经济数学基础模拟试题

经济数学基础11年秋季学期模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）．A ．sin xB ．e xC ．x 2D ．3 - x2．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（A ）． A ．21- B ．21 C ．3)1(21+x D ．3)1(21+-x 3．下列定积分计算正确的是（ D ）． A ．2d 211=⎰-x x B ．15d 161=⎰-xC ．0d sin 22=⎰-x x ππ D ．0d sin =⎰-x x ππ 4．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ）．A ．111)(---+=+B A B A B ．111)(---=B A AB C ．111)(---=A B AB D ．BA AB =5．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ C ）．A ．无解B ．有非零解C ．只有零解D ．解不能确定二、填空题（每小题3分，共15分）6．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是 [-5, 2) ． 7．求极限 =+∞→xx x x sin lim 1 . 8．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f )(x f ' ．9．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是 BA AB = ．10．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且r (A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n -r ．三、微积分计算题（每小题10分，共20分）11．设x x y -+=2tan 3，求y d ．解：因为 )(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x 2ln 2cos 3322x x x --= 所以 x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--= 12．计算积分x x x d 2cos 20⎰π． 解：x x x d 2cos 20⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=202cos 41πx =21- 四、代数计算题（每小题15分，共30分）13．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---112401211，计算1)(-+A I ． 解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+012411210A I 且 (I +A I ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 1)(-+A I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2112312411214．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-5532342243214321421x x x x x x x x x x x 的一般解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---131101311021011551323412121011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011 故方程组的一般解为：1342342131x x x x x x =++⎧⎨=+-⎩ (x 3，4x 是自由未知量〕 五、应用题（本题20分）15．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？解：（1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， 15分（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）。

经济数学基本春季学期模拟试题(一)答题卷一、单选题（每题3分，共15分）1．下列函数中为偶函数旳是（ c ）．A ．x x y -=2B ．11ln +-=x x yC ．2e e xx y -+= D ．x x y sin 2=2．设需求量q 对价格p 旳函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（ d ）．A ．p p32- B ．32-ppC ．--32ppD ．--p p323．下列无穷积分中收敛旳是（ c ）．A ．⎰∞+0d e x x B ．⎰∞+13d 1x xC ．⎰∞+12d 1x x D ．⎰∞+1d sin x x4．设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，且T T B AC 故意义，则C 是 ( b )矩阵．A ．24⨯B ．42⨯C ．53⨯D ．35⨯5．线性方程组⎩⎨⎧=+=+32122121x x x x 旳解得状况是（ a ）．A . 无解B . 只有O 解C . 有唯一解D . 有无穷多解二、填空题（每题3分，共15分） 6．函数)5ln(21)(++-=x x x f 旳定义域是 ),2()2,5(∞+- ．7．函数1()1e xf x =-旳间断点是 0x = . 8．若c x x x f x ++=⎰222d )(，则=)(x f x x 42ln 2+ .9．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=333222111A ，则=)(A r 1 ． 10．设齐次线性方程组O X A =⨯⨯1553，且r (A ) = 2，则方程组一般解中旳自由未知量个数为 3 ．三、微积分计算题（每题10分，共20分）11．设x y x cos ln e -=，求y d ． 解：由于 x x xy x x tan e )sin (cos 1e +=--=' 因此 x x y x d )tan e (d +=12．计算定积分 ⎰e1d ln x x x ．解：⎰⎰-=e12e12e1)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x414e d 212e 2e 12+=-=⎰x x ．四、代数计算题（每题15分，共30分）13．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=143102010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I ，求1)(-+A I ． 解：由于 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+243112011A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+103210012110001011100243010112001011)(I A I⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→115100012110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→115100127010001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→115100127010126001 因此 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-115127126)(1A I ． 14．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+--=-++03520230243214314321x x x x x x x x x x x 旳一般解． 解：由于系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111011101211351223011211A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011102301 因此一般解为⎩⎨⎧-=+-=43243123x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）五、应用题（本题20分）15．某厂生产某种产品q 件时旳总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少？解：由已知收入函数 201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数 22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 于是得到 q L 04.010-='令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q ．由于利润函数存在着最大值，因此当产量为250件时可使利润达到最大． 且最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）经济数学基本春季学期模拟试题(一)一、单选题（每题3分，共15分） 1．C 2. D 3. C 4. B 5. A 二、填空题（每题3分，共15分）6. ),2()2,5(∞+-7. 0x =8. x x 42ln 2+9. 1 10．3三、微积分计算题（每题10分，共20分） 11．解：由于 x x xy x x tan e )sin (cos 1e +=--=' 因此 x x y x d )tan e (d +=12．解：⎰⎰-=e 12e12e1)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x414e d 212e 2e 12+=-=⎰x x ．四、线性代数计算题（每题15分，共30分）13．解：由于 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+243112011A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+103210012110001011100243010112001011)(I A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→115100012110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→115100127010001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→115100127010126001 因此 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-115127126)(1A I ． 14．解：由于系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111011101211351223011211A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011102301 因此一般解为⎩⎨⎧-=+-=43243123x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）五、应用题（本题20分）15．解：由已知收入函数 201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数 22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 于是得到 q L 04.010-='令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q ．由于利润函数存在着最大值，因此当产量为250件时可使利润达到最大． 且最大利润为=--(2=⨯-L（元）=⨯-250)250250020125002.010250201230。

经济数学基础期末模拟题导数基本公式： 积分基本公式：一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．下列结论中，( )是正确的．A ．偶函数的图形关于坐标原点对称B ．奇函数的图形关于坐标原点对称C ．基本初等函数都是单调函数D ．周期函数都是有界函数2．下列函数在区间（一∞，+∞）上单调增加的是( )．A ．sin xB ．x 2C ．e xD ．3−x3．若F(x) 是f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是( )．A . ∫f(x)xa dx =F(x) B. ∫f′(x)ba dx =F (b )−F(a)C ．∫f(x)xa dx =F (x )−F(a) D ． ∫F(x)ba dx =f (b )−f(a)4．设A 为3×2矩阵，B 为2×3矩阵，则下列运算中( )可以进行．A ．AB B ．A+BC ．AB TD ．BA T5．若n 元线性方程组AX =0满足r(A)= n ，则该线性方程组( )．A ．有无穷多解B ．有唯一解C ．有非0解D ．无解二、填空题（每小题3分，共15分）6．函数f (x )=√x 2−4x−2的定义域是 .7.若函数f (x )={(1+x)1x ，x ＜0x 2+k ， x ≥0，在x =O 处连续，则k = .8．若lnx 是f (x )的一个原函数，则f (x )= .9．若方阵A 满足 ，则A 是对称矩阵．10.线性方程组AX =b 的增广矩阵A̅化成阶梯形矩阵后为 则当d = 时，方程组AX =b 有无穷多解．三、微积分计算题（每小题10分，共20分）11.设 y =cos2x + In x ,求 y ′.12．计算定积分∫xsinxdx π20．四、线性代数计算题（每小题15分，共30分】13.设矩阵A =[10011−1−101]，求(AA T )-1．14.求线性方程组的一般解． 五、应用题（本题20分）15.某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为C(q)=0.5q 2+36q +9800(元)．为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？。

《经济数学基础12》模拟试题（06春）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设xx f 1)(=，则=))((x f f （ ）． A ．x 1 B ．21x C ．x D ．2x 2．曲线y = sin x +1在点(0, 1)处的切线方程为（ ）．A . y = x +1B . y = 2x +1C . y = x -1D . y = 2x -13. 若c x x f x x +-=⎰11ede )(，则f (x ) =（ ）． A ．-21x B ．21x C ．x 1 D ． -x 1 4．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）A . 1T 11T )()(---=B A AB B . T 11T 1()()A B A B ---=C . T T T )(A B AB =D . T T T )(B A AB =5. 线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ ）． A . 有无穷多解 B . 只有0解 C . 有唯一解 D . 无解二、填空题（每小题3分，共15分）6．函数2e ,50()1,02x x f x x x ⎧--≤<⎪=⎨-≤<⎪⎩的定义域是 ．7．___________________sin lim 0=-→xx x x ． 8．函数f (x ) = -sin3x 的原函数是． 9．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是 ．10．齐次线性方程组AX O =的系数矩阵为102101020000A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则此方程组的一般解为 .三、微分计算题（每小题9分，共18分）11．1tan(1)lim (1)(2)x x x x →--+12．由方程x y x y =++e )cos(确定y 是x 的隐函数，求y '．四、积分计算题（每小题9分，共18分）13．x x x d 91160⎰-+14．求微分方程23e d d yx x y x=的通解．五、代数计算题（每小题9分，共18分）15．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321B ，求B A I )2(T -. 16．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++-=++032038204214321321x x x x x x x x x x 的一般解．六、应用题（12分）17．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）, 求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？七、证明题（4分）18．试证：若21,B B 均与A 可交换，则21B B +也与A 可交换．。

经济数学基础（05）春模拟试题及参考答案、单项选择题（每小题 3分，共30分）1.下列各函数对中，（）中的两个函数是相等的.2C. f (x) In x , g(x) 2ln x22,、D. f (x) sin x cos x , g(x)A. x y 1 C. x y 1B. x y 1 D. x y14 .下列函数在区间（，）上单调减少的是（ ）.A. sin xB. 2 xC. x 25 .若 f(x)dx F (x) c,则 xf (1 x 2)dx=()12 xA. - F (1 x ) c___ 2C. 2F(1 x ) c 6.下列等式中正确的是( A . sin xdx d(cos x)~ 1 …C.a dx d(a ) ln a1 2、8. - F (1 x ) c____2D. 2F(1 x ) c8. ln xdx d(-) x1 . D. dx d(、, x) .x25, 22, 35, 20, 24是一组数据，则这组数据的中位数是（B. 23C. 22.5D. 2228.设随机变量X 的期望E(X) 1,万差D(X) = 3,则E[3(X2)]=()9.设A, B 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）A. f(x) x 2 1 x 1，g(x) x 1B. f(x) xx 2 , g(x) x2.设函数f（x ） xsin — k,x 1,在x = 0处连续，则k =（)•A. -2B. -1C. 1D. 23.函数f (x)ln x 在x 1处的切线方程是（A. 36B. 30C. 6D. 9D. 3 - x7.设 23, A. 23.5 ).2.-一11.若函数 f(x 2) x 4x 5,则 f (x)13 . d cosxdx .14 .设A,B,C 是三个事件，则 A 发生，但B,C 至少有一个不发生的事件表示 为. 15 .设A, B 为两个n 阶矩阵，且I B 可逆，则矩阵方程 A BX X 的解X三、极限与微分计算题(每小题 6分，共12分)17 .设函数y y(x)由方程x 2 y 2 e xy e 2确定，求y(x).四、积分计算题(每小题6分，共12分)18 .2xcos2xdx19 .求微分方程 y Y x 21的通解. x五、概率计算题(每小题 6分，共12分)20 .设A, B 是两个相互独立的随机事件，已知 P(A) = 0.6 , P(B) = 0.7 ,求A 与B 恰有 一个发生的概率.一 一一 2._ . 一 — 一 一一 一21 .设 X ~ N(2,3 )，求 P( 4 X 5)。

经济数学基本（11春）模拟试题6月 一、单选题（每题3分，本题共15分） 1.下列函数中为奇函数旳是（C ）．(A) x x y -=2(B) xx y -+=e e(C) 11ln+-=x x y (D) x x y sin = 2.设需求量q 对价格p 旳函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为=p E （D ）． (A)p p32- (B)32-pp(C) --32pp(D)pp23--3.下列无穷积分中收敛旳是（B ）． (A)⎰∞+0d e x x (B)⎰∞+12d 1x x(C)⎰∞+13d 1x x(D)⎰∞+1d ln x x4.设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（A ）可以进行． (A) AB (B) A +B (C) AB T (D) BA T5.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解旳状况是（D ）．(A) 有唯一解 (B) 只有0解 (C) 有无穷多解 (D) 无解 二、填空题（每题3分，共15分）6.函数24)(2--=x x x f 旳定义域是 ),2(]2,(∞+--∞7.函数1()1e xf x =-旳间断点是 X=0 . 8.若c x F x x f +=⎰)(d )(，则=⎰--x f x x d )e (e c F x +--)e (9.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当=a 0 时，A 是对称矩阵． 10.若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ -1 ．三、微积分计算题（每题10分，共20分） 1.设x y x5cos 3+=，求y d ．解：解：由微分四则运算法则和微分基本公式得)(cos d )3(d )cos 3(d d 55x x y xx+=+= )(cos d cos 5d 3ln 34x x x x+= x x x x xd cos sin 5d 3ln 34-=x x x xd )cos sin 53ln 3(4--= 2. 计算定积分⎰e1d ln x x x ．解：由分部积分法得⎰⎰-=e 12e12e1)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x414e d 212e 2e 12+=-=⎰x x 四、线性代数计算题（每题15分，共30分）11. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．解：由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3121211001211100TA B因此由公式可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯-=-11231123)1(23)1(1)(1T A B 12. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 旳一般解．解：由于系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 因此一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）五、应用题（本题20分）15.生产某产品旳总成本为x x C +=3)(（万元），其中x 为产量，单位：百吨．边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求： (1) 利润最大时旳产量；(2) 从利润最大时旳产量再生产1百吨，利润有什么变化？ .解：（1）由于边际成本1)(='x C ，边际利润'='-'L x R x C x ()()()x x 2141215-=--=令'=L x ()0 得 7=x （百吨）。

经济数学基础3模拟练习一一、填空1.将一枚硬币连续抛两次，以X 表示所抛两次中出现正面的次数，则随机变量X 的分布率为___________________.2.甲、乙二人同时向敌机开炮，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，则敌机被击中的概率为_________.3.已知E(X)=3,D(X)=5，则E(X+2)2=_______.4.设x x x n 12,,, 是正态总体X N ~(,)μσ2的一个样本，其中μ未知，σ2已知。

用x x x n 12,,, 检验假设H 00:μμ=时，选取的统计量 。

5.设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的 估计．6.设()()2E X E Y ==，1(,)6C ov X Y =-，则()E XY =______________ .7.已知n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本，对总体方差D （X ）进行估计时，常用的无偏估计为 ．8.若事件A 与B 是相互独立的两个事件，且4.0)(,7,0)(==B P A P ，则)(AB P = ．9.设有5个球， 其中有3个白球2个黑球. 如果从这5个球中随机抽出两个球， 那么事件A: “两个球中至少有一个白球” 发生的概率为 .10.已知连续型随机变量X 的分布函数为F x (), 且密度函数f x ()连续, 则f x ()= .11.设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X ）= ．12.设随机变量X 的概率密度为,11()0,x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，则=)(X E ．13.若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称2ˆθ比1ˆθ更 ．14.设随机变量,X Y 相互独立，且()2D X =，()1D Y =，则(23)D X Y -+=__________ . 15.设总体X 服从区间[0,]θ上的均匀分布(0)θ>，n x x x ,,,21 是来自该总体的样本，则θ的矩估计ˆθ=__________.二、选择1.事件B A ,若满足1)()(>+B P A P ，则A 与B 一定（ ）A. 不相互独立；B. 互不相容；C. 相互独立；D. 不互斥2.设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是统计量。

经济数学基础期末模拟试题及答案一、单项选择题（2×15=30分）1、函数在（D）A、间断B、无极限C、无定义D、不可导2、函数的弹性是函数对自变量的（C）A、导数B、变化率C、相对变化率D、微分3、下列论断正确的是（A）A、可导极值点必为驻点B、极值点必为驻点C、驻点必为可导极值点D、驻点必为极值点4、设，则（ C ）A、B、C、D、5、设，则（B）A、3B、4C、5D、66、设A、C分别为3×2和2×4矩阵，若运算可行，则B为（D）矩阵。

A、2×2B、3×2C、3×4D、4×37、线性方程组当（A）时无解。

A、2B、-2C、3D、-38、设A为4×5矩阵，则齐次线性方程组AX=0（D）。

A、无解B、只有零解C、有唯一非零解D、有无穷多组解9、设A、B为两个事件，则事件{ A、B没有一个发生}=（A）。

A、B、C、D、10、设事件A、B互相独立，，，则（D）。

A、B、C、D、11、设在连续，则（C）。

A、B、C、D、12、设有一个原函数为，则（B）。

A、B、C、D、13、（B）不是连续型随机变量的密度函数。

A、B、C、D、14、下列各式中（D）。

A、B、C、D、15、计算不定积分（D）时可以不用分部积分法。

A、B、C、D、二、填空题（2×5=10分）16、设、，则。

17、设，则在点处切线方程为。

19、设，20、设，则。

三、计算题（6×8=48分）21、答案：22、设，求。

答案：23、答案：24、求常微分方程通解答案：25、设连续型随机变量求（1）答案：（2）答案：（3）答案：26、设、为两个事件，，，求。

答案：27、设，，求解矩阵方程答案：28、求线性方程组一般解。

答案：一般解为（为自由未知数）四、应用题（8×1=8分）29、设某厂产品能全部售出，产量为（台）时总成本（万元），边际收入为（万元/台），求（1）最大利润产量答案：最大利润产量为500（台）（2）利润函数答案：（3）最大利润答案：（万元）五、证明题（4×1=4分）30、设函数在内连续，试证。

经济数学基础期末模拟练习题一、单项选择题1．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）． A ．x B ．x + 1C ．x + 2D ．x + 32． 下列函数中，（ ）不是基本初等函数． A ．xy )e1(=B ．2ln x y =C ．xxy cos sin =D ．35x y = 3．设函数⎩⎨⎧>≤=0,00,cos )(x x x x f ，则)4(π-f =（）．A ．)4(π-f =)4(πf B ．)2()0(πf f =C ．)2()0(π-=f fD ．)4(πf =224．若A x f x x =→)(lim 0，则)(x f 在点0x 处( )A ．有定义B ．没有定义C ．极限存在D ．有定义，且极限存在5．若4cos)(π=x f ，则=∆-∆+→∆xx f x x f x )()(0lim（）．A ．0B ．22C ．4sin π-D ．4sinπ6．曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（）． A ． 22-=x y B ． 22+-=x y C ． 22+=x y D ． 22--=x y 7．已知441x y =，则y ''=（）． A .3x B .23x C .x 6 D . 68．满足方程0)(='x f 的点是函数)(x f y =的（ ）．A ．极大值点B ．极小值点C ．驻点D ．间断点 9．下列结论中（ ）不正确.A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，则在[a ，b ]内函数是单调下降的. 10．设f x ()的一个原函数是e -2x，则f x ()=（ ）．A ． e -2xB ． --22e xC ． x2e4--D ． 42e-x11．微分方程y y ='的通解是=y （ ）． A .c x +25.0B .xc e C .xc -eD .c y x +=e12．设一组数据1x =0,2x =10,3x =20，其权数分别为1.01=p ,6.02=p , 3.03=p ，则这组数据的加权平均数是（ ）． A .12B . 10C . 6D .413．对任意二事件A B ,，等式（ ）成立．A .P AB P A P B ()()()=B .P A B P A P B ()()()+=+C .P A B P A P B ()()(())=≠0D .P AB P A P B A P A ()()()(())=≠014．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ ）. A .361 B .181C .121D .111 15．矩阵13210011000010001000-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ，则当λ＝（）时线性方程组有无穷多解．A ．1B ．4C ．2D ．1217．若非齐次线性方程组A m ×n X =b 的( )，那么该方程组无解． A ．秩(A ) ＝ n B ．秩(A )＝m C ．秩(A ）≠ 秩 (A )D ．秩(A ）= 秩(A )二、填空题 1．极限=→xx x 1sinlim 0．2．当k 时，⎩⎨⎧<+≥+=001)(2x kx x x x f 在0=x 处仅仅是左连续．3．函数x x x f ln )(-=的单调增加区间是． 4．如果f x x x c ()sin d ⎰=+2，则)(x f '=．5．广义积分⎰∞-02d ex x= ．6．0e )(23='+''-y y x 是阶微分方程． 7．设随机变量X 的概率分布为则a = .8．设),(~p n B X ，且6)(=X E ，6.3)(=X D ，则n = . 9．设矩阵[]321-=A ，I 是单位矩阵，则I A A -T ＝_________．三、解答题1． 生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求：(1) 生产x 件该种产品的总成本和平均成本； (2) 售出x 件该种产品的总收入；(3) 若生产的产品都能够售出，则生产x 件该种产品的利润是多少？ 2．计算下列极限（1）xx x 33sin 9lim 0-+→ （2）1245lim 224--+-→x x x x x（3）)1113(lim 21----→x x x x 3．求下列导数或微分： （1）设)11)(1(-+=xx y ， 求d y ．（2）设x x y x sin e +=，求y d ．（3）设121lncos-+=x x y ，求y '． 4．生产某种产品q 台时的边际成本10005.2)(+='q q C （元/台），固定成本500元，若已知边际收入为,20002)(+='q q R 试求（1）获得最大利润时的产量；（2）从最大利润的产量的基础再生产100台，利润有何变化？5．计算下列不定积分或定积分（1）⎰+x xx d 423（2）⎰10d cos x x x π （3）x x d sin 20⎰π6．求微分方程y x y -='2e 满足初始条件0)0(=y 的特解．7．假设事件B A ,相互独立，已知6.0)(3.0)(==B P A P ，，求事件B A 与只有一个发生的概率．8．已知7.0)(=A P ，3.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求)(B A P ．9．有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.85和0.75，在这两批种子中各随机取一粒，求至少有一粒发芽的概率.10．已知事件A ,B ,C 相互独立，试证)(B A +与C 相互独立． 11．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<-=03)2(3)(2x a x x f求 (1) 常数a ； (2)E X ()12．某类钢丝的抗拉强度服从均值为100 (kg/cm 2)，标准差为5 (kg/cm 2)的正态分布，求抗拉强度在90~110之间的概率．(Φ(1) = 0.841 3, Φ(2) = 0.977 2 )13．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 14．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111103231A ，求矩阵1-A15．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．16．求下列解线性方程组的一般解⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=++-0232022023432143214321x x x x x x x x x x x x 17． 例45 设线性方程组212132123123123x x x x x x x x x c-+=--+=--+=⎧⎨⎪⎩⎪ 试问c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解．参考解答一、单项选择题1．解 由于1)(+=x x f ，得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案：D2．解 因为2ln x y =是由u y ln =，2x u =复合组成的，所以它不是基本初等函数． 正确答案：B3．解 因为02<-π，故1)2cos()2(=-=-ππf 且 1)0(=f ， 所以)2()0(π-=f f正确答案：C4．解 函数在一点处有极限与函数在该点处有无定义无关． 正确答案：C5．解 因为4cos)(π=x f 是常数函数，常数函数是可导的，而且它的导数是0．所以由导数定义可得=∆-∆+→∆xx f x x f x )()(0lim)0(f '= 0正确答案：A注意：这里的4cos)(π=x f 不是余弦函数．6．解 由导数的定义和它的几何意义可知，13)()1(='-='x x x y 2)13(12=-==x x是曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是)1(20-=-x y ，即22-=x y正确答案：A7．解 直接利用导数的公式计算：34)41(x x y ='=',233)(x x y ='=''正确答案：B8．解 由驻点定义可知，正确答案：C9．解 因为函数在一点处连续并不能保证在该点处可导，所以，正确答案：A 10．解 因为f x ()的一个原函数是e-2x，故f x ()=（e -2x )'＝--22e x所以正确答案：B11．解 用可分离变量法很容易求解，因此，正确答案：B 12．解 因为加权平均数是203.0106.001.031⨯+⨯+⨯=∑=i ii xp = 12所以，正确答案：A13．由概率乘法公式可知，正确答案：D14．解 两颗均匀的骰子的“点数之和”样本总数有6⨯6 =36个，而“点数之和为3”的事件含有：1+2和2+1两个样本，因此，该事件的概率为181． 正确答案：B15．解 化成阶梯形矩阵后，有3个非0行，故该矩阵的秩为3． 正确答案：C16．解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→021021λλ 此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021=λ-，从而λ＝12． 正确答案：D17．解 根据非齐次线性方程组解的判别定理，得 A m ×n X =b 无解⇔秩(A ) ≠ 秩(A ) 正确答案：C二、填空题1．解 因为当0→x 时，x 是无穷小量，x1sin 是有界变量． 故当0→x 时，xx 1sin 仍然是无穷小量． 所以 =→x x x 1sin lim 00．正确答案：C2．解 因为函数是左连续的，即)0(1)1(lim )0(0f x f x ==+=-→- 若 1)(lim )0(2==+=+→+k k x f x 即当=k 1时，)(x f 在0=x 不仅是左连续，而且是连续的．所以，只有当1≠k 时，)(x f 在0=x 仅仅是左连续的． 正确答案：1≠3．解 因为 xx x x f 11)ln ()(-='-=' 令011)(>-='xx f ，得1>x 故函数的单调增加区间是),1(+∞． 正确答案：),1(+∞4．解 根据不定积分的性质可知f （x ）=x c x x x f 2cos 2)2(sin )d )((='+='⎰且 )(x f '= x x 2sin 4)2cos 2(-=' 正确答案：x 2sin 4-5．解 因为 ⎰∞-02d e x x2xe 21lim aa -∞→=)e 1(21lim2a a -=-∞→=21所以正确答案：216．解 因为微分方程 0e )(23='+''-y y x 中所含未知函数的导数的最好阶数是2次，所以它是2阶微分方程． 正确答案：27．根据离散型随机变量的概率分布的性质：pkk∑=1正确答案：0.38．根据二项分布的期望和方差的定义：6.3)1()(,6)(=-===p np X D np X E得 1-p = 0.6，p = 0.4，n = 15 正确答案：159．解 因为 T A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-321，A A T＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-321[]321- = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----963642321 所以 I A A -T=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----863632320． 正确答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----863632320该例题说明，可转置矩阵不一定是方阵；如果矩阵运算TA A 成立，A 也不一定是方阵．三、解答题1．（1）解 生产x 件该种产品的总成本为x x C 2010000)(+=； 平均成本为：2010000)(+=xx C ． （2）解 售出x 件该种产品的总收入为：x x R 30)(=． （3）解 生产x 件该种产品的利润为：)()()(x C x R x L -==)2010000(30x x +-=1000010-x2．（1）解 对分子进行有理化，即分子、分母同乘33sin 9++x ，然后利用第一重要极限和四则运算法则进行计算．即x x x 33sin 9lim-+→=)33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =33sin 91lim 3sin lim00++⨯→→x x x x x =21613=⨯（2）解 将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算．即1245lim 224--+-→x x x x x )3)(4()1)(4(lim 4----=→x x x x x 33414)3()1(lim4=--=--=→x x x（3）解 先通分，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算．即)1113(lim 21----→x x x x =)1)(1()1()3(lim 1+-+--→x x x x x 112lim1-=+-=→x x 3．（1）解 因为 )11)(1(-+=xx y x x 1+-=且 )1('+-='xx y 32121x x--=)11(21x x+-=d y x x xd )11(21+-=注意：求导数时，要先观察函数，看看能否将函数化简，若能，应将函数化简后再求导数，简化计算过程．导数运算的重点是复合函数求导数，难点是复合函数求导数和隐函数求导数． （2）解 因为 xx x x y xx sin e 2)sin e (+'+='=xx x x xx x sin e 2cos e sin e 1+++所以 x x x x x x y y xx d )sin e 2)sin (cos e 1d d +++='=（3）解 ))12ln((cos '--='x x y122)(sin --'⋅-=x x x ]122sin 21[-+-=x x x复合函数求导数要注意下面两步：① 分清函数的复合步骤，明确所有的中间变量；② 依照法则依次对中间变量直至自变量求导，再把相应的导数乘起来． 4．解 （1）C R L '-'='=)10005.2(20002+-+q q =10005.0+-q 令0='L ，求得唯一驻点2000=q ．因为驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产量为2000时，可使利润达到最大．（2）在利润最大的基础上再增加100台，利润的改变量为⎰+-=∆21002000d )10005.0(q q L 2500)100041(210020002-=+-=q q即利润将减少2500元．5．（1）解用第一换元积分法求之．⎰+x x x d 423=⎰+222d 421x x x =⎰+-22)d 441(21x x= c x x ++-)4ln(2222（2）解 用分部积分法求之．⎰1d cos x x x π=⎰-11d sin 1sin 1x x x x ππππ=12cos 1x ππ=22π-（3）解 因为，当π<<x 0时，0sin >x ，即x x sin sin =； 当ππ2<<x 时，0sin <x ，即x x sin sin -=；x x d sin 20⎰π=x x x x d )sin (d sin 20⎰⎰-+πππ=πππ20cos cos x x +- =1 + 1 + 1 + 1 = 46．解 将微分方程y x y -='2e 变量分离，得x y x y d e d e 2=，等式两边积分得c xy +=2e 21e 将初始条件0)0(=y 代入，得21=c .所以满足初始条件的特解为：)1(e 5.0e 2+=x y7．解B A 与只有一个发生的事件为： B A B A +，且B A 与B A 是互斥事件，于是)()()(B A P B A P B A B A P +=+ =)()()()(B P A P B P A P +=6.0)3.01()6.013.0⨯-+-⨯（=54.08．解 因为B A AB A +=，且AB 与B A 是互斥事件，得)()()(B A P AB P A P +=所以，)(B A P )()(B P AB P =)()()(B P B A P A P -=323.05.07.0=-= 9．设A 表示甲粒种子发芽，B 表示乙粒种子发芽，则A ，B 独立，且 P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.25 故至少有一粒发芽的概率为： P (A +B ) = 1 -P (B A +) =1 -P (B A ) =1 -P (A )P (B )= 1– 0.15⨯0.25 = 0.9625 10．证 因为事件A ,B ,C 相互独立，即)()()(C P A P AC P =，)()()(C P B P BC P =且 )()()(])[(ABC P BC P AC P C B A P -+=+ =)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+ =)()]()()()([C P B P A P B P A P -+ =)()(C P B A P + 所以)(B A +与C 相互独立．11． (1) 解 根据密度函数的性质 1＝⎰⎰-=+∞∞-32d )2(3d )(ax x x x f =33)2(ax -= 1－(a －2)3得a =2所以⎩⎨⎧<<-=032)2(3)(2x x x f(2) 解 E X ()=⎰+∞∞-d )(x x xf =⎰-322d )2(3x x x=32234)6443(x x x +-=7412．解 设钢丝的抗拉强度为X ，则X ~N （100，52），且)1,0(~5100N X -. P (90<X <110) = )51001105100510090(-<-<-X P = Φ(2)-Φ(-2) = 2Φ(2) - 1 = 0.954 413．解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435 (BAI )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 所以(BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--25223114． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100010001111103231][I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101340013790001231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101340211110001231 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→94310021********01→⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100113010237001349所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-9437323111A15．证因为 A ，B 是对称矩阵，即 B B A A ==T T ，且 T T T )()()(BA AB BA AB +=+TTTTB A A B +=AB BA +=BA AB +=根据对称矩阵的性质可知，AB ＋BA 是对称矩阵．16．解 将系数矩阵化成阶梯形矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=311031101231232121211231A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→010030108001020031108101因为，秩(A )=3 < 4，所以，方程组有非零解． 一般解为⎪⎩⎪⎨⎧===03834241x x x x x (4x 是自由未知量) 17．解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=13501350112123111211112A c c ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→c 00013501121可见，当c = 0时，秩(A )= 秩(A )= 2 < 3 ，所以方程组有无穷多解．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0000515310535101A 原方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=323153515153x x x x （3x 是自由未知量）。

经济数学基础期末模拟练习题一、单项选择题1．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）． A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 2． 下列函数中，（ ）不是基本初等函数．A ． xy )e1(= B ． 2ln x y = C ． xxy cos sin =D ． 35x y = 3．设函数⎩⎨⎧>≤=0,00,cos )(x x x x f ，则)4(π-f =（）．A ．)4(π-f =)4(πf B ．)2()0(πf f =C ．)2()0(π-=f fD ．)4(πf =224．若A x f x x =→)(lim 0，则)(x f 在点0x 处( )A ．有定义B ．没有定义C ．极限存在D ．有定义，且极限存在5．若4cos)(π=x f ，则=∆-∆+→∆xx f x x f x )()(0lim（）．A ．0B ．22 C ．4sin π- D ．4sin π6．曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ ）． A ． 22-=x y B ． 22+-=x y C ． 22+=x yD ． 22--=x y7．已知441x y =，则y ''=（ ）． A . 3x B . 23x C . x 6 D . 68． 满足方程0)(='x f 的点是函数)(x f y =的（ ）．A ．极大值点B ．极小值点C ．驻点D ．间断点 9．下列结论中（ ）不正确.A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，则在[a ，b ]内函数是单调下降的. 10．设f x ()的一个原函数是e -2x ，则f x ()=（ ）． A ． e -2xB ． --22e xC ． x2e4--D ． 42e -x11．微分方程y y ='的通解是=y （ ）． A . c x +25.0 B . xc e C . xc -eD . c y x+=e12．设一组数据1x =0,2x =10,3x =20，其权数分别为1.01=p ,6.02=p , 3.03=p ，则这组数据的加权平均数是（ ）．A . 12B . 10C . 6D . 4 13．对任意二事件A B ,，等式（ ）成立．A .P AB P A P B ()()()= B .P A B P A P B ()()()+=+C .P A B P A P B ()()(())=≠0 D .P AB P A P B A P A ()()()(())=≠014．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ ）. A .361B . 181C . 121D . 11115．矩阵13210011000010001000-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解．A ．1B ．4C ．2D ．1217．若非齐次线性方程组A m ×n X = b 的( )，那么该方程组无解． A ．秩(A ) ＝ n B ．秩(A )＝m C ．秩(A ）≠ 秩 (A ) D ．秩(A ）= 秩(A )二、填空题 1．极限=→xx x 1sinlim 0． 2．当k 时，⎩⎨⎧<+≥+=001)(2x kx x x x f 在0=x 处仅仅是左连续．3．函数x x x f ln )(-=的单调增加区间是 ． 4．如果f x x x c ()sin d ⎰=+2，则)(x f '= ．5．广义积分 ⎰∞-02d e x x = ． 6． 0e)(23='+''-y y x是 阶微分方程．7．设随机变量X 的概率分布为则a = .8．设),(~p n B X ，且6)(=X E ，6.3)(=X D ，则n = . 9．设矩阵[]321-=A ，I 是单位矩阵，则I A A -T ＝_________．三、解答题1． 生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求：(1) 生产x 件该种产品的总成本和平均成本； (2) 售出x 件该种产品的总收入；(3) 若生产的产品都能够售出，则生产x 件该种产品的利润是多少？ 2．计算下列极限（1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1245lim 224--+-→x x x x x（3）)1113(lim 21----→x x x x 3．求下列导数或微分： （1）设)11)(1(-+=xx y ， 求d y ．（2）设x x y x sin e +=，求y d ．（3）设121lncos -+=x x y ，求y '． 4．生产某种产品q 台时的边际成本10005.2)(+='q q C （元/台），固定成本500元，若已知边际收入为,20002)(+='q q R 试求（1）获得最大利润时的产量；（2）从最大利润的产量的基础再生产100台，利润有何变化？5．计算下列不定积分或定积分（1）⎰+x x x d 423（2）⎰10d cos x x x π （3）x x d sin 20⎰π6．求微分方程yx y -='2e 满足初始条件0)0(=y 的特解．7．假设事件B A ,相互独立，已知6.0)(3.0)(==B P A P ，，求事件B A 与只有一个发生的概率．8．已知7.0)(=A P ，3.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求)(B A P ．9．有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.85和0.75，在这两批种子中各随机取一粒，求至少有一粒发芽的概率.10．已知事件A ,B ,C 相互独立，试证)(B A +与C 相互独立． 11．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<-=03)2(3)(2x a x x f求 (1) 常数a ； (2) E X ()12．某类钢丝的抗拉强度服从均值为100 (kg/cm 2)，标准差为5 (kg/cm 2)的正态分布，求抗拉强度在90~110之间的概率．(Φ(1) = 0.841 3, Φ(2) = 0.977 2 )13．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 14．设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111103231A ，求矩阵1-A15．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．16．求下列解线性方程组的一般解⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=++-0232022023432143214321x x x x x x x x x x x x17． 例45 设线性方程组212132123123123x x x x x x x x x c-+=--+=--+=⎧⎨⎪⎩⎪试问c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解．参考解答一、单项选择题1．解 由于1)(+=x x f ，得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案：D2．解 因为2ln x y =是由u y ln =，2x u =复合组成的，所以它不是基本初等函数．正确答案：B3．解 因为02<-π，故1)2cos()2(=-=-ππf 且 1)0(=f ， 所以)2()0(π-=f f正确答案：C4．解 函数在一点处有极限与函数在该点处有无定义无关． 正确答案：C5．解 因为4cos)(π=x f 是常数函数，常数函数是可导的，而且它的导数是0．所以由导数定义可得 =∆-∆+→∆xx f x x f x )()(0lim )0(f '= 0正确答案：A注意：这里的4cos)(π=x f 不是余弦函数．6．解 由导数的定义和它的几何意义可知， 13)()1(='-='x x x y 2)13(12=-==x x是曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是)1(20-=-x y ，即22-=x y正确答案：A7．解 直接利用导数的公式计算： 34)41(x x y ='=', 233)(x x y ='='' 正确答案：B8．解 由驻点定义可知，正确答案：C9．解 因为函数在一点处连续并不能保证在该点处可导，所以，正确答案：A 10． 解 因为f x ()的一个原函数是e-2x，故f x ()=（e -2x )'＝--22e x所以正确答案：B11．解 用可分离变量法很容易求解，因此，正确答案：B 12．解 因为加权平均数是203.0106.001.031⨯+⨯+⨯=∑=i ii xp = 12所以，正确答案：A13．由概率乘法公式可知，正确答案：D14．解 两颗均匀的骰子的“点数之和”样本总数有6⨯6 =36个，而“点数之和为3”的事件含有：1+2和2+1两个样本，因此，该事件的概率为181． 正确答案：B15．解 化成阶梯形矩阵后，有3个非0行，故该矩阵的秩为3． 正确答案：C16．解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→021021λλ 此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021=λ-，从而λ＝12．正确答案：D17．解 根据非齐次线性方程组解的判别定理，得 A m ×n X = b 无解⇔秩(A ) ≠ 秩(A ) 正确答案：C二、填空题1．解 因为当0→x 时，x 是无穷小量，x1sin 是有界变量． 故当0→x 时，xx 1sin 仍然是无穷小量． 所以 =→x x x 1sin lim 00．正确答案：C2．解 因为函数是左连续的，即)0(1)1(lim )0(0f x f x ==+=-→-若 1)(lim )0(2==+=+→+k k x f x即当=k 1时，)(x f 在0=x 不仅是左连续，而且是连续的． 所以，只有当1≠k 时，)(x f 在0=x 仅仅是左连续的． 正确答案：1≠3．解 因为 xx x x f 11)ln ()(-='-='令011)(>-='xx f ，得1>x 故函数的单调增加区间是),1(+∞． 正确答案：),1(+∞4．解 根据不定积分的性质可知f （x ）=x c x x x f 2cos 2)2(sin )d )((='+='⎰且 )(x f '= x x 2sin 4)2cos 2(-=' 正确答案：x 2sin 4-5．解 因为 ⎰∞-02d e x x2x e21lim aa -∞→=)e 1(21lim2a a -=-∞→=21所以正确答案：216．解 因为微分方程 0e )(23='+''-y y x中所含未知函数的导数的最好阶数是2次，所以它是2阶微分方程． 正确答案：27．根据离散型随机变量的概率分布的性质：pkk∑=1正确答案：0.38．根据二项分布的期望和方差的定义：6.3)1()(,6)(=-===p np X D np X E得 1- p = 0.6，p = 0.4，n = 15 正确答案：159．解 因为 T A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-321，A A T＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-321[]321- =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----963642321 所以 I A A -T=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----863632320． 正确答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----863632320该例题说明，可转置矩阵不一定是方阵；如果矩阵运算TA A 成立，A 也不一定是方阵．三、解答题1．（1）解 生产x 件该种产品的总成本为x x C 2010000)(+=； 平均成本为： 2010000)(+=xx C ．（2）解 售出x 件该种产品的总收入为： x x R 30)(=． （3）解 生产x 件该种产品的利润为：)()()(x C x R x L -==)2010000(30x x +- =1000010-x2．（1）解 对分子进行有理化，即分子、分母同乘33sin 9++x ，然后利用第一重要极限和四则运算法则进行计算．即 x x x 33sin 9lim-+→=)33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =33sin 91lim 3sin lim00++⨯→→x x x x x =21613=⨯（2）解 将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算．即1245lim 224--+-→x x x x x )3)(4()1)(4(lim 4----=→x x x x x33414)3()1(lim4=--=--=→x x x（3）解 先通分，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算．即 )1113(lim 21----→x x x x =)1)(1()1()3(lim 1+-+--→x x x x x 112lim1-=+-=→x x 3．（1）解 因为 )11)(1(-+=x x y xx 1+-=且 )1('+-='xx y 32121x x--=)11(21x x+-=d y x x xd )11(21+-=注意：求导数时，要先观察函数，看看能否将函数化简，若能，应将函数化简后再求导数，简化计算过程．导数运算的重点是复合函数求导数，难点是复合函数求导数和隐函数求导数． （2）解 因为 xx x x y xx sin e 2)sin e (+'+='=xx x x xx x sin e 2cos e sin e 1+++所以 x x x x x x y y xx d )sin e 2)sin (cos e 1d d +++='=（3）解 ))12ln((cos '--='x x y122)(sin--'⋅-=x x x ]122sin 21[-+-=x x x复合函数求导数要注意下面两步：① 分清函数的复合步骤，明确所有的中间变量；② 依照法则依次对中间变量直至自变量求导，再把相应的导数乘起来． 4．解 （1）C R L '-'='=)10005.2(20002+-+q q =10005.0+-q令0='L ，求得唯一驻点2000=q ．因为驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产量为2000时，可使利润达到最大．（2）在利润最大的基础上再增加100台，利润的改变量为⎰+-=∆21002000d )10005.0(q q L 2500)100041(210020002-=+-=q q即利润将减少2500元．5．（1）解 用第一换元积分法求之．⎰+x x x d 423=⎰+222d 421x x x =⎰+-22)d 441(21x x = c x x ++-)4ln(2222（2）解 用分部积分法求之．⎰1d cos x x x π=⎰-110d sin 1sin 1x x x x ππππ=12cos 1x ππ=22π-（3）解 因为，当π<<x 0时，0sin >x ，即x x sin sin =； 当ππ2<<x 时，0sin <x ，即x x sin sin -=；x x d sin 20⎰π=x x x x d )sin (d sin 20⎰⎰-+πππ=πππ20cos cos x x +- =1 + 1 + 1 + 1 = 46．解 将微分方程yx y -='2e变量分离，得x y xy d e d e 2=，等式两边积分得c xy +=2e 21e 将初始条件0)0(=y 代入，得21=c . 所以满足初始条件的特解为： )1(e5.0e 2+=xy7．解 B A 与只有一个发生的事件为： B A B A +，且B A 与B A 是互斥事件，于是 )()()(B A P B A P B A B A P +=+ =)()()()(B P A P B P A P + =6.0)3.01()6.013.0⨯-+-⨯（=54.08．解 因为B A AB A +=，且AB 与B A 是互斥事件，得)()()(B A P AB P A P += 所以， )(B A P )()(B P AB P =)()()(B P B A P A P -=323.05.07.0=-=9．设A 表示甲粒种子发芽，B 表示乙粒种子发芽，则A ，B 独立，且 P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.25 故至少有一粒发芽的概率为：P (A +B ) = 1 - P (B A +) = 1 - P (B A )= 1 - P (A )P (B )= 1 – 0.15⨯0.25 = 0.9625 10．证 因为事件A ,B ,C 相互独立，即)()()(C P A P AC P =，)()()(C P B P BC P = 且 )()()(])[(ABC P BC P AC P C B A P -+=+=)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+ =)()]()()()([C P B P A P B P A P -+ =)()(C P B A P + 所以)(B A +与C 相互独立．11． (1) 解 根据密度函数的性质1＝⎰⎰-=+∞∞-32d )2(3d )(ax x x x f =33)2(ax -= 1－(a －2)3得a = 2所以 ⎩⎨⎧<<-=032)2(3)(2x x x f(2) 解 E X ()=⎰+∞∞-d )(x x xf =⎰-322d )2(3x x x=32234)6443(x x x +-=7412．解 设钢丝的抗拉强度为X ，则X ~N （100，52），且)1,0(~5100N X -. P (90<X <110) = )51001105100510090(-<-<-X P = Φ(2)-Φ(-2) = 2Φ(2) - 1 = 0.954 413．解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435(BA I )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 所以 (BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--25223114． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100010001111103231][I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101340013790001231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101340211110001231 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→943100211110632101→⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100113010237001349 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-9437323111A15．证 因为 A ，B 是对称矩阵，即 B B A A==T T，且 TT T )()()(BA AB BA AB +=+T T T T B A A B += AB BA +=BA AB += 根据对称矩阵的性质可知，AB ＋BA 是对称矩阵． 16．解 将系数矩阵化成阶梯形矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=311031101231232121211231A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→010030108001020031108101因为，秩(A ) = 3 < 4，所以，方程组有非零解． 一般解为⎪⎩⎪⎨⎧===03834241x x x x x (4x 是自由未知量) 17．解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=13501350112123111211112A c c ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→c 00013501121 可见，当c = 0时，秩(A ) = 秩(A ) = 2 < 3 ，所以方程组有无穷多解．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0000515310535101A 原方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=323153515153x x x x （3x 是自由未知量）。