2020高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列学案5

§2.4 等比数列(一)学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用(重点)；2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程(重、难点).知识点1等比数列的定义及通项公式【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列的公比可以为任意实数.()(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.()(3)常数列既是等差数列又是等比数列.()提示(1)公比不可以为0.(2)应为同一个常数.(3)0数列除外.答案(1)×(2)×(3)×知识点2等比中项的概念如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab.【预习评价】1.已知等比数列{a n}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝________.解析∵a3＝a1·q2.∴9＝q 2，∴q ＝±3，∴a 2＝a 1q ＝±3.答案 ±32.3与27的等比中项是________.解析 由于G 2＝3×27＝81，故G ＝±9.答案 ±9题型一 等比数列通项公式的应用【例1】 在等比数列{a n }中，(1)已知a 3＝9，a 6＝243，求a 5；(2)已知a 1＝98，a n ＝13，q ＝23，求n .解 (1)法一 由a 3＝9，a 6＝243，得a 1q 2＝9，a 1q 5＝243.∴q 3＝2439＝27，∴q ＝3.∴a 1＝1.∴a 5＝a 1q 4＝1×34＝81.法二 ∵a 6＝a 3q 3，∴q 3＝a 6a 3＝2439＝27，∴q ＝3. ∴a 5＝a 3q 2＝9×32＝81.(2)∵a 1＝98，q ＝23，a n ＝13，∴13＝98×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233. ∴n －1＝3，∴n ＝4.规律方法等比数列的通项公式及变形的应用1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n＝a1q n－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n＝a m q n－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.【训练1】在等比数列{a n}中.(1)已知a n＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知a n＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.解(1)∵a n＝a1·q n－1，∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.(2)a1＝a nq n－1＝62554－1＝5，故a1＝5.(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，a n＝a1q n－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{a n}的公比为2或－2，对应的通项公式分别为a n＝2n或a n＝(－1)n－12n.题型二等比中项及其应用【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项. 解设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168，a 1q （1－q 3）＝42.∵1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2).上述两式相除，得q (1－q )＝14⇒q ＝12.∴a 1＝42q －q 4＝4212－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝96. 若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9. ∴a 5，a 7的等比中项是±3.规律方法 (1)首项a 1和q 是构成等差数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.【训练2】 已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值. 解 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2＜0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *).(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列.(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列.【迁移1】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1(n ∈N *).(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式.(1)证明 令a n ＋1＋k ＝2(a n ＋k )，即a n ＋1＝2a n ＋k ，与a n ＋1＝2a n ＋1比较得k ＝1.又a 1＋1＝2，b n ＝a n ＋1，故数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)解 法一 由(1)知，a n ＋1＝2·2n －1，∴a n ＝2n －1.法二 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＝2a n －1＋1(n ≥2).∴a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1).∴{a n ＋1－a n }为等比数列，其中首项为a 2－a 1＝2a 1＋1－a 1＝a 1＋1＝2，公比q ＝2.则a n ＋1－a n ＝2·2n －1＝2n .∴2a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝2n －1.【迁移2】 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n . 解 令a n ＋1－A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. 由已知条件知A 3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又a 1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－23≠0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列. 于是a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1， 故a n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列.(2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列.(3)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)，则数列{a n }为等比数列.(4)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b 关系时，往往构造数列，方法是把a n ＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可.课堂达标1.在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )A.16B.16或－16C.32D.32或－32 解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q ＝32.答案 C2.已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A.6B.－6C.±6D.±12解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，∴ab ＝±6.答案 C3.45和80的等比中项为________.解析 设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80，∴G ＝±60.答案 －60或604.已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝18，a 4＝－1，则数列{a n }的公比q 为________.解析 q 3＝a 4a 1＝－8，所以q ＝－2. 答案 －25.已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？解 不是等比数列.∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35，∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列.课堂小结1.等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数). (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).2.两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方.3.等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.。

2.4等比数列【学习目标】理解等比数列、等比中项的概念，能推导并掌握通项公式，能熟练运用通项公式和一些常用性质解决有关问题． 【重点难点】重点：等比数列的定义和通项公式及其应用．难点：等比数列的通项公式的应用．【学法指导】学习本节一定要认真阅读教材，运用从特殊到一般和类比等差数列的定义、通项公式的方法归纳等比数列的定义、通项公式． 一.课前预习阅读课本4852P P 页，弄清下列问题：1．等比数列的概念： ．2．用数学式子表示等比数列的定义： {}n a 是等比数列，则*1()n na q n N a +=∈． 强调：（1）“从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，要防止在求公比 时，把相邻两项比的次序颠倒．（3）当公比q ＝ 时，等比数列是常数列，该数列也是等差数列．（4）等比数列的每一项都不为 ．3．等比数列的通项公式： ． 4．等比中项的定义： ． 5．快乐体验：(1)若等比数列155,45a a ==，求公比q ； (2)若等比数列12,33a q ==，求4a ．(3)若等比数列3312,2a q ==，求1a ； (4)若等比数列的12,54,3,n a a q ===求n ．(5)若4,9a b ==，求,a b 的等比中项．二．课堂学习与研讨例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%．这种物质的半衰期为多长？（精确到1年）（参考数据：lg 20.3010,lg0.840.0757,0.30100.0757 3.98==-÷≈）练习1．（教材53P 练习5）某人买了一辆价值13．5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧． （1）用一个式子表示*()n n N ∈年后这辆车的价值；（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？例2．等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．练习2. 在等比数列{}n a 中，473,81,n a a a ==求.小结：3．等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab =． 三.课堂检测1．若a ,22a +,33a +成等比数列，则实数a 的为 ．2．在等比数列中，（1）若已知2514,2a a ==-求n a ． （2）若253618,9,1n a a a a a +=+==，求n .四．作业 1． P53A1 2. 在83和272之间插入3个数，使这五个数成等比数列，求这三数？3. 在等比数列{}n a 中，已知1910185,100,a a a a =⋅=求.2.5等比数列的前n 项和公式【学习目标】1.掌握等比数列的前n 项和公式11,1(1),11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨⎪≠-⎩2.在等比数列{}n a 中，n n s n d a a 、、、、1五个量中“知三求二”.3.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想. 【重点难点】重点：等比数列前n 项和公式的推导和运用.难点：等比数列前n 项和公式的推导. 【学法指导】学习本节时好好体会错位相减法求和的思路，分析等比数列的通项公式和前n 项和公式的特点，体会知三求二的方程思想． 一.课前预习 预习课本5557P P 页，回答下列问题：1．传说，很早以前，印度的一位宰相发明了国际象棋，当时的国王非常高兴，决定奖赏他，国王允许宰相提出任何要求，于是这位聪明的宰相便请国王在国际象棋棋盘的第一个格子里放入一颗麦粒，第二个格子里放入两颗麦粒，第三个……，就这样，依此类推，要求从第二个格子起，每个格子里的麦粒数是前一个格子里麦粒数的两倍，他请求国王给予他这些麦粒的总和。

§2.4 等比数列(一) 课时目标1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用．3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式：a n ＝a 1q n －1. 3．等比中项的定义如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab .一、选择题1．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1± 2.∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2.∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )A.53B.43C.32D.12答案 A解析 设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，∴这三个数45,75,125，公比q 为7545＝53.6．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于() A.5－12 B.5＋12C.12 D ．不确定答案 A解析 a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q －1)(q 2－q －1)＝0 (q ≠1)，∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 (q ＝1－52<0舍)∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－12.二、填空题7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. 答案 4·(32)n －1解析 由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，∴a n ＝4·(32)n －1.8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则 a 6＋a 7＝________.答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋32)×32＝18.9．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 答案 5解析 设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4， 得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5. 10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 答案 5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12.三、解答题11．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3. 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． 能力提升13．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.答案 －9解析 由题意知等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9.14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求a n 的表达式．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.(2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项a 1＋1＝2.∴a n＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n. ∴a n＝2n－1.。

新人教A 版高中数学必修5：等比数列的概念与通项公式A 级 基础巩固一、选择题1．下列数列为等比数列的是( ) A ．0，0，0，0，… B ．22，42，62，82，…C ．q －1，(q －1)2，(q －1)3，(q －1)4，… D ．1a ，1a 2，1a 3，1a4，…解析：A 选项中，由于等比数列中的各项都不为0，所以该数列不是等比数列；B 选项中，4222≠6242，所以该数列不是等比数列；C 选项中，当q ＝1时，数列为0，0，0，…，不是等比数列；D 选项中的数列是首项为1a ，公比为1a的等比数列，故选D.答案：D2．(多选)已知等比数列{a n }中，满足a 1＝1，公比q ＝－2，则( ) A ．数列{2a n ＋a n ＋1}是等比数列 B ．数列{a n ＋1－a n }是等比数列 C ．数列{a n a n ＋1}是等比数列 D ．数列{log 2|a n |}是递减数列解析：因为{a n }是等比数列，所以a n ＋1＝－2a n ，2a n ＋a n ＋1＝0，故A 项错．a n ＝a 1·q n －1＝(－1)n －1·2n －1，a n ＋1＝(－1)n ·2n ，于是a n ＋1－a n ＝(－1)n·2n－(－1)n －1·2n －1＝3(－2)n －1，故{a n ＋1－a n }是等比数列，故B 项正确．a n a n ＋1＝(－1)n －1·2n －1·(－1)n ·2n ＝(－2)2n －1，故C 项正确．log 2|a n |＝log 22n －1＝n －1，是递增数列，故D 项错．答案：BC3．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4， 则a n ＝( )A ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nD ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：由题意得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5， 故a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝32，a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：B4．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.13C.12D.1解析：a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，a 4＝8a 1， 所以2a 1＋a 22a 3＋a 4＝4a 116a 1＝14.答案：A5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：因为log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，所以a n ＋1＝3a n ， 又a n ≠0.所以数列{a n }是以3为公比的等比数列． 所以a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9.所以a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3·(1＋q 2＋q 4)＝35. 所以log 1335＝－5.答案：A 二、填空题6．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝4，则数列{lg a n }的通项公式为____________．解析：因为a 5＝a 4q ，所以q ＝2，所以a 1＝a 4q 3＝14，所以a n ＝14·2n －1＝2n －3，所以lg a n ＝(n －3)lg 2.答案：lg a n ＝(n －3)lg 27．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 解析：因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1(舍去)，所以a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.答案：48．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值为________．解析：因为－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ， 则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，因为－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， 所以b 22＝(－1)×(－4)＝4， 所以b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2， 所以b 2＜0，所以b 2＝－2， 所以a 2－a 1b 2＝－1－2＝12. 答案：12三、解答题9．在等比数列{a n }中． (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n . 解：(1)由等比数列的通项公式得，a 6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1qn －1＝5×2n －1.10．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求证：{a n }是等比数列，并求出其通项． (2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．(1)证明：因为2a n ＝3a n ＋1， 所以a n ＋1a n ＝23. 又因为数列{a n }的各项均为负数， 所以a 1≠0，所以数列{a n }是以23为公比的等比数列．所以a n ＝a 1·q n －1＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.所以a 2＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝23a 1， a 5＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫235－1＝1681a 1，又因为a 2·a 5＝23a 1·1681a 1＝827，所以a 21＝94.又因为a 1<0，所以a 1＝－32.所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2(n ∈N *)．(2)解：令a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝－1681，则n －2＝4，n ＝6∈N *，所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项．B 级 能力提升1．(多选)已知数列{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则以下一定是等比数列的是( )A ．{2a n }B ．{a 2n } C ．{a n ＋1·a n }D ．{a n ＋1＋a n }解析：因为数列{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则a n ＋1a n＝q ， 对于A 项，2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ，因为a n ＋1－a n 不是常数，故A 项错误．对于B 项，a 2n ＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2，因为q 2为常数，故B 项正确．对于C 项，a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝q 2，因为q 2为常数，故C 项正确．对于D 项，若a n ＋1＋a n ＝0，即q ＝－1时，该数列不是等比数列，故D 项错误． 答案：BC2．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝ 10a n ＋1，则公比q ＝________．解析：因为等比数列{a n }为递增数列，且a 1＝－2<0， 所以0<q <1，又因为3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，两边同除a n ， 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13.而0<q <1，所以q ＝13.答案：133．设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式及项的最大值．(1)解：根据根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝an ＋1a n，αβ＝1an.代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3， 得6a n ＋1a n －2a n＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －23.若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0， 所以a n ≠23，即a n －23≠0.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列．(3)解：当a 1＝76时，a 1－23＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以首项为12，公比为12的等比数列．所以a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 所以a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n ＝1，2，3，…，即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n ＝1，2，3，….由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上单调递减知，当n ＝1时，a n 的值最大，即最大值为a 1＝76.。

2.4.1等比数列第一课时一、教学目标1.核心素养通过学习等比数列提高从数学角度发现和提出、分析和解决问题的能力,锻炼数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）由特殊到一般,理解并会判断等比数列.（2）掌握等比数列通项公式及证明.（3）应用等比数列知识解决相应问题.3.学习重点（1）等比数列定义及判断.（2）通项公式的推导.4.学习难点会用等比数列解决相应问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材,思考:什么是等比数列?任务2观察等比数列,总结等比数列的规律,前后两项的比值可以是任意实数吗?任务3结合之前的探索,能写出其通项公式吗?等比数列何时递增,递减,或者变成等差数列?2．预习自测1．数列4,16,64,256…是什么数列?第五项是多少?答案:等比数列；1024.【知识点:等比数列】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=2．在等比数列{}n a 中,472,16,a a ==则n a ＝________．.23-n 答案：【知识点:等比数列通项公式】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=,由题意求出n 和q 3．已知x ,y ,z ∈R ,若－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,则xyz 的值为（ ） A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3 答案:C【解析】∵-1,x,y,z ,-3成等比数列,∴2y =xz =（-1）×（-3）=3,且2x y =-＞0,即y”的什么条件？有都”是“对任意正整数是公比，则“是首项，等比数列中n n a a n q a q a >>>+111,1,0,.4答案:充分不必要条件.【知识点:等比数列通项公式,充要条件的判断；数学思想:推理论证能力】【解析】充分不必要条件.由q >1,得1n n q q ->,又10a >得111n n a q a q -⋅>⋅即1n a +>n a 反之不然.取11n n a a q -==)21(n-,可得 1n a +>n a ,但1a =21-（二）课堂设计 1．知识回顾 （1）等差数列概念.（2）等差数列通项公式及推导. 2．问题探究问题探究一 借助等差数列的定义,类比得到等比数列定义 ●活动一 回顾旧知,夯实基础.之前我们学习了等差数列,我们是怎样定义并且判断等差数列?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示． 数学语言表达式:1n n a a d +-= (n ∈N *,d 为常数),或1n n a a d --= (2,n d ≥为常数)． ●活动二 探索规律,发现新知. 类比于等差数列,观察以下几个数列2,4,8,16,32…；1,1,1,1,1…；1,-1,1,-1,1,-1…；1,0,1,0,1,0,…；3,9,27,81,243,…；它们都有着怎样的规律 ●活动二 新旧整合,得出结论.结合活动一与活动二,能给出等比数列定义吗?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式:1n n a q a -=(2,n ≥q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．问题探究二 类比等差数列通项公式及性质,结合等比数列定义得到等比数列通项公式和性质,●活动一 温故知新,迎难而上. 回忆等差数列,写出通项公式.通项公式:()11n a a n d =+-．推广:()n m a a n m d =+-(m,n ∈N *)． ●活动二 类比旧知得出新知.在等比数列中,是否只需确定某些量就可以写出通项公式?只需确定首项与公比即可得到通项公式11n n a a q -=.推广: n m n m a a q -=,公比为非0常数.●活动三 思维谨慎,扎实前进. 能否给出通项公式证明?借助定义,a na n －1＝q (n ≥2,q 为非0常数),列出n -1个式子,累乘后得到通项公式. ●活动四 夯实基础,勇于探索.等差数列中,公差大于0时,数列递增；反之递减.等比数列也有相似结论吗?请归纳总结.首相大于0,公比大于1时递增;公比大于0小于1时递减；首项小于0时,公比大于0小于1时递增,公比大于1时递减；首项不等于0,公比等于1时,既是等差又是等比；公比小于0时,为摆动数列.问题探究三●活动一 初步运用 基础知识的掌握例1.在等比数列{}n a 中,253618,9,1n a a a a a +=+==,则n ＝________． 【知识点:等比数列通项公式】 答案:6例2.在等比数列{}n a 中, 1a <0, 若对正整数n 都有1n n a a +<,那么公比q 的取值范围是?【知识点:等比数列通项公式】答案:由1n n a a +<得1111,,01n n n n a q a q q q q --<∴>∴<< ●活动二 能力提升 通项公式性质的运用例1. 数列{}n a 是等差数列,若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q ＝________.【知识点:等比数列性质】 答案:1.例2.在正项等比数列{}n a 中, 1n n a a +>,28466,5a a a a ⋅=+=,则57a a ＝（ ） A.56 B.65 C.23D.32【知识点:等比数列性质】 答案:D 3．课堂总结 【知识梳理】（1）等比数列定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示． 数学语言表达式:1n n a q a -= (n ≥2,q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．（2）等比数列通项公式: 11n n a a q -=；通项公式的推广: n m n m a a q -=. 【重难点突破】（1）等比数列通项公式运用时为了减少计算量可以尝试使用其推广式. （2）公比0≠q 这是必然的,不存在公比为0的等比数列,还可以理解为等比数列中,不存在数值为0的项,各项不为0的常数列既是等差数列又是等比数列；至于等比数列的增减,则可以从首项与公比的正负及范围,通过列不等式进行确定. （3）等比数列的定义中有“从第二项起”“同一个常数”的描述应与等差数列中的描述理解一致.（4）等比数列的通项公式可以用迭代法累乘法推导,其中累乘法与累加法相似,可做一做比较,便于掌握. 4．随堂检测 一、选择题1.在等比数列{}n a 中,64,852==a a ,则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案:A.解析：【知识点:等比数列的通项公式】 二、解答题1.求下列各等比数列的通项公式: （1）21-=a ,83-=a . （2）51=a ,且12+n a n a 3-=. （3）51=a ,且11+=+n na a n n . 答案:（1）n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=--或.（2）1)23(5--⨯=n n a .（3）na n a n 311==.解析：【知识点:等比数列通项公式】 2.求以下等比数列的第4项与第5项: （1）5,－15,45,……. （2）1.2,2.4,4.8,…….（3）213,, (328).答案:（1）1354-=a ,4055=a . （2）6.94=a ,2.195=a . （3）4a =329,5a =12827. 解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数. 答案:这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】 设四个数依次为x,y,12-y,16-x ．依题意,有 x +(12−y )=2y ①()()21612y x y -=-②由①式得x =3y -12 ③将③式代入②式得y （16-3y +12）=（12-y ）2,整理得y 2-13y +36=0,解得124,9y y ==,代入③式得120,15x x ==.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 5.(1)已知{}n a 是等比数列,且2435460,225n a a a a a a a >++=, 求53a a +.(2)c a ≠,三数c a ,1,成等差数列,22,1,c a 成等比数列,求22ca ca ++. 答案:(1) 3a ＋55=a . (2)3122=++c a c a .解析：【知识点:等差数列的性质,等比数列】(1)∵{}n a 是等比数列,∴()224354635225a a a a a a a a ++=+=.又0n a >, ∴355a a +=.（三）课后作业基础型自主突破 一、填空题1.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a = .答案: 1a =解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列{}n a 的公比为q ,∵ 2482a a a ⋅=211a a ==,∴ 1a =2.设数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列12345||||||a a a a a ++++=______． 答案:121.解析：【知识点:等比数列】∵数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列,∴()1113n n n a a q --==-,∴123451,3,9,27,81,a a a a a ==-==-=∴则12345||||||1392781121a a a a a ++++=++++=． 3.等比数列{}214n +的公比为 ______ ． 答案:16.解析：【知识点:等比数列的通项公式】 等比数列的通项公式是：11n n a a q -=4.若1、a 、b 、c 、9成等比数列,则b = ______ ． 答案:3.解析：【知识点:等比数列】利用等比数列通用公式11n n a a q -=求出相应的值421531,9,3a a q a q b ======,3b ∴=5.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,则210log a = ______ ． 答案:5.解析：【知识点:等比数列通项公式,对数的运算性质】∵公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,∴7a =4,∴1a •26=4,解得1a =42-,∴9495101222a a q -==⨯=,∴52102log log 25a ==. 故答案为：5．能力型师生共研 一、选择题1.在数列{}n a 中,1111,,4n n a a a +==则99a =________. A.125504B.2500C.124504D.2401 答案:B解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力】 二、填空题1.设{}n a 为公比1q >的等比数列,若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根,则=+20072006a a _________. 答案:-18解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】根据{}n a 为公比q ＞1的等比数列, 2004a 和2005a 是方程4x 2+8x +3=0的两根,可得2004a =-2005=2006+2007a =-18． 三、证明题1.已知:b 是a 与c 的等比中项,且c b a ,,同号,求证:3a b c ++等比数列答案:见解析解析:【知识点:等比数列】 由题设:ac b =2得:22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++也成等比数列.探究型多维突破一、选择题1.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ）A ．1(0,2+B ．C ．D ．)251,251(++- 答案:D.解析:【知识点:等比关系的确定,解三角形;数学思想:推理论证能力】 设三边:a 、qa 、2q a 、q ＞0则由三边关系:两短边和大于第三边a +b ＞c ,即 （1）当q ≥1时a +qa ＞2q a ,等价于解二次不等式:21q q --＜0,由于方程2q q --（2）当q ＜1时,a 为最大边,qa +2q a ＞a 即得2q q --⎭故选D ． 二、证明题1.设d c b a ,,,均为非零实数,()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ,求证:c b a ,,成等比数列且公比为d答案:见解析解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力,运算求解能力,创新意识,应用意识】证明:证一:关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根, ∴()()0442222≥+-+=∆b a c a b ,∴()022≥--ac b则必有:02=-ac b ,即ac b =2,∴c b a ,,成等比数列设公比为q ,则aq b =,2aq c =代入()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a∵()0122≠+a q ,即0222=+-q qd d ,即≠=q d证二:∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b abd d a∴()()022=-+-c bd b ad ,∴b ad =,且c bd =∵d c b a ,,,非零,∴d bca b == 自助餐 一、选择题1.等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根,则8a =（ ）A.2±B.答案:C.解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根, 6106a a +=-,可得261082a a a ⋅==,6a 和10a 都是负数,可得8a =-2.．故选:C ．2.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a =（ ）A. 0.5B. 22答案:C.解析:【知识点:等比数列】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即q 2=2,又因为等比数列{}n a 的公比为正数,所以q =2.22=,故选C.2.等比数列{}n a 的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则10a =（ ）A.32 64.B C.512 D.1024 答案:C.解析:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列的项数为2n ,∵所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170, ∴S 奇:S 偶=1:2．∵S 奇=1321...n a a a -+++,S 偶=242...n a a a +++=q S 奇由题意可得,q =2,∴9910112512a a q ==⨯=．故选:C ．3.在等比数列{}n a 中, 11,2,32n a q a ===,则n =（ ）A.5B.6C.7D.8 答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,求得n =84.等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,则数列{}lg n a 的前10项和等于（ ）A.2B.5C.1050D.lg答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式,对数的运算性质】由题意得,等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,所以385610,a a a a ⋅=⋅=,由等比数列的性质得, ()551231056...10a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅=,所以数列{}lg n a 的前10项和1210l g l g ...l g 5n S a a a =+++=,故选:B ． 6.数列{}n a 的首项1,数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=,若10112b b ⋅=,则21a =（ ） A.20 B.512 C.1013 D.1024 答案.D.解析:【知识点:等比数列的通项公式】由1n n n a b a +=可知202120232121,,,a a b a a b a a b === ,所以202123122021a a a a a a b b b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ,又数列{}n b 为等比数列,所以1202191011b b b b b b ===L ,于是有121102a a =,即110212a a =,又11=a ,所以102421021==a ,故答案选D. 二、填空题1．已知数列{}n a 为等比数列,且5a =4,9a =64,则7a =____________． 答案:16.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,由已知条件求出通项公式1124n n a -=⋅,所以716a =.2．数列{}n a 中, 112,n n a a a cn +==+（c 是常数,n =1,2,3,…）,且123,,a a a 成公比不为1的等比数列．则c 的值是 ______ ．答案:2.解析:【知识点:等比数列】∵112,n n a a a cn +==+,∴232,23,a c a c =+=+又∵123,,a a a 成公比不为1的等比数列,∴()()22c 223c +=+,即c 2-2c=0解得c=2,或c=0,故答案为23.若公比不为1的等比数列{}n a 满足()21213•13log a a a ⋯=,等差数列{}n b 满足77b a =,则1213b b b +⋯+的值为 ______ ． 答案:26.解析:【知识点:等比数列通项公式,等差数列前n 项和】 ∵公比不为1的等比数列{a n }满足()21213•13log a a a ⋯=,∴()()()13212132727•1313log a a a log a log a ⋯===,解得7772,2,a b a ===,由等差数列的性质可得777121372,2,...1326a b a b b b b ===+++==,故答案为:26 三、解答题1.在等比数列{}n a 中, 5142-=15,-=6a a a a ,求3a 和q ． 答案:见解析解析:【知识点:等比数列通项公式】，6=-，15=-}中中在等比数列{2415a a a a a n 答案：．4=,1=时，2=q 当31a a2.设{}n a 是一个公差为d （d ≠0）的等差数列,它的前10项和10110S =且124,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式． 答案: n a =2n .解析:【知识点:等差数列前n 项和,等比数列】∵124,,a a a 成等比数列,∴2214a a a =又∵{an}是等差数列,∴2141,3a a d a a d =+=+, ∴()()21113a d a a d +=+,即222111123a a d d a a d ++=+,化简可得1a d =,∵101101092110S a d =+⨯=,∴11045110a d +=．又∵1a d =,∴55d =110,∴d =2, ∴()112n a a n d n =+-=3.已知数列{}n a 的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为2,并且2415798,a a a a a a a +=++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立的所有正整数m 的值． 答案:见解析解析:【知识点:等比数列,等比数列通项公式】31517142622,4,6,2,4a a a a a a a a a a =+=+=+==Q 2415798,a a a a a a a +=++=2211212124,2642a a a a a a a a ∴+=+++++=++121,2a a ∴==∴na =⎩⎨⎧为奇数为偶数n n n n,,22； （2）∵1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立, ∴由上面可以知数列{}n a 为:1,2,3,4,5,8,7,16,9,… 当m =1时等式成立,即1+2+3=-6=1×2×3；等式成立． 当m =2时等式成立,即2×3×4≠2+3+4；等式不成立. 当m =3、4时等式不成立； 当m ≥5时,∵12m m m a a a ++⋅⋅为偶数, 12m m m a a a ++++为奇数, ∴可得m 取其它值时,不成立, ∴m =1时成立．。

第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A组1.若a,b,c成等差数列,则一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.答案B2.在等比数列{a n}中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于()A.2B.-2C.±2D.解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.答案B3.在等比数列{a n}中,a n>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为a n>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案B4.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A.2n-1B.C.D.解析由S n=2a n+1,得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,.又S1=a1=1,所以S n=,故选B.答案B6.已知等比数列{a n},a3=3,a10=384,则该数列的通项a n=.解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.∴a n=a3q n-3=3·2n-3.答案3·2n-37.在数列{a n}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2a n+1-a n=0,则a n=.解析由2a n+1-a n=0,得,所以数列{a n}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以a n=3·.答案3·8.在等比数列{a n}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.答案±49.导学号04994040已知数列{a n}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2b n=a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.(1)证明由log2b n=a n,得b n=.因为数列{a n}是等差数列,不妨设公差为d,则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{b n}是等比数列.(2)解由已知,得解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{b n}的通项公式b n=·16n-1.10.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n+(n∈N*).(1)求证:是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵a n+1=a n+,∴a n+1-a n+.∴.∴是首项为,公比为的等比数列.(2)解∵a n-,∴a n=.B组1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得解得答案D2.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析∵a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.答案C3.已知等比数列{a n},各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.3+2B.1-C.1+D.3-2解析由a1,a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{a n}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.答案A4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=. 解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得a n=a n+1+a n+2,所以a n=a n q+a n q2.因为a n>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).答案6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=.解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知数列{a n}满足S n=4a n-1(n∈N*),求证:数列{a n}是等比数列,并求出其通项公式.解依题意,得当n≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n=S n-S n-1=(4a n-1)-(4a n-1-1),即3a n=4a n-1,所以,故数列{a n}是公比为的等比数列.因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{a n}的通项公式是a n=.8.导学号04994041已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+1,(1)求证:{a n}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设b n=a n+1+2a n,求证:数列{b n}是等比数列.证明(1)∵S n=2a n+1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n=a n+1=(2a n+1+1)-(2a n+1)=2a n+1-2a n,∴a n+1=2a n.由已知及上式可知a n≠0.∴由=2知{a n}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴a n=-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.。

第1课时 等比数列的概念及通项公式[学生用书P105(单独成册)][A 基础达标]1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( ) A ．108 B.54 C ．36D ．18解析：选B.因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54. 2．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( )A ．±4 B.4 C ．±14D ．14解析：选A.由题意得(±a 6)2＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2，所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B.b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9解析：选B.因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2＝9，b ＝±3. 又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3， 而b 又是a ，c 的等比中项， 故b 2＝ac ，即ac ＝9.4．(2019·丰台高二检测)数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2B.4 C ．2D ．12解析：选C.因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2.5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．22n －1B.2nC ．22n ＋1D ．22n －3解析：选A.由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4.由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.故选A.6．下面四个数列：①1，1，2，4，8，16，32，64；②在数列{a n }中，已知a 2a 1＝2，a 3a 2＝2； ③常数列a ，a ，…，a ，…； ④在数列{a n }中，a n ＋1a n＝q (q ≠0)，其中n ∈N *. 其中一定是等比数列的有________．解析：①不符合“每一项与它的前一项的比等于同一常数”，故不是等比数列． ②不一定是等比数列．当{a n }只有3项时，{a n }是等比数列；当{a n }的项数超过3时，不一定符合．③不一定．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，是等比数列．④等比数列的定义用式子的形式表示：在数列{a n }中，对任意n ∈N *，有a n ＋1a n＝q (q ≠0)，那么{a n }是等比数列．答案：④7．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .因为a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3d ＝8，－1·q 3＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝－2. 所以a 2＝2，b 2＝2.所以a 2b 2＝22＝1.答案：18．等比数列{a n }中，若a 2a 5＝2a 3，a 4与a 6的等差中项为54，则a 1＝________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 2a 5＝2a 3，所以a 21q 5＝2a 1q 2，化简得a 1q 3＝2＝a 4. 因为a 4与a 6的等差中项为54，所以a 4＋a 6＝2×54，所以a 4(1＋q 2)＝52.所以q 2＝14，解得q ＝±12.则a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫±18＝2，解得a 1＝±16. 答案：±169．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若a n ＝12，求n .解：(1)因为a 5＝a 1q 4＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3q n －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3q n －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3.所以a n ＝28－n或a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，即28－n＝12或32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3＝12，解得n ＝9.10．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，求数列{a n }的通项公式．解：设数列{a n }的公比为q . 因为a 25＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9①2（q 2＋1）＝5q ②， 由①，得a 1＝q ， 由②，得q ＝2或q ＝12，又数列{a n }为递增数列，所以a 1＝q ＝2，所以a n ＝2n.[B 能力提升]11．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则a n ＝( ) A ．2n－1 B.2n －1－1C ．2n －1D ．2(n －1)解析：选A.等式两边同时加1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n－1.12．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，ka 1a 2·…·a k ＝a 11，则k ＝( ) A ．12 B.15 C ．18D ．21解析：选D.ka 1a 2·…·a k ＝a 1q 1＋2＋3＋…＋（k －1）k＝a 1q k －12＝a 1q 10，因为a 1>0，q ≠1，所以k －12＝10，所以k ＝21，故选D.13．已知数列{a n }是等差数列，且a 2＝3，a 4＋3a 5＝56，若log 2b n ＝a n . (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：由log 2b n ＝a n ，得b n ＝2a n .因为数列{a n }是等差数列，不妨设公差为d ，则b n b n －1＝2a n 2a n －1＝2a n －a n －1＝2d ，2d 是与n 无关的常数， 所以数列{b n }是等比数列．(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，a 1＋3d ＋3（a 1＋4d ）＝56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝4，于是b 1＝2－1＝12，公比q ＝2d ＝24＝16，所以数列{b n }的通项公式b n ＝12·16n －1＝24n －5.14．(选做题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝3S n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由题意，知a 1＝3S 1＋1，即a 1＝3a 1＋1， 所以a 1＝－12.又a 2＝3S 2＋1，即a 2＝3(a 1＋a 2)＋1，解得a 2＝14.(2)由a n ＝3S n ＋1，① 得a n －1＝3S n －1＋1(n ≥2)，② 由①－②，得a n －a n －1＝3(S n －S n －1)＝3a n ，得a n a n －1＝－12，所以数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.。