➢ Proof . [hint: 必要性：采用反证法；充分性：将H中某 些d列线性相关的列的系数作为码字中对应的非0分量]
推论: [n, k, d]线性分组码的最大可能的最小汉明 距离为n-k+1。
➢ Proof: 由于校验矩阵H的n-k行是线性无关的，也就是说 H的行秩为n-k，从而可推出H的列秩最大是n-k，即H最 多有任意n-k列线性无关，由定理得到n-k≥d-1,有d≤nk+1。
k个信息位
nk个校验位
n-k个校验位可用k个已知的信息位表示出来：
cnk1 hnk1,n1 cn1 hnk1,n2 cn2 hnk1,nk cnk
cnk2 hnk2,n1 cn1 hnk2,n2 cn2 hnk2,nk cnk
c0 h0,n1 cn1 h0,n2 cn2 h0,nk cnk
12
缩短码
例子：
➢ 表1的[7, 3, 4]码：0000000，0011101，0100111， 0111010，1001110，1010011，1101001，1110100
11
对偶码，系统码与缩短码
对偶码
➢ 设[n, k, d]线性分组码C的生成矩阵为G，校验矩阵为H， 以H作为生成矩阵，G为对应的校验矩阵，可构造另一 个[n, n-k, d’]线性分组码C1，我们称C1为C的对偶码。
系统码
G IkP
缩短码
H PT Ink
➢ 从[n, k, d]线性分组码的所有码字中，把前面i位全为零 的码字挑选出来构成一个新的子集，该子集即为[n, k, d] 的缩短码。传输时，仅传输后面的n-i位码元，记为[n-i, k-i, d]码，其纠错能力至少与原[n, k, d]码相同。
7
码1 0 0 cn1 0
