主成分分析实例及含义讲解

主成分分析类型：一种处理高维数据的方法。

降维思想：在实际问题的研究中，往往会涉及众多有关的变量。

但是，变量太多不但会增加计算的复杂性，而且也会给合理地分析问题和解释问题带来困难。

一般说来，虽然每个变量都提供了一定的信息，但其重要性有所不同，而在很多情况下，变量间有一定的相关性，从而使得这些变量所提供的信息在一定程度上有所重叠。

因而人们希望对这些变量加以“改造”，用为数极少的互补相关的新变量来反映原变量所提供的绝大部分信息，通过对新变量的分析达到解决问题的目的。

一、总体主成分1.1 定义设 X 1，X 2，…，X p 为某实际问题所涉及的 p 个随机变量。

记 X=(X 1，X 2，…,Xp)T ，其协方差矩阵为()[(())(())],T ij p p E X E X X E X σ⨯∑==--它是一个 p 阶非负定矩阵。

设1111112212221122221122Tp p Tp pT pp p p pp p Y l X l X l X l X Y l X l X l X l X Y l X l X l X l X⎧==+++⎪==+++⎪⎨⎪⎪==+++⎩（1） 则有()(),1,2,...,,(,)(,),1,2,...,.T T i i i i TT T i j ijij Var Y Var l X l l i p Cov Y Y Cov l X l X l l j p ==∑===∑= （2）第 i 个主成分： 一般地，在约束条件1T i i l l =及(,)0,1,2,..., 1.T i k i k Cov Y Y l l k i =∑==-下，求 l i 使 Var(Y i )达到最大，由此 l i 所确定的T i i Y l X =称为 X 1，X 2，…，X p 的第 i 个主成分。

1.2 总体主成分的计算设 ∑是12(,,...,)T p X X X X =的协方差矩阵，∑的特征值及相应的正交单位化特征向量分别为120p λλλ≥≥≥≥及12,,...,,p e e e则 X 的第 i 个主成分为1122,1,2,...,,T i i i i ip p Y e X e X e X e X i p ==+++= （3）此时(),1,2,...,,(,)0,.Ti i i i Ti k i k Var Y e e i p Cov Y Y e e i k λ⎧=∑==⎪⎨=∑=≠⎪⎩ 1.3 总体主成分的性质1.3.1 主成分的协方差矩阵及总方差记 12(,,...,)T p Y Y Y Y = 为主成分向量，则 Y=P T X ，其中12(,,...,)p P e e e =，且12()()(,,...,),T T p Cov Y Cov P X P P Diag λλλ==∑=Λ=由此得主成分的总方差为111()()()()(),p ppTTiii i i i Var Y tr P P tr PP tr Var X λ=====∑=∑=∑=∑∑∑即主成分分析是把 p 个原始变量 X 1，X 2，…，X p 的总方差1()pii Var X =∑分解成 p 个互不相关变量 Y 1，Y 2，…，Y p 的方差之和，即1()pii Var Y =∑而 ()k k Var Y λ=。

【转】主成分分析法概述、案例实例分析主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。

因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。

在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。

主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。

主成分分析法是一种数学变换的方法, 它把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。

在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二变量的方差次大，并且和第一变量不相关，称为第二主成分。

依次类推，I 个变量就有I个主成分。

这种方法避免了在综合评分等方法中权重确定的主观性和随意性，评价结果比较符合实际情况；同时，主成份分量表现为原变量的线性组合，如果最后综合指标包括所有分量，则可以得到精确的结果，百分之百地保留原变量提供的变差信息，即使舍弃若干分量，也可以保证将85％以上的变差信息体现在综合评分中，使评价结果真实可靠。

是在实际中应用得比较广的一种方法。

由于其第一主成份（因子）在所有的主成分中包含信息量最大，很多学者在研究综合评价问题时常采用第一主成分来比较不同实体间的差别。

综上所述，该方法的优点主要体现在两个方面：1.权重确定的客观性；2.评价结果真实可靠。

1．主成分分析的基本原理主成分分析：把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，是一种降维处理技术。

）记原来的变量指标为x1，x2，…，xP，它们的综合指标——新变量指标为z1，z2，…，zm（m≤p），则z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m 主成分，在实际问题的分析中，常挑选前几个最大的主成分。

主成分分析例题详解主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的数据降维技术，用于发现数据中的主要模式和结构。

本文将通过一个例题详细介绍主成分分析的原理和应用。

1. 问题描述假设我们有一个包含10个变量的数据集，每个变量都与某个特定的因素相关。

我们希望通过主成分分析来降低数据的维度，并找出对总体方差贡献最大的主成分。

2. 数据预处理在进行主成分分析之前，我们需要对数据进行预处理。

首先，我们需要对数据进行标准化，使得每个变量具有相同的尺度。

这样可以避免某些变量的值对主成分分析结果造成过大的影响。

其次，我们计算数据的协方差矩阵。

协方差矩阵描述了各个变量之间的线性关系。

通过计算协方差矩阵，我们可以得到数据中的主要结构和模式。

3. 特征值分解在得到协方差矩阵之后，我们对其进行特征值分解。

特征值分解可以将协方差矩阵分解为特征值和特征向量的乘积。

特征值表示了每个特征向量对应的主成分解释的方差。

特征向量则表示了每个主成分的权重。

对于该例题，我们得到了10个特征值和10个特征向量。

我们可以通过排序特征值的大小，找出贡献最大的主成分。

4. 主成分的选择通常情况下，我们选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。

这样可以保留数据中大部分的结构和模式。

在该例题中，假设前3个特征值分别为λ1、λ2和λ3，并对应的特征向量分别为v1、v2和v3。

我们选择前3个特征值对应的特征向量作为主成分。

5. 降维和重构通过选择主成分，我们可以将数据从原先的10维降到3维。

其中，每个样本在新的3维空间中的坐标可以通过与主成分的内积计算得到。

此外，我们还可以通过主成分将数据从降维空间重新投影回原始空间。

这样可以保留主成分中所包含的结构和模式。

6. 结论通过主成分分析，我们成功地降低了数据的维度，并找到了对总体方差贡献最大的主成分。

这样的降维操作可以减少特征空间的维度，并提取出数据中的重要信息。

主成分分析法主成分分析（principal components analysis ，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法目录［显示］1什么是主成分分析法2主成分分析的基本思想3主成分分析法的基木原理45主成分分析法的计算步骤6主成分分析法的应用分析0 案例一：主成分分析法在啤酒风味评价分析中的应用⑴1材料与方法2主成分分析袪的基本原理3主成分分析法在啤酒质虽一致性评价中的应用4结论7参考文献［编辑］什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA ）是一种简化数据集的技术。

它是一个线性变换。

这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标（称为第一主成分）上，第二大方差在第二个坐标（第二主成分）上，依次类推。

主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。

这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。

这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。

但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。

［编辑］主成分分析的基本思想在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。

因为每个变量都在不同程度上反映了所硏究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相矢性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。

在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在逬行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。

主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。

同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。

科普效果是很难具体量化的。

在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。

主成分分析实例和含义讲解1.数据标准化：对原始数据进行标准化处理，使得每个变量的均值为0，方差为1、这一步是为了将不同量级的变量进行比较。

2.计算协方差矩阵：根据标准化后的数据，计算协方差矩阵。

协方差矩阵反映了各个变量之间的线性关系。

3.特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

特征值表示了各个特征向量的重要程度。

4.选择主成分：根据特征值的大小，选择前k个特征向量作为主成分，k通常是根据主成分所解释的方差比例进行确定。

5.数据投影：将原始数据投影到选取的主成分上，得到降维后的数据。

主成分分析的含义可以从两个方面来解释。

一方面，主成分分析表示了原始数据在新坐标系下的投影，可以帮助我们理解数据的结构和变化。

通过选择前几个主成分，我们可以找到最能够代表原始数据的几个因素，从而实现数据的降维。

例如，在一个包含多个变量的数据集中，如果我们选择了前两个主成分，那么我们可以通过绘制数据在这两个主成分上的投影，来理解数据的分布和变化规律。

同时，主成分的累计方差贡献率可以帮助我们评估所选择的主成分对原始数据方差的解释程度，从而确定降维的精度。

另一方面，主成分分析还可以用于数据的预处理和异常值检测。

通过计算每个变量在主成分上的权重，我们可以判断每个变量对主成分的贡献大小。

如果一些变量的权重很小，那么可以考虑将其从数据集中剔除，从而减少数据的维度和复杂度。

此外，主成分分析还可以检测数据集中的异常值。

在降维的过程中，异常值对主成分的计算结果会产生较大的影响，因此可以通过比较各个主成分的方差贡献率，来识别可能存在的异常值。

总之，主成分分析是一种常用的数据降维方法，它能够帮助我们理解数据集的结构，并鉴别对数据变化影响最大的因素。

通过选择适当的主成分，我们可以实现数据的降维和可视化，并对异常值进行检测。

在实际应用中，主成分分析常常与其他数据挖掘和机器学习方法结合使用，从而发现数据的隐藏模式和关联规则，提高数据分析的效果和准确性。

主成分分析公式主成分分析法实例【转】主成分分析法概述、案例实例分析主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。

因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。

在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。

主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。

主成分分析法是一种数学变换的方法, 它把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。

在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二变量的方差次大，并且和第一变量不相关，称为第二主成分。

依次类推，I个变量就有I个主成分。

这种方法避免了在综合评分等方法中权重确定的主观性和随意性，评价结果比较符合实际情况;同时，主成份分量表现为原变量的线性组合，如果最后综合指标包括所有分量，则可以得到精确的结果，百分之百地保留原变量提供的变差信息，即使舍弃若干分量，也可以保证将85,以上的变差信息体现在综合评分中，使评价结果真实可靠。

是在实际中应用得比较广的一种方法。

由于其第一主成份(因子)在所有的主成分中包含信息量最大，很多学者在研究综合评价问题时常采用第一主成分来比较不同实体间的差别。

综上所述，该方法的优点主要体现在两个方面:1.权重确定的客观性;2.评价结果真实可靠。

1(主成分分析的基本原理主成分分析:把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，是一种降维处理技术。

)记原来的变量指标为x1，x2，…，xP，它们的综合指标——新变量指标为z1，z2，…，zm(mp)，则z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m主成分，在实际问题的分析中，常挑选前几个最大的主成分。

【转】主成分分析法概述、案例实例分析主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。

因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。

在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。

主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。

主成分分析法是一种数学变换的方法, 它把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。

在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二变量的方差次大，并且和第一变量不相关，称为第二主成分。

依次类推，I 个变量就有I个主成分。

这种方法避免了在综合评分等方法中权重确定的主观性和随意性，评价结果比较符合实际情况；同时，主成份分量表现为原变量的线性组合，如果最后综合指标包括所有分量，则可以得到精确的结果，百分之百地保留原变量提供的变差信息，即使舍弃若干分量，也可以保证将85％以上的变差信息体现在综合评分中，使评价结果真实可靠。

是在实际中应用得比较广的一种方法。

由于其第一主成份（因子）在所有的主成分中包含信息量最大，很多学者在研究综合评价问题时常采用第一主成分来比较不同实体间的差别。

综上所述，该方法的优点主要体现在两个方面：1.权重确定的客观性；2.评价结果真实可靠。

1．主成分分析的基本原理主成分分析：把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，是一种降维处理技术。

）记原来的变量指标为x1，x2，…，xP，它们的综合指标——新变量指标为z1，z2，…，zm（m≤p），则z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m 主成分，在实际问题的分析中，常挑选前几个最大的主成分。