蓉城名校联盟2020--2021学年第一学期高三数学联考

2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考数学（理）试卷★祝考试顺利★ (含答案)时间120分钟,满分150分注意事项：1.答题前,考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚,考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答,超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“若两条直线平行,则这两条直线在同一个平面内”和它的逆命题、否命题、逆否命题,这四个命题中真命题的个数为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．42.袋中装有大小和材质均相同的红球4个,黄球2个,白球1个,从中随机取出一个球,记事件A 为“取出的是红球”,事件为B “取出的是黄球”,则下列关于事件A 和事件B 的关系说法正确的是（ ） A ．不互斥但对立B ．不互斥也不对立C ．互斥且对立D ．互斥但不对立3.命题“2x ∀≥,2+ 6x x ≥”的否定是（ ） A ．2x ∀≥,26x x +< B ．02x ∃≥,206x x +< C ．2x ∀<,26x x +<D ．02x ∃<,206x x +< 4.平面内有两个定点A 、B 和一个动点M ,5AB =,MA MB a +=（a 为常数）.若p 表示"6a >",q 表示“点M 的轨迹是椭圆”．则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.若方程222450x y x ay a ++--=表示圆,则下列四个数中a 不能取的是（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．26.某校高二年级有980名同学,编号为1到980,采用系统抽样的方法从中抽出49人,已知被抽出的编号中有一个为22,则下列编号中没有被抽中的是（ ） A ．82B ．202C ．372D ．5627.圆()22:216M x y ++=与圆()22():4836N x y -++=的位置关系为（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切8.从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中随机抽取一个,记事件A 为“抽取的数字为偶数”,事件B 为“抽取的数字为3的倍数”,则事件A B +发生的概率为（ ）A ．57B ．67C ．37D ．479.已知抛物线22y ax =的焦点在直线3260x y +-=上,则a =（ ） A ．4B ．6C ．124D ．11610.圆M 内有一内接正六边形ABCDEF ,把点Q 随机投入圆M 内（含边界）,则点Q 落在正六边形ABCDEF 内（含边界）的概率为（ ）A B C ．D11.已知关于x 的方程 5x +=只有一个实数根,则实数m 的值为（ ）A ．34-B ．43C ．43-D ．3412.已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的离心率为12,左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 作y 轴的平行线交椭圆M 于A 、B 两点,O 为坐标原点,双曲线N 的虚轴长为3,且以1F 、2F 为顶点,以直线OA 、OB 为渐近线,则椭圆M 的短轴长为（ ）A ．2BC ．D ．二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.执行如图所示的程序框图,输出的s 的值是________________.14.为了研究商品猪存栏量与猪肉平均市场价格的关系,有关人员调查了某省商品猪存栏量与该省猪肉平均市场价格的情况,得到如下表中的数据：根据这组数据,得到了该省猪肉的平均市场价格y （元/千克）关于商品猪存栏量x （千万头）的线性回归方程为31y x a =-+,则a =___________________.15.已知抛物线25y x =上一点Q 到焦点F 的距离为254,则坐标原点到直线FQ 的距离为____________.16.已知圆()()22:254C x y -+-=,T 为圆C 外的动点,过点T 作圆C 的两条切线,切点分别为M 、N ,使TM TN ⋅取得最小值的点T 称为圆C 的萌点,则圆C 的萌点的轨迹方程为_________________.三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题[]:1,2P x ∀∈,20xm -≥,命题q ：方程22142x y m m +=-+表示双曲线． （1）若命题q ⌝为假命题,求实数m 的取值范围；（2）若命题p q ∨为真,且p q ∧为假,求实数m 的取值范围． 18.已知圆C 经过点()2,5,()5,2,()2,1-. （1）求圆C 的方程；（2）设点(), P x y 在圆C 上运动,求()()2221x y +++的最大值与最小值．19.2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都市举行,成都市某大学为了解该校大学生每天的体育锻炼情况,在全体大学生中随机抽取了200名学生,对他们每天的体育锻炼时间（单位：分钟）进行统计,由此得到频率分布直方图（如下图）．（1）求t 的值；（2）根据频率分布直方图,估计该校大学生每天体育锻炼时间的平均数；（3）若要从每天体育锻炼时间在[)40,50,[)50,60的两组学生中,采用分层抽样的方法选取5人了解他们的锻炼方式,再从这5人中随机抽取2人做志愿者,求抽取的2人每天体育锻炼时间在同一组内的概率．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,点F 到直线10x y ++=的距离为2,点P 是椭圆上的一动点,PF 的最大值为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,线段AB 的中点为()1,1T -,求直线l 的方程． 21.已知在平面直角坐标系中,动点P 到点()0,2的距离比到直线3y =-的距离短l . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）经过点()0,3作任一直线l 与轨迹E 相交于A 、B 两点,过A 点作直线3y =-的垂线,垂足为C 点,求证：直线BC 过x 轴上的定点,并求出定点坐标．22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为),点()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0T 且斜率大于0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 和N ,直线PM 、PN 分别交x 轴于A 、B 两点,记PAT 、PBT 的面积分别为1S 、2S ,求12 S S +的取值范围．2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考数学（理）参考答案一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分. 1～5：BDBAA6～10：CBDCA11～12：BC二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．12214．14815．116．()()2225x y -+-=三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）因为q ⌝为假命题,则命题q 为真命题.即()()420m m -+<,4m >或2m <-.故m 的取值范围为{}|42m m m ><-或（2）命题[]:1,2p x ∀∈,20x m -≥,即2x m ≥对于[]1,2x ∀∈恒成立只需()min 2x m ≤,所以2m ≤. 因为命题p q ∨为真,且p q ∧为假,所以p 、q 一真一假.当p 真q 假时：224m m ≤⎧⎨≤≤⎩,即22m -≤≤.当p 假q 真时：242m m m >⎧⎨><-⎩或,即4m >综上：m 的取值范围为{}|422m m m >-≤≤或. 18．解：（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.2529522925D E F D E F D E F ++=-⎧⎪++=-⎨⎪-+=-⎩,得441D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩224410x y x y ∴+---=即22(2)(2)9x y ∴-+-= （2）22(2)(1)x y +++表示点(), P x y 与点()2,1--距离的平方. 圆心()2,2与()2,1--的距离5d ==.故距离最大值为8d R +=,距离最小值为2d R -=.所以22(2)(1)x y +++的最大值为64,最小值为4.19.解：（1）由题意知：20101t ⨯=,得0.005t =. （2）由频率分布直方图得：平均值350.05450.2550.3650.2750.15850.160x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）[)40,50,[)50,60的两组学生中,[)40,50组选2人,分别记为A ,B ；[)50,60组选3人,分别记为a ,b ,c ,从这5人中随机抽取2人做志愿者的选法为(),A B ,(),A a ,(),A b ,(),A c ,(),B a ,(),B b ,(),B c ,(),a b ,(),a c ,(),b c 共10种,其中抽取2人为同一组的包含(),A B ,(),a b ,(),a c ,(),b c 共4种由古典概型知：抽取的2人每天体育锻炼时间在同一组的概率为25P =. 20.解：（1）由题意知：(),0F c-2=,2c =或0c =（舍）PF 的最大值为2,即ac +=所以a =2b =故椭圆c 的方程为22184x y +=. （2）设()11,A x y ,()22,B x y .由点()1,1T -为AB 中点得：122x x +=-,122y y +=且221122222828x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,相减得：22221212220x x y y -+-=.整理得：()121212122y y x x x x y y -+=--+,得12k =. 故直线方程为()1112y x -=+,即230x y -+=. （说明：运用直线与椭圆联立求解,结果正确也给分）21.解：（1）由已知可得,动点P 到点()0,2的距离等于到直线2y =-的距离. 由抛物线的定义知,点P 的轨迹为抛物线,点()0,2为焦点,直线2y =-为准线 故4p =,点P 的轨迹方程为28x y =.（2）当0k =时,直线l 为3y =,由对称性,直线BC 与x 轴交于点()0,0O 下面证明一般情况下,直线BC 与x 轴交于定点()0,0O .由题意知：直线l 的斜率存在.设直线方程为3y kx =+,设()11,A x y ,()22,B x y .直线与抛物线联立：238y kx x y=+⎧⎨=⎩,得28240x kx --=.x ∆>恒成立,128x x k ∴+=,1224x x =-. 点()22,B x y ,()1,3C x -,()0,0O 共线2123OC OB y k k x x -⇔=⇔=12230x y x ⇔+= 122(3)30x ky x ⇔++=12123()0kx x x x ⇔++=而12123()24240kx x x x k k ++=-+= 即直线BC 过定点(0)0，.22.解：（1）由题意知：223b a +=.将点P 代入得：22411a b +=. 22223411b a ab ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩,得2263a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩故椭圆的方程为：22163x y += （2）如图所示：由题意知直线TM 的斜率大于0,所以可设直线方程为3x ty =+,设()11,M x y ,()22,N x y .直线与椭圆联立：22326x ty x y =+⎧⎨+=⎩,得()222630t y ty +++= 0∆>,即()22361220t t -+>,21t >,,由于斜率大于0,1t ∴>12262t y y t -+=+,12232y y t =+ 直线PM 的斜率：1112y x --,PM 的方程：()111122y y x x --=--,令0y =,则11221A x x y -=+- 直线PN 的斜率：2212y x --,PN 的方程：()221122y y x x --=--,令0y =,则22221B x x y -=+- 112311A x TA x y -=-=+-,222311B x TB x y -=-=+-,()12112S S TA TB +=⨯⨯+12121222211x x y y ⎫⎛--=++⎪ --⎝⎭现求12122211x x y y --+--的取值范围：12122211x x y y --+--122112(2)(1)(2)(1)(1)(1)x y x y y y --+--=--将x 用y 表示代入：原式()()()121212122121ty y t y y y y y y +-+-=-++由韦达定理得：原式()2244165t t t t -=>++原式()224(1)24441655t t t t t +=-=->+++所以12123(1)5S S t t +=->+,函数为递增,()121,3S S +∈. （说明：直线设成()3y k x =-,0k >,结果正确也给分）. 12.解：设椭圆M 的半焦距为c ,由已知得12c a =,所以2a c =,b =, 椭圆M 的方程可化为2222143x y c c +=,把x c =代入,解得32y c =±所以3,2A c c ⎫⎛ ⎪⎝⎭,直线3:2OA y x =设双曲线N 的实半轴长为'a ,虚半轴长为'b ,半焦距为'c则'a c =,由'3'2b a =,得33''22b ac == 由已知可得3'2b =,所以3322c =,1c =所以b ==所以椭圆M的短轴长为16.解：()()2222cos 12sin TM TN TM MTN TC MCMTC ⋅=∠=--∠()222241CM TC TC ⎫⎛=--⎪ ⎪⎝⎭()22228324112TC TC TC TC ⎫⎛=--=+-⎪⎪⎝⎭12≥=当且仅当2TC =.由T 在圆C 外知TC的取值范围是()2,+∞,所以2TC=故TM TN ⋅的最小值为12-.由2TC =,萌点T 的轨迹为圆,方程为()()2225x y -+-=2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考数学（理）试卷。

蓉城名校联盟2020〜2021学年度上期高中2019级期中联考理科数学考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5亳米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5亳米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效：在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若直线aJ_平而a,直线b_L平面a,则直线a与直线b的位置关系为A.异而B.相交C.平行D.平行或异而2.已知直线/经过点A(l, — 1), B(2, m),若直线/的斜率为1,则m的值为A.OB.lC.-lD.23.某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层抽样的方法抽取一个容量为56人的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19人，则该校高二学生人数为A.900B.950C.1000D.10504.已知点A(l, 0),直线/： x-y+l=0,则点A到直线/的距离为A.lB.2 C 很 D.2^5.若直线2x-y+a=0始终平分圆x2+y2-4x+4y=0的周长，则a的值为A.4B.6C.—6D. —26.设a、。

是互不重合的平面，/、m、n是互不重合的直线，下列命题正确的是，A.若mua, nua, /±m> /±n,则/_LaB.若/J_n, m_Ln,则〃/mC.若 ni//a, n//。

，a_L0,则 m_Lny-2x-4<07 .若实数x, y 满足约束条件］2y + x-8<0,则z=3x-y 的最小值为 y - 2 > 0 A.-6B.-5C .一 4D.-28.如图，在以下四个正方体中，直线MN 与平面ABC 平行的是11.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AD±PA, BC±PB, PB = BC,PNPA = AB, M 为PB 的中点，若PC 上存在一点N 使得平面PCD±平面AMN,则—— =NCpD .若 LLa,瞄,则 a_L0A.2x-y-8=0B.2x-y-10=0C.2x+y-12=0D.2x+y-10=0 10.如图，在三棱锥S-ABC 中，SA_L 平而ABC, SA=2,AC=2, BC=1, ZACB=90°,则直线SC 与平面SAB 所成角的正弦值为 球 B 711043x/10D.——9.直线2y —x+1 =0关于y —x + 3=0对称的直线方程是12.已知圆C： (x-l)2+(y — l)2=r2(r>0),若圆C上至少有3个点到直线x+y+2=0的距离为龙，则实数r的取值范围为A.(0, 2>/2 )B.(2>/2 , 3\/2 ]C.(3>/2 , +8)D.[3>/2 , 4-00)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2020级期末联考理科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”．2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3.考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知实数a ，b 满足a b <，则下列关系式一定成立的是（ ）A ．22a b <B ．ln()0b a ->C ．11a b> D ．22a b < 2.下列说法正确的是（ ）A ．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体一定是圆锥B ．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分一定是圆台C ．正视图和侧视图的高一定是相等的，正视图和俯视图的长一定是相等的D ．利用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是 3.在ABC △中，点D 在BC 边上，且3BD DC =，则（ ）A ．1233AD AB AC =+ B ．1344AD AB AC =+ C ．1344AD AB AC =+ D ．1223AD AB AC =+4.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，c =6A π=，则b =（ ）A ．1B ．2C ．D ．1或2 5.某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图．圆柱表面上的点P 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点Q 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从P 到Q 的路径中，最短路径的长度为（ ）A B C ．32 D ．16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若120a >，11120a a +<，则满足0n S >的最小正整数n 的值为（ ）A ．22B ．23C ．24D ．257.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3A π=，10b c +=，a =则ABC S =△（ ）A ．B ．C ．D ．8.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．如图所示，扇形的半径为2，圆心角为2π，若扇形AOB 绕直线OB 旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．43πB ．2πC ．83πD ．163π 9.设2a >，1b >，若4a b +=，则1421a b +--的最小值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．1110.已知A ，B 是球O 的球面上两点，23AOB π∠=，P 为该球面上动点，若三棱锥O PAB -体积的最大值O 的表面积为（ ） A ．12π B ．16πC ．24πD ．36π 11.已知数列{}n a 满足()1131n n n a a n ++-=+，n S 为{}n a 的前n 项和，则20S =（ ）A ．300B ．320C ．340D ．36012.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若bc =sin 2sin cos 0A B C +=，则ABC △面积的最大值为（ ）A ．1 BC ．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.求值：tan 33tan 271tan 33tan 27︒+︒=-︒︒． 14.已知平面向量a ，b 满足1a =，4b =，且a 与b 的夹角为3π，则2a b -= ． 15.若不等式2210ax ax -+>对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为 ．16.在数列{}n a 中，11a =，2211n n a n a n -=-（2n ≥，*n ∈N ），则数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()22f x x ax b =-++，a ∈R ，b ∈R ． （1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,2，求实数a ，b 的值；（2）若关于x 的不等式()f x b ≤在[]1,3x ∈上能成立，求实数a 的取值范围．18.已知向量()2sin ,cos sin a x x x =+，()cos ,cos sin b x x x =-，若函数()f x a b =⋅．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若θ为钝角，且84f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值． 19.已知在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC △同时满足下列4个条件中的三个：①4A π=，②4a =，③c =1sin 4C =． （1）指出这三个条件，并说明理由；（2）求边长b 和三角形的面积ABC S △．20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，1n n a S +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ． 21.成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，根据自行车比赛的需要，需预留出AC ，AD 两条服务车道（不考虑宽度），DC ，CB ，BA ，AE ，ED 为赛道，23ABC AED π∠=∠=，4BAC π∠=，)km BC=，)km CD =．注：km为千米．（1）若3cos 5CAD ∠=，求服务通道AD 的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道AED 的最长值（即AE ED +最大）．（结果保留根号）22.已知数列{}n a 满足()2*12n n n a a a n ++=⋅∈N ，且12a =，416a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）设3n n n n a c a =+，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：86182265133nn T ⎛⎫-⋅≤< ⎪⎝⎭． 蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2020级期末联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 15.[)0,1 16.21n n + 解析：11.()1131nn n a a n ++-=+， ①当n 为偶数时，131n n a a n ++=+，2134n n a a n ++∴-=+，265n n a a n +∴+=+，2462517a a ∴+=⨯+=，6866541a a ∴+=⨯+=，…182********a a ∴+=⨯+=，()24205171133252a a a ⨯+∴+++==． ②当n 为奇数时，131n n a a n +-=+，2134n n a a n ++∴+=+，23n n a a +∴+=，133a a ∴+=，573a a +=，…，17193a a +=，13195315a a a ∴+++=⨯=，2012320S a a a a ∴=++++ ()()13192420a a a a a a =+++++++ 32515340=+= 12.sin 2sin cos 0A B C +=，222202a b c a b ab +-∴+⨯=，22220a b c +-=，22222c b a ==， 222222222cos 22b c b c b c a A bc bc ++-+-∴==223222b c bc +=≥= 06A π∴<≤，1sin 0,2A ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，11sin 24S bc A bc ∴=≤= 16.()()2221111n n a n n a n n n -==-+-，321121n n n a a a a a a a a -∴=⨯⨯⨯⨯ ()()222223421132435111n n n n n =⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+-+ ()2211211n a n n n n n ⎛⎫⇒==- ⎪++⎝⎭， 1111122122311n n T n n n ⎛⎫∴=-+-++-= ⎪++⎝⎭． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）()0f x <的解集为()1,2，1∴，2是方程220x ax b -++=的两个根；123a ∴=+=；2122b +=⨯=；3a ∴=，0b =．（2）22x ax b b -++≤在[]1,3x ∈上能成立；220x ax +∴-≤在[]1,3x ∈上能成立；()2min 2ax x ≥+∴；[]1,3x ∈， min 2a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭∴； 2x x+≥=x ==”）， []21,3x =∈，a ∴≥18．解：（1）()222sin cos cos sin f x a b x x x x =⋅=+-sin 2cos 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ()f x ∴的最小正周期22T ππ==；令222242k x k πππππ-+≤+≤+， 388k x k ππππ-+≤≤+∴，k ∈Z ， ∴单调递增区间为：3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）228842f ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 21sin 2cos 22cos 124πθθθ⎛⎫+==-∴= ⎪⎝⎭，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos θ=∴sin θ=；sin tan cos θθθ==．19．解：（1）该三角形同时满足①②③，理由如下： 若非钝角ABC △同时满足①④，11sin 42C =<， 06C π∴<<或56C ππ<<（舍），又4A π=，5412A C ππ∴<+<，73124B A C πππ∴<=--<，这与ABC △为非钝角三角形相矛盾，①④不能同时选，∴②③必选，若选②③④，a c <，A C ∴<，11sin 42C =<，6C π∴<，23B A C ππ∴=-->，与ABC △为非钝角三角形相矛盾，∴该三角形同时满足①②③．（2）22222cos322162a b c bc A b b=+-=+-⨯⨯=，28160b b∴-+=，4b∴=，11sin48222ABCS bc A∴==⨯⨯=△．20．解：（1）1n na S+=，1n na S-∴=，两式相减得()122n na a n+=≥．{}na∴为从第二项开始的等比数列212a S==，12,1,2, 2.n nnan-=⎧∴=⎨≥⎩（2）21,1,log1, 2.n nnb an n=⎧==⎨-≥⎩①当2n≥时，()11111112231nTn n=++++⨯⨯⨯-111111111223341n n=+-+-+-++--12n=-．②当1n=时，11T=，满足12nTn=-，综上所述：12nTn=-．21．解：（1）在ABC△中，由正弦定理得：82sin sin34AC Cππ=，AC==在ACD△中，由余弦定理得2222cosCD AD AC AC AD CAD=+-⋅⋅∠，23218AD AD ∴=+，AD ∴=（2）方法一：在ADE △中，由余弦定理得：22222cos 3AD AE ED AE DE π=+-⋅⋅， 222AD AE ED AE AD ∴=++⋅，()250AE ED AE AD =+-⋅， ()24AE ED AE AD +⋅≤， ()23504AE ED ∴+≤， ()22003AE ED ∴+≤，AE ED ∴+≤（当且仅当AE AD ==时取“=”） 方法二： 在ADE △中，设1ADE ∠=∠，2EAD ∠=∠，sin 1sin 2sin AE DE AD AED ∴====∠∠∠，1AE ∴=∠，2DE =∠，12AE DE ∴+=∠+∠113π⎛⎫=∠-∠ ⎪⎝⎭111sin 12⎫=∠+∠-∠⎪⎪⎝⎭1cos 133=∠+∠1sin 11322⎫=∠+∠⎪⎪⎝⎭13π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭ 013π<∠<，21,333πππ⎛⎫∴∠+∈ ⎪⎝⎭，sin 13π⎤⎛⎫∠+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13π⎛⎛⎫∠+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，AE DE ∴+≤ 22． 解：（1）212n n n a a a ++=⋅， 211n n n na a a a +++∴=， {}n a ∴为等比数列， 设公比为q ，12a =，416a =， 3418a q a ∴==， 2q ∴=，2n n a ∴=．（2）()()21212n n n b n a n =-=-⋅ ()23123123252212n n n S b b b b n ∴=++++=⨯+⨯+⨯++-⋅① ()()23412123252232212n n n S n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅② ②-①得：()()23122222212n n n S n +=--++++- ()()()()1131141222212221221212n n n n n n -+-+-=--⨯+-=-+-+-⋅-()16232n n +=+-⋅.（3）①先证右边：*n ∈N ，20n ∴>，323n n n ∴+>，22323n n n n n c ⎛⎫∴=< ⎪+⎝⎭． 234122222233333n n n T c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2213322222313n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⋅< ⎪⎝⎭-． ②再证左边：当1n =时，1861822651335T =-⨯=，成立． 当2n ≥时，设213233122n n n n n n c λ==≥+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 则1213n λ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 913λ∴≤， 92133n n c ⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭． ∴当2n ≥时，231229222513333n n n T c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⨯+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣≥⎦ 2112213329212221218212513513351313313n n n --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+⨯=+-⎢=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎥⎦-⎣ 8618265133n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 86182265133n n T ⎛⎫∴-⋅≤< ⎪⎝⎭．。

2023～2024学年度上期高中2022级期末联考数学（答案在最后）考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆C :22194x y +=，则椭圆C 的长轴长为A ．3B ．4C ．6D ．92．若直线l 的倾斜角为150︒，则它的方向向量可以为A ．(1,3)B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(1,3)-3．某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是A ．90B ．75C ．95D ．704．若方程2220x y mx my ++-+=表示一个圆，则m 可取的值为A ．0B ．1C ．2D ．35．有5个相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中一次性取出2个球，则事件“2个球颜色不同”发生的概率为A ．710B ．25C ．35D ．3106．已知圆221:(2)(1)2M x y -+-=，圆222:2210M x y x y +-++=，点P 为y 轴上的动点，则12||||PM PM +的最小值为A ．3B ．13C ．10D ．57．已知等腰直角三角形ABC ，AB AC =，点D 为BC 边上的中点，沿AD 折起平面ABD使得π3BDC ∠=，则异面直线AB 与DC 所成角的余弦值为A ．24-B ．24C ．23-D ．238．过点(5,)a 作圆22(2)3:C x y -+=的切线，切点分别为A ，B ，则弦长||AB 的最小值为A ．B ．3C ．2D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2020级期中联考数学科（学生版）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.2.请将各题答案写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：必修一全部内容.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2=--A ，{}Z 11=∈-≤≤B x x ，则=A B （ ）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1-D.{}0,1,22.下列函数与()f x x =是同一函数的是（ ）A ．2()x f x x=B．()f x =C ．22()log xf x = D ．2log ()2xf x =3.下列函数在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()lg(2)f x x =-D ．()24f x x =-+4.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（ ）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)5.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（ ）A.4-B.2-C.0D. 26.已知函数)(x f y =的定义域为),1[+∞，则函数xx f x g -+-=41)32()(的定义域为( )A ．]4,1[-B ．)4,1[-C ．]4,2[D ．)4,2[7.已知关于x 的方程0822=+-ax x 的两个实根1x ，2x 满足221>>x x ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．)3,22(B ．),2(∞+C ．),22(∞+D ．)3,22(-8.已知函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤满足对于任意的1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦9.已知函数)45(log )(221-+-=x x x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，则m 的取值范围 ( )A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--11.已知函数2(1)1()|4|1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实数根的和为（ ）A.3B.6C.9D.1212.已知不等式2112x x --≤的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且M N N ⊆，则实数a的取值范围为（ ）A ．()0,+∞B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把【答案】填在答题卡中的横线上.13.若{}21,a a ∈，则a = ． 14.不等式236212()2xxx --≥的解集为________． 15.设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 16.已知()221x x mf x +=+，若对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()1f x ，()2f x ，()3f x 为某个三角形的三边边长，则实数m 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+（2）()212323313(0.008)3850---⎛⎫⎛⎫+÷-π- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭18.已知集合{}2540A x x x =-+≤，1282x B x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，若R 为全体实数集合．（1）求()AB R；（2）若{}23C x m x m =<≤+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．19.已知函数2()3f x x ax a =++-，[]2,4x ∈-. （1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域； （2）求()f x 的最小值()g a 的表达式.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．设第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型 1.5001()5(,*)n b n y y y y b n +=--⨯∈∈R N 给出，其中n 是指改良工艺的次数． （1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：取lg20.3≈) 21.若函数4()221x f x =-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围. 22.已知函数()42+=x xbf x 为奇函数.（1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设()()log 44-⎡⎤=+-⎣⎦x x m g x mf x （0>m ，且1≠m ），问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2020级期中联考数学科（解析版）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.2.请将各题答案写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：必修一全部内容.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2=--A ，{}Z 11=∈-≤≤B x x ，则=A B （ ）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1-D.{}0,1,2【答案】 A. 【解析】∵{}{}Z 111,0,1=∈-≤≤=-B x x ，则{}1,0,1=-AB ，故选A.2.下列函数与()f x x =是同一函数的是（ ）A ．2()x f x x=B ．()f x =C ．22()log xf x =D ．2log ()2xf x =【答案】 C ． 【解析】由题意得，()f x x =的定义域为R ，A ：2()x f x x=的定义域为()()-00∞+∞，，，与()f x x =的定义域不一样，排除A ．B ：()f x =R ，但是()f x x =，排除B ，D ：2log ()2xf x =的定义域为()0+∞，，排除D ，所以正确答案选C . 3.下列函数在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()lg(2)f x x =-D ．()24f x x =-+【答案】 A ． 【解析】2()f x x =在(0,)+∞上为增函数，A 正确；2()f x x=在(0,)+∞上为减函数，B 错误； ()lg(2)f x x =-为在(2,)+∞上为增函数，C 错误；()24f x x =-+在(0,)+∞上为减函数，D 错误；故选A ．4.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（ ）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)【答案】 D. 【解析】∵函数()log (0,a f x x a =>且1)a ≠的图像恒过点(1,0)，则令31,x -=得4x =， 此时log (3)11a y x =-+=，∴函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)x ≠的图像恒过点P (4,1)，故选D. 5.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（ ）A.4-B.2-C.0D. 2【答案】 C. 【解析】由题意知：21(2)93f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，3((2))(9)log 92220f f f -==-=-=.6.已知函数)(x f y =的定义域为),1[+∞，则函数xx f x g -+-=41)32()(的定义域为( )A ．]4,1[-B ．)4,1[-C ．]4,2[D ．)4,2[【答案】 D 【解析】由题意得⎩⎨⎧>-≥-04132x x ，解得42<≤x ；选D.7.已知关于x 的方程0822=+-ax x 的两个实根1x ，2x 满足221>>x x ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．)3,22(B ．),2(∞+C ．),22(∞+D ．)3,22(-【答案】 A 【解析】因为方程有两个不等实根，所以0814)2(2>⨯⨯-=∆a ，解得22>a 或22-<a ；又221>>x x ， 所以212x x a +=，所以22>a ，且2232)2(222>--=a a x ，解得3<a ，所以322<<x ，选A. 8.已知函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤满足对于任意的1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B ． 【解析】根据题意，对于任意的1212,()x x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->- 成立则函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤在R 上是增函数∴1201(2)1462a a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯+-≤+⎩，解得52,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选B ．9.已知函数)45(log )(221-+-=x x x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，则m 的取值范围 ( )A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由0452>-+-x x 得函数)(x f 的定义域为)4,1(，根据复合函数的单调性得⎪⎩⎪⎨⎧≤<<2541x x ，解得251≤<x ，∵函数)(x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，∴]1,[+m m ⊆51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，⎪⎩⎪⎨⎧≤+>2511m m ，解得231≤<m ；选C. 10.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--【答案】A 【解析】∵)(x f 是定义域为R 的偶函数，∴)3(log )3log ()31(log 222f f f =-=，又x y 3=是R 上的增函数，∴3log 13324334<<<--，因为)(x f 在)0(∞+，单调递减，所以)31(log )3()3(24334f f f >>--；选A.11.已知函数2(1)1()|4|1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实数根的和为（ ）A.3B.6C.9D.12【答案】C. 【解析】由题可知：函数()f x 为分段函数，则此题可分情况讨论方程根的问题.若1x ≤时，2()(1)f x x =+，代入方程2()()0(03)f x af x a -=<<有42(1)(1)0x a x +-+=. 当1x =-时，()0f x =，则方程恒成立，∴这是方程其中一个根，当1x ≠-时，2()(1)0f x x =+>，∴方程两边可同时除以2(1)x +，则方程变为2(1)0x a +-=，又知03a <<，则该方程有两根，∴方程展开有2210x x a ++-=，由韦达定理得122x x +=-；若1x >时，()|4|f x x =-，代入方程2()()0(03)f x af x a -=<<有2|4||4|0x a x ---=. 当4x =时，()0f x =，则方程恒成立，∴这是方程其中一个根， 又|4|0x ->，方程两边可同时除以|4|x -，则方程变为|4|0x a --=，当4x >时，方程为40x a --=，∴=4x a +，∴这是方程其中一个根， 当14x <<时，方程为40x a --=，∴=4x a -，∴这是方程其中一个根，综上所述：方程的实根有，1-，1x ，2x ，4，4a +，4a -，则所有实根之和为9，故选C. 12.已知不等式2112x x --≤的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且M N N ⊆，则实数a的取值范围为（ ）A ．()0,+∞B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】 B ． 【解析】()()()213031011221x x x x x x x --⇒⇒--≠--≤≤≤且，故(]1,3M = ∵MN N ⊆，∴M N ⊆，由题意可得：210ax x -+>在(]1,3x ∈上恒成立即21x a x ->在(]1,3x ∈上恒成立，故只需2max1x a x -⎛⎫> ⎪⎝⎭ 22211111124x x x x x -⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当112x =即2x =时，2max 114x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故14a >，故选B ． 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把【答案】填在答题卡中的横线上.13.若{}21,a a ∈，则a = ． 【答案】1-． 【解析】由题意可知：1a =或21a =，故1a =±.当1a =时，21a a ==不满足元素的互异性，故舍去；当1a =-时，{}{}2,1,1a a =-符合题意.14.不等式236212()2x xx --≥的解集为________． 【答案】(][),23,-∞+∞．【解析】不等式236212()2xxx --≥⇔232622x x x --≥，再由函数2x y =在定义域内单调递增，从而可得： ()()(][)22326560230,23,x x x x x x x x -≥-⇒-+≥⇒--≥⇒∈-∞+∞．15.设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 【答案】()()3,03,-+∞.【解析】由题可知：()f x 是偶函数，且在()0-∞，上为增函数，∴()()f x f x -=，易知()f x 的图象关于y 轴对称， ∴()f x 在()0+∞，上为减函数，又()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=，则有(3)(3)0f f -==， ∴()3,0x ∈-时，()0f x >，0x <，则()0x f x ⋅<， ∴()3,x ∈+∞时，()0f x <，0x >，则()0x f x ⋅<， 综上所述：不等式()0x f x ⋅<的解集为()()3,03,-+∞.16.已知()221x x mf x +=+，若对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()1f x ，()2f x ，()3f x 为某个三角形的三边边长，则实数m 的取值范围是_______．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】由题意可得：对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()()()123f x f x f x +>恒成立，只需()()min max 2f x f x > ()2112121x x xm m f x +-==+++， ①当1m =时，()1f x =，满足题意；②当1m >时，()f x 在R 上单调递减，()1f x m <<，故需21m ⨯≥，即12m <≤；③当1m <时，()f x 在R 上单调递增，()1m f x <<，故只需21m ≥，即112m <≤，综上所述，m 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+（2）()212323313(0.008)3850---⎛⎫⎛⎫+÷-π- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2 （2）139【解析】（1）原式232lg 27lg 23lg3lg 2lg5lg 232(lg5lg 2)323323lg 2lg3lg 2lg3=+-⨯+=+-⨯+=-+=（2）原式222213333227185011251812527--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-=+÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22241351213599⎛⎫=+⨯=+-= ⎪⎝⎭4219=+-139=18.已知集合{}2540A x x x =-+≤，1282x B x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，若R 为全体实数集合．（1）求()AB R；（2）若{}23C x m x m =<≤+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．【答案】（1）[]3,4；（2）[)1,13,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦．【解析】(1)由题得：()()254014014x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，即[]1,4A =； 同理：131282222x x -≤<⇔≤<，由函数2x y =在定义域内单调递增，可得[)1,3x ∈-． 即[)1,3B =-．从而有()[]3,4RAB =．(2)分类讨论集合C 是否为空集． ①当C =∅时，则233m m m ≥+⇒≥；②当C ≠∅时，由()C AB ⊆可得：231341221m m m m m <+⎧⎪⎪+≤⇒-≤≤⎨⎪≥-⎪⎩．综上所述：m 得取值范围为：[)1,13,2m ⎡⎤∈-+∞⎢⎥⎣⎦．19.已知函数2()3f x x ax a =++-，[]2,4x ∈-.（1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域；（2）求()f x 的最小值()g a 的表达式.【答案】（1）[]0,25（2）273,4()3,844193,8a a a g a a a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪+≤⎪⎩. 【解析】（1）当2a =时，2()21f x x x =++，对称轴：1x =-，∴()f x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,4-上单调递增.∴min ()(1)0f x f =-=，max ()(4)25f x f ==，故函数的值域为[]0,25.（2）∵2()3f x x ax a =++-的对称轴：2a x =-， ①若22a -≤-时，即4a ≥，()f x 在[]2,4-上单调增，∴min ()(2)73f x f a =-=-； ②若42a -≥时，即8a ≤-，()f x 在[]2,4-上单调减，∴min ()(4)193f x f a ==+； ③若242a -<-<-时，即84a -<<，()f x 在2,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调减，在,42a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调增， ∴2min ()()322a a f x f a =-=--+； ∴综上所述：273,4()3,844193,8a a a g a a a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪+≤⎪⎩．20.节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．设第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型 1.5001()5(,*)n b n y y y y b n +=--⨯∈∈R N 给出，其中n 是指改良工艺的次数．（1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：取lg20.3≈)【答案】 （1） 1.5-.（2）3.【解析】（1）由题意得04y =，1 3.94y =，所以当1n =时， 1.51001()5b y y y y +=--⨯，即 1.53.944(4 3.94)5b +=--⨯，解得 1.5b =-.（2）由（1）得排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为 1.5 1.540.065n n y -=-⨯； 所以 1.5 1.540.065.208n n y -=≤-⨯， 整理得， 1.5 1.5 1.9250.06n -，即 1.5 1.5532n -， 两边同时取常用对数，得5lg32lg 25lg 21.5 1.5lg5lg51lg 2n -==-， 将lg20.3=代入，得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-， 又因为*n N ∈，所以 2.43n ，所以3n =.综上，至少进行3次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．21.若函数4()221x f x =-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）减函数；（2）()1,3-.【解析】（1）判断：减函数，证明：任取1x ，2x ，假设12x x <，∴()()212144=222121x x f x f x ---+++()()()12124222121x x x x -=++， ∵12x x <，()()1221210x x ++>，()124220x x -<，∴()()210f x f x -<，∴函数()f x 在定义域上单调递减.（2）函数的定义域为R ，∵22224()22=()212121x x x x f x f x ---⨯⎛⎫-=-==--- ⎪+++⎝⎭， ∴()f x 是奇函数，∵(())(1)0f f x f t +-<，∴()(())1f f x f t <-，又∵()f x 在定义域上单调递减，∴()1f x t >-，所以，存在1()t f x >-，等价于()min 1()t f x >-，又∵()()2,2f x ∈-，()1()1,3f x -∈-∴ 1.t >-22.已知函数()42+=x x b f x 为奇函数. （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设()()log 44-⎡⎤=+-⎣⎦x x m g x mf x （0>m ，且1≠m ），问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1=-b ；（2）32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,；（3）不存在m 满足条件，理由见解析. 【解析】（1）∵函数()42+=x xb f x 的定义域为R ，且为奇函数， ∴()010=+=f b ，解得1=-b .（2）∵()44112222+-===-x x x x x xb f x ， ∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f . ∵()23202--+<f x kx k ，则()()23212--<-=-f x kx k f ， 又函数()f x 在R 上单调递增，则221--<-x kx k 在[]0,1∈x 上恒成立，∴()12141>++-+k x x 在[]0,1∈x 上恒成立，设()()12141=++-+g x x x ，则()()max 312==<g x g k ， ∴实数k 的取值范围为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,. （3）不存在，理由如下，设22-=-x x t ，38,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，()()2log 2=-+m h t t mt , ∴220-+>t mt 在38,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t 上恒成立， ∴min 2⎛⎫<+ ⎪⎝⎭m t t ，则176<m ，∵1≠m ，则()170,11,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 对于二次函数()22=-+d t t mt ，开口向上，对称轴为2=m t ，∴11170,,22212⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ∴对称轴一直位于38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦的左侧，则二次函数()22=-+d t t mt 在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 则()min 3317224⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭d t d m ，()max 8882329⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭d t d m ， 假设存在满足条件的实数m ，则当()0,1∈m 时，由复合函数的单调性判断方法，可知()()2log 2=-+m h t t mt 为减函数， ∴()max 0=h t ，则()()2min min 21=-+=d t t mt ，∴33171224⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭d m ， ∴()160,13=∉m （舍）， 同理可知，当171,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m 时，73171,246⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭m （舍）， 综上所述，不存在实数m 满足条件成立.。

2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高三（下）第二次联考数学试卷（文科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{x|3x＜9}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|﹣1＜x≤5}2．若复数z满足＝2﹣2i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，角α以Ox为始边，它的终边与圆O相交于点P，点P的坐标为（1，﹣2），则tanα＝（）A．﹣2B．C．D．24．已知y与x之间的线性回归方程为，其样本点的中心为（3，），样本数据中y的取值依次为2.5，m，3.4，4.2，5.4，则m＝（）A．2B．2.8C．3D．3.25．已知函数则f（ln2）＝（）A．B．C．2e D．4e6．若a，b是两条不同的直线，α是一个平面，a⊥α，则“b∥α”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．设x，y满足约束条件则x2+y2的最小值为（）A．B．C．4D．88．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AB＝1，直线AD1与直线CC1所成的角为30°，则该长方体外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．5πD．8π9．已知数列{a n}的首项a1＝1，且满足a n+1﹣a n＝4n（n∈N*），则a5＝（）A．31B．41C．51D．6110．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sin2B＝2sin2C﹣2sin2A，，则cos A＝（）A．B．C．D．11．已知抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（x0，3），F为焦点，直线AF交抛物线的准线于点B，满足，则x0＝（）A．±3B．C．D．12．若对任意的x∈（0，+∞），恒有（1﹣a）x≤e ax﹣lnx，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．C．[e，+∞）D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年高三第二学期第二次联考数学试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{﹣1，1，3，4}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，4}B．{﹣1，1，4}C．{﹣1，3，4}D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）2．已知复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．2D．33．已知实数0＜a＜b，则下列说法正确的是（）A．＞B．ac2＜bc2C．lna＜lnb D．（）a＜（）b4．已知命题p：x＜2m+1，q：x2﹣5x+6＜0，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．m＞B．m≥C．m＞1D．m≥15．若数列{a n}为等差数列，且满足3+a5＝a3+a8，S n为数列{a n}的前n项和，则S11＝（）A．27B．33C．39D．446．已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，且α⊥β，则m⊥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，且α⊥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n7．已知抛物线y2＝20x的焦点与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若m＝﹣，则实数m 的值为（）A．B．C．1D．29．已知实数a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+的最小值为（）A．B．C．D．10．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3…，B n，n∈N*．记b i为集合B i中的最大元素，则b1+b2+b3+…+b n＝（）A．45B．105C．150D．21011．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三形三边的数对（x，y）的个数a；最后再根据统计数a估计π的值，那么可以估计π的值约为（）A．B．C．D．12．已知＝（2sin，cos），＝（cos，2cos），函数f（x）＝•在区间[0，]上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（）A．[，）B．（，]C．[，）D．（，2]二、填空题13．实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为．14．成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布X～N（100，σ2），且P（86＜X≤100）＝0.15，若该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X大于114分的人数为．15．已知函数f（x）＝﹣x3+x+a，x∈[，e]与g（x）＝3lnx﹣x﹣1的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围为．16．在四面体ABCD中，AB＝CD＝，AC＝BD＝，AD＝BC＝5，E，F分别是AD，BC的中点．则下述结论：①四面体ABCD的体积为20；②异面直线AC，BD所成角的正弦值为；③四面体ABCD外接球的表面积为50π；④若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为6．其中正确的有．（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分。

蓉城名校联盟2018级高三第二次联考理科数学注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集{},U a b c d e f =,,,,，{},M a d =，{},N b c =，则集合{},e f 等于（ ）A. ()UMNB. ()UM NC.()()UUM ND.()()UUM N【答案】C 【解析】 【分析】 计算出UM ，UN ，由此可得出结果.【详解】因为全集{},U a b c d e f =,,,,，{},M a d =，{},N b c =，(){},,,UM b c e f =，(){},,,U a d f N e =,所以，()(){},U U M e f N ⋂=.故选：C ．2. 若复数()41i 34iz +=+，则z =（ ）A.45B.35C.25D.5【答案】A 【解析】 【分析】首先化简复数z ，再计算求模.【详解】()()()2242112434343434i i i z i i i i⎡⎤++⎣⎦====-++++ ()()()()43443412163434252525i i i i i --=-=-=-++-，45z ∴==.故选：A3. 下列函数在区间()1,1-内有零点且单调递增的是（ ） A. 10.33xy =-B. 31y x =+C.()13log y x =-D. 31x y =-【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性以及零点的定义判断可得出合适的选项. 【详解】对于A ，10.33xy =-在()1,1-上为减函数，不符合题意； 对于B ，31y x =+在()1,1-上为增函数，令310y x =+=，解得1x =-，不合乎题意； 对于C ，()13log y x =-在[)0,1上没有定义，不符合题意；对于D ，31xy =-在()1,1-上有零点0x =，且在()1,1-为增函数，符合题意.故选：D ．4. 某实验室研发新冠疫苗，试验中需对x ，y 两项指标进行对照试验．已经进行的连续五次试验所测得的指标数据如下表：已知y 与x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．根据该回归方程，预测下一次试验中当150x =时，ˆ106.2y=，则ˆb 的值为（ ）A. 0.48B. 0.5C. 0.52D. 0.54【答案】D 【解析】 【分析】因为回归方程一定过中心点(),x y ，再结合当150x =时，ˆ106.2y=，即可求结果. 【详解】由已知表格中的数据，求得：110115*********1205x ++++==，8589909294905y ++++==，则200ˆ19ˆb a +=，①又因为下一次实验中150x =时，ˆ106.2y =，则150106.2ˆˆb a +=，② 联立①②，解得：ˆ0.54b=． 故选：D ．5.(22sin x dx -+=⎰（ ）A. 4B. 2πC. 42π+D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由定积分的运算性质，得到(22222sin sin x dx xdx ---+=+⎰⎰⎰，再结合定积分的计算公式和定积分的几何意义，即可求解.【详解】(22222sin sin x dx xdx ---=+⎰⎰⎰因为sin y x =是奇函数，且在区间[]22-,关于原点对称，所以22sin 0xdx -=⎰2-⎰对应的区域是一个半径为2的半圆，面积为21π22π2⨯⨯=故(22sin 2πx dx -+=⎰.故选：B ．6. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果sin sin sin A b cB C b a+=--，那么cos C 的值为（ ）A.12B.2C.23D.2【答案】A 【解析】 【分析】先由正弦定理得到a 、b 、c 的关系，构造余弦定理求cos C . 【详解】∵sin sin sin A b cB C b a+=--，由正弦定理可得a b c b c b a +=-- 即：()()()a b a b c b c -=+- 整理得：222c a b ab =+- 对照余弦定理可得1cos 2C = 故选：A ．【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．7. —对夫妇带着他们的两个小孩一起去坐缆车，他们随机地坐在了一排且连在一起的4个座位上（一人一座）．为安全起见，管理方要求每个小孩旁边要有家长相邻陪坐，则他们4人的坐法符合安全规定的概率是（ ） A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】 【分析】计算出4人随机坐的坐法种数，并计算出每个小孩旁边要有家长相邻陪坐的坐法种数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】4人随机坐有4424A =种坐法，除去两个小孩相邻且坐在两端的情况，有4222422216A A A A -=种符合安全规定的坐法， 因此，所求事件的概率为162243=. 故选：C ．【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.8. 已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，且椭圆与直线l ：7x y +=有公共点，则椭圆长轴长的最小值为（ ） A. 10 B. 7C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆C 与直线l 的一个公共点为P ，则122PF PF a +=，则问题转化为在直线l 上找点P ，使得12PF PF +最小，利用2F 关于l 的对称点E ，1211PF PF PF PE F E +=+≥，即可得出结果.【详解】设椭圆C 与直线l 的一个公共点为P 则122PF PF a +=（即为长轴长）问题转化为在直线l 上找点P ，使得12PF PF +最小设2F 关于l 的对称点(),E x y ，则111722y x x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，可得E 点坐标为()7,6，则121110PF PF PF PE F E +=+≥==，当且仅当1F ，P ，E 三点共线时等号成立即椭圆长轴长2a 的最小值为10． 故选:A ．9. 已知随机变量X 服从二项分布1,2B a ⎛⎫⎪⎝⎭，其期望()2E X =，当124x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，目标函数z x y =-的最小值为b ，则()5a bx +的展开式中各项系数之和为（ ） A. 1 B. 52C. 53D. 54【答案】B 【解析】 【分析】先求出a ，再利用线性规划求出b ，最后利用赋值法可求展开式中各项系数之和. 【详解】根据二项分布期望的定义，可知()122E X a =⨯=，得4a =， 画出不等式组124x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的区域，如图中阴影部分所示，其中()2,2A ，()1,2B ，()1,3C ，平移直线z x y =-，当直线经过点()1,3C 时，z 取最小值，即min 132b z ==-=-，于是()()5542a bx x +=-，令1x =，可得展开式的各项系数之和为52． 故选：B ．10. 已知抛物线()220y px p =>，过抛物线的焦点F 作直线与抛物线交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，且抛物线的准线与x 轴的交点为M ，则以下结论错误的是（ ）A. 2124p x x =B. 234OA OB P ⋅=-C. 90AMB ∠=︒D.112FA FB p+= 【答案】C 【解析】 【分析】用“设而不求法”联立方程组，得到212y y p =-，2124p x x =，一一验证A 、B 、C 、D 四个选项.【详解】设过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 的直线为：2p x my =+， 代入抛物线方程得：2220y pmy p --=； 由直线上两点()11,A x y ，()22,B x y ，则有212y y p =-，()2221212121222244p p p p p x x my my m y y m y y ⎛⎫⎛⎫=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确2221212344P P OA OB x x y y P ⋅=+=-=-，B 正确 ∵M 点坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故11,2p MA x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，22,2p MB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22212121224p p MA MB x x x x y y m p ⋅=++++=当0m ≠时，0MA MB ⋅≠，即90AMB ∠≠︒，故C 错误．由()122121212112224AB x x p p p p p FA FB x x x x x x +++==⎛⎫⎛⎫+++++⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12212222x x p p p p x x ++==++，D 正确 综上所述，本题选C. 故选：C【点睛】（1）坐标法是解析几何的基本方法；（2）抛物线的焦点弦的常用性质：①弦长12||AB x x p =++；②221212,4px x y y p ==-；③以AB 为直径的圆与准线L 相切；11. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为V ，A 、B 是底面圆周上的两个不同的动点，给出下列四个判断，其中正确的是（ ）①圆锥的侧面积为4π ②母线与圆锥底面所成角的大小为60° ③VAB 可能为等腰直角三角形 ④VABA. ①③B. ②④C. ①④D. ②③【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出母线长，再利用扇形的面积公式即可判断①；由图VA 与圆锥底面所成角为VAO ∠，求出其余弦值即可判断②；根据2VA VB ==，2AB ≤，可判断③；利用余弦定理可得1cos 2AVB ∠≥，进而可得π03AVB <∠≤，根据三角形的面积公式即可判断④. 【详解】如图，设O 为底面圆的圆心，则VO 为圆锥的高． 设圆锥的母线为l ，由底面半径为1，所以底面圆的周长为2π，其侧面展开图是一个半圆，则此半圆的半径为l ，此半圆的半圆弧长π2πl =，所以2l =， 所以侧面展开图的面积为：21π2π2l =，所以①不正确． 由圆锥的性质可知VA 与圆锥底面所成角为VAO ∠，则1cos 2OA VAO VA ∠==， 所以60VAO ∠=︒，所以②正确．在VAB 中，2VA VB ==，2AB ≤，VAB 不可能为直角三角形，所以③不正确．在VAB 中，22228cos 28AV VB AB AB AVB VA VB +--∠==⋅，由2AB ≤， 所以1cos 2AVB ∠≥，所以π03AVB <∠≤，所以1sin 32VABSVA VB AVB =⋅∠≤，所以④正确． 故正确的判断为②④，故选：B.12. 已知0a >，函数()()21sin cos 2f x a x x x x a =+-+++-，R x ∈．记函数()f x 的最小值为M ，函数()()f f x 的最小值为N ，当M N ≥时，a 的最大值是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D 【解析】 【分析】利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出M ，然后分10a -≤和10a ->两种情况讨论，利用函数()f x 的单调性可求得N ，验证M N ≥是否成立，由此可求得实数a 的最大值. 【详解】∵0a >，()()21sin cos 2f x a x x x x a =+-+++-，∴()()211cos sin f x a x x x '=+-+-，记()()211cos sin g x a x x x =+-+-， ∴()22sin cos 20g x a x x a '=+--≥>， 所以，函数()g x 在R 上单调递增，∵()00g =，当0x <时，()0g x <；当0x >时，()0g x >， 所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增． ∴()()min 0121f x f a a ==+-=-，即1M a =-．①当10a -≤，即当1a ≤时，由上可知，函数()()f f x 的最小值为()01N f a ==-，满足M N ≥； ②当10a ->，即当1a >时，由上可知，函数()()f f x 的最小值为()1N f a =-，且()()101Nf a f a M =->=-=，不合题意，综上所述，实数a 的最大值为1． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查含有参数的复合函数的值域问题，利用导数分析函数()f x 的单调性，并求出函数()f x 的值域M 是解题的关键，其次就是要分10a -≤和10a ->两种情况讨论，结合函数()f x 的单调性求出复合函数()()ff x 的值域，这次解决此类问题的常用方法.二、填空题：13. 已知函数()()sin ,0,0x x f x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则π6f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 【答案】12【解析】 【分析】 因为06π-<，所以πππ666f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解. 【详解】因为06π-<，所以ππππ1sin 66662f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故答案为：1214. 已知23xya ==，若111x y+=，则a =______．【答案】6【解析】 【分析】先由指数式化为对数式可得2log x a =，3log y a =，再利用111x y+=即可求a 的值. 【详解】由23x y a ==，可得：2log x a =，3log y a =，所以11log 2log 3log 61a a a x y+=+==，则6a =，故答案为：615. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果6n =，则t 的取值范围是______．【答案】45,56⎛⎤⎥⎝⎦（或写成4556t <≤）【解析】 【分析】根据流程图依次计算，再根据输出的结果6n =可得t 的取值范围. 【详解】由11S 122==⨯，2n =；111112112232233S =+=-+-=⨯⨯，3n =； 11113112233444S =++=-=⨯⨯⨯，4n =；11111411223344555S =+++=-=⨯⨯⨯⨯，5n =；11111151122334455666S =++++=-=⨯⨯⨯⨯⨯，6n =退出结束， 则54564565t t t⎧≥⎪⎪⇒<≤⎨⎪<⎪⎩. 故答案为：45,56⎛⎤⎥⎝⎦. 16. 已知双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线2C ：()220y px p =>的焦点F 重合，过点F 作直线l 与抛物线2C 交于A 、B 两点（A 点在x 轴上方）且满足3AF BF =，若直线l 只与双曲线右支相交于两点，则双曲线1C 的离心率e 的取值范围是______． 【答案】()1,2 【解析】 【分析】由推导可得抛物线的焦半径公式，进而可得331cos 1cos p pAF BF θθ=⇒=⨯-+，求得33k πθ=⇒=，由直线l 只与双曲线右支相交于两点，则,,b b k a a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,计算即可得解.【详解】设直线l 的倾斜角θ，直线l 与抛物线2C 交于A 、B 两点（A 点在x 轴上方），则θ为锐角， 焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线2p x =-，准线与x 轴交点记为P ，过A 、B 分别向准线作垂线，垂足分别为C 、D ，过B 向AC 作垂线，垂足为E ， 设直线BE 与x 轴交点记为Q ，过A 向x 轴作垂线，垂足为G ，由抛物线的定义AF AC GP GF FP ===+，因为, GF AF cos FP p θ==，所以cos AF AF p θ=+，∴1cos pAF θ=-，,BF BD PQ FP FQ ===-因为, FQ BF cos FP p θ==，所以 ,BF p BF cos θ=-1cos pBF θ∴=+，由133cos 1cos 1cos 2p p AF BF θθθ=⇒=⨯⇒=-+，则3k πθ=⇒=由直线l 只与双曲线右支相交于两点，则,,b b k a a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222223442ba b a c e e a>⇒>⇒>⇒<⇒<， 由()1,e ∈+∞，则12e <<． 故答案为：()1,2.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17. 已知数列{}n a 的首项12a =，若向量()1,2n a a +=，()1,n b a =-，*N n ∈，且a b ⊥． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）已知数列{}n b ，若2log n n b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【答案】（1）2nn a =；（2）()1122n n S n +=-⨯+.【解析】 【分析】（1）由向量垂直可得数量积等于0，即12n n a a +=，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，即可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，所以2nn n a b n =⨯，利用乘公比错位相减即可求和.【详解】（1）由a b ⊥，则120n n a b a a +⋅=-=，*N n ∈， 所以12n n a a +=，*N n ∈数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，*N n ∈（2）由2log n n b a n ==，则2nn n a b n =⨯，*N n ∈由()1231122232122n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯①由①2⨯，可得()23412122232122nn n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯②由①－②可得，1231122222n n n S n +-=⨯+++⋅⋅⋅+-⨯()()11212212212n n n n n ++-=-⨯=-⨯--，则()1122n n S n +=-⨯+，*N n ∈，所以数列{}n n a b 的前n 项和()1122n n S n +=-⨯+.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.18. 某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分（满分为100分），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求t 的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）据检测，这100名试验者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后产生抗体的概率分别为12，13，14，若同时给此三人注射该疫苗，记此三人中产生抗体的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列及其期望值()E ξ．【答案】（1）0.015，72；（2）分布列见解析，1312. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可得t ，平均值等于每个小长方形面积乘每组中点的横坐标，然后相加求和；（2）由已知得0ξ=，1，2，3，再求相应的概率可得答案.【详解】（1）由()0.0050.0200.0250.0300.005101t +++++⨯=得0.015t =，平均得分450.00510550.01510650.02010750.03010850.02510=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+950.00510=72⨯⨯.（2）由已知得：0ξ=，1，2，3，()111101112344P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11111111111111111123423423424P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()111111111612111234234234244P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111323424P ξ==⨯⨯=，则分布列为：ξ0 1 2 3P 14112414124则期望()012342442412Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用、分布列求期望，由频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1，考查了学生分析数据处理问题的能力.19. 已知四棱锥P ABCD-及其三视图如图所示，其底面ABCD是正方形，且平面ABCD⊥平面PDC，当M、N分别是棱PC、AD的中点时，连接MN、BM．（1）证明：直线//MN平面PAB；（2）求直线MB与平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（23【解析】【分析】（1）取PB的中点E，连接AE、ME，证明出四边形ANME为平行四边形，可得出//MN AE，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点D 为坐标原点，DC 、DA 所在直线分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线MB 与平面PAB 所成角的正弦值．【详解】解：由三视图可知，2AB AD DC BC ====，2PD =，()1cos 1802PDC -∠=， 即1cos 2PDC -∠=，1cos 2PDC ∴∠=-，0180PDC <∠<，120PDC ∴∠=. 因为四边形ABCD 为正方形，AD CD ∴⊥， 平面ABCD ⊥平面PDC ，平面ABCD平面PDC CD =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面PDC .（1）取PB 的中点为E ，连接EM 、AE ，由E 、M 分别是PB 、PC 中点，则//EM BC 且12EM BC =， 由N 为AD 的中点，则//AN BC 且12AN BC =，所以，//EM AN 且EM AN =， 所以四边形ANME 为平行四边形，则//MN AE ，MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，因此，//MN 平面PAB ；（2）以点D 为坐标原点，DC 、DA 所在直线分别为y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，其中()3,1,0P-、()0,0,2A 、()0,2,2B 、()0,2,0C 、31,,022M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，()3,1,2PA =-，()0,2,0AB =，由20320n AB y n PA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2x =，则0y =，3z =(2,0,3n =，由3,222MB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则3cos ,7MB n MB n MB n ⋅<>==⋅， 因此，直线MB 与平面PAB 所成角的正弦值为7. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.20. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴长为P 在椭圆上，1PF x ⊥轴，且132PF =． （1）求椭圆C的标准方程；（2）将椭圆C 按照坐标变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩得到曲线1C ，若直线l 与曲线1C 相切且与椭圆C 相交于M ，N两点，求MN 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）MN ⎡∈⎢⎣⎦.【解析】 【分析】（1）由题意可得2b a ==，即可求出标准方程.（2）根据变换可得曲线221:1C x y +=，设l ：y kx m =+，根据点到直线的距离公式可得221m k =+，将直线与椭圆联立消y ，再由弦长公式化简计算，即可求解.【详解】解：（1）由已知可得，2b b =⇒=21322b PF a a ==⇒=，则椭圆C 的标准方程为：22143x y +=（2）由())222212221143x x x x x x y y y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⇒⇒+=⇒+=⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩''''''''，则曲线1C ：221x y +=，当直线l 斜率存在且为k 时，设l ：y kx m =+，由直线l 与圆1C 相切，则2211d m k ==⇒=+，由()222223484120143y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则122212283441234km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，且0∆>恒成立由MN ==234k=+ 由221m k =+，则223434MN k k==++,令234t k =+，则243k t =-，∴MN === 令110,3s t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，则223y s s =-++，10,3s ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则323,9y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，MN ⎛∈ ⎝⎦当直线l 斜率不存在时，l ：1x =±，223b MN a==，综上：3,3MN ⎡∈⎢⎣⎦【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程、弦长公式、坐标变换，解题的关键是根据直线与曲线1C 相切求出切线方程中参数的关系，化简后借助二次函数性质求出弦长范围.21. 已知函数()()ln f x x t x =+，若函数()f x 在1x =处的切线与直线0x y -=平行． （1）求t 的值及函数()f x 的单调区间；（2）已知0a >，若函数ax y e =与函数1f x y ax⎛⎫⎪⎝⎭=的图像在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有交点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）0t =，函数()f x 的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）(),e +∞. 【解析】 【分析】（1）求出切线的斜率()111k f t '==+=可得t ，分别令()0f x '>、()0f x '<可得答案；（2）可化为方程1ax f x e ax⎛⎫⎪⎝⎭=在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，即11ln ln ax axe e x x =，转化为()1axf e f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，利用()f x 的单调性得ln x a x =-，构造函数()ln x g x x =，再利用()g x 的单调性可得答案.【详解】（1）由()ln x tf x x x+'=+，切线的斜率()111k f t '==+=，得0t =， 则()ln f x x x =⋅，()0,x ∈+∞，()ln 10f x x '=+=，得1=x，函数()f x 的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由已知可得，方程1ax f x e ax⎛⎫ ⎪⎝⎭=在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解， 由11ln ax x x e ax=，得11ln ax ax e x x ⋅=， 所以11ln ln ax axe e x x =，有()1axf e f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解， 由于0a >，0ax >，所以1ax e >， 由10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得1e x>，由（1）可知， ()f x 在1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调递增，则1ax e x =在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解， 由1ax e x =得1ln ax x =，所以ln x a x=-， 即ln x a x -=在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解， 令()ln x g x x =，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()21ln x g x x -'=， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， 则()g x 在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增， 由1g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()(),g x e ∈-∞-，则a e -<-，所以a e >.【点睛】关键点点睛：本题考查了导数的几何意义、方程有根求参数的问题，关键点是转化为()1ax f e f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解和构造函数利用函数的单调性解题，考查了学生的理解能力、转化能力. （二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1sin 2sin cos x y ααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最值．【答案】(1) 2y x =，[]0,2x ∈,20x y -+=;(2)最大值为1+8. 【解析】【分析】(1)直接利用二倍角公式和22cos sin 1αα+=即可把C 的参数方程化为普通方程；用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)可以直接用直角坐标方程，利用解析几何知识求解；也可以利用参数方程求最值. 【详解】解：（1）由曲线C ：21sin 2sin cos x y x y ααα=+⎧⇒=⎨=+⎩， 由[]1sin 20,2x α=+∈，则曲线C 的普通方程为2y x =，[]0,2x ∈， 由l：)πsin sin cos 42ρθρθθ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭，则2y x -=， 则直线l 的直角坐标方程为20x y -+=（2）方法1：设l '：0x y c -+=，由2200x y c y y c y x -+=⎧⇒-+=⎨=⎩， 由11404c c ∆=-=⇒=， 则l '：104x y -+=，则l 与l '的距离18d ==，由(2,A ，则点A 到直线l距离21d ==+综上：P 点到直线l距离的最大值为1+8方法2：设点()2,P t t，t ⎡∈⎣，则d =， 由22y t t =-+，t ⎡∈⎣，则7,44y ⎡∈+⎢⎣，则8d ⎡∈+⎢⎣ 综上：P 点到直线l距离的最大值为1+8． 【点睛】(1)参数方程与普通方程的互化通常用22cos sin 1αα+=；极坐标方程与直角坐标方程的互化通常用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩； (2)极坐标问题可以直接利用直角坐标方程,利用解析几何知识求解；(3)有时根据题意， 利用极径和极角的几何意义或利用参数方程可以简化一些原来解析几何中运算量较大的题目的运算量．[选修4—5：不等式选讲]23. 已知函数()12f x x x =-+．（1）解不等式()2f x ≥；（2）若()f x 的最小值为A ，且正实数m ，n 满足m n A +=，求11m n m n ⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值． 【答案】（1）[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）254【解析】【分析】 （1）利用零点分界法去绝对值即可求解.（2）由（1）求出1A =，即1m n +=，再将式子展开可得22mn mn +-，再利用基本不等式可得10,4mn ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，代入式子即可求解. 【详解】解：（1）由()13,01,0131,1x x f x x x x x -≤⎧⎪=+<<⎨⎪-≥⎩，当0x ≤，由()121323f x x x ≥⇒-≥⇒≤- 当01x <<，由()2121f x x x ≥⇒+≥⇒≥（舍） 当1≥x ，由()23121f x x x ≥⇒-≥⇒≥ 综上：13x ≤-或1≥x ，即不等式的解集为[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ （2）由（1）当0x ≤时，()131f x x =-≥， 当01x <<时，()()11,2f x x =+∈，当1≥x 时，()312f x x =-≥，所以()1f x ≥， 即1A =，则1m n +=， 由()()()2222212111mn m n mn m n mn m n m n mn mn +++++-+⎛⎫⎛⎫++== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22222mn mn mn mn mn-+==+-由110,44m n mn mn ⎛⎤+≥⇒≤⇒∈ ⎥⎝⎦, 当且仅当12m n ==时取等号， 当14mn =时，原式取最小值为254.。

专题32 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略【高考地位】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．类型一球的内切问题万能模板内容使用场景有关球的内切问题解题模板第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．图1【变式演练1】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷03（江苏专用）【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【变式演练3】【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．BC D【变式演练4】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期10月月考】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2 D类型二 球的外接问题例2. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 【来源】2021年天津高考数学试题例3、已知点M 是边长为3的等边三角形ABC 的边AC 上靠近点C 的三等分点，BC 的中点为F ．现将ABF沿AF 翻折，使得点B 到达B '的位置，且平面AB F '⊥平面ACF ，则四面体AB FM '的外接球的表面积为（ ）A B C ．372π D ．374π 【来源】2021年高考最后一卷理科数学（第八模拟）【变式演练5】【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π【变式演练6】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考】在三棱锥A SBC -中，10AB ，4ASC BSC π∠=∠=，AC AS =，BC BS =，若该三棱锥的体积为3，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．12πC ．48πD ．36π【变式演练6】【福建师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试】在四面体ABCD 中，BD AC ==2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．12B ．12C ．4D ．42．【2020年高考全国Ⅰ卷文数12理数10】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC ∆的外接圆．若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π3．【2020年高考天津卷5】若棱长为 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π4．（2019•新课标⊙，理12）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( )A ．B ．C ． D5．（2018•新课标⊙，理10文12）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为D ABC -体积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数16理数15】已知圆维的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．7.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【反馈练习】1．【浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中】设ABC 为等腰三角形，2AB AC ==，2π3A ∠=，AD 为BC 边上的高，将ADC 沿AD 翻折成ADC '，若四面体ABC D '，则线段BC '的长度为（ ）A ．BC D2．【河南省九师联盟2021届高三第一学期11月质量检测理科】已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是O 的表面积是（ ）A ．28π3B ．14π3C ．56π3D ．7π 33．【陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考文科】四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，ABCD 是边长为P ABCD -体积的最大值为54，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．100π D ．144π4．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研】鳖臑（biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝6，BC ＝3，DC ＝2，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是（ ）A ．493πB ．3432πC ．49πD ．3436π 5．【湖北省鄂州高中2020-2021学年高三上学期10月质量检测】张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）A ．30B ．C ．D ．366．【四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考文科】已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，且PA =，在ABC 中，1AC =，2BC =，且满足sin 2sin 2A B =，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．3B ．323πCD ．83π 7．球O 的两个相互垂直的截面圆1O 与2O 的公共弦AB 的长度为2，若1O AB △是直角三角形，2O AB △是等边三角形，则球O 的表面积为（ ）A ．9πB ．12πC ．16πD ．20π【来源】辽宁省丹东市2021届高三二模数学试题8．【河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考数学（文）】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B ．2C ．30πD ．45π9．【湖南师大附中2021届高三（上）月考】四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）A ．323πB ．3C ．D ．36π10．【内蒙古赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考】据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且2PA AB BC ===，三棱锥外接球表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．【内蒙古赤峰市松山区2020-2021学年高三第一次统一模拟考试文科】已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，AB =CA CB ==PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．143π B ．283π C ．11π D ．12π12．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A ．3πB ．8πC ．6πD ．4π 13．（多选）【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π14．（多选）设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+ 【来源】重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试题15．【江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中】已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝1，AC ，侧棱AA 1＝2，则该三棱柱外接球的体积为_______．16．【江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试】如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17．【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______．18．在一个棱长为3+方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.【来源】2021届高三数学临考冲刺原创卷（一）19．阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．【来源】福建省厦门第一中学2021届高三高考模拟考试数学试题20．在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．经研究发现，当点P 在半圆弧AD 上（不含A ，D 点）运动时，三棱锥P ABD -的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______．【来源】山东省烟台市2021届高三二模数学试题21．一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为外接球的表面积为___________.【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题22．以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转180°后，再将上､下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上､下底为全等的等腰三角形，且顶点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1均在球O 的球面上，AB =AC =A 1B 1=A 1C 1=m ，截面BCB 1C 1是矩形，BC =2，B 1C =4.则该几何体的外接球表面积为__________，当该几何体体积最大时m =__________.【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题23．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球（一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切）的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献，这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为________，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为_______.【来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测（二）数学试题24．将三个边长为6的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成(1､2)部分，与正六边形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的体积是___________，外接球表面积为___________.【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（B）25．天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 ________平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为16π米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为__________立方米，你认为哪种方案好呢？【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题26．2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱111ABC A B C -为一“堑堵”，P 是1BB 的中点，12AA AC BC ===，则在过点P 且与1AC 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于___________，该“堑堵”的外接球的表面积为___________.【来源】全国100所名校2021年高考冲刺试卷（样卷一）文科数学试题。

蓉城名校联盟2021~202学年度上期高中2021级期末联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}260A x x x =∈+-≤R ，{}21B x x =∈-≤<Z ，则A B = （）A ．[)2,1-B ．[]3,2-C ．{}2,1,0--D ．{}2,1,0,1--2．下列函数表示同一函数的是（）A ．1y x =+与21xy x=+B ．3y x =与()31y x =-C ．y x =与2y =D ．0y x =与01y x =3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若()2,P y 是角θ终边上的一点，且sin 5θ=，则y 的值为（）A ．±1B ．1-C ．2±D ．2-4．设函数()1221,1,1log , 1.2x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩则()()0f f 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知某扇形的圆心角为3π，面积为6π，则该扇形的弧长为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．函数()223x f x x =-+的零点所在的区间可以是（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,27．已知函数()2cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递减区间是（）A ．()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B ．(),36k k k ππππ⎡⎤---+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()511,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 8．函数[]5sin ,2,2x x xy x e eππ-=∈-+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强P （单位：mmHg ）和高度h （单位：m ）之间的关系为760e hk P -=（e 为自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则当歼20战机巡航高度为1000m ，歼16D 战机的巡航高度为1500m 时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的（）倍（精确度为0.01）.A ．0.67B ．0.92C ．1.09D ．1.2610．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递增，则（）A ．()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥->> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦B ．()3255223log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥->> ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦C ．()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥>-> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦D ．()3255223log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥>>- ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11．已知函数()4sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()()1216f x f x =，则12x x +的最小值为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．5π312．若ln ln ln ln 2525a b b a --+≥+，则（）A ．a b ≤B ．a b ≥C ．1≥ab D ．1ab ≤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan 2α=，则22tan cos sin ααα⋅-=______.14．已知幂函数()()1af x k x =-⋅的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则k a +=______.15．定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x ，2x ∈R ，都有()()()12120f x f x x x -⋅->⎡⎤⎣⎦恒成立，且对于任意x ，y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=⋅，同时()13f =，则不等式()29f x x -<的解集为______.16．已知函数()21log 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，1515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()23sin 2g x m m x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对任意11515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，总存在2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()21g x f x =成立，则实数m 的取值范围为______.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．计算求值：(1)()1303202138⎛⎫+ ⎪⎝⎭．(2)4log 9231lg 22log 27log 4lg5++⋅-．18．已知()()()log 3log 3a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．(1)判断()f x 的奇偶性并证明；(2)解不等式：()0f x ≥．19．集合{}2230A x x x =+-<，611B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}23,C x a x a a =≤≤+∈R ．(1)求()A B R ð；(2)请从①B C C = ，②B C =∅ ，③C B 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．20．已知()()()()23sin cos tan 22sin tan 3f ππααπααπααπ⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⋅-+．(1)化简()f α；(2)若()14f α=，且04πα<<，求sin cos αα-的值；(3)若1860α=-︒，求()f α的值．21．已知二次函数()f x 同时满足以下条件：①()()22f x f x +=-，②()01f =，③()23f =-．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()()4h x f x m x =++，[]1,2x ∈-，求：①()h x 的最小值()m ϕ；②讨论关于m 的方程()m k ϕ=的解的个数．22．已知函数()2x f x =，()245h x x x m =-+，()x ϕ与()f x 互为反函数．(1)求()x ϕ的解析式；(2)若函数()()y h x ϕ=在区间()32,2m m -+内有最小值，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()401x g x x x ϕ⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，关于方程()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围．1．C 【分析】先求出集合,A B ，再求出A B 即可.【详解】由集合{}{}2|6023A x x x x x =--≤=-≤≤，集合{}{}212,1,0B x x =∈-≤<=--Z ，得{}2,1,0A B =-- .故选：C.2．D 【分析】对于A 选项，两个函数定义域不同，故两个函数不是同一函数；对于B 选项，两者的对应法则不同，故不是同一函数；对于C 选项，两个函数定义域不同，故两者不是同一函数；对于D 选项，01y x ==定义域为{}|0x x ≠，函数011y x==定义域为{}|0x x ≠，对应法则也相同，故两个函数是同一函数；【详解】对于A 选项，1y x =+定义域为R ，21xy x=+定义域为{}|0x x ≠，故两个函数不是同一函数；对于B 选项3y x =与()31y x =-两者的对应法则不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数y x =的定义域为R ，函数2y =定义域为[)0,∞+，故两者不是同一函数；对于D 选项，01y x ==定义域为{}|0x x ≠，函数011y x==定义域为{}|0x x ≠，对应法则相同，故两个函数是同一函数；故选：D.3．B 【分析】根据三角函数的定义得到sin 1y θ==⇒=-.【详解】根据三角函数的定义得到，0y <，sin 1y θ===-，故选：B.4．A 【分析】根据函数解析式得到()130212f -=+=，()()302f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入解析式求解即可.【详解】()130212f -=+=，()()23310log 1222f f f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭故选：A.5．B 【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，根据已知的扇形的圆心角3πα=，面积6S π=，由扇形的面积公式212S r α=,得216π23r π=⨯⨯，解得6r =，由弧长公式623l r παπ==⨯=，故选：B 6．A 【分析】设()12x f x =,()223f x x =-,则()()()12f x f x f x =-.分析可得在区间(],0-∞上函数()f x 单调递增，利用零点存在定理可以判定零点所在区间，在(0,2]上，函数()()()12f x f x f x =-的单调性不确定，分别考察()1f x 和()2f x 的取值范围，可知()11f x >和()21f x ≤，从而可知()0f x >恒成立，即得在区间(0,2]上没有零点.【详解】设()12x f x =,()223f x x =-,则()()()12f x f x f x =-.在区间(],0-∞上，()1f x 单调递增，()2f x 单调递减，则()f x 单调递增，由于()222430f --=-+<,()112130f --=-+>,∴有唯一零点且零点在区间()2,1--内；在区间(0,2]上，()01221x f x =>=,()222 3231f x x =-≤-=,故在区间(]0,2函数()1f x 与()2f x 的图象没有交点，从而函数()f x 没有零点，综上可知，A 正确，BCD 错误，故选：A.【点睛】此题关键点在于分区间研究函数的单调性，在区间(0,2]上函数单调性不易确定或者不单调时，分解为零个具有单调性的函数的差，利用其取值范围判定没有零点.7．A 【分析】由3cos 2=3cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2223k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，求出x 的取值范围，可得答案.【详解】解：由3cos 2=3cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2223k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，解得：263k x k ππππ+≤≤+，故函数的单调递减区间是2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：A.8．A 【分析】根据奇偶性判断CD ，取特殊值判断AB.【详解】令[]5sin (),2,2x x x f x x e e ππ-=∈-+，5sin ()()x xxf x f x e e---==-+，即函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故CD 错误；3333222235sin 35202f ee e e ππππππ---⎛⎫==< ⎪⎝⎭++，故B 错误；故选：A 9．C 【分析】根据给定信息，求出500e k ，再列式求解作答.【详解】依题意，500700760e k -=，即500760e700k=，则歼20战机所受的大气压强100020760e kP -=，歼16D 战机所受的大气压强150016760ekP -=，100050020150016760e 760e 1.09760e 700k kk P P --===≈，所以歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的1.09倍.故选：C 10．A 【分析】利用幂指对函数的单调性可以判定2355232log 3055⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而结合函数的单调性和偶函数的性质可以得到答案.【详解】由对数函数的性质得22log 3log 21>=，由幂函数25y x =在(0,+∞)上单调递增，和指数函数25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在实数集R 上单调递减，且32055>>可知：2235553322105555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2355232log 3055⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又∵()f x 在()0,∞+单调递增，∴()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥>> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，又∵()f x 是定义域为R 的偶函数，∴()()22log 3log 3f f -=，∴()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥->> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选：A.11．B 【分析】根据()f x 的最大值和最小值，判断()()12,f x f x 都是最大值或都是最小值，由此求得12x x +的最小值.【详解】解：函数()4sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最大值为4，最小值为4-，结合()()1216f x f x =可知()()12,f x f x 都是最大值或都是最小值.令π2π62x k π-=+,解得2π2π,Z 3x k k =+∈，取1k =-和0k =得到()f x 在y 轴左右两侧邻近的最大值点的横坐标分别为42,33ππ-,令π2kπ62x π-=-,解得2,Z 3x k k ππ=-∈，取0k =和1k =在y 轴左右两侧的邻近的最小值点的横坐标为5,33ππ-,要使12x x +取得最小值，则需12,x x 都是一正一负的最大值或都是一正一负的最小值对应的横坐标，∵4π2π2π333-+=π5π4333π<-+=,故12x x +的最小值为2π3.故选B.12．B 【分析】构造函数()25x xf x -=-，利用其单调性比较()()ln ,ln f a f b 的大小，即可得出答案.【详解】ln ln ln ln ln ln ln ln 25252525a b b a a a b b ----+≥+⇒-≥-，设()25x xf x -=-，则原式等价于()()ln ln f a f b ≥，而()25x x f x -=-显然是单调递增的函数，则ln ln 0a b a b ≥⇒≥>．故选：B13．25-##0.4-【分析】根据商数关系可化为2222tan tan tan cos sin tan 1αααααα-⋅-=+求解.【详解】因为tan 2α=，所以22222222tan cos sin tan tan 242tan cos sin sin cos tan 1415ααααααααααα⋅---⋅-====-+++.故答案为：25-.14．1【分析】根据幂函数的定义，求得k 的值，将已知点的坐标代入函数解析式，解方程求得a 的值，进而得解.【详解】∵()()1af x k x =-⋅为幂函数，∴11k -=，∴2k =；∵其图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴122a=，∴1a =-，∴211k a +=-=，故答案为：115．()1,2-##{}12x x -<<【分析】由()()()12120f x f x x x -⋅->⎡⎤⎣⎦分析得到函数的单调性，由()()()f x y f x f y +=⋅，同时()13f =，得到()29f =，原不等式转化为()2(2)f x x f -<，进而结合单调性转化求解.【详解】不妨设1x <2x ∈R ，由()()()12120f x f x x x -⋅->⎡⎤⎣⎦恒成立，得()()12f x f x <恒成立，可知函数()f x 在在R 上单调递增，()()()f x y f x f y +=⋅，同时()13f =，可知()()()2119f f f ==,∴不等式()29f x x -<即为()2(2)f x x f -<，等价于22x x -<，解得12x -<<，∴所求不等式的解集为()1,2-，故答案为：()1,2-.16．(]),43⎡-∞-⋃+∞⎣【分析】分别求出函数的值域()[]4,4f x ∈-，()223,32m g x m m m ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，对任意11515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()21g x f x =成立，则[]224,43,32m m m m ⎡⎤-⊆-+⎢⎥⎣⎦，列式求解即可.【详解】当1515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()221log log 1121x f x x x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝+⎭-211,16116x ⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦，()[]4,4f x ∈-，当,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()223,32m g x m m m ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，对任意11515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()21g x f x =成立，则[]224,43,32m m m m ⎡⎤-⊆-+⎢⎥⎣⎦，∴2243,3 4.2m m m m ⎧≤+⎪⎨-≤-⎪⎩∴3m ≥4m ≤-．故答案为：(]),43⎡-∞-⋃+∞⎣.17．(1)132π-(2)10【分析】根据指数幂的运算公式，对数运算公式依次进行运算即可.(1)原式3131422ππ=+-+=-(2)原式3223lg 2lg 53log 3log 213610=+++⋅=++=．18．(1)奇函数，证明见解析(2)当01a <<时，解集为(]3,0-；当1a >时，解集为[)0,3【分析】（1）利用对数函数的定义求得函数()f x 的定义域，根据奇函数的定义判定函数为奇函数；（2）利用对数函数的单调性，对底数进行分类讨论，转化求解不等式.(1)()f x 为奇函数．证明如下：要使函数有意义，则有303330x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩，∴()f x 的定义域为()3,3-，（注：不求定义域扣2分）∵()()()()log 3log 3a a f x x x f x -=-+-+=-，∴()f x 为奇函数．(2)()0f x ≥，即()()log 3log 3a a x x +≥-，当01a <<时，033x x <+≤-，即30x -<≤，当1a >时，330x x +≥->，即03x ≤<，综上：当01a <<时，解集为(]3,0-；当1a >时，解集为[)0,3．19．(1)(){}15R A B x x ⋂=≤<ð(2)()1,23,2a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）分别解二次不等式和分式不等式，求得集合,A B ,进而求得；（2）根据选取的不同的条件，利用集合交集的运算性质或者集合的真子集的意义，得到关于a 的不等式（组）求解即得.(1)()()2230130x x x x +-<⇔-+<，解得：()3,1x ∈-，∴{}31A x x =-<<651011x x x ->⇒>++，解得：()1,5x ∈-，∴{}15B x x =-<<，∴(){}15R A B x x ⋂=≤<ð．(2)选①：∵B C C = ，∴C B⊆当C =∅，即233a a a >+⇒>时，满足题意；当C ≠∅，即233a a a ≤+⇒≤时，2112352a a a >-⎧⇒-<<⎨+<⎩；满足3a ≤，∴综上：()1,23,2a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭．选②：当C =∅，即233a a a >+⇒>时，满足题意；当C ≠∅，即233a a a ≤+⇒≤时，31a +≤-或25a ≥，解得4a ≤-或52a ≥．所以：4a ≤-或532a ≤≤，综上：(]5,4,2a ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．选③：由题知：C B ，当C =∅，即233a a a >+⇒>时，满足题意；当C ≠∅，即233a a a ≤+⇒≤时，2112352a a a >-⎧⇒-<<⎨+<⎩；满足3a ≤，∴综上：()1,23,2a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭．20．(1)()sin cos f ααα=(2)sin cos αα-=-(3)()f α=【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）由（1）可得1sin cos 4αα⋅=，再利用同角三角函数的基本关系：将式子平方即可求解；（3）由（1）利用诱导公式化简即可求解.(1)由题意得，()()()2cos sin tan sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==--．(2)由()1sin cos 4f ααα==可知，()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 2αααααααα-=-+=-=，又∵04πα<<，∴cos sin αα>，则sin cos 2αα-=-．(3)∵1860536060α=-︒=-⨯︒-︒，∴()sin cos 333f f πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．(1)()241f x x x =-+(2)①()252,4,1,42,42, 2.m m m m m m m ϕ+≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩；②答案见解析【分析】（1）由()()22f x f x +=-得，对称轴为2x =，然后设()()22f x a x b =-+，利用另外两个条件列出方程组求解即得；（2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值；②根据①中求得的函数()m ϕ的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数()y m ϕ=的解析式，画出函数()y m ϕ=的图象，利用数形结合方法讨论方程()m k ϕ=的实数根的个数.(1)（1）由()()22f x f x +=-得，对称轴为2x =，设()()22f x a x b =-+，∴()()04123f a b f b ⎧=+=⎪⎨==-⎪⎩，得13a b =⎧⎨=-⎩，∴()()222341f x x x x =--=-+．(2)（2）①()()()241h x f x m x x mx =++=++，[]1,2x ∈-，对称轴2m x =-，ⅰ当12m -≤-即2m ≥时，()h x 在[]1,2-单调递增，()()min 12h x h m =-=-，ⅱ122m -<-<即42m -<<时，()h x 在1,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在,22m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()2min124m m h x h ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，ⅲ当22m -≥即4m ≤-时，()h x 在[]1,2-单调递减，()()min 252h x h m ==+，综上：()()2min 52,4,1,42,42, 2.m m m h x m m m m ϕ+≤-⎧⎪⎪==--<<⎨⎪-≥⎪⎩②画出函数()y m ϕ=的图象图下图所示：利用图象的翻转变换得到函数()y m ϕ=的图象如图所示：方程()m k ϕ=的根的个数为函数()y m ϕ=的图象与直线y k =的交点个数，由图象可知：当0k <时，方程()m k ϕ=无解；当01k <<时，方程()m k ϕ=有4个解；当0k =或1k >时，方程()m k ϕ=有2个解；当1k =时，方程()m k ϕ=有3个解.22．(1)()()2log 0x x x ϕ=>(2)44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(3)73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据指数函数的反函数为同底数的对数函数，即得；（2）根据题意，利用对数函数和二次函数的性质及复合函数的单调性即可得到函数关于m 的不等式组，求解即得；（3）先利用对数函数和分式函数的单调性知识，结合复合函数的单调性得到函数g (x )的单调性和零点及图象，进而得到()y g x =的图象，将方程()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦有三个不同的实数解，转化为则230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个根为0；或230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上.进而利用二次方程根的分布思想分析讨论确定实数a 的取值范围．（1）指数函数()2x f x =的反函数为同底数的对数函数，∴()()2log 0x x x ϕ=>.（2）函数()()()22log 45y h x x x m ϕ==-+在区间()32,2m m -+内有最小值，∴()245h x x x m =-+在()32,2m m -+内先减后增，且()min 0h x >，∴4032223(2)54045m m m h m m ⎧<<⎪-<<+⎧⎪⇒⎨⎨-=->⎩⎪>⎪⎩，∴44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（3）∵0x >，∴()4440,411x x x =-∈++，∴()2g x <，∵g (x )2441log x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭在0x >时单调递增，且g 13⎛⎫ ⎪⎝⎭=0,∴()y g x =的图象如下：因为()()230g x a g x a +++=有三个不同的实数解，设()g x t =，由()y g x =的图象可得当0t =或2t ≥时对于一个确定的t 的值，对应一个x 的值，对于02t <<的每一个确定的t 的值，对应两个不同的实数根x .则230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个根为0；或230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上.①230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个根为0，∴一个根为0，解得3a =-，此时22330t at a t t +++=-=，另一根()30,2t =∉，舍去；②230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上，令()23k t t at a =+++，（ⅰ）当一个根在()0,2上，一个在()2,+∞上，则()()00,20.k k ⎧>⎪⎨<⎪⎩∴3,7,3a a >-⎧⎪⎨<-⎪⎩∴733a -<<-.（ⅱ）当一个根在()0,2上，一个根为2，则()20k =，解得73a =-．此时272033t t -+=的两根为()110,23t =∈，22t =，满足题意．综上，a 的取值范围为73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦．【点睛】本题关键难点在于（3）中，结合()y g x =的图象，将已知方程有三个实数根的条件转化为二次方程的根的分布问题（利用数形结合思想求解），易错点是230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上的情况，要注意分两种情况讨论.。

2020-2021学年成都市蓉城高中教育联盟高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|y=√x+1}，集合B={y|y=x2,x∈R}，则A∪B=()A. ϕB. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [−1,+∞)2.若θ∈[0,π4]，sin2θ=2√23，则cosθ=()A. 23B. 13C. √63D. √333.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x−1)<f(|x|)的x的取值范围是()A. (13,23) B. (13,1) C. (12,23) D. (12,1)4.设函数f(x)=x2−2x，若f(x+1)+f(y+1)≤f(x)+f(y)≤0，则点P(x,y)所形成的区域的面积为()A. 4π3+√32B. 4π3−√32C. 2π3+√32D. 2π3−√325.已知幂函数f(x)=xα过点(4,2)，则f(9)等于()A. 1B. 2C. 3D. 46.函数的零点所在的大致区间是()A. B. C. 和 D.7.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()A. f(x)=|x|xB. f(x)=ln(√x2+1−x)C. f(x)=e x+e−xe x−e−x D. f(x)=sin2x1+cos2x8.已知a=log23，b=ln2，c=5 −12，则a，b，c的大小关系是()A. a>c>bB. a>b>cC. b>a>cD. b>c>a9.设函数f(x)=12cos(ωx+φ)关于x=π3对称，若函数g(x)=3sin(ωx+φ)−2，则g(π3)的值为()A. 1B. −5或3C. −2D. 1210.设α∈{−1,2,23,3}，则使函数y=xα的定义域为R，且为偶函数的所有α的值为()A. −1，3B. −1，2C. −1，3，2D. 2,2311.对于下列命题：①若，则角的终边在第三、四象限；②若点在函数的图象上，则点必在函数的图象上；③若角与角的终边成一条直线，则；④幂函数的图象必过点(1,1)与(0,0).其中所有正确命题的序号是A. ①③B. ②C. ③④D. ②④12.已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)=x+2，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为()A. [1,3]B. [1,9]C. [12,36]D. [12,204]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a+1、a+2，其中a≥1，则△ABC面积的最大值为14.已知cotα=m(−π2<α<0)，则cosα=______(用m表示)15.已知f(x)=(12)−x2−2x+3，则f(x)的单调减区间为______．16.若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是；三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知角α的终边与单位圆交于点(12,−√32)，求角α的正弦、余弦和正切值．18.已知=(bsin，acos)，=(cos，−cos)，f(x)=⋅+a，其中a，b，x∈R.且满足f()=2，f′(0)=．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)−log k=0在区间[0,π]上总有实数解，求实数k的取值范围．19.已知函数f(x)=x3−3x，]上的最大值和最小值．(1)求函数f(x)在[−3,32(2)求曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程．20.已知集合(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．21.设函数，．(1)解不等式；(2)若恒成立的充分条件是，求实数的取值范围．22.已知函数f(x)=x2−bx+1的最小值为0(b>0)．(1)求b的值；(2)若不等式f(3x)≥k⋅3x+9x对k∈[−1,1]恒成立，求x的取值范围；(3)若函数ℎ(x)=f(f(|m−lnx|))的零点之积大于2，求m的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：解：∵集合A={x|y=√x+1}={x|x≥−1}，集合B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}，∴A∪B={x|x≥−1}=[−1,+∞)．故选：D．利用并集定义和不等式性质求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2.答案：C解析：本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，同角三角函数间的基本关系，半角公式的应用，属于基本知识的考查．由已知可求2θ∈[0,π2]，由sin2θ=2√23，则由同角三角函数关系式可求cos2θ，由半角公式即可求cosθ的值．解：∵θ∈[0,π4]，∴2θ∈[0,π2]，∴由sin2θ=2√23，则cos2θ=√1−sin22θ=13，∴cosθ=√1+cos2θ2=√1+132=√63．故选C．3.答案：B解析：解：因为f(x)为偶函数，所以f(2x−1)<f(|x|)可化为f(|2x−1|)<f(|x|)，又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，所以|2x−1|<|x|，即(2x−1)2<x2，解得13<x<1，所以x的取值范围是(13,1)，故选：B．利用偶函数的性质、单调性去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式即可求解．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．4.答案：D解析：解：∵f(x)=x 2−2x =x(x −2) ∴f(x +1)+f(y +1)=x 2+y 2−2，f(x)+f(y)=x 2−2x +y 2−2y =(x −1)2+(y −1)2−2， 则由f(x +1)+f(y +1)≤f(x)+f(y)≤0得，x 2+y 2−2≤x 2−2x +y 2−2y 且(x −1)2+(y −1)2−2≤0， 即x +y −1≤0且(x −1)2+(y −1)2≤2， 不等式组对应的平面区域如图：圆心C(1,1)到直线x +y −1=0的距离CD =|1+1−1|√2=1√2=√22， 半径BC =√2，BD =√(√2)2−(√22)2=√62，则∠BCD =π3，∠ACB =2π3，则△ACD 的面积S =12×2×√62×√22=√32，扇形ACB 的面积S =12×2π3×(√2)2=2π3，则点P(x,y)所形成的区域的面积为2π3−√32， 故选：D将不等式进行化简，利用数形结合，结合三角形的面积公式以及扇形的面积公式即可得到结论． 本题主要考查不等式的转化和应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查了三角形的面积和扇形的面积公式，考查学生的计算能力．5.答案：C解析：解：∵幂函数f(x)=x α的图象过点(4,2)， ∴4α=2，解得：α=12， ∴f(x)=x 12=√x ， ∴f(9)=√9=3， 故选：C ．由幂函数f(x)=x α的图象过点(4,2)，求出f(x)=√x ，由此能求出f(9)．本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：D解析：试题分析：因为，，所以函数的零点所在的大致区间是。

四川省蓉城名校联盟2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}U 05x Z x =∈≤≤，集合{}0,1,3M =，{}0,2,3N =，则()()C C U U M N ⋂A ．{}0,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2D ．{}4,52．函数()log (1)1a f x x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点（ ） A ．(1,1) B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(2,2)3．函数()xf x =在区间[]1,2上的最大值是ABC ．3D．4．函数()2log 34f x x x =+-的零点所在的区间是 A ．()1,2B ．()2,3C ．()0,1D ．()3,45．下列函数为偶函数的是 A ．(]2,1,1y x x =∈-B ．133xx y =+C ．1y x x=+D ．2,12,112,1x y x x x <-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩6．设0.9999,0.9,log 0.9x y z ===则A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．z x y <<7．下列各组函数中，表示同一组函数的是A ．()2f x x =-，()221x x g x x --=+B ．()1f x =，()0g x x =C ．()f x =()g x x =D ．()f x =()g t =8．已知函数()1xf x +=，则43f ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．12eB ．eC ．32eD ．2e9．函数f （x ）=a x –b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则log a （1–b ）的取值A ．恒等于0B ．恒小于0C ．恒大于0D ．无法判断10．方程()221260x m x m +-++=有两个实根12,x x ，且满足12014x x <<<<，则m 的取值范围是 A ．75,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．()(),15,-∞-⋃+∞C ．73,5⎛⎫--⎪⎝⎭D ．53,4⎛⎫--⎪⎝⎭11．设奇函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(2)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 A ．()()2,02,-+∞ B ．()(),20,2-∞- C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()2,00,2-12．函数()()211m f x m m x-=--是幂函数，对任意()12,0,,x x ∈+∞且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若函数()()(2)1,1log (),1a a f x x F x f x x ⎧--≤=⎨>⎩()01a a >≠其中且在R 上单调递增，则a 的取值范围是A ．()1+∞， B ．()2+∞， C ．(]2,3 D ．(]1,3二、填空题13．已知幂函数()f x 经过点()2,8，则函数()f x =_______________．14．函数()12log (1)1f x x x =++-的定义域是_______________．15．设函数()11x f x e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为_______________．16．用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.81, 1.82=-=-．下面关于函数()[]f x x x =-说法正确的序号是_______________．①当[)0,1x ∈时，()f x x =； ②函数()y f x =的值域是[)0,1； ③函数()y f x =与函数14y x =的图像有4个交点； ④方程()40f x x -=根的个数为7个．三、解答题17．计算：（1）()11231015360.415482e -⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1441log 12ln lg1000+． 18．已知集合142xA x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=∈>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2log (1)0B x R x =∈->．（1）求集合,A B ；（2）已知集合{}1C x m x m =<<+，若集合C AB ⊆，求实数m 的取值范围．19．已知定义在R 上的函数()f x 是偶函数，当0x ≥时，()241f x x x =-+．（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）若方程()m f x =有4个根1234,,,x x x x ，求m 的取值范围及1234x x x x +++的值．20．已知函数()2f x x bx c =-++，不等式()0f x >的解集为{}12x x <<．（1）求不等式210cx bx +->的解集；（2）当()()g x f x mx =-在[]1,2x ∈上具有单调性，求m 的取值范围．21．已知定义域为R 的函数()21212x x f x a =⋅-+是奇函数．（1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性并证明；（3）若关于x 的不等式()()2330f kx kx k f k -++->的解集为R ，求k 的取值范围．22．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意实数(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭．（1）求()0f 的值并判断函数()f x 的奇偶性；（2）已知函数()22221lg x g x x--=， ①验证函数()g x 是否满足题干中的条件，即验证对任意实数(),1,1x y ∈-，()()1x y g x g y g xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭是否成立；②若函数()(),111,11g x x h x k x x x ⎧-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或，其中0k >，讨论函数()2y h h x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数情况．参考答案1．D 【分析】列举全集U ，求出M 、N 的补集，再求二者的交集． 【详解】全集{}{}U 05012345x Z x =∈≤≤=，，，，，，{}245U C M =，，，{}145U C N =，， 所以()()U U C M C N ⋂={} 4,5，答案选D ． 【点睛】在进行集合运算进，)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A 且属于B ；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中A 元素，剩余元素成补集． 2．B 【分析】令真数为1，则可得到定点坐标. 【详解】真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f （x ）=1，所以函数()f x 的图象过定点()2,1. 【点睛】本题主要考查了对数函数恒过定点问题，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】可以判断函数()xf x =为增函数，故当x 2=时，函数取最大值，计算即可。

绝密★启用前四川省蓉城名校联盟2021届高三毕业班上学期第一次联合考试数学(理)试题2020年10月注意事项：1.答题前,考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔填写清楚,考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答, 超出答题区域答题的答案无效； 在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择 题： 本题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分。

在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集为实数集R , 集合A ={x |0≤ x ≤4}, B = {x |x 2-8x + 15 > 0} , 则()R A B C =A. [4,5]B. [0,3]C. [3 , 4]D. (3,4)2. 已知复数21i z =-, 则 |z| =A. 1B. D. 23. 命题 p :“π(0,),sin tan 2x x x ∀∈<”的否定¬p 为 A.π(0,),sin tan 2x x x ∀∈≥ B. π(0,),sin tan 2x x x ∀∈>C. 000π(0,),sin tan 2x x x ∃∈≥D. 000π(0,),sin tan 2x x x ∃∉≥ 4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3 , a 1 是方程x 2- 8x -13 = 0的两根,则S 9 =A. 36B. 40C. 72D. 805. 已知3e 1π1tan()4dx x α+=-⎰,则2sin cos cos sin αααα+=- A. -4 B. 4 C. 5 D. -56. 已知随机变量 X 服从二项分布 B (4, p ), 其期望 E (X ) =3, 随机变量 Y 服从正态分布N (l , 2) , 若 P (Y >0) = p , 则 P (0< Y < 2) =A. 23B. 34C. 14D. 127. “1(0,)3m ∈”是“函数(31)4,1(),1m x m x f x mx x -+<⎧=⎨-≥⎩是定义在R 上的减函 数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 美国在今年对华为实行了禁令,为了突围实现技术自主,华为某分公司抽调了含甲、 乙的 5 个工程师到华为总部的 4 个不同的技术部门参与研发, 要求每个工程师只能去一个部门,每个部门至少去一个工程师,且甲乙两人不能去同一个部门,则不同的安排方式一共有 ( )种A. 96B. 120C. 180D. 2169. ()|lg |f x x =, 若()()f a f b = 且 a <b , 则不等式log log (21)0a b x x +->的解集为A. (1,+∞)B. (0,1)C.(12,+∞)D.( 12,1)。