2.3.1 等比数列-王后雄学案

2.3.1等比数列【学习目标】理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及其推导；能运用等比数列的通项公式解决相关问题；掌握等比中项的定义并能进行相关运算。

【重点】等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用【难点】等比数列“等比”特征的理解、把握和应用 一、复习回顾 什么叫等差数列？通项公式是什么?什么叫等差中项？二、探求新知1、研究下面三个数列并思考其特点 ①1、2、4、8…；从第2项起，每一项与前一项的比都等于②5、25、125、625…；从第2项起，每一项与前一项的比都等于③1、21-、41、81-；从第2项起，每一项与前一项的比都等于2、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母表示。

【例1】判断下列数列是否为等比数列 （1）2,2,2,2，…； （2）-1,1,2,4,8，…； （3） ,,,321a a a ,n a ；（4）已知数列{}n a 的通项公式为n n a 23⨯=。

3、等比数列的通项公式的推导 设等比数列{}n a ，的公比为q方法1：（归纳法）,11a a =12a a = ，123a q a a == ，134a q a a == ，……11a q a a n n ==-方法2：（累乘法）根据等比数列的定义，可以得到=12a a ，=23a a ，=34a a ，…， =-1n na a .以上共有 个等式，把以上 个等式左右两边分别相乘得=∙∙∙∙-1342312n n a a a aa a a a ，即=1a a n，即得到等比数列的通项公式。

4、等比数列的通项公式 =n a【例2】在等比数列{}n a 中 （1） 已知,243,963==a a 求5a ；（2） 已知32,31,891===q a a n ，求n（3） 已知,21,18,367463==+=+n a a a a a 求n5、等比中项如果三个数y G x ,,组成等比数列，则G 叫做x 和y 的等比中项。

张喜林制2.1.1 数列教材知识检索考点知识清单1．数列、数列的项： 叫做数列， 叫做这个数列的项． 2．数列的通项公式： ———————————————————.就叫做这个数列的通项公式．3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，数列的图象是一些 ，它们位于 ．4.根据数列的项数可以把数列分为 和 ，根据数列中项与项的大小关系可以把数列分，为 、 、 和 ．5.数列与函数的关系： ．要点核心解读1．数列的概念(1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做数列的项，数列的一般形式：,,,,,,321 n a a a a 简记为n n a a },{是数列}{n a 的第n 项．（2）数列可以看成以正整数集+N （或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数),(n f a n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 2．数列的通项公式如果数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.通项公式是数列的一个重要概念．如果已知一个数列的通项公式，那么只要依次用1，2，3，…，代替公式中的n ，就可以求出这个数列的各项．要由数列的项写出数列的一个通项公式，只需观察、分析数列中的项的构成规律（即寻找项与项数的函数关系），将项n a 表示为项数n 的函数关系．3．数列的表示(1)通项公式；(2)列表；(3)图象（一群孤立的点）．4．数列的分类(1)按数列中项数的有限与无限分类：(2)按数列中项与项之间的大小关系分类：(3)按各项绝对值是否小于某一个正数分类：（注：后两种分类课本未介绍，但了解它对以后的学习有利，故在此加以介绍） 5．应注意的问题(1)由数列的定义可知：①数列中的项是数（包括表示数的式），不能是其他；②数列中的项是要考虑顺序的，不像集合里的元素有无序性；③数列中不同的项可以相等，不像集合里元素必须互异；n n a a 与④}{ 是不同的，}{n a 表示一个数列，而n a 是数列}{n a 的第n 项．(2)对于通项公式应注意：①通项公式实质是数列的项与其项数之间的函数关系式，只不过定义域是正整数集+N （或它的有限子集{1，2，3，…，n}），因此可以用函数方法研究数列的有关问题；②并不是所有的数列都有通项公式；③有些数列的通项公式有不同的形式，特别是只给出前面几项的数列更是如此；④数列的通项公式可以用分段函数表示．(3)利用数列的单调性研究数列的有关问题时，一定要注意自变量n （项数）只能取正整数．典例分类剖析考点1 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式 命题规律(1)根据数列的前几项，归纳出数列的通项公式．(2)根据数列的递推 关系，归纳、猜 想数列的通项公式．[例1]写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数．;,225,8,29,2,21)1( ;,9,7,5,3,1)2( -- ;,,,,,,)3( b a b a b a ,9999,999,99,9)4([解析] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：,,225,216,29,24,21 所以，它的一个通项公式为⋅=22n a n(2)数列各项的绝对值为1，3， 5，7，9，…，是连续的正奇数；考虑1)1(+-n 具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为).12()1(1--=+n a n n(3)这是个摆动数列，可寻找其摆动平衡位置与摆动振幅，平衡位置：,2b a +振幅：,2ba -用n )1(- 或1)1(+-n 去调节，则⋅--++=+2)1(21ba b a a n n (4)各项加l 后，变为,,10000,1000,100,10 此数列的通项公式为,10n 可得原数列的通项公式为.110-=n n a[答案] 2)1(2n a n = )12()1()2(1--=+n a n n =n a )3(2)1(21ba b a n --+++ 110)4(-=n n a[误区诊断] (1)奇数列l ，3，5，7'．，一的通项公式易误写为2n +1．应为2n -1．(2)正负相间用1)1(+-n 来调节，负正相间用n )1(-来调节．[方法技巧] 根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认知过程，解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系． 具体可参考以下几个思路：①先统一项的结构，如都化成分数、根式等．②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如本例(1)中可将分子、分母分别处理.③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以k )1(-处理符号，如本例(2).④对于周期出现的数列，如本例(3)可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．还必须熟练地掌握一些基本数列的通项公式，比如下面这些数列均属于基本数列，它们的通项公式必须记住．(1)数列-1，l ，-1，1，…的通项公式是;)1(n n a -= (2)数列1，2，3，4，…的通项公式是,n a n = (3)数列l ，3，5，7，…的通项公式是;12-=n a n (4)数列2，4，6，8，…的通项公式是⋅=n a n 2 (5)数列1，2，4，8，…的通项公式是,21-=n n a (6)数列1，4，9，16，…的通项公式是,2n a n = (7)数列 ,41,31,21,1的通项公式是na n 1=（其中).+∈N n 母体迁移 1．设数列,31,0},{11nnn n a a a a a -+==+写出数列的前4项并归纳出该数列的通项公式， 考点2 用递推公式法求数列中的项命题规律(1)利用简单的递推公式去求数列的通项． (2)利用递推公式去求数列中的某些项．[例2] （2010年黄冈市训练题）数列，}{n a 中求==21,1a a ,,612n n n a a a -=++求⋅2010a . [解析] 本题若从一般入手，难以求出其通项公式，因此不妨从特例入手，看一看数列的构成规律．一[答案] ,5,6,1,5,6,1654321-=-=-====a a a a a a 6,1,5,6,11110987-=-====a a a a a .512-=a 猜想}{n a 是以6为周期的周期数列（即相同的6项循环地出现的数列）．事实上，n n n a a a -=++12n n n a a a --=-1,,31n n n a a a -=∴-=+--=∴+6n a ⋅=+n n a a 3即}{n a 是以6为周期的周期数列． .5633562010-===∴⨯a a a[启示] 本例中，通过特例（求出数列}{n a 的前几项）发现一般规律（周期数列），再利用这一般规律求出特殊项),2010a （这正是特殊与一般的思想方法的具体体现，也是人类思维活动的程序“实践—一认识——再实践——再认识……”的特殊情形．母体迁移 2．若数列}{n a 的前8项的值互异且=+8n a n a 对任意+∈N n 都成立，则下列数列中可取遍 }{n a 的前8项值的数列为( )．（其中)N k ∈ }.{12+k a A }.{13+k a B }.{14+k a C }.{16+k a D考点3 数列与函数命题归律(1)通过函数的思想来判断数列的单调性．(2)通过求函数最值的思想方法来求数列的最值． [例3] 已知数列}{n a 的通项公式为,452+-=n n a n 则 (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值．[解析] 数列的通项n a 与n 之间构成二次函数关系，可结合二次函数知识去进行探求，同时要注意n 的取值范围．[答案] (1)由,0452<+-n n 解得.41<<n .3,2,=∴∈+n N n∴ 数列中有两项是负数．,49)25(45)2(22--=+-=n n n a n∴ 对称轴方程为.5.225==n 又因,+∈N n 故2=n 或3时，n a 有最小值，其最小值为-22.2425-=+⨯母体迁移 3．在数列}{n a 中，nn n a )1110)(1(+=⋅∈+)(N n (1)求证：数列}{n a 先递增，后递减； (2)求数烈}{n a 的最大项．优化分层测讯学业水平测试1．下列说法中，不正确的是( )． A ．数列1，1，1，…是无穷数列B ．数列l ，2，3，…不一定是递增数列C ．数列)}({n f 就是定义在正整数集+N 上或它的有限子集},,3,2,1{n 上的函数．)(n f 的一列函数值D ．已知数列,,,,,,321 n a a a a 则}{1++n n a a 也是一个数列2．下列解析式中不是数列l ，-1，1，-1，1，…的通项公式的是( )．n n a A )1(.-= 1)1(.+-=n n a B 1)1(.--=n n a C ⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n a D n ,1,1.3．设数列,,11,22,5 则52是这个数列的( )．A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项4．数列 ,177,73,115,21,53的一个通项公式为5．若数列}{n a 的通项公式是,23n n a -=则=n a 2=32a a6．求数列}392{2++-n n 中的最大值．高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括7小题，每小题5分，共35分，每小题只有一个选项符合题意） 1．（2010年辽宁调考题）数列2417,810,35ba b a -+，中，有序数对(a ，b)可以是( )． )5,21.(-A )1,16.(-B )211,241.(-C )211,241.(-D 2．数列 ,151,71,31,1--的通项n a 是( )． 121)1(--⋅n A n121)1(--⋅n nB 12)1(.1---nC n 12)1(.1---n n D3．数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有..321 a a a ⋅⋅,2n a n =则53a a +等于( )．1661.A 925.B 1625.C 1531.D4．（2010年山东烟台训练题）已知数列}{n a 满足：=>+n n a a a 11,0,21则数列}{n a 是( )．A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．不确定、 5．数列}{n a 的前n 项和为,242+-=n n S n 则该数列的通项公式为( )．)(58.+∈-=N n n a A n⎩⎨⎧∈≥-==+),2(58),1(5.N n n n n a B n )2(58.≥-=n n a C n )1(58.≥-=n n a D n6．已知数列}{n a 的前n 项和.92n n s n -=第k 项满足,85<<k a 则=k ( )．9.A 8.B 7.C 6.D7．（湖南高考题）已知数列}{n a 满足133,011+-==+n n n a a a a ),(+∈N n 则=20a ( )．0.A 3.-B 3.C 23.D 二、填空题（本题包括4小题，每小题6分，共24分）8．若数列}{n a 的前n 项和),3,2,1(102 =-=n n n S n 则此数列的通项公式为 ；数列}{n na 中数值最小的项是第 项． 9．（2010年黄冈市模拟题）把数列{2n,+l}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为,11,9(),7,5(),3(),21,19,17,15(),13 ,37,35(),33,31,29),27,25(),23(< ),43(),41,39则第104个括号内各数之和为10.如图2-1 -1 -1，这是一个正六边形的序列：则第(n)个图形的边数为11.（2011年陕西高考题）观察下列等式照此规律，第n 个等式为三、解答题（本题包括3小题，共41分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12.（13分）设数列}{n a 的前n 项和为,n S 且方程=--n n a x a x 20有一根为 ,3,2,1,1=-n s n (1)求,,21a a(2)求n a 的通项公式．（不要求证明）13. (14分)已知数列}{n a 是递增数列，且对于任意,+∈N n 都有n n a n λ+=2恒成立，(1)求实数λ的取值范围；(2)对于(1)中的λ值，数列中有没有最大或最小项？若有，求出最大或最小项的值；若没有，说明理由．14．（14分）设),10(4log log )(2<<-=x x x f x 又知数列}{n a 的通项n a 满足⋅∈=+)(2)2(N n n f n a(1)试求数列}{n a 的通项公式； (2)判断数列}{n a 的增减性．。

2．3.1 等比数列整体设计教学分析等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质、通项公式等，两个数的等差(等比)中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时要充分利用类比的方法，以便于弄清它们之间的联系与区别．等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，这是本节的中心思想方法．本节首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图象，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用．等比数列概念的引入，可按教材给出的几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义．也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，由此对比地概括等比数列的定义．根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解．启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征联想到指数函数进而画出数列的图象．由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，充分利用类比思想，教师只需把握课堂的节奏，真正作为一节课的组织者、引导者出现，充分发挥学生的主体作用．大量的数学思想方法渗透是本章的特色，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教学中要充分表达这些重要的数学思想方法，所有能力的表达最终归结为数学思想方法的表达．三维目标1．通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．2．通过现实生活中大量存在的数列模型，让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型，体会数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，达到提高学生学习兴趣的目的．3．通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯和严谨的科学态度．体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程．重点难点教学重点：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导．教学难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题，在具体问题中抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境引入)将一X厚度为0.044 mm的白纸一次又一次地对折，如果对折1 000次(假设是可能的)，纸的厚度将是4.4×10296 m，相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的高度和，这可能吗？但是一位数学家曾经说过：你如果能将一X报纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．将一X报纸对折会有那么大的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题，让学生带着这大大的疑问来展开新课．思路2.(实例导入)先给出四个数列：1,2,4,8,16，……1，－1,1，－1,1，……－4,2，－1，……1,1,1,1,1，……由学生自己去探究这四个数列，每个数列相邻两项之间有什么关系？这四个数列有什么共同点？让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？由此引入新课．推进新课新知探究提出问题1回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法.2阅读课本本节内容的①②③3个背景实例，领会三个实例所传达的思想，写出由3个实例所得到的数列.3观察数列①②③，它们有什么共同的特征？你能再举出2个与其特征相同的数列吗？4类比等差数列的定义，怎样用恰当的语言给出等比数列的定义？5类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？它与等差中项有什么不同？ 6你能举出既是等差数列又是等比数列的例子吗？ 7类比等差数列通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？8类比等差数列通项公式与一次函数的关系，你能说明等比数列的通项公式与指数函数的关系吗？活动：教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程，指导学生阅读并分析教科书中给出的3个实例．引导学生发现数列①②③的共同特点：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于3；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于－12. 也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数，这里仍是后项比前项，而不是前项比后项，具有这样特点的数列我们称之为等比数列．让学生类比等差数列给出等比数列的定义：一般地，如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示，显然q≠0，上面的三个数列都是等比数列，公比依次是2,3，－12. ①给出等比数列的定义后，让学生尝试用递推公式描述等比数列的定义，即a 1＝a ，a n ＋1＝a n ·q(n＝1,2,3，…)．②再让学生思考既是等差数列，又是等比数列的数列存在吗？学生思考后很快会举出1,1,1，…既是等比数列也是等差数列，其公比为1，公差为0.教师可再提出：常数列都是等比数列吗？让学生充分讨论后可得出0,0,0，…是常数列，但不是等比数列．③至此，学生已经清晰了等比数列的概念，比如，从等比数列定义知，等比数列中的任意一项不为零，公比可以为正，可以为负，但不能为0.④类比等差中项的概念，我们可得出等比中项的概念：如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项．如果G 是x 和y 的等比中项，那么G x ＝y G，即G 2＝xy ，G＝±ab.因此同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项．显然，在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项；反之，如果一个数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列是等比数列．课件演示：不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程：a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……归纳得到a n＝a1＋(n－1)d.类比这个过程，可得等比数列通项公式的归纳过程如下：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，……归纳得到a n＝a1q n－1.这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用．这个结论的正确性可用后面的数学归纳法进行严格证明，现在我们先承认它．下面我们再类比等差数列，探究推导等比数列通项公式的其他方法：∵{a n}是等比数列，∴a na n－1＝q，a n－1a n－2＝q，a n－3a n－4＝q，…，a2a1＝q.把以上n－1个等式两边分别乘到一起，即叠乘，那么可得到a na1＝q n－1，于是得到a n＝a1q n－1.对于通项公式，教师引导学生明确这样几点：(1)不要把公式错误地写成a n＝a1q n.(2)对公比q，要和等差数列的公差一样，强调“从第2项起，每一项与它的前一项的比〞，不要把相邻两项的比的次序颠倒，且公比q可以为正，可以为负，但不能为0.(3)在等比数列a，aq，aq2，aq3，…中，当a＝0时，一切项都等于0；当q＝0时，第二项以后的项都等于0，这不符合等比数列的定义．因此等比数列的首项和公比都不能为0.(4)类比等差数列中d ＞0，d ＜0时的情况，假设q ＞0，那么相邻两项符号同号，假设q ＜0，那么各项符号异号；假设q ＝1，那么等比数列为非零常数列；假设q ＝－1，那么为如2，－2,2，－2，…这样的数列；假设|q|＜1，那么数列各项的绝对值递减．最后让学生完成下表，从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同，加深概念的理解．讨论结果：(1)～(3)略．(4)等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．(5)并不是所有的两个数都有等比中项．(6)除0外的常数列既是等差数列，又是等比数列．(7)(8)略． 应用示例例1由下面等比数列的通项公式，求首项与公比．(1)a n ＝2n ；(2)a n ＝14·10n . 活动：本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式，可由学生口答或互相提问． 解：(1)a n ＝2·2n －1，∴a 1＝2，q ＝2.(2)∵a n ＝14·10·10n －1， ∴a 1＝14×10＝52，q ＝10. 点评：可通过通项公式直接求首项，再求公比．如(1)中，a 1＝21＝2，a 2＝22＝4，∴q ＝2.变式训练设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，那么2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为() A.14B.12C.18 D ．1答案：A解析：由题意，知a 2＝a 1q ＝2a 1，a 3＝a 1q 2＝4a 1，a 4＝a 1q 3＝8a 1，∴2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋2a 18a 1＋8a 1＝14.例2(教材本节例3)活动：本例是等比数列通项公式的灵活运用，可让学生自己完成．点评：解完本例后，启发引导学生观察a 5，a 10，a 15，a 20的规律．变式训练{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解：设等比数列{a n }的公比为q ，那么q≠0.∵a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3.当q ＝13时，a 1＝18.∴a n ＝18×(13)n －1＝183n －1＝2×33－n.当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.例3数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求a n 的表达式．活动：教师引导学生观察，数列{a n }不是等差数列，也不是等比数列，要求a n 的表达式，通过转化{a n ＋1}是等比数列来求解．解：(1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．∵a 1＝1，故a 1＋1≠0，那么有a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1，即a n ＝2n－1. 点评：教师引导学生进行解后反思．如此题(1)，不能忽视对a n ＋1≠0的说明，因为在等比数列{a n }中，a n ≠0，且公比q≠0，否那么解题会出现漏洞．变式训练数列{lga n }是等差数列，求证：{a n }是等比数列．证明：∵{lga n }是等差数列，设公差为d ，那么lga n ＋1－lga n ＝d ，即a n ＋1a n＝10d (常数)． ∴{a n }是等比数列．知能训练1．等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，那么a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．2432．在等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，那么项数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：1．A 解析：由a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，知q ＝2，a 1＝1.所以a 7＝a 1·q 6＝64.2．B 解析：设等比数列为{a n }．又∵a 1＝98，q ＝23，a n ＝13，∴q n －1＝a n a 1，即(23)n －1＝827. ∴n－1＝3，n ＝4，即项数为4. 课堂小结1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式的推导及简单的应用，等比数列的证明方法．可让学生对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同，让学生用列表的形式给出．2．教师点出，通过本节内容的学习，在掌握知识的同时，我们还学到了探究新问题的方法，提高了我们解决问题的能力，进一步明确了学习必须经历探究问题全过程的意义，必须领悟凝练数学思想方法．作业课本习题2—3 A 组1；习题2—3 B 组1.设计感想本教案设计将类比思想贯穿整节课始终，等差数列和等比数列具有极其相似的特点，比较它们的结构和运算性质，运用类比的方法，可使很多相关性质得以类比和迁移；让学生体会到：有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事．本教案设计加强了实际背景的教学，等比数列有着非常广泛的实际应用：如产品规格设计的问题；储蓄，分期付款的有关计算等等．教学时不是简单地告诉学生等比数列的定义及通项公式的内容，而是通过实际问题创设一些数学情境，让学生自己去发现，去探索其意义．本教案设计突出了数学思维的训练，数学是思维的体操，是培养学生分析问题，解决问题的能力及创造能力的载体．新课程倡导强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验，学生的思维能力就是在这种过程的体验中逐渐提高的．(设计者：X 晓君)第2课时导入新课思路1：(类比导入)等差数列具有丰富而重要的性质，通过复习等差数列的性质，由学生猜想并证明等比数列的性质．这样既复习了旧知识，同时又让学生经历了知识的发现过程，这种引入符合新课程理念．思路2：让学生先完成本节的思考与讨论及探索与研究，借助学生的探究，师生共同归纳出相关性质，自然地引入新课．(这种从课本上的练习题入手的方法，其好处是：直截了当，节省课堂时间，教师也比较轻松，只是学生的思维活动层次较第一种弱一些，但也是一种不错的导入选择)推进新课新知探究提出问题1回忆上节课等比数列的概念，等比中项、通项公式的概念.2回忆怎样证明一个数列是等比数列？3类比等差数列的图象与一次函数的图象之间的关系，探究等比数列的图象与指数函数的图象之间的关系.4类比等差数列的性质，你能探究出等比数列有哪些重要结论？活动：教师引导学生对上一节课的探究做一简要回顾，借以熟悉等比数列的有关概念，为进一步探究做好必要的准备，然后让学生借助信息技术或用描点作图画出课本“探究〞中(2)(3)要求的图象(如图)，说说通项公式为a n ＝2n －1的数列的图象和函数y ＝2x －1的图象的关系．然后交流、讨论，归纳出二者之间的关系．事实上，等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q q n ，而y ＝a 1q q x (q≠1)是一个不为零的常数a 1q与指数函数q x 的乘积．从图象上看，表示数列{a 1q q n }中的各项的点是函数y ＝a 1q·q x 的图象上的孤立点．和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多重要的性质，类比等差数列的探究方法，教师与学生一起探究．就任一等差数列{a n}，计算a7＋a10，a8＋a9和a10＋a40，a20＋a30，你发现了什么规律？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题，在等比数列中会有怎样的类似结论？在等差数列{a n}中，我们已经探究了，假设m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，那么a m＋a n ＝a p＋a q，那么我们可以类比猜想：对于等比数列{a n}，假设m＋n＝p＋s(m、n、p、s∈N*)，那么a m·a n＝a p·a s.让学生对此给出证明．证明：设等比数列{a n}的公比为q，那么有a m·a n＝a1·q m－1·a1·q n－1＝a21·q m＋n－2，a p·a s＝a1q p－1·a1q s－1＝a21·q p＋s－2，∵m＋n＝p＋s，∴有a m·a n＝a p·a s.经过这个证明过程，我们得到了等比数列的一个重要性质，即等比数列{a n}中，假设m ＋n＝p＋s(m，n，p，s∈N*)，那么有a m·a n＝a p·a s.结合等比中项，我们很容易有这样的结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方．结合上节学习的内容，教师与学生一起探究归纳可得到等比数列以下重要结论：1．等比数列的判断方法(1)a n＝a n－1·q(n≥2，q是不等于零的常数，a n－1≠0){a n}是等比数列．(2)a2n＝a n－1·a n＋1(n≥2，a n－1，a n，a n＋1≠0){a n}是等比数列．(3)a n＝c·q n(c、q均是不为零的常数){a n}是等比数列．2．主要性质(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{a n}是递增数列；当q＞1，a＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{a n}是递减数列，当q＝1时，{a n}是常数列；当q＜0时，{a n}是摆动数列．(2)a n＝a m·q n－m(m、n∈N*)．(3)当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有a m·a n＝a p·a q.(4)当数列{a n}是各项均为正数的等比数列时，数列{lga n}是公差为lgq的等差数列．(5)数列{a n}中，公比q≠1，那么连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列．学习等比数列时，时刻与等差数列进行对比，学会用类比、方程的思想解决问题．讨论结果：(1)让学生默写．(2)有3种证明方法，比较常用的方法是：a2n＝a n－1·a n＋1(n≥2，a n－1，a n，a n＋1≠0){a n}是等比数列．(3)等比数列的通项公式是关于n 的指数型函数． (4)最常用的是活动中的第3个性质．应用示例例1一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项． 活动：本例是课本上例题3，由题意知a 3＝12，a 4＝18，求a 1，a 2.和等差数列一样，这是属于基本量运算的题目，其基本量为a 1，q.教师引导学生探究，由等比数列的通项公式列出方程组，求得通项公式，再由通项公式求得数列的任意项．这个过程可以帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系．解：设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么a 1q 2＝12，① a 1q 3＝18.②②÷①，得q ＝32，③把③代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.答：这个数列的第1项和第2项分别是163与8.点评：通过此题让学生体会方程思想．变式训练在等比数列{a n }中，a 5·a 7＝6，a 2＋a 10＝5，那么a 18a 10等于( )A ．－23或－32B.23C.32D.23或32答案：D解析：∵a 5·a 7＝a 2·a 10，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 10＝6，a 2＋a 10＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 10＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 10＝2.∴a 18a 10＝a 10a 2＝32或a 18a 10＝23.例2(1)在等比数列{a n }中，a 1＝5，a 9a 10＝100，求a 18； (2)在等比数列{b n }中，b 4＝3，求该数列前七项之积； (3)在等比数列{a n }中，a 2＝－2，a 5＝54，求a 8.活动：本例三个小题属基本概念题，让学生合作交流完成，充分让学生思考探究，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程．解：(1)∵a 1a 18＝a 9a 10，∴a 18＝a 9a 10a 1＝1005＝20.(2)b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7＝(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 24＝b 1b 7＝b 2b 6＝b 3b 5，∴前七项之积为(32)3×3＝37＝2 187. (3)∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542＝a 8×(－2)．∴a 8＝－1 458. 另解：a 8＝a 5q 3＝a 5·a 5a 2＝54×54－2＝－1 458.点评：通过本例，让学生熟悉公式，善于联想，善于将解题过程简化．变式训练等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝15，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝45. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝11－log 2a 2n ＋13，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝15，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝45，解得q ＝2，a 1＝3，∴a n ＝3·2n －1.(2)由(1)得a 2n ＋1＝3·22n，∴b n ＝11－log 2a 2n ＋13＝11－2n.∴数列{b n }是首项为9，公差为－2的等差数列． 从而S n ＝n9＋11－2n 2＝－n 2＋10n.例3三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．活动：教师引导学生分析题意，因为所求三个数成等差数列，它们的和，故可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，再根据条件寻找关于a 、d 的两个方程，通过解方程组即可获解．解：设所求三个数为a －d ，a ，a ＋d ，那么由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，a ＋32＝a －d ＋1a ＋d ＋9，解此方程组，得a ＝5，d ＝2.∴所求三个数为3,5,7.点评：此类问题要注意设未知数的技巧．假设设所求三个数为a ，b ，c ，那么列出三个方程求解，运算过程将过于繁杂．因此在计算过程中，应尽可能地少设未知数．例4根据以下图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？活动：此题是给出数列的前几项要求写出数列的递推公式．这种题型难度较大．但此题用程序框图给出了数列的前5项，而递推公式就包含在程序框图中，这就大大降低了题目的难度．教学时教师可引导学生回顾程序框图，引导学生思考如何判断一个数列是等比数列．解：假设将打印出来的数依次记为a 1(即A)，a 2，a 3，…， 可知a 1＝1，a 2＝a 1×12，a 3＝a 2×12.于是，可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝12a n －1n>1.由于a n a n －1＝12，因此，这个数列是等比数列． 其通项公式是a n ＝(12)n －1.点评：通过此题让学生明确，要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n ，a n ＋1a n是一个常数即可，同时也再一次体会到能够用框图中的循环结构来描述数列． 知能训练1．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1·a 2·a 3＝8，求a n .2．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年)答案：1．解：∵a 1a 3＝a 22，∴a 1·a 2·a 3＝a 32＝8.∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 3＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2，当a 1＝4时，q ＝12.∴a n ＝2n －1或a n ＝4·(12)n －1＝23－n (n∈N *)．点评：本例解答中易产生的错误是在求得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1后，由a 3＝a 1q2分别得出q ＝±2或q ＝±12.求得a n ＝2n －1或a n ＝(－2)n －1或a n ＝4·(12)n －1或a n ＝4·(－12)n －1.教师引导学生寻找产生这一错误的原因是忽视了由于a 2＝2，a 1＞0，必有q ＞0这一隐含条件．2．解：设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩留量是a n ， 由条件可得，数列{a n }是一个等比数列，其中a 1＝0.84，q ＝0.84. 设a n n＝0.5.两边取对数，得nlg0.84＝lg0.5， 用计算器算得n≈4.答：这种物质的半衰期大约为4年．点评：本例是一道应用题，反映的是等比数列通项公式的基本量运算问题．在解题过程中，用对数的知识解方程可以帮助学生回顾对数的性质，此题重在让学生发现实际问题情境中数列的等比关系，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力．课堂小结1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的性质，等比数列与指数函数的关系．对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同．从函数的角度看，如果说等差数列可以与一次函数联系起来，那么等比数列那么可以与指数函数联系起来．2．学习本节内容应注意等比数列定义的运用，灵活选设未知数，注意总结常用解题技巧．有关本内容的高考题主要表达在考查化归能力、方程思想、分类讨论思想以及数学建模能力上，并能用这些知识解决一些实际问题．作业课本习题2—3 A组2、3、4.设计感想本教案设计突出了教学梯度．因为从实际教学来看，对这部分内容的学习不少同学仍然是困难重重，从中折射出他们学习方式存在的问题，死记硬背仍然是公式学习的主要形式．在练习环节，不少学生只会做与课本例题完全一致的习题，如果稍加变式，就束手无策，反映出数学思维的僵化及简单．但是训练学生的思维能力，提升学生的思维品质，是数学教师直接面对的重要课题，也是提升教学效果的关键．因此在设计梯度方面注重了一题多解，这有助于学生思维的发散性及灵活性的培养，以及克服思维的僵化，变式教学又可以提升思维视野的广度，题后反思有助于学生思维批判性品质的提升．本教案设计注重了教学过程的更优化、更合理化，因为长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式、定理应用达到所谓的熟能生巧，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在概念公式的教学中往往采用的是“掐头去尾烧中段〞的方法，到头来把学生强化成只会套用公式机械解题，这样的学生面对新问题就会束手无策，更不利于今后的创新式高考．本教案设计清晰了课堂教学的层次阶段，本节课可以划分为三个阶段，第一阶段是等比数列性质的推得和理解过程；第二阶段是等比数列性质的归纳、理解和应用的过程；第三阶段是归纳小结．这三个阶段自然是以第一、第二阶段为主．这样便于学生课堂推进，也便于教师对整个课堂的宏观调控．备课资料一、备用例题例1.无穷数列10，10，1025，…，1015n ，….求证：(1)这个数列成等比数列；(2)这个数列中的任一项为哪一项它后面第五项的110；(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．例2.设a ，b ，c ，d 均为非零实数，(a 2＋b 2)d 2－2b(a ＋c)d ＋b 2＋c 2＝0， 求证：a ，b ，c 成等比数列且公比为d.证法一：关于d 的二次方程(a 2＋b 2)d 2－2b(a ＋c)d ＋b 2＋c 2＝0有实根， ∴Δ＝4b 2(a ＋c)2－4(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)≥0.∴－4(b 2－ac)2≥0.∴－(b 2－ac)2≥0. 那么必有b 2－ac ＝0，即b 2＝ac ，∴a，b ，c 成等比数列． 设公比为q ，那么b ＝aq ，c ＝aq 2，代入 (a 2＋a 2q 2)d 2－2aq(a ＋aq 2)d ＋a 2q 2＋a 2q 4＝0. ∵(q 2＋1)a 2≠0，∴d 2－2qd ＋q 2＝0，即d ＝q≠0. 证法二：∵(a 2＋b 2)d 2－2b(a ＋c)d ＋b 2＋c 2＝0， ∴(a 2d 2－2abd ＋b 2)＋(b 2d 2－2bcd ＋c 2)＝0. ∴(ad－b)2＋(bd －c)2＝0.∴ad＝b ，且bd ＝c.∵a，b ，c ，d 非零，∴b a ＝cb ＝d.∴a，b ，c 成等比数列且公比为d.二、备用习题1．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，那么公比为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．2153．各项为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，那么a 3＋a 4＋a 5等于 …… ( )A ．33B ．72C ．84D ．1894．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，那么插入的三个数的乘积为__________．5．在等比数列{a n }中，(1)假设a 1＝256，a 9＝1，求q 和a 12； (2)假设a 3·a 5＝18，a 4·a 8＝72，求q.6．{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝c ＞0，a 2n ＋1＝b 2n ＋1，比较a n ＋1与b n ＋1的大小．参考答案： 1．答案：C解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，由题意，得a 23＝a 2a 6，(a 1＋2d)2＝(a 1＋d)(a 1＋5d)．∴d＝－2a 1.设等比数列的公比为q ，那么q ＝a 3a 2＝3.2．答案：B解析：由a 1a 2a 3a 4…a 30＝230，得 a 33q 3·a 36q 3·a 39q 3·…·a 330q 3＝230， ∴a 33·a 36·a 39·…·a 330＝(2q)30. ∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220. 3．答案：C解析：由a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，∴1＋q ＋q 2＝7. 解得q ＝2，q ＝－3(舍去)，∴a 3＝a 1q 2＝3×4＝12. ∴a 3＋a 4＋a 5＝a 3(1＋q ＋q 2)＝12×7＝84. 4．答案：216解析：设插入的三个数为a 、b 、c ，那么b 2＝83×272＝4×9＝ac ，所以b ＝6，ac ＝36，故abc ＝216.5．解：(1)∵a 9＝a 1·q 8，∴256·q 8＝1，即q ＝±12.当q ＝12时，a 12＝a 1·q 11＝256·1211＝18；当q ＝－12时，a 12＝a 1·q 11＝256×(－12)11＝－18.(2)a 1·q 2·a 1·q 4＝18，即a 21·q 6＝18. 又a 1q 3·a 1q 7＝72，即a 21·q 10＝72. 两式相除得q 4＝7218＝4，∴q＝± 2.6．解：由题意知c ＋2nd ＝cq 2n，∴nd＝c 2(q 2n －1)．∵a n ＋1－b n ＋1＝c ＋nd －cq n ＝c ＋c 2(q 2n －1)－cq n ＝c 2(q n －1)2≥0，∴a n ＋1≥b n ＋1.三、斐波那契数列的奇妙性质我们看章头图中的斐波那契数列，它有一系列奇妙的性质，现简列以下几条，供读者欣赏．1．从首项开始，我们依次计算每一项与它的后一项的比值，并精确到小数点后第四位： 11＝1.000 0 21＝2.000 0 32＝1.500 0 53＝1.666 7 85＝1.600 0 138＝1.625 0 2113＝1.615 4 3421＝1.619 0 5534＝1.617 6 8955＝1.618 2 14489＝1.618 0 253144＝1.618 1 如果将这一工作不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1.618 0与1.618 1之间，它还能准确地用黄金数1＋52表示出来．2．我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如以下图所示，杨辉三角形中虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列：3．在斐波那契数列中，请你验证以下简单的性质： 前n 项和S n ＝a n ＋2－1， a n a n ＋1－a n －1a n －2＝a 2n －1(n≥3)， a 2n －1＋a 2n ＝a n －1(n≥2)， a n －2a n ＝a 2n －1－(－1)n(n≥3)．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{U n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，U n ＋1＝U n ＋U n －1命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用.1680年意大利—法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式U n ＋1U n －1－U 2n ＝(－1)n.1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明了这一表达式S n ＝[(1＋52)n －(1－52)n]，现在称之为比内公式．世界上有关斐波那契数列的研究文献多得惊人．斐波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已经广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间．。

2.3.2 等比数列的前n 项和教材知识检索考点知识清单1．等比数列}{n a 的前n 项和为当公比1=/q 时，=n s =当q=l 时，=n S 2．若数列}{n a 的前n 项和),1(n n q p s -=且,1,0=/=/q q 则数列}{n a 是3．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有n n S q n a a ,,,,1五个量，在这五个量中 4．在等比数列中，若项数为偶s N n n ),(2+∈与分别为偶数项与奇数项的和，则=÷奇偶S S 5．数列}{n a 为等比数列，为其前n 项和，则--n n n n s s s s 32,,,,2 n s 仍构成要点核心解读1．等比数列前n 项和公式 (1)前n 项和公式的导出，解法一：设等比数列 ,,,,,321n a a a a 它的前n 项和是⋅+++=n n a a a S 21由等比数列的通项公式可将写成112111-++++=n n q a q a q a a s①式两边同乘以q ，得.131211n n q a q a q a q a qs ++++= ②①一②，得,)1(11n n q a a S q -=-由此得1=/q 时，qq a s n n --=1)1(1 ,11-=n n q a a所以上式可化为qqa a s n n --=11当q=l 时，⋅=1na s n解法二：由等比数列的定义知⋅====-q a aa a a a n n12312当1=/q 时，,12132q aa a aa a n n=++++++- 即⋅=--q a S a s nn n 1故当1=/q 时，qq a q q a a S n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，⋅=1na s n解法三：112111-++++=n n q a q a q a a S)(21111-++++=n q a q a a q a 11-+=n qs a ).(1n n a s q a -+=当1=/q 时，qq a q q a a s n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，⋅=1na S n(2)注意问题，①上述证法中，解法一为错位相减法，解法二为合比定理法，解法三为拆项法．各种解法在今后的解题中都经常用到，要用心体会，②公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论．③当已知n q a ,,1时，用公式,1)1(1qq a S n n --=当已知,,1q a 时，用公式q q a a S n n --=11④在解决等比数列问题时，如已知n n s q n a a ,,,,1中的任意三个量，可由通项公式或前n 项和公式求解其余两个量．(3)等比数列前n 项和的一般形式一般地，如果q a ,1是确定的，那么--=--=q a qq a S n n 11)1(11,11n q q a -设,11q a A -=则上式可写为⋅=/-=)1(q Aq A s n n2．等比数列前n 项和的性质(1)数列}{n a 为等比数列，为其前n 项和，则,,2n n n s S S - ,23n n S S -仍构成等比数列，且有⋅-⋅=-)()(2322n n n n n s S s s s(2)若某数列前n 项和公式为),1,0(1=/=/-=a a a s n n 则}{n a 为等比数列．(3)在等比数列中，若项数为奇偶与S S N n n ),(2+∈分别为偶数项与奇数项的和，则⋅=÷q S S 奇偶 (4)若}{n a 是公比为q 的等比数列，则⋅⋅+=+m n n m n s q S s 由此性质，在解决有些问题时，能起到简化解题过程的作用．如：设}{n a 是由正数组成的等比数列，它的前n 项和为试比较222log log ++n n S S 与12log 2+n S 的大小．解：设}{n a 的公比为q ，由已知,0,01>>q a,,11211++++=+=n n n n qS a S qS a S+=+-+=-∴++++11111212)()(a S S qS a qS a S S S S n n n n n n n n 1111+++--n n n n n S qS a S S qS.0)(1111<-=-=++n n n a a s s a.212++<∴n n n S S S 而,0>n S 且函数x y 2log =在),0(+∞上单调递增，⋅<+∴++12222log 2log log n n n S S S典例分类剖析考点1前n 项和公式的应用 命题规律(1)等比数列前n 项和公式在具体题目中的应用．(2)含有参数的等比数列中，如何运用等比数列的求和公式． [例1]在等比数列}{n a 中，,263,2763==s S 求⋅n a [答案] 方法一：由已知,236S S =/ 则,1=/q 又,263,2763==s S 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=--=-⋅-②①2631)1(,271),1(611q q a qq a ②÷①得,913=+q 所以.2=q 可求出211=a ，因此2112--==n n n q a a 方法二：已知等比数列}{n a 中，n m S S 15求g ，还可利用性质m nn m n S q s s +=+转化为mnm n ns S S q -=+ 求得，即,827283363==-=S s s q ,2=∴q 再代入,1)1(313qq a s --=求得⋅=211a2112--==∴n n n q a a[误区诊断]解答此类题目容易漏掉对q=l 这一步的讨论．[方法技巧]使用等比数列的前n 项和公式要注意公比q=1和q ≠1情况的区别，而在解方程组的过程中，一般采用两式相除的方法．[例2] 已知数列}{n a 是等差数列，且++=21,2a a a i ,123=a (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,3n n n a b ⋅=求数列}{n b 的前n 项和公式．[答案] (1)设数列}{n a 的公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又,21=a 得.2=d 所以.2n a n = (2)由,323n n n n n a b ⋅=⋅=得n n n n n S 323)22(343212⋅+⋅-++⋅+⋅=- 132323)22(34323+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n s①一②得13232)3333(22+⋅-++++=-n n n n S,3)21(332)13(311--=⋅--=++n n n n n所以⋅+⋅-=+2332121n n n s [方法技巧] 本题第(1)问主要是将问题转化为利用基本量口，和d 联立方程组求解，从而确定出通项公式；第(2)问结合{b n }的特点采用错位相减法求和，变形时式子较复杂，要注意运算准确．母题迁移 1．若数列}{n a 成等比数列，且,0>n a 前n 项和为80，其中最大项为54，前2n 项之和为6560，求⋅100S2．求和.3232n n nx x x x s ++++=考点2等比数列前n 项和性质的应用 命题规律（1)利用等比数列前n 项和的性质简化运算，优化解题过程． (2)等比数列前n 项和的性质在解题中的灵活运用． [例3] 已知数列}{n a 是等比数列， (1)若,112,492==n n S s 求,3n S(2)若⋅+++≡==2019181784%/,6.2a a a a S S [答案] (1)由性质可得.)()(2223n n n n n S s s s S -=-,63)112(4923=-∴n S 解得.1933=n s,,,)2(812484s s S s s --构成等比数列，设为},{n b 公比为g ，.2,24481=-==∴s S S q b .3222441201918175=⨯=⋅=+++=∴q b a a a a b[启示] 等比数列前凡项和具有的一些性质：(1)连续m 项的和（如),,,232 m m n m m s s s S S --仍组成等比数列（注意：这连续m 项和必须非零才能成立）．}){2(n a 为等比数列⋅=++=⇔)0(B A B Aq s n nn m m m n S q s S +=+)3(（q 为公比）． 利用性质(1)可以快速地求某些和．如等比数列}{n a 中，.60,202==m m S S 求⋅m S 3}{n a 为等比数列，m m m m m s s S S S 232,,--∴也成等比数列，且首项为20，公比为,80240222=⨯=-=-⋅m hn mm m S S s S s .1403=∴m S但在运用此性质时，要注意的是 ,,,232m m m m m S s s s S --成等比数列，而不是 ,,,32m m m S s S 成等比数列．母题迁移3．(1)已知：数列}{n a 是等比数列，,0>n a 若=+++=103231365log log log ,9.a a a a a (2)在101与11之间插入10个正数，使这12个数成等比数列，则所插入的这10个正数之积为 (3)一个等比数列中，,60,482==n n S s 则=n s 3(4)等比数列}{n a 中，,126,128.,66121===+-n n n s a a a a 则q=考点3等比数列前n 项和的应用问题 命题规律(1)从实际问题中抽象出等比数列前n 项和的数学模型． (2)利用等比数列前n 项和公式解决一些简单的应用问题．[例4]某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房，假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%． (1)分别求2005年底和2006年底的住房面积； (2)求2024年底的住房面积．（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） [答案] (1)2005年底的住房面积为1200(1+5%) -20 =1240（万平方米）， 2006年底的住房面积为128220%)51(20%)51(12002=-+-+（万平方米）． ∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米． (2)2024年底的住房面积为--+-+-+ 181920%)51(20%)51(20%)51(120020%)51(20-+05.0105.120%)51(12002020-⨯-+=64.2522≈（万平方米）．∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米．母题迁移4．一件家用电器现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期一月，购买后一个月付款一次，再过一个月后又付款一次，共付12次，即购买一年后付清．如果按月利率8‰每月复利一次计算，那么每期应付款多少？)1.1008.1(12≈学业水平测试1．等比数列}{n a 的各项都是正数，若,16,8151==a a 则它的前5项和是( )．179.A 211.B 243.C 275.D2．等比数列}{n a 的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列}1{na 则 }1{na 的前n 项的和是( ) 51.A S q B n 1.1.-n qsC S qD n .3．各项均为实数的等比数列}{n a 的前n 项和记作若=10S ,70,1030=S 则等于( )．150.A 200.-B 200150.-或C 50400.-或D4．设),(22222)(131074N n n f n ∈+++++=+ 则)(n f 等于( )．)18(72.-n A )18(72.1-+n B )18(72.3-+n C )18(72.4-+n D 5．数列 ,213,,819,416,213n n 的前n 项和为6．已知等比数列}{n a 的公比,1>q 第17项的平方等于第24项，求使n a a a a ++++ 321na a a 11121+++>成立的n 的取值范围， 高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．（2009年辽宁高考题）设等比数列}{n a 的前n 项和为若,336=S s 则=69s s ( )． 2.A 37.B 38.C 3.D 2．一个小球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，设它第n 次着地时，共经过了,2,≥n m a n 则有( )．312100.--+=n n n a a A 212100.--+=n n n a a B n n n a a C 2100.1+=-21210021.--+=n n n a a D 3．（2010年东北八校联考题）某人为了观看2010年世博会，从2003年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2010年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为( )．7)1(.p a A +8)1(.p a B +)]1()1[(.7p p p a C +-+)]1()1[(.8p p paD +-+4．在14与87之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为,877则此数列的项数为( )． 4.A 5.B 6.C 7.D5．等比数列}{n a 的首项为1，公比为g ，前n 项和为S ，则数列}1{na 的前n 项之和为( )． s A 1.S B .1.-n q S C Sq D n 11.- 6．设数列}{n x 满足,0(log 1log 1>+=+a x x n u n u 且,1=/a ),+∈N n 且,100121=+++ωx x x 则200102101x x x +++ 的值为( )．a A 100.2101.a B 100101.a C 100100.a D7．（2010年福建部分重点中学联考题）已知等比数列}{n a 的公比,0<q 前n 项和为则54a S 与45a s 的大小关系是( )．4554.a S a s A =4554.a S a S B >4554.a S a S C <D ．无法确定8．已知等比数列}{n a 的首项为n S ,8是其前n 项的和，某同学经计算得,36,2032==S S ,654=S 后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为( )．1.S A2.S B3.S C4.S D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） 9．（2009年浙江高考题）设等比数列}{n a 的公比,21=q 前n 项和为则=44a s10.某科研单位，欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第七名恰好将奖金分完，则需拿出奖 金万元． 11．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设}{n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列}{n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组．（写出所有符合要求的组号） 21s s 与①32S a 与②n a a 与③1n a q 与④（其中n 为大于1的整数，为}{n a 的前n 项和）12. 一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是．三、解答题（本题包括3小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）（2011年山东高考题）等比数列}{n a 中，321,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且321,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n b 满足：,ln )1(n n n n a a b -+=求数列}{n b 的前2n 项和⋅n s 214.（13分）（2010年浙江模拟题）在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加230元徊公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%．设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A 、B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？ 15.（14分）（2010年山东模拟题）函数)(x f 定义在（-1，1）上，,1)21(-=f 且仅当)1,1(,-∈y x 时，恒有：),()()(xy i yx f y f x f --=-又数列}{n a 满足=+=1,211n a a ⋅+212nna a 设⋅+++=)(1)(1)(121n n a f a f a f b (1)证明：)(x f 在（-1，1）上为奇函数； (2)求)(n a f 的表达式；(3)是否存在自然数m ，使得对任意+∈N n 都有48-<m b n 成立；若存在，求出m 的最小值；若不存在，说明理由.单元知识整合二、本章知识整合1．数列的概念．(1)定义：按一定次序排列的一列数，从函数观点看，对于一个定义域为正整数集（或它的真子集{1，2，3，4，…，n}）的函数来说，数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值．(2)数列的表示法有三种：列表法、解析法（通项公式和递推公式法）、图象法．(3)分类：按项数可分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列．(4)前n 项和与通项的关系：⎩⎨⎧⋅≥-==-)2(),1(11n s S n S a n nn3．数学思想方法总结．(1)函数的思想．数列是一个定义域为正整数集(或它的有限子集{1，2，…，n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，并且，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看做以项数n 为自变量的函数，用函数的观点处理数列问题，是我们常用的方法．(2)方程的思想，在等差数列中，通项公式和前n 项和公式共有5个量,,1d a n a n ,和这5个量中知道其中3个量的值，就可以通过列方程的方法求l 出另外2个量的值，在等出数列中，也有类似的性质．方程的思想是本章最重要的思想方法．(3)分类讨论的思想，当给出一个数列的前n 项和的表达式求数列的通项时，一定要分别去求及),2(≥n a n 即⎩⎨⎧≥-==-),2(),1(11n s S n S a n nn （当n=l 时，若两个式子一致，要写成))((+∈=N n n f a n 的形式）；关于等比数列的前n 项和公式有两个，即1=q 与1=/q 的公式不同，所以在运用等比数列求和公式时，要对q=l 和q#l 两种情况进行讨论．雀关于绝对‘值的数列问题中，要注意脱去绝对值符号时需分类讨论，在一些判断题中也常用到分类讨论．(4)转化与化归的思想将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想称之为转化与化归的思想，它一般表现为将陌生的问题转化为我们熟悉的或已经解决了的问题或方法．在数列中，将非等差、非等比数列转化为等差、等比数列问题：是我们常采用的方法．(5)整体的思想．在数列部分，根据式子的结构特点，视某一部 分为一个整体，采用整体代换、整体消元，可以大大简化运算量，还可以沟通已知与未知的联系，提高解题速度．(6)类比的思想．类比是指通过两个对象类似之处的比较，而由其中一个对象已有的性质去推出另一对象也有类似的性质，是我们认识事物发展规律的重要思想方法，等差数列与等比数列有着密切的内在联系，在平时的学习中，将二者类比，能够增强对概念和性质的记忆及理解，使知识系统化、网络化，4.数列中两类重要问题的解法．(1)求一般数列通项公式的常用方法．数列的通项公式是数列的核心之一 ，有了数列的通项公式，便可求出数列的任何一项，研究数列的单调性，求数列的前n 项和，因此我们应熟练掌握求数列通项公式的常用方法，①观察归纳法：通过观察、分析数列的各项与其项数之间的关系，经归纳得到通项公式，②累加法：若给出或由题设可得到与)(1n f a a n n =-+)}({n f <是可求和的数列），则可由)(121-=-+=∑i i n i n a a a a 求⋅n a③累乘法：若给出或由题设可得到与)(1n f a an n =+)}({n f <是可求积的数列），则可由123121....-=n n n a a a a a a a a )2(≥n 求⋅n a ④构造法：若由给出的条件直接求较难，可以通过变形、转化，并运用整体思想，构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项．⑤利用和的关系：若给出或可求出则可利用⋅⎩⎨⎧≥-==n n n a n S S S a 求（.)2),1n (1-n 1由上式算出和)2(≥n a n 后，若将)2(≥n a n 中的n 取1算得的值正好等于则将统一到)2(≥n a n 中，得通项为⋅∈+)(N n a n(2)数列求和的常用方法．数列求和是数列部分的重要内容，因此我们应掌握数列求和的常用方法.①公式法：直接利用等差数列、等比数列或某些常见数列的求和公式求和，常见数列的求和公式有：2)1(321+=++++n n n （特殊的等差数列）； ;6)12)(1(3212222++=++++n n n n .)1(41)321(3212223333+=++++=++++n n n n ②分组法：根据数列或其通项的特征，将数列的前n 项和分成易于求和的若干组，通过对各组分别求和得到整个数列的和．③倒序相加法：若数列中与首末两项等距离的两项的和为定值或有某种特殊关系，则可用推导等差数列求和公式的方法（倒序相加法）求和.④错位相减法：若数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 是等比数列，则求数列}{n n b a 的前n 项和可用推导等比数列求和公式的方法（错位相减法）求和．⑤裂项法：根据通项的特征，将通项进行合理的分拆，然后再分组或消去中间若干项，转化为易求和的数列求和问题．5．有关数列在分期付款中的应用问题在日常生活中，一些商家为了促销商品，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上较为灵活，可以一次性付款，也可以分期付款，采用分期付款时，又可以提供几种方案以便选择，到底选用哪种方式更合算呢？(1)分期付款的几种模型，①银行存：款计息方式有两 种：单利和复利，它们分别以等差数列和等比数列为模型，②单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为：利息=本金×利率×存期，以符号P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金和利息和，则有 ).1(nr P S +=③复利：把上期末的本息和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式是.)1(nr P S +=④分期付款中，每月的利息均按复利计算，规定每期所付款额相同．⑤各期所付款额连同到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和．(2)复利的概念和计算．银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利． 一般地，一期期满后，借贷者（银行）收到的款额为=1s ),1(0r S +⋅其中为初始贷款额，r 为每期的利率，假若在一期期满后，银行又把贷出，利率不变，则银行在下一期期满时，可以收取的款额为 .)1()1(2012r S r S s +=+=依次类推，若把贷出t 期，期利率为r ，这笔款额到期后就会增到.)1(0t t r S s +=注意此处的利息是重复计算的，我们称为复利（期复利）．(3)关于分期付款方案的确定．分期付款即借款后不是一次性付清，而是分几次分别付款的一种借款方法，对于每一种分期付款方案，应明确以下几点：①规定多长时间内付清全部款额；②在规定的时间内分几期付款，并且规定每期的付款额相同；③规定多长时间结算一次利息，并且在规定的时间段内利息按复利计算．在选择分期付款方案时，必须计算出各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于顾客比较，从而选择优化方案，三、重要专题选讲专题1求数列的通项数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式一样，有解析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式，便可求出任何一项及前几项和等，现将求数列的通项公式几种常见类型及方法总结如下：1．观察归纳法．[例1] 根据数列的前几项，写出下歹Jj 数列的一个通项公式．;,3231,1615,87,43,21)1( ;,63,51,43,31,23,1)2( --- ;,177,73,115,21,53)3( ;,26,17,10,5,2)4(;,541,431,321,211)5( ⨯⨯-⨯⨯- ,15,10,6,3,1)6([答案] (1)观察数列的结构特征，每一项都是一个分式，分母是数列2，4，8，16，32，…，可用项数表示为分子是数列1，3，7，15，31，…， 每一项比对应的分母少1，可用项数表示为,12-n所以，所求的数列的通项公式是;212nn n a -= (2)这个数列即：,512,412,312,212,112--+--+--,,612 +其结构特征是：①分母与项数相同；②分子是2加上或减去l ，即;)1(2n -+③各项的符号为负、正相间，即为.)1(n -所以，所求的通项公式是;)1(2.)1(n a nnn -+-= (3)观察数列的项，这个数列可以按分母、分子由小到大重新排列为：,,177,146,115,84,53 分母、分子各自成等差数列，显然，其通项公式为;232++=n n a n (4)每一项都是项数的平方加上1，其通项公式为;12+=n a n(5)通项公式是;)1()1(+-=n n a nn (6)仔细观察各项，不难发现其项与项之间有如下规律：=-=-=-342312;3;2a a a a a a.54145n a a a a n n =-⋅⋅=-⋅--++-+-+-+=∴n n a a a a a a a a a ()()()(3423121 +++=-321)1n a 2)1(+=+n n n [启示] (1)根据所给数列的前n 项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号n 之间的关系．(2)记住以下数列的前n 项：},2{},1{},{},{22n n n n ±⋅+±)}1({},3{},12{n n nn(3)第(6)小题通过观察很难总结规律，可用如下方法进行：-⋅=-⋅=-=-=-n a a a a a a a a a ,54,3,245342312 .1n a n =-+=-++-+-+=∴-1)()()(123121n n n a a a a a a a a 2)1(32+=+++n n n 2．公式法．数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出与d 或与q ，再代入公式d n a a n )1(1-+=或=n a 11-⋅n q a 中即可．[例2]数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 是等比数列，数列}{n c 中，对任何+∈N n 都有,n n n b a c -= 且,61,021==c c ,547,9243==c c 求数列N n a }{数列N n b }{数列}{n c 的通项公式．[答案] 设数列}{n a 的首项为公差为d ，数列}{n b 的首项为公比为q ．由已知条件可得 ;011=-b a;6111=-+q b d a ;922211=-+q b d a ⋅=-+5473311q b d a 联立①②③④，解得,34,21,111====q d b a 由此可以得到,2121)1(211+=-+=n n a n ,)34()34(11111---=⨯==n n n n q b b 1)34(2121--+=-=∴n n n n n b a c 3．利用与的关系．如果给出条件中是与的关系式，可利用⎩⎨⎧≥-===-),2(),1(111n S s a n S a n n n 先求出,11S a =若计算出的中，当1=n 时，求出,11s a =则可合并为一个通项公式，否则要分段．[例3](1)数列}{n a 的前n 项和,)1(1n S n n +-=求(2)数列}{n a 的前n 项和,23n n s +=求⋅n a[答案] (1)当2≥n 时，1--=n n n s s a)1()1()1(1----=+n n n n),21()1(n n --=当n=l 时，,11)1(21=⨯-==l s a上式中,1)21()1(11=--=a⋅--=∴)21()1(n a n n(2)当n ≥2时，,2)23(23111---=+-+=-=n n n n n n S s a当n=l 时，⋅=+==,523111s a 上式中,12111==-a⎩⎨⎧⋅≥==∴-)2(2),1(51n n a n n [启示] 已知求即已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是),2(1≥-=-n S S a n n n 这里常常因为忽略了条件n ≥2而出错，即1--=n n n S s a 求得时的n 是从2开始的自然数，否则会出现当n=l 时01s s n =-而与前n 项和的定义矛盾，可见由此求得的不一定是它的通项公式，必须验证1=n 时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数=n a ⎩⎨⎧≥-=-)2(),1(11n S S n s n n 来表示．[例4]数列}{n a 的首项,11=a 前n 项和与之间满足).2(1222≥-=n S S a n n n (1)求证：数列⋅}1{ns 是等差数列； (2)求数列}{n a 的通项公式．[解析] 审题知}1{⋅⋅nS 应为构造的等差数列，可利用公式先求出)(1n f s n =来，进一步用⎩⎨⎧≥-==-),2(),1(11n s S n S a n n n 即可解决． [答案],,2)1(1--=≥n n n s s a N n⋅-=-∴-12221n n n n S s S S .2)12)((21n n n n S S s s =--∴-.111,211111===-∴-a s s S n n 11}1{1=∴s s n 是以为首项，2为公差的等差数列，,122)1(11)2(1-=⨯-+=n n s s n ⋅-=∴121n S n 当n ≥2时，1)1(211211----=-=-n n S S a n n n ,)32)(12(2---=n n ⎪⎩⎪⎨⎧≥---==∴).2()32)(12(2),1(1n n n n a n思考：若直接求}{n a 的通项公式怎样求呢？4．累差法．[例5] 已知,2,111n a a a n n n -=-=+求⋅n a[解析]2≥n 时．++-+-+= )()(23121a a a a a a n ).(1--n n a a[答案],21n a a n n n -=-+,32,22,12334223112-=--=--=-∴a a a a a a2≥n 时，),1(211--=---n a a n n n2≥∴n 时，有++-+++=--21[)222(121n n a a ⋅-++|)1(3n2)1()2221(12--++++=∴-n n a n n .12)1(2---=n n n 而11=a 也适合上式．}{n a ∴的通项公式.12)1(2---=n n a n n [启示]形如：已知且)()[1n f n f a a n n <=-+是可求和数列]的形式均可用累差法．5．累商法．[例6] 已知,2,111nn a a a n n +==+求 [解析]2≥n 时，,....123121-=n n n a a a a a aa a 故可用累商法． [答案],21nn a a n n +=+2≥∴n 时，⨯⨯⨯⨯=-46352413....1342312n n a a a a a a a a 2)1(11257+=-+⨯-⨯⨯n n n n n n 即2)1(1+=n n a a n 又2)1(,11+=∴=n n a a n 而11=a 也适合上式，}{n a ∴的通项公式).1(21+=n n a n [启示]形如：已知且))[(1n f n f a a nn <=+是可求积的数列]的形式均可利用累商法． 6．换元法．[例7] 已知,32,311+==+n n a a a 求⋅n a[答案],321+=+n n a a∴可设),(21ββ+=++n n a a由待定系数法可得.3=β解法一：由,321+=+n n a a 得⋅+=⋅++)3(231n n a a令⋅=∴=++n n n n b b b a 2,31}{n b ∴是等比数列，其首项,6311=+=a b 公比为2．,261-⨯=∴n n b 即1263-⨯=+n n a).12(33261-=-⨯=∴-n n n a解法二：由321+=+n n a a 得2≥n 时，.321+=-n n a a).(211-+-=-∴n n n n a a a a}{1--∴n n a a 是公比为2的等比数列，其首项为=-12a a 2126,6--⋅=-∴n n n a a则有-⨯=-⨯=-=-n a a a a a a a ,,26,26,62342312 ,2621--⨯=n n a).12(621)21(611-⋅=--=-∴--n n t n a a ).12(33261-=-⨯=∴-n n n a而31=a 也适合上式，)12(3-=∴n n a 即为}{n a 的通项公式．[启示] 形如：已知q p q pa a a n rt ,(,11+=+为常数）均可用上述两种方法， 特别地，若1=p 时，}{n a为等差数列；若,0=q 0=/p 时，}{n a 为等比数列．强化练习11．写数列 ,3,3,3,32311π--+--k h 的一个通项公式．[答案] 观察数列从首项起，各项的符号正、负相间，故通项公式中含有,)1(1+-n 各项的幂底数为3，指数为,1,12+ ,223,12--指数依次改写为 ,)12(,)12(21--即 2221)12(,)12----（ ,)12(,)122423----，（ 故2)12(13)1(--+⋅-=n n n a2．(1)已知数列}{n a 的前n 项和,)1(1n s n n +-=求(2)已知数列的前n 项和,23n n S +=求⋅n a[答案](1)当2≥n 时，--=-=+-n S s a n n n n .)1(11=--)1()1(n n ),21()1(n n --当1=n 时，==11s a ,11)1(2=⋅-上式中.1)21()1(11=-⨯-=a即当1=n 时，适合∴⋅≥--=)2)(21()1(n n a n n 数列}{n a 的通项公式为⋅-⋅-=)21()1(n a n n(2)当2≥n 时，;2)23(23111---=+-+=-=n n n n n n s s a 当1=n 时，,523111=+==s a 上式中,12111==-a 即1=n 不适合上式．∴通项公式⎩⎨⎧⋅≥==-)2(2),1(51n n a n n [启示] 已知求即已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是⋅≥-=-)2(1n s s a n n n 这里常常因忽略了条件n ≥2而出错，即由1--=n n n S s a 求得的n 是从2开始的自然数，否则会出现当1=n 时，⋅=-01s S n 而与前n 项和的定义相矛盾．由此可见，此法求得的不一定是它的通项公式，必须验证n=l是否也成立，若不成立，通项公式只能用．分段函数⎩⎨⎧≥-==-)2(),1(11n s s n S a n nn 表示．3．已知数列),2()1(1,1},{11≥-+==-n n n a a a a n n n 求数列}{n a 的通项公式. [答案]),2)(111()1(111≥--+=-+=--n nn a n n a a n n n nn a a n n 1111--=-∴- ,21112-=-∴a a,312123-=-a a ……nn a a n n 1111--=-- +-++-+-=-∴--)()()(2123121n n n a a a a a a a a =--)(1n n a a +-+-3121211=--+nn 111 n11- n a n 12-=∴当1=n 时，11121=-=a 也适合上式． n a n 12-=∴4．(1)已知数列}{n a 中，,22,111+==+n nn a a a a 求通项公式 (2)数列}{n a 中，,132,111+==+n n a a a 求通项公式⋅n a [答案]⋅=+∴+=+++1.112)2(,22)1(n n n n n n n a a a a a a a ⋅-=+122n n n a a a 两边同除以,.21n n a a +得 ∴=-+.21111n n a a 数列⋅}1{n a 为等差数列，首项为,111=a 公差为+=∴⋅11121a a n ∴+=⨯-.2121)1(n n .12+=n a n ,132)2(1①=-+n n a a .)2(1321②≥=-∴-n a a n n ①②两式相减得，321=-+n n a a ),(1--n n a a 令 ,1n n n a a b -=+则}{321n n n b b b =-是以3213211121=-+=-=a a a a b 为首项，以32为公比的等比数列． ,)32()32(321n n n b =⨯=∴-即n n n a a )32(1=-+③，结合已知条件，①一③，得⨯-=33n a .)32(n [启示] 若数列}{n a 满足)0(.,11=/+==+c d a c a b a n n 的条件，求通项公式时，通常转化为}{A a n + 为等比数列，利用待定系数法确定A 的值，先求出A a n +的表达式，再求⋅n a专题2数列求和数列的求和是数列的一个重要内容，是数列知识的综合体现，求和问题在高考试题中经常出现，它考查我们分析问题和解决问题的能力，可以利用数列的前n 项和求数列的某些元素，如q d n a a n ⋅,,,1等．应当注意任何一个数列的前n 项和都是从第一项一直加到第n 项，求数列前n 项和的常用方法有： (1)公式法，即对于等差数列或等比数列，直接应用其前n 项和公式；(2)对于非等差数列或等比数列，常利用错位相减、倒序求和、裂项求和等方法，将数列变得有规律，再加以求和． 1．公式法．[例1] 设数列}{n a 的通项为),(72+∈-=N n n a n 则=+++||||||1521a a a [解析] 由,0≥n a 得,27≥n 取.4≥n 则+++ ||||21a a +++++-=5432115)(||a a a a a a （+++=+)531()15a =++++)23531( .15312)231(219=⨯++[答案】 153[启示] 要求几个含有绝对值的式子的和，关键是要去掉绝对值符号．去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法，所以此题的关键就是要看的符号，又因为数列}{n a 是等差数列，所以只需确定0≥n a 或0≤n a 时n 的值，然后再分开求和．[例2] 已知等比数列}{n a 中，,321-⨯=n n a 求此数列的偶数项组成的新数列的前n 项和． [答案]数列}{n a 的偶数项也是等比数列，设为},{n b 则数列的首项为,621==a b 公比为.932==q所以数列}{n b 的前n 项和为=--=--=91)91(61)1(1n n n q q b S ⋅-)19(43n2．倒序相加法．[例3]设,244)(+=xx x f 求和+++= )222()221(.ωωf f S ⋅)20022001( [解析]：本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后进行解决．[答案] 因为,244)(+=xx x f 所以=+=---244)1(11x x x f ,2424244+=⋅+x x 所以.1)1()(=-+x f x f所以),2002120(.)20022()20021(0f f f s +++= ⋅⋅+++=)20021()20022000()20022001(f f f s ①+②得,2001)]20022001(.)20021([20012=+=f f S 所以⋅=22001S [例4] 求在区间),,](,[+∈>N b a a b b a 上分母是3的不可约的分数之和．[解析]本题主要考查如何确定区间[a ，b]上的数哪些是符合条件的，然后寻找各数之间的关系，利用数列 问题求解．[答案] 解法一：（倒序相加法）因为+-+++++++++=323353343323313b a a a a S ,313-b 所以+++++++++= )35()34()32()31(a a a a S ),31()32(-+-b b而又有++-⋅+-+-+-= )35()34()32()31(b b b b s ⋅+++)31()32(a a两式相加得⋅++++++=)()()(2b a b a b a S 其个数是以3为分母的所有分数个数减去可约分数个数． 即).(2)1(1)(3a b a b a b -=+--+-所以),)((22b a a b S +-=所以.22a b S -= 解法二：区间[a ，b]上分母为3的所有分数是,313,33+a a ,1,323++a a ,,2,353,343 +++a a a ,33,323,1b b b --它是以33a 为首项．以31为公差的等差数列，项数为,133+-a b 其和=S ).)(133(21b a a b ++-其中，可约分数是,,,2,1,b a a a ++其和).)(1(21/b a a b S ++-=故不可约分数之和为-+-+<=-)133)[(21a b b a S S .)]1(22a b a b -=+-[启示] 当数列}{n a 满足=+-k n k a a 常数时，可用倒序相加法求数列}{n a 的前n 项和． 3．错项相减法．若在数列}{n n b a ⋅中，}{n a 成等差数列，}{n b 成等比数列，则可采用错项相减法求和． [例5] 求和).(3232N n na a a a n∈++++ [答案]记,)1(32132n n n na a n a a a S +-++++=- 则1132)1()2(2+-+-+-+++=n n n n na a n a n a a as 两式相减，得132)()1(+-++++=-n n n na a a a a S a 若,1=a 则;2)1(21+=+++=n n n s n 若,1=/a 则a na a a a S n n n ----=+1)1()1(12 [例6] 求和.2)23(27242132n n n S ⨯-++⨯+⨯+⨯=[解析] 本题是由等差数列23-=n a n 及等比数列n n b 2=对应项的乘积构成的，故可以使用乘公比错位相减求和．[答案] 因为-++⨯+⨯+⨯=n s n (3[27242132 ,2)23(2]2)11n n n ⨯-+⨯--⨯-+⨯--++⨯+⨯=)23(2]2)1(3[2421232n n S n n ,21+n ②所以①一②得1322)23(23232321+⨯--⨯++⨯+⨯+⨯=-n n n n s42)23()222(312-⨯--+++=+n n n 42)23()22(311-⨯---=++n n n4223623211-+⨯--⨯=+++n n n n.102)1(3212-⨯-+=++n n n所以.1022)1(321+-⨯-=++n n n n s4．裂项相消法， 所谓裂项相消，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项折成两项之差，以达到隔项相消之目的． 常用的裂项变形有;111)1(1)1(+-=+=n n n n a n);121121(21)12)(12(1)2(+--=+-=n n n n a n];)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1)3(++-+=++=n n n n n n n a n;!)!1(.)4(n n n n a n -+==)];1()1()2)(1([31)1()5(+--++=+=n n n n n n n n a n-+++<=++=)3)(2)(1[41)2)(1()6(n n n n n n n a n ⋅++-)]2)(1()1(n n n n[例7] (1)求数列,,431,321,211 +++,11++n n 的前n 项和(2)求和1)1(1)1(14141313121222222222-+++++-++-++-+=n n S n [解析] 首先弄清的特征． 在第(1)题中，=++=11n n a n ;1)1)(1(1n n n n n n nn -+=++-+-+在第(2)题中，=++=+++=-+++=)2(212221)1(1)1(2222n n nn n n n n a n ⋅+-+)211(1n n [答案],111)1(n n n n a n -+=++=-+++-+-+-=∴1)34()23()12(n S n （ .11)-+=n n=+++=-+++=nn n n n n a n 2221)1(1)1()2(2222 ),211(1)2(21+-+=++n n n n +-++-+=∴)]4121(1[)]311(1[n s +-+)]5131(1[)]6141(1[-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++1[)11311n n （++--++--+)]1111(1[)]121(n n n n =+-+)]211(1[n n ⋅+-+-+211123n n n [启示] (I)分母有理化是一种常用的数学方法．(2)使用拆项法时，不妨多写出几项以便于找出变化规律． 5．分解求和法与并项求和法．[例8] (1)求和：++-+-= 221111211n s ;2221111.2+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n n(2)求和：);12()1(11975311--++-+-+-=-n S n n (3)求和：.)12(5312222-++++n[解析]通项公式是解决数列求和问题的关键，先求出通项公式，分析通项公式的特点，判断采用哪种求和方法．[答案] (1)因为)999(92)9999(912...22111122 个个个个n n n n n a ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅= )]110(2110[912-⨯--⋅=n n ),110(31)110(312-=-=n n 所以)110(31)110(31)110(312-++-+-=nn S←-+++=])101010[(312n n n n .31110)110(10.31---= ⋅--=+32710101n n(2)当)(2+∈=N k k n 时，)14()1(1197531122--++-+-+-=-k S k k)]14()34[()119()75()31(---++-+-+-=k k ;2k -=当)(12+∈-=N k k n 时，--++-+-+-=-)74[)119()75()31(12k s k （ )34()]54(-+-k k.12342...22)1-=-+-++-+-=-k k k个（）（）（）（ 综上：⋅∈-=++)()1(1N n n S n n (3)因为,144)12(22+-=-=n n n a n所以++-+++++=+21[4])1321[422221n S n （ ++⨯=+++++n n n n )(1(614)1)]1(3（ -+)32)(2n +++⨯)2)(1(214n n ⋅+++=+)384)(1(31)1(2n n n n[启示] (1)和(3)不能直接求和，但可以分解为特殊数列再求和；(2)注意正负相间可以将两项并在一起再求和． 强化练习21．(1)求和++++= 333333n s ;333个n (2)求数列)13(,,103,72,41+⋅⋅⋅n n 的前n 项和 [解析] (1)此数列的通项为),110(313...33-==nn n a个既不是等差数列也不是等比数列，但}10{n 却是一个等比数列，因此可转化为等比数列求和的问题．[答案]⋅-==)110(31333n n a )110(31)110(31)110(312-++-+-=∴n n S3101)101(10313)101010(312n n n n---⨯=-+++= ⋅--=3)110(2710n n ,3)13()2(2n n n n +=+n n S n ++++⨯++⨯++⨯=∴22223333223113)321()321(32222n n +++++++++=2)1(6)12)(1(3++++⨯=n n n n n.)1(2+=n n2．(1)求数列]21)12[(,,815,413,211nn +- 的前n 项和． (2)求数列： ,3211,,3211,211,1n +++++++的前n 项和． [答案]]21)12[(815413211)1(n n n s +-++++=n n 21...814121)12531(+++++-++++=（211])21(1[212)121(--+-+=n n n n n 2112-+=122)1(23211)2(+-=+=++++=n n n nn a n -++-+-==∴∑=n a S ni i n 1()3121()211[(21=+)]11n )111(2+-n 12+=n n 3．求和：132)12(7531--+++++=n n x n x x x S。

2.3.1等比数列(一)编者： 校审： 组长：一、[学习关键词]1．通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用． 2．掌握等比中项的概念并会应用．3．掌握等比数列的通项公式了解其推导过程． 二、[课前自主梳理]问题一 观察下面三个数列 ①1，2，4,8……②81,27,9，3…… ③1111,,,24816-- 上面三个数列有什么共同特点？ 数列① 数列② 数列③ 由此总结等比数列的定义：问题二 由定义可知32141,n n a a aq q q a a a -===以上n －1个式子相乘可得n a ＝问题三 如果三个数x ，G ，y 组成等比数列则G 叫做x 和y 的G 、x 、y 所满足表达式为 三、[课堂合作研习]例1 已知数列{}n a 的通项公式为n n a 23⋅=，试判断是否为等比数列？例2 在等比数列{}n a 中，已知369,243,a a ==求a n 。

例3 求下列各组数的等比中项 ①4，9 ②4例4 已知等比数列{}n a 中，5,20155==a a ，求20a 。

[巩固练习]1.已知4,,,,2c b a 成等比数列，则实数b 等于（ ）A.22B.22-C.22±D.82.已知公差不为零的等差数列的第2，3，6项依次是一等比数列的连续三项，则这个等比数列的公比等于（ ）A.43B.31- C.31 D.3 3.一直角三角形三边边长成等比数列，则（ ）A.三边边长之比为3∶4∶5B.三边边长之比为1∶3∶3C.较小锐角正弦值为215- D.较大锐角正弦值为215- 4.已知c b a ,,均大于0，且c b a ,,既成等比数列又成等差数列则c b a ,,的关系式为。

5.四个数4,,,132--a a 成等差数列，五个数4,,,,1432--b b b 成等差数列，则323b a a -＝ 。

6.等比数列的前三项和为42,16852=-a a ，求75,a a 的等比中项。

2.3.1等比数列（一）学习要点：等比数列的定义、通项公式及其简单应用学习过程：一、引例：已知数列{}n a 的通项公式是132n n a -=（1）求这个数列的前5项；（2）求35241234,,,a a a a a a a a ；（3）求1n na a + 由（3）的结果观察数列{}n a 有什么特征？共同特征：二、等比数列的概念1．定义： 等价形式：观察下列数列，判定它是否为等比数列，若是，写出公比q ；若不是，说理由。

（1）1, 2, 4, 8, …，263（2）2000,2000×1. 1,2000×1.12,…,2000×1.19（3）10, 10×0.85,10×0.852,…,10×0.853…（4）-1, -2, -4, -8, …（5）1，-0.1，0.01，-0.001……（6）－1, －1, －1, －1,…（7）1, 0, 1, 0,…定义说明：1) 为什么)0(≠q ？2）递推公式：)2(1≥⋅=-n a q a n n2．通项公式：已知等比数列..............,21n a a a 的公比是)0(≠q q ，能否用n a n q q a 表示),0(,1≠：说明：1）公式推导思想： 不完全归纳法2）同号与1,0a a q n >；0<q ，各项正负相间。

3.函数特征：)(11qa c cq q q a a n n n === （1）11a a q n ==时，，点),(n a n 在直线1a y =上（2）时，1≠q 点),(n a n 在函数x cq y =图像上4.等比中项：三、例题例1.一个等比数列的第三项与第四项分别是12与18，求它的第1项与第2项。

例2.等比数列{}n a 中，若3663=+a a ，1874=+a a ，21=n a ，求n 。

例3.在等比数列{}n a 中，51520,5,a a ==求20a。

2.3.1等比数列【自主学习】1. 一般地，如果一个数列从_____________,每一项与它的前一项的比都等于____________,那么这个数列叫做____________.2. 等比数列通项公式______________.3. 若三个数x,G,y 成等比数列,则G 叫做x 和y 的________,G=________.4.等比数列的项与序号的性质:若*),,,(N q p n m q p n m ∈+=+,则q p a a =________.特别地,若*),,(2N p n m p n m ∈=+,则_________=m n a a .5.等比数列的项的对称性:有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项积（若有中间项则等于中间项的平方），即 ===________321a a a a n例1：等比数列公比为q ，第m 项为m a ，试求第n 项。

例 2.若等比数列的首项为89,末项为31,公比为32,则这个数列的项数为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6 例3.{}.83321321=-=++a a a a a a a n ，且中，在等比数列 (1)求通项公式; (2)求97531a a a a a ⋅⋅⋅⋅.【合作探究】1{}，则公比为（ ）是等比数列5642,.a a a a n -=A ．0B ．1或-2C ．-1或2D ．-1或-22{}的值为（ ）则是等比数列，11109876543,24,3.a a a a a a a a a a n ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅A ．48B ．72C ．144D ．192 3的值为（ ），则成等比数列，其公比为设43214321222,,,.a a a a a a a a ++ 1.81.21.41.D C B A 1. 等比数列}{n a 是递增数列,01<a ,则满足条件的公比的取值范围是 _________.【自我检测】1.{}等于（ ）为整数，则，且公比是等比数列108374124,512,.2a q a a a a a n -=+-=⋅ A ．-256 B ．256 C ．-512 D ．512 2在各项都为正数的等比数列}{n a 中,若965=⋅a a ,则.________log log log 1032313=++a a a3.{}._____223063303021===a a a a a a q a n ，则，且中，在等比数列4.{}{}.,53lg 是等比数列试证明满足：已知数列n n n a n a a +=5.等差数列{}n a ,n a n b )21(=,若81,821321321==++b b b b b b ,求n b .6.{}n a 是公差d ≠0的等差数列, {}n b 是公比q ≠1的等比数列,若,,12211b a b a ===.36b a =求d 和q;7.已知等差数列{}n a ，1a =1，公差d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{}n b 的第二项,第三项,第四项.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式。

1.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式2.能在具体的问题情境1.观察下列：1，2，4，8，1，21，41，81，161，…1，20，202，203，204，…：与等差数列相比，上面这些数列有什么特点？合作探究 携手共进 1.等比数列的定义一般地，如果把一个数列，从第____项起，每一项与它前一项的______等于____________，那么这个数列叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母____表示(______). 用递推公式表示为____________________. 练习1、判断下列数列是否为等比数列？若是等比数列，请求出公比。

①1，1，1，1，1； ②0，1，2，4，8； ③1，21-，41，81-，161； ④1，2，1，2，1；⑤2，1，21，41，0； ⑥432,,,x x x x ．问题2：一个数列是等比数列，那么它的项和公比必须满足什么条件？问题3：当等比数列的公比为负数的时候，数列每一项有什么样的特征？练习2、求出下列等比数列中的未知项： (1)2，a ，8；(2)4-，b ，c ，21．【归纳】如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 、b 的_________，且________________ (用a 、b 表示G)练习3、已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数： ①、（ ），3，27； ②、3，（ ），5； ③1，（ ），（ ），881． 4．等比数列的通项公式的推导与证明：设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，根据等比数列的定义，我们还可以写出___)(...)()()()(12=====n a a a 等比数列的通项公式：a n =________________练习4、求下列等比数列的公比q 、第5项5a 及第n 项n a ： ①2，6，18，54，… =q ______，=5a ______，=n a _________；④5，15+c ，125+c ，135+c ，… =q ______，=5a ______，=n a _________．等差数列等比数列定 义 从第二项起，每一项与它前一项的___都是同一个常数 从第二项起,每一项与它前一项的____都是同一个常数 首项、公差(公比)取值有无限制通项公式相应图象的特点函数________上孤立的点函数__________图象上孤立的点的通项公式为2n+1,。

3．1 等比数列(一)[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程.3.掌握等比中项的概念并会应用．[知识链接]下列判断正确的是________．(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列． (2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列． (3) 等差数列的公差d 可正可负，且可以为零． (4) 在等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋) 答案 (1)(3)(4) [预习导引] 1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示． 2．等比数列的通项公式若等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，则{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1. 3．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项.要点一 等比数列概念的应用 例1 判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…，(－1)n ＋1，…； (2)－4，－2,0,1，12，…；(3)a ，a ，a ，…； (4)2,4,6,8,10，….解 (1)是等比数列，因为从第2项起，每一项与前一项的比均为－1； (2)不是等比数列，因为含有零项的数列一定不是等比数列；(3)当a ＝0时，不是等比数列，当a ≠0时，是首项为a ，公比为1的等比数列； (4)因为4÷2≠6÷4，所以不是等比数列．规律方法 判断一个数列是否为等比数列，最常用的方法是等比数列的定义，即考查对于任意的正整数n ，a n ＋1a n 的值是否为同一常数．由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不可能为零．跟踪演练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证{a n }是等比数列，并求出通项公式． 证明 ∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n ，又∵S 1＝2a 1＋1＝a 1，∴a 1＝－1≠0.又由a n ＋1＝2a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是等比数列．∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1. 要点二 等比数列通项公式的应用 例2 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n ； (3)a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求a n .解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2a 1q 6＝8①②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝2532n -.(2)方法一 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，③④由④③得q ＝12，从而＝32，又a n ＝1，∴32×(12)n －1＝1，即26－n ＝20，∴n ＝6.方法二 ∵a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，∴q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，知n ＝6. (3)设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203，解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×(13)n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.规律方法 a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a 1和q 的方程组，求出a 1和q . 跟踪演练2 (1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n .(2)在等比数列{a n }中，已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a n . 解 (1)由a n ＝a 1·q n －1，得13＝98(23)n －1，即(23)n －1＝(23)3，得n ＝4. (2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 5－a 1＝a 1q 4－a 1＝15，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝6，①②由①②得q ＝12或q ＝2.当q ＝12时，a 1＝－16；当q ＝2时，a 1＝1.∴a n ＝－25－n 或a n ＝2n －1. 要点三 等比中项的应用例3 等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于多少？解 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.规律方法 由等比中项的定义可知：G a ＝bG ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G 2＝ab ，则G a ＝bG ，即a ，G ，b 成等比数列．所以a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (ab ≠0)．跟踪演练3 已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．解 由题意知b 2＝(－32)×(－24332)＝(32)6，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝(－32)2，解得a ＝23；bc ＝(－24332)2＝(－32)10，解得c ＝(32)7.同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－(32)7.综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，(32)7或－23，－278，－(32)7.要点四 等比数列的构造与证明例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12，∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1.∴a 1＝12，∴c 1＝－12，又c n ＝a n －1，所以q ＝12.∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)解 由(1)可知c n ＝(－12)·(12)n －1＝－(12)n ，∴a n ＝c n ＋1＝1－(12)n .∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－(12)n －[1－(12)n －1]＝(12)n －1－(12)n ＝(12)n .又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝(12)n .规律方法 (1)已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．(2)由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝BA －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}．跟踪演练4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式．解 a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4(b n ＋23)．又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以{b n ＋23}是首项为－13，公比为4的等比数列，所以b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 5等于( ) A ．128 B. 128或－128 C. 32D. 32或－32答案 A解析 由a 4＝a 1 q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 5＝a 4q ＝64×2＝128.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．8C ．6D ．32答案 C解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128D ．243答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求a n 的表达式．(1)证明 ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3.∴数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，公比q ＝3的等比数列． (2)解 由(1)得a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.1.等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不可能为零． (2)a n ＋1a n 均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列． 2．等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列．(2)在公式a n ＝a 1q n －1中有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量． 3．等比中项的理解(1)当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个；当a ，b 异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab ”(a ，b 均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列．4．判断一个数列是不是等比数列的常用方法有：(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋且a n ≠0)⇔{a n }为等比数列． (3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．一、基础达标1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D. 32答案 C解析 由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于 ( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24答案 A解析 由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0， 解得x ＝－1或x ＝－3.当x ＝－1时，前三项为－1,0,0不成立，舍掉． 当x ＝－3时，前三项为－3，－6，－12，公比为2，所以第四项为－24.4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.5．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________. 答案 2解析 由a 3＝a 1 q 2＝3，得a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.6．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________． 答案 80,40,20,10解析 设这6个数所成等比数列的公比为q ， 则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7．已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .解 方法一 ∵a 1a 3＝a 22，∴a 1a 2a 3＝a 32＝8，∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12.故a n ＝2n －1或a n ＝23－n .方法二 由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝7，a 1q ＝2，①②将a 1＝2q 代入①得2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，由②得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.∴a n ＝2n －1或a n ＝23－n .二、能力提升8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12答案 C解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.9．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2. 10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________． 答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0. ∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.11．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为bq，b ，bq ，则有bq·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ， ∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.12．已知三个数成等比数列，它们的积为27，平方和为91，求这三个数． 解 设这三个数为aq，a ，aq ，由已知得⎩⎨⎧aq·a ·aq ＝27，a2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2(1q 2＋1＋q 2)＝91⇒9q 4－82q 2＋9＝0，∴q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13，故所求三个数为1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1. 三、探究与创新13．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2，3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15. 下面证明{a n －n }是等比数列：证明：a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n＝3a n －3na n －n ＝3(n ＝1,2,3，…)． 又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.。

2.3.1等比数列（第一课时）教学目标：1．理解等比数列的定义．2．掌握等比数列的通项公式教学重点：等比数列的定义及通项公式教学过程一、1.折纸问题的例子2.数列：ΛΛ,625,125,25,5 ΛΛ,81,41,21,1--观察、归纳其共同特点：1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q )2任一项00≠≠q a n 且 3q = 1时，{a n }为常数 二、通项公式：1.等比数列的通项公式1:)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n由等比数列的定义，有： q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===；312134)(q a q q a q a a ===； … … … …… … …)0(1111≠⋅⋅==--q a q a q a a n n n 2．等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n 3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4.图像是经过压缩或拉伸的指数函数图像上的若干孤立点三、补充例子：例1求下列各等比数列的通项公式：1． 1a =2, 3a =8解：24213±=⇒=⇒=q q q a a n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或2． 1a =5, 且21+n a =3n a 解：111)23(5523-+-⨯=∴=-==n n n n a a a a q 又： 例2培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？ 解：由于每一代的每一粒种子都可得120粒种子，所以每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为{}n a其中101551105.2120120,120,120⨯≈⨯=∴==-a q a 答：到第5代大约可以得到种子2.51010⨯粒.小结：本节课主要学习了等比数列的定义，即：)0(1≠=-q q a a n n 等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 及推导过程课堂练习：第50页练习A,B课后作业：第54页：1，2，3。

2.3.1 等比数列学习目标：1.理解等比数列的定义.2.掌握等比数列的通项公式及其应用.3.熟练掌握等比数列的判定方法.学习过程：基础初探1.等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0).(2)符号语言：a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0，n ∈N ＋). 2.等比中项(1)前提：三个数x ，G ，y 成等比数列.(2)结论：G 叫做x ，y 的等比中项.(3)满足的关系式：G 2＝xy .2.等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1q n －1.这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比.3.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列a 1q ·q n 中的各项的点是函数y ＝a 1q·q x 的图象上的孤立点. 例题探究：类型1：等比数列的判断与证明例1：(1)下列数列是等比数列的是( )A ．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…B ．－1,1，－1,1，－1，…C ．0,2,4,6,8,10，…D ．a 1，a 2，a 3，a 4，…(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列.变式训练1：已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式.类型2：等比中项例2：(1)等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( ) A ．±4 B ．4 C ．±14 D ．14(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项.变式训练2：设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8类型3：等比数列的通项公式:例3：(1)在等比数列{a n }中，已知a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n ；(2)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求数列{a n }的通项公式a n .变式训练3：在等比数列{a n }中，(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5；(2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .课堂检测：1.在等比数列{a n }中，若a 1＜0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于（ ）A ．32B ．23C ．－23D ．23或－232.如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－93.在等比数列{a n }中，若a 3＝3，a 4＝6，则a 5＝________.4.已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.5.在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8，(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a n ＝12，求n .参考答案例题探究：例1：(1)【解析】A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A.B.由等比数列定义知该数列为等比数列.C.等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列.D.当a ＝0时，该数列不是等比数列；当a ≠0时，该数列为等比数列.【答案】B(2)证明：∵S n ＝2－a n ，∴S n ＋1＝2－a n ＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1，∴a n ＋1＝12a n . 又∵S 1＝2－a 1，∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0， ∴a n ＋1a n ＝12，∴{a n }是等比数列. 变式训练1：证明：由已知得，a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，故b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123-(n +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫123-n ＝⎝⎛⎭⎫123-(n +1)-3+n ＝⎝⎛⎭⎫12-1＝2，∴数列{b n }是等比数列.∵b 1＝⎝⎛⎭⎫123-1＝14， ∴b n ＝⎝⎛⎭⎫14×2n -1＝2n -3. 例2：(1)【解析】由a n ＝18·2n -1＝2n -4知，a 4＝1，a 8＝24，所以a 4与a 8的等比中项为±4. 【答案】A(2)证明：b 是a ，c 的等比中项，则b 2＝ac ，且a ，b ，c 均不为零， 又(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，(ab ＋bc )2＝a 2b 2＋2ab 2c ＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，所以(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)·(b 2＋c 2)， 即ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项.变式训练2：【解析】∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)，k ＝4.【答案】B例3：解：(1)法一 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ① a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12 n -1＝1，即26-n ＝20，所以n ＝6.法二 因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12. 由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32.由a n ＝a 1q n -1＝1，得n ＝6.(2)由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0， 又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10>0⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .变式训练3：解：(1)∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3， ∴a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3， a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ① a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n -1＝2532n -.课堂检测： 1.【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝18， a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝27， q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27， q ＝－23. 又a 1＜0，因此q ＝－23.【答案】C2.【解析】因为b 2＝(－1)×(－9)＝9，a 2＝－1×b ＝－b ＞0，所以b ＜0，所以b ＝－3，且a ，c 必同号.所以ac ＝b 2＝9.【答案】B3.【解析】法一：由q ＝a 4a 3＝63＝2，所以a 5＝a 4q ＝12. 法二：由等比数列的定义知，a 3，a 4，a 5成等比数列，a 4a 3＝a 5a 4，∴a 24＝a 3·a 5，∴a 5＝a 24a 3＝12. 【答案】124.【解析】由已知可知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32， 所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n -1.【答案】4×⎝⎛⎭⎫32n -15.解：(1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14. 所以q ＝±12. 当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫12n -3＝28－n ； 当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫－12n -3. 所以a n ＝28-n 或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n -3. (2)当a n ＝12时，28-n ＝12或32×⎝⎛⎭⎫－12 n -3＝12，解得n ＝9.。

2.3.1等比数列（学案）教学目的：1.掌握等比数列的定义.2.理解等比数列的通项公式及推导3.理解等比中项概念.教学重点：等比数列的定义及通项公式教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题教学过程：1．等差数列的定义：（n≥2，n∈N错误！未找到引用源。

）2．等差数列的通项公式：如何得到等差数列的通项公式？3．几种计算公差d的方法：4．等差中项：5．等差数列的性质：6．数列的前n项和错误！未找到引用源。

：错误！未找到引用源。

，当d≠0，是一个常数项为零的二次式7．错误！未找到引用源。

是等差数列前n项和，则仍成等差数列下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?2，4，8，16，…; ①5，25，125，625，…；②错误！未找到引用源。

，…；③1．等比数列：【问题1】：为什么错误！未找到引用源。

？等比数列中的项有可能等于0吗？【问题2】：错误！未找到引用源。

时，此等比数列是，因此，既是等差数列又事等比数列。

2. 等比数列的通项公式1:等比数列的通项公式2:由等比数列的定义，有：错误！未找到引用源。

；错误！未找到引用源。

；错误！未找到引用源。

；………错误！未找到引用源。

【问题3】：已知数列错误！未找到引用源。

的通项公式为错误！未找到引用源。

，试问这个数列是等比数列吗？【问题4】：已知等比数列的公比为错误！未找到引用源。

，第m项为错误！未找到引用源。

，试求其第n项错误！未找到引用源。

？练习：已知等比数列错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

3．等比中项：【问题5】：已知m+n=p+q，求错误！未找到引用源。

的关系？练习：在4与错误！未找到引用源。

之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数？------练习A,练习B1. 求下列各等比数列的通项公式错误！未找到引用源。

：(1).错误！未找到引用源。

=-2, 错误！未找到引用源。

=-8 (2).错误！未找到引用源。

§2.4.1等比数列（一）讲义编写者：数学教师秦红伟下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）1，2，4，8，16，…，263; ① 1，21，41，81，…； ② 1，3220,20,20，…； ③ ......1098.1,1098.1,0198.132 ④对于数列①，n a =12-n ; 1-n n a a =2（n ≥2）．对于数列②， n a =121-n ；211=-n n a a （n ≥2）．对于数列③，n a =120-n ; 1-n n a a =20（n ≥2）． 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．一、【学习目标】1、理解和掌握等比数列概念．2、等比数列的通项公式的推导及应用，等差数列＂等比＂的理解、把握和应用；二、【自学内容和要求及自学过程】阅读教材第48—51页内容，然后回答问题1．等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0）. 思考：（1）等比数列中有为0的项吗？ （2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ； ｛n a ｝成等比数列⇔n n a a 1+=q （+∈N n ，q ≠0．）(2) 隐含：任一项00≠≠q a n 且(3) q = 1时，{a n }为常数数列． （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．2.等比数列的通项公式1: )0,(111均不为q a q a a n n -⋅=观察法：由等比数列的定义，有：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===；… …)0(1111≠⋅==--q a q a q a a n n n ，．迭乘法：由等比数列的定义，有：q a a =12；q a a =23；q a a =34；…；q a a n n =-1 所以11342312--=⋅⋅n n n q a a a a a a a a ，即)0(111≠⋅=-q a q a a n n ， 3.等比数列的通项公式2: )0(≠⋅=-q a qa a m m n m n ， 三、例题讲解例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：23231218=⇒=q .316328,832122132=⨯===⨯==∴q a a q a a 例2．求下列各等比数列的通项公式：;8,2 )1(31-=-=a a n n a a a 32,5 )2(11-==+且解：(1)24213±=⇒=⇒=q q q a a n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或 (2)111)23(5523-+-⨯=∴=-==n n n n a a a a q 又： 例3．已知数列{a n }满足12,111+==+n n a a a ，（1）求证数列{a n +1}是等比数列；（2）求n a 的表达式。

2.3.1 等比数列学习目标1.掌握等比数列的性质及其应用.2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.3.能用递推公式求通项公式.学习过程基础初探1.“子数列”性质对于无穷等比数列{a n }，若将其前k 项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k ＋1，公比为q ；若取出所有的k 的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k ，公比为q k .2.等比数列项的运算性质在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ·a n ＝a p ·a q .①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N ＋)时，a m ·a n ＝a 2k .②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….3.两等比数列合成数列的性质若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也为等比数列.例题探究类型1：等比数列性质的应用例1：已知{a n }为等比数列，(1)等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5； (2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值.变式训练1：已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8.求a 1＋a 10.类型2：灵活设元求等比数列例2：有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数.变式训练2：三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.类型3：由递推公式转化为等比数列求通项例3：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式.变式训练3：已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式.课堂检测：1.将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列2.若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值等于( )A ．－12B ．12C ．±12D ．143.已知在等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A ．56 B ．65 C ．23 D ．324.在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________.参考答案例题探究：例1：解：(1)等比数列{a n }中，因为a 2a 4＝12， 所以a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12， 所以a 1a 23a 5＝14. (2)由等比中项，化简条件得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)]＝log 395＝10.变式训练1：解：因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2， a 4a 7＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4， a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2， a 7＝4， 所以q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝－7. 例2：解：法一：设前三个数为a q，a ，aq ， 则a q·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216，所以a ＝6.因此前三个数为6q，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23. 故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2，由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216，解得4－d ＝6，所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.变式训练2：解：设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵a q·a ·aq ＝512， ∴a ＝8.∵⎝⎛⎭⎫a q －2＋(aq －2)＝2a ，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12， ∴这三个数为4,8,16或16,8,4.例3：(1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，①∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1.∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12.∵首项c 1＝a 1－1， 又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∴c 1＝－12， 又c n ＝a n －1，∴q ＝12. ∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列. (2)解：由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n -1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n .∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n. 又b 1＝a 1＝12，代入上式也符合， ∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n .变式训练3：解：a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2， 即b n ＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4(b n ＋23). 又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，所以b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23. 课堂检测：1.【解析】由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1×a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N ＋， ∴{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B.【答案】B2.【解析】∵1，a 1，a 2，4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0， ∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12. 【答案】A3.【解析】由a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，a 6＜a 4，得a 6＝2，a 4＝3，a 5a 7＝a 4a 6＝32，故选D. 【答案】D4.【解析】∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24，∴a 24＋a 28＝41. 又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49. ∵数列各项都是正数，∴a 4＋a 8＝7.【答案】7。

2.3.1 等比数列学习目标：1.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题;3.体会等比数列与指数函数的关系.学习过程：1．等比数列的判定方法有以下几种(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列；(2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列；(3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列；(4)前n 项和法：若S n ＝A (q n －1)，(A ≠0，q ≠0且q ≠1)则{a n }是等比数列，其中A ＝a 11－q .例如：等比数列{a n }的前n 项和是S n ＝32－n －t ，则t 的值是________． 2．等比数列的通项公式 (1)通项公式a n ＝a 1q n －1 (其中a 1为等比数列{a n }的首项，q 为其公比)． (2)等比数列与函数的关系由通项公式a n ＝a 1q n －1，可得a n ＝a 1q q n ，当q >0，且q ≠1时，y ＝q x 是一个指数函数，而y ＝a 1q q x 是一个不为零的常数与指数函数的积．因此等比数列{a n }的图象是函数y ＝a 1q q x 的图象上的一些离散点．例如：已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1，且b n >0，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则a 6与b 6的大小关系是__________． 3．等比数列的前n 项和 等比数列前n 项和公式为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 (q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).注意：等比数列前n 项和公式有两种形式，运用该公式求和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当公比q 不确定时，要注意对q 分q ＝1和q ≠1进行讨论．例如：1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝____________________.(其中a ≠0) 4．等比数列的常用性质在等比数列{a n }中，(1)对任意的正整数m ，n ，有a n ＝a m q n－m.(2)对于任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m ·a n ＝a p ·a q .(3)当⎩⎨⎧ a 1>0q >1或⎩⎨⎧a 1<00<q <1时，{a n }是递增数列；当⎩⎨⎧a 1>00<q <1或⎩⎨⎧a 1<0q >1时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }为常数列； 当q <0时，{a n }为摆动数列．(4)若S n 为等比数列的前n 项和，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，S (m ＋1)k －S mk ，…成等比数列(q ≠－1或k 为奇数)．(5)若S n 表示等比数列的前n 项和，公比为q ，则有S m ＋n ＝S m ＋q m S n . 例如：在等比数列{a n }中，a 5＝7，a 8＝56，则通项a n ＝____________. 例题探究：一、等比数列的判断与证明方法链接：证明数列是等比数列常用的方法： ①定义法：a n ＋1a n＝q (常数)；②等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (a n ≠0，n ∈N *)；③通项法：a n ＝a 1q n －1 (a 1q ≠0，n ∈N *)要证明一个数列不是等比数列，只需证明相邻三项不成等比即可．例如：a 1a 3≠a 22.例1：已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．二、等比数列基本量运算方法链接：在等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式中共有五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程组求出另外两个量．例2：设数列{a n }为等比数列，且a 1>0，它的前n 项和为80，且其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6 560.求此数列的通项公式．三、等比数列的性质及应用方法链接：对于等比数列，还有以下的常用结论：(1)如果数列{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，那么数列{c ·a n }仍是等比数列；(2)如果{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，那么数列{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，间隔相同的项构成的数列，仍是等比数列．如a 1，a 4，a 7，a 10，…； (4)S n 为等比数列{a n }的前n 项和，一般地：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列(q ≠－1或n 为奇数)；(5)若{a n }是公比为q 的等比数列，则S m ＋n ＝S n ＋q n S m .解等比数列问题时，熟练运用上述性质，进行整体代换，可以简化解题过程，提高解题速度． 例3：在等比数列{a n }中，(1)若q ＝12，S 99＝77，求a 3＋a 6＋…＋a 99的值；(2)若{a n }的前m 项和为2，其后2m 项和为12，求再后3m 项的和．四、错位相减求前n 项和方法链接：等比数列{a n }的前n 项和公式的推导方法即错位相减法是很重要的方法，必须熟练掌握．该法主要应用于已知数列求和中，各项的组成是等差数列和等比数列对应项乘积构成的新数列的求和问题．例4：设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .五、等差中项与等比中项的运用方法链接：一个等比数列，除可以按定义设为a 1，a 1q ，a 1q 2，…之外，若已知连续三项，常可设为aq，a ，aq ，然后应用等差中项或等比中项建立方程求解．例5：互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．六、等差数列与等比数列的公共项问题方法链接：1.一般地，两个等差数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等差数列．公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数．2．一般地，一个等差数列与一个等比数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等比数列．例6：设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n ＝32(a n －1) (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)将数列{a n }、{b n }的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{d n }，证明数列{d n }的通项公式为d n ＝32n +1 (n ∈N *)．课堂检测：1．求1＋2＋22＋…＋2n 的和．2．已知等比数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝12，求数列{a n }的通项公式．3．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值．4．已知数列{c n }，其中c n ＝2n ＋3n ，且数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，求常数p .5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .参考答案学习过程：1．例如：【解析】∵{a n }是等比数列， ∴S n ＝32－n －t ＝9·⎝⎛⎭⎫13n －t ＝9⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1， ∴t ＝9. 【答案】92．例如：【解析】∵b n >0，∴b 1>0，q >0.点(n ，b n )分布在函数y ＝⎝⎛⎭⎫b 1q q x 的图象上．点(n ，a n )分布在函数y ＝dx ＋(a 1－d )的图象上． 当q >1时，它们的图象如图1所示； 当0<q <1时，它们的图象如图2所示； 其中直线方程是y ＝dx ＋(a 1－d )， 曲线方程是y ＝⎝⎛⎭⎫b 1q q x .直线x ＝6与直线y ＝dx ＋(a 1－d )的交点为(6，a 6)，与曲线y ＝⎝⎛⎭⎫b 1q ·q x 的交点为(6，b 6)． 无论q >1还是0<q <1都有a 6>b 6. 【答案】a 6>b 63．例如：【答案】⎩⎪⎨⎪⎧n ， (a ＝1)1－a n 1－a ， (a ≠1)4．例如：【解析】a 8＝a 5q 3， ∴q 3＝8，q ＝2， ∴a n ＝a 5q n －5＝7×2n －5. 【答案】7×2n －5 例题探究：例1：(1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾． 所以{a n }不是等比数列．(2)解：因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21] ＝(－1)n +1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0 (n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由上可知b n ≠0， 所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．综上，λ＝－18时，{b n }不是等比数列； λ≠－18时，{b n }是等比数列．例2：【解析】因为前n 项和与2n 项和已知，这为建立方程提供了条件，由此可求得首项a 1与公比q 之间的关系，进而确定a n . 解：设数列的公比为q ，由S n ＝80，S 2n ＝6 560，得q ≠1，否则S 2n ＝2S n .∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝80， ①a 1(1－q 2n )1－q＝6 560. ②②①，得q n ＝81. 将q n ＝81代入①得，a 1＝q －1.③又∵a 1>0，∴q >1.∴数列{a n }是递增数列． 从而，a 1q n -1＝54，∴a 1q n ＝54q ，∴81a 1＝54q .④ ③④联立，解得q ＝3，a 1＝2. ∴a n ＝a 1q n -1＝2×3n -1.例3：解：(1)S 99＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋(a 2＋a 5＋…＋a 98)＋(a 3＋a 6＋…＋a 99) ＝⎝⎛⎭⎫1q 2＋1q ＋1(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝7(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝77 ∴a 3＋a 6＋…＋a 99＝11.(2)涉及{a n }的前6m 项，把每m 项之和依次记作：A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，则它们成等比数列公比记作q .且A 1＝2，A 2＋A 3＝12，∴A 2＋A 3＝2q ＋2q 2＝12， ∴q ＝2或q ＝－3当q ＝2时，A 4＋A 5＋A 6＝A 1(q 3＋q 4＋q 5) ＝2×(23＋24＋25)＝112；当q ＝－3时，A 4＋A 5＋A 6＝A 1(q 3＋q 4＋q 5) ＝2×[(－3)3＋(－3)4＋(－3)5]＝－378. ∴后3m 项的和为112和－378. 例4：解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2， a 1也满足上式．故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2， 即{a n }是a 1＝2，公差d ＝4的等差数列． 设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1，d ＝4，∴q ＝14.故b n ＝b 1q n -1＝2×14n －1，即{b n }的通项公式为b n ＝24n－1.(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝1＋3×4＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1，4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n . 两式相减得3T n ＝－1－2×(4＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n ＋5]， ∴T n ＝19[(6n －5)4n ＋5]．例5：解：设三个数为aq ，a ，aq ，∴a 3＝－8，即a ＝－2，∴三个数为－2q，－2，－2q .(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q ＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾；(2)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)，∴三个数为4,1，－2；(3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q ，∴q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴三个数为4,1，－2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1，－2或－2,1,4. 例6：(1)解：由已知A n ＝32(a n －1) (n ∈N *)．当n ＝1时，a 1＝32(a 1－1)，解得a 1＝3.当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝32(a n －a n －1)，由此解得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3 (n ≥2)．所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列， 故a n ＝3n (n ∈N *)．(2)证明：由计算可知a 1，a 2不是数列{b n }中的项．因为a 3＝27＝4×6＋3，所以d 1＝27是数列{b n }中的第6项． 设a k ＝3k 是数列{b n }中的第m 项， 则3k ＝4m ＋3 (k ，m ∈N *)，因为a k ＋1＝3k ＋1＝3·3k ＝3(4m ＋3)＝4(3m ＋2)＋1， 所以a k ＋1不是数列{b n }中的项．而a k ＋2＝3k ＋2＝9·3k ＝9(4m ＋3)＝4(9m ＋6)＋3， 所以a k ＋2是数列{b n }中的项．由以上讨论可知d 1＝a 3，d 2＝a 5，d 3＝a 7，…，d n ＝a 2n ＋1. 所以数列{d n }的通项公式是 d n ＝a 2n ＋1＝32n ＋1 (n ∈N *)． 课堂检测：1．解：这是一个首项为1，公比为2的等比数列前n ＋1项的和， 所以，1＋2＋22＋…＋2n ＝1－2n ＋11－2＝2n ＋1－1.2．解：当q ＝1时，a 3＝4，a 1＝a 2＝a 3＝4， S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12，∴q ＝1符合题意．a n ＝4. 当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝4S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12解得：q ＝－12，a n ＝a 3q n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. 故数列通项公式为a n ＝4或a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. 3．解：∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ， 则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0. ∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.4．解：方法一 因为{c n ＋1－pc n }是等比数列， 所以当n ≥2时，有(c n ＋1－pc n )2＝(c n ＋2－pc n ＋1)(c n －pc n －1)， 将c n ＝2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1＋3n ＋1－p (2n ＋3n )]2＝[2n ＋2＋3n ＋2－p (2n ＋1＋3n ＋1)]·[2n ＋3n －p (2n －1＋3n －1)] 即[(2－p )2n ＋(3－p )3n ]2＝[(2－p )2n ＋1＋(3－p )3n ＋1][(2－p )2n －1＋(3－p )·3n －1]， 整理得16(2－p )(3－p )·2n ·3n ＝0.解得p ＝2或p ＝3. 方法二 由c n ＝2n ＋3n ，得c 1＝5，c 2＝13，c 3＝35，c 4＝97. 因而数列{c n ＋1－pc n }的前三项依次为 13－5p,35－13p,97－35p .由题意得：(35－13p )2＝(13－5p )(97－35p ) 整理得：p 2－5p ＋6＝0，∴p ＝2或p ＝3.当p ＝2时，c n ＋1－pc n ＝(2n ＋1＋3n ＋1)－2(2n ＋3n )＝3n ， ∴c n ＋2－pc n ＋1c n ＋1－pc n＝3n ＋13n ＝3.∴此时{c n ＋1－pc n }是等比数列．同理p ＝3时数列{c n ＋1－pc n }也是等比数列， ∴p ＝2或p ＝3.方法三 {c n ＋1－pc n }是等比数列⇔c n ＋2－pc n ＋1c n ＋1－pc n＝常数． ∵c n ＋2－pc n ＋1c n ＋1－pc n ＝(2－p )2n ＋1＋(3－p )3n ＋1(2－p )2n ＋(3－p )3n ＝2[(2－p )2n ＋(3－p )3n ]＋(3－p )3n (2－p )2n ＋(3－p )3n＝2＋(3－p )3n(2－p )2n ＋(3－p )3n＝2＋3－p (2－p )⎝⎛⎭⎫23n ＋(3－p )为使c n ＋2－pc n ＋1c n ＋1－pc n为常数，也就是使2＋3－p (2－p )⎝⎛⎭⎫23n ＋(3－p )为常数. ∴p －2＝0或p －3＝0，∴p ＝2或p ＝3.5．解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3. 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.。