y z x x y z x y z ⎡+⎡⎤++=++≥+=⎢⎢⎥++++⎢⎣⎦⎣，，当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+，即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立，所以411x y z +++的最小值为3，故B 正确；对于C ，因为0x >，0y >，所2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-（舍去）或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，令x y t +=，2x y s +=，则2x t s =-，y s t =-，因为0xy >，所以x ，y 同号，则s ，t 同号，所以224442x y s t x y x y t s +=--≤-=-++，当且仅当2s t t s =，即s 时取等号，所以22x yx y x y+++的最大值是4-当且仅当x =时，等号成立，故D 正确．故选ABD.13.0.4因为ξ符合正态分布N (1,σ2),所以曲线的对称轴是x=1,因为ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,所以ξ在(1,2)内取值的概率为0.4.14.e 2由题意,得f'(x)=a xe x-ae x lnx (e x )2=ax -alnx e x.又切线斜率k=12.∴f'(1)=ae =12,∴a=e2.15.12依据题意作出图象,如图:因为直线P A 过点P 且与圆x 2+y 2=1相切于点A ,所以PA ⊥OA ,所以|PA|=B 2-B 2=B 2-1,要使得PA 最小,则OP 要最小,由题可得OP 的最小值就是点O 到直线l :y=x-2的距离=2.此时,|PA|min =B min 2-1=(2)2-1=1,所以∠OPA=π4,由切线的对称性可得∠BPA=π2,|PB|=1,所以△P AB 的面积为S △P AB =12×1×1=12.16．[3因为点)A m 在抛物线上，所以3322pm m p =⇒=，点A 到准线的距离为313224p p +=，解得12p =或6p =．当6p =时，114m =<，故6p =舍去，所以抛物线方程为2x y =，∴3)(3)A B ，，所以OAB 是正三角形，边长为其内切圆方程为22(2)1x y +-=，如图所示，∴32E ⎫⎪⎪⎝⎭，．设点(cos 2sin )F ，θθ+（θ为参数），则3π·cos 3sin 3226OE OF θθθ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，∴·[33OE OF ∈- ．17.解(1)设等差数列}{n a 的公差为d.则a 1+4d =21,5a 1+5×42d =2(a 1+5d)+3,...................................（2分）解得a 1=1,d =5,...................................（3分）所以n a =5n-4....................................（4分）(2)由(1)可得Sn=(5n-3)n2,...................................（5分）所以n b =nS n=25n−3,1+n b =n+1Sn+1=25n+2,...................................（6分）则1+⋅n n b b =4(5n-3)(5n+2)=4515n−3−15n+2,...................................（8分）所以Tn=4512−17+17−112+…+15n−3−15n+2=4512−15n+2=2n5n+2....................................（10分）18.解(1)因为3b sin A=a (2+cos B ),由正弦定理得3sin B sin A=sin A (2+cos B )...........................（2分）因为A ∈(0,π),所以sin A>0,所以3sin B-cos B=2,...........................（3分）所以2sin (B-π6)=2.............................（4分）因为B ∈(0,π),所以B-π6=π2,即B=2π3.........................（5分）(2)=3,即ac=4............................（6分）所以a+c ≥2a =4,当且仅当a=c=2时取等号............................（7分）又由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2+ac ≥3ac=12,所以b ≥23,......（9分）当且仅当a=c=2时取等号...........................（10分）所以△ABC 的周长的最小值为4+2 3...........................（12分）19.解(1)由散点图判断，y ＝c ＋dx更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的经验回归方程．...................（2分）(2)由ii x u 1=，先建立y 关于u 的经验回归方程，由于＝7.0490.787≈8.96，...........（4分）所以c ^＝y －d ^·u ＝3.63－8.96×0.269≈1.22，...........（6分）所以y 关于u 的经验回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ，..........（7分）所以y 关于x 的经验回归方程为y ^＝1.22＋8.96x ...........（8分）(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －(1.22＋8.96x )x ≥78.840，..........（10分）所以x ≥10，..........（11分）所以至少印刷10000册才能使销售利润不低于78840元．..........（12分）20.解(1)连接AC 交BD 于N ，连接.MN 在正方形ABCD 中，AC BD N ⋂=，∴N 是AC 的中点.又M 是AP 的中点，∴MN 是APC △的中位线，MN PC ∥，.........................（2分）∵MN ⊂面BMD ，PC ⊄面BMD ，∴PC ∥平面BMD..........................（4分）（2）取AD 的中点O ，连接OP ，.ON 在PAD 中，PA PD =，O 是AD 的中点，∴OP AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴OP ⊥平面.ABCD .........................（6分）在正方形ABCD 中，O ，N 分别是AD 、BD 的中点，∴ON AD ⊥，∴OP ，OD ，ON 两两相互垂直，分别以OD ，ON ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.O xyz -6)P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，26,0,1(-M ∴6()2DM =- ，(6)DP =- ，(4,4,0).DB =-设平面MBD 的一个法向量1(,,)n x y z =，则11,,n DM n DB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即30,2440,x z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩取1x =，得1n =，∴1n = 是平面MBD 的一个法向量;.........................（8分）同理，2n =是平面PBD 的一个法向量，.........................（10分）∴121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅==（11分）设二面角M BD P --的大小为θ，由图可知，1cos cos n θ=<，22n >= ，且θ为锐角，∴30θ=︒，故二面角M BD P --的大小是30.︒.........................（12分）21.解(1)∵抛物线C 上的点到准线的最小距离为1,∴2=1,解得p=2,..........（2分）∴抛物线C 的方程为y 2=4x.......（3分）(2)由(1)可知焦点为F (1,0).由已知可得AB ⊥CD ,∴两直线AB ,CD 的斜率都存在且均不为0.设直线AB 的斜率为k ,则直线CD 的斜率为k1-,∴直线AB 的方程为y=k (x-1).联立2=4,=(-1),消去x 得ky 2-4y-4k=0.......（5分）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4.设M (x M ,y M ),由y M =k (x M -1),得x M =+1=22+1,∴+1......（7分）同理可得N (2k 2+1,-2k )......（8分）∴|NF|=(22+1-1)2+(-2)2=22(2+1),.....（9分）∴22(1+2)=4×1+2||≥8,.....（11分）当且仅当|k|=1||,即k=±1时,等号成立.∴|MF|·|NF|的最小值为8......（12分）22.解(1)由题意可得()f x 的定义域为(0)+∞,，()()23212xae x f x x x x -'=--()()32x x ae x x--=，...............................................（1分）当0a ≤时，易知0x x ae ->，所以，由()0f x '<得02x <<，由()0f x '>得2x >，......................（3分）所以()f x 在(0)2,上单调递减，在()2+∞,上单调递增........................（4分）(2)由(1)可得()()()32xx ae x f x x --'=，当02x <<时320x x-<，记()x g x x ae =-，则()1x g x ae '=-，因为()f x 在区间(0)2,内有两个极值点，所以()g x 在区间(0)2,内有两个零点，所以0a >...............................（6分）令()0g x '=，则ln x a =-，①当ln 0a -≤，即1a ≥时，在(0)2,上，0()g x '<，所以在(0)2,上，()g x 单调递减，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意...................（7分）②当ln 2a -≥，即210a e<≤时，在(0)2,上，()0g x '>，所以在(0)2,上，()g x 单调递增，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意....................（8分）③当0ln 2a <-<，即211a e <<时，()g x 在(0)ln a -,上单调递增，在(ln 2)a -,上单调递减，由()00g a =-<知，要使()g x 在区间(0)2,内有两个零点，必须满足()()2ln ln 10220g a a g ae -=-->⎧⎪⎨=-<⎪⎩，解得221a e e <<，...........................................（11分）综上所述，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭..............................................................（12分）。

齐齐哈尔市2007-2008学年度高三数学上学期期末试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．垂直于同一平面的两条直线 （ A ） A ．平行B ．相交C ．垂直D ．异面2．等比数列{}n a 中，42a =，则26a a =⋅ （ B ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 3．若sin()2πα+=，则cos 2α的值为 （ D ） A ．23 B ．13 C ．23- D ．13- 4．已知(3,2)OM =-，(5,2)ON =-，则12MN 等于 （ Ｃ ）A ．(8,1)B ．(8,4)-C ．(4,2)-D ．(8,1)-- 5．“05x <<”是“不等式|2|3x -<”成立的 （ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件6．将一张画有平面直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2,0)与点(2,4)-重合，如果这时点(7,3)与点(,)m n 也重合，则m n +的值为 （ C ）A ．4B ．－4C ．10D ．－107．如果函数(0,1)xy a a a -=>≠是增函数，那么函数1()log 1af x x =+的图像大致是 （8．已知直线012=++y a x 与直线03)1(2=+-+by x a 互相垂直，则||ab 的最小值为DCA（ B ）A ．1B ．2C ．4D ．59．从2008名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行．则每人入选的概率为（ C ）A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为251004D ．都相等，且为40110．把函数的图象)3π4cos(+=x y 沿x 轴平移||ϕ个单位，所得图象关于原点对称，则||ϕ的最小值是 （ B ） A ．6π5 B ．6π C ．32π D ．34π 11．设n a是(3n 的展开式中x 一次项的系数(2,3,4)n =，则23418234183333a a a a ++++的值为 （ C ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．1812．已知函数()lg()f x x a =+的图像与x 轴交点的横坐标为7-，()f x 的反函数记为1()f x -，若1(2)fx -、1(lg12)f -、1(1)f x -+成等差数列，则x 的值为（ A ）A ．lg 2B ．lg 4C ．lg 6D ．lg12二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．复数512i-的共轭复数是__________． 12i - 14．由11a =，131nn n a a a +=+给出的数列{}n a 的第34项是 ．110015．已知311lim21=-++→x bx ax x ，则b 的值为__________．－5 16．给出下列4个命题： ①直线12:1-=x y l 到531:2+=x y l 的角是4π；②若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则0a =或2a =； ③曲线24y x x =-上取两点(4,0)A ，(2,4)B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点Ｐ的坐标为(3,3)；④已知双曲线2224mx my -=的一条准线方程为4,y =则其渐近线方程为y =． 其中错误的命题有 ．（把你认为错误命题的序号都填上）①④三、解答题：本答题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知函数2)4()2sin (cos 21(0)f x a x x a π=+--<．（1）当R x ∈时，求函数)(x f 最小正周期；（2）若131224,x ππ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦∈时，求)(x f 的最大值和最小值．18．(本小题满分12分)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．（1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数1ξ≤”的概率．19．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=21AB ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1、B 、M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N ． （1）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1； （2）求二面角B —A 1N —B 1的正切值．20．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是ＮＭB 1C 1BED 1A 1D CA大于０的常数）．（1）求椭圆的方程（结果用含m 的式子表示）；（2）设Q 是椭圆上一点，过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若2M Q Q F =，求直线l 的斜率．21．（本小题满分12分）已知函数3()3f x x tx m =-+（R x ∈，m t 、为实常数）是奇函数． （1）求实数m 的值和函数()f x 的图像与x 轴的交点坐标； （2）设()|()|([0,1])g x f x x =∈，求()g x 的最大值()F t ． 22．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足条件：1(2)a a a =>，且21(N )2(1)nn n a a n a *+=∈-．（1）证明：2n a >； （2）证明：122(2)n a a a n a +++<+-；（3）若1n nx a =，求数列{}n x 的通项公式． 答案：17．（本小题满分10分） （1）解：()cos(2)cos 212f x a a x x π=-+-sin 2cos21a x x a =+-2sin(2)13a x a π=-+-，∴ 最小正周期ππ==22T ． （2）解：由（1），知 ()2sin(2)13f x a x a π=-+-又13,x ππ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦∈，∴32,364x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴1sin(2)322x π⎡-∈-⎢⎣⎦，()1,1f x a ⎤∈+--⎦ ， ∴最大值、最小值分别为1)1a -、1-． 18．(本小题满分12分)（1）解：ξ可能取的值为0，1，2．∵2,1,0,)(36342=⋅==-k C C C k P k k ξ． 所以，ξ的分布列为：（1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE ．（3）解：由（1），“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为54)1()0()1(==+==≤ξξξP P P ．19．（本小题满分12分）（解法一）（1）证明： 取A 1B 1的中点F ，连EF 、C 1F . ∵E 为A 1B 中点， ∴EF21BB 1.又∵M 为CC 1中点，∴EF C 1M ，∴四边形EFC 1M 为平行四边形， ∴EM ∥FC 1．而EM ⊄平面A 1B 1C 1D 1，FC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1． ∴EM ∥平面A 1B 1C 1D 1.（2）解： 由（1）EM ∥平面A 1B 1C 1D 1，EM ⊂平面A 1BMN ， 平面A 1BMN ∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1N ， ∴A 1N ∥EM ∥FC 1， ∴N 为C 1D 1中点.B 1C 1B Ｈ ED 1A 1D CA ＭＮＦ过B 1作B 1H ⊥A 1N 于H ，连BH ，根据三垂线定理BH ⊥A 1N ， ∠BHB 1即为二面角B —A 1N —B 1的平面角．设AA 1=a ，则AB =2a . ∵A 1B 1C 1D 1为正方形， ∴A 1N =5a .又∵△A 1B 1H ∽△NA 1D 1, ∴B 1H =54522aa a a =⋅． 在Rt △BB 1H 中， tan BHB 1=455411==a a H B BB , 即二面角B —A 1N —B 1的正切值为45． （法二）(1) 证明：建立如图所示空间直角坐标系，设AB =2a ,AA 1=a (a ＞0),则 A 1（2a ,0,a ），B (2a ,2a ,0)，C (0,2a ,0)，C 1(0,2a ,a ).∵E 为A 1B 的中点，M 为CC 1的中点, ∴E （2a ,a ,2a ）,M (0,2a , 2a). ∴EM ∥A 1B 1C 1D 1.（2)解：设平面A 1BM 的法向量为n =(x ,y ,z ), 又A 1=（0，2a ,－a ）, =(－2a ,0,2a), 由n ⊥A 1,n ⊥,得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.022,02azax az ay ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.2,4z y z x 不妨设z a =，则n =(2,4a a ,a )．而平面A 1B 1C 1D 1的法向量为n 1=(0,0,1). 设二面角为θ，则|cos θ|=214||||||11=⋅n n n n ． 又二面角为锐二面角, ∴cos θ=214．从而tan θ=45． 20．（本小题满分12分）（1）解：设所求椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由已知得c m =，12c a =，∴2a m =，b =．故椭圆方程为2222143x y m m +=． （2）设00(,)Q x y ，直线l ：()y k x m =+，则点(0,)M km ． ∵2MQ QF =，∴0022123m m x -==-+，00123km kmy +==+． ∵Q 在椭圆上，∴22222499143m k m m m+=，解得k =±故直线l的斜率为±21．（本小题满分12分）（1）解：由于函数()f x 是奇函数，易得0m =．设32()3(3)0f x x tx x x t =-=-=．①当30t <时，上述方程只有一个实数根0x =，所以()f x 的图像与x 轴的交点坐标为(0,0)；②当30t =时，上述方程有三个相等的实数根0x =，所以()f x 的图像与x 轴的交点坐标为(0,0)；③当30t >时，上述方程的解为10x =、2x =3x =，所以()f x 的图像与x 轴的交点坐标分别为：(0,0)，(0)，0)． （2）解：/2()3()f x x t =-，①当0t ≤时，则在[0,1]上()f x 为增函数，所以()(0)0f x f ≥=，所以()()g x f x =，故()(1)13F t f t ==-．②当0t >时，则在[0,1]上/()3(f x x x =．（ⅰ）1即1t ≥时，则在[0,1]上()f x 为减函数，所以()(0)0f x f ≤=，所以()()g x f x =-，故()(1)31F t f t =-=-．（ⅱ）01t <<时，在[0,1]上/()f x 、()f x 、()g x 变化情况如下：当130213t t-≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩ 或 130t -<，即114t ≤<时，()g x 的最大值()2F t =当130213t t-≥⎧⎪⎨<-⎪⎩，即104t <<时，()g x 的最大值()(1)13F t f t ==-．综上，()g x的最大值为：113()41()2(1)431(1)t tF t tt t⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩．22．（本小题满分12分）（1）证明：①当1n=时，∵12a a=>，∴命题成立②假设n k=时命题成立，即有2ka>，当1n k=+时，∵21222(1)kkkaaa+-=--2(2)2(1)kkaa-=>-，∴12ka+>，即当1n k=+时，命题成立．（或221[(1)1]12(1)21kk kk ka aaa a+-+==⋅--11[(1)+2]21kkaa=⋅-+-，∵1>1ka-∴11[1+2]221ka>⋅+=．）综上所述，当Nn*∈时，2na>成立．（2）∵212(1)nnnaaa+=-，∴211(2)2(1)nnnaa na--=≥-又∵-11122221nnnnaaaa-----=⋅-，111112211=01111n nn n na aa a a---------<⇒<---，∴-1-1112222212n nnnnaa aaa------=⋅<-．∴-121212222(2)222n nn na aaa n------<<<<≥，∴12(2)(2)(2)n a a a -+-++-1111(2)(1)242n a -≤-++112(2)112n a -=-⋅-12(2)(1)2(2)2n a a =--<-， ∴122(2)n a a a n a ++⋯+<+-．（3）方法一：∵212(1)n n n a a a +=-，∴221221112()n n n n n a a a a a +-==-，∵1n nx a =∴212()n n n x x x +=-， 即2112()(2)n n n x x x n --=-≥，∴221111112()2()242n n n n x x x x --+-=-+=-， 221111112()2()242n n n n x x x x --+-=-+=- 22212222112[2()]2()22n n x x +--=-=-=22-1112222211122()()22n n n a x a--+++-=-=， ∴ 12112()22n n a x a--=-．方法二：∵21111()()222n n x x +-=- 设12n n b x =-，则1112b a=-，0n b >，212n n b b +=，∴1lg lg 22lg n n b b +=+，∴1lg lg22(lg lg2)n n b b ++=+，即1lg22lg2n n b b +=，∴{lg2}n b 是等比数列，公比2q =，首项12l g 2l g (1)b a =-，11222lg 22lg(1)lg(1)n n n b a a --=-=-，即12212(1)n n x a--=-，∴ 12112()22n n a x a--=-．。

2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1＜0}，N={y|y=log2（x+2），x∈M}，则M∩N=（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．∅2．（5分）已知复数z=，则z的共轭复数等于（）A．2i B．﹣2i C．i D．﹣i3．（5分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 4．（5分）若（x2+1）（x﹣3）9=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+…+a11（x﹣2）11，则a1+a2+…+a11的值为（）A．0B．﹣5C．5D．2555．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A．B．C．D．6．（5分）点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1B．C．2D．27．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①∀α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβ②∀φ∈R，f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数③命题p：∃x∈R，x2+x+1=0，则命题¬p：∀x∈R，x2+x+1≠0④∃a＞0，a≠1，函数f（x）=log a x与y=a x的图象有三个交点⑤命题甲“成等比数列”是命题乙“lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差数列”的充要条件．A．1B．2C．3D．48．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V49．（5分）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k的值是（）A．B．C．2D．210．（5分）已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．11．（5分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1，，对于有穷数列，任取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）（x∈R），则不等式f（x2）＜的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若变量x、y满足，若2x﹣y的最大值为﹣1，则a=．14．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=12，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2+1的取值范围是．15．（5分）在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．猜想在n边形中，不等式成立．16．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，该棱锥的高为，且点P，A，B，C，D都在半径为1的同一个球面上，则顶点P与面ABCD的中心G之间的距离PG=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在锐角△ABC中，于点D．（1）求证：tanA=2tanB；（2）求CD的长．18．（12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=，PC=．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）已知棱PA上有一点E，若二面角E﹣BD﹣A的大小为45°，求AE：EP的值．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x﹣y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点S（0，﹣）的动直线L交椭圆C于A、B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e﹣x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=xf（x）+tf'（x）+e﹣x．，存在实数x1，x2∈[0，1]使得2g（x1）＜g（x2）成立，求实数t的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，HB=2．．（1）求DE的长；（2）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若，求PD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R*，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈R+，且，求证：a+2b+3c≥9．2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1＜0}，N={y|y=log2（x+2），x∈M}，则M∩N=（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．∅【解答】解：∵M={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），N={y|y=log2（x+2），x∈M}=（0，log23），∴M∩N=（0，1）．故选：A．2．（5分）已知复数z=，则z的共轭复数等于（）A．2i B．﹣2i C．i D．﹣i【解答】解：∵复数z====﹣2i，∴复数z的共轭复数等于2i故选：A．3．（5分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：由已知得：a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；b==15；c=17，∴c＞b＞a．故选：D．4．（5分）若（x2+1）（x﹣3）9=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+…+a11（x﹣2）11，则a1+a2+…+a11的值为（）A．0B．﹣5C．5D．255【解答】解：在（x2+1）（x﹣3）9=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+…+a11（x﹣2）11中，令x=2，得a0=（4+1）×（﹣1）=﹣5；令x=3，得a0+a1+a2+a3+…+a11=（9+1）×0=0；∴a1+a2+a3+…+a11=5．故选：C．5．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A=2，m=2．再由最小正周期为，可得=，解得ω=4，∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=2sin（4x+φ）+2．再由x=是其图象的一条对称轴，可得4×+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=，故符合条件的函数解析式是y=2sin（4x+）+2，故选：D．6．（5分）点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1B．C．2D．2【解答】解：由题意作图如下，当点P是曲线的切线中与直线y=x﹣2平行的直线的切点时，最近；故令y′=2x﹣=1解得，x=1；故点P的坐标为（1，1）；故点P到直线y=x﹣2的最小值为=；故选：B．7．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①∀α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβ②∀φ∈R，f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数③命题p：∃x∈R，x2+x+1=0，则命题¬p：∀x∈R，x2+x+1≠0④∃a＞0，a≠1，函数f（x）=log a x与y=a x的图象有三个交点⑤命题甲“成等比数列”是命题乙“lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差数列”的充要条件．A．1B．2C．3D．4【解答】解：①当α=β=0时，sin（α+β）=sinα+sinβ，故∀α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβ是假命题；②当φ=时，f（x）=sin（2x+φ）=cos2x为偶函数，故∀φ∈R，f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数是假命题；③命题p：∃x∈R，x2+x+1=0，则命题¬p：∀x∈R，x2+x+1≠0为真命题；④关于方程log a x=a x的解由以下结论：当a∈（0，e﹣e）时，方程有三个实数根；当a∈[e﹣e，1）或a=时，有1个实数根；当a∈（1，）时，有两个实数根；当a＞时，无实数根．据此可知：∃a∈（0，e﹣e），使函数f（x）=log a x与y=a x的图象有三个交点，正确．∃a＞0，a≠1，函数f（x）=log a x与y=a x的图象有三个交点，故④是真命题；⑤“成等比数列”⇔“x=1“，“lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差数列”⇔“x=1“，故命题甲“成等比数列”是命题乙“lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差数列”的充要条件是真命题；故选：C．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4【解答】解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记为V1==．V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选：C．9．（5分）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k的值是（）A．B．C．2D．2【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小．切线长为2，∴PA=PB=2，∴圆心到直线l的距离为d=．直线方程为y+4=kx，即kx﹣y﹣4=0，∴=，解得k=±2，∵k＞0，∴所求直线的斜率为：2．故选：C．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意：a2=a1+d=2d，a3=a1+2d=3d，b2=b1q=d2q，b3=b1q2=d2q2，∴==，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令=t，t是正整数，则有q2+q+1=，∴q=，对t赋值，验证知，当t=8时，有q=符合题意．故选：D．11．（5分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1，，对于有穷数列，任取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）∴即单调递减，又=a x，故0＜a＜1所以由，得a={}是首项为=，公比为的等比数列，其前n项和S n=1﹣＞∴n≥5所以P==故选：D．12．（5分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）（x∈R），则不等式f（x2）＜的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意：定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）（x∈R），不妨设f（x）=1，所以不等式f（x2）＜，化为，即x2＞1，解得x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若变量x、y满足，若2x﹣y的最大值为﹣1，则a=﹣1．【解答】解：由不等式组画出如下图形：由题意画出可行域为图示的封闭三角形这一阴影图形，又∵目标函数为：z=2x﹣y等价于得到y=2x﹣z，由该式子可以知道该直线的斜率为定值2，当目标函数代表的直线在可行域内任意平行移动当过直线x+y+2=0与y=a的交点（﹣2﹣a，a）时，使得目标函数取最大值，故即令z=2（﹣2﹣a）﹣a=﹣1∴a=﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=12，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2+1的取值范围是（，+∞）．．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=12，即有m=12，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=6+c，a2=6﹣c，（c＜6），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞12，则c＞3，即有3＜c＜6．由离心率公式可得e1•e2=•==，由于1＜＜4，则＞，则e1•e2+1＞+1=．∴e1•e2+1的取值范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．15．（5分）在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．猜想在n边形中，不等式成立．【解答】解：在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．…归纳可得：在n边形A1A2A3…A n中，；故答案为：；16．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，该棱锥的高为，且点P，A，B，C，D都在半径为1的同一个球面上，则顶点P与面ABCD的中心G之间的距离PG=．【解答】解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，∴四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，∴顶点P与面ABCD的中心G之间的距离：PG==．故选故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在锐角△ABC中，于点D．（1）求证：tanA=2tanB；（2）求CD的长．【解答】（1）证明：∵sin（A+B）=，sin（A﹣B）=，∴，可得：，可得：=2，所以，tanA=2tanB．（2）解：∵＜A+B＜π，sin（A+B）=，∴tan（A+B）=﹣，即，将tanA=2tanB，代入并整理得：2tan2B﹣4tanB﹣1=0．解得，舍去负值得，∴．设AB边上的高为CD，则．由AB=3，得：．所以AB边上的高等于．18．（12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8P（ξ=0）==P（ξ=2）==P（ξ=4）==P（ξ=6）==P（ξ=8）==分布列：数学期望Eξ==19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=，PC=．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）已知棱PA上有一点E，若二面角E﹣BD﹣A的大小为45°，求AE：EP的值．【解答】证明：（1）取AB中点H，连结PH，∵△PAB是正三角形，H为AB的中点，AB=2，∴PH⊥AB，且PH=，∵四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=，∴DH==，又PC=，∴PC2=PH2+CH2，∴PH⊥HC，∵AB∩HC=H，∴PH⊥平面ABCD，∵PH⊂平面APB，∴平面PAB⊥平面ABCD．解：（2）以H为原点，HA为x轴，在平面ADBC是中过H作AB的垂线为y轴，以HP为z轴，建立空间直角坐标系H﹣xyz，设=，（0＜λ＜1），则==（2﹣λ，0，），=（2，，0），设=（x，y，z）是平面EBD的法向量，则，取x=﹣，得=（﹣，2﹣λ），∵=（0，0，）是平面ABD的一个法向量，二面角E﹣BD﹣A的大小为45°，∴cos45°=|cos＜＞|==，∵0＜λ＜1，∴λ=，∴=1．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x﹣y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点S（0，﹣）的动直线L交椭圆C于A、B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由消去y，得：x2+（2b﹣4）x+b2=0，因直线y=x+b与抛物线y2=4x相切，∴△=（2b﹣4）2﹣4b2，∴b=1．…（2分）∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴，…（4分）故所求椭圆方程为．…（5分）（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：，当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1由解得，即两圆公共点（0，1）因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）…（7分）（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）（ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L：y=kx﹣．由，消去y得：（18k2+9）x2﹣12kx﹣16=0，记点A（x1，y1）、B（x2，y2），则，…（9分）∵，∴====0．∴TA⊥TB，…（11分）综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e﹣x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=xf（x）+tf'（x）+e﹣x．，存在实数x1，x2∈[0，1]使得2g（x1）＜g（x2）成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，f′（x）=﹣，∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．∴f（x）增区间为（﹣∞，0），减区间为（0，+∞）．（2）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得2g（x1）＜g（x2）成立，则2[g（x）]min＜[g（x）]max．∵g（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x=，∴g′（x）=﹣，①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，∴2g（1）＜g（0），即t＞3﹣＞1；②当t≤0时，g′（x）＞0，g（x）在[0，1]上单调递增，∴2g（0）＜g（1），即t＜3﹣2e＜0；③当0＜t＜1时，在x∈[0，t]，g′（x）＜0，g（x）在[0，t]上单调递减在x∈（t，1]，g′（x）＞0，g（x）在[t，1]上单调递增所以2g（t）＜max{g（0），g（1）}，即2＜max{1，}﹣﹣（*）由（1）知，g（t）=2 在[0，1]上单调递减，故≤2≤2，而≤≤，所以不等式（*）无解综上所述，存在t∈（﹣∞，3﹣2e）∪（3﹣，+∞），使得命题成立．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，HB=2．．（1）求DE的长；（2）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若，求PD的长．【解答】解：（1）∵弦DE⊥AB，∴DH=HE．由相交弦定理可得：DH2=AH•HB=8×2，解得DH=4．∴DE=8．（2）由切割线定理可得：PC2=PD•PE．∴=PD（PD+8），解得PD=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：（1）由曲线C：ρ2cos2θ=1，得ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ=1，∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣y2=1．（2）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的直角坐标方程为﹣y﹣2=0，联立，得：2x2﹣12x+13=0，设直线l与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴直线l被曲线C截得的弦长：|AB|=•==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R*，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈R+，且，求证：a+2b+3c≥9．【解答】解：（1）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故f（x+2）=m﹣|x|，由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．（2）由a，b，c∈R，且++=m=1，∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=1++++1++++1=3++++++≥3+6=9，当且仅当======1时，等号成立．所以a+2b+3c≥9．。

(上)高三理科数学期末考试 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、 设全集{|4,}U x x x N =<∈，{0,1,2}A =，{2,3}B =，则U BC A 等于（ ）A ．{3}B ．{2,3}C ．∅D ．{0,1,2,3} 2、已知i 是虚数单位，复数=（ ）A ．i ﹣2B ．i+2C ．﹣2D ．2 3、已知ln x π=，y π21log =，12z e-=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x << 4、执行如图的程序框图,若9p =,则输出的S = （ ）A ．910 B ．718C ．89D ．255、已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．48cm 3B ．98cm 3C ．88cm 3D ．78cm 36、若x y ，满足约束条件22121x y x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩且向量()3,2a =，()b x y =，，则•a b 的取值范围是（ ）A ．5[,4]4 B ．7[,5]2 C ．7[,4]2 D ．5[,5]47、在公差不为零的等差数列{a n }中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则()268log b b 的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．18、若a ，R b ∈，命题:p 直线y ax b =+与圆221x y +=相交；命题2:1q a b >-则p 是q 的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9、若先将函数3cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） A ．6x π= B ．3x π= C ．2x π= D ．56x π=10、在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是（ ） A ．2 B ．-1 C ．-2 D ．-411、设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （2）=0，当x ＞0时，有()()20xf x f x x'-<恒成立，则不等式()20x f x >的解集是（ ） A ．（﹣2，0）∪（2，+∞）B ．（﹣2，0）∪（0，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）12、过曲线C 1：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 1作曲线C 2：222x y a +=的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：()220y px p =>于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|=|MN|，则曲线C 1的离心率为（ ） A ．B ．﹣1 C ．+1 D ．第II 卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13、二项式832()x x-的展开式中的常数项为． 14、由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为．15、在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足()274cos cos 2C 22A -B +=，若2a =，则C ∆AB 的面积的最大值是．16、设f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当x ∈[﹣2，0]时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间（﹣2，6]内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是___________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本题满分12分)在等差数列{}n a 中，122311a a +=，32624a a a =+-，其前n 项和为n S ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足1n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.(本题满分12分)甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班各出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432,乙队每人答对的概率都为23.设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分.(1)求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.19.(本题满分12分)如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （1）求证：AD ⊥BM ；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．20.(本题满分12分)设椭圆1C ：22143x y +=，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点．（1）是否存在直线l ，使得2OM ON ⋅=-，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；（2）若AB 是椭圆1C 经过原点O 的弦，且//MN AB ，求证：2||||AB MN 为定值．21.(本题满分12分)已知函数(),()2ln mf x mxg x x x=-=． （1）当m=1时，判断方程()()f x g x =在区间（1，+∞）上有无实根． （2）若x ∈（1，e]时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲已知ABC ∆中，,AB AC D =为ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点（不与点A ．C 重合），延长BD E 至，延长AC BC 交的延长线于F ．（1）求证：CDF EDF ∠=∠；（2） 求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ= （1）求曲线C 的直角坐标方程。

黑龙江省齐齐哈尔市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知复数z满足，则z＝（）A .B .C .D .2. （2分）设全集U=｛-2，-1，0，1，2｝，集合A=｛-1，1，2｝，B=｛-1，1｝，则为（）A . {1,2}B . {1}C . {2}D . {-1,1}3. （2分） (2019高一上·哈尔滨月考) 下列是偶函数的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·天水开学考) 已知向量 =（1，1，0）， =（﹣1，0，2）且k + 与2 ﹣互相垂直，则k的值是（）A . 1B .C .D .5. （2分）已知函数f（x）=sin2x，则 =（）A . 1B .C .D .6. （2分）设条件p:a2+a>0, 条件q:a>0; 那么p是q的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2016高一下·蓟县期中) 已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A . 24B . 20C . 16D . 128. （2分） (2019高一上·重庆月考) 要得到函数的图象，可由余弦函数的图像经过下述哪种变换得到（）A . 横坐标缩小到原来的倍,再向左平移个单位B . 横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位C . 先向右平移个单位，横坐标缩小到原来的倍D . 先向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍9. （2分） (2018高二上·定远期中) 设双曲线的中心为点，若直线和相交于点，直线交双曲线于，直线交双曲线于，且使则称和为“ 直线对”.现有所成的角为60°的“ 直线对”只有2对，且在右支上存在一点，使，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·衡水期末) 已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）= 则函数g（x）=2f（x）﹣1的零点个数为（）个．A . 5B . 6C . 7D . 811. （1分） (2016高一上·黑龙江期中) 设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）= ．取函数f（x）=2﹣|x| ．当K= 时，函数fK（x）的单调递增区间为________．12. （1分） (2016高二下·姜堰期中) 展开（1+2x）3=1+6x+mx2+8x3 ，则m=________．13. （1分） (2016高一下·和平期末) 如图所示，如果执行如图所示的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p=________．14. （1分）(2016·上饶模拟) 已知向量与的夹角是120°，| |=3，| + |= ，则||=________．15. （1分） (2016高一上·黑龙江期中) 给出下列四个命题：①函数y=|x|与函数y= 表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到；④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；⑤设函数f（x）是在区间[a．b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根．其中正确命题的序号是________．（填上所有正确命题的序号）16. （5分）如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2，记锐角∠ADB=α．且满足cos2α=﹣．（1）求cos∠CAD；（2）求BC边上的高h的值．17. （15分） (2015高三上·唐山期末) 甲、乙两名运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数均稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如表：甲运动员射击环数频数频率7108109x1030y合计1001乙运动员射击环数频数频率768109z0.410合计80如果将频率视为概率，回答下面的问题：（1）写出x，y，z的值；（2）求甲运动员在三次射击中，至少有一次命中9环（含9环）以上的概率；（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，用ξ表示这三次中射击击中9环的次数，求ξ的概率分布列及Eξ．18. （10分） (2019高二上·江西月考) 长方形中，，M是中点（图1）.将沿折起，使得（图2）在图2中:（1）求证:平面平面；（2）在线段上是否存点E，使得二面角的余弦值为，说明理由.19. （10分） (2016高三上·大连期中) 等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a2=2，S5=15，数列{bn}，b1=1，对任意n∈N+满足bn+1=2bn+1．（1）数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn= ，设数列{cn}的前n项和Tn ，证明：Tn＜2．20. （5分） (2019高三上·和平月考) 设椭圆的右顶点为，上顶点为 .已知椭圆的离心率为， .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限. 与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.21. （10分） (2017高二下·姚安期中) 已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题。

黑龙江齐齐哈尔市实验中学上册期末精选（篇）（Word 版 含解析）一、第一章 运动的描述易错题培优（难）1．A 、B 、C 三个物体同时在同一地点沿同一方向做直线运动，如图为他们的位移﹣﹣时间图象，由图象可知，物体在t o 时间内（ ）A ．A 物体的平均速度最大B ．三个物体的平均速度一样大C ．三个物体的平均速率一样大D ．三个物体的平均速率关系为V A ＞V B =V C 【答案】BD 【解析】由图象看出，在0～t 0时间内，三个物体的位移△x 相同，所用时间相同，则平均速度都相同，故A 错误、B 正确；由图象看出，在0～t 0时间内，A 的路程最大，BC 路程相等，故三个物体的平均速率关系为v A ＞v B =v C ，故C 错误，D 正确；故选BD.点睛：本题关键抓住位移图象的斜率大小等于速度、纵坐标的变化量表示位移来分析图象的意义；注意理解BC 的运动特点．2．高速公路上用位移传感器测车速，它的原理如图所示，汽车D 向右匀速运动，仪器C 在某一时刻发射超声波脉冲（即持续时间很短的一束超声波），经过时间t 1接收到被D 反射回来的超声波，过一小段时间后又发射一个超声波脉冲，发出后经过时间t 2再次接收到反射回来的信号，已知超声波传播的速度为v 0，两次发射超声波脉冲的时间间隔为△t ，则下面说法正确的是（ ）A ．第一次脉冲测得汽车和仪器C 的距离为0112v t B ．第二次脉冲测得汽车和仪器C 的距离为02v t C ．位移传感器在两次测量期间，汽车前进距离为0211()2v t tD ．测得汽车前进速度为02121()2v t t t t t -+∆-【答案】ACD 【解析】 【分析】 【详解】AB ．超声波是匀速运动的，往返时间相同，第一次脉冲测得汽车和仪器C 的距离为0112v t ，第二次脉冲测得汽车和仪器C 的距离为0212v t ，故A 正确，B 错误； C ．则两次测量期间，汽车前进的距离为()02112s v t t =- 故C 正确；D ．超声波两次追上汽车的时间间隔为1222t t t t '∆=∆-+ 故速度()021212v t t sv t t t t -=='∆+∆- 故D 正确。

黑龙江省齐齐哈尔市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）计算等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一下·郧县月考) 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC ，AM与BN相交于点P ， AP：PM=（）A . 4：1.B . 3:2C . 4：3D . 3:13. （2分）已知数列的各项均不等于0和1，此数列前项的和为，且满足，则满足条件的数列共有（）A . 2个B . 6个C . 8个D . 16个4. （2分） (2016高三上·武邑期中) 如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A .B .C .D .5. （2分）命题p：“不等式的解集为{或} ”；命题q：“不等式 x2>4 的解集为{x|x>2} ”，则（）A . p真q假B . p假q真C . 命题“p且q”为真D . 命题“p或q”为假6. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 直线，若，则a的值为（）A . ﹣3B . 2C . ﹣3或2D . 3或﹣27. （2分） (2018高一下·四川期中) 设数列满足，且，若表不不超过的最大整数，则（）A . 2015B . 2016C . 2017D . 20188. （2分）(2018·辽宁模拟) 函数的部分图象大致是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·中江期中) 直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1 ， A1C1的中点，BC=CA=CC1 ，则BM与AN所成角的余弦值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·新乡期中) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（）A . ，k∈ZB . ，k∈ZC . ，k∈ZD . ，k∈Z11. （2分）《九章算术》是中国古代的数学专著，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢及各行几何？用享誉古今的“盈不足术”，可以精确的计算用了多少日多少时相逢，那么你认为在第几日相遇（）A . 13B . 14C . 15D . 1612. （2分）(2017·枣庄模拟) 《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈．已知直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，AB=3，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若变量x，y满足，则z=的取值范围是________14. （1分） (2017高一上·泰州期末) 函数的最小正周期为________ ．15. （1分） (2017高一下·南通期中) 已知函数是偶函数，直线y=t与函数y=f （x）的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB=BC，则实数t的值为________．16. （1分） (2018高二上·无锡期末) 在平面直角坐标系中，已知是函数图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的横坐标为，则的最大值是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高一下·上海月考) 通常用分别表示△ABC的三个内角A、B、C所对的边的长度,R表示△ABC外接圆半径.（1）在以O为圆心,半径为2的圆O中,BC和BA是圆O的弦,其中BC=2,∠ABC=45°,求弦AB的长；（2）在△A BC中,若∠C是钝角,求证:18. （5分） (2017高二下·淄川开学考) 在等差数列{an}中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an+bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn ．19. （10分） (2019高二上·尚志月考) 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底，是的中点。

黑龙江省齐齐哈尔市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·怀化模拟) 若集合，，则为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·深圳期中) “（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）(2017·成都模拟) AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A . 这12天中有6天空气质量为“优良”B . 这12天中空气质量最好的是4月9日C . 这12天的AQI指数值的中位数是90D . 从4日到9日，空气质量越来越好4. （2分）已知O是锐角△ABC的外心，若(x，y∈R)，则（）A . x+y≤-2B . -2≤x+y<-1C . x+y<-1D . -1<x+y<05. （2分） (2018高二下·石嘴山期末) 在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边.若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·桂林月考) 已知扇形，，扇形半径为，是弧上一点，若，则（）.A .B .C .D .7. （2分）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则=（）A .B .C .D .8. （2分）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（）A . 2B . 2C . 4D . 49. （2分）已知等比数列满足，且，则当时，（）A .B .C .D .10. （2分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是（）A . y=sin4xB . y=sinxC . y=sin（4x﹣）D . y=sin（x﹣）11. （2分） (2016高一上·友谊期中) 设f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（﹣1）=0，则xf（x）＜0的解集是（）A . （﹣1，1）B . （1，+∞）C . （﹣1，0）∪（1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（0，1）12. （2分） (2016高二下·阳高开学考) 设F1 ， F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A . 4B .C .D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设x，y满足约束条件，则 x2+y2的最大值为________14. （1分）(2017·邯郸模拟) 若（﹣3x）n的展开式中二项式系数和为64，则展开式的常数项为________．（用数字作答）15. （1分）(2017·成都模拟) 如图，在△ABC中，cos∠ABC= ，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD= ，则△ABC的面积为________．16. （1分） (2020高二上·林芝期末) 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）网店为促销，拿出A，B，C三件商品进行抢拍．A，B，C被抢拍成功的概率分别是，，．小明均参与了以上三件商品的抢拍．（1）求至少有一件商品被小明抢拍成功的概率；（2）记小明抢拍成功商品的件数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．18. （10分） (2018高二上·嘉兴期末) 如图，已知三棱柱，侧面 .(Ⅰ)若分别是的中点，求证：；(Ⅱ)若三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，问在线段上是否存在一点，使得平面 ?若存在，求与的比值，若不存在，说明理由．19. （10分） (2017高一下·荥经期中) 已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2 ，a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式（2）若bn=anlog an，Sn=b1+b2+b3+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1＜0恒成立，试求m的取值范围．20. （10分） (2019高二上·中山月考) 已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.21. （10分）(2020·江西模拟) 已知函数 .（1）当时，求的极值；（2）设，对任意都有成立，求实数的取值范围.22. （10分） (2019高二下·湖南期中) ⊙ 和⊙ 的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ,ρ＝－4sinθ.（1）把⊙ 和⊙ 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙ ,⊙ 交点的直线的直角坐标方程.23. （10分）(2018·宝鸡模拟) 设函数 .（1）证明：；（2）若，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、22-2、23-1、答案：略23-2、答案：略第11 页共11 页。

黑龙江省高三上学期期末理科数学考试试卷
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1．复数 等于（）
A． B． C． D．0
2．等比数列 中， ，前3项和为 ，则公比q的值是（）
A．1B． C．1或 D． 或
3．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
4．已知x，y满足不等式组 ，则 的最大值与最小值的比值为（）
23．（共10分）已知a，b，c都是正数．
（1）若 ，求证： ；
（2）求证： ．
（1）求证： ；
（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角 的余弦值为 ．
20.（共12分）如图，在平面直角坐标系 中，已知圆 ，椭圆 ，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中 ．设直线AB，AC的斜率分别为 ， ．
请考生在题22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（共10分）已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 （t为参数， ），射线 ， ， 与曲线 交于极点O外的三点A，B，C．
（1）求 的值；
（2）当 时，B，C两点在曲线 上，求m与 的值．
判断框内填入的条件是（）
A． B．
C． D．
8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）
A．12B．4C． D．
9．某同学为了解秋冬季用电量（y度）与气温（ ）的关系，曾由下表数据计算出回归直线方程为 ，现表中一个8
13
10
-1
用电量
24
34
●
64
（1）求 的值；

A．{x | 0 x 1}
B．{x | x 1}
C．{x | 1 x 0} D．{x | 1 x 0}
2．下列叙述正确的是（ ）
A．命题“p 且 q”为真，则 p, q 恰有一个为真命题 B．命题“已知 a, b R ，则“ a b ”是“ a2 b2 ”的充分不必要条件”
2 f x 3x2 0 ，若 f m 2 f m 3m2 6m 4 ，则实数 m 的取值范围为（ ）
A． 1,1
B． ,1
C．1,
D． , 11,
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
1
A．
4 1
C．
2
1
B．
3
D．1
9．已知直线 l ： y k(x 1) k 0 与抛物线 C : y2 4x 相交于 A 、B 两点，且满足 AF 2 BF ，则 k
的值是（ ）
A． 3 3
B． 3
2
C．
2
3
D． 2 2
10．过双曲线
x2

y2 15

1 的右支上一点
P
，分别向圆 C1
1
7．已知函数 f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1 的零点依次为 a，b，c，则( )
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．b<a<c
8．由直线 x y 3 0 上一点 P 向 圆 C： x 22 y 32 1 引切线，则切线长的最小值为（ ）
13．已知点 O 是 ABC 内部一点，并且满足 OA 2OB 3OC 0 ， BOC 的面积为 S1 ， ABC 的面积

2020届黑龙江省实验中学高三上学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|0}A x x =>，{|11}B x x =-<<，则()R C A B ⋂=( ) A ．{|01}x x << B ．{|1}<x x C ．{|10}x x -<<D ．{|10}x x -<≤2．下列叙述正确的是（ ）A ．命题“p 且q ”为真，则,p q 恰有一个为真命题B ．命题“已知,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件”C ．命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤D ．如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点 3．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+4．如图，'''O A B ∆是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的面积是（ ）A ．6B ．C ．D ．125．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题： ①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥④若m α⊥，//n β，且//m n ，则αβ⊥ 其中正确的命题是（ ） A ．②③B ．①③C ．①④D ．③④6．已知直线l 过点()1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为（ ）A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．20x y -=或220x y +-=D ．20x y -=或240x y +-=7．已知函数f(x)＝e x＋x ，g(x)＝lnx ＋x ，h(x)＝lnx －1的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c8．由直线30x y ++=上一点P 向 圆 C ：()()22231x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．19．已知直线l ：()(1)0y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A 、B 两点，且满足2AF BF =，则k 的值是（ ）A B C D ．10．过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．1911．设椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎣⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．12⎤⎥⎣⎦D ．)1,112．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，x R ∀∈，有()()3f x f x x --=，在()0,∞+上有()2230f x x '->，若()()22364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[]1,1- B ．(],1-∞ C ．[)1,+∞ D ．(][),11,-∞-+∞二、填空题13．已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足230OA OB OC ++=，BOC ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则12S S =______. 14．已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12y x =±，则此双曲线方程为_________15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，则ABC ∆的面积为_____．16．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.三、解答题17．已知函数()2f x m x =--，且()20f x +>的解集为()1,1-. (1)求m 的值；(2)若正实数,,a b c ，满足23a b c m ++=.求11123a b c++的最小值. 18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-.（1）证明：{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）若2log n n b a =，令21211n n n c b b -+=，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．已知函数()sin(2)14f x x π=-++.（1）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心； （2）当,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,方程()1f x m =-有解，求实数m 的取值范围． 20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为30°，求二面角1D BC B --的余弦值．21．椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞P （0，1）做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y轴时AB = （1）求椭圆E 的方程；（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点M （m ，0），使得△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由． 22．已知函数()ln af x x x x=++． （1）若1a =，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()2e x xf x x <+恒成立，请求出a 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义运算即可。

高三期末考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设全集U R =,集合{}{}02022>-∈=>=∈=x x R x N x y R y M x ，，则N M ⋂为( ) A 、()2,1B 、(1,)+∞C 、[2,)+∞D 、(],0(1,)-∞+∞2、“1x ≥”是“2x >”的 ( ) A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于( ) A 、 21+ B 、 21- C 、 223+ D 、 223- 4、设α、β、γ是三个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列4个命题： ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β；③若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b .其中正确命题是( ）A 、④B 、 ③C 、 ①③D 、②④5、已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈，01cos 3x =（0[0,π]x ∈）．那么下面命题中真命题的序号是( ) ①()f x 的最大值为0()f x ②()f x 的最小值为0()f x ③()f x 在0[0,]x 上是减函数 ④ ()f x 在0[,π]x 上是减函数 A 、①③ B 、①④ C 、②③D 、②④6、一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为① 长方形；②正方形；③圆；④椭圆。

其中正确的是（ ） A 、①② B 、②③ C 、③④ D 、①④7、已知函数()x x f x 2log 3+=，若实数0x 是方程()0=x f 的解，且010x x <<，则()1x f （ ） A 、恒为负数 B 、等于0 C 、恒为正值 D 、不大于0 8、函数)32sin()(π-=x x f 的图象为C ，给出以下结论：①图象C 关于直线π1211=x 对称； ②图象C 关于点)0,32(π对称；③函数)(x f 在区间)125,12(ππ-内是增函数；④由x y 2sin =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．其中正确的是（ ） A 、①②④ B 、 ①③④ C 、 ①②③ D 、 ②③④9、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+（直线MP 不过点O ），则S 20等于 （ ） A 、10B 、15C 、20D 、4010、如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d=f(l )的图像大致为 （ ）11、已知集合{}2224312(,),,,(,)()(),,,04312x y M x y x y R N x y x a y b r a b R r x y ⎧⎫⎧-≤⎪⎪⎪=∈=-+-=∈>⎨⎨⎬+≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭若存在R b a ∈,，使得M N ⊆，则r 的最大值是 ( )A 、3B 、5.2C 、 4.2D 、 212、已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，数列{}n a满足11a =-，且2n n S a n =+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。

数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合},142|{},,23|{<<=∈+==x x B N n n x x A 则集合B A 中元素的个数为A.5B.4C.3D.22.已知复数z 满足),,(11R b a bi a i∈+=+则=+b a A.0 B.1C .1- D.23.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为A.35B.75C.155D.3154.,2||,2||==b a 且,)(a b a⊥-则a 与b 的夹角是A.6πB.4πC.3π D.125π5.现有10名学生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起,则不同的排法共有()种A .2726A A B .2734A A C .272633A A A D .276634A A A 6.已知函数)20,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象的相邻两个零点的距离为,2π,2)0(=f 则=)(x f A.42sin(2π+x B.42sin(2π+x C.44sin(2π+x D.44sin(2π+x 7.已知点Q P N M ,,,在同一个球面上,,5,4,3===MP NP MN 若四面体MNPQ 体积的最大值为10,则这个球的表面积是A .425πB .16625πC .16225πD .4125π8.已知函数,ln 2)(2ax x x e x f ax+--=若0)(>x f 恒成立，则实数a 的取值范围为A.),1(+∞e B.),1(+∞ C.),2(+∞eD.),(+∞e 二、多选题（每题5分，共20分，漏选得2分，错选不得分）9.将函数x x f sin )(=的图象向左平移3π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），得到)(x g 的图象，则A.函数3(π-x g 是偶函数 B.6π-=x 是函数)(x g 的一个零点C.函数)(x g 在区间]12,125[ππ-上单调递增D.函数)(x g 的图象关于直线12π=x 对称10.若甲组样本数据n x x x ,,,21 （数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据a x a x a x n +++3,,3,321 的平均数为4，则下列说法正确的是A.a 的值为2- B.乙组样本数据的方差为36C.两组样本数据的样本中位数一定相同D.两组样本数据的样本极差不同11.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点,,F E 且,22=EF则下列结论中正确的有A.当E 点运动时，AE C A ⊥1总成立B.当E 向1D 运动时，二面角B EF A --逐渐变小C.二面角C AB E --的最小值为︒45D.三棱锥BEF A -的体积为定值12.下列说法正确的有A.若,21<x 则1212-+x x 的最大值是1-B.若z y x ,,是正数，且,2=++z y x 则zy x +++114的最小值是3C.若,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是2D.若实数y x ,满足,0>xy 则yx yy x x 22+++的最大值是224-三、填空题（每题5分，共20分）13.在某项测量中,测得变量).0)(,1(~2>σσξN 若ξ在)2,0(内取值的概率为8.0,则ξ在)2,1(内取值的概率为.14.函数xe xa x f ln )(=在点))1(,1(f P 处的切线与直线032=-+y x 垂直,则=a .15.过直线2:-=x y l 上任意点P 作圆1:22=+y x C 的两条切线,切点分别为,,B A 当切线长最小时,P AB ∆的面积为.16.抛物线)0(22>=p py x 上一点)1)(,3(>m m A 到抛物线准线的距离为,413点A 关于y 轴的对称点为O B ,为坐标原点，OAB ∆的内切圆与OA 切于点,E 点F 为内切圆上任意一点，则→→⋅OF OE 的取值范围为________．四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）等差数列}{n a 的前n 项和为.32,21,655+==a S a S n (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)记,nn S nb =数列}{1+⋅n n b b 的前n 项和为,n T 求.n T 18.（12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 设).cos 2(sin 3B a A b +=(1)求;B (2)若ABC ∆的面积等于,3求ABC ∆的周长的最小值.19.（12分）某机构为研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．注：表中.1ii x u =(1)根据散点图判断：bx a y +=与xdc y +=哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的经验回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)-x-y-u∑=--812)(i ix x ∑=----81))((i iiy yx x ∑=--812)(i iu u∑=----81))((i i iy y u u15.25 3.630.2692085.5-230.30.7877.049(2)根据(1)的判断结果以及表中数据，建立y 关于x 的经验回归方程；(计算结果精确到0.01)(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840元？(假设能够全部售出．结果精确到1)参考公式:经验回归方程x b a y ∧∧∧+=中,.,)())((121-∧-∧=-=--∧-=---=∑∑x b y a x x y yx x b ni ini ii 20.（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧面⊥P AD 底面M ABCD ,为P A 的中点，.10==PD P A (1)求证：//PC 平面;BMD (2)求二面角P BD M --的大小．21.（12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为,F 抛物线C 上的点到准线的最小距离为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点F 作互相垂直的两条直线1l 和,2l 1l 与抛物线C 交于B A ,两点,2l 与抛物线C 交于D C ,两点,N M ,分别为弦CD AB ,的中点,求||||NF MF ⋅的最小值.22.（12分）已知函数).(2ln )(2R a xae x x x f x∈-+=(1)若,0≤a 讨论)(x f 的单调性；(2)若)(x f 在区间)2,0(内有两个极值点，求实数a 的取值范围.数学试题答案1.C当n=0,1,2,3,4时,x=3n+2分别为2,5,8,11,14,所以A∩B={5,8,11},故选C.2.A由11+i=a+b i(a,b∈R),得12−12i=a+b i,则a=12,b=-12,所以a+b=0.故选A.3.C由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,前n项和为S n,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的总两数为1(1-5)1-=5×(1-25)1-2=155.故选C.4.B,)(aba⊥-,222=⋅⇒=⋅-=⋅-∴bababaacos||a ba ba b⋅〈⋅〉===⋅∴，所以a与b的夹角是π4.故选B.5.D采用捆绑法和插空法.从4名男生中选择3名,进而将3个相邻的男生捆在一起,看成1个男生,方法数是A43种,这样与第4个男生看成是2个男生;然后6个女生任意排的方法数是A66种;最后在6个女生形成的7个空隙中,插入2个男生,方法数是A72种.综上所述,不同的排法共有A43A66A72种.故选D.6.B因为函数()()2sin0,02f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象的相邻两个零点的距离为2π，所以22Tππ=⨯=，所以222Tππωπ===，所以()()2sin2x xfϕ=+，又因为()0f，所以()02sinfϕ=sinϕ=因为02πϕ<<，所以4πϕ=，所以()2sin24f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选B.7.B由MN=3,NP=4,MP=5,可知∠PNM=90°,则球心O在过PM中点O'与面MNP垂直的直线上,因为MNP面积为定值,所以高最大时体积最大,根据球的几何性质可得,当O'Q过球心时体积最大,因为四面体Q-MNP的最大体积为10,所以13×S△MNP×O'Q=13×12×3×4×O'Q=10,可得O'Q=5,在△OO'P中,OP2=OO'2+O'P2,则R2=(5-R)2+254,得R=258,故球的表面积为4π×=625π16,故选B.8.C()0f x >等价于22ln e 2ln e 2ln ax x ax x x x +>+=+．令函数()e x g x x =+，则()e 10x g x '=+>，故()g x 是增函数．2ln e e 2ln ax x ax x +>+等价于2ln (0)ax x x >>，即2ln xa x>．令函数2ln ()x h x x=，则222ln ()xh x x -'=．当(0,e)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(e,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减．max 2()(e)eh x h ==.故实数a 的取值范围为2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选C.9.BCD将函数()sin f x x =的图象向左平移π3个单位长度，可得πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），可得π()sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A 选项，令()ππππsin 2sin 23333h x g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则π06h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2πsin 063h ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数π3g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭不是偶函数，A 不正确；对于B 选项，因为πsin 006g ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故π6x =-是函数()g x 的一个零点，B 正确；对于C 选项，当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,322x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数()g x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，C 正确；对于D 选项，因为对称轴满足2π,Z 32x k k ππ+=+∈，解得ππ,Z 122k x k =+∈，则0k =时，π12x =，所以函数()g x 的图象关于直线π12x =对称，D 正确．故选BCD ．10.ABD由题意可知：324a ⨯+=，故2a =-，故A 正确；乙组样本数据方差为9436⨯=，故B 正确；设甲组样本数据的中位数为i x ，则乙组样本数据的中位数为32i x -，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C 错误；甲组数据的极差为max min x x -，则乙组数据的极差为()()()max min max min 32323x x x x ---=-，所以两组样本数据的样本极差不同，故D 正确；故选ABD.11.ACD对于A ：因为1111B D A C ⊥，111B D A A ⊥，1111A C A A A ⋂=，所以11B D ⊥面11A C CA ，因为1AC ⊂面11A C CA ，所以111B D AC ⊥，同理可证11AD AC ⊥，因为1111AD B D D ⋂=，所以1A C ⊥平面11AB D ，因为AE ⊂平面11AB D ，所以1AC AE ⊥总成立，故选项A 正确；对于B ：平面EFB 即平面11BDD B ，而平面EFA 即平面11AB D ，所以当E 向1D 运动时，二面角A EF B --大小不变，选项B 不正确；对于C：建立如图所示的空间几何体，则()()()1,1,0,0,1,0,0,0,0A B C ，()()11,0,0,1,0,1D D ，因为,E F 在11B D上，且2EF =，故可设()13,1,1,,,122E t tF t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，112t ≤≤()1,,1AE t t =--，设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，又()1,0,0AB =- ，所以()()010x t x t y z -=⎧⎨-+-+=⎩，取1y =，则()0,1,m t = ，平面ABC 的法向量为()0,0,1n =，所以cos ,m n = ，设二面角E AB C --的平面角为θ，则θ为锐角，故cos θ==当112t ≤≤≤≤cos 2θ≤，当且仅当1t =时cos θ取最大值2即θ取最小值45︒，故C 正确；对于D ：因为111122BEF S EF BB =⨯⨯==点A 到平面11BDD B ，所以体积为1134212⨯=，即体积为定值，故选项D 正确．故选ACD.12.ABD 对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->，所以()1122112121x x x x +=-++=---()112121112x x ⎡⎤-++-⋅=-⎢⎥-⎣⎦≤，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，所1221x x +-的最大值为1-，故A 正确；对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=，10x +>，0y z +>，所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，所以()4411115531313y z x x y z x y z ⎡+⎡⎤++=++≥+=⎢⎢⎥++++⎢⎣⎦⎣，，当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+，即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立，所以411x y z +++的最小值为3，故B 正确；对于C ，因为0x >，0y >，所2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-（舍去）或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，令x y t +=，2x y s +=，则2x t s =-，y s t =-，因为0xy >，所以x ，y 同号，则s ，t 同号，所以224442x y s t x y x y t s +=--≤-=-++，当且仅当2s t t s =，即s 时取等号，所以22x yx y x y+++的最大值是4-当且仅当x =时，等号成立，故D 正确．故选ABD.13.0.4因为ξ符合正态分布N (1,σ2),所以曲线的对称轴是x=1,因为ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,所以ξ在(1,2)内取值的概率为0.4.14.e 2由题意,得f'(x)=a xe x-ae x lnx (e x )2=ax -alnx e x.又切线斜率k=12.∴f'(1)=ae =12,∴a=e2.15.12依据题意作出图象,如图:因为直线P A 过点P 且与圆x 2+y 2=1相切于点A ,所以PA ⊥OA ,所以|PA|=B 2-B 2=B 2-1,要使得PA 最小,则OP 要最小,由题可得OP 的最小值就是点O 到直线l :y=x-2的距离=2.此时,|PA|min =B min 2-1=(2)2-1=1,所以∠OPA=π4,由切线的对称性可得∠BPA=π2,|PB|=1,所以△P AB 的面积为S △P AB =12×1×1=12.16．[3因为点)A m 在抛物线上，所以3322pm m p =⇒=，点A 到准线的距离为313224p p +=，解得12p =或6p =．当6p =时，114m =<，故6p =舍去，所以抛物线方程为2x y =，∴3)(3)A B ，，所以OAB 是正三角形，边长为其内切圆方程为22(2)1x y +-=，如图所示，∴32E ⎫⎪⎪⎝⎭，．设点(cos 2sin )F ，θθ+（θ为参数），则3π·cos 3sin 3226OE OF θθθ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，∴·[33OE OF ∈- ．17.解(1)设等差数列}{n a 的公差为d.则a 1+4d =21,5a 1+5×42d =2(a 1+5d)+3,...................................（2分）解得a 1=1,d =5,...................................（3分）所以n a =5n-4....................................（4分）(2)由(1)可得Sn=(5n-3)n2,...................................（5分）所以n b =nS n=25n−3,1+n b =n+1Sn+1=25n+2,...................................（6分）则1+⋅n n b b =4(5n-3)(5n+2)=4515n−3−15n+2,...................................（8分）所以Tn=4512−17+17−112+…+15n−3−15n+2=4512−15n+2=2n5n+2....................................（10分）18.解(1)因为3b sin A=a (2+cos B ),由正弦定理得3sin B sin A=sin A (2+cos B )...........................（2分）因为A ∈(0,π),所以sin A>0,所以3sin B-cos B=2,...........................（3分）所以2sin (B-π6)=2.............................（4分）因为B ∈(0,π),所以B-π6=π2,即B=2π3.........................（5分）(2)=3,即ac=4............................（6分）所以a+c ≥2a =4,当且仅当a=c=2时取等号............................（7分）又由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2+ac ≥3ac=12,所以b ≥23,......（9分）当且仅当a=c=2时取等号...........................（10分）所以△ABC 的周长的最小值为4+2 3...........................（12分）19.解(1)由散点图判断，y ＝c ＋dx更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的经验回归方程．...................（2分）(2)由ii x u 1=，先建立y 关于u 的经验回归方程，由于＝7.0490.787≈8.96，...........（4分）所以c ^＝y －d ^·u ＝3.63－8.96×0.269≈1.22，...........（6分）所以y 关于u 的经验回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ，..........（7分）所以y 关于x 的经验回归方程为y ^＝1.22＋8.96x...........（8分）(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －(1.22＋8.96x)x ≥78.840，..........（10分）所以x ≥10，..........（11分）所以至少印刷10000册才能使销售利润不低于78840元．..........（12分）20.解(1)连接AC 交BD 于N ，连接.MN 在正方形ABCD 中，AC BD N ⋂=，∴N 是AC 的中点.又M 是AP 的中点，∴MN 是APC △的中位线，MN PC ∥，.........................（2分）∵MN ⊂面BMD ，PC ⊄面BMD ，∴PC ∥平面BMD..........................（4分）（2）取AD 的中点O ，连接OP ，.ON 在PAD 中，PA PD =，O 是AD 的中点，∴OP AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴OP ⊥平面.ABCD .........................（6分）在正方形ABCD 中，O ，N 分别是AD 、BD 的中点，∴ON AD ⊥，∴OP ，OD ，ON 两两相互垂直，分别以OD ，ON ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.O xyz -6)P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，26,0,1(-M ∴6()2DM =- ，(6)DP =- ，(4,4,0).DB =-设平面MBD 的一个法向量1(,,)n x y z = ，则11,,n DM n DB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即30,2440,x z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩取1x =，得1n = ，∴1n = 是平面MBD 的一个法向量;.........................（8分）同理，2n =是平面PBD 的一个法向量，.........................（10分）∴121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅==（11分）设二面角M BD P --的大小为θ，由图可知，1cos cos n θ=<，22n >= ，且θ为锐角，∴30θ=︒，故二面角M BD P --的大小是30.︒.........................（12分）21.解(1)∵抛物线C 上的点到准线的最小距离为1,∴2=1,解得p=2,..........（2分）∴抛物线C 的方程为y 2=4x.......（3分）(2)由(1)可知焦点为F (1,0).由已知可得AB ⊥CD ,∴两直线AB ,CD 的斜率都存在且均不为0.设直线AB 的斜率为k ,则直线CD 的斜率为k 1-,∴直线AB 的方程为y=k (x-1).联立2=4,=(-1),消去x 得ky 2-4y-4k=0.......（5分）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4.设M (x M ,y M ),由y M =k (x M -1),得x M =+1=22+1,∴+1......（7分）同理可得N (2k 2+1,-2k )......（8分）∴|NF|=(22+1-1)2+(-2)2=22(2+1),.....（9分）∴22(1+2)=4×1+2||≥8,.....（11分）当且仅当|k|=1||,即k=±1时,等号成立.∴|MF|·|NF|的最小值为8......（12分）22.解(1)由题意可得()f x 的定义域为(0)+∞,，()()23212x ae x f x x x x -'=--()()32x x ae x x--=，...............................................（1分）当0a ≤时，易知0x x ae ->，所以，由()0f x '<得02x <<，由()0f x '>得2x >，......................（3分）所以()f x 在(0)2,上单调递减，在()2+∞,上单调递增........................（4分）(2)由(1)可得()()()32xx ae x f x x --'=，当02x <<时320x x-<，记()x g x x ae =-，则()1x g x ae '=-，因为()f x 在区间(0)2,内有两个极值点，所以()g x 在区间(0)2,内有两个零点，所以0a >...............................（6分）令()0g x '=，则ln x a =-，①当ln 0a -≤，即1a ≥时，在(0)2,上，0()g x '<，所以在(0)2,上，()g x 单调递减，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意...................（7分）②当ln 2a -≥，即210a e<≤时，在(0)2,上，()0g x '>，所以在(0)2,上，()g x 单调递增，()g x 的图象至多与x 轴有一个交点，不满足题意....................（8分）③当0ln 2a <-<，即211a e <<时，()g x 在(0)ln a -,上单调递增，在(ln 2)a -,上单调递减，由()00g a =-<知，要使()g x 在区间(0)2,内有两个零点，必须满足()()2ln ln 10220g a a g ae -=-->⎧⎪⎨=-<⎪⎩，解得221a e e <<，...........................................（11分）综上所述，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭..............................................................（12分）。