主成分分析法概念及例题.doc

主成分分析填空题1．主成分分析是通过适当的变量替换，使新变量成为原变量的___________，并寻求_________的一种方法。

2．主成分分析的基本思想是______________。

3．主成分的协方差矩阵为_________矩阵。

4．主成分表达式的系数向量是_______________的特征向量。

5．原始变量协方差矩阵的特征根的统计含义是________________。

6．原始数据经过标准化处理，转化为均值为____ ，方差为____ 的标准值，且其________矩阵与相关系数矩阵相等。

7．因子载荷量的统计含义是_____________________________。

8．样本主成分的总方差等于_____________。

9．在经济指标综合评价中，应用主成分分析法，则评价函数中的权数为________________。

10．SPSS 中主成分分析采用______________命令过程。

计算题1．设三个变量(x 1,x 2,x 3)的样本协方差矩阵为：2121002222222<<-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡r s rs r s s r s r s s试求主成分及每个主成分的方差贡献率。

解特征方程：=∑-I λ02．在一项对杨树的性状的研究中，测定了20株杨树树叶，每个叶片测定了四个变量：叶长(x 1),2/3处宽(x 2)，1/3处宽(x 3)，1/2处宽(x 4)。

这四个变量的相关系数矩阵的特征根和标准正交特征向量分别为：)7930.0,5513.0,2519.0,0612.0(007.0)1624.0,5589.0,7733.0,2516.0(049.0)0824.0,2695.0,0984.0,9544.0(024.1)5814.0,5577.0,5735.0,1485.0(920.244332211--='=--='=-='=---='=U U U U λλλλ(1) 写出四个主成分，计算它们的贡献率。

（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（ Principal Component Analysis ）是利用降 的思想，将多个 量 化 少数几个 合 量（即主成分） ，其中每个主成分都是原始 量的 性 合，各主成分之 互不相关， 从而 些主成分能 反映始 量的 大部分信息，且所含的信息互不重叠。

[2]采用 种方法可以克服 一的 指 不能真 反映公司的 情况的缺点，引 多方面的 指 ， 但又将复 因素 几个主成分， 使得复 得以 化，同 得到更 科学、准确的 信息。

（二）主成分分析法代数模型假 用 p 个 量来描述研究 象，分 用 X 1， X 2⋯X p 来表示， p 个 量构成的 p 随机向量 X=(X 1，X 2⋯X p )t 。

随机向量 X 的均 μ， 方差矩 Σ。

X 行 性 化，考 原始 量的 性 合：Z 1=μ11 X 1+μ12 X 2+⋯μ 1p X p Z 2=μ21 X 1+μ22 X 2+⋯μ 2p X p ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯Z p =μp1 X 1+μp2 X 2+⋯μ pp X p主成分是不相关的 性 合 Z 1，Z 2⋯⋯ Z p ，并且 Z 1 是 X 1，X 2 ⋯X p 的 性 合中方差最大者， Z 2 是与 Z 1 不相关的 性 合中方差最大者，⋯， Z p 是与 Z 1， Z 2 ⋯⋯ Z p-1 都不相关的 性 合中方差最大者。

（三）主成分分析法基本步第一步： 估 本数 n ， 取的 指 数 p ， 由估 本的原始数据可得矩 X=(x ij ) m ×p ，其中 x ij 表示第 i 家上市公司的第 j 指 数据。

第二步： 了消除各 指 之 在量 化和数量 上的差 ， 指 数据 行 准化，得到 准化矩 （系 自 生成） 。

第三步：根据 准化数据矩 建立 方差矩 R ，是反映 准化后的数据之 相关关系密切程度的 指 ， 越大， 明有必要 数据 行主成分分析。

主成分分析例题主成分分析（PrincipalComponentAnalysis，简称PCA）是一种常用的数据分析方法，它可以有效分析数据中的多元特征，将多维特征空间映射到低维空间，使得数据的特征可以更加清晰和深入地分析。

主成分分析方法经常用于多元数据的特征提取、因素分析以及因子结构研究，是多元数据分析中常用的统计分析方法之一。

下面介绍一个典型的主成分分析例题，其中涉及因子分析、因子结构分析以及多元统计分析方法等：一个某大学的护士教学实践中心，设有4个实验室，每实验室有自己的实验内容和服务对象，实验室类型主要有医学实验室、护理实验室、外科实验室以及诊断室。

某护士教学实践中心向500名护士学生收集了有关这4类实验室实验内容和服务对象的信息，以下为收集到的具体信息：（1）医学实验室：主要是负责护士学生的临床实习和医学教育，针对的对象为护理学生。

（2）护理实验室：主要的护理实验内容有护理实践、护理研究和护理技能培训，服务对象是护理学生、护理人员和护理专业的其他相关人群。

（3）外科实验室：主要的外科实验内容包括外科实践、外科技能培训及新型外科手术训练，服务对象是护理学生、护理人员和护理专业的其他相关人群。

（4）诊断实验室：主要是负责护士学生的护理诊断和护理诊断教学，服务对象是护理学生。

为了更加清楚地分析护士教学实践中心的护士学生对这4类实验室的实验内容和服务对象的看法，因此将采用主成分分析方法对这500名护士学生收集到的信息进行分析。

首先，通过SPSS对500名护士学生收集到的信息，进行因子分析，提取4个实验室相关的因子，并得出以下结果：表1.子质量统计|子 |差贡献率 |积方差贡献率 ||-----|-----------|--------------|| 1 | 0.717 | 0.717 || 2 | 0.122 | 0.839 || 3 | 0.056 | 0.895 || 4 | 0.004 | 0.899 |从表1中可以看出，前3个因子共计可以解释89.5%的方差，因此可以将前3个因子作为主成分进行处理。

为了有效的地进行这种评价，我们希望寻找尽量少得m个综合特征值，这m(m<p)个综合特征值应包含p个变量的有关信息，并以这m个综合特征值对此同进行综合评价。

显然，m越小，与之进行综合评价就越方便。

称这样的方法为主成分分析（Principal component Analysis,简称为PCA）。

8.3.1基本原理首先，我们以包含两个变量的教学系统___两门课程的学习成绩为例。

内容扩展设课程x1与x2时两门有一定相关性的课程，如：数学与物理。

N名学生的学习成绩为：（xi1，xi2）i=1～n （8—22）将这n组数据描在x1-x2平面上，则有图8.5(p=2的主成分)所示的图形。

由于x1,x2是两门相关性的课程，学习成绩在x1-x2平面上分布集中在椭圆形的范围内（图a）。

该椭圆是一种狭长形的椭圆，数据在长轴的方向上变化较大。

从图可知，为了评价学生的成绩，x1,x2都是必需的，不能偏废某一个。

由于x1,x2集中在一个狭长的范围内，我们可对这些数据作某种变化，将它变换到z1～z2平面上，则有图b。

从图b可知，在z1～z2坐标中，z1,z2的相关性较小,且数据在Z1轴上的分散较大，在Z2轴上的分散较小。

由于进行了这宗变幻，由Z1就能对学生的成绩进行综合评价，且Z1包含有X1，X2给出的信息。

这样，经过一定的变换后，我们将以两个变量X1，X2评价学生成绩的系统，变换为主要由一个变量Z1对学生的成绩进行评价。

此时，我们称Z1第一主成分。

显然，若X1，X2不是相关的，X1，X2在X1-X2 平面上的分布将是一种随机的均匀分布的图形（图c）。

这些数据经Z变换后，在Z平面上的分布仍是一种均匀的分布，不可能找到上述的主成分。

同样，对于P门课程的成绩，我们进行分析。

内容扩展可用P维空间中的矢量：xi =(xi1,xi2,xip) i=1—n (8-23)来表示。

式中，n为学生数，p为课程门数。

若p门课程具有一定的相关性，通过某种变换，我们可以找到一种新的m维综合变量空间，且有m<p。

主成分分析法案例主成分分析法（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的多变量统计分析方法，它可以帮助我们发现数据中的主要特征和结构，从而简化数据集并减少信息丢失。

在本文中，我们将通过一个实际案例来介绍主成分分析法的应用。

案例背景。

假设我们有一个包含多个变量的数据集，我们希望通过主成分分析法来找出其中的主要特征，并将数据进行降维，以便更好地理解和解释数据。

数据准备。

首先，我们需要对数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、标准化等操作。

在这个案例中，我们假设数据已经经过了预处理，并且符合主成分分析的基本要求。

主成分分析。

接下来，我们将利用主成分分析法来分析数据。

主成分分析的基本思想是通过线性变换将原始变量转化为一组线性无关的新变量，这些新变量被称为主成分，它们能够最大程度地保留原始数据的信息。

在进行主成分分析之前，我们需要计算数据的协方差矩阵，并对其进行特征值分解。

通过特征值分解，我们可以得到数据的主成分和对应的特征值，从而找出数据中的主要特征。

案例分析。

假设我们得到了数据的前三个主成分，我们可以通过观察主成分的载荷（loadings）来理解数据中的结构。

载荷可以帮助我们理解每个主成分与原始变量之间的关系，从而解释数据的特点和规律。

通过主成分分析，我们可以发现数据中的主要特征和结构，从而更好地理解数据。

同时，我们还可以利用主成分分析的结果进行数据的降维，从而简化数据集并减少信息丢失。

结论。

通过以上案例分析，我们可以看到主成分分析法在多变量数据分析中的重要作用。

通过主成分分析，我们可以发现数据中的主要特征和结构，从而简化数据集并减少信息丢失。

同时，主成分分析还可以帮助我们更好地理解和解释数据，为后续的分析和应用提供有力支持。

总结。

在本文中，我们通过一个实际案例介绍了主成分分析法的基本原理和应用。

主成分分析是一种常用的多变量统计分析方法，它可以帮助我们发现数据中的主要特征和结构，从而简化数据集并减少信息丢失。

主成分分析例题详解主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的数据降维技术，用于发现数据中的主要模式和结构。

本文将通过一个例题详细介绍主成分分析的原理和应用。

1. 问题描述假设我们有一个包含10个变量的数据集，每个变量都与某个特定的因素相关。

我们希望通过主成分分析来降低数据的维度，并找出对总体方差贡献最大的主成分。

2. 数据预处理在进行主成分分析之前，我们需要对数据进行预处理。

首先，我们需要对数据进行标准化，使得每个变量具有相同的尺度。

这样可以避免某些变量的值对主成分分析结果造成过大的影响。

其次，我们计算数据的协方差矩阵。

协方差矩阵描述了各个变量之间的线性关系。

通过计算协方差矩阵，我们可以得到数据中的主要结构和模式。

3. 特征值分解在得到协方差矩阵之后，我们对其进行特征值分解。

特征值分解可以将协方差矩阵分解为特征值和特征向量的乘积。

特征值表示了每个特征向量对应的主成分解释的方差。

特征向量则表示了每个主成分的权重。

对于该例题，我们得到了10个特征值和10个特征向量。

我们可以通过排序特征值的大小，找出贡献最大的主成分。

4. 主成分的选择通常情况下，我们选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。

这样可以保留数据中大部分的结构和模式。

在该例题中，假设前3个特征值分别为λ1、λ2和λ3，并对应的特征向量分别为v1、v2和v3。

我们选择前3个特征值对应的特征向量作为主成分。

5. 降维和重构通过选择主成分，我们可以将数据从原先的10维降到3维。

其中，每个样本在新的3维空间中的坐标可以通过与主成分的内积计算得到。

此外，我们还可以通过主成分将数据从降维空间重新投影回原始空间。

这样可以保留主成分中所包含的结构和模式。

6. 结论通过主成分分析，我们成功地降低了数据的维度，并找到了对总体方差贡献最大的主成分。

这样的降维操作可以减少特征空间的维度，并提取出数据中的重要信息。

可编辑修改精选全文完整版第六章 主成分分析法主成分分析法是将高维空间变量指标转化为低维空间变量指标的一种统计方法。

由于评价对象往往具有多个属性指标，较多的变量对分析问题会带来一定的难度和复杂性。

然而，这些指标变量彼此之间常常又存在一定程度的相关性，这就使含在观测数据中的信息具有一定的重叠性。

正是这种指标间的相互影响和重叠，才使得变量的降维成为可能。

即在研究对象的多个变量指标中，用少数几个综合变量代替原高维变量以达到分析评价问题的目的。

当然，这少数指标应该综合原研究对象尽可能多的信息以减少信息的失真和损失，而且指标之间彼此相互独立。

第一节 引言主成分分析，也称主分量分析，由皮尔逊（Pearson ）于1901年提出，后由霍特林（Hotelling ）于1933年发展了，这也正是现在多元统计分析中的一种经典统计学观点。

经典统计学家认为主成分分析是确定一个多元正态分布等密度椭球面的主轴，这些主轴由样本来估计。

然而，现代越来越多的人从数据分析的角度出发，用一种不同的观点来考察主成分分析。

这时，不需要任何关于概率分布和基本统计模型的假定。

这种观点实际上是采用某种信息的概念，以某种代数或几何准则最优化技术对一个数据阵的结构进行描述和简化。

主成分分析方法的主要目的就是通过降维技术把多个变量化为少数几个主要成分进行分析的统计方法。

这些主要成分能够反映原始变量的绝大部分信息，它们通常表示为原始变量的某种线性组合。

为了使这些主要成分所含的信息互不重迭，应要求它们互不相关。

当分析结束后，最后要对主成分做出解释。

当主成分用于回归或聚类时，就不需要对主成分做出解释。

另外，主成分还有简化变量系统的统计数字特征的作用。

对于任意p 个变量，描述它们自身及其相互关系的数字特征包括均值、方差、协方差等，共有)1(21-+p p p 个参数。

经过主成分分析后，每个新变量的均值和协方差都为零，所以，变量系统的数字特征减少了)1(21-+p p p 个。

1、主成分法：用主成分法寻找公共因子的方法如下：假定从相关阵出发求解主成分，设有p 个变量，则可找出p 个主成分。

将所得的p 个主成分按由大到小的顺序排列，记为1Y ，2Y ，…，P Y ， 则主成分与原始变量之间存在如下关系：11111221221122221122....................p p p p pp p pp p Y X X X Y X X X Y X X Xγγγγγγγγγ=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 式中，ij γ为随机向量X 的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量，因为特征向量之间彼此正交，从X 到Y 得转换关系是可逆的，很容易得出由Y 到X 得转换关系为：11112121212122221122....................p p p p pp p pp p X Y Y Y X Y Y Y X Y Y Yγγγγγγγγγ=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 对上面每一等式只保留钱m 个主成分而把后面的部分用i ε代替，则上式变为：1111212112121222221122....................m m m m p p p mp m p X Y Y Y X Y Y Y X Y Y Y γγγεγγγεγγγε=++++⎧⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩上式在形式上已经与因子模型相一致，且i Y （i=1,2，…，m ）之间相互独立，且i Y 与i ε之间相互独立，为了把i Y 转化成合适的公因子，现在要做的工作只是把主成分i Y 变为方差为1的变量。

为完成此变换，必须将i Y 除以其标准差，由主成分分析的知识知其标准差即为特征根的平方根/i i F Y =，12m ，则式子变为：1111122112211222221122....................m m m m p p p pm m p X a F a F a F X a F a F a F X a F a F a F εεε=++++⎧⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩这与因子模型完全一致，这样，就得到了载荷A 矩阵和 初始公因子(未旋转)。

主成分分析法概念及例题主成分分析法主成分分析principal components analysisPCA又称主分量分析主成分回归分析法目归归示??1 什归是主成分分析法??2 主成分分析的基本思想??3 主成分分析法的基本原理??4 主成分分析的主要作用??5 主成分分析法的归算步归??6 主成分分析法的归用分析 o 6.1 案例一主成分分析法在酒归味归价分析中的归用啤1 6.1.1 1 材料方法与6.1.2 2 主成分分析法的基本原理6.1.3 3 主成分分析法在酒归量一致性归价中的归用啤6.1.4 4 归归??7 考文参献归归什归是主成分分析法主成分分析也称主分量分析旨在利用降归的思想把多指归归化归少归合指归。

数几个在归归学中主成分分析principal components analysisPCA是一归归化据集的技归。

数它是一归性归归。

归归归把据归归到一新的坐归系归中使得任何据投影的第一大个个数个数方差在第一坐个归归第一主成分称上第二大方差在第二坐归个第二主成分上依次归推。

主成分分析归常用减少据集的归同归保持据集的归数数数方差归最大的特征。

归是通归保留低归主成分忽略高归主成分献做到的。

归归低归成分往往能归保留住据的最重要方面。

但是归也不是一定的要归具归用而定。

数体归归主成分分析的基本思想在归归归归究中归了全面、系归地分析归归我归必归考归多影因素。

归些涉及的因素一般归指研众响称归在多元归归分析中也归称归量。

因归每归量都在不同程度上反映了所究归归的某些信息且指归个研并之归彼此有一定的相归性因而所得的归归据数反映的信息在一定程度上有重。

在用叠归归方法究多研1归量归归归归量太多增加归算量和增加分析归归的归归性人归希望在归行会定量分析的归程中涉及的归量归少得到的信息量归多。

主成分分析正是适归归一要求归生的是解归归归的理想工具。

决同归在科普效果归的归程中也存在着归归的归归。

科普效果是归具量化的。

在归归归工作中估很体估我归常常归用有代表性的归合指归采用打分的方法归行归故归合指归的归取是重点和归会几个来估个点。