主成分分析法例子

主成分分析主成分分析、因子分析等在多元统计分析中属于协方差逼近技术。

主要是从协方差矩阵出发，实现一种正交变换，从而将高维系统表示为低维系统，在此过程中可以揭示研究对象的许多性质和特征。

主成分分析的结果可以用于回归分析、聚类分析、神经网络分析等等。

只要懂得线性代数中二次型化为标准型的原理，就很容易掌握主成分分析的原理，进而掌握因子分析的原理。

在理解正交变换数学原理的基础上，我们可以借助Excel 开展主成分分析。

为了清楚地说明主成分的计算过程，不妨给出一个简单的计算实例。

【例】2000 年中国各地区的城、乡人口的主成分分析。

这个例子只有两个变量（m=2）：城镇人口和乡村人口；31 个样品：即中国的31 个省、自治区和直辖市（n=31）。

资料来自2001 年《中国统计年鉴》，为2000 年全国人口普查快速汇总的11 月1 日零时数。

由于变量太少，这个例子仅仅具有教学意义——简单的实例更容易清楚地展示计算过程的细节。

计算步骤5.1.1 详细的计算过程首先，录入数据，并对数据进行适当处理（图5-1-1）。

计算的详细过程如下。

第一步，将原始数据绘成散点图主成分分析原则上要求部分变量之间具有线性相关趋势。

如果所有变量彼此之间不相关（即正交），则没有必要进行主成分分析，因为主成分分析的目的就是用正交的变量代替原来非正交的变量。

如果原始变量之间为非线性关系，则有必要对数据进行线性转换，否则效果不佳。

从图5-1-2 可见，原始数据具有非线性相关趋势，可以近似匹配幂指数函数，且测定系数R2=0.5157，相应地，相关系数R=0.7181（图5-1-2a）；取对数之后，点列具有明显的线性趋势（图5-1-2b）。

第二步，对数据进行标准化标准化的数学公式为我们将对对数变换后的数据开展主成分分析，因此只对取对数后的数据标准化。

根据图5-1-1所示的数据排列，应该按列标准化，用xij 代表取对数之后的数据，则下式分别为第j 列数据的均值和标准差，xij 为第i 行（即第i 个样本）、第j 列（即第j 个变量）的数据，xij*为相应于xij 的标准化数据，n=31 为样品数目（参见图5-1-1）。

主成分分析经典案例
主成分分析是一种常用的数据降维和模式识别方法，它可以帮助我们发现数据
中隐藏的结构和模式。

在实际应用中，主成分分析有很多经典案例，下面我们将介绍其中一些。

首先，我们来看一个经典的主成分分析案例，手写数字识别。

在这个案例中，
我们需要识别手写的数字，例如0-9。

我们可以将每个数字的图像表示为一个向量，然后利用主成分分析来找到最能代表数字特征的主成分。

通过这种方法，我们可以将复杂的图像数据降维到较低维度，从而更容易进行分类和识别。

另一个经典案例是面部识别。

在这个案例中，我们需要识别不同人脸的特征。

同样地，我们可以将每个人脸的图像表示为一个向量，然后利用主成分分析来找到最能代表人脸特征的主成分。

通过这种方法，我们可以将复杂的人脸数据降维到较低维度，从而更容易进行人脸识别和验证。

此外，主成分分析还可以应用于金融领域。

例如，在投资组合管理中，我们可
以利用主成分分析来发现不同资产之间的相关性和结构。

通过这种方法，我们可以将复杂的资产数据降维到较低维度，从而更容易进行资产配置和风险管理。

在医学领域，主成分分析也有着重要的应用。

例如，在基因表达数据分析中，
我们可以利用主成分分析来发现不同基因之间的相关性和结构。

通过这种方法，我们可以将复杂的基因表达数据降维到较低维度，从而更容易进行基因分析和疾病诊断。

总之，主成分分析在各个领域都有着重要的应用。

通过发现数据中的主要结构
和模式，主成分分析可以帮助我们更好地理解和利用数据。

希望以上经典案例的介绍能够帮助您更好地理解主成分分析的应用。

问题分析：问题2主要是找出金属污染的主要原因，首先要找出污染最严重的金属，结合问题1的求解，我们通过主成分分析法对各种金属污染的严重性进行了判定主成分分析法：重金属对人体的危害由金属元素的化学性质决定，根据十余项指标和九项参数对重金属的潜在毒性进行分类和排序，考评指标和参数如下：电离势、熔点、沸点、熔化热、汽化热、电化当量、结合能、离子半径、密度、电荷离子半径比、氧化性、离子奇偶性、挥发性。

结论如下：重金属潜在毒性排行榜：毒性大：Hg汞〉Cd镉〉Tl铊〉Pb铅〉Cr铬〉In铟〉Sn锡毒性中等：Ag银〉Sb锑〉Zn锌〉Mn锰〉Au金〉Cu铜〉Pr镨〉Ce 铈〉Co钴〉Pd钯〉Ni镍〉V钒〉Os锇〉Lu镥〉Pt铂〉Bi铋〉Yb镱〉Eu铕〉Ga镓〉Fe铁〉Sc钪〉Al铝〉Ti钛〉Ge锗〉Rh铑〉Zr锆毒性较小：Hf铪〉Ru钌〉Ir铱〉Tc锝〉Mo钼〉Nb铌〉Ta钽〉Re铼〉W钨〉Tm铥〉Dy镝〉Nd钕〉Er铒〉Ho钬〉Gd钆〉Tb铽〉La镧〉Y钇砷：一种三价和五价的非金属元素,旧称“砒”。

通常呈金属的铁灰色,结晶形,性脆。

砷常小量地被掺入合金(如用于制造子弹的砷-铅合金),其化合物主要用于制造毒剂(如杀虫剂)、药物和玻璃 [arsenic]——元素符号As由于砷是一种非金属元素，所以在重金属毒性排行榜中没有这个元素但是它的毒性却很强，仅次于汞，我们将它放到了第二位。

Hg>As>Cd>Pb>Cr>Zn>Cu>Ni我们采用主成分分析法来验证我们的猜测：X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7、X8分别表示：Hg、As、Cd、Pb、Cr、Zn、Cu、NiZ:标准化矩阵x：采样值x：均值s：标准差R:相关性矩阵：特征值p:维度2s：方差1、对原始指标数据的标准化采集p 维随机向量x =X1,X2,...,X pp（p=8）个影响因素测量值x i = (x i1,x i2,...,x ip)T，i=1,2,…,n 构造样本阵，对样本阵元进行如下标准化变换：计算样本的均值：1nijijx xn==∑计算方差：2 21()1nij jijx x sn=-=-∑得标准化矩阵Z通过MATLAB计算出标准化矩阵Z=zscore(A)见附录12、对标准化阵Z 求相关系数矩阵其中,通过MATLAB计算出相关系数化矩阵R=corrcoef(A)见附录23、解样本相关矩阵R 的特征方程得p 个特征根,确定主成分按 确定m 值，使信息的利用率达85%以上，对每个λj ,j=1,2,...,m, 解方程组Rb = λj 得单位特征向量1b 、2b 、3b ……8b贡献率i V ：1(1,2,,)ii pkk V i p λλ===∑累计贡献率i Q ：11(1,2,,)ikk i pkk Q i p λλ====∑∑i Q =1ni i V =∑ n=1、2、3 (8)通过MATLAB 计算出特征向量，主成分贡献率，见附录3 [COEFF,LATENT,EXPLATNED]=pcacov(R) 表1因子分析结果以85%作为界限，从表1中可以看出只要取四个因子就足够了。

主成分分析法的原理应用及计算步骤1.计算协方差矩阵：首先，我们需要将原始数据进行标准化处理，即使每个特征都有零均值和单位方差。

假设我们有m个n维样本，数据集为X，标准化后的数据集为Z。

那么，计算协方差矩阵的公式如下：Cov(Z) = (1/m) * Z^T * Z其中，Z^T为Z的转置。

2.计算特征向量：通过对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和特征向量。

特征值表示了新坐标系中每个特征的重要性程度，特征向量则表示了数据在新坐标系中的方向。

将协方差矩阵记为C，特征值记为λ1, λ2, ..., λn，特征向量记为v1, v2, ..., vn，那么特征值分解的公式如下：C*v=λ*v计算得到的特征向量按特征值的大小进行排序，从大到小排列。

3.选择主成分：从特征向量中选择与前k个最大特征值对应的特征向量作为主成分，即新坐标系的基向量。

这些主成分可以解释原始数据中大部分的方差。

我们可以通过设定一个阈值或者看特征值与总特征值之和的比例来确定保留的主成分个数。

4.映射数据：对于一个n维的原始数据样本x，通过将其投影到前k个主成分上，可以得到一个k维的新样本，使得新样本的方差最大化。

新样本的计算公式如下：y=W*x其中，y为新样本，W为特征向量矩阵，x为原始数据样本。

PCA的应用：1.数据降维：PCA可以通过主成分的选择，将高维数据降低到低维空间中，减少数据的复杂性和冗余性，提高计算效率。

2.特征提取：PCA可以通过寻找数据中的最相关的特征，提取出主要的信息，从而减小噪声的影响。

3.数据可视化：通过将数据映射到二维或三维空间中，PCA可以帮助我们更好地理解和解释数据。

总结：主成分分析是一种常用的数据降维方法，它通过投影数据到一个新的坐标系中，使得投影后的数据具有最大的方差。

通过计算协方差矩阵和特征向量，我们可以得到主成分，并将原始数据映射到新的坐标系中。

PCA 在数据降维、特征提取和数据可视化等方面有着广泛的应用。

主成分分析法1. 主成份分析：主成份分析是最经典的基于线性分类的分类系统。

这个分类系统的最⼤特点就是利⽤线性拟合的思路把分布在多个维度的⾼维数据投射到⼏个轴上。

如果每个样本只有两个数据变量，这种拟合就是其中和分别是样本的两个变量，⽽和则被称为loading,计算出的P值就被称为主成份。

实际上，当⼀个样本只有两个变量的时候，主成份分析本质上就是做⼀个线性回归。

公式本质上就是⼀条直线。

插⼊⼀幅图（主成份坐标旋转图，来⾃：PLS⼯具箱参考⼿册）如果⼀个样本有n个变量，那主成份就变为：其中PC1 称为第⼀主成份，⽽且，我们还可以获得⼀系列与PC这个直线正交的其它轴，如：被称为第⼆主成份以此类推，若令，此时向量A称为主成份的载荷(loading)，计算出的主成份的值PC称为得分(score)。

1. 主成份分析举例作为⼀个典型的降维⽅法，主成份分析在数据降维⽅⾯⾮常有⽤,⽽且也是所有线性降维⽅法的基础。

很多时候，如果我们拿着⼀个⾮常复杂的数据不知所措的话，可以先考虑⽤主成份分析的⽅法对其进⾏分解，找出数据当中的种种趋势。

在这⾥，我们利⽤数据挖掘研究当中⾮常常见的⼀个数据集对主成份分析的使⽤举例如下：1996年，美国时代周刊（Times）发表了⼀篇关于酒类消费，⼼脏病发病率和平均预期寿命之间关系的科普⽂章，当中提到了10个国家的烈酒，葡萄酒和啤酒的⼈均消费量（升/年）与⼈均预期寿命（年）⼀级⼼脏病发病率（百万⼈/年）的数据，这些数据单位不⼀，⽽且数据与数据之间仅有间接关系。

因此直接相关分析不能获得重要且有趣的结果。

另外⼀⽅⾯，总共只有10个国家作为样本，各种常见的抽样和假设检验在这⽅⾯也没有⽤武之地，我们看看⽤何种⽅法能够从这个简单的数据表中获得重要知识作为数据挖掘的第⼀步，⾸先应该观察数据的总体分布情况。

⽆论是EXCEL软件，还是R语⾔，我们都能够很⽅便的从下表中获得表征数据分布的条形图。

从图中可以看出，总共10个国家，有5类数据，由于各类数据性质各不相同，因此数值上⼤⼩也很不相同。

主成分分析法主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法目录[显示]1 什么是主成分分析法2 主成分分析的基本思想3 主成分分析法的基本原理4 主成分分析的主要作用5 主成分分析法的计算步骤6 主成分分析法的应用分析o案例一：主成分分析法在啤酒风味评价分析中的应用[1]1 材料与方法2 主成分分析法的基本原理3 主成分分析法在啤酒质量一致性评价中的应用4 结论7 参考文献[编辑]什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。

它是一个线性变换。

这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。

主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。

这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。

这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。

但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。

[编辑]主成分分析的基本思想在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。

因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。

在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。

主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。

同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。

科普效果是很难具体量化的。

在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。

1、主成分法：用主成分法寻找公共因子的方法如下：假定从相关阵出发求解主成分，设有p 个变量，则可找出p 个主成分。

将所得的p 个主成分按由大到小的顺序排列，记为1Y ，2Y ，…，P Y ， 则主成分与原始变量之间存在如下关系：11111221221122221122....................p p p p pp p pp p Y X X X Y X X X Y X X Xγγγγγγγγγ=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 式中，ij γ为随机向量X 的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量，因为特征向量之间彼此正交，从X 到Y 得转换关系是可逆的，很容易得出由Y 到X 得转换关系为：11112121212122221122....................p p p p pp p pp p X Y Y Y X Y Y Y X Y Y Yγγγγγγγγγ=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 对上面每一等式只保留钱m 个主成分而把后面的部分用i ε代替，则上式变为：1111212112121222221122....................m m m m p p p mp m p X Y Y Y X Y Y Y X Y Y Y γγγεγγγεγγγε=++++⎧⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩上式在形式上已经与因子模型相一致，且i Y （i=1,2，…，m ）之间相互独立，且i Y 与i ε之间相互独立，为了把i Y 转化成合适的公因子，现在要做的工作只是把主成分i Y 变为方差为1的变量。

为完成此变换，必须将i Y 除以其标准差，由主成分分析的知识知其标准差即为特征根的平方根/i i F Y =，12m ，则式子变为：1111122112211222221122....................m m m m p p p pm m p X a F a F a F X a F a F a F X a F a F a F εεε=++++⎧⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩这与因子模型完全一致，这样，就得到了载荷A 矩阵和 初始公因子(未旋转)。

在统计学中，主成分分析（principal components analysis, PCA）是一种简化数据集的技术。

它是一个线性变换。

这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。

主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。

这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。

这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。

在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。

因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。

在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。

主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p 个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。

主成分分析的主要作用体现在五个方面，第一，主成分分析能降低所研究的数据空间的维数。

第二，可通过因子负荷的结论，弄清X变量间的某些关系。

第三，可用于多为数据的一种图形表现方法。

第四，可由主成分分析构造回归模型，即把各个主成分作为新自变量代替原来自变量做回归分析。

第五，用主成分分析筛选回归变量。

案例分析：下表是关于全国31个省市的8项经济指标，以此为例，进行主成分分析。

主成分分析案例主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的数据降维技术，通过将原始数据投影到新的特征空间中，从而得到一组线性无关的主成分，用较少的主成分来表示原始数据，减少数据的维度，同时保留数据的主要信息。

在实际应用中，主成分分析可以帮助我们发现数据中的内在结构，降低数据的复杂度，便于后续的数据分析和可视化。

下面我们以一个实际的案例来介绍主成分分析的应用。

假设我们有一份包含多个变量的数据集，我们希望通过主成分分析来发现数据中的主要特征，并进行数据的降维处理。

首先，我们需要对数据进行标准化处理，使得每个变量具有相同的尺度。

然后，我们可以利用主成分分析来计算数据的主成分。

主成分分析的结果会给出每个主成分的方差解释比例，我们可以根据这个比例来选择保留的主成分个数。

一般来说，我们会选择累计方差解释比例达到80%以上的主成分作为数据的代表。

接下来，我们可以利用选定的主成分对数据进行降维处理。

通过将数据投影到选定的主成分上，我们可以得到降维后的数据集。

这样做不仅可以减少数据的维度，还可以保留数据的主要信息，方便后续的数据分析和可视化。

举个例子，假设我们有一个包含身高、体重、年龄、收入等多个变量的数据集，我们希望通过主成分分析来发现数据中的主要特征，并进行数据的降维处理。

我们首先对数据进行标准化处理，然后利用主成分分析计算数据的主成分。

假设我们选择保留累计方差解释比例达到80%以上的主成分，得到了3个主成分。

接下来，我们将数据投影到这3个主成分上，得到了降维后的数据集。

这样，我们就可以用这3个主成分来代表原始数据，实现了数据的降维处理。

总之，主成分分析是一种非常实用的数据降维技术，通过发现数据中的主要特征并进行降维处理，可以帮助我们减少数据的维度，保留数据的主要信息，方便后续的数据分析和可视化。

希望通过本文的介绍，读者对主成分分析有了更深入的理解，能够在实际应用中灵活运用主成分分析来处理数据。

主成分分析法范文PCA的计算过程可以分为以下几个步骤：1.数据标准化：对原始数据进行标准化处理，将各个特征的尺度调整为相同的范围，防止一些特征的取值范围过大造成不必要的干扰。

2.计算协方差矩阵：对标准化后的数据计算其协方差矩阵。

协方差矩阵描述了数据之间的相关性，一般而言，协方差越大表示两个特征之间的相关性越强。

3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

4.选择主成分：按照特征值的大小，选择前几个特征值对应的特征向量作为主成分。

特征值越大表示该主成分保留了更多的数据方差。

5.数据投影：将原始数据投影到选择的主成分上，得到降维后的数据。

PCA的主要思想是通过找到一组新的坐标系，使得数据在新坐标系中的方差尽可能大。

由于协方差矩阵是对称矩阵，故存在若干正交的特征向量，这些特征向量称为主成分。

在选择主成分时，通常会根据特征值的大小进行排序，选取前几个特征值对应的特征向量。

降维是PCA的一个重要应用。

当数据维度较高时，往往存在冗余信息，而且高维数据的处理与可视化较为困难。

通过PCA可以将高维数据映射到低维空间中，保留主要特征的同时减少数据的维度，从而方便后续的分析和处理。

另外，PCA还可以用于特征选择。

在一些机器学习任务中，特征的数量往往远大于样本的数量，这样容易导致过拟合问题。

通过PCA可以将特征空间从原始的高维空间转换到低维空间，同时保留了原始数据的主要特征，将维度降低到一个较合适的范围。

此外，PCA还可以用于数据压缩。

通过PCA将高维数据映射到低维空间，可以实现对数据的压缩，减少存储空间和计算开销。

综上所述，主成分分析是一种常用的数据分析方法，可以通过降维、特征选择和数据压缩等手段来提取数据的主要特征，帮助解决高维数据分析中的问题。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题和需求，合理选择PCA的使用方式和参数。